Исследование почти круговых дефектов в твердом теле на макро- и наномасштабном уровне тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Вакаева Александра Борисовна

• Вакаева Александра Борисовна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Вакаева Александра Борисовна

Введение

Глава 1 Обзор литературы

1.1 Современное состояние исследований проблемы на макроуровне

1.2 Теория поверхностной упругости

Глава 2 Почти круговое макроотверстие в упругом теле

2.1 Классическая постановка задачи

2.2 Граничное условие для комплексных потенциалов

2.3 Метод возмущений

2.4 Первое приближение

2.5 Результаты

2.6 Решение задачи в пакете конечно-элементного анализа А^УБ

2.6.1 Построение модели

2.6.2 Результаты расчетов

2.7 Выводы

Глава 3 Совместная деформация цилиндрического

макровключения и матрицы

3.1 Классическая постановка задачи

3.2 Основные соотношения

3.3 Метод возмущений

3.4 Задачи Римана-Гильберта

3.5 Нулевое приближение

3.6 Первое приближение

3.6.1 Комплексные потенциалы

3.6.2 Формулы для напряжений

3.7 Результаты

3.7.1 Графические результаты

3.7.2 Табличные данные

3.8 Выводы

Глава 4 Напряженно-деформированное состояние упругого тела с близким к круговому отверстием при учете

поверхностного напряжения

4.1 Постановка задачи

4.2 Основные соотношения

4.3 Метод возмущений

4.4 Вывод интегрального уравнения

4.5 Интегральное уравнение в п-ом приближении. Нулевое приближение

4.6 Первое приближение

4.7 Графические результаты

4.8 Решение задачи в пакете конечно-элементного анализа А^УБ

4.8.1 Построение модели

4.8.2 Результаты компьютерного моделирования

4.9 Выводы

Глава 5 Напряженно-деформированное состояние упругого тела с почти круговым включением при учете

межфазного напряжения

5.1 Постановка задачи

5.2 Основные соотношения

5.3 Метод возмущений

5.4 Интегральное уравнение в п-ом приближении

5.5 Нулевое приближение

5.6 Первое приближение

5.7 Графические результаты

5.8 Выводы

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование почти круговых дефектов в твердом теле на макро- и наномасштабном уровне»

Введение

В современной промышленности для изготовления различных элементов приборов и конструкций широко применяются материалы, содержащие различного рода неоднородности (вырезы, включения и др.). Чтобы обеспечить прочность и надежность работы конструкции, необходимо знать распределение напряжений, возникающих в результате силовых воздействий.

Актуальность темы. На границе кругового отверстия при одноосном растяжении (задача Кирша [1]) возникают напряжения, в три раза превышающие приложенную нагрузку. Отверстия и включения, которые считаются круговыми, обычно не являются таковыми, а имеют некоторое отклонение от круговой формы. В связи с этим, важно оценить влияние отклонения на напряженно-деформированное состояние тела.

Метод возмущений границы служит альтернативой конформному отображению для почти круговых дефектов. При известном конформном отображении внешности отверстия на внешность (внутренность) круга, можно найти точное решение задачи о напряженно-деформированном состоянии твердого тела с отверстием. Согласно теореме Римана такое отображение всегда существует, однако в подавляющем числе случаев его аналитическое выражение может быть найдено только приближенно [2]. В случае малого отклонения формы неоднородности от круговой, метод возмущений позволяет рассмотреть любую форму отверстия или включения, что невозможно осуществить при помощи конформного отображения.

Бурное развитие нанотехнологий привело к созданию приборов, элементы которых имеют нанометровый размер (от одного до нескольких десятков нанометров). Обнаружено, что по мере уменьшения размеров деформируемых тел до нанометрового диапазона начинают проявляться масштабные эффекты их механического поведения. В первую очередь, это связано с тем, что физико-механические свойства приповерхностных слоев существенно отличаются от аналогичных свойств в глубине тела [3; 4]. На макроуровне это различие практически не отражается на свойствах и поведении всего тела в целом. Однако в случае наноразмерных структур это различие проявляется, в частности, в

заметном влиянии поверхностных напряжений на физические свойства материала.

Состояние поверхности во многих микроэлектронных и оптических устройствах имеет первостепенное значение, особенно на наноструктурном уровне. Не меньшее значение имеет состояние межзерненной границы в кристаллических материалах. Исследование поверхностных явлений представляет огромный интерес, так как дает возможность получить информацию о физико-механическом поведении всего материала в целом. Для объяснения поверхностных явлений, Гертин и Мердок [5;6] разработали поверхностную теорию упругости, в основе которой лежит понятие поверхностной энергии и поверхностного напряжения, введенного Дж. Гиббсом [7]. В рамках этой теории поверхность твердого тела моделируется как мембрана, когерентно соединенная с основным материалом, и обладающая упругими свойствами отличными от него. Упомянутая теория была подтверждена с помощью метода молекулярной динамики [8], что позволило развить подход, описывающий деформируемое тело как многоуровневую систему, где поверхностные слои рассматриваются как отдельные подсистемы, обладающие физико-механическими свойствами, отличными от аналогичных свойств объемной части материала. Кроме того, свойства поверхности являются причиной размерных эффектов, то есть зависимости уникальных механических свойств материала от параметра размерности длины [9]. Заметим, что влияние поверхностного напряжения на состояние идеально упругого материала на макроуровне незначительно по сравнению с влиянием других нагрузок [10; 11].

Одним из важнейших направлений в рамках указанной проблемы является разработка новых теоретических методов, которые позволят изучить влияние физико-механических свойств поверхности на напряженно-деформируемое состояние упругих тел. Исследование влияния геометрических и физических параметров на напряженное состояние твердых тел позволит оценить долговечность при конструировании разнообразных деталей и элементов конструкций в заданных условиях эксплуатации, а также составить прогноз поведения материала в интересующих условиях.

Целью данной работы является разработка аналитических методов решения задачи о почти круговом дефекте в твердом теле на макро- и нано-масштабном уровне, а также исследование влияние размера дефекта, его формы и степени отклонения его границы от круговой формы на напряженно-деформированное состояние тела.

Основные положения, выносимые на защиту:

• Аналитическое решение задачи о напряженно-деформированном состоянии упругого тела с почти круговым макроотверстием в условиях плоской деформации при действии нагрузки на бесконечности и решение аналогичной задачи при использовании пакета конечно-элементного анализа А^УБ. Сравнительный анализ напряженно-деформированного состояния, полученного методом возмущений и методом конечных элементов.

• Аналитическое решение задачи о деформации цилиндрического макровключения, близкого к круговому, и матрицы, а также оценка влияния погрешности отклонения формы включения от круговой на напряженное состояние тела.

• С использованием поверхностной теории упругости Гертина-Мердока, аналитическое решение задачи о напряженно-деформированном состоянии упругого тела с отверстием нанометрового размера при учете поверхностного напряжения. Построение решения аналогичной задачи для цилиндрической нанополости в упругом материале методом конечных элементов в пакете А^УБ. Сравнительный анализ результатов компьютерного моделирования с аналитическим решением задачи.

• Аналитическое решение задачи о напряженно-деформированном состоянии упругого тела с близким к круговому нановключением при учете межфазного напряжения.

Методы исследования. Методы и подходы к решению поставленных в работе задач представляют собой сочетание традиционных и современных методов, применяемых в теории упругости. Теоретические выкладки и исследования основаны на использовании аппарата теории аналитических функций и математического анализа, дифференциальных уравнений, комплексных потенциалов Гурса-Колосова, соотношений Колосова - Мусхелишвили [12], метода возму-

щений, интегралов типа Коши, аналитических методов решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. Для математического описания состояния поверхности используются определяющие соотношения поверхностной теории упругости [5; 6]. При проведении исследований применяются методы решения различных краевых задач, основанные на линеаризованных соотношениях Гертина-Мердока. Реализация предложенных алгоритмов производилась при использовании системы компьютерной математики MAPLE. Численные результаты получены также методами конечно-элементного анализа в пакете ANSYS.

Научная новизна:

• Для задачи об упругом теле с почти круговым дефектом при плоской деформации разработан метод возмущений, позволяющий получить решение в любом приближении и оценить влияние погрешности отклонения формы дефекта от круговой на напряженно-деформированное состояние вблизи дефекта. Решение на макроуровне получено в виде интегралов типа Коши в каждом приближении.

• Разработан новый метод решения плоской задачи для упругого тела с отверстием нанометрового размера. В отличие от метода, основанного на использовании конформного отображения, форма отверстия, хотя и мало отличается от круговой, но может быть произвольной.

• Впервые получено решение задачи для упругого тела с наноразмерным почти круговым цилиндрическим включением в условиях плоской деформации. С использованием метода возмущений границы, соотношений объемной и поверхностной теории упругости и условия непрерывности перемещений на межфазной границе, решение найдено в любом приближении для различных форм межфазной границы.

• Проанализирован размерный эффект (size effect), который проявляется в зависимости напряженного состояния от размера дефекта в диапазоне от одного до нескольких десятков нанометров.

Научная и практическая значимость. Построенные аналитические решения для упругих тел с цилиндрическими дефектами позволяют формулировать и решать широкий класс задач, связанных с определением напряженно-деформированного состояния тела при различных видах нагружения. Потребность в решении этих задач возникает при проектировании и эксплуатации

приборов микро- и оптоэлектроники с улучшенными рабочими характеристиками. Изучив влияние рассматриваемых в работе параметров на концентрацию напряжений, можно оценить прочность и надежность разнообразных изделий промышленности, содержащих наноразмерные материалы.

Решения таких задач являются важным шагом в развитии области механики деформируемого тела, которая описывает процессы влияния поверхностных и межфазных напряжений на уникальные свойства наноматериалов и характер напряженно-деформированного состояния твердых тел.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью постановки задач и использованием современных представлений и методов теории упругости. В ходе сопоставления аналитических результатов с результатами компьютерного моделирования в пакете конечно-элементного анализа А^УБ, установлено, что погрешность метода возмущений составляет до 5 процентов для рассмотренных форм дефектов. Данный факт позволяет сделать вывод о достаточно хорошем первом приближении разработанного метода. Также корректность полученных решений подтверждается их сопоставлением в частных случаях с результатами аналогичных задач в современной литературе.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры вычислительных методов механики деформируемого твердого тела Санкт-Петербургского государственного университета, кафедры теоретической механики Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого и кафедры механики сплошных сред и материаловедения Технического университета Берлина, а также на международных конференциях:

• ХЫУ международная научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (ОР8'13), 1-4 апреля 2013, Санкт-Петербург, Россия;

• ХЬУ международная научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (ОР8'14), 1-4 апреля 2014, Санкт-Петербург, Россия;

• ХЬУ1 международная научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (СРБ'15), 6-9 апреля 2015, Санкт-Петербург, Россия;

• 9th European Solid Mechanics Conference (ESMC 2015), July 6-10, 2015, Madrid, Spain;

• III международная конференция «Устойчивость и процессы управления», посвященная 85-летию со дня рождения профессора, чл.-корр. РАН В. И. Зубова (SCP), 5-9 октября 2015, Санкт-Петербург, Россия;

• VII Международная школа «Физическое материаловедение» с элементами научной школы для молодежи, 31 января - 5 февраля 2016, Тольятти, Россия;

• XLVII международная научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (CPS'16), 4-7 апреля 2016, Санкт-Петербург, Россия;

• XXII Петербургские чтения по проблемам прочности, 12-14 апреля 2016, Санкт-Петербург, Россия;

• 7th European Congress on Computational Methods in Applied Science and Engineering (ECCOMAS Congress 2016), June 5-10, 2016, Crete Island, Greece;

• XXI Санкт-Петербургская Ассамблея молодых ученых и специалистов, 7 декабря 2016, Санкт-Петербург, Россия;

• 7th International Conference on Coupled Problems in Science and Engineering (Coupled Problems 2017), June 12-14, 2017, Rhodes Island,

Greece;

• VIII Международная школа «Физическое материаловедение» с элементами научной школы для молодежи, 3-8 сентября 2017, Тольятти, Россия;

• Международная научная конференция по механике «VIII Поляховские чтения», 30 января - 2 февраля 2018, Санкт-Петербург, Россия.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в шестнадцати печатных изданиях [13-28], шесть из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [15; 19; 23; 25-27], шесть — в других изданиях [13; 14; 16; 20-22] и четыре — в тезисах докладов [17; 18; 24; 28].

Большинство работ выполнены в соавторстве с научным руководителем, М. А. Грекову принадлежит постановка задач, консультации по методикам решений и анализу результатов. С. А. Костырко участвовал в обсужде-

нии результатов и консультировал по вопросам построения моделей в пакете ANSYS. Е. А. Башканковой принадлежит решение соответствующей задачи методом возмущений об эллиптическом дефекте в упругом теле на макроуровне. А. Б. Вакаева осуществляла реализацию разработанных методов решения поставленных задач, построение аналитических и численных решений, анализ результатов, написание компьютерных программ и построение графических результатов исследований.

Поддержка. Представленная работа была поддержана грантом Правительства Санкт-Петербурга в 2016 году (проект № 9.17.1653.2016) и Правительством РФ (именные стипендии 2016-2018), а также грантом в рамках совместной программы СПбГУ и DAAD "Дмитрий Менделеев" в 2017-2018 гг. Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ (проекты № 14-01-00260 и № 18-0100468).

Объём и структура работы. Структура диссертационной работы состоит из введения, пяти глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 104 страницы с 30 рисунками и 4 таблицами. Список литературы содержит 73 наименования.

Содержание работы.

Во введении раскрыта актуальность диссертационной работы, поставлена цель, перечислены основные положения, выносимые на защиту, а также методы и подходы к проводимым исследованиям. Обоснована достоверность полученных результатов и продемонстрирована их научная и практическая значимость. В конце введения изложено краткое содержание работы.

В главе 1 дан краткий обзор современного состояния проблемы в области теории упругости и проведен анализ имеющихся публикаций по тематике диссертационной работы.

В главе 2 для задачи о почти круговом макроотверстии в упругом теле подробно описывается построение алгоритма нахождения любого приближения методом возмущений и вывод формул, по которым это приближение может быть найдено. В явном виде получены комплексные потенциалы первого приближения для близкого к круговому отверстия, граница которого отклоняется от единичной окружности в радиальном направлении по косинусоидальному закону. Проведен анализ напряженно-деформированного состояния для раз-

личных форм границы. В том числе, приводится решение этой же задачи с использованием пакета конечно-элементного анализа А^УБ. Результаты компьютерного моделирования подтверждают, что погрешность решения в первом приближении находится в пределах одного - двух процентов.

Глава 3 посвящена решению задачи о совместной деформации цилиндрического макровключения и матрицы. В данной главе метод возмущений, примененный для случая близкого к круговому отверстия, обобщен для решения более сложной и общей задачи о напряженно-деформированном состоянии в окрестности упругого включения, для которого точного аналитического решения не существует. В каждом приближении задача сводится к решению двух независимых задач Римана-Гильберта. Аналогично задаче о почти круговом отверстии, построен алгоритм нахождения любого приближения, выраженного через элементарные функции. В явном виде получены выражения для комплексных потенциалов и формулы для напряжений на границе в первом приближении для матрицы и для включения. Опираясь на результаты нулевого и первого приближения, проведено исследование особенности напряженно-деформированного состояния в окрестности упругого включения, получено распределение и построены графики зависимости напряжений вдоль границы для включений различной формы.

В главе 4 рассматривается плоская задача о напряженно-деформированном состоянии упругого тела с отверстием нанометрового размера при учете поверхностного напряжения. Граница отверстия мало отличается от окружности и имеет произвольную форму. Предполагается, что тело находится в однородном поле напряжений. Для решения задачи используются методы классической теории упругости и линеаризованные соотношения поверхностной теории упругости Гертина-Мердока. Условия на границе заданы согласно обобщенному закону Лапласа-Юнга. Методом возмущения границы решение задачи сведено к последовательному решению сингулярного интегро-дифференциального уравнения в каждом приближении. Точное решение уравнения и соответствующие комплексные потенциалы в первом приближении получены для случая, когда граница отверстия задана по косинусоидальному закону. Продемонстрирован размерный эффект, а именно: влияние размера наноотверстия на напряженное состояние границы.

Также в пакете конечно-элементного моделирования ANSYS построена модель пластины с наноотверстием, форма которого мало отличается от круговой. По результатам компьютерного моделирования определено напряженное состояние пластины с отверстием нанометрового размера. Проанализированы отверстия различной формы и размера. Проведено сравнение напряженного состояния методом конечных элементов и аналитическим методом возмущений. В том числе, осуществляется сравнение результатов с классическим решением без учета поверхностных свойств материала.

В главе 5 рассматривается бесконечное упругое тело с почти круговым включением нанометрового размера. Аналогично главе 4, для решения задачи используется поверхностная теория упругости Гертина-Мердока. Считается, что на межфазной границе отсутствуют разрывы перемещений, а скачок напряжений определяется действием межфазного напряжения согласно обобщенному закону Лапласа-Юнга. При помощи метода возмущений, решение задачи для каждого приближения сводится к однотипному сингулярному интегро-дифференциальному уравнению относительно неизвестного межфазного напряжения. Решение интегрального уравнения представляется в виде степенного ряда с неизвестными коэффициентами. В первом приближении получены результаты для почти кругового включения, граница которого задана косинусо-идальной функцией. В пакете компьютерной математики MAPLE построены графические зависимости напряжений для включения и матрицы. Продемонстрирован размерный эффект, т. е. влияние размера нановключения на напряженное состояние границы включения.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Глава 1 Обзор литературы

В данной главе представлен обзор научной литературы по исследуемой тематике. В первом параграфе дан краткий обзор современного состояния исследований по проблеме дефектов в твердом теле на макроуровне. В частности, приведены некоторые задачи механики твердого тела, для которых применялся метод возмущений границ. Во втором параграфе описаны особенности свойств наноструктурных материалов, и теоретические методы, используемые для изучения этих свойств. Также упоминаются экспериментальные работы, которые подтвердили гипотезы поверхностной теории упругости и позволили развить подходы для исследования соответствующих математических моделей.

1.1 Современное состояние исследований проблемы на

макроуровне

Одной из важнейших задач теории упругости являются плоские задачи. Характерными концентраторами напряжений в материалах и элементах приборов и конструкций являются различного рода отверстия или включения (группы отверстий или включений). Что касается круговых отверстий и включений, то на практике всегда существуют малые отклонения от круговой формы, и данный факт следует учитывать при расчете.

Несмотря на то, что в классических работах Г. Н. Савина [2] и Н. И. Мусхе-лишвили [12] разработана общая теория и методика решения задач для упругой плоскости с отверстием на макроуровне, а также аналитически решены задачи для большого класса гипотрохоидальных и -циклоидальных отверстий, данная тема до сих пор остается актуальной, если форма отверстия — в данном случае, близкая к круговой — не вписывается в указанный класс. Новые аналитические решения интересны в том смысле, что служат основой для рассмотрения со-

держательных механических задач (разрушения, потери устойчивости плоской формы равновесия и др.). Поэтому нужны новые подходы в получении аналитических решений, их тестирование, сопоставление результатов с численными методами (например, с решением методом конечных элементов) и экспериментальными данными.

В случае, когда форма границы мало отличается от круговой, для решения задачи можно применить аналитический метод, именуемый методом возмущения границы. Методом возмущений можно построить решение целого ряда важных проблем механики твердого тела. Для применения метода, как правило, используются интегральные представления и интегральные уравнения. Таким способом были исследованы трещины, близкие к круговым [29;30], а также полуограниченные трещины с фронтом, близким к прямой линии [31;32]. Также метод возмущений применялся к различного рода задачам о деформации упругого тела, имеющего волнистую внешнюю границу или границу раздела его разнородных частей. Так, Х. Гао [33] исследовал концентрацию напряжений у волнистой поверхности в двумерном и трехмерном случаях, используя функции Грина и решения соответствующих задач [34; 35].

Для решения плоской задачи теории упругости разработан метод комплексных потенциалов Колосова и метод Мусхелишвили [12; 36], без привлечения интегральные уравнения и интегральные представления. Применяя метод возмущений с использованием соотношений Мусхелишвили и потенциалов Колосова [12], были построены решения задачи о криволинейной трещине [37], а также решены двумерные задачи о включении, близком к круговому [38]. Однако, в названных работах авторы ограничиваются построением первого приближения, которое в случае плоской задачи теории упругости находилось различными способами. В то же время, при использовании комплексных представлений Колосова-Мусхелишвили разработан единый путь построения решения методом возмущений, который позволил создать алгоритм поиска любого приближения для широкого круга краевых задач [15; 23; 39-41].

Следует отметить, что в настоящее время в научной мировой практике накоплен богатый материал по изучению поверхностных дефектов на макроуровне, например, работы A. М. Линькова, Г. П. Черепанова, М. А. Грекова, Н. Ф. Морозова, H. Gao, W. D. Nix, L. B. Freund, D. W. Hoffman и др. Однако

менее исследованным остается поведение и свойства наноразмерных материалов, в том числе тел с различными нанодефектами.

1.2 Теория поверхностной упругости

В течение последней половины века в материаловедении, теории упругости и наномеханике было приложено немало усилий для изучения механического поведения наноматериалов (балок, пластин, проводов, пленок и др.) и композитов, содержащих наноразмерные неоднородности (включения, поры и отверстия), см. обзоры [42-44]. Исследование свойств материалов и упругих полей в наноструктурах и нанокомпозитах имеет важное значение для дальнейшего развития нанотехнологий, в частности, связанных с анализом, проектированием и изготовлением устройств на наноуровне.

Свойства материала определяются химическим составом и структурой. Изучение поверхностных явлений представляет огромный интерес, так как дает возможность получить информацию о физико-механическом поведении всего материала. Стоит отметить, что при переходе от макро к наномасштабному уровню увеличивается отношение числа атомов на поверхности тела к числу атомов в объеме. Это означает, что отношение объема, занимаемого атомами на соответствующей поверхности/интерфейсе и вблизи нее, к объему основного материала становится значительным. Энергия атомов, находящихся на поверхности/интерфейсе называется свободной энергией поверхности [7]. Поверхностное напряжение, связывающее изменение свободной энергии поверхности с изменением поверхностной деформации [45], оказывает большое влияние на свойства наноматериалов и поле напряжений в них. Зависимость напряженного состояния от размеров на наноуровне также является одним из подтверждений этого влияния [8; 46; 47].

Основные понятия свободной энергии поверхности/интерфейса и поверхностного/межфазного напряжения в твердых телах были впервые сформулированы Дж. Гиббсом и позднее развивались другими исследователями. Гер-тин и Мердок [5; 6] и Гертин с соавторами [48] разработали математические

модели, учитывающие поверхностное напряжение, в механике сплошных сред. Во многих экспериментальных работах А. Д. Коротаева, С. В. Овчинникова, R. J. Needs, H. L. Duan, X. M. Sun, J. X. Wang, D. P. Yu, R. C. Cammarata было показано, что с уменьшением размеров деформируемых тел до нанометрово-го диапазона, проявляются масштабные эффекты их механического поведения. Данный факт связан с тем, что физико-механические свойства приповерхностных слоев будут иметь значительное отличие от аналогичных свойств в глубине тела. Однако на макроуровне это отличие практически не оказывает влияния на свойства и поведение всего тела в целом. В то же время, для наноразмер-ных структур, порядка нанометра или нескольких десятков нанометров, это отличие существенно, что проявляется во влиянии поверхностных напряжений на физические свойства материалов. Miller и Shenoy [8], при использовании методов молекулярной динамики, смоделировали наноразмерные пластины и балки при одноосном растяжении и изгибе, и обнаружили, что полученные результаты согласуются с результатами поверхностной теории упругости Герти-на-Мердока. Как следствие, стало возможным развивать подходы для моделирования деформируемого тела, как многоуровневой системы, и рассматривать поверхностные слои, как отдельные подсистемы с собственными физическими и механическими свойствами, отличными от объемной части материала.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Вакаева Александра Борисовна, 2018 год

Список литературы

1. Kirsch E. G. Die Theorie der Elastizität und die Bedurfnisse der Festigkeitslehre // Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure. 1898. Vol. 42. P. 797-807.

2. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова Думка, 1968. 887 с.

3. Duan H. L., Wang J., Karihaloo B. L. Theory of tlasticity at the nanoscale // Advances in Applied Mechanics. 2009. Vol. 42. P. 1-68.

4. Wang J., Huang Z., Duan H. et al. Surface stress effect in mechanics of nanostructured materials // Acta Mechanica Solida Sinica. 2011. Vol. 24. P. 52-82.

5. Gurtin M. E., Murdoch A. I. A continuum theory of elastic material surfaces // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1975. Vol. 57, N 4. P. 291-323.

6. Gurtin M. E., Murdoch A.I. Surface stress in solids // International Journal of Solid Structures. 1978. Vol. 14, N 6. P. 431-440.

7. Gibbs J. W. The Scientific Papers of J. Willard Gibbs, vol 1. Longmans-Green, London. 1906. 476 p.

8. Miller R. E., Shenoy V. B. Size-dependent elastic properties of nanosized structural elements // Nanotechnology. 2000. Vol. 11, N 3. P. 139-147.

9. Гольдштейн Р. В., Городцов В. А., Устинов К. Б. Влияние остаточных поверхностных напряжений и поверхностный упругости на деформирование шарообразных включений нанометровых размеров в упругой матрице // Физическая мезомеханика. 2010. Т. 13. № 5. С. 127-138.

10. Подстригач Я. С., Повстенко Ю. З. Введение в механику поверхностных явлений в деформируемых телах. Киев: Наукова думка. 1985. 200 с.

11. Povstenko Ya. Z. Theoretical investigation of phenomena caused by heterogeneous surface tension in solids // Journal of Mechanics and Physics Solids. 1993. Vol. 41, No 9. P. 1499-1514.

12. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

13. Вакаева А. Б., Греков М. А. Метод возмущений в задаче о криволинейном отверстии в упругой плоскости // Процессы управления и устойчивость: Труды 44-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. Н. В. Смирнова, Т. Е. Смирновой. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та. 2013. С. 159-164.

14. Вакаева А. Б., Греков М. А. Исследование напряженно-деформированного состояния упругого тела с почти круговыми дефектами // Процессы управления и устойчивость. 2014. Т. 1. № 1. С. 111-116.

15. Башканкова Е. А., Вакаева А. Б., Греков М. А. Метод возмущений в задаче о почти круговом отверстии в упругой плоскости // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2015. № 2. С. 106-117.

16. Вакаева А. Б., Греков М. А. Напряженно-деформированное состояние упругого тела с почти круговым отверстием при учете поверхностного напряжения // Процессы управления и устойчивость. 2015. Т. 2. № 1. С. 125-130.

17. Grekov M., Vakaeva A. Stress-strain state of an elastic body with a nearly circular hole // Proceedings of the 9th European Solid Mechanics Conference. 2015. (Abstract).

18. Вакаева А. Б., Греков М. А. Эффект поверхностных напряжений в упругом теле с криволинейным наноотверстием // Устойчивость и процессы управления: Материалы III международной конференции. 2015. С. 345-346.

19. Vakaeva A. B., Grekov M. A. Effect of surface stresses in an elastic body with a curvilinear nanohole // Proceedings of The 2015 International Conference

«Stability and Control Processes» in Memory of V.I. Zubov (SCP). 2015. P. 440-443.

20. Вакаева А. Б., Греков М. А. Цилиндрическая нанополость в упругом материале // VII Международная школа «Физическое материаловедение»: сборник конкурсных докладов. 2016. С. 155-160.

21. Вакаева А. Б. Эффект поверхностных напряжений и формы нанометрово-го рельефа поверхности отверстия в упругом теле // Процессы управления и устойчивость. 2016. Т. 3. № 1. С. 154-158.

22. Вакаева А. Б., Греков М. А. Почти круговое отверстие нанометрового размера в упругом теле // XXII Петербургские чтения по проблемам прочности: сборник материалов. 2016. С. 158-160.

23. Grekov M. A., Vakaeva A. B. Effect of nanosized asperities at the surface of a nanohole // Proceedings of the VII European Congress on Computational Methods in Applied Science and Engineering. 2016. Vol. IV. P. 7875-7885.

24. Grekov M. A., Vakaeva A. B. The perturbation method in the problem on a nearly circular inclusion in an elastic body // VII International Conference on Coupled Problems in Science and Engineering. 2017. (Abstract).

25. Grekov M.A., Vakaeva A. B. The perturbation method in the problem on a nearly circular inclusion in an elastic body // Proceedings of the 7th International Conference on Coupled Problems in Science and Engineering (Coupled Problems 2017). 2017. P. 963-971.

26. Grekov M. A., Kostyrko S. A., Vakaeva A. B. The Model of Surface Nanorelief within Continuum Mechanics // AIP Conference Proceedings, 2017. Vol. 1909, P. 020062.

27. Вакаева А. Б. Напряженно-деформированное состояние упругого тела с почти круговым включением при учете межфазного напряжения // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. 2017. № 4. С. 20-25.

28. Греков М. А., Вакаева А. Б. Эффект межфазных напряжений в упругом теле с нановключением // Международная научная конференция "VIII Поляховские чтения". Тезисы докладовю Изд-во СПбГУ. 2018. С. 196-197.

29. Gao H. Nearly circular shear mode cracks // Int. J. Solids Struct. 1988. V. 24. № 2. P. 177-193.

30. Martin P. A. Mapping flat cracks onto penny-shaped cracks, with application to somewhat circular tensile cracks // Quart. Appl. Math. 1996. V. 54. P. 663-675.

31. Rice J. R. First order variations in elastic fields due to variation in location of a planar crack front //J. Appl. Mech. 1985. V. 52. P. 571-579.

32. Gao H., Rice J. R. Shear stress intensity factors for a planar crack with slightly curved front //J. Appl. Mech. 1986. V. 53. P. 774-778.

33. Gao H. Stress concentration at slightly undalating surfaces //J. Mech. Phys. Solids. 1991. Vol. 39. No. 4. P. 443-458.

34. Green A. E., Zerna W. Theoretical elasticity. 2nd Edn. Oxford University Press, London. 1968.

35. Mindlin R. D. Force at a point in the interior of semi-infinite solids // Physics. 1936. Vol. 7. P. 195-202.

36. Колосов Г. В. Применение комплексных диаграмм и теории функций комплексной переменной к теории упругости. Л.; М.: ОНТИ. 1935. 224 с.

37. Баничук Н.В. Определение формы криволинейной трещины методом малого параметра // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. № 2. С. 130-137.

38. Gao H. A boundary perturbation analysis for elastic inclusions and interfaces // Int. J. Solids Struct. 1991. V. 28. № 6. P. 703-725.

39. Греков М. А., Макаров С. Н. Концентрация напряжений у слабо искривленного участка поверхности упругого тела // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2004. № 6. С. 53-61.

40. Викулина Ю. И., Греков М. А. Напряженное состояние плоской поверхности упругого тела нанометрового размера при периодическом силовом воздействии // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. 2012. № 4. С. 72-80.

41. Grekov M. A., Kostyrko S. A. Surface defect formation in nanosized film coating due to diffusion // Proceedings of The 2015 International Conference on Mechanics — Seventh Polyakhov's Reading. 2015. P. 1-4.

42. Rosei F. Nanostructured surfaces: challenges and frontiers in nanotechnology // Journal of Physics: Condensed Matter. 2004. Vol. 16. P. S1373-S1436.

43. Moriarty P. Nanostructured materials // Reports on Progress in Physics. 2001. Vol. 64. P. 297-381.

44. Wang J., Huang H., Duan Yu. S., Feng X., Wang G., Zhang W., Wang T. Surface stress effect in mechanics of nanostructured materials // Acta Mechanica Solida Sinica. 2011. Vol. 24. No. 1. P. 52-82.

45. Cammarata R. C. Surface and interface stress effects on interfacial and nanostructured materials // Materials Science and Engineering. 1997. Vol. A237. P. 180-184.

46. Shenoy V. B. Atomic calculation of elastic properties of metallic fcc crystal surfaces //Physical Review. 2005. Vol. B71. P. 94-104.

47. Dingrevill R., Qu J., Cherkaoui M. Surface free energy and its effect on the elastic behaviour of nanosized particles, wires and films //Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2005. Vol. 53. P. 1827-1854.

48. Gurtin M. E., Weissmuller J., Larche F. A general theory of curved deformable interfaces in solids at equilibrium // Philosophical Magazine. 1998. Vol. A 78. P. 1093-1109.

49. Sharma P., Ganti S., Bhate N. Effect of surfaces on the size-dependent elastic state of nano-inhomogeneities // App. Phys. Lett. 2003. Vol. 82. N 4. P. 535537.

50. Tian L., Rajapakse R. K. N. D. Analytical solution for size-dependent elastic field of a nanoscale circular inhomogeneity // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2007. Vol. 74. No. 5. P. 568-574.

51. Tian L., Rajapakse R. K. N. D. Elastic field of an isotropic matrix with nanoscale elliptical inhomogeneity // International Journal of Solids and Structures. 2007. Vol. 44. P. 7988-8005.

52. Mogilevskaya S. G., Crouch S. L., Stolarski H. K. Multiple interacting circular nano-inhomogeneities with surface/interface effects // Journal of Mechanics and Physics of Solids. 2008. Vol. 56. P. 2298-2327.

53. Альтенбах Х., Еремеев В. А., Морозов Н. Ф. О влиянии поверхностного натяжения на эффективную жесткость наноразмерных пластин // Доклады РАН. 2009. Т. 424. № 5. С. 618-620.

54. Еремеев В. А., Морозов Н. Ф. Об эффективной жесткости нанопористого стержня // Доклады РАН. 2010. Т. 432. № 4. С. 473-476.

55. Гольдштейн Р. В., Городцов В. А., Устинов К. Б. О построении теории поверхностной упругости для плоской границы // Физическая мезомеханика. 2013. Т. 16. № 4. С. 75-83.

56. Бочкарев А. О., Греков М. А. Влияние поверхностных напряжений на жесткостные свойства и устойчивость нанопластины в задаче Кирша // Физическая мезомеханика. 2017. Т. 20. № 6. С. 62-76.

57. Греков М. А., Язовская А. А. Эффект поверхностной упругости и остаточного поверхностного напряжения в упругом теле с эллиптическим на-ноотверстием // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78. № 2. С. 249-261.

58. Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. Аномалии механических характеристик наноразмерных объектов // Доклады РАН. 2001. Т. 381. № 3. С. 345-347.

59. Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. О механических характеристиках наноразмерных объектов // Физика твердого тела. 2002. Т. 44. № 12. C. 2158-2163.

60. Лобода О. С., Кривцов А. М. Влияние масштабного фактора на модули упругости трехмерного нанокристалла // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2005. № 4. С. 27-41.

61. Geim A. K., Novoselov K. S. The rise of graphen // Nature Materials. 2007. No. 6. P. 183-191.

62. Беринский И. Е., Кривцов А. М., Кударова А. М. Определение изгибной жесткости графенового листа // Физическая мезомеханика. 2014. Т. 17/ № 1. С. 57-65.

63. Морозов Н. Ф., Товстик П. Е., Товстик Т. П. Континуальная модель изгиба и колебаний многослойной нанопластины // Физическая мезомеханика. 2016. Т. 19. № 6. С. 27-33.

64. Бауэр С. М., Каштанова С. В., Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н. Об устойчивости пластины нанометровой толщины, ослабленной круговым отверстием // Доклады РАН. 2014. Т. 458. № 2. С. 158-160.

65. Бауэр С. М., Каштанова С. В., Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н. Потеря устойчивости плоской формы равновесия пластины с круговой вставской при одноосном растяжении // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. 2017. № 4. С. 266-272.

66. Греков М. А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2001. 192 с.

67. Dill E. H. The Finite Element Method for Mechanics of Solids with ANSYS Applications. CRC Press, 2011. 508 p.

68. Басов К. А. ANSYS для конструкторов. М.: ДМК Пресс, 2012. 248 с.

69. Греков М. А. Совсместная деформация кругового включения и матрицы // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. 2010. № 2. С. 126-134.

70. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 374 с.

71. Линьков А. М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. Спб.: Наука, 1999. 328 с.

72. Fu Xi., Wang G. Surface effects on Elastic Fields Around Surface Defects // Acta Mechanica Solida Sinica. 2010. Vol. 23. Issue 3. P. 248-254.

73. Wang W., Zeng Xi., Ding J. Finite Element Modeling of two-dimentional Nanoscale Structures with Surface Effects // World Academy of Science, Engineering and Technology. 2010. Vol. 48. No. 12. P. 426-431.

Список рисунков

2.1 Границы почти круговых отверстий, определяемые функцией

f (0) = cos КО при К = 2,4, 8 (соответственно a, b, c) ...... 21

2.2 Зависимость напряжений att от полярного угла 0 для отверстия

f (0) = cos 20 при £ = 0,1; 0,2; 0,3 (соответственно a, b, c) ..... 28

2.3 Зависимость напряжений att от полярного угла 0 для отверстия

f (0) = cos 40 при £ = 0,1; 0,2; 0,3 (соответственно a, b, c) ..... 29

2.4 Зависимость напряжений att от полярного угла 0 для отверстия

f (0) = cos 80 при £ = 0,1; 0,2; 0,3 (соответственно a, b, c) ..... 30

2.5 Границы круговых отверстий 1, 2, эллиптического отверстия 4 и почти кругового отверстия 3 при £ = 0,2; 0,5 (соответственно a, b) 31

2.6 Пример разбиения четверти упругой плоскости с почти

круговым отверстием на сетку конечных элементов ........ 33

2.7 Окружные напряжения у границы отверстия f (0) = cos 20 при

£ = 0.5.................................. 34

3.1 Границы включений, определяемые функцией f (0) = cos 20 при

£ = 0,1; 0,2; 0,3 (соответственно 1,2,3) и круговое включение (4) 38

3.2 Зависимость напряжений att от полярного угла 0 для включения

f (0) = cos 20 при £ = 0,1 и т = 1/3; 3 (a, b)............. 49

3.3 Зависимость напряжений att от полярного угла 0 для включения

f (0) = cos 20 при е = 0,5 и т = 1/3; 3 (a, b)............. 50

3.4 Зависимость напряжений att от полярного угла 0 для включения

f (0) = cos 40 при £ = 0,1 и т = 1/3; 3 (a, b)............. 50

3.5 Зависимость напряжений att от полярного угла 0 для включения

f (0) = cos 40 при £ = 0,5 и т = 1/3; 3 (a, b)............. 51

3.6 Зависимость напряжений att от полярного угла 0 для включения

f (0) = cos 80 при £ = 0,1 и т = 1/3; 3 (a, b)............. 51

3.7 Зависимость напряжений att от полярного угла 0 для включения

f (0) = cos 80 при е = 0,5 и т = 1/3; 3 (a, b)............. 52

3.8 Зависимость att от полярного угла 0 при £ = 0,3 и т = 1..... 52

4.1 Примеры границ почти круговых отверстий для функции

/( s) = ( s K + S-K )/2 = cos К в , К = 2,4,8 (a, b, c)......... 56

4.2 Зависимость ККН от радиуса кругового отверстия......... 64

4.3 ККН на границе отверстия рис. 4.1a в зависимости от радиуса базового кругового отверстия а при £ = 0,1; 0,2; 0,3 (соответственно a, b, c) ......................... 68

4.4 ККН на границе отверстия рис. 4.1b в зависимости от радиуса базового кругового отверстия при = 0,1; 0,2; 0,3 (соответственно a, b, c) ......................... 68

4.5 ККН на границе отверстия рис. 4.1c в зависимости от радиуса базового кругового отверстия при = 0,1; 0,2; 0,3 (соответственно a, b, c) ......................... 68

4.6 Напряженное состояние пластины вблизи отверстия

/(6*) = cos 20 при а = 2 нм и £ = 0,1................. 71

4.7 Зависимость ККН от радиуса а при М = М\ (синие кривые) и

М = 0 (красные прямые) для различных значений £ ....... 72

4.8 Относительная разность ККН A S для численного и аналитического решения задачи ................... 73

5.1 Почти круговое включение (сплошная линия) в бесконечной

упругой пластине под действием усилий на бесконечности (е = 0,1) 76 5.2 Зависимость максимального окружного напряжения а^® от радиуса а на границе кругового нановключения (е = 0) при

т = 1/3; 3 (а, Ь) ............................ 83

5.3 Зависимость максимального окружного напряжения от радиуса базового кругового включения а для функции

¡(в) = 008 26* при £ = 0,1, т = 1/3 (а); т = 3 (Ь).......... 86

5.4 Зависимость максимального окружного напряжения от радиуса базового кругового включения а для функции

¡(в) = 008 26* при £ = 0,2, т = 1/3 (а); т = 3 (Ь).......... 86

5.5 Зависимость максимального окружного напряжения а^ от радиуса базового кругового включения а для функции /(6*) = 008 46* при £ = 0,1; т = 1/3 в матрице к = 1 (а) и во включении = 2 (Ь) .......................... 87

5.6 Зависимость максимального окружного напряжения akt от радиуса базового кругового включения а для функции

f (в) = cos 86 при £ = 0,1; т = 1/3 в матрице к = 1 (a) и во включении к = 2 (b).......................... 87

5.7 Зависимость максимального окружного напряжения akt от радиуса базового кругового включения а для функции

f (в) = cos 20 при £ = 0,1; т = 1 ................... 89

Список таблиц

2.1 Коэффициенты концентрации напряжений для эллипса (Ке1) и

криволинейного отверстия (К) в зависимости от параметра £ . . 32

3.1 Значения коэффициентов концентрации напряжений для включения /(в) = 008 26* при различных значениях £ и т..... 53

3.2 Значения коэффициентов концентрации напряжений для кругового включения ( = 0) при различных значениях т . . . . 53

4.1 Влияние формы возмущения и размера отверстия на ККН .... 72