Математическое моделирование нелинейных упругих деформаций композитной плоскости с межфазными трещинами и сосредоточенными нагрузками для гармонических материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Доманская Татьяна Олеговна

• Доманская Татьяна Олеговна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Доманская Татьяна Олеговна

Введение

Глава 1. Общие соотношения плоской задачи

1.1. Плоская деформация

1.2. Плоское напряженное сотояние

1.3. Уравнения плоской задачи в комплексной форме

Глава 2. Моделирование нелинейной деформации неоднородной плоскости с межфазными трещинами и сосредоточенными нагрузками гармоническим материалом Джона

2.1. Соотношения плоской задачи для материала Джона

2.2. Задача о скачках напряжений и деформаций

2.3. Действие сосредоточенной силы на линии раздела материалов

2.3.1. Асимптотические разложения напряжений и перемещений в окрестности точки приложения силы

2.4. Действие сосредоточенной силы на границе полуплоскости

2.4.1. Асимптотические разложения напряжений и перемещений в окрестности точки приложения силы

2.5. Задача о межфазной трещине в неоднородной плоскости

2.5.1. Раскрытие берегов трещины

2.5.2. Коэффициенты интенсивности номинальных напряжений

2.5.3. Асимптотические разложения напряжений в окрестности концов трещины

2.6. Задача о трещине в однородной плоскости

2.6.1. Раскрытие берегов трещны

2.6.2. Коэффициенты интенсивности номинальных напряжений

2.6.3. Асимптотические разложения напряжений в окрестности концов трещины

2.7. Выводы

Глава 3. Моделирование нелинейной деформации неоднородной

плоскости с межфазными трещинами и сосредоточенными нагрузками полулинейным материалом

3.1. Соотношения плоских задач (плоская деформация и плоское напряженное состояние) для полулинейного материала

3.2. Задача о скачках напряжений и деформаций

3.3. Действие сосредоточенной силы на линии раздела материалов

3.3.1. Асимптотические разложения напряжений и перемещений в окрестности точки приложения силы

3.4. Действие сосредоточенной силы на границе полуплоскости

3.4.1. Асимптотические разложения напряжений и перемещений в окрестности точки приложения силы

3.5. Задача о межфазной трещине в неоднородной плоскости

3.5.1. Раскрытие берегов трещины

3.5.2. Коэффициенты интенсивности номинальных напряжений

3.5.3. Асимптотические разложения напряжений и перемещений в окрестности концов трещины

3.6. Задача о трещине в однородной плоскости

3.6.1. Раскрытие берегов трещны

3.6.2. Коэффициенты интенсивности номинальных напряжений

3.6.3. Асимптотические разложения напряжений в окрестности концов трещины

3.7. Численное моделирование деформации плоскости с трещиной

3.8. Выводы

Глава 4. Сравнение результатов расчетов для гармонического материала Джона и полулинейного материала

4.1. Действие сосредоточенной силы на линии раздела материалов

4.2. Действие сосредоточенной силы на границе полуплоскости

4.3. Задача о межфазной трещине в неоднородной плоскости

4.4. Задача о трещине в однородной плоскости

4.5. Выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование нелинейных упругих деформаций композитной плоскости с межфазными трещинами и сосредоточенными нагрузками для гармонических материалов»

Введение

Актуальность темы исследования. Разрушение материалов и конструкций обычно происходит по причине образования трещин и их развития под влиянием внешней нагрузки. Например, разрушение горных пород, а также различных сооружений происходит в результате попадания воды в трещины — вода при замерзании увеличивается в объеме и трещина растет.

В настоящее время для оценки прочности, а также разрушения материалов и конструкций с трещинами используют критерии, основанные на решениях краевых задач линейной теории упругости. Линейная теория упругости основана на предположении, что деформации малы по сравнению с единицей. Так как напряжения и деформации в окрестностях концов трещин и точек приложения сосредоточенных сил не ограничены по величине, то целесообразно подобные задачи решать с использованием уравнений нелинейной теории упругости. Этим обусловлена актуальность выполненных в диссертации исследований сингулярных задач на основе уравнений нелинейной теории упругости.

Поскольку точного закона упругости, связывающего напряжения с деформациями, в нелинейной теории упругости не существует (в линейной теории упругости есть закон Гука), для решения конкретных нелинейных задач используют различные математические модели материалов.

В диссертационной работе рассмотрены две модели гармонических материалов: материал Джона и полулинейный. Данные модели предложил F. John [1]. Оба материала относятся к классу гармонических материалов. В случае малых деформаций рассмотренные модели приводят к закону Гука. Комплексная формулировка нелинейной плоской задачи для материала Джона предложена в статье [2]. Дальнейшее развитие комплексного метода для этого материала дано в работах [3], [4]. Другую, рассматриваемую в работе модель, А. И. Лурье назвал полулинейным материалом [5]. Комплексная

формулировка уравнений нелинейной плоской задачи и методы решения были предложены в работах [6]-[8]. С математической точки зрения, неоценимое преимущество гармонических материалов состоит в том, что для этих моделей при решении нелинейных плоских задач упругости применимы методы комплексных функций. Эти методы позволяют получить точные аналитические решения сложных нелинейных задач о трещинах и сосредоточенных нагрузках, как это имеет место в линейной теории упругости, например, в монографии Н. И. Мусхелишвили [9]. Экспериментальными исследованиями подтверждено, что обе модели материала позволяют описать большие деформации реальных материалов, в частности резиноподобных [2].

Для материала Джона в работах [10]-[12] получен ряд важных результатов для плоскости с упругим эллиптическим включением. В частности, установлено, что номинальные напряжения и напряжения Коши постоянны в области включения, если на бесконечности заданы постоянные напряжения. При одноосном или двуосном сжатии плоскости, материал включения может терять устойчивость. В работах [8], [13]-[23] использован метод решения, основанный на введении функций скачков напряжений и деформаций на линии раздела материалов неоднородной плоскости и построены точные решения ряда задач о межфазных трещинах и сосредоточенных силах на линии раздела.

Фундаментальное исследование нелинейных и линейных задач теории трещин для однородных тел приводится в монографии Н. Ф. Морозова [24]. При решении задач о трещинах автор исследует напряженно-деформируемое состояние в окрестности трещины или в окрестности угловых вырезов, где внимание уделено окрестностям особых точек и определению главных членов асимптотики решений в указанных окрестностях. Приведены методики расчета коэффициентов интенсивности. Так для модели полулинейного материала рассмотрено напряженно-деформируемое состояние в окрестности угловой точки. Отмечается, что построенная асимптотика в старшем члене

имеет такой же характер, что и асимптотика решения классической задачи, однако следующие члены классической задачи и задачи для полулинейного материала — различаются. В [25] (Г. П. Черепанов) рассмотрены сингулярные краевые задачи для хрупких материалов, т. е. граничные задачи с особыми точками (бесконечно удаленная точка, угловая точка, коническая точка, точка разрыва граничных условий, точка приложения сосредоточенной силы и т. д.). Автором исследованы вопросы, связанные с прочностью и разрушением материалов, а именно с направлением развития трещин, нахождением коэффициентов интенсивности напряжений и размерами зон осцилляции у концов трещины и т. д.

Нелинейные задачи о трещинах рассмотрены в работах [26]-[34]. Для модели обобщенного неогуковского материала в работах [35]-[36] исследовано асимптотическое поведение напряжений в окрестности концов межфазной трещины. В [37] исследована задача сдвига плоскости для несжимаемого материала Муни—Ривлина. Нелинейные задачи о трещине для сжимаемого материала рассмотрены в [38]. В серии работ [39]-[50] выполнен анализ напряжений в окрестности конца трещины в резиноподобных материалах. Исследованы плоская деформация и плоское напряженное состояние для разных моделей нелинейно-упругого материала. Исследователями установлено, что характер сингулярности напряжений зависит от параметров упругости материала. Рассмотрены трещины в однородном и неоднородном материале. Используется гипотеза о разделе поля деформаций в окрестности конца трещины на области и делается вывод о разной асимптотике напряжений и деформаций в этих областях. При больших деформациях отсутствует осцилляция напряжений у концов межфазной трещины, а при растяжении пластины ее толщина у конца трещины стремится к нулю. Для модели полулинейного материала в монографии [51] методом комплексных потенциалов получены точные решения ряда задач нелинейной теории упругости о дислокациях и дисклинациях. В работах [52]-[53], используя асимптотические методы, изу-

чено плоское напряженное состояние плоскости с трещиной для двух моделей материала (Адамара и Огдена-Болла). Для модели неогуковского материала в [54]-[57] рассмотрены задачи о трещинах для однородных и неоднородных тел и проведены сравнения с результатами численного решения задач методом конечных элементов (МКЭ). В статье [58] рассмотрена задача о трещине для материала Муни-Ривлина при плоском напряженном состоянии. Решение уравнений равновесия было записано через функции напряжений Эри, приближенные значения которых были найдены асимптотическим методом. В работах [3], [59]-[60] приведены асимптотические разложения напряжений и деформаций у концов свободной трещины в двухкомпонентной плоскости. Трещина расположена внутри одной полуплоскости, а ее конец находится на линии раздела. Рассмотрена модель гармонического материала Джона. Отмечается отсутствие осцилляций в окрестности конца. Показатели сингулярности напряжений зависят от параметров материала и угла наклона трещины. В работе [3] получено глобальное решение плоской задачи о трещине для гармонического материала Джона, что позволило применить методы теории комплексных функций. Получены общие уравнения для межфазной трещины. Для однородной плоскости найдено точное аналитическое решение. В [60] проведен асимптотический анализ деформаций в окрестности конца трещины в однородной плоскости для той же модели материала. Целью работы автора было показать, что существует область, где материал теряет свойство эллиптичности при больших деформациях. Получены уравнения границ области потери эллиптичности. В работе [61] изучались поля напряжений и деформаций около конца трещины при одноосном растяжении для модели несжимаемого материала специального вида. Получено, что для этой модели система нелинейных дифференциальных уравнений может терять свойство эллиптичности при достаточно больших деформациях. Асимптотические вычисления показали, что потеря эллиптичности приводит к существованию двух кривых, исходящих из каждого конца трещины, на которых градиенты дефор-

мации и напряжения терпят разрыв. Точное глобальное решение нелинейной задачи плоской деформации о межфазной трещине для материала Джона было получено методом комплексных потенциалов Колосова—Мусхелишвили в работе [4]. В [14] исследована задача о межфазной трещине для случая равномерного давления на берегах. Впервые выяснилось, что существуют некоторые критические давления, пропорциональные модулю сдвига материала, превышение которых ведет к потере устойчивости и большим закритическим деформациям. Нелинейные задачи о сосредоточенной силе на границе полуплоскости исследованы в работах [62], [63] для разных моделей нелинейно упругого материала без использования комплексных функций.

Для полулинейного материала в работах [7]-[8], [13], [64]-[74] получен ряд важных результатов для композитной плоскости при действии сосредоточенной силы на межфазной линии и на границе полуплоскости, а также для плоскости с межфазной трещиной. В статьях [13] и [17] проведено сравнение аналитических решений задач о действии сосредоточенных сил для двух моделей материалов (Джона и полулинейного).

Решение сингулярной линейной плоской задачи о криволинейной трещине на линии раздела полуплоскостей из разных материалов представлено в монографии [75]. Предполагалось, что криволинейная трещина мало отличается от прямолинейной. При решении задачи применен метод малого параметра (метод возмущений) и получено аналитическое решение. Также в данной монографии приведен подробный обзор работ посвященных вопросам механики трещин.

Цель и задачи исследования. Целью работы является построение точных аналитических и численных решений нелинейных плоских задач теории упругости для гармонических материалов (Джона и полулинейного) при наличии сосредоточенных сил и межфазных трещин в неоднородных и однородных телах. Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Получение точных аналитических решений нелинейных задач о межфазных трещинах и сосредоточенных нагрузках для гармонических материалов.

2. Исследование асимптотического поведения напряжений и перемещений в окрестностях особых точек для указанных задач.

3. Вывод формул раскрытия берегов трещин и коэффициентов интенсивности напряжений (КИН).

4. Разработка алгоритмов для анализа и сравнения полученных результатов на языке Ру1Ьоп3 и программы для численного моделирования с использованием пакета РгееРеш++.

Научная новизна полученных результатов. Для двух моделей гармонических материалов (полулинейного и Джона) впервые получены точные аналитические решения нелинейных плоских задач теории упругости для неоднородных и однородных тел с трещинами и сосредоточенными нагрузками. Для указанных задач в окрестностях особых точек (концов трещин и точек приложения сил) построены асимптотические разложения напряжений и перемещений. В случае межфазных трещин получены формулы для коэффициентов интенсивности напряжений и раскрытия берегов трещин. Разработана программа в пакете РгееРеш++ численного решения методом конечных элементов задачи для плоскости с трещиной в случае модели полулинейного материала. Данный пакет, по-видимому, впервые применен к нелинейной задаче о трещине для полулинейного материала.

Все результаты, изложенные в оригинальной части диссертационной работы, получены впервые и являются новыми.

Практическая значимость. Следует отметить, что в литературе мало работ, посвященных решению нелинейных задач теории упругости для неоднородных материалов с межфазными трещинами и сосредоточенными нагрузками. Причем в большинстве работ использованы приближенные методы решения. Полученные в диссертации результаты имеют важное значение для

развития математических моделей и методов нелинейной теории упругости, и для решения проблем прочности композитных материалов с трещинами.

Методы исследования. Основными методами решения рассматриваемых нелинейных задач являются методы ТФКП, а также методы математического и компьютерного моделирования, численные методы.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается строгой математической постановкой краевых задач и применяемым математическим аппаратом. Достоверность полученных результатов обоснована тем, что найдены точные аналитические решения рассматриваемых нелинейных задач. В диссертационной работе использованы две модели гармонических материалов: материал Джона и полулинейный. Экспериментальными исследованиями других авторов доказано, что обе модели материала позволяют описать большие деформации реальных материалов, в частности резиноподобных.

Апробация результатов исследования. Результаты, полученные в диссертации, были доложены и обсуждены на симпозиумах, научных семинарах, заседаниях научных школ, различных конференциях, в том числе на Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике в Монреале, Канада (XXIV International Congress of Theoretical and Applied Mechanics. ICTAM-2016). Были сделаны устные доклады на Второй международной конференции «Деформирование и разрушение композитных материалов и конструкций» DFCMS-2016 (г. Москва, ИМАШ РАН, 2016 г.); 56-й научной конференции МФТИ: Всероссийской научной конференции «Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе» Всероссийской молодежной научно-инновационной конференции «Физико-математические науки: актуальные проблемы и их решения» (г. Москва, г. Долгопрудный, МФТИ, 2013 г.); Всероссийской научной школе для молодежи «Прикладные математика и физика: от фун-

даментальных исследований к инновациям» (г. Москва, г. Долгопрудный, МФТИ, 2014 г.); 58-й научной конференции МФТИ с международным участием (г. Москва, г. Долгопрудный, МФТИ, 2015 г.); Международном молодежном научном форуме «ЛОМОНОСОВ-2015» (г. Москва, МГУ, 2015 г.); Международной научной конференции по механике «Седьмые Поляховски-ие чтения» (СПб, СПбГУ, 2015 г.); Международной научной конференции по механике «Восьмые Поляховскиие чтения» (СПб, СПбГУ, 2018 г.); XLV international summer school-conference Advanced problems in mechanics. APM (Saint Petersburg, Russia, 2017); 44-й, 45-й, 46-й, 47-й, 48-й международных конференциях студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость» (СПб, СПбГУ, 2013 г., 2014 г., 2015 г., 2016 г., 2017 г.);

Выступления с постерными докладами: Young Researchers in Vacuum Micro/Nano Electronics (VMNE-YR) (Saint Petersburg, Russia, 2016); Young Researchers in Vacuum Micro/Nano Electronics (VMNE-YR) (Saint Petersburg, Russia, 2017);

По теме диссертации опубликована 21 работа [13], [15]-[23], [64]-[74], 3 из которых [13], [23], [64] опубликованы в журналах, входящих в Перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ, 3 работы [19], [71], [74] опубликованы в изданиях, индексируемых базами Web of Science и Scopus.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Точные аналитические решения нелинейных плоских задач (плоская деформация и плоское напряженное состояние) для неоднородных и однородных тел с межфазными трещинами и сосредоточенными нагрузками для двух моделей гармонических материалов (Джона и полулинейного).

2. Асимптотический анализ номинальных (условных) напряжений, истинных напряжений Коши и перемещений в окрестностях особых точек (концов трещин и точек приложения сил).

3. Формулы раскрытия берегов трещин и коэффициентов интенсивности номинальных напряжений (КИН).

4. Численное моделирование с использованием пакета FreeFem++ решения задачи о трещине для модели полулинейного материала.

5. Сравнение результатов, полученных автором аналитическими методами для двух моделей гармонических материалов, с решениями аналогичных линейных задач и результатами численного моделирования.

Личный вклад автора. Основные результаты, выносимые на защиту, получены диссертантом лично.

Структура и основное содержание работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы, включающего 82 наименования отечественных и зарубежных авторов. Объем составляет 126 страниц машинописного текста. Работа содержит 37 рисунков, 10 таблиц.

Во введении обоснована актуальность темы работы, практическая и теоретическая значимость, перечислены выносимые на защиту научные результаты диссертации и дан обзор литературы по теме диссертации. Отмечено, что значительный вклад в исследования проблем механики трещин внесли F. John, Н. Ф. Морозов, Г. П. Черепанов, А. И. Лурье, Л. М. Зубов, К. Ф. Черных, В. М. Мальков и др.

В первой главе представлены общие соотношения нелинейной теории упругости для плоской задачи (плоская деформация и плоское напряженное состояние), которые используются в диссертации. Отмечено, что для решения плоских задач для областей с межфазными трещинами и сосредоточенными нагрузками, где напряжения и деформации не ограничены по величине в окрестностях особых точек, целесообразно использовать уравнения нелинейной теории упругости, наиболее эффективными методами решения уравнений являются методы, основанные на теории комплексных функций.

Во второй главе найдены точные аналитические решения ряда задач для неоднородных и однородных тел с межфазными трещинами и сосредоточенными нагрузками для материала Джона. На языке Python3 разработаны и

реализованы алгоритмы в виде комплекса программ для анализа и сравнения результатов решений, использовались библиотеки: БйРу/Кишру — предназначена для выполнения научных и инженерных расчетов, Ма1рЫ;НЬ — предназначена для визуализации данных двумерной графикой. В задаче о действии сосредоточенной силы на межфазной линии неоднородной плоскости получены точные формулы для напряжений и перемещений. Построены асимптотики этих величин в окрестности точки приложения силы. Как частный случай, из задачи о сосредоточенной силе в неоднородной плоскости, получено аналитическое решение задачи о действии сосредоточенной силы на границе полуплоскости.

Получено точное решение задачи о межфазной трещине в неоднородной плоскости. Подробно исследован случай свободной трещины. Построены асимптотики напряжений у концов трещины. Найдены коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) и формулы раскрытия берегов трещины.

Третья глава посвящена решению плоских задач нелинейной теории упругости для полулинейного материала. С помощью методов комплексных функций найдены точные аналитические решения ряда задач для неоднородных и однородных тел с межфазными трещинами и сосредоточенными нагрузками. Представлены формулы для КИН и раскрытия берегов трещины. Построены асимптотики напряжений и перемещений в окрестности конца трещины и точки приложения силы. Как частные случаи, из задачи о сосредоточенной силе в неоднородной плоскости, получено решение задачи о действии сосредоточенной силы на границе полуплоскости и из задачи о межфазной трещине в неоднородной плоскости получено решение задачи о трещине в однородной плоскости.

Разработаны и реализованы алгоритмы для анализа и сравнения полученных результатов на языке Ру1Ьоп3 и программа для численного моделирования с использованием пакета РгееРеш++. Пакет предназначен для решения дифференциальных уравнений в частных производных с помощью метода ко-

нечных элементов (МКЭ). С помощью разработанной автором программы в РгееРеш++ проведены вычислительные эксперименты по растяжению однородной пластины с трещиной.

Четвертая глава посвящена сравнению результатов решений нелинейных плоских задач для двух моделей упругого материала (полулинейного и Джона), полученных в предыдущих главах, и с решениями аналогичных линейных задач. Проведено также сравнение результатов расчетов, полученных по аналитическому решению, с результатами численного моделирования в РгееРеш++ и результатами численного моделирования других авторов.

В заключении сформулированы основные результаты проведенного в диссертационной работе исследования.

Замечание. В каждой главе диссертации принята сквозная нумерация формул, таблиц и рисунков, первая цифра указывает номер главы. Чтобы не загромождать текст, указание параграфов в формулах опущено.

Глава 1. Общие соотношения плоской задачи

В данной главе представлены общие соотношения нелинейных плоских задач упругости. Из общих уравнений теории упругости можно выделить частные виды деформации (плоская деформация и плоское напряженное состояние). Краевые задачи для этих видов деформаций имеют меньшую размерность и поэтому проще решаются.

Для решения сложных сингулярных плоских задач для областей с межфазными трещинами и сосредоточенными нагрузками, где напряжения и деформации не ограничены по величине в окрестностях особых точек, наиболее эффективным является метод, основанный на применении теории комплексных функций.

1.1. Плоская деформация

Векторные базисы декартовых Xi, i = 1, 2,3 и цилиндрических (r,9,x3) координат отсчетной конфигурации обозначим ei, и (er, , e3) соответственно. Для обобщенной плоской деформации декартовы координаты точек тела отсчетной Xi и текущей ^ конфигураций удовлетворяют соотношениям

£i = i(xi,X2), i = 1, 2, & = Х3Л3, (1.1)

где Л3 = const — кратность удлинения в поперечном направлении x3.

Градиент деформации G = дарeaep и обратный к нему тензор имеют вид [76]

G = giieiei + gi2eie2 + g2i e2ei + g22e2e2 + Лзeзeз,

JG-1 = Лз(g22elel - gi2eie2 - g2ie2ei + g^e2) + ^e3e3,

где gij = d^i/dxj, i,j = 1, 2,3, кратности изменения площади кз = giig22 — gi2g2i и объема J = det G = Лзкз.

На параллельных плоскостях x3 = const отсутствуют поперечные сдвиги, координатная ось x3 является главным направлением деформации.

Рассмотрим уравнения равновесия (при отсутствии объемных сил) для тензора номинальных (условных) напряжений S = sa¡eeae¡3 и уравнения совместности для градиента деформации G = gapeaep [76]

div S = 0, rot GT = 0. (1.2)

Граничные условия будут получены позже, когда перейдем к решению конкретных задач.

Запишем уравнения (1.2) для плоской задачи в декартовых координатах

(s11)1 + (s21 )2 = 0, (s12) 1 + (s22)2 = °

/ / / / V * /

(g22)1 - (g21)2 = 0, (g12)1 - (gn)2 = 0,

штрих и индекс внизу означают частные производные по соответствующим декартовым координатам отсчетной конфигурации (x1,x2). В полярных координатах (r, в) эти уравнения таковы

(rsrr)Г + (s0r)e - see = 0, (rsre)r + (see)в + s0r = 0,

, , , , (1.4)

(rgee)r - (ger)e - grr = 0, (rgre)r - (grr)e + ger = 0.

1.2. Плоское напряженное состояние

Уравнения плоского напряженного состояния строят для пластины малой толщины [77]. Координаты точек текущей конфигурации задают в виде (1.1), где параметр Л3 не константа, а неизвестная функция Л3 = Лз(ж1,ж2). Формулы (1.1) в случае плоского напряженного состояния являются приближенными и приводят к противоречиям с уравнениями теории упругости. В частности, условия отсутствия касательных напряжений на лицевых поверхностях пластины не выполняются. Однако касательные напряжения равны нулю на срединной поверхности и для тонкой пластины эти напряжения будут малыми величинами всюду, по сравнению с нормальными напряжениями.

Уравнения совместности в формулах (1.3), (1.4) являются точными для обеих плоских задач. Уравнения равновесия для плоского напряженного состояния в общем случае не верны. Однако для рассматриваемых в работе моделей материала напряжения 531 = 532 = 0, поэтому уравнения (1.3), (1.4) применимы в обеих задачах.

1.3. Уравнения плоской задачи в комплексной форме

Уравнения равновесия и уравнения совместности деформаций плоской задачи в комплексной форме имеют вид [78]

(511 + ¿512)1 + ¿(522 - ¿521)2 = 0, , ч

(1.5)

(#22 - ¿012)1 + ¿(011 + ¿021)2 = 0, где 5 у — компоненты тензора номинальных напряжений, 0у — компоненты градиента деформации, ¿, ^ = 1, 2. В случае полярных координат

I !

[т(вгг + ¿5т0)] г + ¿(500 - ¿Ввт)в - (500 - ¿50г) = 0, г п| | (1.6)

[т(000 - ¿0т0)\ т + ¿(0тт + ¿00т)0 - (0тт + ¿00т) = 0.

Введем комплексные переменные отсчетной и текущей конфигураций г = х1 + ¿х2, Z = £1 + ¿£2 и комплексную функцию номинальных напряжений о = о"! + ¿02. Уравнения (1.5), (1.6) тождественно удовлетворяются, если подставить в них выражения

(1.7)

д0 д0 д0 д0

Sii + iSi2 = ^--, S22 — iS2i = ^ + ,

dz dz dz dz

+. dZ + dZ . dZ dZ

gii + ig2i = + , g22 — igi2 = — ^,

dz dz dz dz

d0 _2i0 д0 d0 _2i0 d0

Srr + iSr0 = ~--e —, S00 — isr0 = ^ + e —,

dz dz dz dz

g + ig = dZ + e—2i0dZ g ig = dZ e—2i0dZ

grr + ig0r — т; г e —, g00 — igr0 = —--e —.

dz dz dz dz

Комплексные функции Z(z, z) и 0(z, z) находятся из закона упругости и граничных условий задачи.

Из формул (1.7) получим

дС

дг

д(

еш =

дг

911 + 922 + %21 - д12)

ег", (1.8)

V(911 + 922)2 + (921 - 912)2 ' где ш является углом поворота окрестности точки среды в результате деформации [78].

Производные по декартовым и полярным координатам выражаются через производные по комплексным переменным с помощью формул

д д ^ д д , ( д д \

дх1 дг дг дх2 \дг дг/

— = еге— + е-*—, — = г (егв— - е-£—^ . дг дг дг' тдО \ дг дг у

Для тензоров условных напряжений 8, истинных напряжений Коши X и градиента деформации С имеет место соотношение

8 = С-1 • ЗТ,

где 7 — кратность изменения объема, которая равна

7 = С = Лз(911922 - 912921). (1.9)

Здесь Л3 — кратность удлинения в направлении нормали к плоскости. Отсюда получим зависимость между векторами напряжений

= е^ • 8 = е • С-1 • ЗТ = х^.

Кратности изменения площади находятся из равенства к = |е^ • ЗС-1|,

К1 = Лз\/922 + 922, К2 = Лз\/921 + 921. (1.10)

Для истинных напряжений Коши получим формулы

К1(^11 + ¿¿12) = 511 + ¿512, К2(¿22 - ¿¿21 ) = ^22 - ¿521. (1.11)

Глава 2. Моделирование нелинейной деформации неоднородной плоскости с межфазными трещинами и сосредоточенными нагрузками гармоническим

материалом Джона

В данной главе рассмотрены плоские задачи (плоская деформация) нелинейной теории упругости для гармонического материала Джона. Применение этой модели позволило воспользоваться методами теории комплексных функций и получить точные аналитические решения ряда задач для неоднородных (композитных) тел с межфазными трещинами и сосредоточенными нагрузками.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Доманская Татьяна Олеговна, 2019 год

К± - -

Отметим, что для данных моделей материалов КИН полностью совпадают.

Коэффициенты интенсивности напряжений линейной задачи о трещине имеют такой же вид.

Приведем формулы раскрытия берегов трещины при одноосном растяжении плоскости напряжением й^.

Материал Джона — формула (2.37):

дад) - й^к"У1 - ¿2,

плоская деформация

К • - .

М

Полулинейный материал — формулы (3.41), (3.42):

дад) - й^к- £2,

плоская деформация

г^* 1 - V

К* --,

М

плоское напряженное состояние

1

К * -

М(1 + V)'

На рисунке 4.2 представлены графики раскрытия берегов трещины в однородной плоскости при напряжениях - 40.5 кг/см2 (а)-(Ь), - 90 кг/см2 (c)-(d). Параметры материалов для однородной плоскости: м - 10 кг/см2, V - 0.48.

=40.5 1

Л«2 4.2ДС.И ........

•5,

22 -чи.и кг ¡СМ 6

щ(см) Ди2 2.Щс* ........

«2 '---N

«1 1 ^--->

-41. ....... —4

-6-1-1-'-1-1-- -6

-3-2-10 1 2 3 -3-2-10 1 2 3

6 4 2 0 -2 -4 -6

щ (см) Дм, 2.711 си .....

&

V_^

-3-2-10 1 2 3

(а)

(Ь)

(с)

(а)

Рис. 4.2. Раскрытие берегов трещины Аи2 для материала Джона ((а), (с): плоская деформация) и полулинейного материала ((Ь), (а): плоская деформация, плоское напряженное состояние).

Формулы раскрытия трещины линейной задачи имеют вид [75]

Ам2(£) = ^КV! - ¿2,

плоская деформация

К * =

плоское напряженное состояние

К * =

2(1 - V)

М

2

м(1 + V)'

Таблица 4.3. Значение коэффициента К *

Плоская деформация Плоское напряженное состояние

Материал Джона 0.104 —

Полулинейный материал 0.052 0.068

Линейная задача 0.104 0.135

Формулы для раскрытия трещины нелинейной и линейной имеют одинаковый вид зависимости от напряжения на бесконечности. При плоской де-

формации для нелинейной (материал Джона) и линейной задач они полностью совпадают, для другой модели материала (полулинейный материал) — отличаются постоянным множителем.

На рисунке 4.3 - рисунке 4.5 представлены результаты аналитического (рис. 4.3 (а), рис. 4.4 (а) и рис. 4.5 (а)) и численного (рис. 4.3 (Ь), рис. 4.4 (Ь) и рис. 4.5 (Ь)) решений нелинейных плоских задач о раскрытии берегов трещины при различных нагрузках на верхней и нижней границе однородной пластины при плоской деформации для модели полулинейного материала. Параметры системы: Л = 240 кг/см2, д = 10 кг/см2, V = 0.48.

2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

(а) (Ь)

Рис. 4.3. Раскрытие берегов трещины при й22 = 2 кг/см2.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

(а) (Ь)

Рис. 4.4. Раскрытие берегов трещины при й22 = 4 кг/см2.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

(а) (Ь)

Рис. 4.5. Раскрытие берегов трещины при й22 = 8 кг/см2.

Таблица 4.4. Результаты аналитического и численного решений нелинейных плоских задач.

Аналитическое решение Численное решение

322 = 2 кг/см2 Аи2 = 0.198 см Аи2 = 0.220 см

322 = 4 кг/см2 Аи2 = 0.360 см Аи2 = 0.410 см

з22 = 8 кг/см2 Аи2 = 0.60 см Аи2 = 0.690 см

На рисунке 4.7 и рисунке 4.8 представлены результаты численных экспериментов, выполненных на пластине с трещиной (разрезом). Был использован метод конечных элементов на основе вариационной постановки нелинейной краевой задачи (начало возможных перемещений).

Рассматривается нелинейная плоская задача растяжения пластины с трещиной. Область занимаемая пластиной: -2 < х\ < 2, -2 < х2 < 2, где х\,х2 -декартовы координаты (рис. 4.6). Граничные условия имеют следующий вид:

при XI = ±а имеем йц = в12 = 0, при х2 = ±Ь имеем и2 = А, в21 = 0. Здесь и - перемещения, з^ - напряжения, г,] = 1, 2. Смещение А является заданной величиной, которая варьируется. Величина А задает перемещения краев пластины в см.

Ь

-а -(. -Ь (. а

Рис. 4.6. Однородная плоскость с трещиной.

На рисунках 4.7 (а) и 4.8 (а) приведены расчеты автора. Трещина моделируется эллипсом с малым отношением полуосей к = 0.02. Трещине соответствует промежуток: —1 < XI < 1, -0.02 < х2 < 0.02. На рисунке 4.7 (а) при параметрах материала д = 10 кг/см2, Я = 25000 кг/см2 раскрытие трещины составляет 0.60 см. На рис. 4. 8 (а) при параметрах материала д =10 кг/см2, Я = 2500 кг/см2 раскрытие трещины составляет 0.72 см. На рисунке 4.8 (а) указано максимальное раскрытие берегов трещины, которого удалось достичь при указанных параметрах задачи. При дальнейшем растяжении пластины процесс становится неустойчивым.

На рисунках 4.7 (Ь) и 4.8 (Ь) приведены расчеты С. Е. Мансуровой, С. А. Кабрица и др. из отчета по второму этапу проекта № 2.1.1/ 4504 "Исследование сингулярных проблем нелинейной упругости эластомерных ма-териалов"аналитической ведомственной программы "Развитие научного потенциала высшей школы РФ (2009-2010 г.)"С.-Петербург, 2009 г. 112 с. С. Е. Мансурова и др. рассматривали одну четверть пластины, имея ввиду, что оси декартовых координат являются осями симметрии краевой задачи (рис. 4.6): 0 < XI < а, 0 < х2 < Ь. Граничные условия на линии XI = 0 : и1 = 0, й21 = 0, остальные граничные условия имеют вид: трещине соответствует промежуток —с < х1 < с,х2 = 0, при х2 = 0, —с < х1 < с : й22 = й21 = 0, при х2 = 0, |х1| > с : й21 = 0, и2 = 0.

А = 0.7

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

(а) (Ь)

Рис. 4.7. Раскрытие берегов трещины при модуле объемного сжатия Я = 25000 кг/см2.

На рис. 4. 7 (Ь) при параметрах материала д = 10 кг/см2, Я = 25000 кг/см2 раскрытие трещины составляет 0.58 см. На рис. 4. 8 (Ь) при параметрах материала д =10 кг/см2, Я = 2500 кг/см2 раскрытие трещины составляет 0.76 см. На рис. 4. 8 (Ь) указано максимальное раскрытие берегов трещины, дальше С. Е. Мансурова и др. сообщают, что процесс становится неустойчивым и не гарантирует нужной точности.

2.5 -;-

2

1шВж

чшвЙЯШ

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

(а)

(Ь)

Рис. 4.8. Раскрытие берегов трещины при модуле объемного сжатия Я 2500 кг/см2.

При сравнении результатов численного моделирования с результатами численного моделирования других авторов установлено, что полученные результаты существенно не различаются, причем в обоих расчетах удалось достичь одинакового максимального раскрытия трещины для пластины размера 4x4 см.

4.5. Выводы

В задачах о действии сосредоточенной силы установлено, что для двух моделей материалов (материал Джона и полулинейный материал) номинальные напряжения имеют особенность вида 1/г при г ^ 0, а перемещения — 1п г

в окрестности точки приложения силы (при г ^ 0). Такую же особенность имеют напряжения и перемещения аналогичных линейных задач. Коэффициенты сингулярных членов в некоторых случаях совпадают, в других имеют отличия. Например, в нелинейной задаче Фламана главные члены асимптотических разложений номинальных напряжений для двух материалов совпадают, а в перемещениях отличаются в два раза. Истинные напряжения Коши не имеют особенности в полюсе.

Сравнение с решением линейной задачи Фламана [75] показало, что напряжения и перемещения имеют одинаковый вид особенности в окрестности точки приложения силы: напряжения — 1/г, перемещения — 1п г. В то же время они и принципиально различаются: в линейных задачах только радиальные напряжения отличны от нуля, а в нелинейных и касательные напряжения не равны нулю. Кроме того, коэффициенты при сингулярных членах в нелинейных и линейных задачах различны.

В задачах о межфазных трещинах установлено, что для двух моделей материалов (материал Джона и полулинейный материал) номинальные напряжения имеют особенность вида 1/\/Т при г ^ 0. Истинные напряжения Коши не имеют особенности у концов трещины. Коэффициенты интенсивности номинальных напряжений и формулы раскрытия берегов трещины нелинейной (материал Джона) и линейной задач при одноосном растяжении плоскости полностью совпадают, а для полулинейного материала — отличаются. Напряжения и перемещения содержат осцилляцию в окрестностях концов межфазной трещины, как и в линейной задаче.

В задачах о трещинах в однородной плоскости установлено, что для двух моделей материалов (материал Джона и полулинейный материал) номинальные напряжения имеют особенность вида 1/\/Т при г ^ 0. Истинные напряжения Коши не имеют особенности у концов трещины. КИН для двух моделей материалов в нелинейных и линейных задачах полностью совпадают. Формулы раскрытия трещины нелинейной (материал Джона) и линейной

задач совпадают. Для полулинейного материала формулы раскрытия берегов трещины отличаются постоянным множителем от формул раскрытия трещины в аналогичной линейной задаче.

Для однородной пластины с трещиной установлено, что результаты автора, полученные аналитическими методами, и результаты численного решения в РгееРеш++ существенно не отличаются.

Заключение

В диссертационной работе найдены точные аналитические решения плоских задач нелинейной теории упругости (плоская деформация и плоское напряженное состояние) для неоднородной (композитной) плоскости с трещинами и сосредоточенными силами. Механические свойства тел описываются моделями полулинейного материала и материала Джона. Использование моделей гармонического материала позволило применить теорию комплексных функций и получить точные аналитические решения краевых задач. В их числе задача о скачках напряжений и деформаций на межфазной линии.

Решения краевых задач о сосредоточенных силах, действующих на границе полуплоскости и межфазной границе двухкомпонентной плоскости, получены как частный вид функций скачков. Исходя из общих решений, построена асимптотика напряжений и перемещений в окрестности точки приложения силы. Установлено, что для двух моделей материалов номинальные напряжения имеют особенность 1/г при г ^ 0, а перемещения — 1п г в окрестности точки приложения силы. Такую же особенность имеют напряжения и перемещения аналогичных линейных задач. Истинны напряжения Коши не имеют особенности в полюсе.

Решения краевых задач о межфазных трещинах в неоднородных телах показали, что для двух моделей нелинейно упругих материалов номинальные напряжения имеют особенность 1 /д/Т при г ^ 0. Истинные напряжения Ко-ши не имеют особенности в окрестности концов трещины при плоской деформации, а при плоском напряженном состоянии обращаются в нуль у концов трещины. Коэффициенты интенсивности номинальных напряжений и формулы раскрытия берегов трещины при одноосном растяжении для модели материала Джона полностью совпали с формулами в аналогичной линейной задаче. Номинальные напряжения и перемещения содержат осциллирующие слагаемые, как и в аналогичных линейных задачах.

В задаче о трещине в однородной плоскости для двух моделей материалов установлено, что номинальные напряжения имеют особенность 1/\/г при г ^ 0. Истинные напряжения Коши не имеют особенности в окрестности концов трещины при плоской деформации, а при плоском напряженном состоянии обращаются в нуль у концов трещины. Коэффициенты интенсивности номинальных напряжений нелинейных задач полностью совпадают с КИН аналогичной линейной задачи. Формулы раскрытия берегов трещины для материала Джона совпадают с формулами раскрытия берегов трещины аналогичной линейной задачи.

По результатам проведенных исследований могут быть даны рекомендации для оценки прочности и разрушения композитных материалов и конструкций с трещинами в условиях больших деформаций.

Основные результаты проведенного в диссертационной работе исследования:

1. Для двух моделей гармонических материалов (Джона и полулинейного) получены точные аналитические решения плоских нелинейных задач (плоская деформация и плоское напряженное состояние) для неоднородных и однородных тел с межфазными трещинами и сосредоточенными нагрузками.

2. Построены асимптотические разложения номинальных напряжений, истинных напряжений Коши и перемещений в окрестностях особых точек.

3. Получены формулы раскрытия берегов трещины под действием внешней нагрузки и вычислены коэффициенты интенсивности номинальных напряжений (КИН).

4. Разработана программа с использованием пакета РгееРеш++ для решения задачи о трещине для модели полулинейного материала. Выполнены вычислительные эксперименты для однородной пластины с трещиной.

5. Проведено сравнение результатов, полученных автором аналитическими методами для двух моделей гармонических материалов, с решениями аналогичных линейных задач и результатами численного моделирования.

Список литературы

1. John F. Plane strain problems for a perfectly elastic material of harmonic type // Commun. Pure and Appl. Math. - 1960. - V. 13. - № 2. - P. 239-296.

2. Varley E., Cumberbatch E. Finite deformation of elastic materials surrounding cylindrical holes // J. of Elasticity. — 1980. — Vol. 10. — № 4.

- P. 341-405.

3. Ru C. Q. On complex-variable formulation for finite plane elastostatics of harmonic materials // Acta Mechanica. - 2002. - Vol. 156. - № 3-4.

- P. 219-234.

4. Мальков В. М., Малькова Ю. В. Плоская задача нелинейной упругости для гармонического материала // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия. - 2008. - Вып. 3. - С. 114-126.

5. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. - М.: Наука, 1980.

- 512 с.

6. Черных К. Ф., Литвиненкова З. Н. Теория больших упругих деформаций. - Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1988. - 256 с.

7. Мальков В. М., Малькова Ю. В. Плоские задачи упругости для полулинейного материала // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия. - 2012. - Вып. 3. - С. 93-106.

8. Мальков В. М., Малькова Ю. В. Плоские задачи о сосредоточенных силах для полулинейного материала // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2013.

- Вып. 3. - С. 83-96.

9. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 708 с.

10. Ru C. Q., Schiavone P., Sudak L. J., Mioduchowski A. Uniformity of stresses inside an elliptic inclusion in finite plane elastostatics // Intern. J. of Nonlinear mechanics. - 2005. - Vol. 38. - № 2-3. - P. 281-287.

11. Мальков В. М., Малькова Ю. В. Моделирование нелинейной деформации плоскости с эллиптическим отверстием или включением гармоническим материалом Джона // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер.1: Математика. Механика. Астрономия. - 2017. - Т. 4 (62). - Вып. 1. - С.121-130.

12. V. M. Mal'kov and Yu. V. Mal'kova. Modeling Nonlinear Deformation of a Plate with an Elliptic Inclusion by John's Harmonic Material // ISSN 1063-4541, Vestnik St. Petersburg University, Mathematics. - 2017. - Vol. 50.

- Issue 1. - P. 74-81.

13. Мальков В. М., Малькова Ю. В., Доманская Т. О. Анализ напряжений двухкомпонентной плосоксти и полуплоскости при действии сосредоточенной силы для двух моделей гармонического материала // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2016. - Вып. 1. - С. 38-52.

14. Мальков В. М., Малькова Ю. В., Степанова В. А. Двухкомпонент-ная плоскость из материала Джона с межфазной трещиной, нагруженной давлением // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия. - 2013. - Вып. 3. - С. 113-125.

15. Доманская Т. О., Мальков В. М. Сосредоточенная сила на межфазной границе двух полуплоскостей из материала Джона // Процессы управления и устойчивость. - 2015. - Т. 2. - № 1. - С. 143-148.

16. Доманская Т. О. Нелинейная задача о сосредоточенной силе в двух-компонентной плоскости из материала Джона // Материалы Международного молодежного научного форума "Л0М0Н0С0В-2015"[Электронный ресурс] / Отв. ред. А. И. Андреев, А. В. Андриянов, Е. А. Антипов.

- М.: МАКС Пресс. - 2015. - С. 1.

17. Доманская Т. О. Нелинейная задача о действии сосредоточенной силы для некоторых гармонических материалов // Тезисы 58-й научной конференции МФТИ с международным участием [Электронный ресурс]. Изд-во: МФТИ. - 2015. - С. 1-10.

18. Доманская Т. О., Мальков В. М., Малькова Ю. В. Анализ напряженного состояния пластины с межфазной трещиной для гармонического материала Джона // Процессы управления и устойчивость. — 2016. — Т. 3.

— № 1. - С. 168-172.

19. Domanskaya T. O., Malkov V. M., Malkova Yu. V. Singular problems for bi-material plane of John's harmonic material // 2016. Young Researchers in Vacuum Micro/Nano Electronics (VMNE-YR). — 2016. — P. 1-6. IEEE. DOI: 10.1109/ VMNEYR.2016.7880401.

20. Доманская Т. О., Мальков В. М., Малькова Ю. В. Нелинейная задача для композитной пластины с межфазной тещиной для гармонического материала Джона // Труды Второй междунар. конф. "Деформирование и разрушение композитных материалов и конструкций". (DFCMS-2016). Изд-во: ИМАШ, РАН, Москва. — 2016. — С. 33-35.

21. Tatiana Domanskaia, Venyamin Malkov, Yulia Malkova. Bi-material plane of John's harmonic material with a point force at interface // XXIV Intern. Congress of Theoret. and Appl. Mech. (ICTAM). — 2016. — P. 1958-1959.

22. Domanskaya T. O., Malkov V. M., Malkova Yu. V. The analysis of stressstrain state of a composite plane with interface crack for John's harmonic material // XLV international summer school-conference Advanced problems in mechanics (APM). — 2017. — P. 123-130.

23. Доманская Т. О., Мальков В. М., Малькова Ю. В. Математическое моделирование деформации композитной плоскости с межфазной трещиной для гармонического материала Джона // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2017.

— Том 13. — Вып. 4. — С. 372-383.

24. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. — М.: Наука, 1984. — 256 с.

25. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. — М.: Наука, 1974.

— 640 с.

26. Wong F. S., Shield R. T. Large plane deformations of thin elastic sheets of Neo-Hookean material // ZAMP. - 1969. - Vol. 20. - № 2. - P. 176-199.

27. Knowles J. K., Sternberg E. An asymptotic finite deformation analysis of the elastostatic field near the tip of a crack // J. of Elasticity. — 1973.

- Vol. 3. - № 2. - P. 67-107.

28. Knowles J. K., Sternberg E. Finite-deformation analysis of the elastostatic field near the tip of a crack: reconsideration and higher-order results // J. of Elasticity. - 1974. - Vol. 4. - № 3. - P. 201-233.

29. Knowles J. K., Sternberg E. On the singularity induced by certain mixed boundary conditions in linearized and nonlinear elastostatics // Intern. J. of Solids and Structures. - 1975. - Vol. 11. - № 11. - P. 1173-1201.

30. Knowles J. K. The finite anti-plane shear field near the tip of a crack for the class of incompressible elastic solids // Int. J. of Fracture. - 1977.

- Vol. 13. - № 5. - P. 611-639.

31. Knowles J. K., Sternberg E. Discontinious deformation gradients near the tip of a crack in finite anti-plane shear: an example // J. of Elasticity. - 1980.

- Vol. 10. - № 1. - P. 81-110.

32. Knowles J. K. A nonlinear effect in mode-II crack problems // Eng. Fract. Mech. - 1981. - Vol. 15. - № 3-4. - P. 469-476.

33. Knowles J. K., Sternberg E. Anti-plane shear fields with discontinuous gradients near the tip of a crack in finite elastostatics // J. of Elasticity. - 1981.

- Vol. 11. - № 2. - P. 129-164.

34. Knowles J. K., Srernberg E. Large deformations near a tip of an interface-crack between two Neo-Hookean sheets // J. of Elasticity. - 1983. - Vol. 13.

- № 3. - P. 257-293.

35. Herrmann J. M. An asymptotic analysis of finite deformations near the tip of an interface-crack // J. of Elasticity. - 1989. - Vol. 21. - № 3.

- P. 226-269.

36. Herrmann J. M. An asymptotic analysis of finite deformations near the

tip of an interface-crack. Part II //J. of Elasticity. — 1992. — Vol. 29. — № 3.

— P. 203-241.

37. Stephenson R. A. Equilibrium fields near the tip of a crack for finite plane strain of incompressible elastic materials // J. of Elasticity. — 1982.

— Vol. 12. — № 1. — P. 65-99.

38. Carroll M. M. Finite strain solutions in compressible isotropic elasticity // J. of Elasticity. — 1988. — Vol. 19. — № 1. — P. 65-92.

39. Gao Y. C. Elastostatic crack tip behavior for a rubber-like material // Theoretical and Applied Fracture mechanics. — 1990. — Vol. 14. — № 3. — P. 219-231.

40. Gao Y. C., Shi Z. F. Large strain field near an interface crack tip // Int. J. of Fracture. — 1994. — Vol. 69. — № 3. — P. 269-279.

41. Gao Y. C., Durban D. The crack tip field in a rubber sheet // European J. of Mech., A/Solids. — 1995. — Vol. 14. — № 5. — P. 665-677.

42. Gao Y. C., Gao T. S. Notch-tip fields in rubber-like materials under tension and shear mixed load // Int. J. of Fracture. — 1996. — Vol. 78.

— № 3-4. — P. 283-298.

43. Gao Y. C., Liu B. Stress singularity near the notch tip of a rubber like specimen under tension // European J. of Mech., A/Solids. — 1996. — Vol. 15.

— № 2. — P. 199-211.

44. Gao Y. C. Large deformations field near a crack tip in a rubber-like material // Theoretical and Applied Fracture mechanics. — 1997. — Vol. 26.

— № 3. — P. 155-162.

45. Wang Z. Q., Gao Y. C. Large strain field near a notch tip under tension // Theor. and Appl. Fract. Mech. — 1997. — Vol. 26. — P. 163-168.

46. Gao Y. C., Gao T. S. Mechanical behavior of two kinds of rubber materials // Int. J. of Solids and Structures. — 1999. — Vol. 36. — № 36. — P. 5545-5558.

47. Gao Y. C., Gao T. S. Analytical solution to a notch tip field in rubber-like materials under tension // Int. J. of Solids and Structures. — 1999.

- Vol. 36. - № 36. - P. 5559-5571.

48. Gao Y. C., Zhou L. M. Interface crack tip field in a kind of rubber materials // Int. J. of Solids and Structure. - 2001. - Vol. 38. - № 34-35.

- P. 6227-6240.

49. Gao Y. C., Chen S. H. Large strain field near a crack tip in a rubber sheet // Mech. Res. Commun. - 2001. - Vol. 28. - № 1. - P. 71-78.

50. Gao Y. C. Analysis of the interface crack for rubber-like materials //J. of Elasticity. - 2002. - Vol. 66. - № 1. - P. 1-19.

51. Zubov L. M. Nonlinear Theory of Dislocactions and Disclinations in Elastic Bodies. - Berlin: Springer, 1997.

52. Le K. Ch. On the singular elastostatic field induced by a crack in Hadamard material // Quart. J. of Mech. and Appl. Math. - 1992. - Vol. 45. - № 1.

- P. 101-117.

53. Le K. Ch., Stumpf H. The singular elastostatic field due to a crack in rubber-like materials // J. of Elasticity. - 1993. - Vol. 32. - № 3. - P. 183-222.

54. Geubelle P. H., Knauss W. G. Finite strains at the tip of a crack in a sheet of hyperelastic material: I. Homogeneous case // J. of Elasticity. - 1994.

- Vol. 35. - № 1-3. - P. 61-98.

55. Geubelle P. H., Knauss W. G. Finite strains at the tip of a crack in a sheet of hyperelastic material: II. Special bimaterial case // J. of Elasticity.

- 1994. - Vol. 35. - № 1-3. - P. 99-138.

56. Geubelle P. H., Knauss W. G. Finite strains at the tip of a crack in a sheet of hyperelastic material: III. General bimaterial case // J. of Elasticity.

- 1994. - Vol. 35. - № 1-3. - P. 139-174.

57. Geubelle P. H. Finite deformation effects in homogeneous and interfacial fracture // Int. J. of Solids and Structures. - 1995. - Vol. 32. - № 6-7.

- P. 1003-1016.

58. Tarantino A. M. Thin Hyperelastic sheets of compressible material: Field equations, airy stress function and an application in fracture mechanics // J. of

Elasticity. - 1996. - Vol. 44. - № 1. - P. 37-59.

59. Ru C. Q. Finite strain singular field near the tip of a crack terminating at a material interface // J. of Math. and Mech. Solids. — 1997. — Vol. 2.

- № 1. - P. 49-73.

60. Ru C. Q. Non-elliptic deformation field near the tip of a mixed-mode crack in a compressible hyperelastic material // Int. J. of Non-Linear Mech.

- 2003. - Vol. 38. - № 4. - P. 521-530.

61. Abeyaratne R., Yang J. S. Localized shear deformations near the tip of a mode-I crack // J. of Elasticity. - 1987. - Vol. 17. - № 2. - P. 93-112.

62. Мальков В. М., Малькова Ю. В. Исследование нелинейной задачи Фламана // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2006. - № 5. - С. 68-78.

63. Мальков В. М., Малькова Ю. В. Анализ сингулярности напряжений в нелинейной задаче Фламана для некоторых моделей материала // Прикладная математика и механика. - 2008. - Т. 72. - Вып. 3. - С. 453-462.

64. Доманская Т. О., Мальков В. М., Малькова Ю.В. Математическое моделирование больших деформаций композитной плоскости с межфазной трещиной для полулинейного материала // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2018.

- Т. 14. - Вып. 2. - С. 86-99.

65. Доманская Т. О., Мальков В. М. Задача Мичела для полулинейного материала // Процессы управления и устойчивость: Труды 44-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. Н. В. Смирнова, Т. Е. Смирновой. - СПб.: Изд-во СПбГУ. - 2013. - С. 193-197.

66. Доманская Т. О., Мальков В. М. Задача Мичела для полулинейного материала // Материалы научно-практической конференции. Изд-во: Ульяновск, SIMJET. - 2013. - С. 56-59.

67. Доманская Т. О., Мальков В. М. Плоская задача Мичела для полулинейного материала // Научное творчество XXI века: Сб. трудов по итогам VII Международной научно-практической конференции студентов, аспиран-

тов и молодых ученых / под ред. Я. А. Максимова. — Красноярск: Научно-инновационный центр. — 2013. — С. 306-312.

68. Доманская Т. О. Плоская задача Мичела для полулинейного материала // Труды 56-й научной конференции МФТИ: Всероссийской научной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе Всероссийской молодежной научно-инновационной конференции "Физико-математические науки: актуальные проблемы и их решения". Аэрофизика и космические исследования. Изд-во: МФТИ. — 2013. — Т. 1. — С. 30-31.

69. Доманская Т. О., Мальков В. М. Нелинейная задача о сосредоточенной силе на межфазной границе двух полуплоскостей // Процессы управления и устойчивость: Труды 45-й международной конференции аспирантов и студентов / под ред. Н. В. Смирнова, Т. Е. Смирновой. — СПб.: Изд-во СПбГУ. — 2014. — С. 123-128.

70. Доманская Т. О., Мальков В. М. Нелинейная задача о сосредоточенной силе на межфазной границе двух полуплоскостей // Седьмые Поля-ховские чтения: Тезисы докладов Международной научной конференции по механике. — М.: Издатель И. В. Балабанов. — 2015. — С. 169.

71. Domanskaya T. O., Malkov V. M. The state of stress in a vicinity of the concentrated force on an interface of bi-material plate // International Conference on Mechanics - Seventh Polyakhov's Reading. — 2015. — P. 1-4. IEEE. DOI: 10.1109/ Polykhov. 2015. 7106724. 2015.

72. Доманская Т. О., Мальков В. М., Малькова Ю. В. Анализ напряженного состояния плоскости с межфазной трещиной для полулинейного материала // Процессы управления и устойчивость. — 2017. — Т. 4. — № 1. — С. 101-105.

73. Т. О. Доманская, В. М. Мальков, Ю. В. Малькова. Неоднородная плоскость с межфазной трещиной для модели полулинейного материала. Тезисы докладов Международной научной конференции по механике, VIII -

Поляховские чтения. - СПб.: Изд-во СПбГУ. - 2018. - С. 199-200.

74. T. O. Domanskaya, V. M. Malkov, and Yu. V. Malkova. Bi-material plane with interface crack for the model of semi-linear material // International Conference on Mechanics - Eighth Polyakhov's Reading. AIP Conference Proceedings 1959, 070009. - 2018. - P. 1-8. DOI: 10.1063/1.5034684.

75. Малькова Ю. В. Некоторые задачи для двухкомпонентной плоскости с криволинейными трещинами. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008.

- 160 с.

76. Мальков В. М. Основы математической нелинейной теории упругости. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. - 216 с.

77. Новожилов В. В. Теория упругости. - Л.: Судпромгиз, 1958.

- 370 с.

78. Мальков В. М. Введение в нелинейную упругость. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2010. - 276 с.

79. Ogden R. W. Nonlinear elastic deformations. Ellis Horwood, Chichester and John Wiley, 1984. - 544 p.

80. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. - М.: Наука, 1957.

- 576 с.

81. Hecht F. FreeFem++ [Электронный ресурс]: Version 3.58-1. URL: http://www.freefem.org/ff++/ftp/freefem++doc.pdf

(дата обращения: 17.09.2017)

82. Лукашевич А. А. Современные численные методы строительной механики: Учебное пособие. - Хабаровск: Изд-во Хабар. гос. техн. ун-та, 2003.

- 135 с.