Фундаментальные оператор-функции вырожденных дифференциальных операторов высокого порядка в банаховых пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Гражданцева, Елена Юрьевна

• Гражданцева, Елена Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гражданцева, Елена Юрьевна

Введение.

ГЛАВА 1. Основные понятия и определения.

1.1. Обобщенные функции в банаховом пространстве.

1.2. Сведения о жордановых наборах.

1.3. Определение и свойства семейства М, N— функций.

1.4. Полиномиально ограниченные пучки операторов.

ГЛАВА 2. Обобщенное решение полного дифференциального уравнения второго порядка.

2.1. Некоторые свойства A{,Aq — присоединенных элементов.

2.2. Построение непрерывного и обобщенного решений.

ГЛАВА 3. Фундаментальная оператор-функция полного дифференциального оператора второго порядка в банаховых пространствах.

3.1. Фундаментальная оператор-функция в условиях коммутирования.

3.2. Фундаментальная оператор-функция в условиях спектральной ограниченности.

ГЛАВА 4. Фундаментальная оператор-функция дифференциально-разностного оператора высокого порядка в банаховых пространствах.

4.1. Вспомогательные результаты (сведения).

4.2. Фундаментальная оператор-функция дифференциально-разностного оператора высокого порядка.

ГЛАВА 5. Фундаментальная оператор-функция дифференциального операторы с производной от 97 функционалов.

5.1. Фундаментальная оператор-функция в случае непрерывной обратимости.

5.2. Фундаментальная оператор-функция в случае фредгольмовости.

5.3. Фундаментальная оператор-функция в случае нетеровости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фундаментальные оператор-функции вырожденных дифференциальных операторов высокого порядка в банаховых пространствах»

В приложениях возникают начально-краевые задачи, которые можно трактовать как дифференциальные уравнения в банаховых пространствах с необратимым оператором при старшей производной (в иной терминологии такие уравнения также называют уравнениями соболевского типа). Возрастание интереса к уравнениям, неразрешенным относительно старшей производной, обусловлено необходимостью решения важных прикладных задач, в частности, в области физики атмосферы, физики плазмы, теории электрических цепей, динамике колебаний стратифицированной жидкости, теории флаттера, теории ползучести металлов, теории фильтрации жидкости и многих других, а также естественным стремлением к изучению новых математических объектов.

В настоящее время имеется огромное количество теоретических и прикладных работ, посвященных изучению уравнений и систем, неразрешенных относительно старшей производной.

В связи с этим можно выделить два направления исследований: решение некоторых задач для конкретных уравнений и систем математической физики [62, 85 - 87,] и изучение абстрактных уравнений и систем математической физики [22, 39, 65, 66, 77, 78,79,].

К первому направлению следует отнести работы, в которых результат о разрешимости начально-краевых задач для таких уравнений и систем получается посредством коэрцитивных оценок как следствие из какой-либо глубокой топологической теоремы [26]. К этому разделу можно отнести результаты С.А. Гальперина, А.Г. Костюченко и Г.И.Эскина, В.Н. Вра-гова, А.И.Кожанова, В.П. Глушко и многие подобные. А.И. Янушаускасом и его учениками хорошо развита аналитическая теория эллиптических уравнений с вырождением [45 — 48].

Ко второму направлению относятся работы, в которых объектом исследования выступают абстрактные операторные уравнения, а конкретные начально-краевые задачи служат иллюстративными примерами полученных общих абстрактных результатов.

Различные методы исследования и построения непрерывных решений дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах разрабатывались С.Г. Крейном, Ю.Л. Далецким [21, 22], В.А. Трено-гиным, Б.В. Логиновым [24, 25, 26 — 30, 79,], Н.А. Сидоровым [31 — 39], О.А. Романовой [10, 40 — 42], B.C. Шароглазовым [43, 44].

В этих работах применялись такие методы, как метод эволюционного (разрешающего) оператора, метод сведения исходного уравнения к уравнению с особой точкой с использованием жордановых структур, метод дифференциального уравнения разветвления, метод мажорант и аналитические методы теории дифференциальных уравнений.

И.В. Мельниковой и ее учениками [63, 64 — 69] предложен подход исследования задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка, основанный на разработанной ими теории М, N — функций, обобщающей теорию косинус, синус — функций.

В работах Р.А. Александряна [72] и Т.И. Зеленяка [61, 62] и их учеников исследованы спектральные свойства дифференциальных операторов, возникающих в уравнениях соболевского типа.

Г.А. Свиридюком [70, 71] введено понятие фазового пространства дифференциального уравнения как множества, содержащего все его решения и являющегося замыканием множества допустимых начальных значений задачи Коши исследуемого уравнения.

Первым абстрактные операторные дифференциальные уравнения в их связи с уравнениями в частных производных встречаются у R.E. Showalter [88].

Хорошо разработаны теория и численные методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в работах

Ю.Е. Бояринцева, А.В. Булатова, В.Ф. Чистякова, R. Marz, М.Р. Drasin [50 — 52, 80 — 83].

В большой части работ, посвященных теории краевых задач для дифференциальных уравнений рассматривался случай, когда оператор при старшей производной невырожден. Если условие невырожденности нарушается, то необходимы дополнительные требования на данные задачи. Подобного рода требования естественным образом сужают возможности применения полученных результатов. Поэтому представляется интересным строить обобщенные решения, для которых нет необходимости в дополнительных условиях.

Соответствующая теория, касающаяся обобщенных решений вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, построена С.Т. Завалищиным, В.И.Шариным, Ф.З. Рафиковым [49].

Обобщенные решения некоторых конкретных дифференциальных уравнений или уравнений специального вида строились в работах И.М. Карасева [53], И.П. Лесковского [54, 55], Р.М.Малаховской [56, 57], И.Я. Винера [58], Ф.С. Алиева [59] и других.

Н.А. Сидоров, О.А. Романова, М.В. Фалалеев исследовали некоторые классы дифференциальных уравнений с вырождением на предмет существования и построения непрерывных и обобщенных решений [3, 4, 10, 14, 15, 33 — 35, 40 — 42], широко используя при этом теорию псевдообратных операторов и теорию ветвления.

Однако непосредственно построение обобщенного (и непрерывного в том числе) решения сопровождается очень громоздкими и достаточно неудобными выкладками, что в свою очередь затрудняет поиск решения.

М.В.Фалалеев ввел понятие фундаментальной оператор-функции как расширение понятия фундаментального решения дифференциального (интегрального и интегро-дифференциального) оператора на банаховы пространства. Это дает возможность отойти от прямого построения обобщенного решения, получая его как свертку фундаментальной оператор-функции с источником (правой частью уравнения — свободной функцией). Знание фундаментальной оператор-функции позволяет в замкнутой форме выписывать обобщенные решения и определять условия существования непрерывного решения исследуемой задачи, избегая непосредственного построения последнего.

НОВИЗНА РАБОТЫ

В работе исследуется полный дифференциальный оператор второго порядка с фредгольмовым оператором при старшей производной. Для этого оператора, используя различные подходы, построена фундаментальная оператор-функция.

Построены фундаментальная оператор-функция для неполного дифференциально-разностного оператора высокого порядка и фундаментальная оператор-функция дифференциального оператора первого порядка с производными от функционалов в различных случаях.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

При исследовании применялись идеи и техника, развитые Н.А.Сидоровым при решении вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах [10, 31, 54 — 57], М.В.Фалалеевым при построении фундаментальной оператор-функции [3,4]. Также в работе использовались элементы теории псевдообратных операторов, теория М, N — функций [12], теория полиномиально ограниченных пучков операторов [13] и сведения из функционального анализа.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Кроме введения диссертация содержит пять глав и список литературы.

Первая глава носит реферативный характер. В ней вводятся основные понятия обобщенных функций в банаховых пространствах, фундаментальной оператор-функции дифференциальных операторов и приведены основные правила действия с ними [1, 2, 4].

Также здесь представлены некоторые сведения о жордановых наборах операторов [4 — 11], о М, N— функциях [12], о полиномиально ограниченных пучках операторов [13].

Вторая глава посвящена исследованию задачи Коши для полного дифференциального уравнения второго порядка в случае вырожденности оператора, стоящего при старшей производной. Т.е. исследуется задача

Bx(t) = Axx(t) + A0x(t) + f(t), где x(0) = x0, x(0) = ^. (* *)

В п. 2.1 представлены некоторые соотношения для присоединенных элементов Ах, Aq — жордановых наборов фредгольмова оператора В.

В п.2.2 проведено непосредственное построение обобщенного и непрерывного решений исследуемой задачи (теоремы 2.2.1, 2.2.2) как распространение на этот класс задач методов, апробированных ранее в [10, 14,15].

В третьей главе проведено исследование полного дифференциального оператора второго порядка В -А1 — -А0, где В, Ах, Aq - замкнутые dt dt линейные операторы, действующие из банахова пространства Ех в банахово пространство Е2, оператор В фредгольмов.

В пункте 3.1 построена фундаментальная оператор-функция полного дифференциального оператора второго порядка в условиях коммутирования, а именно: 1) в терминах М, N - функций [12], когда операторы ^Г, AqT являются производящими операторами семейства М, N — функций (теорема 3.1.2); 2) когда операторное уравнение X - АхГХ - А0Г = 0 имеет пару решений Х\ иХ2 [18] таких, что существует оператор V = {Хх - Х2)~1, здесь Г — оператор Шмидта для оператора В (теорема 3.1.4).

П. 3.2 посвящен построению фундаментальной оператор-функции полного дифференциального оператора второго порядка в условиях полиномиальной ограниченности пучка операторов А1, А0 [13] (теоремаЗ.2.1).

Здесь же построено обобщенное решение задачи Коши (**) и определены условия существования непрерывного решения этой задачи.

В четвертой главе исследуется дифференциально-разностный операдг тор высокого порядка L(D,AM) = В-^-Ак^, где В, А -замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства Ех в банахово пространство Е2, AMu(t,x) = u(t,x-ju)-u(t,x).

В п. 4.1 приведены некоторые свойства А — жорданова набора оператора В и специальных операторных функций, облегчающие в дальнейшем изложение сути проведенных исследований.

В п. 4.2. представлены основные результаты исследования дифференциально-разностного оператора высокого порядка, т.е. построена фундаментальная оператор-функция этого оператора при условии как фред-гольмовости, так и нетеровости оператора В (теоремы 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3).

Пятая глава посвящена дифференциальному оператору первого поd -у", рядка с производной от функционалов: —V' ( •,ai )ai - А, где А — замкdt r-f ' 1 нутый линейный оператор с плотной областью определения, действующий из банахова пространства Ех в банахово пространство Е2, at е Е2, oci е , = 1, п. В этой главе, используя операторные записи систем уравнений построены фундаментальные оператор-функции названного оператора: в пункте 5.1 — в случае непрерывной обратимости оператора Л (теорема 5.1.1); в пункте 5.2 — в случае фредгольмовости оператора А (теорема

5.2.1); в пункте 5.3 — в случае нетеровости оператора А (теоремы 5.3.1,

5.3.2).

Каждая глава сопровождается примерами.

АПРОБАЦИЯ

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на: Второй восточно-сибирской межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания (Иркутск, 2003) [89], Ш-м Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2004) [97], конференции «Ляпунов-ские чтения и презентации информационных технологий» (Иркутск, 2003, 2004) [96, 98], ХШ-ой Байкальской международной школе - семинаре (Се-веробайкальск, 2005) [99], конференции «Математика, информатика, управление» (Иркутск, 2005) и опубликованы, помимо материалов конференций, в [90 — 95, 100]. В совместных с М.В. Фалалеевым работах руководителю принадлежит постановка задачи, а все необходимые исследования проведены диссертанткой в полном объеме самостоятельно.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю доценту М.В.Фалалееву за постановку задач, постоянное внимание и чуткое руководство; Н.А. Сидорову за отзывчивость и полезные замечания и советы; коллективу кафедры математического анализа ИМЭИ ИГУ за конструктивные дискуссии; своему мужу Вячеславу Викторовичу за заботу и поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гражданцева, Елена Юрьевна, 2005 год

1. Владимиров B.C. уравнения математической физики. — М.: Наука, 1981. —512 с.

2. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй спец. курс. —2-е пере-раб. изд. — М.: Изд-во МГУ, 1984. — 208 с.

3. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах // СМЖ. 2000. Т. 41, № 5. С. 1167 — 1182.

4. Sidorov N., Loginov В., Sinitsin A., Falaleev М. Lypunov-Schmidt Method in Nonlinear Analysis and Application. Kluwer Academic Publishers, 2002. - 566p.

5. Вайнберг M.M. Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — М.: Наука. 1969. —528 с.

6. Логинов Б.В., Русак Ю.Б. Обобщенные жордановы структуры в теории ветвления // Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных. Ташкент. ФАН. 1978. С. 133 — 148.

7. Треногин В.А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1981. — 512с.

8. Nashed M.Z. Generalized Inverses and Application. Academ. Press/ NewJork. 1976.

9. Русак Ю.Б. Жорданова структура линейных нетеровских оператор-функций. // Дифференц. уравнения и их приложения. — Ташкент. ФАН. 1979. С. 130—138.

10. Сидоров Н.А., Романова О.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 9. С. 1516 — 1526.

11. Сидоров Н.А., Романова О.А., Благодатская Е.Б. Уравнения с частными производными с оператором конечного индекса при главной части. — Иркутск. 1992. (Препринт / ИрВЦ СО РАН) 29с.

12. Иванов В.К., Мельникова И. В., Филинков А.И., Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. — М.: Наука, 1995. 176с.

13. Замышляева А.А. Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 2003. — 101 с.

14. СидоровН.А., Фалалеев М.В. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 4. С. 726 — 728.

15. Фалалеев М.В. Непрерывные и обобщенные решения одного класса линейных дифференциальных уравнений второго порядка с вырождением в банаховых пространствах // Краевые задачи. Иркутск: Ир-кут. гос. ун-т. 1990.

16. Fatorini Н.О. Second order differential equation in Banach space. Amsterdam e.a.:N. -Holl. 1985. - IX. - 314 p.

17. Фалалеев М.В. Обобщенные функции и действия над ними: Учеб. пособие. — Иркутск: Иркут. гос. ун-т. 1996. — 81 с.

18. Jodar L. Boundary Value Problems for Order Operator Differential Equations. Linear Algebra Appl. - 1986. N 83. P. 29 -38.

19. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их применения. — Киев: Выща шк. 1989.

20. Фалалеев М.В. Элементы теории обобщенных решений некоторых классов вырожденных дифференциальных и интегральных уравнений в банаховых пространствах. Дисс. на соискание степени кандидата физ.-мат. наук. — Иркутск. 1988. — 172 с.

21. Далецкий Ю.Л., Крейн Ю.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука. 1970. — 536 с.

22. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука. 1967. — 275 с.

23. Логинов Б.В. О ветвлении решений задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11, №9. С. 1709—1712.

24. Логинов Б.В. Об инвариантных решениях в теории ветвления. // ДАН СССР. Т. 246, № 5. С. 1048 — 1051.

25. Логинов Б.В., Поспеев В.Е., Рахматова Р.Х. Об аналитических решениях системы уравнений Эйлера бесконечного порядка и их применении в теории ветвления. // Краевые задачи для дифференциальных уравнений, № 5. Ташкент. ФАН. 1975. С. 114-119.

26. Логинов Б.В., Макаров М.Ю. Устойчивость разветвляющихся решений бифуркации Андронова-Хопфа для дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной. // Тр. Средневолж. мат. о-ва. 2004. Т.6, № 1. С. 82 — 95.

27. Логинов Б.В., Коноплева Н.В. Применение косимметрического тождества для построения уравнения разветвления потенциального типа по допускаемой группе симметрий. // Вестник УлГТУ. 2003, № 3 — 4. С. 17—19.

28. Логинов Б.В. Приложения бифуркационных задач с нарушениями симметрии. // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Физматлит. 2003. С. 120 — 144.

29. Логинов Б.В., Треногин В.А. Групповые методы в теории ветвления. // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Физматлит. 2003. С. 89 —119.

30. Логинов Б.В., Макаров М.Ю. Устойчивость периодических решений дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной. // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. 2003, № 22. С. 148— 156.

31. Сидоров Н.А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией. // Матеатич. заметки. 1984. Т. 35, № 4. С. 569 —578.

32. Сидоров Н.А. О ветвлении решений дифференциальных уравнений с вырождением. // Дифференц. уравнения. 1973. Т.9, № 8. С. 1464 — 1481.

33. Сидоров Н.А. Задача Коши для одного класса дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8, № 8. С. 1521 —1524.

34. Сидоров Н.А. Исследование линейных дифференциальных уравнений с постоянными операторами в вырожденном случае. // Дифференц. и интегральные уравнения. Иркутск: Иркут. гос. ун-т1975, вып. З.С. 178-182.

35. Сидоров Н.А. О регуляризации линейных дифференциальных уравнений с постоянными операторами в вырожденном случае. // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, № 3. С. 556 — 560.

36. Сидоров Н.А., Треногин В.А. Об одном подходе к проблеме регуляризации на основе возмущения линейных операторов. // Математич. заметки. 1976. Т. 20, № 5. С. 747 —752.

37. Сидоров Н.А., Абдулин В.Р. Сплетаемые операторы а теории ветвления. // Труды конференции. Секц. 4. Обратные и некорректные задачи прикладной математики. Иркутск: изд-во ИСЭМ СО РАН. 2001. С. 143 —147.

38. Сидоров Н.А., Треногин В.А. Точки бифуркации решений нелинейных уравнений. // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения М.: Физматлит. 2003. С. 5 — 49.

39. Сидоров Н.А., Синицын А.В. Стационарная система Власова-Максвелла в ограниченных областях. // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения М.: Физматлит. 2003. С. 50 — 58.

40. Сидоров Н.А., Романова О.А. Теоремы существования для дифференциальных уравнений с вырождением и разрывной правой частью. // Дискретные и распределенные системы. Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та. 1981. С. 78 — 89.

41. Романова О.А. Обо дном классе дифференциальных уравнений с производными от функционала. // Приближенные методы решения операторных уравнений и их применения. Иркутск: Изд-во Сибирского энергетического ин-та. 1982. С. 108 -120.

42. Романова О.А. О решении нелинейных дифференциальных уравнений с необратимым оператором при производной. //Дифференц. и интегральные уравнения. Иркутск: Иркут. ун-т. 1980. С. 126 — 135.

43. Шароглазов B.C. К решению краевой задачи для одного класса ин-тегро-дифференциальных уравнений в вырожденном случае. // Дифференц. и интегральные уравнения. Иркутск: Иркут. ун-т. 1979, вып. 6. С. 689 — 699.

44. Шароглазов B.C. Об одной системе операторных уравнений. // Краевые задачи: Сб. науч. тр. — Иркутск: Иркут. ун-т. 1990. С. 62 — 69.

45. Янушаускас А.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений. Новосибирск. Наука. 1979. — 190 с.

46. Захарова И.В. Об одной задаче для уравнения эллиптического типа с постоянными коэффициентами, содержащего малый параметр в главной части. // Краевые задачи: Сб. науч. тр. — Иркутск: Иркут. ун-т. 1997. С. 15—19.

47. Захарова И.В. Применение метода регуляризации при решении некоторых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений смалым параметром при старшей производной. // Краевые задачи: Сб. науч. тр. — Иркутск: Иркут. ун-т. 1997. С. 20 — 24.

48. Головко Е.А. О задаче Дирихле для одной эллиптической системы в полупространстве. // Краевые задачи: Сб. науч. тр. — Иркутск: Иркут. ун-т. 1997. С. 9 — 14.

49. Завалищин С.Т., Шарин В.И. Об одной конструкции умножения обобщенных функций и ее приложении к сингулярным дифференциальным уравнениям. // Обобщенные функции и векторные меры. Свердловск. 1979. С. 20 —32.

50. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. 1988. — 160 с.

51. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. 1980. —222 с.

52. Бояринцев Ю.Е., Орлова Н.В. Блочные алгебро-дифференциальные системы и их индексы. // Изв. вузов. Мат. 2004. С. 6 —13.

53. Карасев И.М. Дифференциальные уравнения с обобщенным оператором Чебышева в К. // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6, № 2. С. 375 —376.

54. Лесковский И.П. О некоторых сингулярных краевых задачах для уравнения класса Фукса в пространстве обобщенных функций. // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, № 1. С. 123—129.

55. Лесковский И.П. О фундаментальной системе решений уравнениякласса Фукса в пространстве К . // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, №2. С. 377—380.

56. Малаховская P.M. Об обобщенных операторных функциях. // Вопросы математики. Науч. тр. / Томский ун-т. 1967. Т. 198, вып. 2. С. 34 — 41.

57. Малаховская P.M. Применение теории обобщенных функций к решению уравнения теплопроводности. // Уч. зап. Томского ун-та. 1960, №36. С 13—18.

58. Винер И.Я. Решение линейных систем в обобщенных функциях. // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11, № 6. С. 1128 — 1130.

59. Алиев Ф.С. О решениях некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве обобщенных функций. // Вестник МГУ. серия 1, матем., механ. 1973., № 5. С 3 -10.

60. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. М.: Мир. 1986 -88.

61. Зеленяк Т.И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск: НГУ. 1965.

62. Зеленяк Т.И., Белоусов B.C. Качественные свойства одной математической модели вращающейся жидкости. // Сиб. ж. индустр. мат. 2002. Т. 5, №4. С. 3—13.

63. Мельникова И.В. Филинков А.И. интегрированное семейство М, N — функций. // ДАН. 1993. Т. 46, № 2. С. 214 —219.

64. Мельникова И.В. Вырожденная задача Коши в банаховых пространствах. // Изв. УрГУ. Матем. и мех. 1998. Т. 3, № 1. С. 147 —160.

65. Мельникова И.В. Слабо некорректные дифференциальные задачи: Тезисы докладов. М.: МАКС Пресс. 2003. С. 45.

66. Мельникова И.В. Общий подход к проблеме регуляризации некорректных дифференциальных задач. // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Екатеринбург: Изд-во УрГУ. 2004. С. 200 —201.

67. Мельникова И.В. Полугрупповая регуляризация дифференциальных задач. Докл. АН РАН. 2003. 393, № 6. С. 744 — 748.

68. Мельникова И.В. Корректность задачи Коши для включения. // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 10. С. 1430 —1433.

69. Ануфриева У.А Вырожденная задача Коши для уравнения второго порядка. Критерий корректности. // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, №8. С.1131 —1133.

70. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. — Utrecht Boston - Koln -Tokyo: VSP. 2003.

71. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов. // Успехи матем. наук. 1994. Т.49, № 4. С 47 -74.

72. Александрян Р.А. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнений типа Соболева. //Тр.ММО. 1960. Т. 9. С. 455 —505.

73. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, неразрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга. 1998.

74. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М.: наука. 1986.

75. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. М.: Наука. 1989.

76. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой жидкости. М.: Наука. 1970.

77. Вишик М.И. Задача коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения. // Матем. сб. 1956. Т. 38, № 1.С. 51—148.

78. Вишик М.И., Чепыжов В.В. Траекторный и глобальный атракторы 3D системы Навье-Стокса. // Мат. заметки. 2002. Т. 71, № 2. С. 194 — 213.

79. Треногин В.А. О разрешимости операторно-функциональных уравнений с инволюциями. // Математические методы и приложения. М.: Изд-во МСГУ. 2003. С 118 —122.

80. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Устойчивость линейных алгебро-дифференциальных систем. // Дифференц. Уравнения. 2004. Т. 40, № 1.С. 47—57.

81. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем. // Уссур. Астрофиз. обсерв. Новосибирск: Наука. 2003. — 319с.

82. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Управляемость линейных алгебро-дифференциальных систем. // Автомат, и телемех. 2002, № 3. С. 62 — 75.

83. Булатов А.В., Бобылев Н.А., Кузнецов Ю.О. Аппроксимационная схема введения индекса Конли изолированных критических точек. // Дифференц. уравнения. 2004. Т.40, № 11. С. 1462 — 1467.

84. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977.

85. Leis R. Начально-краевая задача теории упругости для сред с кубической симметрией. // Bonn. math. Schr. 1993. № 239. p. 11 —20.

86. Vadiaa А. Собственные колебания плоского маятника с полостью, заполненной системой несмешивающихся вязких жидкостей. // Spectral and evol. Probl.: CROMSH-IV/ Simferopol. 1995. P. 83 — 85.

87. Vadiaa A., Kopachevski N.D. Малые колебания плоского маятника с полстью, частично заполненной идеальной капиллярной жидкостью. // Spectral and evol. Probl.: CROMSH-IV/ Simferopol. 1995. P. 98 102.

88. Showalter R.E. Partial differential equations of Sobolev Galperin type. // Pacific J. Math. 1963. V. 31, N 3. 787 - 793.

89. Гражданцева Е.Ю. Обобщенное решение сингулярного дифференциально-разностного уравнения второго порядка в банаховых пространствах. // Вестник КраснГУ 2004"3. Физико-математические науки — Красноярск: ИЦ Краен ГУ. 2004. С. 23 — 29.

90. Гражданцева Е.Ю. Фундаментальная оператор-функция дифференциально-разностного оператора высокого порядка в банаховых пространствах. // Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири: Сб. науч. тр. — Иркутск: Изд-во БГУЭП. 2004. С. 183 — 193.

91. Гражданцева Е.Ю. Фундаментальная оператор-функция обобщенного дифференциального оператора с производными от функционалов. // Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири: Сб. науч. тр. — Иркутск: Изд-во БГУЭП. 2005. С. 211 — 217.

92. Гражданцева Е.Ю. Фундаментальная оператор-функция вырожденного дифференциально-разностного оператора второго порядка в банаховых пространствах. // Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий. 2003. С. 39 — 42.

93. Гражданцева Е.Ю. Обобщенное решение сингулярного дифференциально-разностного уравнения второго порядка в банаховых пространствах. // III Всесибирский Конгресс Женщин-математиков, 15 -18 января 2004. — Красноярск. С 9 —10.

94. Гражданцева Е.Ю. Фундаментальная оператор-функция дифференциального оператора с функционалами. // Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий. 2004. С. 19.

95. Гражданцева Е.Ю. Фундаментальная оператор-функция полного сингулярного дифференциального оператора второго порядка в условиях спектральной ограниченности. // Вестник МаГУ. Математика. Магнитогорск: МаГУ. 2005 . Вып. 8. С. 66 — 73.