Фрактальные агрегаты в коллоидных дисперсиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 02.00.04, кандидат физико-математических наук Елфимова, Екатерина Александровна

• Елфимова, Екатерина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Елфимова, Екатерина Александровна

Введение

1 Современное состояние исследований фрактальных структур в дисперсных системах

1.1 Фракталы. Фрактальная размерность. 1.2 Модели роста фрактальных агрегатов. Численные эксперименты.

1.3 Теоретические исследования закономерностей роста фрактальных агрегатов.

1.4 Особенности формирования фрактальных агрегатов в различных средах. Экспериментальные исследования.

1.5 Основные результаты главы.

2 Моделирование эволюции отдельного коллоидного агре

Ф гата

2.1 Проблемы моделирования внутренней структуры коллоидного агрегата.

2.2 Модель роста отдельного агрегата.

2.3 Первое приближение.

2.4 Второе приближение. 2.5 Основные результаты главы.

3 Эволюция ансамбля фрактальных агрегатов в коллоидной системе

3.1 Примесное агрегирование.

3.1.1 Математическая модель.

3.1.2 Первое приближение.

3.1.3 Второе приближение.

3.2 Квазигомогенное агрегирование

3.2.1 Математическая модель.

3.2.2 Особенности квазигомогенного агрегирования

3.3 Основные результаты главы.

4 Влияние фракталоподобных агрегатов на физико-химические свойства коллоидных дисперсий

4.1 Свойства агрегированных дисперсных систем.

4.2 Магнитная проницаемость ферроколлоида с фрактальными агрегатами.

4.3 Энергия Гиббса коллоидной дисперсии

4.4 Основные результаты главы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фрактальные агрегаты в коллоидных дисперсиях»

Коллоидные системы достаточно широко распространены в природе: земная атмосфера, разнообразные водоемы, почва, нефть, лаки, краски, бетон, продукты питания, кровь, кости, ткани - это только отдельные представители многочисленных дисперсных систем.

Одна из центральных проблем исследования коллоидных систем -проблема устойчивости. Практика, как правило, ставит противоположные задачи: сохранить коллоидную систему или разрушить ее, то есть сделать систему устойчивой или неустойчивой. Кровь, например, является дисперсной системой, устойчивость которой сохраняется на протяжении всей жизни организма. С другой стороны, вода природных водоемов представляет собой дисперсную систему, которую для использования необходимо очистить; в процессе очистки происходит образование агрегатов и, впоследствии, разрушение коллоидной системы.

Агрегирование имеет место во многих химико-технологических производствах: при коагуляции и флокуляции в технологиях приготовления питьевой воды и разнообразных молочных продуктов, в производстве строительных материалов, при получении многих неорганических и органических соединений, в том числе и полимеров, при очистке воздуха, сточных вод, отработанных масел и т. д. Агрегирование дисперсных частиц, вызванное особенностями их взаимодействия, приводит к значительным изменениям механических и физико-химических свойств коллоидной системы. В связи с этим, исследования, направленные на изучение закономерностей агрегатообразования, внутренней структуры агрегатов и свойств агрегировавших коллоидов имеют большое прикладное значение, поскольку они позволяют найти научно-обоснованные способы управления и оптимизации агрегирования коллоидных дисперсий.

В конце 1970-х годов, после появления монографии Мандельброта [1], в которой наглядно было показано, что значительная часть природных систем может быть отнесена к категории фракталов, к описанию агрегатов коллоидных частиц были привлечены представления фрактальной геометрии. Фрактальными называют объекты, характеризующиеся дробной размерностью. Одно из основных свойств фрактальных структур - самоподобие: такие структуры выглядят одинаково в разных пространственных масштабах, и по виду отдельного фрагмента можно сделать вывод о строении всего объекта. Этим свойством обладают некоторые обычные структуры, поэтому для фрактала принципиальным является второе свойство: изменение его характеристик (масса, плотность, площадь поверхности, модуль упругости и т.д.) с изменением размера или пространственного масштаба, имеет степенную зависимость, в которой показатель степени - дробное число. Использование представлений о фракталах позволило значительно повысить уровень понимания как структурной организации различных физико-химических систем, в том числе и коллоидов, так и закономерностей протекания в них разнообразных процессов.

Из всего вышесказанного следует, что тематика диссертации - моделирование процесса формирования фрактальных агрегатов в коллоидных дисперсиях - является актуальной.

Основная цель работы - развитие теоретических моделей, описывающих формирование фрактальных агрегатов в коллоидных дисперсиях, изучение структуры образовавшихся агрегатов и оценка их влияния на свойства коллоидных систем.

Научная новизна диссертации заключается в следующем.

• Разработана теоретическая модель диффузионно-контролируемого роста отдельного коллоидного агрегата. Рассмотрена ситуация, когда устанавливается внутреннее динамическое равновесие между процессами присоединения частиц к агрегату и отсоединения от него. В этом случае модель аналитически предсказывает степенное спадание концентрации агрегированных частиц от однородного ядра к границе агрегата. Такое поведение позволяет говорить о фрактальной структуре коллоидных агрегатов.

• На базе развитой модели теоретически исследована кинетика агрегирования коллоидной системы при учете одновременного роста большого количества агрегатов и сохранения полного числа частиц системы. Разработаны две теоретические модели для различных механизмов зарождения коллоидных агрегатов.

• Аналитическими методами изучена внутренняя структура образовавшихся агрегатов в зависимости от физико-химических параметров коллоидной системы, определена фрактальная размерность этих кластеров. Полученные значения фрактальной размерности хорошо согласуются с экспериментальными данными и результатами компьютерного моделирования.

• Модель успешно использована для исследования магнитных свойств ферроколлоидов, содержащих фрактальные агрегаты, а также для определения изменения энергии Гиббса коллоидной системы, вызванного образованием в ней фрактальных структур.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с основным направлением научных исследований кафедры математической физики

Уральского государственного университета при поддержке Минобразования РФ (гранты N Е00-3.2-210, N РИ-19.0/002/075, N А03-2.9-656), гранта Президента РФ N МД-336.2003.02, РФФИ (гранты N 01-02-96430 урал, N 04-01-96008р2004 урал), INTAS грант N 03-51-6064, а также в рамках проекта REC-005 CRDF (ЕК-005-Х1).

Диссертация состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения и списка цитируемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Физическая химия», Елфимова, Екатерина Александровна

4.4 Основные результаты главы

Подведем итог прошедшей главы.

• Разработанные в Главе 2 и Главе 3 математические модели были успешно применены для исследования физических и химических свойств коллоидных дисперсий. В результате определены магнитная проницаемость агрегированного ферроколлоида с фрактальными кластерами и изменение энергии Гиббса коллоидной системы, вызванное образованием в ней фрактальных структур.

При исследовании агрегированной феррожидкости в слабом магнитном поле выяснено как изменяется потенциал магнитного поля в окрестности фрактальной структуры. На основе полученных результатов определена эффективная магнитная проницаемость агрегированной коллоидной среды. Искомое значение представлено в сравнение с магнитной проницаемостью неагрегированного коллоида и агрегированной дисперсии с микрокаплями. Таким образом, с помощью аналитических методов исследования коллоидных дисперсий появляется возможность исходя из макроскопических свойств системы определить тип формирующихся микроструктур.

Получены оценки изменения энергии Гиббса системы для квазигомогенного и примесного механизмов агрегирования во времени. В силу того, что аналитически установлены закономерности, характеризующие образование фрактальных агрегатов в коллоидной системе, теоретически определить изменение энергии Гиббса коллоидной системы возможно на любом этапе протекании реакции.

Заключение

Диссертационная работа содержит материалы оригинальных теоретических исследований различных аспектов процесса образования фрактальных агрегатов в коллоидных дисперсиях. Основные результаты и выводы работы заключаются в следующем:

• Разработана математическая модель диффузионно-контролируемого роста отдельного коллоидного агрегата. Модель построена на общих принципах физико-химической кинетики. В условиях динамического равновесия системы, получено решение, описывающее структуру образовавшегося кластера, которая характеризуется степенным уменьшением концентрации агрегированных частиц от центра к периферии, что позволяет говорить о фрактальной структуре агрегата. Задача решалась в двух приближениях. В первом приближении не учитывалось изменение концентрационного профиля дисперсных частиц системы во времени. В этом случае аналитически определены скорость роста образующегося агрегата и его фрактальная размерность, которая не зависит от физических и химических параметров коллоидной системы и равна универсальной постоянной df = 2.5. Во втором приближении, при учете изменения концентрации неагрегированных коллоидных частиц во времени, движение границы агрегата и его внутренняя структура описываются более сложными аналитическими зависимостями. Явно определить фрактальную размерность агрегата не представляется возможным, однако с помощью численных экспериментов удалось установить ее возможные значения df = 2.5 ± 0.03, а также зависимость от физико-химических параметров дисперсной системы. Полученные значения фрактальной размерности кластеров, образующихся в условиях диффузионно-контролируемой агрегации, хорошо согласуются с экспериментальными данными и результатами компьютерного моделирования.

• На базе построенной теории эволюции одиночного коллоидного агрегата была разработана математическая модель одновременного роста ансамбля фрактальных агрегатов в коллоидной дисперсии, при учете уменьшения числа свободных частиц в межкластерном пространстве за счет их поглощения растущими агрегатами. Исследованы два различных механизма образования зародышей агрегатов. Согласно первому механизму агрегаты формируются на гетерогенных примесных центрах, изначально присутствующих в коллоидной системе. Такими центрами в реальном коллоиде могут быть, например, более крупные дисперсные частицы, взаимодействие с которыми не достаточно экранировано двойными электрическими слоями. В этом случае исследовано изменение пересыщения коллоидной системы, вызванное одновременным ростом большого числа агрегатов и внутренняя структура этих кластеров. В результате, определена аналитическая зависимость между фрактальной размерностью агрегата и физико-химическими условиями коллоида. При исследовании второго механизма зародышеобразования, когда ядра агрегатов возникают в результате случайных столкновений дисперсных частиц в пересыщенном коллоиде, рассматривалась возможность образования новых центров нуклеации в любой момент жизни системы. В результате, при использовании асимптотик малых и бол faших времен аналитически изучены кинетика спадания пересыщения системы, структура формирующихся фракталоподобных агрегатов, средний и максимальный размер агрегатов, их количество. Определено характерное поведение функции плотности распределения фрактальных агрегатов в системе: с течением времени кривая распределения становится более узкой и вытягивается вверх. Это свидетельствует о том, что большие агрегаты меняют свой размер медленнее малых.

• Разработанный подход к исследованию агрегатообразования в коллоидах был успешно применен для изучения физических и химических свойств коллоидных дисперсий. Определена аналитическая зависимость для расчета эффективной магнитной проницаемости ферроколлоида с фрактальными вкраплениями. Полученные значения сравнивались со средней магнитной проницаемостью агрегированного ферроколлоида с микрокаплями и неагрегированного коллоида. Аналитически изучено изменение энергии Гиббса коллоидной системы, вызванное образованием в ней фракталоподобных агрегатов.

Таким образом, предложенные математические модели адекватно описывают процесс формирования коллоидных агрегатов в дисперсных системах и успешно применены для исследования свойств агрегированных коллоидов.

К новым физическим выводам диссертации можно отнести следующее:

1. В случае диффузионно-контролируемого агрегирования в условиях локально-динамического равновесия теоретически предсказана возможность образования фрактальных агрегатов в коллоидных дисперсиях. Определенная фрактальная размерность агрегатов совпала с результатами, полученными при помощи классической ДЛА модели.

2. При одновременном диффузионном росте большого числа агрегатов в коллоидной системе установлено, что концентрация агрегированных частиц в этих кластерах, в зависимости от расстояния до центра, достаточно точно может быть описана степенным законом, что свидетельствует о фракталоподобной структуре агрегатов.

3. Показано, что наличие фракталоподобных агрегатов в магнитных коллоидах приводит к уменьшению эффективной магнитной проницаемости системы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Елфимова, Екатерина Александровна, 2006 год

1. Mandelbrot В.В. Fractals: form, chance and dimension - Freeman, San Francisco, 1977.

2. Mandelbrot B.B. The fractal geometry of nature -Freeman, San Francisco, 1982. 654 p.

3. Mandelbrot B.B. Self-affine fractal sets North Holland, Amsterdam, 1986. - 127 p.

4. Forrest S.R., Witten T.A. Long-range correlations in smoke-particle aggregates // J. Phys. A: Math. Gen. 1979. - Vol. 12, N 5. - P. L109-L117.

5. Witten T.A., Sander L.M. Diffusion-limited aggregation, a kinetic critical phenomenon // Phys. Rev. Lett. 1981. - Vol. 47, N 19. - P. 14001403.

6. Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров Наука, Москва, 1991. - 126 с.

7. Weitz D.A., Huang J.S., Lin M.Y. Sung J. Limits of the fractal dimension for irreversible kinetic aggregation of gold colloids // Phys. Rev. Lett. 1985. - Vol. 54, N 13. - P. 1416-1419.

8. Dimon P., Sinha S.K., Weitz D.A., Safinya C.R., Smith G.S., Varady W.A., Lindsay H.M. Structure of aggregated gold colloids // Phys. Rev. Lett. 1986. - Vol. 57, N 5. - P. 595-598.

9. Amal R., Paper J.A., Waite T.D. Fractal structure of hematite aggregates 11 J. Colloid Interface Sci. 1990. - Vol. 140, N 1. - P. 158-168.

10. Bushell G.C., Amal R., Paper J.A. The effect of a bimodal primary ф particle size distribution on scattering from hematite aggregates // J.

11. Phys. A. 1996. - Vol. 233. - P. 859-866.

12. Martin J.E., Wilcoxon J.P., Schaefer D., Odinek J. Fast aggregation of colloidal silica // Phys. Rev. A. 1990. - Vol. 41, N 8. - P. 4379-4391.

13. Zhou Z., Chu B. Light-scattering study on the fractal aggregates of polystyrene spheres: Kinetic and structural approaches // J. Colloid Interface Sci. 1991. - Vol. 143, N 2. - P. 356-365.

14. Sorensen C.M., Lu N., Cai J. Fractal cluster size distribution measurement using static light scattering // J. Colloid Interface Sci. 1995. -Vol. 174, N 2. - P. 456-460.

15. Sinha S.K., Freltoft Т., Kjems J. Neutron scattering from fractals // J.

16. Phys. B+C. 1986. - Vol. 136, N 2. - P. 285-290.

17. Jullien R. From guinier to fractals // J. Phys. I. 1992. - Vol. 2, N 6. -P. 759-771.

18. Lin M.V., Klein R., Lindsay H.M., Weitz D.A., Ball R.C., Meakin P.

19. The structure of fractal colloidal aggregates of finite extent // J. Colloid Interface Sci. 1990. - Vol. 137, N 1. - P. 263-280.

20. Meakin P. Dimensionalities for the harmonic and ballistic measures of fractal aggregates // Phys. Rev. A. 1986. - Vol. 33, N 2. - P. 1365-1371.

21. Grassberger P. Generalizations of the hausdorff dimension of fractal measures // J. Phys. Lett. A. 1985. - Vol. 107, N 3. - P. 101-105.

22. Hentschel H.G., Procaccia I. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors // J. Phys. D. 1983. - Vol. 8, N 3. - P. 435-444.

23. Meakin P., Stanley H.E., Goniglio A., Witten T.A. Surfaces, interfaces, and screening of fractal structures // Phys. Rev. A. 1985. - Vol. 32, N 4. - P. 2364-2369.

24. Meakin P., Stanley H.E., Goniglio A., Witten T.A. Scaling properties for the surfaces of fractal and nonfractal objects: an infinite hierarchy of critical exponents // Phys. Rev. A. 1986. - Vol. 34, N 4. - P. 33253340.

25. Halsey T.C., Jensen M.H., Kadanoff L.P., Procaccia I., Shraiman B.I. Fractal measures and their singularities: the characterization of strange sets // Phys. Rev. A. 1986. - Vol. 33, N 2. - P. 1141-1151.

26. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мулътифракталы -РХД, Москва, Ижевск, 2001. 129 с.

27. Meakin P., Deutch J.M. Properties of the fractal measure describing the hydrodynamic force distributions for fractal aggregates moving in a quiescent fluid // J. Chem. Phys. 1987. - Vol. 86, N 8. - P. 4648-4654.

28. Coniglio A., De Arcangelis L., Herrmann. Fractals and multifractals: applications in physics // J. Phys. A. 1989. - Vol. 157, N 1. - P. 21-30.

29. Weitz D.A., Huang J.S. Self-similar structures and the kinetics of aggregation of gold colloids In: Aggregation Gelation. North-Holland, Amsterdam. - 1984. - P. 19-28.

30. Weitz D.A., Oliveria M. Fractal structures formed by kinetic aggregation of aqueous gold colloids // Phys. Rev. Lett. 1984. - Vol. 52, N 16. - P. 1433-1436.

31. Weitz D.A., Lin M.Y., Huang J.S., Witten T.A., Sinha S.K., Gertner J.S., Ball C. Scalling in colloid aggregation In: Scaling Phenomena in Disordered Systems. Plenum Press, New York - 1985. - P. 171-188.

32. Schaefer D.W., Martin J.E., Wiltzius P., Cannell D.S. Fractal geometry of colloidal aggregates // Phys. Rev. Lett. 1984. - Vol. 52, N 26. - P. 2371-2374.

33. Chen S., Teixeira J. Structure and fractal dimension of protein-detergent complexes // Phys. Rev. Lett. 1986. - Vol. 57, N 20. - P. 2583-2586.

34. Tirado-Mirando M., Schmitt A., Callejas-Fernandez J., Fernandez-Barbero A. Experimental study of fractal aggregation by static and dynamic light scattering // Progr. Colloid. Polym. Sci. 1997. - Vol. 104. - P. 138-140.

35. Teixeira J., Morfin I., Ehrburger-Dolle F., Rochas C., Geissler E., Licinio P., Panine P. Scattering from dilute ferrofluid suspensions in soft polymer gels // Phys. Rev. E. 2003. - Vol. 67. - P. 021504-1 - 021504-7.

36. Meakin P., Witten T. Growing interface in diffusion-limited aggregation 11 Phys. Rev. A. 1983. - Vol. 28, N 5. - P. 2985-2989.

37. Leyvraz F. The "active perimeter "in cluster growth models: a rigorous bound // J. Phys. A: Math. Gen. 1985. - Vol. 18, N 15. - P. L941-L945.

38. Void M.J. Anomalies in simulations of nearest neighbor ballistic deposition // J. Colloid Interface Sci. 1959. - Vol. 14. - P. 168.

39. Void M.J. Monte-Carlo simulation of soot aggregation with simultaneous surface growth why primary particles appear spherical // J. Colloid Interface Sci. 1963. - Vol. 18. - P. 684-695.

40. Sutherland D.N. Comments on Void's simulation of floe formation // J. Colloid Interface Sci. 1966. - Vol. 22, N 3. - P. 300-302.

41. Meakin P. Diffusion-controlled cluster formation in 2-6 dimensional space // Phys. Rev. A. 1983. - Vol. 27, N 3. - P. 1495-1507.

42. Meakin P. Formation of fractal clusters and networks by irreversible diffusion-limited aggregation // Phys. Rev. Lett. 1983. - Vol. 51, N 13.- P. 1119-1122.

43. Botet R., Jullien R., Kolb M. Gelation in kinetic growth models // Phys. Rev. A. 1984. - Vol. 30, N 4. - P. 2150-2152.

44. Meakin P. Effects of cluster trajectories on cluster-cluster aggregation: a comparison of linear and Brownian trajectories in two- and three-dimensional simulations // Phys. Rev. A. 1984. - Vol. 29, N 2. - P. 997-999.

45. Meakin P. Diffusion-limited aggregation in three dimensions: results from a new cluster-cluster aggregation model //J. Colloid Interface Sci.- 1985. Vol. 102, N 2. - P. 491-504.

46. Plischke M., Racz Z. Active zone of growing clusters: diffusion-limited aggregation and the Eden model // Phys. Rev. Lett. 1984. - Vol. 53, N 5. - P. 415-418.

47. Jullien R., Kolb M. Hierarchical model for chemically limited cluster-cluster aggregation // J. Phys. A: Math. Gen. 1984. - Vol. 17, N 12. -P. L639-L643.

48. Mors P.J., Botet R., Jullien R. Cluster-cluster aggregation with dipolar interactions //J. Phys. A: Math. Gen. 1987. - Vol. 20, N 15. - P. L975-L980.

49. Kim S., Brock J.R. Growth of ferromagnetic particles from cation reduction by borohydride ions // J. Colloid Interface Sci. 1987. - Vol. 116 N 2. - P. 431-443.

50. Meakin P. The effects of attractive and repulsive interactions on three-dimensional reaction-limited aggregation // J. Colloid Interface Sci. -1990. Vol. 134, N 1. - P. 235-244.

51. Meakin P., Muthukumar M. The effects of attractive and repulsive interaction on two-dimensional reaction-limited aggregation //J. Chem. Phys. 1989. - Vol. 91, N 5. - P. 3212-3221.

52. Meakin P., Jullien R. The effects of restructuring on the geometry of clusters formed by diffusion-limited, ballistic, and reaction-limited cluster-cluster aggregation // J. Chem. Phys. 1988. - Vol. 89, N 1.- P. 246-250.

53. Jullien R., Meakin P. Simple models for the restructuring of three-dimensional ballistic aggregates //J. Colloid Interface Sci. 1989. - Vol. 127, N 1. - P. 265-272.

54. Ohta S., Honjo H. Homogeneous and self-similar diffusion-limited aggregation including surface-diffusion processes // Phys. Rev. A. 1991.- Vol. 44, N 12. P. 8425-8428.

55. Tchijov V., Nechaev S., Rodriguez-Romo S. Interface structure in colored DLA model // JETP Lett. 1996. - Vol. 64, N 7. - P. 504-509.

56. Debierre J.M., Albinet G. Percolation-like transition in DLA with two species // J. Phys. A: Math. Gen. 1996. - Vol. 29, N 9. - P. 1905-1913.

57. Vandewalle N., Ausloos M. Lacunarity, fractal, and magnetic transition behaviors in a generalized Eden growth process // Phys. Rev. E. 1994.- Vol. 50, N 2. P. R635-R638.

58. Lebovka N.I., Ivanenko Ya.V., Vygornitskii N.V. Determeministic Eden model of charged-particles aggregation // Europhys. Lett. 1998. - Vol. 41. - P. 19-24.

59. Ivanenko Ya.V., Lebovka N.I., Vygornitskii N.V. Eden growth model for aggregation of charged particles // Europhys. B. 1999. - Vol. 11. - P. 469-480.

60. Lebovka N.I., Vygornitskii N.V., Mank V.V. Diffusion-limited growth of two-dimentional aggregates in a closed cavity // Colloid Journal. 1997. - Vol. 59, N 3. - P. 310-314.

61. Затевалов A.M., Ролдугин В.И., Туторский И.А. Диффг)зионпо-контролируемая агрегация частиц вблизи фрактальных поверхностей // Коллоидый журнал. 2000. - Т. 62, N 4. - С. 483-487.

62. Cafiero R., Caldarelli G., Gabrielli A., Surface effects in invasion percolation // Phys. Rev. E. 1997. - Vol. 56, N 2. - P. R1291-R1294.

63. Dirkse J.F., Cawley J.D. A Modified ballistic aggregation model //J. Colloid Interface Sci. 1995. - Vol. 170, N 1. - P. 466-476.

64. Porcu F., Prodi F. Ballistic accretion on seeds of different sizes // Phys. Rev. A. 1991. - Vol. 44, N 12. - P. 8313-1815.

65. Hasmy A., Foret M., Pelous J., Jullien R. Small-angle neutron-scattering investigation of short-range correlations in fractal aerogels: Simulations and experiments // Phys. Rev. B. 1993. - Vol. 48, N 13. - P. 9345-9353.

66. Hasmy A., Vacher R., Jullien R. Small-angle scattering by fractal aggregates: a numerical investigation of the crossover between the fractal regime and the porod regime // Phys. Rev. B. 1994. - Vol. 50, N 2. -P. 1305-1308.

67. Bushell G., Amal R. Fractal aggregates of polydisperse particles // J. Colloid Interface Sci. 1998. - Vol. 205, N 2. - P. 459-469.

68. Von Smoluchowski M. // Z. Phys. Chem. Stoechiom. Verwandtschaftsl. 1917. - Vol. 92, N 1. - P. 129-138.

69. Pare S.H., Xiang R., Lee K.W. Brownian coagulation of fractal agglomerates: analytical solution using the log-normal size distribution assumption // J. Colloid Interface Sci. 2000. - Vol. 231, N 1. - P. 129-135.

70. Russel W.B. The dynamic of colloidal system The Universit of Wisconsin Press, London. - 1987.

71. Russel W.B., Saville D.A., Schowalter W.R. Colloidal dispersions Cambridge Univ. Press, Cambridge 1989.

72. Fernandez-Barbero A., Cabrerizo-Vilchez M., Martinez-Garcia R., Hidalgo-Alvarez R. Effect of the particle surface charge density on the colloidal aggregation mechanism // Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 53, N 5-B. - P. 4981-4989.

73. Fernandez-Barbero A., Schmitt A., Cabrerizo-Vilchez M., Martinez-Garcia R., Hidalgo-Alvarez R. Influence of cluster morphology on calculation of the aggregation rate constant in mesoscopic systems // Phys. Rev. E. 1997. - Vol. 56, N 4. - P. 4337-4343.

74. Dekkers P.J., Friedlander S.K., The self-preserving size distribution theory: I. Effects of the knudsen number on aerosol agglomerate growth // J. Colloid Interface Sci. 2002. - Vol. 248, N 2. - P. 295-305.

75. Pare S.H., Lee K.W. Asijmptotic particle size distributions attained during coagulation processes // J. Colloid Interface Sci. 2001. - Vol. 233, N 1. - P. 117-123.

76. Ohno K., Kikuchi K., Yasuhara H. Continuous mean-field theory of the diffusion-limited-aggregation model // Phys. Rev. A. 1992. - Vol. 46, N 6. - P. 3400-3404.

77. Ролдугин В.И., Воронин Д.В. Рост фрактальных агрегатов в про-меоюуточном рео/симе аккомодации частиц // Коллоидный журнал. 2001. - Т. 63, N 3. - С. 394-400.

78. Иванов А.О. Диффузиоиая модель роста простраствено-неоднородных коллоидных агрегатов // Доклады академии наук. -1998. Т. 362, N 6. - С. 739 - 743.

79. Булычева С.В., Иванов А.О. Эволюция фрактального коллоидного агрегата // Коллоидный журнал. 2000. - Т. 62, N 1. - С. 18 - 25.

80. Елфимова Е.А., Иванов А.О. Агрегаты в магнитных оюидкостях: капли, цепочки и фрактальные кластеры // В сб. научных трудов 9-ая международная плесская конференция по магнитным жидкостям. 2000. - Т. 2. - С. 242 - 247.

81. Kesten Н. How long are the arms in DLA? // J. Phys. A: Math. Gen. 1987. - Vol. 20, N 1. - P. L29-L33.

82. Tokuyama M., Kawasaki K. Fractal dimensions for diffusion-limited aggregation // J. Phys. Lett. A. 1984. - Vol. 100, N 7. - P. 337-340.

83. Hentschel H.G. Fractal dimension of generalized diffusion-limited aggregates //Phys. Rev. Lett. 1984. - Vol. 52, N 3. - P. 212-215.

84. Gould H., Family F., Stanley H.E. Kinetics of formation of randomly branched aggregates: a renormalization-group approach // Phys. Rev. Lett. 1983. - Vol. 50, N 9. - P. 686-689.

85. Ф 83. Montag J.L., Family F., Vicsek T. Optimized phenomenological renormalization group for geometrical models: Applications to diffusion-limited aggregation // Phys. Rev. A. 1985. - Vol. 32, N 4. - P. 2557-2559.

86. Sander L.M., Ramanlal P., Ben-Jakob E. Diffusion-limited aggregation as a deterministic growth process // Phys. Rev. A. 1985. - Vol. 32, N 5. - P. 3160-3163.

87. Filippov A.V., Zurita M., Rosner D.E. Fractal-like aggregates: relation ® between morphology and physical properties // J. Colloid Interface Sci.- 2000. Vol. 229, N 1. - P. 261-273.

88. Ren S.Z., Tombacz E., Rice J.A. Dynamic light scattering from power-law polydisperse fractals: application of dynamic scaling to humic acidф // Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 53, N 3. - P. 2980-2983.

89. Skillas G., Burtscher H., Siegmann K., Baltensperger U. Density and fractal-like dimension of particles from a laminar diffusion flame //J. Colloid Interface Sci. 1999. - Vol. 217, N 2. - P. 269-274.

90. Rudalevige Т., Francis A.H., Zand R. Spectroscopic studies of fullerene p aggregates // J. Phys. Chem. B. 1998. - Vol. 102, N 48. - P. 9797-9802.

91. Lo В., Waite D. Structure of hydrous ferric oxide aggregates //J. Colloid Interface Sci. 2000. - Vol. 222, N 1. - P. 83-89.

92. Wang S., Xin H. Fractal and dendritic growth of metallic Ag aggregated from different kinds of -irradiated solutions // J. Phys. Chem. B. 2000.- Vol. 104, N 24. P. 5681-5685.

93. Buzmakov V.M., Pshenichikov A.F. On the structure of microaggregates in magnetite colloids // J. Colloid Interface Sci. 1996. - Vol. 182 N 1.- P. 63-70.

94. Teixeira A.V., Morfin I., Ehrburger-Dolle F., Rochas C., Geissler E., Licinio P., Panin P. Scattering from dilute ferrofluid suspensions in'soft polymer gels // Phys. Rev. E. 2003. - Vol. 67. - P. 0215004-1 - 021504-6.

95. Olivier B.J., Sorensen C.M. Variable aggregation rates in colloidal gold: Kernel homogeneity dependence on aggregant concentration // Phys. Rev. A. 1990. - Vol. 41, N 4. - P. 2093-2100.

96. Kyriakidis A.S., Yiantsios A.G., Karabelas A.J. A study of colloidal particle brownian aggregation by light scattering techniques // J. Colloid Interface Sci. 1997. - Vol. 195, N 2 - P. 299-306.

97. Kim A.Y., Berg J.C. Fractal heteroaggregation of oppositely charged colloids // J. Colloid Interface Sci. 2000. - Vol. 229, N 2. - P. 607-614.

98. Meakin P. The effects of reorganization processes on two-dimensional cluster-cluster aggregation // J. Colloid Interface Sci. 1986. - Vol. 112, N 1. - P. 187-194.

99. Waite T.D., Cleaver J.K., Beattie J.K. Aggregation kinetics and fractal structure of alumina assemblages // J. Colloid Interface Sci. - 2001. -Vol. 241, N 2. - P. 333-339.

100. Bushell G., Amal R. Measurement of fractal aggregates of poly disperse particles using small-angle light scattering j j J. Colloid Interface Sci. -2000. Vol. 221, N 2. - P. 186-194.

101. Кореняк Е.А. Математическое моделирование эволюции объемного фрактального кластера // В сб. Труды 9ой Межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", СамГ-ТУ. 1999. - С. 69-73.

102. Зубарев А.Ю. К теории агрегирования коллоидов // Коллодный журнал.- 1992.- Т. 54, N 3.- С. 57-64.

103. Everbeck D., Biasing J. Investigation of particle size distribution and aggregate structure of various ferrofluids by small-angle scattering experiments // J. Appl. Cryst. 1999. - Vol. 32. - P. 273 - 280.

104. Пшеничников А.Ф., Шурубор И.Ю. Расслоение магнитных жидкостей: условия образования и магнитные свойства капельных агрегатов // Известия АН СССР. Сер. физ. 1987. - Т. 51, N 6.- С. 1081 1087.

105. Bacri J.-C., Perzynski R., Salin D. Phase diagram of an ionic magnetic colloid: experimental study of the effect of ionic strength //J. Colloid Interface Sci. 1989. - Vol. 132, N 1. - P. 43 - 53.

106. Нигматуллин Р.И. Основы механики гетерогенных сред Наука, Москва, 1978.- 336 с.

107. Дерягин Б. В. Теория устойчивости коллоидов и тонких пленок.- Наука, Москва, 1986. 206 с.

108. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводо-сти твердых тел Высш. шк., Москва, 1985.- 479 с.

109. Allain С., Cloitre М., Wafra М. Aggregation and sedimentation in colloidal suspensions // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 74, N 8. - P. 1478- 1481.

110. Фукс Н.А. Испарение и рост капель в газообразной среде, итоги науки. Физико-математические науки Изд-во АН СССР, Москва, 1958. - 92 с.

111. Elfimova Е.А. Evolution of the system of fractal colloidal aggregates // Abstr. 2nd International Conference Physics of Liquid Matter: Modern Problems, Kyiv, Ukraine. 2003. - P.2T.

112. Елфимова Е.А. Образование фрактальных агрегатов в магнитной жидкости // В сб. научных трудов 11 международной Плесской конференции по магнитным жидкостям, Плес. 2004. - С.44-47.

113. Елфимова Е.А. Динамика роста фрактальных агрегатов в коллоидных растворах // В сб. научных трудов "Зимняя школа по механике сплошных сред", Пермь. 2005. - С.111.

114. Elfimova Е.А.Homogeneous aggregation in magnetic fluids. Theoretical model of fractal-like cluster formation. // J. Magnetism and Magnetic Materials. 2006. - Vol. 300, N 1. - P. e203-e205.

115. Buyevich Yu.A., Ivanov A.O. Kinetics of phase separation in colloids II. Non-linear evolution of a metastable colloid j j J. Phys. A. 1993. -Vol. 193, N 2. - P. 221-240.

116. Zubarev A.Yu., Ivanov A.O. Kinetics of a magnetic fluid phase separation induced by an external magnetic field // Phys. Rev. E. 1997. -Vol. 55, N 6. - P.7192-7202.

117. Пирожков Б.И. Исследование явлений агрегироваия в магнитной эюидкости методом скрещеных полей //Известия АН СССР, сер. физ. -1987. Т. 51, N 6. - С.1088-1093.

118. Elfimova Е.А. Fractal aggregates in magnetic fluids //J. Magn. Magn. Mater. 2005. - Vol. 289, P. 219-221.

119. Elfimova E.A. Influence fractal structure on the magnetic properties of the ferrofluid // J. Magnetohydrodynamics. 2004. - Vol. 40, N 1. - P. 43-52.

120. Heiny P.A., Butera R.J., Londono J.D., Davidson R.V., Masur S. Network Growth in the Flocculation of Concentrated Colloidal Silica Dispersions // J. Phys. Chem. B. 2000. - Vol. 104, N 37. - P. 8807-8821.

121. Wessel R., Ball R.C. Fractal aggregates and gels in shear flow j j Phys. Rev. A. 1992. - Vol. 46, N 6. - P. R3008-R3011.

122. Shih W.H., Shih W.Y., Kim S.I., Liu J., Aksay I.A. Scaling behavior of the elastic properties of colloidal gels // Phys. Rev. A. 1990. - Vol. 42, N 8. - P. 4772-4779.

123. Potanin A.A. On the Self-Consistent Calculations of the Viscosity of Colloidal Dispersions j/ J. Colloid Interface Sci. 1993. - Vol. 156, N 1. - P. 143-152.

124. Potanin A.A. On the mechanism of aggregation in the shear flow of suspensions // J. Colloid Interface Sci. 1991. - Vol. 145, N 1. - P. 140-157.

125. Шалаев B.M., Штокман М.И. Оптические свойства фрактальных кластеров //ЖЭТФ. 1987. - Т. 92, - С. 509-521.

126. Thill A., Lambert S., Moustier S., Ginestet P., Audic J.M., Bottero J.Y. Structural Interpretations of Static Light Scattering Patterns of Fractal

127. Aggregates: II. Experimental Study // J. Colloid Interface Sci. 2000. -Vol. 228, N 2. - P. 386-392.

128. Odenbach S., Gilly H. Taylor vortex flow of magnetic fluids under the influence of an azimuthal magnetic field //J. Magn. Magn. Mater. -1996. Vol. 152. - P. 123-126.

129. Odenbach S., Stork H. Shear dependence of field-induced contributions to the viscosity of magnetic fluids at low shear rates // J. Magn. Magn. Mater. 1998. - Vol. 183.- P. 188-193.

130. Зубарев А. Ю. Реологические свойства полидисперспых магнитных оюидкостей. Влияние цепочечных агрегатов // ЖЭТФ. 2001.- Т. 120.- С. 94-100.

131. Cutillas S., Liu J. Experimental study on the fluctuations of dipolar chains // Phys. Rev. E 1999. - Vol. 64. - P. 011506-1 - 011506-5.

132. Горшков В.И., Кузнецов И.А. Физическа химия Издат. Московского Университета, Москва, 1986. - 264 с.

133. Стромберг А.Г., Семченко Д.П. Физическа химия Высшая Школа, Москва, 2001. - 528 с.

134. Неппер Д. Стабилизация коллоидных дисперсий полимерами. -Мир, Москва, 1986. 487 с.

135. Вонсовский С. В. Магнетизм. Наука, Москва, 1971. - 1032 с.

136. Розенцвейг Р. Феррогидродинамика. Мир, Москва, 1989. - 357 с.

137. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред -Наука, Москва, 1982. 620 с.