Фрактальные модели динамики активных распределенных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Иудин, Дмитрий Игоревич

• Иудин, Дмитрий Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иудин, Дмитрий Игоревич

Введение

Глава 1. Фрактальная динамика электрического заряда в грозовом облаке

1.1. Металлизация облака

1.2. Скейлинговое рассмотрение процесса переноса заряда в облаке

1.3. Фрактальный механизм усиления поля в промежутке облако —земля

1.4. Мультифрактальная модель процесса канализации заряда

1.5. Обсуждение результатов моделирования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фрактальные модели динамики активных распределенных систем»

В последние десятилетия наблюдается экспоненциальный рост исследований, связанных так или иначе с физическими приложениями фрактальной геометрии. Фракталы или множества с нецелой размерностью Хаусдорфа-Безиковича известны с 1918 года [1], хотя само понятие фрактала было сформулировано Бенуа-Мандельбротом относительно недавно в работах [2, 3]. Это понятие стремительно и прочно вошло в физическую парадигму конца XX века.

Фракталы вездесущи: мы встречаемся с ними и при непосредственном восприятии форм физического мира и при анализе геометрических объектов, возникающих в процессе физических исследований. Береговая линия, контуры облаков, кромка леса, колонии микроорганизмов, разряды в диэлектриках, — все это примеры объектов с нецелой размерностью Хаусдорфа. Фракталы можно обнаружить и в фазовом пространстве динамических систем — это странные аттракторы — фазовые портреты конечномерных (и даже маломерных) динамических систем, демонстрирующих хаотическое поведение. Фракталом может быть множество точек пересечения реализацией случайного процесса фиксированного уровня и т. д.

Самое главное и замечательное свойство фракталов — это их самоподобие или, более строго, инвариантность относительно масштабных преобразований. Зная структурные особенности фрактала на некотором фиксированном масштабе, можно легко экстраполировать его формы как в сторону увеличения размеров, так и в сторону их уменьшения.

Как иллюстрацию, приведем фрактальный объект, называемый прокладкой Серпинского (Sierpinski gasket, рис.1). Пусть So — множество точек внутри равностороннего треугольника с единичным ребром. Проведем в этом треугольнике медианы. Они делят Sо на четыре равsierpinski gasket

Рисунок 1.

Схема построения фрактального объекта, называемого прокладкой Серпинского. В равностороннем треугольнике проводятся медианы, которые делят его на четыре равносторонних треугольника, меньшего масштаба. Из исходного треугольника вырезается множество точек, принадлежащих внутреннему треугольнику. Процедура повторяется бесконечное число раз. посторонних треугольника с длиной ребра 1/2. Вырежем из So точки, попавшие во внутренний треугольник. Полученное множество обозначим На следующем шаге ту же операцию осуществим для каждого из трех треугольников, входящих в Si. Повторяя процедуру, получим убывающую последовательность замкнутых множеств в евклидовой плоскости S0 Э Si D S2 D • • •• Описанный алгоритм легко распространяется и в сторону увеличения размеров, где мы получаем множества с. аналогичными свойствами, такие, что . D 52 D D 51 Э Sq. Полагаем, по определению, что 5 — пересечение множеств Sn. Тогда 5 — фрактал. Его топологическая размерность равна единице. Для определения фрактальной размерности этого множества рассмотрим покрытия 5о равносторонними треугольниками с длиной ребра еп = (l/2)n, п = 0,1,2,. . Легко видеть, что число треугольников, покрывающих единичный фрагмент фрактала 5и5о, составляет N(£n) = З71. Тогда фрактальная (клеточная) размерность 5 определяется формулой ln N(en) 1пЗ , , df = lim , п! = —- ~ 1,58 > 1.

7 1п(1/еп) 1п 2

Удивительно, что простейший алгоритм приводит к возникновению довольно сложного (если считать критерием сложности эстетическую привлекательность) объекта. В сегодняшней физике часто встречаются ситуации, когда сложная система, с трудом поддающаяся описанию в рамках традиционного эволюционного подхода, обнаруживает в своем поведении черты самосогласованности и самоподобия. В таким случаях применение методов фрактальной геометрии представляется уместным и плодотворным.

Наиболее интересны, в этом плане, системы, фрактальные свойства которых обнаруживаются непосредственно в их конфигурационном пространстве. Это процессы агрегации и случайного роста, случайные блуждания и диффузия, явления протекания. Последние составляют круг интересов теории протекания, в рамках которой преимущества фрактальных методов проявляются наиболее выпукло.

Основные идеи теории протекания или перколяции (от английского percolate) были сформулированы еще в дофрактальные времена в классической работе [4], но широкую популярность ей принес фрактальный бум начала 80-х годов. Теория протекания занимается геометрическим фазовым превращением — появлением связности в ансамбле очень большого (макроскопического) числа элементов при условии, что расположение самих элементов и связи между ними носят случайный характер. Крупномасштабная геометрия связанных элементов (кластеров) вблизи порога превращения имеет универсальный характер и не зависит от мелкомасштабной структуры, определяемой физической природой связей и свойствами отдельных элементов. Универсальная геометрия крупномасштабных структур предопределяет универсальность глобальных свойств в системе, делая перколяцию чрезвычайно привлекательной в прикладном аспекте [8, 9].

В простейших случаях перколяция возникает в специально приготовленных системах — композитах, где компоненты имеют контрастные физические свойства. Возьмем в качестве примера композит "металл-изолятор", представляющий собой случайно однородное распределение металлических зерен с характерным размером а в диэлектрической матрице с размерами L >> а. Пусть х характеризует объемную долю металла в композите, тогда 1-х соответствует объемной доле диэлектрика. При ж < 1 металлические зерна с большой вероятностью изолированы друг от друга и композит является диэлектриком, напротив, при х 1 композит будет проводить ток. Оказывается, что существует критическое значение х = жс, при котором материал начинает демонстрировать отличную от нуля проводимость [5, 7]. Величина зываемая порогом протекания, существенно зависит от размерности пространства и практически не чувствительна к форме проводящих зерен. Для трехмерного пространства хс ~ 0,16 [9]. Выше порога протекания (х > хс) проводимость материала при изменении его состава меняется по скейлинговому закону: а ~ (х — где t — критический проводимости. В трехмерном случае t ~ 1,7. Наличие ненулевой проводимости в композите, заполняющем все пространство (Ь —> оо) при х > хс, связано с появлением в нем, так называемого, бесконечного перколяционного кластера — связной конфигурации контактирующих зерен, пронизывающей всю систему. Образование бесконечного кластера есть фазовый переход, параметром порядка которого является мощность бесконечного перколяционного кластера — доля занятого им объема. При х —> жс, х > хс эта величина демонстрирует критическое поведение где (3 — критический индекс параметра порядка. В трехмерном случае (3 ~ 0,4. Поведение зависимости Роо(х) и сг(х) показано на рис.2. Как и любое другое фазовое превращение, перколяционный переход характеризуется расходящимся радиусом корреляции, который в теории протекания имеет наглядный геометрический смысл: при х < хс — это характерный размер связных конфигураций соприкасающихся зерен — конечных перколяционных кластеров, а при х > хс — характерный размер пустот в бесконечном кластере. Критическое поведение этой величины дается соотношением где V — критический индекс радиуса корреляции перколяционного перехода. В трехмерном пространстве V ~ 0,88. Принципиальное значение имеет то, что на масштабах а <С I < Яс бесконечный кластер можно рассматривать как фрактальную самоподобную систему, а на масштабах £ > Лс он ведет себя как однородный фрактал (см. рис.3).

Нетрудно определить размерность перколяционного кластера. По определению, фрактальная размерность кластера описывает рост его массы при увеличении его размеров: М ~ ДР', тогда для его плотности в трехмерном случае мы имеем:

Роо- (х- ХС)Р,

В.1)

Яс \х — хс v

В.2)

В.З)

Рис. 2.

Зависимость мощности бесконечного кластера (1) и проводимости перколяционной сетки (2) от концентрации х для континуальной задачи протекания в трехмерном случае.

Т X — X

-'с тто \1 хс где хс ~ 0,16 — порог протекания, /3 ~ 0,4 — критический индекс параметра порядка, <тт — проводимость металлических зерен, £ ~ 1,7 — критический индекс проводимости.

Рис. 3.

Поведение мощности (плотности) бесконечного перколяционного кластера как функции масштаба I в билагорифмическом виде.

На масштабах а <С I < Яс бесконечный кластер можно рассматривать как фрактальную самоподобную систему, а на масштабах I > Яс он ведет себя однородный фронт. радиус корреляции перколяционного перехода. Наклон графика в зоне фрактального поведения определяется размерностью перколяционного кластера Б]. Для трехмерного случая Б} = 2,54.

С другой стороны, мощность перколяционного кластера (В.1), собственно, и есть его плотность: Р = Р^. Сравнивая(ВЛ), (В.2) и (В.З), получаем Df = 3 — ~ 2,54.

Электрические свойства композита можно экспериментально изучать, заполняя им пространство между обкладками плоского конденсатора. На рис.4 представлены результаты компьютерного эксперимента, проведенного В. В. Сахаровым, для двумерного композита "металл - изолятор".

Интересные свойства композита во внешнем электрическом поле Е0 обнаруживаются и при х < жс, когда проводящие фрагменты в материале представлены изолированными кластерами. При этом электростатическая энергия композита дается выражением:

УГ = -^е1\Е\2р(Е)<1Е, (В.4) где интеграл берется по объему диэлектрика, р(Е) йЕ — вероятность того, что локальное электрическое поле внутри диэлектрика имеет абсолютное значение в интервале от Е до Е + ¿Е. Поведение р(Е) представлено на рис.5. Электростатическую энергию можно связать с эффективной диэлектрической проницаемостью композита

К = ^ ^вфф |Яо|2 = ^ (1 - Р) Уе {\Е\2) , где ((.Е'!2) — среднее по пространству \Е\2. Вблизи порога при х < хс £эфф ~ {хс — где § — критический индекс диэлектрической проницаемости. Это означает, что средний квадрат поля расходится вблизи порога протекания: ((-Ё^2) ~ (хс — х)~в. Для максимальных флуктуаций поля внутри композита мы получаем: бЕ^* {(\Е\2))1/2 ~ (хс - х)-'2, и, таким образом, электрическая прочность композита описывается вблизи порога соотношением < Епр(жс - х)з/\

Перколяционный кластер

Рис.4

Рис. 5.

Качественный вид распределения плотности вероятности р(Е) амплитуды электрического поля Е в композите "металл-изолятор" при величине внешнего однородного поля Е0.

Распределение в виде ¿-функции (1) соответствует однородному диэлектрику (х — 0), распределение (2) соответствует х<хс.

Функция р(Е) определяет величину электростатической энергии композита

Ж = \Е\2р(Е)<1Е, где е — диэлектрическая проницаемость изолятора. где Епр — электрическая прочность диэлектрической компоненты композита. Если теперь изобразить качественно вид зависимости тока через наш композит с фиксированным х < хс от величины приложенного к нему поля, то мы получим типичную 5-образную характеристику, где потере квазиоднородного токового состояния в материале соответствует величина внешнего поля Е. Подобную же б'-образную характеристику мы получим для зависимости тока через образец от величины объемной доли металла в нем при фиксированной величине внешнего поля (см. рис. 6). Теперь шнурование тока в образце будет происходить при

Таким образом, уже в такой достаточно простой постановке мы получаем нетривиальный тип нелинейного поведения системы при вариации ее параметров.

Можно привести множество других примеров, где в определенным образом приготовленных системах перколяция по одной из контрастных по физическим свойствам компонент приводит к содержательным эффектам (в третьей главе диссертации подробно рассматривается применение теории протекания к пористым средам [70, 71]), причем кроме композитов здесь могут быть использованы различные модели клеточных автоматов или компьютерные алгоритмы [69]. И эта тема не теряет своей актуальности.

Однако, более интересная физическая ситуация возникает тогда, когда развитие компонент с контрастными свойствами о бусловлено динамикой самой системы. В таких случаях перколяция становится существенным элементом нелинейного сценария эволюции сложных неравновесных систем. В работе [10], например, идеи протекания положены в основу анализа турбулентных течений. Разбивая мысленно область, занятую течением, на ячейки с колмогоровским диссипативным масштабом, автор вводит объемную долю ячеек, турбулизованных в данный момент времени, полагая, что в других ячейках в тот же момент

Рис. 6.

Качественный вид 5-образной зависимости тока через композит "металл-изолятор" от объемной доли металлических зерен х. Пробой достигается при \2/5

X ~ хс — —и, пр. где хс — порог протекания, Е — электрическая прочность композита, Епр — электрическая прочность диэлектрической компоненты. времени движение имеет безвихревой ламинарный характер. По мере роста переносимой потоком энергии, увеличивается объемная доля тур-булизованных ячеек, которой здесь отводится роль критического параметра. При достижении критическим параметром порога протекания в системе возникает бесконечный кластер из турбулизованных ячеек и транспорт энергии в потоке приобретает новое качество. Если до появления бесконечного кластера вводимая в область движения энергия шла на увеличение числа турбулизованных ячеек и диссипацию, то после появления такого кластера энергия может отводиться по нему на "бесконечность", т.е. выводиться из области турбулентного движения. При этом концентрация турбулизованных ячеек может флуктуационно возрастать. Однако возникающие флуктуационно новые турбулизован-ные ячейки будут затухать под действием вязкости, из-за отсутствия постоянного подвода энергии к ним. Более того, в самом бесконечном кластере устойчивым (в силу той же причины) будет только скелет, то есть множество ячеек, принадлежащих бесконечным путям по кластеру. Тупиковые, конечные ветки кластера будут затухать под действием вязкости без постоянного подвода энергии к ним.

Интересные возможности по использованию идей протекания для описания структуры нейтрального токового слоя внутри плазменного слоя удаленного геомагнитного хвоста найдены в работе [11]. Авторы исходят из предположения о том, что структура токового слоя, пересекающего геомагнитный хвост, соответствует самосогласованному характеру нелинейной динамики системы ионные токи-магнитные флуктуации. Самосогласованной токовой системе сопоставлена самоподобная в широком диапазоне масштабов сильно разветвленная перколяци-онная сеть, структурные особенности которой определяют характер (энергетический спектр) флуктуаций магнитного поля.

Возникновение в системе новой фазы с контрастными по отношению к исходному состоянию свойствами может быть вызвано развитием некоторой неустойчивости. Тогда перколяция способна стать завершающим (часто катастрофическим) элементом в каскаде неустойчивостей, испытываемых системой в процессе ее эволюции. Так в неравновесной, гетерофазной среде динамическое изменение удельного объема одной из взаимодействующих фаз может привести к неустойчивости, обусловленной перколяцией развивающейся фазы. Существенную роль при этом играет внешнее потенциальное поле, по отношению к которому, собственно, и обнаруживаются контрастные свойства компонент. Такая ситуация примечательна тем, что параметр порядка кинетического заселения среды новой фазой становится критическим параметром механизма запорогового ограничения роста населенности.

Говоря о приложении идей протекания к нелинейной динамике необходимо указать на связь возникающих здесь проблем с развивающейся в последние десятилетия теорией фазовых переходов индуцированных шумом [12]. В настоящее время эта теория в достаточной степени развита только для сосредоточенных систем, где шум вводится как случайная зависимость параметров от времени. В распределенных системах понятие шума приобретает более широкий смысл, включая в себя пространственные флуктуации — "пространственные шумы", и здесь методы и образы теории протекания должны будут сыграть весьма существенную роль. Отметим, что эта проблематика перекликается с задачами развития пространственного беспорядка [13].

В диссертации рассматриваются две конкретные физические системы: грозовое облако и сейсмогенез, для которых идеология теории протекания и фрактальные методы дают конструктивную основу для анализа важнейших аспектов динамики. Развитие исследований в этом направлении только начинается и проблемы, рассмотренные в диссертации, являются важными и актуальными.

Цель работы: построение и анализ фрактальных моделей, описывающих динамику активных распределенных систем на примере грозового облака и сейсмической активности, экспериментальная проверка выводов континуальной теории протекания для фильтрационного течения в среде с изменяющейся пористостью.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. На основе использования методов фрактальной геометрии построена модель динамики электрических зарядов в грозовом облаке, которая качественно качественно а, в некоторых случаях, количественно позволяет описать все основные процессы, возникающие на предвспышечной стадии молниевого разряда: К-, /-процессы, понижение электрического заряда, характерную величину электрического тока, серию отдельных разрядов во вспышке, разветвленную структуру электрических разрядов внутри облака, обнаруживаемую по характеру радиоизлучения в разнесенных точках приема.

2. Предложен и исследован механизм перколяционной неустойчивости, насыщенного легким флюидом пористого субстрата в гравитационном поле. Получен критерий саморазрушения насыщенной пористой среды в гравитационном поле. Рассмотрен один из возможных механизмов сейсмической активности, обусловленный перколяционной неустойчивостью дегазирующего субстрата литосферы. Построена фрактальная модель сейсмогенеза.

3. Получено экспериментальное подтверждение выводов континуальной теории протекания для фильтрационных течений в дисперсных средах с изменяющейся пористостью. Теоретически и экспериментально обнаружено значительное снижение порога протекания для полидисперсных ансамблей и ансамблей с ближним порядком. На основе сопоставлений обнаруженных экспериментально нелинейных эффектов с двухчленным законом фильтрации получено универсальное соотношение для фильтрационного числа Рейнольдса для широкого класса дисперсных сред.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Иудин, Дмитрий Игоревич

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом.

1. Предложена качественная перколяционная модель процесса "металлизации" грозового облака на предварительной стадии молниевого разряда. Для одномерного случая установлен факт роста плотности свободного заряда на фронте металлизации, движущемся с постоянной скоростью в заряженном диэлектрике. Показано, что при "металлизации" фрактальной области происходит эффективный рост макрострук-турных токов, индуцированных крупномасштабным полем облака.

2. Построена фрактальная модель процесса переноса заряда в облаке, которая качественно а, в некоторых случаях, количественно позволяет описать все основные процессы, возникающие на предвспышечной стадии молниевого разряда: К-, /-процессы, понижение электрического заряда, характерную величину электрического тока, серию отдельных разрядов во вспышке, разветвленную структуру электрических разрядов внутри облака, обнаруживаемую по характеру радиоизлучения в разнесенных точках приема. Предложена мультифрактальная модель системы опроса заряда в облаке. Получен спектр сингулярностей дренажной токовой системы.

3. Предложен и исследован фрактальный механизм усиления поля в промежутке облако-земля. На основе предложенной модели получены оценки числа ударов в молниевой вспышке и характерного временного интервала между ними.

4. Предложен и исследован механизм перколяционной неустойчивости, насыщенного легким флюидом пористого субстрата в гравитационном поле. Получен критерий саморазрушения насыщенной пористой среды в гравитационном поле. Рассмотрен один из возможных механизмов сейсмической активности, обусловленный перколяционной неустойчивостью дегазирующего субстрата литосферы. Построена фрактальная модель сейсмогенеза. На основе скейлингового описания процесса дегазации получен известный эмпирический закон повторяемости сейсмических событий ГУттенберга-Рихтера. Решена задача об уровне дегазации субстрата литосферы, необходимом для обеспечения наблюдаемого уровня сейсмичности. Получены оценки, подтверждающие адекватность предложенного механизма сейсмической активности. Рассмотрена энергетика землетрясений.

5. Получено экспериментальное подтверждение выводов континуальной теории протекания для фильтрационных течений в дисперсных средах с изменяющейся пористостью. В серии экспериментов с различными дисперсными средами выявлены границы применяемости континуальной теории протекания. Экспериментально обнаружено значительное снижение порога протекания для полидисперсных ансамблей и ансамблей с ближним порядком. Построена качественная модель перехода от континуального протекания к решеточному. На основе сопоставлений обнаруженных экспериментально нелинейных эффектов с двухчленным законом фильтрации получено универсальное соотношение для фильтрационного числа Рейнольдса для широкого класса дисперсных сред.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иудин, Дмитрий Игоревич, 1998 год

1. Хаусдорф Ф. Теория множеств / Пер. с нем. — M.-JL, 1937.

2. Mandelbrot В. В. Fractals: Form, Chance and Dimension. — San-Francisko: Freeman, 1977. 365 p.

3. Mandelbrot B.B. The fractal geometry of nature. — N. Y.: Freeman, 1983. 468 p.

4. Broadbent S.R., Hammersley I.M. // Proc. Cambr. Phil. Soc. 1957. V. 53. P. 629.

5. Шкловский Б. П., Эфрос A. JI. Теория протекания и проводимость сильно неоднородных сред // УФН. 1975. Т. 117. Вып. 3. С.401-435.

6. Скал А. С., Шкловский Б. И., Эфрос А. Л. // Письма ЖЭТФ. 1973. Т. 17. С. 522. С. 401-435.

7. Соколов И. М. Размерности и другие геометрические показатели в теории протекания // УФН. 1986. Т. 150. N2. С.221-255.

8. Федер Е. Фракталы. — М.: Мир, 1991.

9. Stauffer D. Scaling theory of percalation clusters // Phys. Rept. 1979. V.54. P.l.

10. Бершадский А. Г. Крупномасштабные фрактальные структуры в лабораторной турбулентности, океане и астрофизике // УФН. 1990. Т. 160. N126. С. 189-194.

11. Milovanov А. V., Zelenyi L.M., Zinbargo G. Fractal structures and power law spectra in the distant Earth's magnetotail // JGR. 1996. V.101. P. 19903.

12. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы / Пер. с англ. — М.: Мир, 1987. 400 с.

13. Рабинович М.И., Фабрикант А. Л., Цимринг Л.Ш. // УФН. 1992. Т. 162. N8. С. 1-42.

14. Именитов И.М., Чубарина Е. В., Шварц Я.М. Электричество облаков. — Л.: Гидрометеоиздат, 1971.

15. Burke СЛ., Fen A. A., Stenard М.Е., Conrad А. С., Torzon R.L. // J. Geoph. Res. 1987. Vol.92. P.1017.

16. Юман M. Молния. — М.: Мир, 1972.

17. Marshall Т. С., McCarthy М.Р, Rust W.D. Electric field magnitudes and lightning initiation in thunderstorms // JGR. 1995. V. 100. ND4. P 7097-7103.

18. Stiozenburg M., Rust W.D., Smull B.F., Marshall Т. C. Electrical structure in thunderstorm convective regions. 1. Mesoscale convective systems // JGR. 1998. V. 103. ND12. P 14059-14078.

19. Warwick J.W. A new model of lightning / Dusty and Dirty Plasmas, Noise and Chaos in Space and in the Laboratory. Edited by H. Kikuchi. — New York: Plenum Press, 1994. P. 284-293.

20. Трахтенгерц В.Ю. О природе электрических ячеек в грозовом облаке // ДАН СССР. 1989. Т. 308. С. 584.

21. Трахтенгерц В. Ю., Мареев Е. А., Сорокин А. Е. Электродинамика конвективного облака // Изв. вузов. Радиофизика. 1997. Т. XL. N2. С. 123.

22. Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. — М.: Наука, 1988. 304 с.

23. Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров. — М.: Наука, 1991. 134с.

24. Witten Т. A., Sander M. // Phys. Rev. Lett. 1981. V.46. P. 1400.

25. Nagatani T. Multifractality of flow distribution in the river-network model of Scheidegger // Phys. Rev. E. V.47. N1. P. 63-66.

26. Beach P.D., Duxbury P.M. // Phys. Rev. B. Vol.37. N6. P. 2785.

27. Bownum D.R., Stroud D. // Phys. Rev. B. Vol.40. N7. P.4641.

28. Jullien R., Kolb M. // Phys. Rev. Lett. 1984. V.53. P. 1653.

29. Л ушников А. А., Негин A. E., Пахомов А. В. Шаровая молния / Под ред. Б.М.Смирнова. — М., 1990.

30. Лоскутов Ф.Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику: Учеб, руководство. — М.: Наука, 1990. 272 с.

31. Владимиров В. И. Основы физики разрушения твердых тел / Физические основы прогнозирования разрушения горных пород при землетрясениях. — М.: Наука, 1987.

32. Садовский М. А., Болховитинов А. Г., Писаренко В.Ф. Деформирование геофизической среды и сейсмический процесс. — М.: Наука, 1987.

33. Эфрос А. Л. Физика и геометрия беспорядка. — М.: Наука, 1982.

34. Шаров Р. И. Тектоническое землетрясение как неравновесный термодинамический процесс разрушения горных пород // Физика Земли. 1992. Т. 5. С. 211.

35. Witten Т. A., Sander L. М. // Phys. Rev. Lett. 1981. V.47. P. 1400.

36. Касахара К. Механика землетрясений. — М.: Мир, 1985.

37. Райе Дж. Механика очага землетрясений. — М.: Мир, 1983.

38. Мячкин В. И., Костров Б. В., Соболев Г. А., Шамина О. Г. Основы физики очага и предвестники землетрясений. В кн.: Физика очага землетрясений. — М.: Наука, 1975. С. 6-29.

39. Stuart W. D. Diffusionless dylatancy model for earthquake precursors // Geophys. Res. Lett. 1974. V.l. N6. P. 261-264; 1975. V. 2. N6. P. 263-264.

40. Brady B.T. Theory of earthquakes (1) // Pure and Appl. Geophys.1974. V. 112. N4. P. 701-726.

41. Brady B.T. Theory of earthquakes (2) // Pure and Appl. Geophys.1975. V.113. N1/2. P. 149-168.

42. Brady В. T. Theory of earthquakes (4). General implications for earthquake prediction // Pure and Appl. Geophys. 1976. V. 114. N6. P. 1031-1082.

43. Nur A. Dilatancy, pore fluids and premonitory variations of ts/tp travel times // Bull. Seismol. Soc. Amer. 1972. V.62. N5. P. 12171222.

44. Scholz C.H., Sykes L. R., Aggarwal Y.P. Earthquake prediction a physical basis // Science. 1973. V.181. N4102. P. 803-809.

45. Зубков С. И., Гвоздев А. А., Костров Б. В. В кн.: Физические процессы в очагах землетрясений. — М.: Наука, 1980. С. 114-119.

46. Пономарев А. С. Теплогазодинамическая модель коровых землетрясений // Физика Земли. 1990. N10. С. 100.

47. Широкова Е.И. Землетрясения "несдвигового" типа // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1985. N3. С 29-40.

48. Кальметьева 3. А. Классификация очагов слабых землетрясений по характеру излучения // Методы и результаты исследования сейсмоактивных зон Киргизии. — Фрунзе: Илим, 1982. С. 33-39.

49. Сигейи Суйехиро. Методы прогноза землетрясений, их применение в Японии. — М.: Недра, 1984. 312 с.

50. Рыкунов А. Л., Смирнов В. В. Общие особенности сейсмической эмиссии на различных временных масштабах // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1985. N6. С. 83-87.

51. Доброврольский И. П. Механика подготовки тектонического землетрясения. — М.: ИФЗ АН СССР, 1984. С. 189.

52. Дерпгольц В. Ф. Минеральные воды. — Л.: Недра, 1979. 209 с.

53. Осика Д. Г. Флюидный режим сейсмически активных областей. — М.: Наука, 1981. 202с.

54. Сторчеус А. В. К вопросу о природе вулканических взрывов // Вулканология и сейсмология. 1985. N4. С. 72-77.

55. Гохберг М.Б., Некрасов А. К., Шалимов С. Л. О влиянии нестабильного выхода парниковых газов в сейсмически активных регионах на ионосферу // Физика земли. 1996. N8. С. 52-55.

56. Roberts J.N., Schwartz L.M. Grain consolidation and electrical conductivity in porous média // Phys. Rev. В. V. 31. 1985. P. 5990-5997.

57. Schwartz L.M., Banavar J.R. Calculation of electrical transport in continuum systems by diffusion simulation // Physica A. 1989. V. 157. P. 230-234.

58. Добрынин В. M., Серебряков В. A. Методы прогнозирования аномальных высоких пластовых давлений. — М.: Недра, 1978. 232 с.

59. Итон Б. Использование получаемых в процессе бурения петрофи-зических данных для оценки перспектив // Нефтегазовые технологии. 1993. N3. С. 15-25.

60. Иудин Д. И., Шалашов Г.М. Механизм сейсмической активности. Препринт N382. — Нижний Новгород: НИРФИ, 1994. Юс.

61. Gouet J. F. Invasion noise during drainage in porous media // Physica A. 1990. V. 168. P. 581.

62. Gouet J.F., Sapoval В., Boughaleb Y., Rosso M. Structura of noise generated on diffusion fronts // Physica A. 1990. V. 157. P. 620.

63. Rosco M., Gouet J.-F., Sapoval B. // Phys. Rev. B. 1985.

64. Iudin D.I. Model of the seismic noise generation mechanism. Session N2.2 / SE 42 // Scaling, Fractals and nonlinearity in solid Earth Geophysics. EGS XXI General assembly. — Gaague, 1996.

65. Iudin D.I., Kas'yanov D.A. Percolation Unstability in Gravitational Field and Stochastic Seismology // The 29th General Assembly of the International association of Seismology and Physics of the Earth's interior, S6. Thessaloniki, Greece, August, 1997.

66. Iudin D.I., Kas'yanov D.A. Percolation model of seismic aktivity // Proc. International Workshop "Seismo-Atmospheric and Ionospheric Phenomena" — Tokyo, 1997.

67. Беллюстин H. С., Иудин Д. И., Яхно В. Г. Генерация активных структур в нейроподобных средах // Тезисы интернациональной школы-семинара "Нейрофизика и биология". — Калининград, 1993.

68. Иудин Д. И., Касьянов Д. А., Шалашов Г.М. Перколяция в среде с переменной пористостью // Препринт N434. — Нижний Новгород: НИРФИ, 1997. 20 с.

69. Иудин Д.И., Касьянов Д. А., Шалашов Г.М. Фильтрационное течение в среде с переменной пористостью // ДАН (в печати).

70. Iudin D. I., Kas'yanov D. A. The possible analogue between earthquake and dielectric brekdown // Proc. International Conference on Marine Electromagnetics. — London, 1997.

71. Iudin D. I., Trakhtengerts V. Y. Fractal model of thunderstorm activity (be published).