Развитие теории детерминантов до середины XIX века тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 07.00.10, кандидат физико-математических наук Ананьева, Миляуша Сабитовна

• Ананьева, Миляуша Сабитовна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ананьева, Миляуша Сабитовна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Общая характеристика состояния теории детерминантов от истоков до середины XIX столетия

1.1. Предыстория теории детерминантов

1.2. Накопление элементарных сведений и формирование основных понятий

1.3. Построение теории детерминантов и систематическая разработка для приложений

1.4. Расширение понятия детерминанта и области его применения

ГЛАВА II. Основание теории детерминантов Ж.Бине и О.Коши 44 И. 1. Теорема умножения детерминантов в работах Ж. Бине 44 Н.2. О. Коши - формальный основатель теории детерминантов

ГЛАВА III. Развитие теории детерминантов К.Г.Я. Якоби

III. 1. К.Г.Я. Якоби и его научная деятельность 66 Ш.2. Общие теоретические результаты в статье «О построении и свойствах детерминантов»

Ш.З. Работа К.Г.Я. Якоби «О функциональных детерминантах» 89 Ш.4. Исследование свойств знакопеременных функций и прикладных задач с помощью детерминантов

ГЛАВА IV. Обзор последующих достижений в области детерминантов

ГУЛ. Первые результаты А. Кэли в области определителей

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие теории детерминантов до середины XIX века»

На всех этапах истории естествознания для решения практических задач успешно применялись разнообразные вычислительные средства, в частности, детерминанты - предшественники современных матриц. Одним из них были детерминанты. К их появлению привели поиски рациональных приемов решения систем линейных алгебраических уравнений. Основанное, как известно, О. Коши учение о детерминантах получило распространение лишь благодаря выдающемуся деятелю науки и просвещения К.Г.Я. Якоби. Прежде чем определители и операции с ними обрели привычный для нас вид, они прошли долгий путь становления и развития. Актуальность темы диссертационной работы обусловлена необходимостью изучения закономерностей процесса их развития. Кроме того, его исследование позволило бы избежать ошибки при оценке вклада ученых в рассматриваемой области знаний и тем самым представить объективную картину состояния учения.

В настоящее время изучению определителей отводится важное место в вузовском курсе линейной алгебры. Анализ истории преподавания теории детерминантов позволил выделить несколько подходов: классический (Э. Безу [6], Ж. Жергонн [133-134], Н.И. Лобачевский [59]), функциональный (О. Коши [56], К.Г. Якоби [144], О. Гессе [141]), «грассмановский» (Г. Грассман, К.Г. Валеев [20]), векторно-геометрический (A.M. Лопшиц [61], А.И. Узков [90]). Большинство авторов учебных пособий, изданных в середине XIX столетия, исходили из общего определения детерминанта как полилинейной функции нескольких переменных. Более удачным оказался классический подход, который соответствовал первоначальному назначению детерминантов и был обусловлен, по мнению многих ученых, развитием самой теории, связанной с решением системы линейных алгебраических уравнений. Два других имели геометрическую направленность. Они появились намного позднее учения о детерминантах.

Первые работы, затрагивающие вопросы истории детерминантов, появились во второй половине XIX в. В трудах М. Кантора [118], 3. Понтера [137] и других в некоторой степени освещен этап их формирования. Это же относится к книгам и очеркам по истории математики НБурбаки [16],Г.Вилейгнера [24], А- Даан-Дальмедико и Ж. Пейффер [36] на русском языке. Сведения о некоторых открытиях в рассматриваемой области приводились и в отечественной литературе, в частности, СП Ярошенш [108], В. Шифф [99], AJL Юшкевичем [101], ИГ. Башмаювой, Г.С. Смирновой [5], Т.Д. Тарановской [87]. Фрагменты истории, касающиеся введения понятия детерминанта в теории линейных уравнений, изучались Г.М. Гусак [35], А.П. Юшкевичем, И.Г. Башмаковой [103].

В работах А.Н. Колмогорова [54], К.А. Рыбникова [78], Б.В. Болгарского [13], Д.А. Граве [34], Ф. Клейна [53], Д.Я. Стройка [84], О. Беккера [112], Э.Т. Белла [112], А. Гитлемана [135], Г. Ханкеля [138], Г. Кроппа [159], Д.Е. Смита [182] получили освещение вопросы истории математики в целом и линейной алгебры в частности. Таким образом, можно утверждать, что история рассматриваемого учения излагалась в ходе развития самой линейной алгебры или какой-нибудь ее части, касающейся оценки конкретного вклада ученых.

В связи с отмеченным выше заслуживает внимания труд Т. Мьюира [165-169], опубликованный впервые в 1890 году. Автор собрал многочисленные публикации о детерминантах, имевшиеся к тому времени в Западной Европе, и представил их в хронологическом порядке. Им приведены на языке оригинала отрывки из статей многих ученых, внесших свой вклад в историю учения. Эти фрагменты касались понятий, обозначений, свойств детерминантов и являлись, по его мнению, важными для их развития. В целом же богатые фактами исследования ученого служат эмпирическим базисом для изучения истории детерминантов.

Однако воспроизведенный Мьюиром материал требует теоретического осмысления, потому что предложенный им подход не способствует формированию целостного представления о развитии детерминантов, а также созданию объективной оценке вклада ученых. При этом целесообразно не только уделить внимание хронологическому и кумулятивному обзору достижений, но и проследить изменение содержания. На наш взгляд, при рассмотрении истории детерминантов наряду с научными фактами должны учитываться законы развития математики, в частности, линейной алгебры. Кроме того, позднее опубликования монографии Мьюира стали известны новые сведения о детерминантах. Ввиду сказанного нами были проанализированы многие первоисточники с учетом появившихся фактов для получения более полной картины формирования этого учения.

Необходимо отметить, что в историко-математических исследованиях перечисленных выше авторов не ставилась проблема изучения процесса развития определителей с единых позиций, соответствующих рассмотрению истории любой теории. К тому же не получили должного освещения малоизвестные, тем не менее важные, на наш взгляд, исторические факты, а также вопросы, касающиеся содержания названной теории на разных этапах ее развития. В частности, представляет интерес завершение формального построения учения о детерминантах в сочинениях О. Коши и Ж. Бине, благодаря чему началась систематическая разработка нового вычислительного аппарата. До сих пор не получила должной оценки многогранная деятельность К.Г.Я. Якоби в этой области. К тому же не выяснено значение созданных им трех основополагающих для теории трудов (1841) и многочисленных статей прикладного характера. Настоящая диссертационная работа в известной мере восполняет этот пробел.

Объектом предпринятого диссертационного исследования является учение о детерминантах. Предмет исследования - история его развития, в ходе которой изменялось содержание знания о детерминантах.

Цель работы - представление процесса развития теории детерминантов с момента их появления до середины XIX столетия в виде единой исторической картины и оценка на этом фоне научного вклада в теорию К.Г.Я. Якоби и других ученых. Для достижения цели необходимо было решить следующие задачи:

- отыскать в первоисточниках и сопоставить факты, касающиеся изучаемой тематики,

- проанализировать различные учебные пособия по теории детерминантов и линейной алгебре;

- изучить материалы, относящиеся к накоплению элементарных сведений о детерминантах, в частности, соответствующие работы Г.А. Роте и К.Ф. Хаубера - представителей комбинаторной школы К.Ф. Гинденбурга;

- познакомиться с результатами К.Ф. Гаусса, опубликованными в его «Арифметических исследованиях» и повлиявшими на построение теории детерминантов О. Коши;

- реконструировать и проанализировать доказательство теоремы умножения двух детерминантов одинакового порядка, предложенное Ж. Бине, О. Коши; оценить их вклад в завершение формального построения учения;

- изучить статьи К.Г.Я. Якоби «Ueber die Bildung und Eigenschaften der Determinanten», «Ueber die functionalen Determinanten» и «Ueber die alternierenden Functionen und ihre Theilung durch das Product aus den Differenzen der Elemente» и опубликованные им прикладные работы с целью выяснения их места в исторической картине развития детерминантов;

- дать краткий обзор результатов в рассматриваемой области, полученных к середине XIX в. А. Кэли, Дж. Сильвестром;

- выделить основные этапы развития учения о детерминантах, определить его содержание на каждом из них, систематизировать предпосылки возникновения исходного понятия и первые задачи в теоретическом обосновании;

- наметить направления в дальнейшем развитии теории детерминантов и ее приложений.

В основу диссертационного исследования положено изучение оригиналов на европейских языках. Их содержание подвергалось анализу с учетом литературы, не попавшей в поле зрения исследователей. В некоторых случаях в качестве хрестоматии приходилось пользоваться монографией Мьюира. При этом основной подход к изучению работ осуществлялся с современных историко-научных позиций, освещенных, в частности, в трудах К.А. Рыбникова [79], Н. Бурбаки [16], A.JI. Никифорова [68] и других ученых.

Методы, использованные при выполнении диссертации, включали, прежде всего, историко-научный анализ первоисточников; монографий, в которых излагались вопросы учения о детерминантах; а также очерков и статей, посвященных его становлению. Это позволило осуществить первичный эмпирический анализ собранных фактов.

Следующий этап исследования составил элементарно-теоретический анализ полученных результатов для их систематизации, выявления закономерностей развития учения о детерминантах и поиска возможных их приложений. На базе историко-методологического анализа процесса развития учения о детерминантах были синтезированы фрагменты истории, касающиеся описания этапов формирования, а также освещен конкретный вклад в нее ряда ученых.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем:

1. Выделены основные этапы развития учения о детерминантах и определено содержание каждого из них.

2. В свете выделенных этапов изложен новый взгляд на факты, составляющие первоначальный этап формирования учения.

3. Представлено завершение формального построения теории детерминантов О. Коши и Ж. Бине.

4. Оценен многогранный вклад К.Г.Я. Якоби в развитие рассматриваемого учения.

5. Показаны направления дальнейшего его развития, а также способы изложения в процессе обучения.

На защиту выносятся следующие положения:

1. В развитии детерминантов выделены четыре основных этапа:

1. Предыстория определителей (И в. до н.э. - середина XVIII в.).

И. Накопление элементарных сведений, формирование основных понятий и символики (вторая половина XVIII в. - начало XIX в.).

III. Построение теории детерминантов и систематическая разработка их для приложений (1815 - 1841 гг.).

IV. Расширение понятия детерминанта и области его применения (с 40-х годов XIX в.)

2. Первое изложение теоретических основ учения о детерминантах выполненное О. Коши завершило ее формирование (1812), подведя итог исследованиям предшественников. Оно включало предложенное им и Ж. Бине доказательство теоремы умножения двух определителей одинакового порядка, построенное на основе разных подходов, т.е. отличавшихся степенью общности, схемой умножения и назначением.

3. Вклад К.Г.Я. Якоби в развитие учения заключался в том, что он доступно изложил теорию алгебраических детерминантов, на ее основе впервые определил функциональные - якобианы, изучал и систематизировал их свойства, а также выяснял возможные приложения. Как ученый и преподаватель, он в значительной степени способствовал распространению нового вычислительного средства среди учеников и коллег, благодаря чему были решены многие прикладные задачи того времени;

Практическая ценность диссертации видится в том, что ее результаты могут быть предложены для использования в исследовательской и преподавательской деятельности, касающейся освещения вопросов истории детерминантов и смежных теорий.

Результаты научного исследования нашли отражение в 15 публикациях общим объемом 1,5 п.л. (1997-2003). Основные положения диссертации докладывались автором на XVIII годичной конференции Санкт-Петербургского отделения Национального комитета по истории науки и техники «Санкт-Петербург как научный центр (к 275-летию Академии наук и 300-летию Санкт-Петербурга)» (Санкт-Петербург, ноябрь 1997), заседаниях семинара по истории и методологии математики и механики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (Москва, декабрь 1999, ноябрь 2000), научно-практической конференции «Современные подходы в формировании будущих специалистов по физическим и математическим дисциплинам» Башкирского государственного педагогического института (Уфа, апрель 1999), заседании семинара по истории и методологии науки Оренбургского государственного педагогического университета (Оренбург, ОГПУ, март 2003), ежегодных методических семинарах Пермского государственного педагогического университета (Пермь, 1997-2003), регулярных заседаниях Уральского центра истории науки и образования, Пермского межвузовского семинара по истории и методологии науки (Пермь, ПГУ, 1997-2003), ежегодных научно-практических конференциях сотрудников Пермского государственного педагогического университета (1997-2003).

Работа насчитывает 175 страниц. Она состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы, содержащего 189 наименований, а также 6 иллюстраций и 7 таблиц.

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цель и задачи исследования, дан обзор основной литературы, относящейся к рассматриваемому вопросу, а также приведена структура работы и ее краткое содержание.

В главе I «Общая характеристика состояния теории детерминантов от истоков до середины XIX столетия» представлено их развитие в виде единой исторической картины. Предложен новый взгляд на факты, составляющие начальный этап формирования рассматриваемого учения. Выделены основные этапы истории детерминантов в свете общей периодизации математики, выполненной А.Н. Колмогоровым, и, в частности, периодизации алгебры, предпринятой И.Г. Башмаковой. Выяснены также предпосылки возникновения понятия детерминанта, а также причины, по которым некоторые из открытий остались неизвестными.

Правило решения систем линейных алгебраических уравнений, введенное Г. Крамером, получило широкое применение, в частности, в работах К.-Ф. Гинденбурга и его последователей Г. Роте и К.Ф. Хаубера. В диссертации раскрыта связь исследований последнего с учением о детерминантах. Нами также выделены результаты, полученные К.Ф. Гауссом и опубликованные в его «Арифметических исследованиях», которые оказали влияние на построение теории О. Коши. Здесь же представлен обзор основных понятий и обозначений, введенных разными исследователями на первых этапах истории учения, приведены образцы записи детерминантов. Введенные ими новшества в рассматриваемой области оформлены в виде таблицы.

Заключение диссертации по теме «История науки и техники», Ананьева, Миляуша Сабитовна

Те же выводы Якоби повторил для системы однородных линейных уравнений. Кроме того, он попытался исследовать вопрос о существовании решений. Если появлялись неопределенные решения, то они побуждали, по словам ученого, к дальнейшим действиям, так как между бесконечно большими и неопределенными величинами могут иметь место отношения различного рода. Он предположил, что было бы целесообразно определить критерии для таких случаев. Автор проиллюстрировал их геометрической задачей, когда с помощью трех линейных уравнений получают координаты центра поверхности второго порядка и определяют ее вид. Например, если

1) R^O, то получают эллипсоид или гиперболоид вращения (центральную поверхность);

2) /?=О и центр принадлежит заданной прямой, а значения координат являются бесконечно большими, то имеют эллиптический или гиперболический цилиндр;

3) R=0 и центр — бесконечно удаленная точка заданной плоскости, то цилиндр является параболическим;

4) R=0 и координаты центра, лежащего на данной прямой, неопределенные, то имеют место две пересекающиеся плоскости.

Таким образом, Якоби показав существование различных случаев при R=0, сделал вывод о необходимости указания алгебраических критериев для каждого из них. Этот вопрос был полностью исследован и сформулирован Леопольдом Кронекером в 1864 г. [напр., 158]. m

В одном из пунктов, рассмотренных автором, формула (3.1) получила дальнейшее расширение, что позволило бы раскладывать детерминант на произведение нескольких меньшего порядка. Решение задачи, которую в свое время пытались освоить Вандермонд и Лаплас, могло значительно облегчить вычисления определителей больших порядков. Автор предложил разбить все индексы от 0 до л на классы, например, от 0 до г - первый класс, от /+1 до А: -второй, от к+1 до / - третий и, наконец, четвертый - от 1+1 до п. Тогда исходный определитель вычислялся как алгебраическая сумма всевозможных произведений четырех определителей меньшего порядка

Я=1,±аа[аЦ.а{яп) =

4 а а а а а а а а а а а а

В этом случае 5 объединяла + \)\{п—/)У пРоизведени^ Детерминантов, взятых с соответствующим знаком.

Изучение таких «частных детерминантов» («РаЛ1аШе1епшпап1еп» [144, С.22] или на латинском языке «Ое1егттапйа рагйаНа») было предпринято в 1833 г. Якоби выделил группу наиболее часто встречающихся подо-пределителей второго порядка. Он объединил результаты своих предшественников, касающиеся составления определителя Я из таких миноров, записанных им как а^.а^ с алгебраическими дополнениями А^\Ар. Имелись и другие обозначения А^р [напр., 144, С.22] или просто (к, к') для конкретного ряда, т.е. А/}^ [напр., 144, С.24]. Им подробно описано, какой знак должно получать отдельно взятое алгебраическое дополнение. Автор пришел к выводу, что детерминант Я в этом случае получался бы как сумма произведения миноров (выражение в скобках) на соответствующие им алгебраические дополнения [ср. глава II, С.61]: = Е № 4Г -а1Р а[")АЦ: =2 (*« - .

Свойство аналогично разложению определителя по элементам столбца или строки. При этом, как отметил Якоби, должны были учитываться свойства алгебраического дополнения как определителя, например, (к,к')=-(к',к) и (к,к)=0. Заметим, что для выражений второго порядка возникает некоторое внешнее сходство с понятием «скобки Пуассона» [напр., 41]. Автор указал правило составления алгебраического дополнения элемента afg из таких миноров, используя свойство (3.6):

В качестве иллюстрации им была приведена система уравнений, получающаяся в случае, когда g = 0,и, = * +а!/)(0,1)+а</')(0,2)+.+а[/')(0,и),

Aif)= а[г\ 1,0)+ * +в[/Ч(и)+.+в1/,)0.я). и,0)+ a\f'\n, l)+ ¿4/''(я,2)+.+ ♦

Система линейных уравнений с кососимметрическим определителем встречалась при различных аналитических исследованиях. Затем те же результаты Якоби представил в символике дифференциального исчисления.

Вычисляя производную детерминанта по паре элементов так, как составляли бы алгебраическое дополнение Ар дифференцированием R по одному элементу aj/', Якоби получил выражение для дополнений второго порядка с учетом соответствующего знака ми-) <?R g-g да^да^ да^да^) да[0 ~ да^ да[0 да{р'

Используя (3.7) и свойства индексов, автор пришел к тождеству л f,v /,л „ ¿PR dR dR dR dR

Jt.AiW=4>4-'-4-'4 или винои записи

Отметим, что подстановка а(1"* в (3.6) не изменяет его значения на основании свойства о разложении детерминанта по элементам ряда. Дифференцируя полученное выражение по минору с элементом а^ (или а), Якоби рассмотрел два-случая, когда все три индекса i, i', i" (к, к', к") различны или два из них равны i'—i либо i '—i'(к'-к либо к "-к). В первом он пришел к тождеству

В другом - -л?>=¿'Ч:! (-4° = ак.А1-;, + i>

По (3.5) и (3.6) Якоби получил равенства

О =а Ак + а' А1+.+ а(п)А(кп), каждое из них умножил на А'а-к., Л,';*,,.,А'кк.,.,А'п\соответственно и сложил почленно. Тогда в правой части результирующего уравнения остались члены с коэффициентами Ак и А а слева все, кроме одного, равны нулю, т.е. /■ л л .о.» лл .(/■) п Ж дК

Я • А1-1. = АГА1'. > - А1'/А1'' или К последнее записано им с использованием знака дифференциала). Из четырех элементов, стоящих в двух определенных строках /, / 'и столбцах с заданным номером к и произвольно выбранным из к', к", к'", Якоби составил дополнения второго порядка, получил относительно них тождество

4>4Р - АМЫАМ'^ - 4)АР)+(4*4? - АМЬсаМО - 4)4?)+ +(4>43 -аЩ'ЫаМ1)-4>4]) = о, или

К'Акк>' Ак'*кт + Акк. • Ак'~ к. + Ак'к~ • Ак. к. =0.

Напомним, что равенства Якоби выводил как по нижним индексам, так и по верхним. Кроме того, вновь полученные послужили основой для составления новых. Отметим также, все тождества, в которых суммы произведений элементов детерминанта на алгебраические дополнения равны нулю, были объединены автором в один класс тождеств исключения (обращению в нуль). Мьюир привел в качестве примера определитель шестого порядка [165]. Пусть в нем /= 1, /-2, к=\, к— 2, к'—Ъ, к"-4, тогда для алгебраических дополнений элементов детерминанта К = £ ±апа22аъгаЛАа55а6Ь выполняется тождество

2±я33а44д55а66 •2±в3|л«л55в6б -1 ±апа„а„а66 -1.±а}1а^а55а66 + + £ ±а)2а43а55а66 • £ ±а31а44а55а66 = 0.

Его можно преобразовать, разложив каждый из множителей на произведение двух детерминантов второго порядка и исключив £±а55я66, т.е.

Якоби записал тождества, связывающие алгебраическое дополнение элемента д^0 с алгебраическими дополнениями второго порядка, которые составлялись из пар элементов строк i, i' и столбцов к', к", к'" [144, С.26]:

А',*" + Ак?Ак'„ к + Дь" Д/,*' — ^Ак'к- + ¿к ^к.'к' + ^к ^А',*' =

В § 11 Якоби составил различные тождества с алгебраическими дополнениями первого порядка в качестве коэффициентов системы уравнений (3.7). Иначе говоря, с ассоциированной матрицей по терминологии [66], сопряженной по Коши [121], взаимно дополнительной по Кронекеру [158], а именно,

R âR ÔR

R âR âR

3.8)

R âR 'âR

Au + A'ux+.+A[n]un = Rt, Axu + A[ u{ +.+A\"^un = Л/„ или

Anu+A^ul+.+Aln,u„ = Rtn n

Автор выявил зависимость неизвестных от коэффициентов системы, детерминанта Я = Ц±аа[.а1п), алгебраических дополнений элементов а[п) и а соответственно А{Пл) = Е ±аа\.а^0 >•••» А = Ц±а[ а'2'.а(„п) . Он выделил в (3.8) первые к+1 уравнений, выразил из них неизвестные /, //,., через свободные члены, а остальные ^+2, и, исключил. Тогда получилось: Ск1к + Ск^м+.+Ця = Ои + Цщ+.+Ц[ик, где Ск = Т±аа[.а\к), Д = .

Если из последних п-к+1 уравнений (3.8), содержащих /,., м„ выражалось //] через остальные, то имели следующее: Еи + Ехщ+.+Екик = Гк1к где Ек = Ц^иЦ;1'.^, = . Из предыдущего Якоби вывел одно из важнейших отношений для детерминантов [144, С.29-30]:

Т±аа[ аЧ.а\к:х{) £ ± А™ А«?. А(„п) СГЪИШ Е±аа;а?.а<» ~ Х.2±А«?>А&'>. А? '

Придавая в этой формуле к различные значения от п-\ до 1, он получил равенства, записанные им в виде системы:

Г22) Т.± А{п"~1)А{пп)

Т.±аа[.м(;-1) ЯА[п) ' Ц±аа[.а[Г33) МГ^АУ ' Ъ±аа[.а{::22) Х£±4->Чп) ' а Е±А;А^'.4п)

Из первого следовало И±А{„п]1)4п) = В.£±аа\.а("~-Р = ЛЛ";,1;", что совпадало с формулой (2.9) или (2.10), выведенной Коши. Если далее первые два, три, четыре и т.д. уравнения почленно перемножать, то получат другую систему формул: " 9

Л±А(А^.А{„п) =Яп-]а.

Вся система формул, как считал Якоби, должны были объединены следующей:

Отметим, что последнее тождество было выведено Якоби еще в 1834 г. Из него получались другие перестановкой индексов всеми возможными способами. Исходя из сказанного, можно отметить, что теорема Коши Х±А„А22.Апп = Л" (2.10), появившаяся впервые в исследованиях Лагранжа (1775) и Гаусса (1801), является частным случаем тождеств, полученных Якоби. Для этого, по его мнению, в сумму Л±АА[.А[п) достаточно подставить соответствующие выражения А{к1) = а['] • и применить теорему Лапласа.

При помощи этих формул Якоби доказал теорему об изменении (вариации) определителя. Пусть даны системы линейных уравнений, в которых коэффициенты при неизвестных всегда одни и те же, а свободные члены отличаются некоторой константой 8. В качестве общего вида таких уравнений он предложил: а / + а, /, +. + ап /и = 8ак, а7 + + 8а'к,

Подстановка чисел от 0 до п вместо к приводит к п+\ системам вида (3.8)

144, С.31]. Тогда каждое /(А), найдется из соответствующей системы ,к) дЯ е дЯ с , 0 ы . по формуле Я.гк' = ——дак +-5а'к+.+—гтдаг. Автор сложил значения * J к дак к да'к к да[к] к У полученных неизвестных: г + + З^Я- З^Х±аа1а".а{п"], где к=о^п). Заметим, что в левой части равенства стоит сумма коэффициентов при первом неизвестном из первого уравнения, при втором неизвестном из второго уравнения и т.д. Логарифм, указанный в формуле, по-видимому, брался по десятичному основанию [напр., 106].

Якоби считал, что под знаком вариации 8 можно взять не только константу, но и произвольную функцию и (а**)■ Он писал: «. я понимаю под этим сумму 5и = X (|) да^*, где означает любые величины, в то вреаак мя как сумма должна распространяться на все значения 0,1,.,п обоих индексов или, что то же самое, на все элементы детерминанта» [144, С.32]. В данном случае в качестве общего вида была принята следующая система: а /<*>+ а, /|4) +.+ ап£) = 8ак + (<>,*), аЧ(к) + а\ /<к)+.+а'п 1{„к) = да'к+{\,к),

У"¥к) + в<">/(4>+. .+а["¥пк) = да\[п) + (п,к).

Неизвестные уравнений находились по формуле дЯ „ дЯ 0 дЯ „ ,и1 дЯ . , ч дЯ . , х дЯ , , ч

Так же, как в предыдущем случае, он получил яп ,;+. ;+,М ) = Ж + 2 (/, л), сак где знак суммы распространялся на все допустимые значения индексов / и к. Он сформулировал свойство: сумма первого неизвестного, вычисленного из первой системы, второго - соответственно из второй и т.д., равна изменению («вариации») логарифма детерминанта заданных систем. Рассмотренные уравнения тогда встречались в механике при решении дифференциальных специального вида. Автор оценил значение полученного результата словами: «С помощью этой теоремы могут решаться, смотря по обстоятельствам, сложные задачи анализа, которые на первый взгляд кажутся чрезвычайно запутанными» [144, С.35].

Один из предложенных Якоби в §13 способов составления нового детерминанта совпадал с доказанной ранее Коши и Бине теоремой умножения двух определителей одинакового порядка. Обозначения сумм в формулах заимствованы им у Коши (Якоби не упоминал об исследованиях Бине, хотя Коши в своей статье [121] ссылался на результаты коллеги). Если определитель Р получался умножением двух детерминантов «-го порядка Р и Я, то его элементы составляются по формуле: с*' = 5«(,)а(*) = аи)а(к) + а1,)а[к)+.+а^)а(пк)^ а члены разложения детерминанта — где знак суммы относился только к нижним индексам т и твзятым из последовательности чисел 0,1,2,.,/? (в данном случае р=п, т.е. порядок обоих детерминантов совпадает). При суммировании по верхним индексам результат получался тот же. По выбранному способу записи систем умножение детерминантов, очевидно, выполнялось по схеме «столбец на столбец».

Огромной заслугой Якоби стало обобщение теоремы умножения определителей, обозначенных им в общем виде Р = Е ± а а,' а2". а^ и Я=Ц±аа\а,2.а^). Он различал три возможных случая: р<п Р=Ы = 0, р=п Р = Т,±сс1 с!/., где 4,)=а0)аи)+а1(')^)+.+а1')^), р>п Р = 5.РЛ = 51±а«;а2".а<п). Е±аа;а?.а1„п)

В первом он объяснял так: невозможно индексам т, т', ., т(п), количество которых равно п+1, придать отличные друг от друга значения, принадлежащие ряду 0,1,2,.,/? из р+1 индексов. Знак 3 объединял всевозможные произведения по р элементов в каждом из п.

Таким образом, рассмотрение трех случаев теоремы умножения у Якоби получила развитие в двух направлениях: для детерминантов различных порядков посредством окаймления и нескольких детерминантов одинакового порядка. Процитируем отрывок из статьи: «. мы видели в §5, что каждый детерминант (тя+1)-го порядка можно рассматривать как детерминант высшего порядка. Если ш<п и мы делаем предположение, что все элементы а4(т+1),а*т+2),.,а|',), у которых нижний индекс меньше верхнего, обращаются в нуль, в то время как = а^2' =•••=«" = 1, то по §5 получится 'Е±аа(.а^ = . В данном случае имело место окаймление

1±аа]Ц:.а{тт) .Т±аа\а'{.а[п) = Ъ±сс[с'{.с[п)» [144, С.38-39].

Элементы строк / = 0,т нового детерминанта составляются обычным способом по формуле с{к'] = а(']а{к) + а}')а\к)+---+а%)а,£), тогда как элементы г = - по с?» = я<*>.

Другое направление расширения теоремы умножения детерминантов представлено в виде следствия. Якоби привел правило возведения определителя в квадрат. Таким образом, это свойство получило свое полное обобщение. В отличие от современного представления учитывалось свойство транспонирования из-за выбора схемы комбинирования.

Полученные результаты автор применил к линейным преобразованиям, рассмотренным в §15: ax+a'xi+.+a{n)x„ = I, ахх +а'1х+.+ а\")х„ = /,, арх + а'рх\'= 1Р>

3.9)

С X + с, *,+.+ с„хп=у, с'х + с[хх +.+ с'„хп = у,, cMx + cl\+.+cln)x„=r„

3.10)

Коэффициенты при неизвестных (3.10) составлялись из коэффициентов уравнений системы (3.9) по формуле с*' = а0)а(к) + а\')а\к)+.+а(ра{р\ а свободные члены -/(/) = аи)1+а(^1х+.ла{р1р. Еслир<п, то решений либо бесконечно много, либо они неопределенные, так как детерминант системы (3.9) обращался в нуль. При р>п решение системы (3.9) получалось из: дР , at . ot , /, -—\ „ ^ Р.хк =—щ1 + . (к) ¡¡+.+—щ1р \к = 0,п). В общем виде оно записывалось дР дР daw Якоби как да\ . , dR , dR , dR , , да да\к) да dR . dR , dR . к) да{к) т'+'"+*ЛкУ mW tn' да дах м

Автор заметил, что в детерминанте R из р элементов а^ встретятся только п. Знак суммы распространялся на все комбинации чисел m(i\ равных п различным числам из последовательности 0,1,2,.,/?, причем Так как произведение выражения в фигурных скобках и Р дает в результате значение R.(xk), то для отыскания неизвестных я* окончательно получалась система уравнений = , где (.х*) означало значение неизвестного х*, уже найденное из системы (3.10). Окончательно решение системы (3.10) было записано следующим образом: где 5", Р и Я имели то же значение.

Таким образом, как оказалось, решение этой задачи сводилось к решению системы, число уравнений которой превышает число неизвестных. Яко-би указал правило решения: если комбинируются какие-либо п+1 из р+1 уравнения, например, (га+1)-е, (т'+1)-е, ., (т^+1)-е, то в качестве значений неизвестных л:, х}, х„ берут сначала (х), (*;), ., (х„). Скобки ставились для отличия комбинируемых неизвестных от исходных. Автор подсчитал число комбинаций, равное + ~ " + 0 = +0 + 2) ^ в С0Временн0й символике г'+11 или С?*,1. Он умножал выбранные неизвестные на одно и то же кп + и число, равное произведению определителей обеих систем Ш = Т.±ата'т.а(21).И±ата'т.а(^„). Каждый раз образовывал произведения

РЯ.(х), РЛ.(х/), ., РД.(х„), складывал их и делил полученную сумму на РЯ, получив в итоге значения неизвестных [144, С.45]. Надо полагать, речь шла о решении систем уравнений с прямоугольной матрицей коэффициентов.

Частный случай теоремы возник, когда а,т=а,т, т.е. имело место возведение определителя в квадрат. Из значений неизвестных нескольких комбинируемых уравнений системы, умноженных на квадрат детерминанта (Якоби так же, как Лагранж и Гаусс, употребил запись ЯЯ), образовывалась сумма. Далее она делилась на сумму всех ЯЯ. Этот случай, как отметил сам ученый, помог применить теорию определителей к методу наименьших квадратов.

Следует заметить, что детальное изучение работы позволило получить выводы об представлении Якоби теории детерминантов, а также выделить те свойства, которые вошли в современную математику благодаря его мастерству. Структура изложения статьи «Об образовании и свойствах детерминантов» представлена нам в виде блок-схемы (рисунок 5)

Общее определение детерминанта. Свойства, связанные с перестановками. Элементарные вычислительные свойства. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца)

Понятие подопределителя второго порядка. Теорема о разложении определителя по подопределителям

Решение системы обыкновенных линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений относительно вариации определителя

Теорема умножения р<п

Следствие 1 Умножение любого числа определителей р>п

Следствие 2 Возведение в квадрат определителя

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ современного состояния проблемы показал актуальность темы, которая определяется исторической значимостью теории детерминантов для развития математики. В ходе диссертационного исследования были получены следующие выводы:

1.Нами рассмотрен с современных научных позиций исторический процесс развития понятия определителя как идеи от истоков до ее признания в качестве самостоятельной математической теории и появления первых учебных пособий по предмету; на основе закономерностей развития теории детерминантов выделяются четыре этапа ее истории:

1. Предыстория определителей (И в. до н.э. - середина XVIII в.).

II. Накопление элементарных сведений, формирование основных понятий и символики (вторая половина XVIII в. - начало XIX в.).

III. Построение теории детерминантов и систематическая разработка их для приложений (1815-1841 гг.).

IV. Расширение понятия детерминанта и области его применения (с 40-х годов XIX в.)

2. К предпосылкам возникновения понятия определителя относятся появление ряда задач на решение систем линейных алгебраических уравнений с большим числом неизвестных; связанная с этим громоздкость вычислений; изучение зависимости между коэффициентами системы линейных уравнений и значениями неизвестных; попытки дать схематическое правило их решения.

3. В исследованиях К.Ф. Гинденбурга, К.Ф. Хаубера, Г. А. Роте продолжилось изучение зависимости между коэффициентами и решениями системы линейных алгебраических уравнений.

4. Ж. Бине и О. Коши осуществили два разных подхода к доказательству теоремы умножения двух определителей одинакового порядка, различавшиеся степенью общности, схемой умножения и назначением.

5. Важную роль в развитии, освоении и распространении детерминантов как вычислительного средства решения задач математического анализа, геометрии, механики играли исследования К.Г.Я. Якоби в этой области. Появление его статей было вызвано потребностью решения систем с большим числом неизвестных, к которым сводились многие прикладные задачи; невостребованностью теории другими учеными; необходимостью основания функциональных детерминантов; а также идеей создания единого математического аппарата.

К заслугам Якоби в разработке теоретических вопросов мы относим: употребление термина «детерминант»; описание существовавших правил определения знака членов детерминанта; рассмотрение свойств в случаях, упрощающих его вычисление; выдвижение идеи окаймления детерминанта; расширение теоремы о разложении детерминантов (Лапласа); обобщение теоремы их умножения; доказательство теоремы об изменении детерминанта; изложение теоретических основ якобианов; попытку описания решения систем уравнений с соответствующей прямоугольной матрицей коэффициентов посредством детерминантов.

6. Систематическую разработку теории детерминантов завершили исследования А. Кэли и Дж. Сильвестра. Среди заслуг Кэли в области детерминантов мы выделили следующие: усовершенствование обозначений; геометрические приложения; идею рассмотрения специальным образом составленной функции вместо системы детерминантов, способствовавшую созданию исчисления инвариантов и ковариантов. Отношение ученого к детерминанту в соответствии с общим определением, с одной стороны, и использование в качестве таблицы коэффициентов, с другой, привело к необходимости уточнения этого понятия и появлению другого - матрицы. Сильвестру удалось доказать фундаментальную теорему детерминантов, связанную с полным обобщением теоремы умножения.

Для дальнейшего развития характерны, во-первых, расширение понятия определителя, направления которого зависели от вида: составляющих его элементов, соответствующей квадратной таблицы, ранга и размерности, во-вторых, четыре наиболее распространенные схемы изложения теории детерминантов в процессе обучения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ананьева, Миляуша Сабитовна, 2003 год

1. Агура А.Д. Функциональные определители // Отд. отт. из «Зап. Матем. Отд. Новор. Общ. Естеств.».- Одесса: «Коммерческая» типолитография Б.И. Сапожникова, 1914. - Т. XX1.I. - 74 с.

2. Антропова В.И. Публичные лекции по интегральному исчислению М.В. Остроградского // Труды института истории естествознания и техники: История физико-математических наук. М.: Изд-во АН СССР, 1955. - Т.5. -С.304-320.

3. Башмакова И.Г. Становление алгебры: из истории математических идей. М.: Знание, 1979. - 64 с.

4. Башмакова И.Г. Основные этапы развития алгебры // История и методология естественных наук. М.: Изд-во МГУ, 1986. - Вып. XXXII. - С.50-65.

5. Башмакова И.Г., Смирнова Г.С. Возникновение и развитие алгебры // Очерки по истории математики / Под ред. Б.В. Гнеденко. М.: Изд-во МГУ, 1997. - 494 с. - С.94-246.

6. Белл Э.Т. Творцы математики. Предшественники современной математики. Пособие для учителей / Пер. с англ. В.Н. Тростникова, С.Н. Киро, Н.С. Киро; Под ред. С.Н. Киро. М.: Просвещение, 1979. - 256 с.

7. Белхост Б. Опостен Коши / Пер. с франц. Ю.А. Дробышева. М.: Наука - Физматгиз, 1997. - 176 е.: ил.

8. Березкина Э.И. Матемагака древнего Китая. М.: Наука, 1980.-311с.

9. Бобынин В.В. Опостен Луи Коши. Очерки его жизни и деятельности // Физико-математические науки в их прошлом, настоящем и будущем. 1887.-Т.З. - Вып.1. - С.79-96. - Вып.2. - С. 128-192.

10. Бобынин В.В. Герман Грассман, его жйзнь и учено-литературная деятельность. Биографический очерк // Математическое образование. 1886. -Вып. 1.

11. Бобынин B.B. Карл Фридрих Гаусс. Очерк его жизни и деятельности // Физико-математические науки в их прошлом, настоящем и будущем.- 1889.-Вып. 5.

12. Болгарский Б.В. Очерки по истории математики. Минск: Вы-шэйшая школа, 1979. - 368 е.: ил.

13. Букреев Б.Я. Элементы теории определителей. 2-е изд. доп.- Киев: изд-во кн. Маг. В.А. Просяниченко, 1914. 128 с.

14. Буняковский В.Я. Лексикон чистой и прикладной математики -СПб, 1839.-464 с.

15. Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Пер. с франц. И.Г. Башмаковой; Под ред. К.А. Рыбникова. М.: изд-во ИЛ, 1964. - 292 с.

16. Бурбаки Н. Архитектура математики // Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике / Сост. Г.Д. Глейзер. М.: Изд-во УРАО, 2001. - 384 с. - С.57-70.

17. Бюлер В. Гаусс. Биографическое исследование / Пер. с англ. А.Л. Тоома. Под ред. С.Г. Гиндикина. М.: Наука, 1989. - 208 с.

18. Бюшгенс С.С. Теория определителей. Курс лекций, читанный в Московском университете в 1913-1917 годах. М.: «Студенческое издательство», 1918. - 65 с.

19. Валеев К.Г. Новая теория определителей. Киев: Изд-во об-ва «Знание» УССР, 1976. - 49 с.

20. Ващенко-Захарченко М.Е. Теория определителей и теория форм.- Киев: Типография Императорского университета святого Владимира, 1887. 502 с.

21. Вебер Г., Вельштейн И. Энциклопедия элементарной математики / Пер. с нем. В.Ф. Кагана. T.I: Руководство для преподающих и изучающих математику. М.-Л.: ОНТИ, 1927.- 263 с.

22. Венков Б.А. Труды К.Ф. Гаусса по теории чисел и алгебре // Вопросы ИИЕТ, 1956.-Вып. 1. С.54-60.

23. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / Пер. с нем. П.С. Юшкевича и А.П. Юшкевича М.: Наука, 1966. -467 с.

24. Гайдук Ю.М. Карл Густав Якоб Якоби в его связях с русскими математиками // Историко-математические исследования. М.: Физматгиз, 1959. - Вып. XII. - С.245-270.

25. Гайдук Ю.М. К оценке в России научных заслуг К.-Г. Я. Якоби // Историко-математические исследования. М.: Наука, 1966. - Вып. XVII. -С.345-351.

26. Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел / Под. ред. И.М. Виноградова; Пер. В.Б. Демьянова. М.: изд-во АН СССР, 1959. - 978 с.

27. Гаусс К.Ф. Избранные геодезические сочинения: В 2 т. / Под общей ред. С.Г. Судакова; Под ред. Г.В. Багратуни; Пер. с нем. Н.Ф. Булаевско-го, М.Л. Рудгиштейна. М.: Изд-во геодезической литературы, 1957-1958.

28. Гнеденко Б.В. Краткие беседы о зарождении и развитии математики. М.-Л.: ОНТИ, 1966. - 40 с.

29. Гнеденко Б.В. Михаил Васильевич Остроградский // Люди русской науки. Очерки о выдающихся деятелях естествознания и техники. Математика. Механика. Астрономия. Физика. Химия / Под. ред. И.В. Кузнецова. М.: Физматгиз, 1961. - 560 с. - С. 104-110.

30. Гнеденко Б.В., Погребысский И.Б. Михаил Васильевич Остроградский. М.: АН СССР, 1963. - 25 с.

31. Горячкин В.П. Очерк по истории математики в Японии // Отд. отт. из «Известий Горского педагогического института». Владикавказ, 1930.-Т.7, 4.2. - С.43-58.

32. Граве Д.А. Энциклопедия математики. Очерк ее современного положения. Киев - СПб: Изд-во книжного магазина Н.Я. Оглоблина, 1912. -601 с.

33. Граве Д.А. Трактат по алгебраическому анализу: в 2 т. Киев: АН СССР, 1938-1939.

34. Гусак Г.М. Системы алгебраических уравнений. Минск: Вы-шэйшая школа, 1983. - 222 с.

35. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М.: Мир, 1986. - 432 с.

36. Делоне Б.Н. Работы Гаусса по теории чисел // Карл Фридрих Гаусс. Сб. статей к 110-летию со дня смерти / Под ред. И.М. Виноградова. М.: Изд-во АН СССР, 1956. - С.11-112.

37. Демидов С.С. У истоков современной алгебры. М.: Знание, 1971.-32 с.

38. Демидов С.С. К истории теории дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка. Работы И.Ф. Пфаффа и О. Коши // Историко-математические исследования. М.: Наука, 1979. - Вып. XXIV. - С.191-217.

39. Демидов С.С. Развитие исследований по уравнениям с частными производными первого порядка в ХУШ-Х1Х вв. // Историко-математические исследования. М.: Наука, 1980. - Вып XXV. - С.71-103.

40. Демидов С.С. От скобок Пуассона до алгебры Ли // Историко-математические исследования. М.: Наука, 1983. - Вып XXVII. - С.275-289.

41. Демидов С.С. Историография истории математики в России и в СССР // Принципы историографии естествознания: XX век / Под ред. И.С. Тимофеева. СПб: Изд-во «Алетейя», 2001. - 478 с. - С.254-279.

42. Дирихле П.Л. Карл Густав Яков Якоби. Биографический очерк / Пер. с нем. В.В. Бобынина И Физико-математические науки в их прошлом, настоящем и будущем. М.: Типография А.И. Мамонтова, 1894. - Вып. 2. -С.25-74.

43. Добровольский В.А. Юность и зрелость Коши // Математика в школе. № 6. - М., 1989. - С. 146-149.

44. Древнекитайский трактат: Математика в девяти книгах // Историко-математические исследования / Пер. Э.И. Березкиной. М.: ГИТТЛ, 1957. - Вып. X. - С.425-586.

45. Идельсон Н.И. Способ наименьших квадратов и теория математической обработки наблюдений. М.: Геодезиздат, 1947. - 360 с.

46. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия: В 3 т. / Под ред. А.П. ЮшкевичагТЛ: С древнейших времен до начала нового времени. М.: Наука, 1970. — 351 е.: ил.

47. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия: В 3 т. / Под. ред. А.П. Юшкевича. Т.П: Математика XVII столетия. 1970.-300 е.: ил.

48. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия: В 3 т. / Под. ред. А.П. Юшкевича. ТЛИ: Математика XVIII столетия. -М.: Наука, 1972. - 495 е.: ил.

49. История отечественной математики. В 4 т. / Под. ред. И.З. Што-калоидр. Т.2: 1801-1917. Киев: Наукова думка, 1967.-616 с.

50. Каган В.Ф. Николай Иванович Лобачевский. М.-Л.: Гостехиз-дат, 1948.-503 с.

51. Капица С.С. Жизнь науки. Антология вступлений к классике естествознания. М.: Наука, 1973. - 598 с.

52. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии / Пер. с нем. Б. Лившица, А. Лопшица, Ю. Рабиновича, Л. Тумермана. М.: Наука, 1989. - Т.1. - 453 с.

53. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М.: Наука, 1991.-221 с.

54. Копелевич Ю.Х., Ожигова Е.П. Научные академии стран Западной Европы и Северной Америки. — М.: Наука, 1989. 414 с.

55. Коши О. Алгебраический анализ / Пер. с франц. Ф. Эвальда, В. Григорьева, А. Ильина. Лейпциг: Изд-во «Druck von Bär & Hermann», 1864. -812 c.

56. Крысицкий В. Шеренга великих математиков / Пер. с польск. У.Л. Шпака. Варшава: «Наша Ксенгария», 1970. - 186 е.: ил.

57. Лейбниц Г.В. Избранные отрывки из математических сочинений / Сост. и пер. А.П. Юшкевич // Успехи математических наук. 1948. - T.III. Вып. 1 (23). - С. 165-204.

58. Лобачевский Н.И. Научно-педагогическое наследие. Руководство Казанским университетом. Фрагменты. Письма. М.: Наука, 1976. - 163 с.

59. Лопшиц A.M. К вопросу о преподавании определителей // Математическое просвещение,- 195&. № 2. - С.51-80.

60. Малых А.Е. Из жизни и деятельности А. Кэли // История и методология науки. Пермь: Изд-во ПГУ, 1995. - Вып. 2. - С.4-17.

61. Малых А.Е., Мусихина И.В. Приемы решения старинных арифметических задач. Пермь: Изд-во ПГПУ, 1999. - 88 с.

62. Марков A.A. Закон больших чисел и способ наименьших квадратов. Из письма к Васильеву A.B. от 23 сентября 1898. Казань: Типография Императорского Университета, 1898.

63. Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей / Под. ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича. -М.: Наука, 1978.-255 с.

64. Матрицы и квадратичные формы: Основные понятая. Терминология. Сб. научно-нормативной терминологии. М.: Наука, 1990. - Вып. 112. - 77с.

65. Нетто Е. Начала теории определителей. Одесса: «Матезис», 1913.-156 с.

66. Никифоров A.JI. Философско-методологические основания историографии науки // Принципы историографии естествознания: XX век / Под ред. И.С. Тимофеева. СПб: Изд-во «Алетейя», 2001. - 478 с. - С.7-33.

67. Новые материалы к биографии Н.И. Лобачевского / Сост. Б.Ф. Федоренко // Научное наследство. Л.: Наука, 1988. - Т. 12. - 384 с.

68. Норден А.П. Геометрические работы Гаусса // Карл Фридрих Гаусс. Сб. статей к 110-летию со дня смерти / Под ред. И.М. Виноградова. — М.: Изд-во АН СССР, 1956. С.113-144.

69. Остроградский М.В. Мемуар об исчислении кратных интегралов // Полн. собр. трудов. Киев: Изд-во АН УССР, 1961. - Т.З. - 396 с. - С.45-64.

70. Отрадных Ф.П. Михаил Васильевич Остроградский. Л.: Изд-во ЛГУ, 1953.- 103 с.

71. Петрова С.С., Романовска Д.А. Об универсальном ряде Гёне Вронского // Историко-математические исследования. М.: Наука, 1979. -Вып. XXIV.-С.158-175.

72. Погорелов А.В. Работы К.Ф. Гаусса по геометрии поверхностей // Вопросы истории естествознания и техники. М.: Изд-во АН СССР, 1956. -С.21-43.

73. Поляков Н.В. Использование методов М.В. Остроградского при изучении механики и математики. Днепропетровск, 1982.

74. Раик А.Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск: «Мордовия», 1977. - 352 с.

75. Ремез Е.Я. О математических рукописях академика М.В. Остроградского // Историко-математические исследования. М.: ГИТТЛ, 1951. -Вып. IV. - С. 9-86.

76. Рыбников К.А. История математики: Учебное пособие. М.: Изд-во МГУ, 1994.-496 с.

77. Рыбников К.А. Очерки методологии математики. М.: Знание, 1982.-64 с.

78. Рыбников К.А. Карл Фридрих Гаусс // Вопросы истории естествознания и техники. -М.: Изд-во АН СССР, 1956. -Вып.1. С.44-53.

79. Сальмон Д. Аналитическая геометрия двух измерений. Конические сечения. Геометрические методы / Пер. с франц. В.Г. Алексеева. М.: «Гербек», 1892. - XXIV + 394 с.

80. Сальмон Д. Аналитическая геометрия трех измерений / Пер. с франц. В.Г. Алексеева. М.: «Гербек», 1891. - и+285 с.

81. Симонов Н.И. Исследования Л. Эйлера по обыкновенным дифференциальным уравнениям и уравнениям математической физики // Труды института истории естествознания и техники: История физико-математических наук. М.: Изд-во АН СССР, 1959. - Т. 25. - С. 138-187.

82. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики / Пер. с нем. И.Б. Погребысского. М.: Наука, 1990. - 254 с.

83. Субботин Н.Ф. Астрономические и геодезические работы Гаусса // Карл Фридрих Гаусс. Сб. статей к 110-летию со дня смерти / Под ред. ИМ. Виноградова. М.: Изд-во АН СССР, 1956. - 312 с. - С.241-310.

84. Субботин Н.Ф. Астрономические работы Лагранжа // Жозеф Луи Лагранж. 1736-1936. Сб. статей к 200-летию со дня рождения. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1937. - 142 с. - С.47-83.

85. Тюлина И.А., Ракчеев Е.Н. История механики. М.: Изд-во МГУ, 1962.-228 с.

86. Узков А.И. Векторные пространства и линейные преобразования // Энциклопедия элементарной математики / Под. ред. П.С. Александрова и др. Т.1: Алгебра. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951. - 424 с. - С.11-41.

87. Улановский В.П. Элементарные сведения из теории определителей. М.-Л.: ОНТИ, 1935. - 451 с.

88. Фихтенгольц Г.М. О преобразовании кратных интегралов // Ис-торико-математические исследования. М.: Изд-во Техтеорлит, 1952. - Вып. V. - С.237-268.

89. Фрадлин Б.Н. Краткий исторический очерк развития проблемы п тел // Труды института истории естествознания и техники: История физико-математических наук. М.: Изд-во АН СССР, 1960. - Т. 34. - С.198-225.

90. Франкер. Полный курс чистой математики / Пер. с франц. СПб: изд-во Кн-ва А. Смирдина. Кн. II: Начальная алгебра., 1838. - 827 е.; Кн: V, 4.II. Высшая алгебра. - 1840.

91. Франкль Ф.И. Об исследованиях JI. Эйлера в области теории дифференциальных уравнений в частных производных // Исгорико-магематическиеисследования. М.: Техтеорлит, 1954- Вып. VII.- С.596-624.

92. Хрестоматия по истории математики: В 2 т. / Под. Ред. А.П. Юшкевича.-М.: Просвещение, 1976-1977.

93. Чеботарев Н.Г. О значении работ Лагранжа по теории чисел и алгебре // Жозеф Луи Лагранж. 1736-1936. Сб. статей к 200-летию со дня рождения. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1937. - 142 с. - С.85-103.

94. Чезаро Э. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых с многочисленными примерами для упражнений / Пер. с нем. К.А. Поссе. Одесса: «Матезис», 1913. - 4.1. - 632 с.

95. Шифф В. Элементарное изложение некоторых сведений из теории определителей. М.- СПб: Имп. изд-во М.О. Вольфа, 1914. - 36 с.

96. Эйлер Л. Универсальная арифметика / Пер. с нем. П. Иноходце-ва, И. Юдина. СПб.: Типография Имп. АН, 1788. - T.II, в котором предлагаются правила решения уравнений и диофантов образ решить вопросы. - 524 с.

97. Юшкевич А.П. История математики в средние века. М.: Физ-матгиз, 1961.

98. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. М.: Наука, 1968. - 592 с.

99. Юшкевич А.П., Башмакова И.Г. «Алгебра или вычисление конечных» Н.И. Лобачевского // Историко-математические исследования. М.: ГИТТЛ, 1949. - Вып. II. - С. 72-128.

100. Юшкевич А.П. Математика в Московском университете за первые сто лет существования // Математика в ее истории. М.: «Янус», 1966. -С.33-412.

101. Юшкевич А.П. О «Всеобщей арифметике» И. Ньютона // Всеобщая арифметика или книга об алгебраическом анализе и синтезе / Пер. А.П. Юшкевича; Под ред. С.И. Вавилова. М.: Изд-во АН СССР, 1948. - 442 с. - С.347-391.

102. Якоби К. Лекции по динамике / Под. ред. Н.С. Кошлякова. М.-Л.: ОТИЗ, 1936.-270 с.

103. Яковлев В.И., Маланин В.В., Гилев И.В., Карпова В.И. «Лекции по динамике» К. Якоби // Из истории механики XVIII-XIX веков. Пермь: Изд-во ПТУ, 1998. - 132 с. - С. 81-88.

104. Ярошенко С.П. Некоторые теоремы из теории определителей. -Одесса: «Матезис», 1894. 16 с.

105. Ярошенко С.П. Теория определителей и ее приложения. 4.1: Теория определителей. Одесса: Изд-во «Матезис», 1871. - 159 с.

106. Baltzer R. Theorie und Anwendung der Determinanten, mit Beziehung auf die Originalquellen. Leipzig, 1857. - vi + 129 s.

107. Becker O. Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwiclung- München-Freiburg, 1954. 422 s.

108. Bell E.T. The Development of mathematics. New York - London, 1940.-637 p.

109. Binet J. Mémoire sur la théorie des axes conjugués et des momens d'inertie des corps // Journal de 1 ' école polytechnique. Paris, 1815. - Cah. 16. -P.41-67.

110. Binet J. Mémoire sur un système de formules analytiques, et leur application â des considération géométriques // Journal de 1 ' école polytechnique. Paris, 1815.-T. 10, Ser. l.-P.l 13-128.

111. Binet J. Mémoire sur les principes généraux de dynamique, et en particulier sur un nouveau principe de méchanique générale // Extrait du Comptes rendus de l'Academie royale des Sciences. Paris, 1818. - Cah. XIX. - 24p.

112. Brioschi F. Theorie der Determinanten und ihre hauptsächtlichen

113. Anwendungen / Übers. Aus dem Ital. Schellbach. Berlin: «Duncker & Humbolt», 1856.-vii+ 104 s.

114. Cantor M. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. Leipzig»' Berlin: Verlag von Teubner, 1924. - B.IV Von 1759 bis 1799. - 1108 s.

115. Cauchy A. Mémoire sur le nombre des Valeurs qu'une Fonction peut acquérir, lorsqu ' on y permute de toutes les manières possibles les quantités qu' elle renferme // Journal de 1 ' école polytechnique. Paris, 1815. - T. 10, Ser.l. -P. 1-28.

116. Cauchy A. Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique. Paris: Debure, 1821. - P. 1. Analyse algebrique.- xiv + 576 p.

117. Cauchy A. Exercices danalyse et de physique mathématique. Paris, 1841. - T.II. — 413 p.

118. Cayley A. The collected mathematical papers: in 13 vol. Cambridge, 1889. - Vol.1. - 590 p.

119. Cayley A. The collected mathematical papers: in 13 vol. Cambridge, 1890. - Vol.11. - 590 p.

120. Cramer G. Introduction a l'analyse des lignes corbes algebriques. -Geneve, 1750. xxiii+680 p.

121. Donkin W.F. On a class of differential equation, including those which occur in dynamical problems // Philosophical Transaction Royal Society. -London, 1854. Vol. 144. - P.71-113.

122. Forsyth A.R. Theory of differential equations. Part I: Exact equations and Pfaff s problem. Cambridge: At the university Press, 1890. - 340 p.

123. Gauss C.F. Disquisitiones arithmeticae // Gesammelte Werke: In 12 Bd. Leipzig-Berlin, 1863. - Bd. I. - 478 s.

124. Gauss C.F. Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem 0 algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi velsecundi gradus resolvi posse H Gesammelte Werke: In 12 Bd. Göttingen, 1872. -Bd. III.-S.31-56.

125. Gauss C.F. Gesammelte Werke: In 12 Bd. Göttingen, 1873. - Bd. IV.

126. Gauss C.F. Gesammelte Werke: In 12 Bd. Göttingen, 1917. - Bd. X.

127. Gergonne J.D. Dévelopment de la théorie donnée par M. Laplace pour l'éelimination au premier ordré // Annales de Mathématique pures et appliquées. Paris, 1813-1814. - T.4. - P. 148-155.

128. Gergonne J.D. Dévelopment de la théorie donnée par M. Laplace pour l'éelimination au premier ordré // Annales de Mathématique pures et appliquées. Paris, 1814-1815. - T.5. - P.29-32.

129. Gittleman A. History of mathematics Columbus (Ohio): «Merill», 1975. -xii + 291 p.

130. Grünert. Über die Verwandlung der Coordinaten im Räume // Crelle Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1832. - Bd.8, Hft.2. -S.153-159.

131. Günther S. Lehrbuch Determinanten-Theorie für Studierende -Erlangen, 1877. 209 s.

132. Hankel H. Die Entwickelung der Mathematik in den letzten Jahrhunderter. Tübingen, 1869. - 36 s.

133. Hattendorf K. Einleitung in die Lehre von den Determinanten. -Hannower, 1872.

134. Hauber K.F. Auflösung des Elevationsprobleme für Gleichungen // Sammlung combinatorich-analytisch Abchandlungen / Herausgeg. K.F. Hinden-burg Leipzig, 1796. - Th.2. - S.232-262.

135. Hesse O. Die Determinanten, elementar behandelt. Leipzig, 1872.

136. Hesse O. Ueber Determinanten und ihre Anwendung in der Geometrie, insbesondere auf Curven vierter Ordnung // Crelle Journal für die reine und angewandte Mathematik. Berlin, 1853. - Bd.49. - S.243-264.

137. Jacobi C.G.J. Mathematische Werke: In 3 Bd.- Berlin, 1846-1871.

138. Jacobi C.G.J. Ueber die Bildung und Eigenschaften der Determinanten // Der Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften. Leipzig, 1896.-№77.-74 S.-S.1-49.

139. Jacobi C.G.J. Ueber die fiinctionalen Determinanten / Herausgeg. P. Stäckel // Der Octwalds Klassiker der exakten Wissenschaften. Leipzig -Engelmann, 1896. - № 78. - 73 s.

140. Jacobi C.G.J. Ueber die alternierenden Functionen und ihre Theilung durch das Product aus den Differenzen der Elemente // Der Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften. Leipzig, 1896. - № 77. - 74 s. - S.50-65.

141. Jacobi C.G.J. Gesammelte Weike: in 7 Bd.-Berlin, 1884.-Bd.III.-612s.

142. Jacobi C.G.J. Gesammelte Weike: in 7 Bd.-Berlin, 1883 Bd.II.-538 s.

143. Jacobi C.G.J. Gesammelte Werke: in 7Bd.-Berlin, 1886.-Bd.IV 541s.

144. Jacobi C.G.J. Gesammelte Werke: in 7Bd.- Berlin, 1890.-Bd.V.-515s.

145. Jacobi C.G.J. Gesammelte Werke: in 7Bd.-Berlin, 1891 -Bd.VI.-433 s.

146. Jacobi C.G.J. Gesammelte Werke: in 7Bd.-Berlin, 1891 -Bd. VII.-440s.

147. Jacobi C.G.J. Vorlesungen über Dynamik / Heraus. A. Clebsch // Gesammelte Werke: in 7 Bd. Bd. V - Berlin, 1891.

148. Jacobi C.G.J. Briefwechsel zwischen C.G.J. Jacobi und M.H. Jacobi / Herausgeg. Von W. Ahrens.- Leipzig: Verlag von B.G. Teubner, 1907. 232 s.

149. Königsberger L. Carl Gustav Jacob Jacobi. Festschrift zur Wiederkehr seines Geburtstages Leipzig: Verlag von B.G. Teubner, 1901. - 554 s.

150. Kowalewski G. Einfuhrung in die Determinantentheorie, einschliesslich der Fredholmschen Determinanten. Berlin-Leipzig: «Greuyter», 1942.-vi+ 320 s.

151. Kropp G. Geschichte der Mathematik. Probleme und Gestalten. -Hedelberg, 1969.-232 s.

152. May K. Undergraduate research in mathematics. Northfield, 1962.

153. Mikami Y. The development of mathematics in China and Japan. -N-Y, 1965.

154. Mikami Y., Smith D. A history of Japanese mathematics. Chicago,1914.

155. Minding F. Auflösung einiger der analytischen Geometrie vermittelst des baryzentrischen Calculs // Crelle Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1829. - Bd. 4. - S.397-401.

156. Möbius A.F. Von den metrischen Relationen in Gebiete der LinealGeometrie // Crelle Journal für die reine und angewandte Mathematik. Berlin, 1829.-Bd. 4.-S. 101-130.

157. Muir T. The Theory of Determinants in the Historical Order of Development. London, 1960. - Vol.1: General and special determinants up to 1841.- xi + 491 p.

158. Muir T. The Theory of Determinants in the Historical Order of Development. London, 1960. - Vol.2: The period 1841-1860. - xvi + 475 p.

159. Muir T. The Theory of Determinants in the Historical Order of Development. London, 1960. - Vol. 3: The period 1861 to 1880. - xxvi + 503 p.

160. Muir T. The Theory of Determinants in the Historical Order of Development. London, 1960. - Vol. 4: The period 1880 to 1900. - xxxi + 508 p.

161. Muir T. Contributions to the History of determinants 1900-1920. -London-Glasgow: «Blackie & Son Limited», 1950. xxiv + 408 p.

162. Muir T. A treatise on the of determinants. N-Y: «Dovor», 1960.770 p.

163. Netto E. Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Bd.I: Kombinatorik.-Leipzig, 1848.

164. Pascal E. Die Determinanten. Eine Darstellung ihrer Theorie und Anwendungen mit Rücksicht auf die neueren Forschungen // Überz. H. Leizmann.- Leipzig: Verlag von Teubner, 1900. 266 s.

165. Poggendorff J.C. Biographische-litterarisches Handwörterbuch zur Geschichte der exakten Wissenschaften. Leipzig, 1863. - Bd. 1. A-L.

166. Rompe R., Treder H.-J. Die Brüder Moritz H. Und Carl Gustav Jacobi (1801-1875, 1804-1851) // Wegbereiter der deutsch-slawischen Wechselseitigkeit. Mit Unterstützung zahl reicher Freunde der deutsch-slawischen Wechselseitigkeit. Berlin, 1983.

167. Salmon G. Lessons introductory to the modern higher algebra. -Dublin, 1868.-376 p.

168. Sarton G. The Study of the history of mathematics. CambridgeMassachusetts: Harvard University Press, 1936. - 114 p.

169. Schräder W. Beiträge zur Theorie der Determinanten. Neue Sätze und eine Bezeichnung. Halle:Verlag von Schmidt, 1882. - 155 s.

170. Sickenberger A. Die Determinanten in genetischer Behandlung. -München, 1885.

171. Smith D.E. History of mathematics: in 2 vol. Boston: «Ginn»,1925.

172. Spottiswoode W. Elementary theorems relating to determinants // Crelle Journal für die reine und angewandte Mathematik. Berlin: Verlag von G. Reimer, 1856. - Bd. 51, Hft. 3. - P.209-271.

173. Studnicka F.G. A.L. Cauchy als formaler Begründer der Determinanten-Theorie. Prag, 1879.

174. Sylwester J.J. The collected mathematical papers: in 4 vol. Cambridge, 1904. - Vol. I. - 650 p.

175. Sylwester J.J. The collected mathematical papers: in 4 vol.- Cambridge, 1908. Vol. II. - 732 p.

176. The Dictionary of National Biography. Feunded in 1882 by G. Smith / Edited by L. Stephen and S. Lee. London: Oxford University Press, 1917. - V. 5. From the Earliest Times to 1900. Craik-Drake. - P.l 125.

177. Todhunter M.A. Theory of equations, with a collection of examples. Cambridge-London: «Macmillan and CO», 1861. - 230 p.

178. Valson C. A. La vie et les travaux du baron Cauchy, membre de l'Academie des sciences: in 2 t. / Aves Hermite. Paris: «Gauthier-Villars», «Imprimeur-Libraire», 1868.