Структурные и линейно-метрические свойства максимальных F - алгебр голоморфных функций в полуплоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Ефимов, Дмитрий Александрович

• Ефимов, Дмитрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ефимов, Дмитрий Александрович

Сокращения и обозначения.

Введение

Глава I. Структурные свойства максимальных классов

§1. Предварительные сведения и основные понятия

1. Историческая справка.

2. Максимальные функции.

3. Связи между классами.

4. Известные граничные свойства.

5. Метрики в классах голоморфных функций.

6. Теоремы о канонической факторизации.

7. Оценки роста.

§2. Структурные свойства максимальных классов

1. Аналог теоремы Ф. и М. Риссов и другие граничные свойства.

2. Эквивалентные определения классов Mq(D) и Nq(D)

3. Различные вложения.

4. Оценки роста.

5. Представления функций из Mq(D).

Глава II. Метрические свойства классов M<*{D) и Nq(D)

§1. Mq(D) как F-алгебры.

1. Линейные пространства.

2. Квазинорма в классах.

3. F—пространства Mq(D)

4. Mq(D) как F—алгебры.

§2. Ограниченные и вполне ограниченные множества

1. Ограниченные множества в Mq(D).

2. Критерий полной ограниченности в Mq(D).

Глава III. Линейные изометрии пространств

§1. Линейные изометрии максимальных пространств

1. Известные сведения о линейных изометриях пространств голоморфных функций в полуплоскости

2. Оценки для функции (ln(l -\-x)/x)q.

3. Изометрии Nq(D).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структурные и линейно-метрические свойства максимальных F - алгебр голоморфных функций в полуплоскости»

Исторически первыми из максимальных классов голоморфных функций изучались классы, определенные в круге [28]. Интерес к пространствам в случае бесконечной меры впервые возник в начале 30-ых годов прошлого века в связи с исследованиями Р.Е.А.Ч.Пэли и Н.Винера свойств преобразования Фурье. В работах Э.Хилле и Я.Д.Тамаркина [22], [23] были рассмотрены классы Hp(D),p ^ 1, таких голоморфных функций / в полуплоскости D = {z = х + iy | у > 0}, для которых

00 sup / \f(x + iy)\pdx < +оо, р > 1,

2/>0 J -00 аналоги классов Харди в случае круга), а в основе изучения лежало установленное ими наблюдение о представимости функций классов Hp(D),p ^ 1, абсолютно сходящимся интегралом Коши. Случай О < р < 1 рассмотрен в статье Т.Кавата [24].

Немногими годами позже советский математик В.И.Крылов [10] провел системное исследование более широких, чем классы HP(D), классов голоморфных функций в полуплоскости (и в частности, введенного им аналога класса Неванлинны в круге). Определенная часть достигнутых в рассматриваемой области результатов, включающая полученные с применением методов функционального анализа, отражена в монографиях [И], [6].

Дальнейший интерес к тематике возник в самом конце XX века, когда японские математики Я.Иида [32] и Н.Мочизуки [27] продолжили исследования В.И.Крылова. Однако изучавшиеся ими классы, как и классы В.И.Крылова, не образуют линейных пространств, что осложняет их изучение методами функционального анализа. В это же время Л.М.Ганжула [4] (ученица В.И.Гаврилова) рассмотрела новый вид максимальных классов, а именно, пространство M1(D) таких голоморфных в полуплоскости D функций /, для которых справедливо

00 +00 ln(l + Mf(x)) dx = / ln(l + sup \f(x + iy)\) dx < +oo,

J J 2/>0

2/>0 00 —00 и доказала, что класс Ml(D) образует F—алгебру относительно определенной в нем естественной инвариантной метрики.

В работе изучаются общие классы Mq(D),q > 0, голоморфных функций / в полуплоскости, для которых

00 +00 ln9(l + Mf(x))dx = / ln9(l + sup \f(x + iy)\) dx < +oo, # > 0,

J y>0 y> 0

-oo -oo

0.1) отмечая, что каждый Mq(D)1q > 0, содержит классы Харди HP(D) для всех 0 < р ^ q. Аналоги классов Mq(D) в круге и шаре рассматривались в статье [3].

Параллельно в диссертации изучаются классы Ng(D),q > 0, всех голоморфных в D функций /, у которых

00 sup / ln9(l + \f(x + iy)I) dx < +00, q > 0, (0.2) y>0 J

-00 аналоги классов И.И.Привалова для круга [14]).

В диссертации строится теория относительно этих классов, доказывается, что они обладают хорошими линейно-метрическими свойствами, описывается структура их подпространств и линейных изо-метрий, формулируется и доказывается целый ряд структурных свойств.

Целью работы является изучение пространств Mq(D) и Nq(D),q > 0, голоморфных функций / в полуплоскости D. Перед автором стояли следующие задачи:

• исследовать граничные свойства и оценить рост функций из указанных классов;

• найти связи между ранее известными классами и вновь введенными;

• доказать линейные свойства пространств, описать их ограниченные и вполне ограниченные подмножества;

• найти общий вид линейных изометрий пространств Nq(D).

Результаты диссертации получены с использованием методов теории функций комплексного переменного, математического анализа и функционального анализа.

Все основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Установлены связи изучаемых классов с известными максимальными классами в полуплоскости: в частности, доказано, что Mq(D) и Nq(D) совпадают как множества в случае q > 1;

2. Исследовано граничное поведение и получены оценки роста для функций из классов Mq(D) и Nq(D),q > 0;

3. Предложено новое факторизационное представление функций из Mq(D),q > 1, с помощью произведения Бляшке, построенного по нулям этих функций;

4. Доказано, что классы Mq{D) и Nq(D),q > 0, образуют F—алгебры относительно естественных метрик;

5. Доказаны критерии свойств ограниченности и полной ограниченности подмножеств в пространствах Mq(D),q > 0;

6. Установлен общий вид линейных изометрий в Nq(D),q > 0.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории функций комплексного переменного, функционального анализа, а также, в теории аппроксимаций аналитических функций. В дальнейшем они могут быть использованы специалистами, работающими в МГУ им. М.В.Ломопосова, Московском педагогическом государственном университете, Университете Черногории и других научных учреждениях страны.

Результаты диссертации докладывались:

• на семинаре кафедры математического анализа в МГУ им. М.В.Ломоносова иод руководством проф. В.И.Гаврилова (по мере их получения);

• на 24-й конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (2002 г.);

• в Саратовской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приближения" (Саратов, 2006

• на научном семинаре природно-математического факультета Университета Черногории (2006 г.);

• на конференции "Ломоносовские чтения" в МГУ (2007 г.).

В первой главе приводятся определения основных классов функций, голоморфных в полуплоскости D = {z = x-\-iy\y> 0}, рассматриваемых в диссертации, а именно:

1) пространства Харди HP(D) голоморфных функций / в полуплоскости D, для которых

2) класс Крылова (D) голоморфных в D функций /, удовлетворяющих условию

00 sup / \f(x + iy)\pdx < +оо; у>о J

-00

00 sup / ln+ \f(x + iy)\dx < +oo, y>о J

-00 где ln+ a = max(lna, 0), a > 0 и ln+ 0 = 0;

3) классы yiq(D), q > 0, рассмотренные в [32] и определяемые как множества голоморфных в D функций /, для которых 00 sup / (ln+ If(x + iy)\)q dx < +оо; v>о J

-00

4) классы Mq(D),q > 0, определяемые с помощью (0.1);

5) классы Nq(D),q > 0, определяемые с помощью (0.2).

В пространствах Mq{D) и Nq(D) рассматриваются характеристики ||/||м" и ||/||лг« как Qfg-ые степени левых частей в (0.1) и (0.2) с aq = min(l, 1 /q), q > 0.

Во втором параграфе первой главы изучаются структурные свойства классов Mq(D) и Nq(D), q > 0. Сформулируем основные из них.

Теорема (аналог теоремы Ф. и М. Риссов). Пусть f EMq{D),q> 0. Тогда,

1) f имеет граничные пределы f+(x) = lim f(x+iy) почти всюду у-> о на R;

2) граничная функция /+ обладает свойством

00

J \nq(l + \f+{x)\) dx<+ оо; — 00

3) для fh(z) = f(z + ih), h > 0, выполняется равенство 00 lim f \nq(l + M(fh-f){x))dx = 0. h-> 0+ J -oo

Теорема (о связи между пространствами).

1) Для каждого q > 1 множество Mq(D) совпадает с множеством Nq(D).

2) U HP(D) С Mq(D).

0< p^q

Отмечается также, что в отличие от классов Харди в круге, пространства Mq(D) не связаны между собой никакими включениями при различных q > 0.

Для функций из пространств Mq(D) найдены оценки их роста.

Теорема (оценка роста). Для любой функции / £ Mq(D),q > 0, справедливо неравенство

1ч(1 + \f(z)\) 4 MMl, z = x + iy€D, У где постоянная Eq не зависит от f и (3q = max(l, 1 /q).

Аналогичное неравенство верно и для функций из пространств Nq(D).

Первая глава завершается факторизационной теоремой.

Теорема (факторизационная теорема). Пусть q > 1. Тогда любая функция / £ Mq(D) представляется в виде произведения двух функций: f(z) = bf(z)F(z), где bf - произведение Бляшке для функции /; z- zv \zu - i\ \zv + г . - „ zv l zv + % M no последовательности {zu} нулей функции f в D, удовлетворяющей условию

У] 1 , Vl , 2 < +00' Zv = xv + iyu, Уи > 0, ^l + xl + yl сходимости произведения bf, а функция F Е Mq(D) и F(z) ф 0,z G D. И обратно, если функция f представляется в указанном виде, то она принадлежит классу Mq(D).

Во второй главе диссертации исследуются линейно-метрические свойства изучаемых пространств. Утверждается, что характеристики || • ||м« и || • образуют квазинормы (в смысле К.Иосиды [8]) в соответствующих классах. Как и в любом квазинормированном пространстве, в Mq(D) и Nq(D) существуют естественные инвариантные метрики, порожденные квазинормами: рм*и,д) = \\1-д\\м; f,geMq(D),

PN*(f,9) = \\f-9\\N<>, f,geNq(D), и в топологиях, определяемых этими метриками, классы представляют собой линейно-топологические пространства.

Оказывается, что эти пространства обладают дополнительными структурами:

Теорема. Каждое Mq(D),q > 0, образует F—алгебру, т.е. такое F—пространство, в котором введена алгебраическая операция умножения, превращающая Mq(D) в алгебру, и эта операция умножения непрерывна в метрике рмч

Теорема. Каждое Nq(D),q > 0; образует F—алгебру.

Во втором параграфе второй главы описываются ограниченные и вполне ограниченные подмножества классов Mq(D),q > 0. Доказаны следующие критерии.

Теорема (критерий ограниченности). Множество L С Mq(D),q > 0, ограничено тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: а) существует такое число К > 0, что

00

J ln9(l + Mf(x))dx<K

-оо для любой f G L, то есть мноэюество L ограничено по метрике Pq; б) для любого г > О существует такое S = 6(e) > О, что

J \nq(l + Mf(x))dx<£ Е для любой / Е L и любого измеримого множества Е С R с лебеговой мерой цЕ < 5, то есть первообразные семейства функций ln9(l + Mf(x)) равностепенно абсолютно непрерывны на Ж.

Теорема (критерий полной ограниченности). Множество L вполне ограничено в пространстве Mq(D),q > 1, тогда и только тогда, когда а) L ограничено в Mq(D); б) множество функций {f+(x)},f € L, относительно компактно в топологии сходимости по лебеговой мере /л на прямой; в) для любого е > 0 существует такое А > 0, что для всех f G L.

Третья глава диссертации посвящена изучению линейных изо-метрий классов Nq(D),q > 0.

Конус в линейном пространстве определяется как множество, замкнутое относительно умножения на положительные числа. Ключевым утверждением в описании общего вида линейных изометрий этих пространств является следующая

Лемма. Пусть q > 1 и положительно-однородное отображение I конуса С С hiLq(R), где lnL9(M) - класс функций f, для

00 которых выполняется неравенство f ln9(l + \ f(x)\)dx < +оо, яв

-А

00

-00 А ляется In Lq(R) -изометричным, то есть 00 +00

I ln*(l + I f(x + »y)|) dx= J lnfl(l + \If(x + iy) I) dx, fGC. 00 —00

Тогда отображение I будет также и LP (Ж)-изометричным, то есть

00 +00

J \f(x + iy)\pdx= J \lf(x + iy)\pdx, fee, — 00 —00 для всех р вида q-\-l, где I 6 и I ^ q + 1.

Основным результатом третьей главы является

Теорема. Пусть q > 0 и I - произвольная линейная изометрия пространства Nq(D). Тогда I имеет вид = c(y'(z)?lpf(4>{z)), zeDJe N«(D), где с Е С, |с| = 1, (р = Ф(^) = (z—i)(z+i)~1, ф - конформное отображение единичного круга U на себя, и ip' - производная (р.

Обратно, если I имеет вышеуказанный вид для некоторого отображения ip = Ф-1 о ф о Ф, то I — линейная изометрия пространства Nq(D).

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю В.И.Гаврилову за постоянное внимание, искреннюю заинтересованность, постановку интересной задачи, многочисленные обсуждения и ценные советы. Автор благодарен также своему соавтору А.В.Субботину за всестороннюю поддержку и конструктивные замечания в течение всего диссертационного исследования.