Электростатические колебания в неоднородных плазменных системах с замкнутым дрейфом электронов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат наук Марусов Никита Андреевич

• Марусов Никита Андреевич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Марусов Никита Андреевич

1.3 Резюме главы

2 Градиентная неустойчивость плазмы с поперечным

током. Общий анализ и профили граничной

устойчивости

2.1 Необходимое и достаточное условия неустойчивости.

Роль эффектов инерции и конечного ларморовского радиуса электронов

2.2 Граничная устойчивость плазмы с поперечным током

2.2.1 Пороги неустойчивости

2.2.2 Частотные характеристики неустойчивых колебаний

2.3 Резюме главы

3 Устойчивость электростатических колебаний

в ускоряющем канале стационарного плазменного двигателя

3.1 Профили параметров в стационарном плазменном дви-

гателе

3.2 Волновые характеристики наиболее неустойчивых коле-

баний в ускоряющем канале стационарного плазменного двигателя

3.2.1 Приближение холодных электронов Те =

3.2.2 Приближение горячих электронов Те =

3.2.3 Влияние стационарного потока ионов

3.3 Резюме главы

4 Крупномасштабные вращающиеся структуры в системах с замкнутым дрейфом электронов как проявление глобальных мод градиентной неустойчивости

4.1 Крупномасштабные колебания в конфигурации обращенного магнетрона

4.2 Крупномасштабные колебания в конфигурации стацио-

нарного плазменного двигателя

4.2.1 Влияние изменения радиуса ускоряющего канала

на спектр собственных неустойчивых мод

4.2.2 Влияние изменения длины ускоряющего канала на

спектр собственных неустойчивых мод

4.3 Наблюдение крупномасштабных азимутальных структур

в системах с замкнутым дрейфом электронов. Обсуждение результатов

4.4 Резюме главы

Заключение

Приложение

А.1. Тензор бесстолкновительной вязкости

А.2. Алгоритм численного расчета глобальных мод градиентной неустойчивости в ускоряющем канале стационарного плазменного двигателя

Литература

Введение

В иерархии проблем современной физики весьма заметное место занимает фундаментальная проблема устойчивости и нелинейной динамики газовых и плазменных сред, равновесное состояние которых характеризуется наличием стационарных течений. Известно, что развитие неустойчивости таких течений может сопровождаться формированием долгоживущих макроскопических структур, систематически наблюдаемых как в природных, так и в лабораторных условиях. К гидродинамическим примерам самоорганизации можно отнести Большое Красное Пятно Юпитера [1], спиральные рукава галактик [2], вихри в океане и атмосфере [3,4], вихри Тейлора во вращающейся жидкости [5] и т. п. Плазменные аналоги некоторых из указанных явлений подробно описаны в обзоре [6].

В лабораторных системах магнитного удержания исследования нелинейной самоорганизации и турбулентной динамики плазмы в первую очередь связаны с задачей уменьшения аномально больших потерь заряженных частиц и тепла (по сравнению с классическими явлениями переноса), ставших своеобразной преградой на пути к осуществлению программы по управляемому термоядерному синтезу -см. классические обзоры и монографии [7]-[11]. Между тем, явления самоорганизации и турбулентного переноса заряженных частиц являются неотъемлемой частью работы некоторых плазмодинамических устройств, уже сегодня активно используемых в промышленности и в космической отрасли. В частности, речь идет об установках по созданию ускоренных потоков заряженных частиц, принцип действия которых основан на эффекте Холла, ответственным за поддержание постоянного "надтеплового" электрического поля в системе отсчета плазмы, помещенной во внешнее магнитное поле. К таким установкам относятся разряды Пеннинга [12]-[14], стационарные плазменные двигатели А. И. Морозова (СПД) [15,16], ионные источники с замкнутым дрейфом электронов [16]-[18], магнетронные разряды [18,19] и т. п. Принципиальная схема плазменного двигателя и различные конфигурации холловских разрядов представлены на рис

Рис. 1: Принципиальная схема стационарного плазменного двигателя (слева) и различные конфигурации холловских разрядов (справа).

Поясним принцип действия рассматриваемых систем на примере СПД. Электрическое поле Е в разрядной камере наводится при помощи анода-газораспределителя, расположенного в глубине канала, и катода-эмиттера, помещённого за выходом из канала. В основном объёме камеры создается преимущественно радиальное магнитное поле В, силовые линии которого расходятся от внутренней стенки канала к вешней. Электроны, эмитированные с катода, обладают высокой подвижностью вдоль силовых линий магнитного поля. По этой причине соответствующие магнитные поверхности в пренебрежении электронным давлением являются эквипотенциальными, а само электрическое поле в канале не зависит от расположения катода. Ионизация нейтрального газа в рассматриваемой системе происходит за счет столкновений электронов, дрейфующих в скрещенных полях вокруг оси симметрии системы, с атомами нейтрального газа. Величина магнитного поля подбирается таким образом, чтобы размер ларморовского радиуса образующихся ионов р^ значительно превышал длину ускорительной области й: р^ ^ й, в то время как для электронов должно выполняться обратное условие: ре <С й, где ре

ларморовский радиус электронов. В этом случае ионы, не испытывая существенного воздействия со стороны магнитного поля, свободно ускоряются электрическим полем вдоль оси канала. Замагниченность электронов в такой системе позволяет избежать ограничений, связанных с образованием объемного заряда (классический закон Чайлда-Ленгмюра) [20]. Такую плазму с замагниченными электронами и сла-бозамагниченными ионами принято называть частично замагничен-ной, а сами системы, в которых замагниченные электроны вращаются вокруг оси симметрии со скоростью электрического дрейфа - системами с замкнутым дрейфом электронов (СЗДЭ). С помощью таких систем удается получить стационарные потоки ускоренных частиц с плотностями тока ~ 0,1 — 1 А/см2 и энергиями вплоть до ~ 1 кэВ при значениях КПД на уровне 0,6 и выше [15]. Основные принципы работы СЗДЭ подробно изложены в известных монографиях и обзорах, см., например, [20]-[22].

Один из важнейших аспектов работы СЗДЭ связан с механизмом "отвода" на анод электронов, возникающих в системе в ходе ионизации рабочего вещества и вторичной эмиссии со стенок. При создании первых ускорителей с замкнутым дрейфом электронов предполагалось, что контроль их проводимости поперек магнитного поля позволит осуществить "автофиксацию" электрического потенциала вдоль оси ускоряющего канала: недостаточная проводимость какого-либо участка канала ускорителя приводит к появлению избытка электронов и увеличению разности потенциалов на данном участке [15]. Классическая кулоновская проводимость замагниченных электронов мала и поэтому она играет роль только в системах с узкой зоной ускорения, длина ё которой сопоставимы с ларморовским радиусом электронов ре: ё ~ ре. Такие ускорители называют двигателями с анодным слоем (ДАС) [23]. Для описания проводимости в СПД с протяженной зоной ускорения А. И. Морозовым была предложена модель пристеночной проводимости [24]. В рамках данного подхода предполагается, что во время столкновения замагниченного электрона с шероховатой диэлектрической стенкой ускоряющего канала СПД

происходит сбой фазы ларморовского вращения, сопровождающийся "срывом" электрона вдоль электрического поля E в направлении к аноду. Своеобразный каскад таких срывов приводит к формированию пристеночного токового слоя с шириной порядка ларморовского радиуса электрона. Однако впоследствии эксперименты на СПД показали, что ток электронов течет не только вдоль некоторого пристеночного слоя, но и во всем объеме между стенками ускоряющего канала, что свидетельствует о существенно турбулентной природе переноса электронов поперек магнитного поля, вызванного их рассеянием на колебаниях электростатического потенциала [15,25]. При наличии флуктуаций плотности электронов ne и азимутальной компоненты электрического поля Eq плотность аномального электронного тока может быть оценена при помощи выражения je± = ce < nëEq > /В [26], где c - скорость света в вакууме, e - элементарный заряд, а скобки обозначают усреднение по периоду колебаний.

Понимание природы аномального переноса напрямую связано с исследованием характеристик колебаний, инициирующих такой перенос, и изучением механизмов их возбуждения. Системы с замкнутым дрейфом электронов демонстрируют высокий уровень "шумов", из которых обычно выделяют три частотных диапазона [27]: ~ 10 — 100 кГц, ~ 0,1 — 1 МГц и ~ 1 — 10 МГц. Колебания в низкочастотном диапазоне ассоциируют с крупномасштабными структурами типа осесимметричных "пульсирующих" мод (в англоязычной литературе - breathing mode) [25, 28] и азимутальных "спиц" (в англоязычной литературе - spokes), впервые исследованных в работе [29]. К промежуточному диапазону частот относят "пролетные" колебания (в англоязычной литературе - transient-time oscillations), период которых сопоставим со временем пролета ионов через ускоряющий канал СЗДЭ [25]. Высокочастотный диапазон включает различные типы дрейфовых колебаний [30]. Заметим, что в силу малости магнитного поля, величина которого в типичных СЗДЭ принимает значения ~ 0,1 — 1 кГс, большинство как низкочастотных, так и высокочастотных колебаний лежит в диапазоне между ионной и элек-

тронной циклотронными частотами, шв1 < ш < шве, где ш - частота колебаний. По этой причине источником таких флуктуаций являются принципиально двужидкостные или кинетические неустойчивости. В настоящее время считается, что аномальный перенос электронов в СЗДЭ связан с крупномасштабными электростатическими флукту-ациями низкочастотного диапазона (ш ^ ш/ь, где ш/ь = ^швШве -нижнегибридная частота), проявляющимися в экспериментах в виде вращающихся структур типа спиц [31]-[43]. Такие спицы представляют из себя длинноволновые азимутальные волны т ~ 1 — 3 (т - азимутальное волновое число) повышенной концентрации плазмы, вращающиеся в направлении электрического дрейфа электронов со скоростью много меньшей, чем скорость Е х В-дрейфа - см. рис. 2 (иллюстрация заимствована из работы [43]). В плазменных ускорителях спицы локализованы вблизи анода и способны переносить вплоть до 50% разрядного тока [43]. Примечательно, что появление таких структур может быть связано как с переходом в улучшенные режимы работы системы [39]-[41], так и с деградацией разряда [42,43].

2.6 cm

I

Time: Ojis Time: 17jis Time: 34jis

«г Time: 51ns J Time: 60ns % Time: 85ms

Рис. 2: Изображения крупномасштабной вращающейся азимутальной структуры в циллиндрическом холловском двигателе (Cylindrical Hall Thruster - в англоязычной литературе), полученные при помощи высокоскоростной видеофиксации видимого излучения из плазмы. Иллюстрация заимствована из работы [43].

Общепризнанного механизма формирования крупномасштабных азимутальных структур в плазме СЗДЭ не существует. Начиная с классической работы [29], многие авторы связывают явление образования спиц с концепцией критической скорости ионизации (CIV -Critical Ionization Velocity) [37,38], предложенной Альфвеном [44]. Однако, поскольку источник самих ионизационных волн остаётся не до концы изучен, CIV-механизм образования спиц является непредсказательным [40]. К настоящему времени известен достаточно широкий спектр неустойчивостей холловской плазмы, существенных для организации плазменного потока и формирования крупномасштабных структур в СЗДЭ, например: ионно-пучковая [45, 46] и двухпотоко-вая [47] неустойчивости, электронная- [48] и электрон-циклотронная дрейфовые неустойчивости [49, 50], ионно-звуковая неустойчивость [51], резистивная неустойчивость [52], ионизационные неустойчивости [53,54], неустойчивости Рэлея [55,56], различные модификации градиентных неустойчивостей электростатических колебаний и др. К последним, в частности, относится известная неустойчивость Саймона-Хо (Simon-Hoh instability - в англоязычной литературе) [57,58] и ее бесстолкновительные аналоги (modified Simon-Hoh instability- в англоязычной литературе) [59]. Градиентная неустойчивость развивается в пространственно неоднородной плазме при наличии источника свободной энергии в виде поперечного к внешнему магнитному полю тока [60,61], который в исследуемых конфигурациях переносится электронами. В современных работах такую неустойчивость часто называют градиентно-дрейфовой неустойчивостью (gradientdrift instability - в англоязычной литературе) [62,63]. Заметим, что эта неустойчивость активно исследуется в физике ионосферы и, в частности, является общепринятым механизмом измельчения нерегулярных структур в F-слое (см., например, [64]).

Первая локальная теория градиентной неустойчивости применительно к исследованию электростатических колебаний в простейшей одномерной конфигурации существенно неоднородного магнитного поля, присущего установкам типа СПД, была развита и верифици-

рована экспериментально в работах [25] и [30]. Интерес к градиентной неустойчивости, как к потенциальному механизму формирования крупномасштабных вращающихся структур в плазме СЗДЭ, возник благодаря работе [62], в которой была учтена двумерная структура магнитного поля при расчёте сжимаемости электронного потока и предложена расширенная модель длинноволновой градиентной неустойчивости, обобщенная на случай конечного теплового отклика электронов. Применение данной модели к расчету устойчивости плазмы в каналах различных плазменных двигателей с замкнутым дрейфом электронов [65] и в магнетронных разрядах [66] показало хорошее согласие между волновыми характеристиками младших неустойчивых азимутальных мод и параметрами крупномасштабных структур, наблюдаемых в экспериментах. Существенным недостатком модели [62] является используемое приближение безынерционных электронов (те ^ 0). В результате при выполнении локального критерия неустойчивости неустойчивым оказывается весь спектр колебаний, причём инкремент неустойчивости неограниченно возрастает с уменьшением длины волны [67]. Это означает, что младшие азимутальные моды не являются самыми неустойчивыми в спектре, что не позволяет объяснить в рамках используемой модели возбуждение длинноволновых мод в СЗДЭ. При учете электронной инерции происходит стабилизация коротковолновых возмущений, однако в этом случае частота наиболее неустойчивых мод по порядку величины соответствует нижнегибридному диапазону, что заведомо превышает частоту вращающихся спиц. Нелинейное взаимодействие нижнегибридных колебаний, способное приводить к развитию модуляционной неустойчивости низкочастотных длинноволновых возмущений конечной амплитуды, было рассмотрено в работе [68].

Существенным недостатком большинства теоретических моделей, используемых для описания градиентных неустойчивостей в плазме СЗДЭ, является естественное "гидродинамическое" ограничение на длину волны возмущений: к±ре ^ 1, где к± - проекция волнового вектора на поперечное к магнитному полю направление. Прежде все-

го, данное ограничение не позволяет определить пороговое значение скорости электронного дрейфа, при превышении которого в системе развивается градиентная неустойчивость, так как значение азимутального волнового числа неустойчивых возмущений увеличивается с ростом скорости вращения электронов [69]-[71]. В свою очередь, информация о порогах и профилях граничной устойчивости оказывается весьма полезной при анализе нелинейно насыщения неустойчивых колебаний [72,73].

Несмотря на богатую историю исследований и наблюдаемое в последние годы возобновление интереса к градиентной неустойчивости как к источнику колебаний электрического потенциала в холловской плазме, многие аспекты еч, развития в СЗДЭ до сих пор оставались неизученными. Так, в системах типа СПД неустойчивость традиционно рассматривалась локально, что не позволяло отследить изменение характеристик наиболее опасных возмущений вдоль длины ускоряющего канала. Поскольку типичные профили стационарных параметров плазмы в СПД обладают большими градиентами, в разных областях канала возможно развитие колебаний с существенно различными пространственными и временными масштабами. Не была выяснена роль эффектов стационарного течения ионов и конечной температуры электронов в развитии градиентной неустойчивости в условиях, характерных для реальных плазмодинамических устройств. Отсутствовали ясные представления и о глобальной структуре собственных мод градиентной неустойчивости, необходимые для понимания пространственной локализации и интерпретации результатов измерений крупномасштабных спицеподобных образований в плазме СЗДЭ.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию механизмов раскачки электростатических колебаний, связанных с развитием градиентной неустойчивости существенно неоднородной частично-замагниченной плазмы низкого давления, помещенной в конфигурации скрещенных электрического и магнитного полей, характерных для различных СЗДЭ. В работе исследованы как фундаментальные вопросы, направленные на развитие теории гра-

диентной неустойчивости в неоднородной плазме для корректного описания возмущений в широком диапазоне длин волн, так и прикладные, связанные с расчетом волновых характеристик наиболее неустойчивых возмущений в ускоряющем канале СПД и интерпретаций результатов наблюдения крупномасштабных структур типа спиц.

Цель и задачи исследования

Основной задачей диссертационной работы является определение условий развития градиентной неустойчивости длинноволновых электростатических колебаний неоднородной плазмы с незамагни-ченной ионной компонентой во внешних скрещенных электрическом и магнитном полях с целью объяснения явления формирования крупномасштабных азимутальных структур, наблюдаемых в плазменных системах с замкнутым дрейфом электронов.

Методы исследования

Динамика неоднородной плазмы в скрещенных электрическом и магнитном полях описывается в рамках двужидкостной гидродинамической модели с холодными незамагниченными ионами и горячими замагниченными электронами. Устойчивость системы по отношению к электростатическим возмущениям исследуется при помощи стандартных аналитических методов анализа собственных колебаний плазмы. Для отыскания собственных функций и собственных частот глобальных мод применяется авторский код, в основу которого положено матричное представление граничной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с граничными условиями первого рода. Все численные расчёты и визуализация данных выполнены в компьютерной среде МЛТЬЛБ.

Научная новизна

В работах, положенных в основу диссертационного исследования, автором получены следующие новые научные результаты:

• Найдены необходимое и достаточное условия устойчивости электростатических колебаний в нижнегибридном диапазоне частот, распространяющихся поперек внешнего магнитного поля в неоднородной плазме с незамагниченными холодными ионами и за-магниченными горячими электронами в скрещенных полях. Показано, что учет эффектов конечного ларморовского радиуса (КЛР) электронов принципиально важен при анализе устойчивости азимутальных колебаний плазмы в режимах со слабым поперечным током (вблизи порога неустойчивости), когда угловая скорость стационарного вращения электронов по порядку величины сопоставима с частотой нижнегибридных колебаний.

• Аналитически найдены профили граничной устойчивости и пороговые значения скорости азимутального дрейфа электронов, при превышении которых развивается неустойчивость. Получены выражения для частот и инкрементов наиболее неустойчивых мод. Показано, что вблизи порога неустойчивости в существенно неоднородном магнитном поле эффекты КЛР приводят к стабилизации высокочастотных (частоты порядка нижнегибридной частоты) коротковолновых (длины волн порядка ларморовского радиуса электронов) возмущений.

• Для наиболее типичных профилей распределения параметров плазмы, электрического и магнитного полей вдоль оси ускоряющего канала стационарного плазменного двигателя (СПД) численно исследована линейная устойчивость электростатических возмущений. Показано, что в ускоряющем канале СПД существуют три пространственно разделённые области, различающиеся по направлению распространения и характеристикам наиболее неустойчивых возмущений.

• Численно исследовано влияние эффектов конечной температуры электронов и ионного потока на характер неустойчивости электростатических колебаний в канале СПД. Показано, что в большей части ускоряющего канала дестабилизация плазмы обуслов-

лена потоком ускоренных ионов. Продемонстрировано, что приближение холодных электронов, используемое в большинстве современных работ, посвященных анализу колебаний в СПД, применимо для описания градиентной неустойчивости только в при-анодной области ускорителя.

• Аналитически получены точные решения для глобальных мод градиентной неустойчивости плазмы с поперечным током электронов в базовой конфигурации цилиндрического магнетрона. Впервые показано, что параметры биений, формируемых в результате суперпозиции близких по частоте глобальных мод с равными инкрементами, качественно совпадают с характеристиками крупномасштабных структур, наблюдаемых в экспериментах на ускорителях с замкнутым дрейфом электронов.

• Численно рассчитаны собственные частоты и собственные функции неустойчивых глобальных мод внутри ускоряющего канала СПД. Исследовано влияние изменения геометрических размеров (длины и ширины) ускоряющего канала СПД на форму частотного спектра неустойчивых глобальных мод; определены условия формирования биений.

Теоретическая и практическая значимость

Полученные в диссертации результаты по исследованию гидродинамических неустойчивостей поперечных электростатических колебаний, развивающихся в плазме с незамагниченной ионной компонентой, имеют большое значение, как для понимания фундаментальных процессов, протекающих в типичных условиях, характерных для плазменных разрядов в скрещенных электрическом и магнитном полях, так и для оптимизации существующих ускорителей с замкнутым дрейфом электронов. В частности,

• Полученные в диссертационной работе условия устойчивости и дисперсионные характеристики электростатических поперечных колебаний могут быть использованы для анализа спектра коле-

баний электрического потенциала плазмы в установках холлов-ского типа: магнетронных разрядах, источниках многозарядных ионов, стационарных плазменных двигателях, разрядах Пеннин-га и т. п. Выведенные редуцированные гидродинамические уравнения также являются основой для последующего численного расчета нелинейной стадии эволюции таких систем и аномального переноса, связанного с рассматриваемой неустойчивостью.

• Полученные выражения для профилей граничной устойчивости, характеризующих стационарное состояние плазмы в скрещенных полях, могут быть использованы для определения профилей параметров плазмы, магнитного и электрического полей в СЗДЭ и для оптимизации рабочих режимов установок.

• Результаты расчета устойчивости ускоряющего канала СПД могут быть использованы для интерпретации экспериментально наблюдаемых осцилляций разряда в установке и их контроля. Отдельное методическое значение имеет проведенная проверка применимости стандартно используемого приближения холодной плазмы для описания колебаний в СПД.

• Продемонстрированное возникновение биений глобальных мод градиентной неустойчивости является возможным механизмом формирования крупномасштабных азимутальных структур типа спиц, наблюдаемых в ускоряющих каналах СЗДЭ; знания о локализации и волновых характеристиках глобальных мод может быть использовано для разработки методик контроля таких структур.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электростатические колебания в неоднородных плазменных системах с замкнутым дрейфом электронов»

Апробация работы

Результаты диссертационного исследования регулярно докладывались и обсуждались на семинарах Отдела теории плазмы в НИЦ "Курчатовский институт", а также на специализированных российских и международных конференциях, таких как: ХЫУ, ХЬУ Международные (Звенигородские) конференции по физике

плазмы и УТС (Звенигород, 2017, 2018), XIV Конференция молодых ученых "Фундаментальные и прикладные космические исследования" (Москва, ИКИ РАН, 2017), 44-ой и 45-ой Международных конференциях Европейского физического общества по физике плазмы (Белфаст, Великобритания, 2017; Прага, Чехия, 2018). Полученные автором оригинальные результаты опубликованы в ведущих специализированных отечественных и зарубежных научных журналах, в трудах международных конференций. По теме диссертации опубликовано 12 работ [31], [69]-[71], [74]-[81], в том числе 5 статей в рецензируемых журналах [71], [74], [75], [77], [78]; в качестве объекта интеллектуальной собственности зарегистрирована программа для ЭВМ [81].

Личный вклад автора

Все результаты, изложенные в диссертации, были получены при непосредственном участии автора на всех этапах работы. Автору принадлежит существенная часть численных расчетов по исследованию влияния эффектов инерции и КЛР электронов на характер неустойчивости плазмы с поперечным током в скрещенных полях. Автором исследовано влияние эффектов конечной температуры и ионного потока на распределение параметров наиболее неустойчивых мод в канале СПД. Автор внес значительный вклад в постановку и решение задач о неустойчивости глобальных мод в системах с замкнутым дрейфом электронов.

Объём и структура диссертации

Материал диссертации изложен на 120 страницах, включая 45 рисунков. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 13 параграфов, заключения и приложения, состоящего из двух разделов. Каждая глава начинается с небольшого вступления, разъясняющего, чему посвящена данная глава, и заканчивается кратким резюме, в котором суммируются полученные в ней результаты. Список цитируемой литературы содержит 107 наименований.

Первая глава диссертационной работы посвящена построению гидродинамической модели для описания дисперсии электростатических возмущений, распространяющихся в неоднородной плазме низкого давления с незамагниченными ионами и замагниченными горячими электронами, помещенной во внешние скрещенные электрическое и магнитное поля. В параграфе 1.1 описан вывод редуцированной системы уравнений гидродинамического типа для электронной и ионной компонент плазмы, базирующийся на двужидкостной без-диссипативной модели. Поведение холодных незамагниченных ионов описывается стандартным уравнением движения (без учета сил Лоренца и давления) и уравнением непрерывности. Динамика горячей электронной компоненты плазмы поперек внешнего магнитного поля описывается одним уравнением непрерывности, редуцированным на случай медленных движений (по сравнению с циклотронным периодом электронов), и учитывающем силы магнитной вязкости. В параграфе 1.2 редуцированная система уравнений используется для вывода основного дисперсионного соотношения. В заключении параграфа 1.2 приведен краткий обзор ранее известных дисперсионных соотношений, следующих из полученного закона дисперсии в некоторых частных случаях. Краткое резюме главы 1 дано в параграфе 1.3.

Во второй главе исследуется устойчивость электростатических колебаний неоднородной плазмы на фоне произвольного стационарного состояния СЗДЭ. В параграфе 2.1 определены необходимое и достаточное условия градиентной неустойчивости. При помощи анализа волновых характеристик неустойчивых азимутальных возмущений исследуется влияние эффектов инерции и конечного ларморовско-го радиуса (КЛР) электронов на характер развития неустойчивости. В параграфе 2.2 исследуется поведение градиентной неустойчивости азимутальных возмущений вблизи границы неустойчивой области. В подпараграфе 2.2.1 представлена процедура минимизации функции, описывающей границу неустойчивой области, по отношению к скорости вращения электронов; найдены ее пороговые значения, при превышении которых в системе развивается градиентная неустой-

чивость. В подпараграфе 2.2.2 приводится вывод асимптотических выражений для длин волн, частот и инкрементов наиболее неустойчивых мод вблизи (режим слабой накачки неустойчивости) и вдали (режим сильной накачки неустойчивости) от порога неустойчивости. Определены условия, при которых во всем спектре неустойчивых мод максимальным инкрементом обладают низкочастотные и ^ длинноволновые к±ре ^ 1 колебания, волновые характеристики которых совпадают с параметрами вращающихся крупномасштабных структур, наблюдаемых в экспериментах. Краткое резюме главы 2 дано в параграфе 2.3.

В третьей главе диссертации численно исследуется устойчивость электростатический колебаний плазмы в ускоряющем канале СПД. В параграфе 3.1 на основе результатов работ, посвященных численному и экспериментальному исследованию операционных режимов плазменных ускорителей типа СПД, подобраны аналитические выражения, аппроксимирующие профили распределения электрического и магнитного полей, плотности плазмы и электронной температуры вдоль оси ускоряющего канала. В параграфе 3.2 для заданных профилей стационарного состояния рассчитаны волновые характеристики наиболее неустойчивых возмущений в ускоряющем канале. Для анализа влияния эффектов электронной температуры и стационарного потока ионов последовательно рассматриваются три случая: 1 - приближение холодных электронов и неподвижных ионов (подпараграф 3.2.1); 2 - приближение горячих электронов и неподвижных ионов (подпараграф 3.2.2); 3 - приближение горячих электронов и движущихся ионов (подпараграф 3.2.3). Краткое резюме главы 3 дано в параграфе 3.3.

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию глобальной структуры собственных мод градиентной неустойчивости в СЗДЭ. В параграфе 4.1 для модельной конфигурации разряда маг-нетронного типа с твердотельным профилем вращения электронов и степенным профилем плотности плазмы в приближении холодных электронов получены точные аналитические решения задачи на соб-

ственные значения. Рассчитана радиальная структура возмущений электростатического потенциала и спектр собственных неустойчивых колебаний. Демонстрируется возникновение биений между наиболее неустойчивыми модами спектра в ходе развития градиентной неустойчивости. В подпараграфе 4.2 для профилей стационарных параметров в СПД численно рассчитана аксиальная структура возмущений электростатического потенциала и спектр собственных неустойчивых колебаний. Исследуется влияние изменение геометрических размеров плазменного двигателя (изменение радиуса ускоряющего канала - подпараграф 4.2.1 и длины канала - подпара-граф 4.2.2) на спектр и структуру собственных колебаний. В разделе 4.3 сформулирован возможный механизм формирования крупномасштабных спицеобразных структур, экспериментально наблюдаемых в различных СЗДЭ при помощи высокоскоростной видеофиксации видимого излучения плазмы. Краткое резюме главы 4 дано в параграфе 4.4.

В заключении сформулированы выводы и основные результаты диссертации.

В приложении А.1 приведено выражение для тензора магнитной вязкости с учетом неоднородности магнитного поля и получена его векторная форма, необходимая для вывода редуцированного уравнения непрерывности, описывающего динамику электронной компоненты плазмы. В приложении А.2 изложена процедура матричной дискретизации уравнения малых колебаний и описан используемый алгоритм численного решения задачи на собственные значения.

Автор выносит на защиту:

1. Необходимое и достаточное условия градиентной неустойчивости поперечных электростатических колебаний в неоднородной плазме с незамагниченными ионами и горячими замагниченными электронами в скрещенных электрическом и неоднородном магнитном полях.

2. Аналитические выражения для профилей граничной устойчивости азимутальных электростатических колебаний в неоднородной плазме с поперечным током электронов.

3. Вывод о разделении ускоряющего канала стационарного плазменного двигателя на три пространственные области по направлению распространения и характеристиками наиболее неустойчивых электростатических возмущений.

4. Вывод о том, что на линейной стадии развития градиентной неустойчивости плазмы с поперечным током электронов происходит формирование биений между наиболее неустойчивыми глобальными модами, параметры которых совпадают с волновыми характеристиками крупномасштабных азимутальных структур типа спиц, экспериментально наблюдаемых в системах с замкнутым дрейфом электронов.

5. Модель, описывающая возникновение крупномасштабных азимутальных структур в прианодной части ускоряющего канала стационарного плазменного двигателя как результат развития градиентной неустойчивости плазмы.

Глава 1

Гидродинамическая модель колебаний

неоднородной плазмы с незамагниченными ионами и замагниченными электронами в скрещенных электрическом и магнитном полях

На основе двужидкостных уравнений динамики плазмы с незамагни-ченными ионами и замагниченными электронами построена редуцированная модель для описания гидродинамических неустойчивостей неоднородной плазмы с поперечным током, помещенной во внешние скрещенные электрическое и магнитное поля произвольной конфигурации. Получено локальное дисперсионное соотношение для электростатических возмущений движущейся плазмы с учетом неоднородности магнитного поля и плотности плазмы, инерции и конечной температуры электронов. Представлен краткий обзор дисперсионных соотношений, полученных ранее в литературе для описания неустой-чивостей плазмы с поперечным током в скрещенных полях.

1.1 Редуцированные уравнения двужидкостной

гидродинамики с учетом эффектов конечной температуры электронов

Для описания поведения плазмы в скрещенных электрическом и магнитном полях воспользуемся приближением двужидкостной гидродинамики. Как отмечалось во Введении, в условиях, характерных для плазменных систем с замкнутым дрейфом электронов (СЗДЭ), ионная компонента плазмы является незамагниченной, и ее движение может быть описано уравнением

ж + = тЕ (1Л)

где V и щ - скорость и концентрация ионов; Е - напряженность электрического поля; е и т^ - элементарный заряд и масса иона (ионы предполагаются однозарядными). Из уравнения (1.1) исключены

силы ионного давления, так как в дальнейшем, при исследовании волновых процессов, нас будут интересовать только такие колебания, фазовая скорость которых урь существенно превосходит тепловую скорость ионов УТ1, ^ УТ1.

Плотность ионов удовлетворяет уравнению непрерывности

—п ■

+ (пгчг) = 0. (1.2)

Уравнение движения замагниченных горячих электронов имеет следующий вид:

-ve , e 1Г ^Л Vpe Vn e х

—e + (Ve • V)ve =--E + -[Ve X Б]--^--e. (1.3)

-t me \ c ) mene mene

Здесь ve и ne - скорость и концентрация электронов; pe = neTe - давление электронов, Te - температура электронов; Б - напряженность магнитного поля; me - масса электрона; ne - тензор бесстолкнови-тельной вязкости.

Плотность электронов также удовлетворяет уравнению непрерывности

—n

-t- + div (neVe)=0. (1.4)

Температура электронов предполагается постоянной Te = const, поэтому уравнение для баланса энергии не используется.

Система уравнений (1.1)-(1.4) должна быть дополнена системой уравнений Максвелла для электромагнитного поля, однако для исследования чисто электростатических процессов E = -V0, где ф - потенциал электрического поля, достаточно замкнуть систему (1.1)-(1.4) уравнением Пуассона

Дф = 4ne(ne - n). (1.5)

Общее выражение для сил бесстолкновительной вязкости в уравнении (1.3) в случае неоднородного криволинейного магнитного поля было получено в работе [82]. В ортогональной системе координат при Te = const оно может быть приведено к следующей векторной форме (см. подробности вывода в приложении А.1) [83]:

v • Пе = - mene(U*e • V)ve + V ^(b • rot Ve)j - 2(B • V)B +

+ K>t{ ^ (2(b • V)ve + (div Ve - 3b(b • V)Ve) b) } , (1.6)

где

U*e = -rot ( — b ) ,

meUe V^Be J

a = 2^ I [b X (b X rot Ve + 3(b • V)Ve)] + 1(b • rot Ve)^ , (1.7)

b = B/B - единичный вектор вдоль направления магнитного поля и ^Be = eB/mec - циклотронная частота электронов. Подстановка выражения (1.6) в правую часть уравнения движения (1.3) приводит к уравнению

mene( Jt + (Ve - U*e) • V j Ve +

+rot{ 2^ (2(b • V)Ve + (div Ve - 3b(b • V)Ve) b^ =

e

3e

= -enЛ E + 1 [Ve X B] j - V be + 2^"(b • rot Ve^ +

Pe ' [b x (b x rot Ve + 3(b • V)Ve)] + i(b • rot Ve)b

+ (В •V) ^ _--------с , _ .

и>Бе I -

(1.8)

Вектор и*е описывает дрейф электронов под действем неоднородности плотности и магнитного поля. В типичных условиях, реализуемых в СЗДЭ, давление плазмы крайне мало [15], [20]-[22]. Это позволяет считать магнитное поле в плазме равным вакуумному полю, создаваемому внешними катушками, поэтому внутри объема плазмы гО В = 0. Пользуясь этим предположением, удобно переписать выражение (1.7) для и*е в виде

ст 2сТ

и*е = Ур-Уд, Ур = —е[V 1пиехЪ], Уд = -"те[V 1пВхЪ]. (1.9)

ев еВ

Интересуясь достаточно медленными процессами, характерное время т которых удовлетворяет неравенству тиве ^ 1, получим яв-

ное выражение для уе путем разложения уравнения (1.8) по степеням ^В^. В нулевом приближении по скорость равна

/О

ve0) = Ve + Vp, Ve = - [E x b].

B

(1.10)

Далее, рассматривая поперечное (по отношению к магнитному полю) движением электронов (уе•Ь) = 0, и предполагая, что магнитное поле

•• К (!)

также неоднородно только поперек Ь, получим выражение для уе

v« =

e

UBe

+

mene

-rot

Pe

-

- + (Ve + Vd ) • V -t

b div vi0M + —V ( -b rot vi0) ) L b.

v<0) +

e

mene

2UBe

(1.11)

Члены в правой части выражения (1.11) описывают влияние инерции и бесстолкновительной вязкости электронов на характер их движения. Помимо стандартного "сокращения диамагнитных дрейфов" (gyroviscous cancellation - в англоязычной литературе), при котором слагаемое Vp "выпадает" из выражения для оператора конвективной производной [61], учет неоднородности магнитного поля приводит к появлению новых членов в (1.11), пропорциональных pe/LB, где Lb -характерный масштаб изменения магнитного поля и pe = \JTe/meuBe - ларморовский радиус электронов.

Окончательно, подставляя выражение для скорости электронов в виде ve = ve0) + vei) в уравнение непрерывности (1.4), получим уравнение динамики электронной компоненты плазмы

(— + Ve • v) ne - 2ne(VE + Vp) • V ln B +

+ Д

' neTe ± I -(VE ' T P

V

(Ve + Vp) • V ln B) -

' neTf

meUBe

^BeB

div ((Ve + Vp) x B) x b} • vlnb +

+ div

ne

UBe

- \

- + (Ve + Vd) • VJ (Ve + vp)

x b = 0,

(1.12)

1

1

1

где

ДЛ...) = ¿IV [v(...) - ъ(ъ ^(...))].

Система уравнений (1.1), (1.2), (1.5) и (1.12) образует искомую редуцированную модель, описывающую динамику неоднородной плазмы низкого давления с незамагниченными холодными ионами и за-магниченными горячими электронами, движущимися поперек внешнего неоднородного криволинейного магнитного поля. Данная система является основой для исследования электростатических колебаний в СЗДЭ, представленного в последующих главах диссертации.

1.2 Локальное дисперсионное соотношение для электростатических колебаний в плазменных системах с замкнутым дрейфом электронов

Для исследования колебаний в плазменных системах с замкнутым дрейфом электронов введем локальную декартову систему координат (х,у,г) с осью х, направленной вдоль внешнего стационарного электрического поля Е0 = Е0(х)ех. Магнитное поле зададим в виде В = Вх(х, г)ех + Вг(х, г)е^ ~ В(ж)е^. Такое представление магнитного поля является стандартным приближением при исследовании базовой модели ускорителя типа СПД - см., например, [30], [62] и [65]. Остальные стационарные величины также будем считать зависящими только от х. В ускорителях типа СПД, в которых магнитное поле имеет преимущественно радиальную компоненту, а электрическое поле направлено вдоль оси симметрии системы, локальные координаты г и х определяют радиальное и аксиальное направления, соответственно. Локальная координата у задает азимутальное направление. Геометрия ускорителя типа СПД изображена на рис. 1.1(а). В обращенных системах (плазменные магнетронные разряды и разряды Пеннинга), в которых магнитное поле направлено преимущественно вдоль оси симметрии, а электрическое поле - вдоль радиуса, локальные координаты г и ж обозначают аксиальное и радиальное направления, со-отвественно. Для расчета структуры собственных глобальных мод в конфигурациях магнетронного типа (глава 4) мы также будем приме-

нять более естественную для такой задачи цилиндрическую систему координат (г, 9, г) - см. рис. 1.1(б).

(a)

(б)

Рис. 1.1: Конфигурации полей в ускоряющих каналах СЗДЭ и используемые системы координат: (а) - геометрия стационарного плазменного двигателя (СПД), (б) - геометрия цилиндрического магнетронного разряда.

Используя введенную систему координат, определим стационарное состояние (д/д^ = 0) СЗДЭ. Замагниченные электроны под действием стационарного электрического поля Е0 = Е0(х)ех и градиента плотности Уп0е = ((п0е/(х)ех дрейфуют вдоль оси у со скоростью

/тг , лг Ч лг Ео сТе (1п пое

^0е = (УОЕ + У*е)еу, УоЕ = , Ке = - в .

Профиль стационарной скорости ионов = ^0^(ж)ех, ускоряющихся в электрическом поле, в соответствии с уравнением (1.1) определяется соотношением

= — Eo. dx mi

(1.13)

Наконец, как видно из уравнения (1.2), плотность потока ионов в стационарном состоянии внутри канала СЗДЭ является сохраняющейся величиной, n0i(x)v0i(x) = const. Следовательно, неоднород-

ность плотности ионов связана с их скоростью и электрическим полем посредством выражения

1 dnpi =__dvo1 = Voe мы

n0i dx V0i dx v0i '

где UBi = eB/mic - циклотронная частота ионов. Устойчивость плазмы вблизи такого стационарного состояния была впервые исследована в работе [30]. Однако как показывают экспериментальные данные, полученные на различных СЗДЭ, плотность потока ионов вдоль оси ускоряющего канала непостоянна (ni0(x)v0i(x) = const). Причиной тому могут быть различные факторы, связанные с радиальным расхождением ионного потока, ионизационными процессами, пристеночными эффектами и т.п. - см. обсуждение в работе [62]. Поэтому далее значения электрического поля E0 и плотности n0 плазмы (в стационарном состоянии плазма считается квазинейтральной n0 = n0i = n0e) будем полагать независимыми.

Рассмотрим теперь задачу о распространении электростатических возмущений плазмы E' = -Vtj)' поперек внешнего магнитного поля B (в плоскости (x,y)). Возмущения, распространяющиеся вдоль оси x, будем называть аксиальными, а вдоль оси y - азимутальными. В локальном (квазиклассическом) приближении пространственно-временная зависимость всех возмущенных величин задается в виде ~ exp[i(kr - ut)], где k = (kx, ky, 0) - волновой вектор и и - частота возмущений. Подобное представление предполагает малость длин волн таких возмущений по сравнению с характерными размерами неоднородностей равновесных параметров плазмы. В частности, для аксиальных мод должно выполняться условие kxl ^ 1, где l - характерная длина неоднородности плотности плазмы, электрического и магнитного поля.

Для описания возмущений ионной компоненты плазмы лианери-зуем уравнения (1.1) и (1.2), представляя скорость и концентрацию ионов в виде сумм стационарных и возмущенных величин: Vi = v0i(x)ex + v', ni = n0 + n'. Для малых амплитуд возмущений (IVI, n') < (V0i,n0) получим

ек

(и - кх^Х = —ф, (и - кхУо1)п'1 - по (к • у'г) = 0. (1.14)

Разрешая полученную систему относительно п^, получим выражение для возмущения плотности ионов

где к2 = кХх + к^ и с8 = (Те/—¿)1/2 - скорость звука.

Линеаризуя уравнение (1.12) по отношению к мелкомасштабным возмущениям, получим

[и - ив - ив + к2 Р2(и - ив - 2ив)] п'е = = [и*е - ив + к2р2(и - ив - 2ив)] еП0 ф'. (1.16)

Те

Здесь п'е обозначает возмущение электронной плотности и введены дрейфовые частоты

ив = ку Уов, и*е = ку У*е, ив = ку Ув,

где У в = -(2сТе/еВ)( 1п В/(х - скорость градиентного дрейфа.

Выражение для возмущенной плотности электронов (1.16) удобно переписать в следующем виде

Пе = 1

1 + к! р2

где

и*е - и в + к2 Р2

и — ив — ив

еП0 Ф', (1.17)

Т

Те

1 + 2к2 р2

ив = •

Рассмотрим выражение для п'е подробней. Для наглядности ограничимся случаем однородных плотности плазмы (п0/(х = 0 и магнитного поля ё,В/(х = 0, в котором выражение (1.17) принимает вид

к Ре епо

Пе = Г+к[Р| Т ф. (1.18)

По своей структуре выражение (1.18) является рациональной Паде аппроксимаций более общего выражения, полученного в рамках кинетической теории1 [84,85]:

< = [1 - !о(к2±р2) ехр(—к2 р2)] ^ Ф', (1.19)

Т е

где /0 - модифицированная функция Бесселя первого рода. Такая аппроксимация позволят в рамках расширенной гидродинамической модели (с учетом сил бесстолкновительной вязкости) асимптотически корректно описывать возмущения как с большими (но конечными к\р1 < 1), так и с малыми (кк^р2е ^ 1) длинами волн. В коротковолновом пределе выражение (1.18) переходит в хорошо известное распределение Больцмана п'е = (еп0/Те)ф'. В промежуточной области значений к\р2 > 1 аппроксимация Паде дает качественно (но не количественно) верный результат. Подробное описание аппроксимации Паде и других более точных аппроксимаций функций Бесселя, используемых применительно к проблеме учета эффектов конечного ларморовского радиуса (КЛР) в расширенной гидродинамической теории, можно найти в работе [86].

Подставляя выражения для возмущенных концентраций ионной и электронной компонент плазмы (1.15) и (1.17) в линеаризованное уравнение Пуассона к\ф' = 4пв(п^ — п'е), получим искомое дисперсионное соотношение для электростатических колебаний частично замагниченной плазмы в скрещенных электрическом и магнитном полях [69]-[71]:

1 + иРе иР* + и*е — и В =о

и|е(1 + к\р2е) (и — Кщ*)2 к2±&е(1 + к\р2е)(и — ив — &В) '

(1.20)

Здесь ира = у/4лёепо"/щ - плазменная частота, где ] = (г, е); (е = (Те/4пееп0)1/е - дебаевский радиус.

Уравнение (1.20) представляет собой дисперсионное соотношение для описания электростатических колебаний, распространяющихся

1 Заметим, что в оригинальных работах выражения для и' были получены для ионной ком-

поненты, и совпадают с (1.18) и (1.19) с точностью до замены обозначений г ^ е.

в неоднородной плазме с незамагниченными ионами поперек внешнего неоднородного магнитного поля, в нижнегибридном диапазоне частот: и^ ^ и ^ иве. Первый член в уравнении (1.20) обусловлен эффектами неквазинейтральности колебаний, второй член описывает влияние электронной инерции, третий член соответствует высокочастотному (и ^ ив) отклику ионов и, наконец, четвертый член учитывает электронный отклик и включает в себя эффекты, связанные с неоднородностью плотности плазмы и магнитного поля, эффекты КЛР в приближении Паде, эффекты стационарного азимутального вращения и конечной температуры электронов.

Для дальнейшего анализа удобно переписать уравнение (1.20) в форме

1+ ире и2 ире ку (кп - 2кв) = 0

и|е(1 + к!Р2) (и - кх^ог)2 иве(и - ив - ив) к!(1 + к!р2е) ,

(1.21)

где

(1п(по, В) 1 + 2к2 р2

Кп,В = -;-, ^в = . , 7 2 2 • кв •

(х 1 + к^ р2

Далее приведем дисперсионные соотношения, напрямую вытекающие из уравнения (1.21) в различных предельных случаях, или схожие с ним по характеру описываемых эффектов. Наиболее простым является предельный случай низкочастотных и ^ и^ длинноволновых к^р2 ^ 1 колебаний, при котором степень исходного кубического по частоте возмущений и уравнения (1.21) понижается. В однородном магнитного поле (кв = 0) при Ео = 0 уравнение (1.21) в рассматриваемом пределе переходит к виду

22

и = ^. (1.22)

и*е

Это так называемая антидрейфовая мода, впервые исследованная в работе [87]. Из-за отсутствия сдвига фаз между возмущениями плотности электронов п'е и электростатического потенциала ф антидрейфовая мода является устойчивой [88]. В качестве дестабилизирующего механизма антидрейфовой моды в оригинальной работе [87] рас-

сматривались столкновения горячих электронов слабоионизованной плазмы с нейтральными атомами газа. При этом возмущения плотности п'е и потенциала ф' связаны между собой следующим выраже-

е

нием:

< = + г^ТеКе епф', (1.23)

е и + гк2^2е/ипе Те ф, К ;

где Уте = \]Те/те - тепловая скорость электронов, рпе - частота столкновений электронов с нейтральными атомами и кг - продольное волновое число.

Другой присущий плазме СЗДЭ механизм дестабилизации антидрейфовой моды связан с относительным движеним компонент плазмы (током) в скрещенных полях. Если по какой-либо причине относительная скорость стационарного движения ионов и электронов вдоль направления Е0 х В-дрейфа не равна нулю, уог — у0е = 0, антидрейфовая мода может быть дестабилизирована. В этом случае дисперсионное соотношение (1.22) переходит к виду

ике к2_с2

(1.24)

и — ку У0е (и — ку У0г)Г

Если, к примеру, в исследуемой системе частицы плазмы претерпевают столкновения с частицами нейтрального газа, то скорость движения заряженных частиц вдоль направления электрического дрейфа зависит от их сорта. Так, сильнозамагниченные легкие электроны практически не взаимодействуют с атомами газа, поэтому их скорость остается близка к скорости электрического дрейфа У0е , у0е ~ У0е . В то же время тяжелые ионы в силу очевидного условия ивг ^ иве, двигаются в скрещенных полях медленнее, чем электроны, а их стационарная скорость определяется хорошо известным выражением [89]

У0г = , {У°Е-Х2 • (1.25)

1 + (Рпг/ивг)2

Простейший анализ дисперсионного соотношения (1.24) с учетом выражения (1.25) показывает, что рассматриваемая мода является неустойчивой, если выполнен критерий

Уог - Ще п (л одх

-Кп < 0, (1.26)

ивг

или

Ео • Упо > 0. (1.27)

Неустойчивость слабоионизованной замагниченной неоднородной плазмы в скрещенных электрическом и магнитном полях, развивающаяся при выполнении критерия (1.27), известна как неустойчивость Саймона-Хо [57,58]. Заметим, что такая неустойчивость схожа с обыкновенной желобковой неустойчивостью [61], если при описании последней задать эффективное поле тяжести ge// в виде:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Марусов Никита Андреевич, 2020 год

- -

Хв

Хп/2 Хп+1/2 Хп/2 Хп+1/2

(а) (б)

Рис. 2.11: Зависимость критического значения скорости электронов £сг от параметра неоднородности магнитного поля хв при фиксированном значении параметра неоднородности плотности плазмы хп: (а) - хп = 0,6 и (б) - хп = 3. Пунктирные кривые соответствуют верхнему и нижнему порогам неустойчивости коротковолновых возмущений с к2 > к2 в подынтервале хв € (хп/2,хп).

Зависимость волнового числа и частоты возмущений, рассчитанных для критического значения скорости £сг, от параметра хв изображены на рис. 2.12 и 2.13, соответственно.

к±ре

Хп~ 1/2 Хп

\ к1- -

\ к2 -

\

к1+ \

Хп/2

(а)

к±Ре хв

Хв о

Хп+1/2

Хп~ 1/2 >

Хп/2 Хв + 1/2

(б)

Хв

Рис. 2.12: Зависимость волнового числа к при £ = £сг от параметра неоднородности магнитного поля хв при фиксированном значении параметра неоднородности плотности плазмы хп: (а) - Хп = 0, 6 и (б) - хп = 3. Пунктирные кривые соответствуют волновым числам коротковолновых возмущений с к2 > к2.

Щи)/иНН Хп-1/2 Хп

о

(а)

Ие(о))/ш1н \в 1 Хв о

Хп-1/2 Хп

Хп + 1/2

Хв

Хп/2

\в

Хп+1/2

(б)

Рис. 2.13: Зависимость частоты возмущений при £ = £сг от параметра неоднородности магнитного поля хв при фиксированном значении параметра неоднородности плотности плазмы хп: (а) - Хп = 0, 6 и (б) - хп = 3. Пунктирные кривые соответствуют частотам коротковолновых возмущений с к2 > к2.

Из представленных иллюстрации видно, что в интервале 0 < Хп < 1 возмущения с к = 0 при £ = £сг соответствуют двум подынтервалам значений параметра хВ: ХВ £ (-то,хп - 1/2] и хВ £ [хп + 1/2, то). Следовательно, при данных значениях параметров хп и хВ вблизи границы неустойчивой области £ > £сг раскачиваются только длин-

новолновые к ^ 1 низкочастотные шг ^ колебания. Для остальных значений параметра хв вблизи порога раскачиваются преимущественно коротковолновые к > 1 высокочастотные шг — колебания.

При хп > 1 раскачка длинноволновых колебаний вблизи порога неустойчивости происходит только в подынтервалах хв £ (-то, хВ ХВ £ (хп — 1/2, хВ+^] и хВ £ [хп + 1/2, то). Для остальных значений параметра хв наименьшим порогом обладают коротковолновые высокочастотные моды.

2.2.2 Частотные характеристики неустойчивых колебаний

Проведем частотный анализ неустойчивых колебаний при различных значениях параметра хв в каждом из трех интервалов: хв £ (—то,хп/2]; хв £ (хп/2,хп) и хв £ [хп то).

Неустойчивые колебания при хв £ (—то,х™/2] и хв £ [х™, то)

Из анализа порогов неустойчивости следует, что для значений параметров хп и хв, принадлежащих подынтервалам хв £ (—то, хп —1/2] и хв £ [хп + 1/2, то) при 0 < хп < 1 или хв £ (—то^")] и хв £ [хп + 1/2, то) при хп > 1, функция £ (к2) является возрастающей и при к ^ 0 стремится к значению £0. Покажем теперь, что в близи порога неустойчивости, когда величина £ незначительно превышает £0, т.е. £ = £0 (1 + 0(к2)), эффекты КЛР электронов стабилизируют коротковолновые возмущения.

При сделанных предположениях оказываются справедливы следующие оценки

- к, 4Аг2 + 1 — 2^2 - 1 — 4£(хп — хв) + 0(к2) - к2. Перепишем дисперсионное соотношение (2.2) в форме л2 1 2 1 \ 3Ш 3Ш2 Ш3 ,

ш2 = 77^ 4Аа2 + 1 — — ттг^ — 77^ — V-, (2.40)

4А2а2 V 2А2а2/ 4А3а3 2А2а2 Аа у у

где

ш = ш — ¿- (2.41)

Это уравнение удовлетворяется при ш ~ к2. Удерживая члены с точностью до к4 и пренебрегая последними тремя слагаемыми в уравнении (2.40), найдем выражения для частоты и инкремента 7:

к_|_С?

7 = о,т, V 1 \/Ас

2|Ке - Уо|

^Ас - 1 - вк2 р2, (2.42)

где

л ¿с \ 4(кп - 2кв)(Уое + Уо) Ас = 4£(хп - Хв) =--

в =0 - (1 - 4хв(Хп- хв)). (2.43)

Параметр Ас пропорционален скорости азимутального вращения электронов и при Ас = 1 соответствует критическому значению £ = £сг = £0. Легко проверить, что для рассматриваемых подынтервалов значений параметров хп и хв, эффекты КЛР играют стабилизирующую роль, в > 0. Поэтому возмущения с длинами волн

к± ^ ^шах где

к±шах Ре = [(Ас - 1)/в]1/2,

оказываются стабилизированными. Наибольшим инкрементом в интервале 0 < к^ < к^шаж обладает мода с волновым числом к^ре = [(Ас - 1)/2в]1/2. Значение частоты и инкремента данной моды равны

(А 1 \ 1/2

^ = ^ (2.44)

Такие длинноволновые моды были ранее исследованы в работах [62], [65] и [96] без учета эффектов инерции электронов и КЛР. Рассмотренные возмущения доминируют во всем спектре неустойчивых мод, когда значение скорости электронов близко к критическому £сг. Од-

нако, как показано ниже, при £ ^ £сг наиболее неустойчивыми являются высокочастотные колебания.

В подынтервалах значений параметров хв £ (—то,хп — 1/2] при 0 < хп < 1 и хв £ (—то, хв )] при хп > 1 с ростом £ спектр неустойчивых мод уширяется, а длина волны наиболее неустойчивых возмущений уменьшается. При £ = 1 - хв дестабилизируется весь спектр колебаний (к2 ^ то). Аналогичное поведение наблюдается в подынтервале значений хв £ [хп + 1/2, то) при хп > 0, в котором неустойчивость возникает при £ < 0. Уширение спектра происходит с ростом значения —£ вплоть до £ = —1 — хв, при котором весь спектр оказывается неустойчив.

При £ = ±1 — хв (в соответствующих подынтервалах значений хп и хв) наибольшим инкрементом обладают коротковолновые возмущения к ^ 1, для которых а2 ^ 1 и А ^ 1.В данном пределе уравнение (2.2) решается аналитически. Перепишем его в форме

(ш + а)2 (ш — а) = а(1 — А)ш2 — (а2 — 1)(ш + а). (2.45)

Из-за малости правой части уравнения (2.45) его неустойчивые решения могут быть представлены в виде ш = —а + еш, где еш — к—1. Пренебрегая последним членом в правой части уравнения (2.45), находим, что величина еш удовлетворяет уравнению

2(еш)2 + а2 (1 — А) = 0. (2.46)

Решения полученного уравнения описывают частоту и инкремент наиболее неустойчивых возмущений с длиной волны к^ре ^ 1:

шг - к±с5 (ку (УЕ + 2УЪ)) ,

1/2

. (2.47)

7 - шш

1 |хп — 2хв1

Такие возмущения являются высокочастотными коротковолновыми ионно-звуковыми волнами. Заметим, что инкремент данных мод "насыщается" с ростом значения волнового числа к и при к ^ то определяется выражением (2.47).

При последующем увеличении скорости электронов £ спектр неустойчивых мод сужается: эффекты электронной инерции стабилизируют возмущения с длинами волн несколько превышающими значение = (хп — Хв)/(£ + Хв)• Максимальное значение инкремента достигается при к2 = кО - см. (2.17). При

Х^—^ (£ + Хп — Хв) > 1 £ + Хв

наиболее неустойчивые возмущения характеризуются следующими значениями частоты и инкремента

_ = "2"

Хп — Хв, \ 2

£ + Х (£ + Хп — Хв) £ + Хв

1/6

(ку(УЕ + УУ),

\/3 ы/й 7 = —

Хп — Хв, \2

"Г——-(£ + Хп — Хв)

£ + Хв

1/6

(2.48)

В пределе £ ^ (Хп,Хв) выражения (2.48) упрощаются:

= ^ [£(Хп — Хв)]1/6 (ку(УЕ + У*е)) ,

7 = ^ [£(Хп — Хв)]1/6 . (2.49)

Данные возмущения являются длинноволновыми к^ре ~ (хп —

Хв )/£ « 1.

Линии уровня инкремента и частоты неустойчивых мод для рассматриваемых подынтервалов значений параметров хп и Хв, численно рассчитанные при помощи дисперсионного соотношения (2.2) для значений хп = 6 и Хв = —6, в переменных £-к^ представлены на рис. 2.14. Также на рис. 2.15 показана зависимость инкремента и частоты возмущений от волнового числа к при хп = 6 и Хв = —6 для разных значений скорости £.

В подынтервале Хв £ (Хп — 1/2,Хп/2] при 0 < Хп < 1 функция £ (к2), описывающая нижнюю границу неустойчивой области, при к2 ^ 0 равна £о и с ростом значения к2 убывает вплоть до к2 = к2+, где достигает своего минимального значения £1+. Следовательно, при

(а)

(б)

(в)

Рис. 2.14: (а) - диаграмма устойчивости в переменных £-к^ (неустойчивая область закрашена); линии уровня инкремента - (б) и частоты - (в) неустойчивых мод в переменных £-к^. Здесь хп = 6 и хв = —6. На рисунке (в) устойчивая область выделена белым цветом, а возмущения с частотами шг > - черным.

1т(П)/шш

31 £ = 28 / = 14

£ = 7

1т (П)/со1к 0,015-,

£ = 0,

1 к±ре

">0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

-0,0104

(а)

(б)

Рис. 2.15: Зависимость инкремента (сплошная кривая) и частоты (пунктирная кривая) от волнового числа к^: (а) - для разных значений скорости £, (б) - для £ — £сг. Здесь хп = 6 и хв = —6.

£1+ < £ < £0 длинноволновые колебания устойчивы. Неустойчивыми являются только такие возмущения, волновое число которых превосходит значения к^¿п (один из корней уравнения С2 = д1). Частота таких возмущений достаточно высока, ыг ~ ы/й. Эффекты КЛР приводят к стабилизации коротковолновых возмущений с к2 > к^ах, где к;;ах - еще один корень уравнения с2 = д1.

В подынтервале

Хп — 1/2 < Хв < 2(1 — Хп — \/1 + (1 — Хп)2)

значение к^а^ также находится из решения уравнения с2 = д1. Инкремент неустойчивости растет с увеличением скорости £ в области £1+ < £ < £0, а спектр неустойчивых мод уширяется.

В подынтервале

2 (1 + Хп — /1 + (1 — Хп)2) < Хв < у

при £ < 1 — Хв величина к^ах соответствует одному из корней уравнения с2 = д1, однако при £ > 1 — Хв находится из решения уравнения С2 = д2. В точке пересечения верхней и нижней границ неустойчивой области £ = 1 — Хв дестабилизируется весь спектр колебаний. Наибольшим инкрементом обладают высокочастотные ионно-звуковые волны, описываемые выражениями (2.47). С последующим ростом скорости £ в области £ > 1 — Хв спектр неустойчивых мод сужается (коротковолновые возмущения стабилизируются). При |£| ^ 1 максимальное значение инкремента достигается при к = к0 и описывается выражением (2.49).

Линии уровня инкремента и частоты неустойчивых мод для рассматриваемых подынтервалов значений параметров хп и Хв при Хп = 0, 5 и Хв = 0,15 в переменных £-к^ представлены на рис. 2.16. Также на рис. 2.17 показана зависимость инкремента и частоты возмущений от волнового числа к при Хп = 0, 5 и Хв = 0, 15 для разных значений скорости £.

2,5

4 1,5 1

0,5 -'

0 2 4 6 8 10

к±Ре

(а)

1т(и)/иш Ке(и)/шш

к±ре к±ре

(б) (в)

Рис. 2.16: (а) - диаграмма устойчивости в переменных £-к^ (неустойчивая область закрашена); линии уровня инкремента - (б) и частоты - (в) неустойчивых мод в переменных £-к^. Здесь хп = 0, 5 и хв = 0,15. На рисунке (в) устойчивая область выделена белым цветом, а возмущения с частотами шг > ш^ - черным.

1т{П)/иш

11 ^=3^=1,5 ^—^

о -1

-3-4-5-6-

Re(n)/uJlh

1

С = 0,9

(а)

к±ре

1ш {£1)/и)1н

0,5 л

0

-0,5-1,0-1,5-2,0-2,5-

£ = 0,7

к±ре

Рис. 2.17: Зависимость инкремента (сплошная кривая) и частоты (пунктирная кривая) от волнового числа к^: (а) - для разных значений скорости £, (б) - для £ — £сг. Здесь хп = 0, 5 и хв = 0,15.

Аналогичное поведение неустойчивости наблюдается в подынтервалах хв £ (хв),Хп/2] при хп > 1 (с точностью до замены £1+ ^ £2+, к1+ ^ к2+) и Хв £ [Хп, Хп + 1/2) при Хп > 0 (с точностью до замены £1+ ^ £1—,к1+ ^ к1—). В последнем случае необходимое условие неустойчивости определяется неравенством £ < 0, поэтому инкремент неустойчивости растет с уменьшением £. Критическое значение скорости электронов £сг равно £1—.

Неустойчивые колебания при Хв £ (Хп/2,Хп)

В соответствии с результатами анализа порогов, изложенного в под-параграфе 2.2.1, неустойчивость возникает при £ > £2+, если £ > 0 или £2— < £ < £1—, если £ < 0 - см. рис. 2.18(а). В первом случае неустойчивые колебания являются преимущественно длинноволновыми к2 < к2, во втором - коротковолновыми к2 > к2.

При £ > 0 в области £2+ < £ < £0 возмущения с к2 > к^ш являются неустойчивыми, где к^¿п находится из решения уравнения с2 = д1. Эффекты инерции электронов и КЛР стабилизируют коротковолновые возмущения, поэтому неустойчивость существует только в диапазоне длин волн кто^п < к < ктах. Результаты численного расчета показывают, что в данном интервале значений параметров Хп и Хв наибольшими инкрементами обладают высокочастотные колебания с ы ~ ы/й - см. рис. 2.18(б, в). Длинноволновые колебания с к ^ 0 раскачиваются при £ > £0. Коротковолновые колебания с к > ктах стабилизируются. С ростом значения скорости £ спектр неустойчивых мод сужается. Максимальное значение инкремента достигается при к = к0 и описывается выражением (2.48) и (2.49).

При £ < 0 в области £2- < £ < £1- неустойчивые возмущения являются высокочастотными ы > ы/й. В точке £ = —1 — Хв наибольшим инкрементом обладают высокочастотные ионно-звуковые волны, описываемые выражениями (2.47).

Зависимость инкремента и частоты возмущений от волнового числа к при хп = 0, 5 и Хв = 0,4 для разных значений скорости £ представлена на рис. 2.19.

Рис. 2.18: (а) - диаграмма устойчивости в переменных £-к^ (неустойчивая область закрашена); линии уровня инкремента - (б) и частоты - (в) неустойчивых мод в переменных £-к^. Здесь Хп = 0, 5 и Хв = 0, 4. На рисунке (б) устойчивая область выделена белым цветом, а возмущения с частотами ыг > ы^ь - черным.

0,5

ОД 0

■ Лс=з

- е = -1,4

//¿ = -2,3

т\ -1Д5

0

2 3 (а)

к±ре

£ = 8\ £ = —1,15

-1-2-3-4

-5-

1 2

£ = 1,8

к±ре

— —1,4 -

(б)

Рис. 2.19: Зависимость инкремента (а) и частоты (б) от волнового числа к^ для разных значений скорости £. Здесь Хп = 0, 5 и Хв = 0, 4.

Качественно схожее поведение неустойчивости наблюдается при хп > 1. В подынтервале хв £ (хп/2,хп — 1/2) неустойчивость возникает при £ > £1+; хв £ (Дв^ х^ - при £ > £2+ и хв £ [хп — 1/2, хв)]

- пРи £ > £0.

2.3 Резюме главы 2

При помощи дисперсионного соотношения (1.21) проведено детальное исследование устойчивости малых электростатических колебаний, распространяющихся поперек внешнего неоднородного магнитного поля в плазме с незамагниченными ионами и горячими замаг-ниченными электронами. Получены необходимое и достаточное условия неустойчивости (2.9). Качественно исследовано влияние эффектов электронной инерции и КЛР на характер неустойчивости азимутальных колебаний. Показано, что при высокой скорости вращения электронов |а| ^ 1 (см. выражения (2.1) и (2.3)) эффекты инерции приводят к стабилизации коротковолновых возмущений к^Р2 ^ 1. В этом случае наибольшим инкрементом обладают высокочастотные (ш — ш^) возмущения с волновым числом (2.17). При учете эффектов КЛР поведение неустойчивости становится весьма чувствительным к параметрам стационарного состояния системы. Показано, что влияние эффектов КЛР ослабевает с ростом скорости вращения электронов из-за уменьшения значения волнового числа неустойчивых возмущений. Для количественной оценки относительного вклада эффектов инерции и КЛР в развитие исследуемой неустойчивости использован параметр 6 (2.18), значение которого зависит только от стационарных параметров СЗДЭ. В частности, показано, что при 6 ^ 1 (низкая скорость вращения электронов |а | < 1), эффекты КЛР приводят к полной стабилизации коротковолновых высокочастотных мод.

Исследована граничная устойчивость азимутальных возмущений. Для всех областей значений параметров неоднородности плотности плазмы хп и магнитного поля хв, заданных соотношениями (2.19), получены выражения для критической скорости вращения электронов £сг (2.30), (2.31), (2.33), (2.38) и (2.39), при превышении кото-

рой в плазме СЗДЭ развивается неустойчивость. Аналитически исследованы частотные характеристики наиболее неустойчивых возмущений при различных значениях скорости электронов £. Показано, что длинноволновые р2 ^ 1) низкочастотные (ы ^ ы^) колебания доминируют во всем спектре неустойчивых мод только вблизи порога (£ > £сг) с профилем

(^ + 42^УВ1 (П21 =,12, (2.50)

V Те В2 дж У По дж ЧВ2 7 4р2'

причем, реализация такого профиля возможна лишь в том случае, когда значения параметров хп и хв находятся в интервалах Хв £ (-то,Хп - 1/2] и хв £ [Хп + 1/2, то) при 0 < Хп < 1 или

Хв £ ( хв-^ Хв е [Хп-1/2, хВ+)] и Хв е [Хп+1/2, при Хп > 1, где параметры хв ) и Х£+) заданы выражениями (2.35) и (2.37), соответственно. В частности, достаточным условием реализации (2.50) является сильная неоднородность магнитного поля |хв | ^ |хп|.

Опираясь на концепцию граничной устойчивости, развитую в работах [72, 73] для исследования аномальных потерь заряженных частиц в открытых системах магнитного удержания плазмы, можно ожидать формирование граничного профиля (2.50) в плазме СЗДЭ с сильно неоднородным магнитным полем в ходе нелинейного насыщения градиентной неустойчивости.

Глава 3

Устойчивость электростатических колебаний в ускоряющем канале стационарного плазменного двигателя

Численно исследована устойчивость электростатических колебаний плазмы в ускоряющем канале стационарного плазменного двигателя (СПД). Для расчета использованы типичные профили, описывающие изменение электрического и магнитного полей, плотности плазмы и электронной температуры вдоль оси ускоряющего канала. Определены волновые характеристики наиболее неустойчивых мод и найдена область локализации длинноволновых колебаний. Проанализировано влияние эффектов электронной температуры и стационарного течения ионов на характеристики неустойчивости в СПД.

3.1 Профили параметров в стационарном плазменном двигателе

Рассмотрим установку типа СПД, принципиальная схема которой изображена на рис. 3.1.

а

- длина ускоряющего канала.

Магнитное поле в СПД нарастает от анода к выходу из ускоряющего канала и спадает за его пределами. Для аппроксимации такой зависимости величины магнитного поля В от значения осевой координаты ж воспользуемся выражением из работы [28]:

Здесь Втоаж - максимальное значение магнитного поля на выходе из ускоряющего канала при ж = Координата ж = 0 соответствует положению анода. Коэффициент V! характеризует градиент функции

Из работ [28,97,98] следует, что профиль плотности плазмы имеет схожую форму с прифилем магнитного поля, однако ее максимальное значение достигается внутри ускоряющего канала СПД. Поэтому для аппроксимации профиля плотности воспользуемся аналогичным выражением

Здесь птоах - максимальное значение плотности плазмы в некотором сечении ускоряющего канала ж = ¿2, < ^ - коэффициент, характеризующий градиент функции п0(ж).

В соответствии с выражениями (3.1) и (3.2) профили параметров неоднородности магнитного поля кв и плотности плазмы кп задаются простыми линейными функциями

Для последующего анализа зададим значения коэффициентов v! = 2, 5, ^ = 4 и расстояния ¿2 = 0,62^, при которых выражения (3.1) и (3.2) описывают сглаженные профили плотности плазмы и магнитного поля в стационарном плазменном двигателе модели СПД-100, полученные в работе [97]. Рассматриваемые профили В (ж), п(ж), кв и кп представлены на рис. 3.2.

(3.1)

В (ж).

(3.2)

(3.3)

Для описания стационарного электрического поля в канале СПД введём функцию электростатического потенциала ф0 (х) в виде

Фо (x) = Фтах ^ arcctg

X

V3 -1

- a 2

(3.4)

Здесь фтах - значение потенциала на аноде, х = - сечение ускоряющего канала (й3 < й), соответствующее максимуму электрического поля; а1 = 1/(aгcctg[—] — а2) - константа нормировки; у3 - коэффициент, характеризующий градиент функции ф0 (х); а2 -коэффициент, регулирующий значение потенциала на катоде.

о 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 x/d

(а)

-10

" ч ч кп(х) Выход из

ч ускоряющего

< ч ч канала

_ ч ч - «. «,

ч ч ч ч ч ч ч ¡lili '"Л" ч КВ(х) ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ¡1,11

о 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 x/d (б)

Рис. 3.2: Зависимости (а) магнитного поля В/Втах и плотности плазмы п0/п и (б) их параметров неоднородности и кп от аксиальной координаты х/й.

Профиль аксиального электрического поля Е0 (х) = — йф0 (х)/йх определяется выражением

-1

Ео (x) = Emax \ 1 + V

X d3

1

(3.5)

где Етах = фтаха1 у3/й3 - максимальное значение электрического поля в сечении х = .

Профиль стационарной скорости ионов находится из решения уравнения (1.1):

2e

Vio (x) = \ -(Фтах - Фо (x))

(3.6)

Для значений коэффициентов = 7, 5, а2 = 0,1 и расстояния д3 = 0, 62д выражение (3.4) описывает сглаженный профиль потенциала, полученный в работах [28,97,98]. Иллюстрация зависимостей потенциала ф0(х), электрического поля Е0(х) и скорости ионов (х) от аксиальной координаты х представлена на рис. 3.3.

Рис. 3.3: Зависимости электростатического потенциала ф0/фтах, электрического поля Е0/Етах и скорости ионов го (однозарядные атомы ксенона с массой тХе = 131 а.е.м.) от аксиальной координаты х/д.

Профиль температуры электронов зададим при помощи выраже-

ния

Te (x) = Temax exp

x

"M d4-1

+ T

min e '

(3.7)

При Temax = 21 эВ, Temin = 4 эВи d4 = 0, 92d данная зависимость электронной температуры Te(x) от аксиальной координаты x качественно верно описывает профиль, полученный в работе [97] при численном моделировании разряда СПД-100 - см. рис. 3.4.

Для анализа устойчивости в ускоряющем канале СПД выберем следующие значения параметров стационарного состояния системы: Bmax = 180 Гс, nmax = 5х 1011 см-3, фтах = 270 В. В качестве рабочего вещества, как и ранее, будем рассматривать ксенон с атомной массой mXe = 131 а.е.м.

Ге,эВ 27 Г

Выход из ускоряющего

21

24

12

18

15

6

9

О

О 0,2 0,4 0,6 0,8

1,2 1,4 1,6 1,8 х/<1

Рис. 3.4: Зависимость температуры Те от аксиальной координаты х/д. Пунктирная кривая описывает профиль температуры, полученный в работе [97]; сплошная кривая соотвествует профилю (3.7).

3.2 Волновые характеристики наиболее неустойчивых колебаний в ускоряющем канале стационарного плазменного двигателя

Произведём расчёт основных характеристик наиболее неустойчивых возмущений в ускоряющем канале СПД для заданных профилей стационарного состояния системы (3.1)-(3.7) при помощи дисперсионного соотношения (1.21).

Для анализа влияния эффектов электронной температуры и стационарного потока ионов на волновые характеристики неустойчивых мод последовательно рассмотрим три случая [75,76]: 1 - приближение холодных электронов Те = 0 и неподвижных ионов = 0; 2 - приближение горячих электронов Те = 0 и неподвижных ионов = 0; 3 - приближение горячих электронов Те = 0 и движущихся ионов

3.2.1 Приближение холодных электронов Те = 0

В приближении холодных электронов драйв неустойчивости полностью определяется скоростью электрического дрейфа У0Е. Для заданных профилей электрического и магнитного полей направление

Уы = 0.

вращения электронов не изменяется (Ух, У0Е(х) < 0). В этом случае общее условие неустойчивости (2.10) принимает вид

кп — 2кв > 0.

(3.8)

Из данного неравенства следует, что в рассматриваемом случае неустойчивость полностью определяется параметрами неоднородности плотности плазмы и магнитного поля. Зависимость величины кп — 2кв от координаты х изображена на рис. 3.5. С ростом х значение величины кп — 2кв уменьшается и в сечении хЬп — 0, 27d равняется нулю. В соответствии с условием (3.8) неустойчивость существует только в прианодной области, т. е. при х < хЬп.

Рис. 3.5: Зависимость величины кп — 2кв от аксиальной координаты х/й. Область неустойчивости выделена красным цветом, область устойчивости - зеленым. Красный кружок обозначает точку пересечения кривой кп — 2кв с осью х при х = хЬп — 0, 27й.

Волновые характеристики наиболее неустойчивых мод - частота / = /2п, инкремент 7/2п и волновое число к±, рассчитанные при помощи уравнения (1.21) - представлены на рис. 3.6. Вблизи анода наибольшими инкрементами обладают длинноволновые (к2р1 ^ 1) азимутальные (кх ^ 0) возмущения с частотами порядка ^. Мода с наибольшим значением инкремента 7/2п — 730 кГц локализована в сечении х — 0, 21й и характеризуется частотой / — —450 кГц и волновым числом ку — 2, 6 рад/см. Отрицательный знак частоты означает, что рассматриваемые возмущения распространяются в сторону элек-

трического дрейфа электронов. В рассмотренной области параметров волновые характеристики наиболее неустойчивых мод хорошо описываются выражениями (2.17) и (2.49) - см. аналитические кривые на рис. 3.6.

/, 7/2тг, МГц 0,8

0,6

0,4

0,2

-0,4

-0,6

0 V

\ 1 1 1 1 к

-»Х-. __ /

0,05 ОД 0,15 0,2 0,25 0,3 х/с1

(а)

Рис. 3.6: Зависимость волновых характеристик наиболее неустойчивых мод от аксиальной координаты х/д в прианодной области х < х™: (а) - частота / (пунктирная кривая) и инкремент 7/2п (сплошная кривая); (б) - волновое число ку. Кривые А получены при помощи аналитических выражений (2.17) и (2.49). Кривые В получены путем прямого численного решения уравнения (1.21).

3.2.2 Приближение горячих электронов Те = 0

Т Г • • и и и и

При учете конечной электронной температуры драйв неустойчивости складывается из скоростей электрического У0Е и градиентного УЬ дрейфов. Профили скоростей У0Е, УЬ и У0Е + УЬ представлены на рис. 3.7. Внутри ускоряющего канала (х < д) значения величин У0Е и УЬ имеют одинаковый знак (У0Е+УЬ < 0), однако за выходом из ускоряющего канала (х > д), из-за спада магнитного поля, направление градиентного дрейфа меняется (УЬ > 0). В сечении х = х™1 — 1, 43д суммарная скорость У0Е + УЬ равна нулю. В области х > х™1 значение суммарной скорости дрейфа меняет знак (У0Е + УЬ > 0), так как скорость УЬ превосходит У0Е.

В силу довольно высокого значения драйва неустойчивости влиянием эффектов КЛР на характер неустойчивости можно пренебречь4.

4Роль эффектов КЛР существенна лишь в пренебрежимо малой окрестности точки х = х™1, где значение суммарной скорости У0Е + Ур близко к критическому (см. главу 2).

Рис. 3.7: Зависимости скоростей У0Е, Уо и Уое + Уо от аксиальной координаты х/д. Красный кружок обозначает точку пересечения кривой У0е + с осью х при х = ~ 1,43д.

Тогда условие неустойчивости (2.10) принимает вид

(Voe + VD)(кп - 2Кб) < 0.

(3.9)

Зависимость величины (V0E + VD)(кп — 2кв) от координаты x изображена на рис. 3.8. Смена знака множителя V0E + VD в неравенстве (3.9) приводит к появлению дополнительной области неустойчивости за выходом из ускоряющего канала СПД при x > x£ut. Так же как и в приближении холодных электронов граница области неустойчивости по координате x внутри ускоряющего канала (x < x^n) находится из решения уравнения кп = 2кв.

Сравнение волновых характеристик наиболее неустойчивых мод вблизи анода, рассчитанных в приближении холодных (Te = 0) и горячих (Te = 0) электронов, показано на рис. 3.9. Учет конечной температуры электронов приводит к увеличению частоты и инкремента неустойчивых возмущений в среднем на ^ 109 кГц и ^ 48 кГц, соответственно. Наиболее неустойчивая мода, локализованная в сечении x ~ 0,21d, характеризуется теперь значениями инкремента Y/2n ~ 830 кГц и частоты f ~ —505 кГц. Наиболее существено меняется значение волнового числа. В среднем оно уменьшается на

~ 1,4 рад/см. Волновое число наиболее неустойчивой моды равно ку ~ 1, 78 рад/см. В соответствии с выражениями (2.17) и (2.49), такое поведение обусловлено увеличением скорости вращения электронов в прианодной области.

хЮ8, с-1

-2 -'-'-'-'-'-'-'-'-1

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 х/6

Рис. 3.8: Зависимость величины (Уое + Ур)(кп — 2кв) от аксиальной координаты х/д. Область неустойчивости выделена красным цветом, область устойчивости -зеленым. Красные кружки обозначают точки пересечения кривой (У0е + Ур)(кп — 2кв) с осью х при х = хг6п ~ 0, 27д и х = ~ 1, 43д.

Рис. 3.9: Сравнение волновых характеристик наиболее неустойчивых мод в прианодной области х < хг6п, рассчитанных в приближении холодных (Те = 0) и горячих (Те = 0) электронов: (а) - частота f (пунктирная кривая) и инкремент 7/2п (сплошная кривая); (б) - волновое число ку.

Волновые характеристики наиболее неустойчивых мод за выходом из ускоряющего канала в области х > х™1 представлены на рис. 3.10.

Рис. 3.10: Зависимость волновых характеристик наиболее неустойчивых мод от аксиальной координаты х/( за выходом из ускоряющего канала в области х > хОи: (а) - частота / (пунктирная кривая) и инкремент (сплошная кри-

вая); (б) - волновое число ку. Кривые А получены при помощи аналитических выражений (2.17) и (2.49). Кривые В получены путем прямого численного решения уравнения (1.21).

Мода с наибольшим значением инкремента 7/2п ~ 605 кГц локализована в сечении х ~ 1,47( и характеризуется частотой / ~ 396 кГц и волновым числом ку ~ 46 рад/см. В сравнении с прианод-ной областью за выходом из ускоряющего канала неустойчивые возмущения характеризуются сравнительно короткими длинами волн, так как значение суммарной скорости электронов У0Е + Ув в области х ^ х- достаточно мало.

3.2.3 Влияние стационарного потока ионов

Проанализируем теперь поведение неустойчивости в ускоряющем канале СПД с учетом конечной скорости ионов ^, профиль которой описывается выражением (3.6).

Из решения уравнения (1.21) следует, что в прианодной области (х < хЬп) движение ионов не оказывает существенного влияния на характер неустойчивости, так как значение скорости г^ пренебрежимо

мало (^ог ^ |УоЕ, Ув|) - см. рис. 3.11. Наиболее неустойчивые моды вблизи анода являются чисто азимутальными (на рис. 3.11(в) изображены линии уровня инкремента неустойчивости в плоскости кх-ку, рассчитанные в сечении х = 0, 21д), а их характеристики описаны в подпараграфе 3.2.2.

/, 7/2тг, МГЦ

7/2тг

\ (у(н = 0)

о)

_

" ■ | \ _ / 1 Г

— —— — — —

0,05

ОД

0,15

(а)

0,2

0,25 0,3 х/<1

(в)

Рис. 3.11: Сравнение волновых характеристик наиболее неустойчивых мод в при-анодной области х < хгьп, рассчитанных при го = 0 и го = 0: (а) - частота ^ (пунктирная кривая) и инкремент 7/2п (сплошная кривая); (б) - волновые числа кх и ку. Рисунок (в) демонстрирует линии уровня инкремента неустойчивости в плоскости кх-ку в сечении х = 0, 21д.

Как было показано ранее, в области х™ < х < х^ при уог = 0 все возмущения устойчивы. Однако даже при малом значении ско-

рости ионов (у01 > 0) их движение приводит к дестабилизации системы. Волновые характеристики наиболее неустойчивых мод в основной части ускоряющего канала (х^п < х < () представлены на рис. 3.12(а, б). Инкремент и частота таких возмущений увеличиваются с ростом значения х и покрывают широкие диапазоны значений: 7/2п ~ 0, 01 - 0, 92 МГц и / ~ -(0, 31 - 3, 39) кГц. Типичный интервал значений волновых чисел равен кх ~ -(9, 36 — 15,1) рад/см

и

ку ~ 0.

(в)

Рис. 3.12: Зависимость волновых характеристик наиболее неустойчивых мод от аксиальной координаты х/( в основной части ускоряющего канала хЩ < х < х^ при у0 = 0: (а) - частота / (пунктирная кривая) и инкремент 7/2п (сплошная кривая); (б) - волновые числа кх и ку. Рисунок (в) демонстрирует линии уровня инкремента неустойчивости в плоскости кх-ку в сечении х = 0, 5(.

В основной части ускоряющего канала неустойчивыми являются чисто аксиальные моды, что может быть интерпретировано при помощи общего критерия (2.10). В рассматриваемой области стационарное состояние системы удовлетворяет условиям кп — 2кв < 0 и У0е + Ув < 0, поэтому из неравенства (2.10) следует, что неустойчивость возникает только при

_кх > |Уое + Ув|

ку ^ '

Так как отношение скоростей электронов и ионов мало (|У0е + Ув |/^ог ^ 1), волновые числа неустойчивых возмущений, очевидно, должны удовлетворять условию |кх| ^ |ку |, а сами величины кх и ку обладать противоположными знаками. Иллюстрация подобного поведения неустойчивости представлена на рис.3.12(в), демонстрирующем линии уровня инкремента в плоскости кх-ку в сечении х = 0, 5^. Наибольшим значением инкремента в данном сечении ускоряющего канала обладает мода с кх —— 15,1 рад/см и ку ~ 0, 08 рад/см.

За выходом из ускоряющего канала (х > значения скоростей электронов и ионов становятся сопоставимы (|Уое + Ув | ~ ^ог). Поэтому в соответствии с неравенством (2.10) значения аксиального и азимутального волновых чисел неустойчивых мод также являются величинами одного порядка (|кх| ~ |ку|). Результаты прямого численного решения уравнения (1.21) указывают на существенное влияние эффектов стационарного ионного потока на характер неустойчивости в рассматриваемой области - см. рис. 3.13.

Наиболее неустойчивая мода, локализованная в сечении х = 1,22^, характеризуется инкрементом 7/2п ~ 1,28 МГц, частотой / ~ —10, 21 МГц и волновыми числами кх ~ —38,6 рад/см и ку ~ 5,3 рад/см. Линии уровня инкремента в плоскости кх-ку в данном сечении изображены на рис. 3.13(в).

(а)

(б)

(в)

Рис. 3.13: Сравнение волновых характеристик наиболее неустойчивых мод за выходом из ускоряющего канала в области х > х^, рассчитанных при у0 = 0 и у0 = 0: (а) - частота / (пунктирная кривая) и инкремент 7/2п (сплошная кривая); (б) - волновые числа кх и ку. Рисунок (в) демонстрирует линии уровня инкремента неустойчивости в плоскости кх-ку в сечении х = 1, 22(.

3.3 Резюме главы 3

При помощи дисперсионного соотношения (1.21) численно исследована устойчивость электростатических колебаний плазмы в ускоряющем канале СПД для наиболее типичных профилей (3.1)-(3.7), описывающих изменение стационарных параметров системы (магнитное и электрическое поля, плотность плазмы, температура электронов и скорость ионов) вдоль оси ускорителя. Рассчитаны волновые харак-

теристики (частота, инкремент и волновое число) наиболее неустойчивых мод. Результаты расчета просуммированы на рис. 3.14.

Прианодная Основная часть Область за выходном из

область ускоряющего канала ускоряющего канала

Азимутальные возмущения Аксиальные возмущения Косые возмущения

/ ~ -(0,31 - 3,39) МГц, 7/2х ~ 0,01 - 0,92 МГц, кх ~ —(9,36 — 15,1) рад/см

/ ~ -(295 - 521) кГц, 7/2тг~ ОД -0,830 кГц, к, ~ 0,01 - 2,1 рад/см / ~ - (0,01 - 12,16) МГц, 7/2г ~ 0,05 - 1,28 МГц, кх ~ -(0,2 - 44,3) рад/см, ку ~ 0,7 - 26,1 рад/см

Выход ИЗ ускоряющего -*

1 1 1

канала III)

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

х/с1

Рис. 3.14: Волновые характеристики наиболее неустойчивых мод в ускоряющем канале СПД.

Показано, что ускоряющий канал СПД разделяется на три пространственные области, характеризующиеся разными направлениями распространения и волновым характеристикам наиболее неустойчивых колебаний.

В прианодной области (х < 0, 27^) неустойчивыми являются преимущественно длинноволновые азимутальные колебания с волновыми числами ку ~ 0,01 — 2,1 рад/см и частотами / ~ —(295 — 505) кГц, распространяющиеся в направлении электрического дрейфа. Неустойчивость в данной области ускоряющего канала связана с неоднородностью плотности плазмы и магнитного поля, и возникает при выполнении критерия ¿(п/В2)/^х > 0. Волновые характеристики наиболее неустойчивых возмущений вблизи анода описываются выражениями (2.17) и (2.49).

В основной части ускоряющего канала (0, 27^ < х < неустойчивость характеризуется высокочастотными f ~ — (0,31 — 3,39) кГц коротковолновыми кх ~ —(9,36 — 15,1) рад/см колебаниями, распространяющимися от анода к катоду. Аксиальные моды в данной области канала дестабилизируются стационарным течением ионов, однако механизм их раскачки отличен от неустойчивостей ионного

потока, рассмотренных ранее в работах [45,46].

За выходом из ускоряющего канала (х > () неустойчивые колебания распространяются как в аксиальном (от анода к катоду), так и в азимутальном (вдоль электрического дрейфа) направлениях. Параметры наиболее неустойчивых колебаний характеризуются широкими диапазонами значений частот / ~ -(0,01 - 12,16) МГц и волновых чисел кх ~ -(0, 2 - 44, 3) рад/см, ку ~ 0, 7 - 26,1 рад/см.

На основе анализа влияния эффектов конечной электронной температуры и стационарного ионного потока на устойчивость плазмы в ускоряющем канале СПД показано, что приближение холодных электронов и неподвижных ионов, используемое во множестве работ - см., например, [30], [94,95] - применимо только для описания длинноволновых колебаний в прианодной области плазменного ускорителя с замкнутым дрейфом электронов.

Глава 4

Крупномасштабные вращающиеся структуры в системах с замкнутым дрейфом электронов как проявление глобальных мод градиентной неустойчивости

Исследована глобальная структура собственных электростатических колебаний холодной плазмы в СЗДЭ. Получены точные аналитические решения задачи на собственные значения для модельной конфигурации электрического и магнитного полей, присущей плазменным системам магнетронного типа. Для профилей стационарных параметров в СПД численно рассчитана структура собственных неустойчивых колебаний в ускоряющем канале. Исследовано влияние масштабирования геометрии плазменного двигателя (изменения длины и радиуса канала) на спектр собственных колебаний. Предложен физический механизм, объясняющий природу крупномасштабных низкочастотных колебаний, наблюдаемых в экспериментах с СЗДЭ посредством высокоскоростной видеофиксации.

4.1 Крупномасштабные колебания в конфигурации обращенного магнетрона

Рассмотрим простейшую осесимметричную систему магнетронного типа, плазма в которой ограничена двумя бесконечными коаксиальными стенками (электродами) с радиусами R1 и R2 (R1 < R2) -см. рис. 1.1(б). Магнитное поле считаем постоянным и направленным вдоль оси z: B = Bez, B = const. Стационарное электрическое поле направлено вдоль оси r, и его напряжённость есть функция радиуса: E0 = E0(r)er. Тогда стационарная скорость электронов V0e направлена по азимуту 0. Плотность плазмы также считаем зависящей от r, n0 = n0(r).

Для решения задачи об устойчивости глобальных мод в рассматриваемой конфигурации полей воспользуемся приближениями плот-

ной плазмы шре ^ Шве и холодных электров, температура которых не оказывает существенного влияния на характер градиентной неустойчивости в случае сильной накачки а2 ^ 1 - см. главы 2 и 3. Тогда из линеаризованной системы уравнений (1.1), (1.2), (1.5) и (1.12), решения которой будем искать в виде ф'(г, 0, £) = Ф(г) ехр[-¿(ш£-т0)], где т - азимутальное волновое число моды, следует искомое дифференциальное уравнение малых колебаний [77]

1 & / &Ф\ Г ш2 шВеЛ(г) т т. .

1 Пог&- + ^ -з- Ве ^ - ^ тф = 0, (4.1)

пог &г \ &г / I ш2 - Ш2, ш - тО г ] г

где О = У0е/г - угловая скорость стационарного вращения электронов и

1 & Г / О 1 & М

(4.2)

Л / Ч 1 d

Л(г) = —— n0 dr

Л ^ 1 d , .

nj 1 +-+--т(гП)

V UBe UBe dr

Уравнение (4.1) описывает структуру собственных электростатических колебаний в диапазоне частот ив ^ и ^ иве, распространяющихся в неоднородной холодной плазме с незамагниченными ионами и замагниченными электронами поперёк внешнего однородного магнитного поля, и учитывает эффекты электронной инерции. При выводе уравнения (4.1) использовались предположение о малости длины пролёта ионов за время 1/и по отношению к длине волны моды. Данное предположение позволяет пренебречь влиянием равновесной ионной скорости v0i на характер неустойчивости. Отдельно следует заметить, что второй член в круглых скобках выражения (4.2) в силу неравенства Q ^ иве пренебрежимо мал. В то же время в однородной плазме n0 = const это слагаемое играет принципиальную роль при исследовании неустойчивостей типа Кельвина-Гельмгольца.

Уравнения вида (4.1) хорошо известны в теории плазменных неустойчивостей [61,99]. В пределе высоких частот и ^ Uih оно сводится к уравнению, описывающему диокотронную неустойчивость пространственно-неоднородного электронного облака. Применительно к проблеме устойчивости глобальных мод в холловских ускорителях схожие уравнения исследовались в работах [100]-[102].

Рассмотрим твердотельное вращение электронов Q = const и монотонный профиль концентрации no(r) = n0|r=R (r/Ri)a (тогда Л(г) = a/r, где a - безразмерная константа, определяющая градиент концентрации). При указанных предположениях уравнение (4.1) принимает простой вид

2 d2 Ф Ч"Ф . ,

r2 + r(l + a) ^ + v ф = 0, (4.3)

где

Г Ы2 ЫВе 1

v = m < а—--2--— - m > .

[ ы2 — ы^ ы — mU J

Уравнение (4.3) совместно с нулевыми граничными условиями для возмущений потенциала на электродах Ф(Я1) = Ф(Я2) = 0 образуют задачу на собственные значения. Решениями этой задачи являются собственные функции

а

Ф'м = Чж) М1п(Й V"- т), (44)

отвечающие собственным значениям

12п2 а2

Здесь Фо - начальная амплитуда возмущения. Величина I формально может быть интерпретирована как радиальное волновое число, т. е. число полудлин волн, укладывающихся в интервале Ь = Д2 —

Собственная частота моды находится из условия V = V/, записываемого в виде следующего дисперсионного соотношения (сравни с (2.2)):

ет3 + А<гет2 — ет — <г = 0, (4.6)

где

и ти/йа ^

ет = —, А = 1 — ——2-ч-, а = —т—•

ищ ст(т2 + ^)иВг и/й

Используя результаты главы 2, легко показать, что необходимое условие неустойчивости (А < 1), совпадает с классическим критерием неустойчивости Саймона-Хо для локальных мод (1.27).