Электронные и атомные волновые пакеты в лазерном поле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат физико-математических наук Ефремов, Максим Алексеевич

• Ефремов, Максим Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ефремов, Максим Алексеевич

Ведение

Глава 1. Эффект Капицы-Дирака

1.1 Введение

1.2 Стандартная формулировка эффекта Капицы-Дирака.

1.2.1 Брэгговский режим рассеяния.

1.2.2 Квантово-классический режим в квантовой теории рассеяния плоской волны.

1.3 Классическая теория эффекта Капицы-Дирака.

1.3.1 Классический средний угол рассеяния.

1.3.2 Классическая функция распределения рассеянных электронов

1.4 Эффект Капицы-Дирака для электронного волнового пакета.

1.4.1 Режим брэгговского рассеяния.

1.4.2 Квантово-классическая область.

1.4.3 Классический режим рассеяния.

1.4.4 Режим модифицированного брэгговского рассеяния

1.4.5 Рассеяние сверх-узкого волнового пакета.

1.5 Переход к классике в теории эффекта Капицы-Дирака в пределе сильного поля.'.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электронные и атомные волновые пакеты в лазерном поле»

2.2 Волновой пакет в свободном пространстве.51

2.3 Постановка задачи о потенциальном рассеянии.53

2.4 Определение функций распределения.54

2.4.1 Распределение по импульсам . . .54

2.4.2 Угловая функция распределения .56

2.4.3 Эффект рассеяния и собственная ширина углового распределения 57

2.4.4 Функция распределения по углу отклонения "центра масс"волнового пакета.59

2.5 Решение уравнения Шрёдингера в приближении нерасплывающихся волновых пакетов.60

2.6 Рассеяние узких волновых пакетов.63

2.6.1 Средний угол отклонения "центра масс"волнового пакета и функция распределения.64

2.6.2 Угловая функция распределения .66

2.6.3 Средний угол рассеяния .68

2.6.4 Простая модель описания подавления рассеяния.71

2.7 Рассеяиие волнового пакета большого размера.75

2.8 Заключение к главе 2.79 3

Глава З.Динамика спонтанного излучения атомов, рассеивающихся на резонансной стоячей световой волне 81

3.1 Введение.81

3.2 Постановка задачи и основные уравнения .83

3.3 Врэгговский режим рассеяния и эффект Боррманна.86

3.4 Адиабатическое приближение.89

3.4.1 Неэкспоненциальный распад и сужение атомных волновых пакетов 90

3.4.2 О соотношении между адиабатическим приближением и приближением Рамана-Ната.94

3.4.3 Квазиэнергии и квазиэнергетические волновые функции в адиабатическом приближении.95

3.4.4 Эволюция во времени: подавление осцилляций Раби.101

3.5 Выход за рамки адиабатического приближения.105

3.5.1 Основные приближения и уравнения.105

3.5.2 Квазиэнергии и квазиэнергетические волновые функции.108

3.5.3 Решение начальной задачи.111

3.5.4 Предельные случаи и обсуждение результатов.112

А. Адиабатический предел.112

Б. Неадиабатический предел .115

3.6 Заключение к главе 3.122

ПРИЛОЖЕНИЕ А 124

ПРИЛОЖЕНИЕ Б 127

Заключение 133

Список литературы 135

Публикации автора по теме диссертации 139

Введение

Понятие о волновых пакетах применительно к квантовой механике было введено в физику одним из ее основателем - Э. Шредингером в 1926г. [1]. В этой работе, названной "Непрерывный переход от микро- к макромеханике"[1, 2], Шредингер исследовал возможность описания микрочастиц с помощью комбинации или суперпозиции (вообще говоря, содержащей бесконечное число слагаемых) стационарных состояний. Ключевым и неотъемлемым свойством таких суперпозиций является локализация в координатном и импульсном пространстве волновой функции описываемой частицы. Основываясь на факте стабильности частиц (в частности, электрона в атоме), Шредингер стремился к тому, чтобы отвечающие частицам волновые пакеты (или "группы волн") были бы нерасплывающимися, и эту идею ему удалось реализовать в работе [1] на примере линейного гармонического осциллятора. Построенный волновой пакет был устойчив, т.е. не расплывался с течением времени. Однако, как это было сразу показано Гайзенбергом [3], рассмотренный в [1] гармонический осциллятор является одним из тех исключительных случаев, когда волновой пакет может и не расплываться. В общем же случае, уже в свободном пространстве, волновой пакет с течением времени всегда расплывается. Это обстоятельство в итоге привело к тому, что интерес к волновым пакетам как инструменту описания квантовых объектов, таких как электрон, несколько угас (о всех исторических перипетиях, связанных с концепцией волновых пакетов в период становления квантовой механики, можно прочитать в работе [4] и в комментариях к работе [2]). Кроме того, стоит отметить, что нерасплывающийся волновой пакет, построенный Шредингером для линейного осциллятора [1], был первым примером хорошо известных в настоящее время когерентных состояний.

Начиная с работы [1], концепция волновых пакетов имеет большое значение для физики в плане выяснения фундаментальных вопросов о соотношении между квантовой и классической природой объектов. Именно формализм волнового пакета является тем универсальным, и пожалуй, единственным, и незаменимым инструментом при исследовании соотношения между квантовым и классическим режимами поведения любых атомно-молекулярных систем. Эта пограничная область остается крайне загадочной и широко обсуждаемой уже в течение 75 лет. Действительно, состояния микрочастицы (как и любого квантового объекта), описываемые с помощью волновых пакетов, могут быть наиболее близки к классическому описанию микрочастицы, но в то же самое время несут в себе и определенную информацию об их квантовой природе. Именно это сочетание классических и квантовых свойств делает сами волновые пакеты интересным и нетривиальным объектом как теоретического, так и экспериментального исследования. Более того, с точки зрения математической формулировки квантовой механики только локализованные состояния (волновые пакеты) и описывают реализующиеся состояния микрочастиц. Причина этого состоит в том, что такие состояния являются квадратичноинтегрируемыми и, как следствие, принадлежат пространству состояний квантовой системы.

Хорошо известно, что понятие о волновых пакетах стало чрезвычайно плодотворным и нашло свои применения во многих областях физики. С увеличением экспериментальных и технических возможностей в последние годы, вопрос о практическом создании волновых пакетов, управлении их свойствами и их описания становится все более актуальным во многих областях химии и физики. В частности, благодаря существенно динамическому характеру рассеяния волновых пакетов удается лучше и глубже понять физику различных химических процессов.

С экспериментальной точки зрения, наиболее удобным способом создания волновых пакетов является применение сверх-коротких импульсов лазерного излучения. Возбуждение атомов или молекул короткими импульсами излучения обеспечивает когерентное заселение многих близко расположенных атомных или молекулярных уровней и, как следствие, формирование хорошо локализованных и слабо расплывающихся волновых пакетов. Яркими примерами такого подхода служат хорошо изученные теоретически и экспериментально волновые пакеты в ридберговских атомах, вращательные и колебательные волновые пакеты в молекулах и т.д.

С другой стороны, при ионизации атомов короткими лазерными импульсами образующиеся состояния электронов в континууме имеют вид локализованных волновых пакетов, причем степень локализации может определятся, например, длительностью импульса ионизирующего излучения. Примерами этого подхода являются волновые пакеты свободно движущихся атомов и атомов, находящихся в ловушке, фотонные волновые пакеты в резонаторах, в кристаллах и в свободном пространстве.

Диссертационная работа посвящена теоретическому анализу взаимодействия лазерного излучения с атомами и электронами, волновые функции которых имеют вид локализованных волновых пакетов.

Основной акцент в работе сделан на

• теоретическом анализе зависимости такого взаимодействия от величины размера области локализации электронного и атомного волновых пакетов;

• нахождении условий реализации квантово-механического и классического режимов взаимодействия пакета с полем;

• поиск новых режимов рассеяния, в которых характеристики существенно зависят от степени локализации волновых пакетов.

Актуальность темы диссертационной работы подтверждается большим интересом к подобного рода исследованиям во многих научных центрах мира, а также большой фундаментальной значимостью исследования проблем о соотношении квантовых и классических свойств микро-объектов методами волновых пакетов.

Работа построена следующим образом.

Первая глава посвящена теоретическому изучению рассеяния электронов на стоячей световой волне (эффект Капицы-Дирака).

Объектом исследования является функция распределения электронов после рассеяния и средний угол рассеяния, их зависимость от параметров излучения и электронного пучка. В частности, это предполагает и нахождение условий, при которых рассеяние наиболее эффективно.

В разделе 1.1 приведен краткий обзор теоретических и экспериментальных достижений по рассмотрению и наблюдению эффекта Капицы-Дирака.

В разделе 1.2 описана стандартная формулировка эффекта Капицы-Дирака, когда электрон в классическом поле стоячей волны описывается квантово-механически, а начальное состояние имеет вид неограниченной в пространстве плоской волны.

В разделе 1.3 поставлена и решена задача об эффекте Капицы-Дирака в рамках полностью классического подхода, целиком основанный на классических представлениях об электроне как о точечной частице.

В разделе 1.4 предложен новый подход к квантово-механическому рассмотрению эффекта Капицы-Дирака - это рассеяние на стоячей волне пучка электронов, начальное состояние которого имеет вид волнового пакета с произвольным начальным размером и с равнораспределенным начальным положением "центра масс "пакета. Найдены общие выражения для угловой функции распределения электронов после рассеяния и среднего угла рассеяния с помощью теории возмущений по амплитуде стоячей световой волны.

Установлены области применимости как классического подхода, так и стандартной квантово-механической формулировки эффекта Капицы-Дирака; найдены новые, ранее не исследованные режимы рассеяния.

Основная цель следующего пункта - раздела 1.5 - в пределе сильного поля стоячей световой волны проанализировать соотношение между результатами классического и квантового описания эффекта Капицы-Дирака.

Вторая глава посвящена теоретическому анализу потенциального рассеяния пучка частиц, начальное состояние которых задается в виде волновых пакетов с некоторым распределением по прицельному параметру " центра масс "волнового пакета.

В разделе 2.1 изложен краткий обзор различных теоретических моделей описания начального состояния рассеивающейся частицы применительно к задаче о потенциальном рассеянии.

В разделе 2.2 исследуется динамика волнового пакета частицы, находящейся в свободном пространстве, и вводятся основные величины, характеризующие такие локализованные состояния.

В разделе 2.3 сформулирована общая квантово-механическая задача о потенциальном рассеянии частиц.

Следующий раздел 2.4 целиком посвящен определению основных характеристик рассеяния волновых пакетов в рамках нестационарного формализма. Описана процедура вычисления угловой функции распределения частиц по углу рассеяния из распределения частиц по импульсам после рассеяния. Особое внимание уделено методу разделения эффекта рассеяния и эффекта расплывания, который вообще не связан с рассеянием и свойственен исключительно локализованному в пространстве квантовому состоянию налетающей частицы. Прослежена связь введенных характеристик рассеяния с наблюдаемыми величинами, например, с относительным количеством частиц регистрируемых в данном направлении.

Содержание раздела 2.5 является центральным в этой главе. В этом разделе сформулировано основное приближение о "нерасплывающихся" волновых пакетах, основанное на предположении о большом радиусе действия рассеивающего потенциала. Для нерасплывающихся волновых пакетов удается решить уравнение Шредингера вне рамок борновского приближения и найти функцию распределения рассеянных частиц при почти произвольном отношении между начальным размером волнового пакета налетающей частицы и радиусом действия потенциала.

В разделе 2.6 рассматривается потенциальное рассеяние волновых пакетов с малым начальным размером (по сравнению с радиусом действия потенциала). Основное внимание сконцентрировано на нахождении условий применимости классической теории потенциального рассеяния для малых углов отклонения. Показано, что наиболее общей характеристикой процесса рассеяния является угловая функция распределения, а не дифференциальное сечение рассеяния. Кроме того, обнаружен новый режим рассеяния узкого волнового пакета, в котором эффект рассеяния существенно подавлен за счет более сильного эффекта расплывания. Построена простейшая модель описания эффекта подавления рассеяния, возникающего при уменьшении величины начального размера волнового пакета.

В разделе 2.7 исследуется рассеяние волнового пакета, начальный размер которого существенно превышает радиус действия потенциала. Основная задача рассмотрения этого предельного случая состоит в установлении связи между введенным угловым распределением рассеянных частиц и дифференциальным сечением рассеяния. Показано, что в случае большого (по сравнению с радиусом действия потенциала) размера волнового пакета, сформулированное в разделе 2.5 приближение "нерасплывающихся"волновых пакетов эквивалентно хорошо известному в квантовой теории рассеяния приближению эйконала.

Третья глава посвящена детальному изучению динамики спонтанного излучения атомов, рассеивающихся на резонансной стоячей световой волне, и формированию в координатном пространстве узких атомных волновых пакетов.

В разделе 3.1 изложена принципиальная схема резонансного рассеяния атомов на стоячей световой волне и схема внутриатомных уровней. Последняя является необычной и новой в атомной оптике и состоит из двух резонансных уровней: нижний уровень является узким, а верхний уровень имеет большую ширину, обусловленную в основном спонтанным распадом в третье нерезонансное состояние, отличное от нижнего рабочего уровня,

В разделе 3.2 представлена общая математическая формулировка задачи в координатном и импульсном пространствах. В рамках приближения "вращающейся волны"найдена система уравнений, описывающая как поступательное движение "центра масс"атома, так и эволюцию внутреннего состояния атома в поле стоячей волны. Определены две характеристики рассеяния - это (а) полная вероятность (или населенность) нахождения атома на рабочих уровнях в момент времени t, (б) плотность вероятности найти атом в момент времени I на определенном рабочем уровне, а "центр масс"атома в некоторой точке координатного пространства.

В разделе 3.3 рассматривается детально случай слабого поля стоячей волны, при котором реализуется брэгговский режим рассеяния. Хотя этот режим уже исследовался в предшествующих работах, его подробное изложение позволяет прояснить физику задачи и определить параметры, которые разделяют два существенно разных режима рассеяния: брэгговский и дифракционный режимы. В этой работе основное внимание сконцентрировано на исследовании резонансного рассеяния атомов в дифракционном режиме.

Содержание следующего раздела 3.4 целиком посвящено рассмотрению резонансного рассеяния атома полем стоячей волны в рамках адиабатического приближения, когда отдачей "центра масс"атома можно полностью пренебречь.

Если время взаимодействия атома с полем стоячей волны существенно превышает по порядку величины время жизни верхнего состояния, то поставленную задачу можно свести к задаче об эволюции нижнего рабочего уровня в эффективном потенциале Чудесникова-Яковлева. Это позволяет показать, что при больших временах имеет место замедление экспоненциального распада и формирование степенного закона затухания населенностей рабочих уровней. Однако, в области малых значений времени взаимодействия, которые меньше или порядка времени жизни верхнего состояния, задача о рассеянии атома более не упрощается и ее необходимо решать точно. Показано, что в этом случае, населенности рабочих уровней претерпевают рабиевские осцилляции, которые в результате рассеяния атома сильно подавлены по сравнению с хорошо известными рабиевскими осцилляциями в отсутствии рассеяния.

Помимо этого, в этом разделе (в рамках адиабатического подхода) исследуется также эволюция плотности вероятности и показано, что плотность вероятности, т.е. область локализации атомных волновых пакетов, неограниченно сужается с ростом

10 времени взаимодействия по степенному закону.

В разделе 3.6 задача о резонансном рассеянии атома решается вне рамок адиабатического приближения. Показано, что степенной распад, имеющий место только в определенной области изменения времени взаимодействия, переходит в экспоненциальный с модифицированной константой распада. Кроме того, в этом режиме сужение атомных волновых пакетов прекращается и их ширина выходит на постоянное значение, интерпретируемое как тот минимальный размер волнового пакета "центра масс"атома, который можно получить при их рассеянии на стоячей световой волне.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Заключение диссертации по теме «Лазерная физика», Ефремов, Максим Алексеевич

Основные результаты диссертационной работы:

1. В рамках исследования эффекта Капицы-Дирака (рассеяние электронов па стоячей световой волне) а) Решена полностью классическая задача и найдены функция распределения рассеянных электронов и средний угол рассеяния. Показано, что результаты существенно отличаются от квантовой картины брэгговского рассеяния. б) Построена квантовая теория эффекта Капицы-Дирака, в которой начальное состояние электрона задается в виде волнового пакета. В зависимости от размера пакета и времени взаимодействия определены области применимости чисто классического подхода и брэгговской картины рассеяния, а также промежуточной квантово-классической области. Обнаружены и описаны новые режимы, характеристики рассеяния в которых определяются расплыванием пакета за время взаимодействия. в) Показано, что в пределе сильного поля результаты квантового описания эффекта Капицы-Дирака оказываются близкими к классическим.

2. В задаче о потенциальном рассеянии электронов на мишенях большого размера, в приближении нерасплывающихся волновых пакетов найдена угловая функция распределения после рассеяния. Показано, что при размерах волнового пакета, меньших размера мишени, понятие дифференциального сечения рассеяния теряет смысл. Предложена альтернативная и наиболее адекватная характеристика процессов рассеяния волновых пакетов - разностная угловая функция распределения. Показано, что в случае узких волновых пакетов возникает новый, ранее не описанный режим рассеяния. Показано, в частности, что в этом режиме средний угол рассеяния пропорционален размеру волнового пакета.

3. В задаче о спонтанном излучении атомов, рассеивающихся в поле резонансной стоячей световой волны показано, что в адиабатическом режиме рассеяния а) происходит значительное подавление рабиевских осцилляций населенностей резонансных уровней; б) закон распада населенностей рабочих уровней является степенным, а не

134 экспоненциальным; в) происходит сужение пространственной области локализации волновых пакетов атомов, остающихся на одном из рабочих резонансных уровней.

4. Найдено, что в неадиабатическом режиме рассеяния атомов на стоячей световой волне сужение атомных волновых пакетов прекращается. Определена минимальная достижимая ширина пакетов. Показано, что в этом режиме степенной закон распада населенностей рабочих уровней атома переходит в экспоненциальный с модифицированной константой распада, существенно отличной от скорости распада свободного атома.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ефремов, Максим Алексеевич, 2003 год

1. Е. Schrödinger, Naturwissenschaften, 14, Н. 28, 664, (1926)

2. Эрвин Шрёдингер, Избранные труды по квантовой механике, С. 51, Серия "Классики Науки", Издательство "Наука", Москва, 1976

3. W. Heisenberg, Z. Phys., 43, 172, (1927)

4. Н. Kragh and В. Carazza, Arch. Hist. Exact Sei., 55, 43, (2000)

5. P.L. Kapitza and P.A.M. Dirac, Proc. Phil. Soc., 29, 297 (1933)

6. M.B. Федоров, Ж9ТФ, 52, 1434 (1967)

7. L.S. Barteil, J. Appl. Phys., 38, 1561 (1967)

8. M.M. Nieto, Am. J. Phys., 37, 162 (1969)

9. H. Ezawa, H. Namaizawa, J. Phys. Soc. Japan, 25, 1200 (1968); 26, 458 (1969)

10. H. De Lang, Opt. Commun., 4, 191 (1971)

11. R. Gush, H.P. Gush Phys. Rev. D, 3, 1712 (1971)

12. H. Schwarz, Phys. Lett., 43A, 457 (1973)

13. M.V. Fedorov, Opt. Commun., 12, 205 (1974); Квантовая электроника, 2, 1519 (1975)

14. F. Ehlotzky, Ch. Leubner Opt. Commun., 10, 175 (1974)

15. F. Ehlotzky, Phys. Lett., 47A, 491 (1974)

16. Y.W. Chan, W. L. Tsui, Phys. Rev. A, 20, 294 (1979)

17. E.A. Coutsias, J.K. Mclver Phys. Rev. A, 31, 3155 (1985)

18. M.V. Fedorov, in Laser Science and Technology; An International Handbook, edited by V.S. Letokhov (Harwood, New York, 1991), Vol. 13, Chap. 2, P. 22

19. H. Batelaan, Contemp. Phys., 41, 369 (2000)

20. L.S. Barteil, H.B. Tompson, R.R. Roskos, Phys. Rev. Lett., 14, 851 (1965)

21. H. Schwarz, H.A. Tourtellote, W.W. Gaertner, Phys. Lett., 19, 202 (1965)

22. H. Schwarz, Zs. Phys., 204, 276 (1967)

23. L.S. Barteil, R.R. Roskos, H.B. Tompson, Phys. Rev., 166, 1494 (1968)

24. Y. Takeda, I. Matsui, J. Phys. Soc. Japan, 25, 1202 (1968)

25. H. Chr. Pfeiffer, Phys. Lett., 26A, 362 (1968)

26. P.H. Backsbaum, D.W. Schumacher, and M. Bashkansky, Phys. Rev. Lett., 61, 1182 (1988)

27. D.L. Freimund, K. Aflatooni, and H. Batelaan, Nature (London), 413, 142 (2001)

28. D.L. Freimund and H. Batelaan, Phys. Rev. Lett., 89, 283602 (2002)

29. M.A. Ефремов, M.B. Федоров, ЖЭТФ, 116, 870 (1999)

30. M.V. Fedorov, S.P. Goreslavsky, and V.S. Letokhov, Phys. Rev. E, 55, 1015 (1997)

31. V.G. Minogin, M.V. Fedorov, and V.S. Letokhov, Opt. Comrnun., 140, 250 (1997)

32. D.R. Bitouk and M.V. Fedorov, Phys. Rev. A, 58, 1195 (1998)

33. M.A. Efremov and M.V. Fedorov, J. Phys. B, 33, 4535 (2000)

34. Ф. Олвер, Асимптотика и специальные функции, Издательство "Наука", Москва, 1990

35. А.П. Казанцев, Г.И. Сурдутович, В.П. Яковлев, Письма в ЖЭТФ, 31, 542 (1980)

36. М. Гольдбергер, К. Ватсон, Теория столкновений, Издательство "Мир", Москва, 1969

37. N.F. Mott and H.S.W. Massey, Theory of atomic collisions, 3rd ed., Oxford, 1965

38. С. Швебер, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, Издательство Иностранной Литературы, Москва, 1963

39. Дж. Тейлор, Теория рассеяния: Квантовая теория нерялятивистских столкновений, Издательство "Мир", Москва, 1975

40. JI.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, Квантовая механика. Нерелятивистская теория, Издательство "Наука", Москва, 1974

41. Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, Механика, Издательство "Наука", Москва, 1965

42. М.А. Efremov and M.V. Fedorov, J. Phys B, 33, 4535 (2000)

43. P.H. Bucksbaum, M. Bashkansky, and T.J. Mcllrath, Phys. Rev. Lett., 58, 349 (1987)

44. M.A. Efremov and M.V. Fedorov, Phys.Rev. A, 65, 052725 (2002)

45. Справочник по специальным функциям под редакцией М. Абрамовича и И. Стиган, Издательство "Наука", Москва, 1979

46. Н.М. Nussenzveig, Diffraction Effects in Semiclassical Scattering, Cambridge University Press, 1992

47. А.П. Казанцев, Г.И. Сурдутович, В.П. Яковлев, Механическое действие света на атомы, Издательство "Наука", Москва, 1991

48. V.l. Balykin and V.S. Letokhov, Atom Optics with Laser Light, Harwood Academic, Chur, Switzerland, 1995

49. В.Г. Миногин, B.C. Летохов, Давление лазерного излучения на атомы, Издательство "Наука", Москва, 1986

50. W.P. Schleich, Quantum Optics in Phase Space, Wiley, New-York, 2001

51. D.O. Chudesnikov and V.P. Yakovlev, Laser Phys., 1, 110 (1991)

52. D.S. Krähmer et al., In: Quantum Optics VI, Springer Proceedings in Physics, 77, 87; Editors: D.F. Walls & J.D. Harvey, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1994

53. M.K. Oberthaler, R. Abfalterer, S. Bernet, J. Schmiedmayer, and A. Zeilinger, Phys. Rev. Lett., 77, 4980 (1996)

54. H. Batelaan, E.M. Rasel, M.K. Oberthaler, J. Schmiedmayer,and A. Zeilinger, Journ. of Modern Optics, 44, 2629 (1997)

55. M.V. Berry and D.H.J. O'Dell, J. Phys A: Math. Gen., 31, 2093 (1998)138

56. M.K. Oberthaler, R. Abfalterer, S. Bernet, J. Schmiedmayer, and A. Zeilinger, Phys. Rev. A, 60, 456 (1999)

57. G. Borrmann, Phys. Z., 42, 157 (1941)

58. M.A. Efremov, M.Y. Fedorov, V.P. Yakovlev, and W.P. Schleich, Laser Phys., 13, |4 (2003)

59. Г. Вейтман и А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, Т. 2, Издательство "Наука", Москва, 1974.

60. М. Борн, Э. Вольф, Основы оптики, Издательство "Наука", Москва, 1970

61. M.V. Fedorov and A.M. Movsesian, J. Phys. B, 21, L155 (1988)

62. M.V. Fedorov, Atomic and Free Electrons in a Strong Light Field, World Scientific, Singapore, 1991

63. F.R. Gantmacher, The Theory of Matrices, Vol. 1, P. 265-267, Chelsea Publishing Company, N.Y., 1959

64. M.B. Федорюк, Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Издательство "Наука", Москва, 1983

65. А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев, Интегралы и ряды. Специальные функции, Издательство "Наука", Москва, 1983

66. Н. Н. Лебедев, Специальные функции и их приложения, Государственное издательство технико-теоретической литературы, Москва, 1953

67. Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин, Лекции по теории функций комплексного переменного, Издательство "Наука", Москва, 1982139

68. Публикации автора по теме диссертации

69. Основные результаты диссертационной работы опубликованы н работах

70. Ефремов М.А., Переход к классике в теории эффекта Капицы-Дирака в пределе сильного поля, Электронный акурнал '''Исследовано в России". 59. Р. 693-702 (2003). http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/059.pdf

71. Доклады автора на научных конференциях

72. Ефремов М.А. и Федоров М.В., Классическая и квантовая версии эффекта Капицы-Дирака, Сборник научных грудой Научной сессии МИФИ-09. Москва. Т. 1, С. 255 (1999).

73. Efremov M. A. and Fedorov M. V. Quantum and classical versions of the Kapitza-Dirac effect and scattering of wave packets. 8 th Internationa] Laser Phvsies Workshop Lphys' 99. Budapest. Books of Abstracts. Edited by P. Domokos and T. Kiss. P. 68 (1999).

74. Efremov M. A. and Fedorov M. V., Scattering of electron wave packets bv a large-size target. 10 th Annual Internationa] Laser Physics Workshop П' PHYS' 01 ) Moscow Russia, Books of Abstracts, P. 74 (2001).