Электрон-атомное рассеяние и радиационная рекомбинация в сильном лазерном поле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Желтухин, Александр Николаевич

• Желтухин, Александр Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Желтухин, Александр Николаевич

Содержание

Список основных обозначений и аббревиатур

Введение

Обзор литературы

Глава 1. Волновая функция рассеяния в атомном потенциале и лазерном поле в методе эффективного радиуса

1.1. Общие соотношения

1.2. Метод эффективного радиуса

1.2.1. Граничное условие на волновую функцию в МЭР на малых расстояниях

1.2.2. Волновая функция КЭС в МЭР

1.3. Точные уравнения для коэффициентов /п

1.3.1. Случай/-0

1.3.2. Случай 1 = 1

1.4. Приближенные выражения для волновой функции рассеяния

1.5. Выводы к первой главе

Глава 2. Электрон-атомное рассеяние в присутствии сильного светового поля

2.1. Амплитуда электрон-атомного рассеяния в методе эффективного радиуса

2.2. Низкочастотный результат Кролла-Ватсона

2.3. Амплитуда ЭАР в приближении однократного перерассеяния

2.4. Аналитическая формула для сечения ЭАР

2.5. Выводы ко второй главе

Глава 3. Фоторекомбинация и фотоприлипание электрона к атому в сильном световом поле

3.1. Общие соотношения

3.2. Точные выражения для амплитуды электрон-атомного фотоприлипания в МЭР

3.3. Низкоэнергетическое плато в спектре электронной фоторекомбинации

3.4. Высокоэнергетическое плато в спектре ЭФР

3.5. Эффекты атомного потенциала в спектре ЭФР

3.6. Выводы к третьей главе

Глава 4. Резонансные явления в спектре ЭФР/ЭАФП

4.1. Общая параметризация резонансного сечения фоторекомбинации

4.2. Аналитические и численные результаты для сечения резонансного ЭАФП в МЭР

4.3. Квазиклассический результат для сечения ЭАФП с учетом резонансных эффектов

4.4. Выводы к четвертой главе

Заключение

Приложение А. Волновые функции и функции Грина свободного электрона в лазерном поле

Приложение Б. Функции Бесселя и Эйри

Приложение В. Вычисление матричного элемента с!(П)

Приложение Г. Вычисление амплитуды упругого рассеяния элек-

трона на ионе Хе+

Литература

Список аббревиатур и основных обозначений

кэс ккэс

МЭР ЭАР ЭАФП ЭФР

е < О т

Еь =

а2 к2

2 то

щ и п

а - h2

&R — -2

D me¿

Eat = —

I&t —

ав ce2 SlXCLg

С

F(í) си и F A(f)

P

e = E + Uv

Un =

2p2

P 4mw2

Pn

9

es

£

d(Q)

квазиэнергетическое состояние квазистационарное квазиэнергетическое состояние метод эффективного радиуса электрон-атомное рассеяние электрон-атомное фотоприлипание электронная фоторекомбинация заряд электрона масса электрона энергия связанного состояния длина рассеяния и эффективный радиус в МЭР боровский радиус (ав = 5.29 х Ю-9 см) атомная единица энергии (Eai = 27.21 эВ) атомная единица интенсивности (7at = 3.51 х 1016 Вт/см скорость света

напряженность электрического поля световой волны частота и амплитуда поля F(¿) = Fcosu/í векторный потенциал поля F (t)

2^

)

начальный импульс электрона с энергией Е: р — у2тЕ квазиэнергия электрона в световом поле средняя энергия колебаний электрона в монохроматическом поле

импульс рассеянного электрона, рп — л/2т(Е + пТшо) угол между векторами риЕ угол между векторами рпиЕ комплексная квазиэнергия электрона в ККЭС дипольный матричный элемент фоторекомбинации частота спонтанного фотона при ЭФР или ЭАФП

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электрон-атомное рассеяние и радиационная рекомбинация в сильном лазерном поле»

Введение

Актуальность работы

Исследование процессов нелинейного взаимодействия сильного лазерного излучения с атомами и молекулами представляет собой одну из наиболее актуальных проблем атомной и лазерной физики [см., напр., обзор [1] и указанную в нем литературу (около 1000 наименований)]. К настоящему времени наиболее изученными являются процессы генерации гармоник лазерного излучения атомарными газами [2-4], а также одно- и многоэлектронная ионизация атомов сильным лазерным полем [4-7], в которых атом поглощает большое число (сотни) фотонов лазерного излучения. Высокая эффективность этих процессов обусловлена специфическим для случая сильного светового поля механизмом набора энергии из лазерного поля электроном, освободившимся из атома вследствие ионизации и удерживаемым вблизи атома сильным осциллирующим полем, путем рассеяния (или, как часто говорят, перерассеяния) на положительном ионе родительского атома [8, 9]. Этот механизм приводит к наличию в сечениях процессов области так называемого плато, в которой сечения, рассматриваемые как функции числа поглощаемых фотонов п, слабо зависят от п и, таким образом, обеспечивают значительный выход высокоэнергетических электронов и высших гармоник лазерного поля.

Наряду с отмеченными выше процессами, индуцированными лазерным излучением, сильное лазерное поле приводит также к существенной модификации столкновителъных процессов, возможных и в отсутствии поля, в частности, Электрон-Атомного Рассеяния (ЭАР) и Электронной ФотоРекомбинации (ЭФР). К настоящему времени эти процессы изучены значительно менее полно, чем лазерно-индуцированные процессы (см., напр., обзор [4]). Наличие высокоэнергетического плато в спектре ЭАР, обусловленного эффектами перерассеяния, предсказано впервые в работе [10]. Первое наблюдение

модификации спектра ЭФР интенсивным микроволновым полем выполнено в недавней работе [11]. Теоретический анализ ЭФР в сильном лазерном поле выполнен впервые в работах [12, 13] пренебрегая действием атомного потенциала и (г) на электрон в континууме. В [12, 13] было показано, что сечение ЭФР слабо зависит от частоты О рекомбинационного излучения в достаточно широком интервале, образуя низкоэнергетическое плато в спектре ЭФР. Пер-турбативный (в борновском приближении) учет действия потенциала и (г) на рекомбинирующий электрон [14] приводит к появлению в спектре ЭФР второго, менее интенсивного плато в области высоких частот Г2 (высокоэнергетическое плато), обусловленного эффектами перерассеяния.

В настоящее время актуальным является вопрос о точном учете атомного потенциала при расчете сечений нелинейных фотопроцессов, который в последние годы представляет особый интерес в связи с экспериментами по извлечению информации об атомной структуре (в частности, сечений фотоионизации и упругого рассеяния электронов на атомном остове) из спектров генерации высших гармоник и надпороговой ионизации атомов [15]. Очевидно, что рассмотрение этого вопроса невозможно в рамках борновско-го приближения (как в [12-14]). Отметим, что в теории нелинейных атомных фотопроцессов число аналитических результатов, показывающих явную зависимость экспериментально наблюдаемых величин от параметров лазерного излучения и свойств атомного потенциала, весьма ограничено. В теории нелинейной ионизации таким результатом является известная формула Келдыша [16] и её модификации, а для ЭАР - формулы Бункина-Федорова [17] и Кролла-Ватсона [18]. Однако эти формулы не описывают эффекты перерассеяния. Простые аналитические результаты с учётом эффектов перерассеяния, непертурбативно учитывающие потенциал 17(г), были недавно получены в Методе Эффективного Радиуса (МЭР) для описания генерации высших гармоник [19] и спектра высокоэнергетических электронов [20] вблизи границы

высокоэнергетического плато. Поэтому представляет интерес вопрос о возможности получения аналогичных результатов для ЭАР и ЭФР для выяснения роли эффектов атомного потенциала в этих процессах. Кроме того, важным является вопрос о механизмах усиления выхода электронов и фотонов в области высокоэнергетического плато. Для процесса ЭФР этот вопрос ранее не исследовался, а существенные усиления в спектрах ЭАР вследствие резонансных явлений были предсказаны недавно в модели МЭР в работе [21].

Цель диссертационной работы

Цель диссертации - теоретическое исследование процессов ЭАР и ЭФР в сильном монохроматическом лазерном поле на основе метода эффективного радиуса, аналитическое описание области спектра вблизи границ плато с явным выделением параметров, зависящих от лазерного поля и атомного потенциала, и анализ резонансных эффектов в процессе ЭФР.

В рамках поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:

1. Развита итерационная процедура решения точного уравнения для волновой функции рассеяния в МЭР в низкочастотном приближении, На ее основе получена аналитическая формула для сечения ЭАР в окрестности границы высокоэнергетического плато в спектре ЭАР в виде произведения двух сечений упругого рассеяния электрона (с модифицированными полем импульсами) на атомном потенциале и лазерного параметра, содержащего функцию Эйри.

2. В рамках МЭР получены точные выражения для амплитуды и сечения радиационного фотоприлипания электрона к атому (ЭАФП) (аналог ЭФР) с образованием отрицательного иона со слабосвязанным з-или р-электроном. Выполнены численные расчеты сечений.

3. С использованием МЭР получены аналитические квазиклассические

выражения для сечения ЭАФП в области границ низко- и высокоэнергетического плато, допускающие обобщение на случай ЭФР.

4. Исследована роль эффектов атомной структуры и интерференционные явления в спектрах ЭФР в сильном лазерном поле.

5. Получена общая параметризация сечения резонансного ЭФР, аналогичная параметризации Фано [22] для сечения фотоионизации с резонансом на автоионизационном состоянии. Выполнен аналитический и численный анализ резонансных спектров и профилей резонансов в МЭР.

Научная новизна

На основе последовательных квантово-механических вычислений с использованием МЭР в диссертации впервые получены аналитические квазиклассические выражения для сечений ЭАР и ЭАФП в сильном лазерном поле в области высокоэнергетического плато, допускающие обобщение на случай атомного потенциала с кулоновской асимптотикой. Полученные выражения впервые дали убедительное квантовое обоснование классической модели перерассеяния для столкновительных процессов в лазерном поле, а также показывают, что сечения ЭФР/ЭАФП не могут быть записаны в факторизованном виде, типичном для сечений других нелинейных атомных фотопроцессов (в том числе ЭАР), вследствие особой чувствительности формы высокоэнергетического плато в спектрах ЭФР/ЭАФП к виду атомного потенциала.

Получены точные выражения в рамках МЭР для амплитуды ЭАФП, которые впервые позволили установить наличие резонансного усиления сечений ЭАФП для энергий налетающего электрона, при которых он может быть захвачен в квазистационарное состояние отрицательного иона с последующим испусканием рекомбинационного фотона. Впервые получена параметризация сечений ЭФР/ЭАФП вблизи резонансных энергий электрона, указывающая

на асимметричный профиль резонанса и показывающая, что форма спектра резонансной ЭФР (как функция числа поглощенных фотонов) совпадает с формой спектра генерации высших гармоник связанным электроном.

Практическая значимость

Результаты диссертации могут быть использованы для описания фоторекомбинации и рассеяния электронов на атомных мишенях в сильном лазерном поле и представляют, в частности, интерес для задач физики плазмы, связанных с проблемами генерации высокочастотного излучения плазмой, генерации высокоэнергетических электронов в плазме и т.д. Аналитические формулы для сечений, впервые полученные в работе в результате последовательного квантового расчета, обосновывают применимость известной классической «трехступенчатой модели» для описания ионизации и генерации гармоник и для описания столкновительных процессов в лазерном поле. Они позволяют принципиально сократить количество вычислений и качественно понять особенности рассмотренных процессов, в частности, предсказывают существенную роль эффектов атомной структуры в спектрах ЭАР и ЭФР в лазерном поле. Результаты диссертации целесообразно использовать в научно-исследовательских организациях и центрах, занимающихся взаимодействием сильного лазерного излучения с веществом: Институт общей физики РАН, Научно-исследовательский институт ядерной физики МГУ, РНЦ Курчатовский институт, Санкт-Петербургский государственный университет, Научно-исследовательский ядерный университет «МИФИ», Воронежский государственный университет, Институт прикладной физики РАН.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Аналитическое квазиклассическое выражение для сечения ЭАР в сильном низкочастотном лазерном поле в области границы высокоэнергети-

ческого плато в спектре ЭАР, а также его обобщение на случай рассеяния электронов на положительных ионах.

2. Точные выражения для амплитуд ЭАФП в МЭР в монохроматическом лазерном поле с образованием отрицательного иона в связанном s- или р-состоянии и результаты численных расчетов спектра ЭАФП.

3. Аналитические квазиклассические результаты для сечения ЭАФП в сильном низкочастотном лазерном поле в области границ высоко- и низкоэнергетического плато и их обобщение на случай ЭФР.

4. Установлена существенная роль эффектов атомной структуры в спектре ЭФР в сильном лазерном поле и предсказано проявление эффекта Рамзауэра в спектре ЭФР на ионах Хе+.

5. Параметризация сечений ЭФР/ЭАФП в области резонансных энергий налетающего электрона и связь резонансных сечений с сечением генерации высших гармоник связанным электроном.

6. Аналитический и численный анализ резонансных профилей в сечениях ЭАФП в МЭР.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. Научные сессии Воронежского государственного университета (2009-2011)

2. XXIV Съезд по Спектроскопии, Москва, Троицк, 2010

3. 10th European Conf. on Atoms, Molecules and Photons (ECAMP X), Salamanc Spain, 4-9 July 2010

4. 19th International Laser Physics Workshop (LPHYS' 19), Foz do Iguasu, Brazil, 5-9 July 2010

5. Международная конференция «Frontiers of Nonlinear Physics» (FNP-2010), Нижний Новгород - Санкт-Петербург, 2010

6. 20th International Laser Physics Workshop (LPHYS' 20), Sarajevo, Bosnia and Herzegovina, 11-15 July 2011

Публикации

По материалам диссертации имеется 8 публикаций, из них 3 статьи в рецензируемых журналах из списка ВАК ([23], [24], [25]) и 5 публикаций в сборниках трудов и тезисов конференций: [26], [27], [28], [29], [30].

Личный вклад автора

Определение целей и задач диссертации осуществлялось научным руководителем, проф. Манаковым H.JI. Автором лично выполнены аналитические и численные расчеты, представленные в диссертации. Обсуждение и интерпретация полученных результатов, а также подготовка публикаций к печати проводились совместно всеми соавторами. Результаты, составляющие содержание основных положений, выносимых на защиту, получены автором лично.

Структура и объем диссертации

Диссертация содержит введение, обзор литературы, 4 главы, заключение и библиографию. Общий объем диссертации 115 страниц: 97 страниц текста, включая 17 рисунков, и библиография (103 наименования) на 13 страницах.

Обзор литературы

Сечения столкновительных процессов содержат информацию о структуре мишени и важности каналов различных реакций, возможных при заданных начальных состояниях налетающей частицы и мишени [31, 32]. Практически важным аспектом столкновительных процессов является, например, их принципиальная роль для задач физики плазмы, а также потенциальная возможность их использования для исследования динамики сверхбыстрых процессов [33, 34]. В настоящее время модификация столкновительных процессов сильным световым полем представляет особый интерес поскольку контролируемое изменение параметров поля позволяет контролировать протекание столкновительной реакции. Важное значение столкновительные процессы в сильном лазерном поле имеют для задач диагностики и кинетики лазерной плазмы (см., напр., [35]). Очевидно, что достаточно сильное световое поле способно модифицировать протекание любого столкновительного процесса, однако ниже мы ограничимся только кратким обзором работ по влиянию светового поля на два процесса - упругое электрон-атомное рассеяние и электронную фоторекомбинацию.

Первое исследование модификации ЭАР сильным световом полем было выполнено в пионерской работе Бункина и Федорова [17]. Рассматривая атомный потенциал как возмущение (в первом борновском приближении), в этой работе было получено широко известное выражение для сечения рассеяния (а) в сильном световом поле, которое имеет вид произведения атомного параметра (сечение рассеяния в борновском приближении в отсутствии поля) и лазерного параметра, зависящего от интенсивности и частоты поля и переданного импульса. Простой вид сечения ЭАР в приближении Бункина-Федо-рова позволил сформулировать понятие «критической» геометрии - области значений параметров задачи, при которых разность между начальным и ко-

нечным импульсом электрона перпендикулярна поляризации лазерного поля. При этой геометрии сечение рассеяния с поглощением п-фотонов обращается в ноль и для корректного расчета сечения необходим более точный учет атомного потенциала. Приближение Бункина-Федорова было использовано в недавней работе [36], в которой исследован вынужденный тормозной эффект при рассеянии на атомном потенциале пространственно ограниченного электронного волнового пакета. Следует отметить, что формула Бункина-Федорова в некотором смысле является аналогом известной формулы Келдыша в теории нелинейной ионизации атомов [16], в которой также пренебрегается действием атомного потенциала на электрон в континууме.

После работы [17] следующий важный результат в теории ЭАР был получен Кроллом и Ватсоном в низкочастотном приближении [18]. Общая структура сечения рассеяния в приближении Кролла-Ватсона та же, что и в формуле Бункина-Федорова, однако атомный параметр в этом случае определяется точным сечением рассеяния, зависящим от кинетического импульса налетающего электрона. (Обобщение результата Кролла-Ватона на релятивистский случай получено в [37]). В приближении Кролла-Ватсона атомный потенциал учитывается вне рамок теории возмущений по атомному потенциалу и в случае низкочастотного светового поля является более точным, чем результат Бункина-Федорова. Тем не менее точность приближения Кролла-Ватсона является предметом дискуссии [38, 39]: значительное расхождение результата Кролла-Ватсона с экспериментом наблюдается в области «критической» геометрии (см., например, [40]), что стимулировало дальнейшие теоретические исследования ЭАР [39, 41]. Дальнейшее развитие идеи работы [18] нашли в формулировке «кулон-волковского» приближения [42], которое состоит в замене механического импульса электрона на кинематический в точных волновых функциях рассеяния в отсутствии светового поля (ср. выражение (3.9) в [18] с (2.17) в [42]). Это приближение использовалось

в ряде работ по расчету сечений столкновительных процессов [12, 43], а в [44] показано, что удовлетворительная точность кулон-волковского приближения достигается в случае, когда асимптотический импульс электрона значительно превышает характерный импульс свободного электрона в световом поле. Отметим, что это условие фактически совпадает с условием применимости борновского приближения [17].

Попытка точного квантомеханического анализа рассеяния электрона на кулоновском потенциале в присутствии сильного светового поля на основе численного решения нестационарного уравнения Шредингера была предпринята в [45]. Однако, ввиду технических сложностей, процедура численного интегрирования нестационарного уравнения Шредингера, получившая в последнее время большую популярность для анализа нелинейной ионизации и генерации высших гармоник атомами и молекулами коротким лазерным импульсом [46], значительно менее эффективна для столкновительных задач. Тем не менее, такой подход был использован для исследования вынужденной рекомбинации электрона в длинном лазерном импульсе [47] и для исследования зависимости вынужденной рекомбинации от фазы короткого лазерного импульса [48].

Первое точное решение модельной задачи о рассеянии электрона в сильном световом поле с круговой поляризацией было получено в работе Персона [49] в рамках модели потенциала нулевого радиуса [50]. В работе [49] построена точная волновая функция рассеяния в поле с круговой поляризацией и найдено явное выражение для амплитуды рассеяния электрона на ^-потенциале с поглощением (испусканием) п-фотонов светового поля. Анализ амплитуды рассеяния в [49] показал, что сечение рассеяния имеет резонансные особенности при энергиях налетающих электронов, соответствующих //-фотонному резонансу между состоянием в континууме с квазиэнергий е и связанным состоянием с энергией Еь (при е = /лНи + Еь). Эффекты высо-

коэнергетического плато, хорошо известные в спектрах надпороговой ионизации и генерации гармоник, в спектрах ЭАР впервые исследованы в [10]. В [10] эффекты плато интерпретируются в рамках трехступенчатой модели: на первом этапе - в результате рассеяния на атомном потенциале - электрон изменяет направление движения, переходя в состояние с импульсом, направленным вдоль вектора поляризации светового поля; на втором этапе электрон распространяется в поле по замкнутой траектории, набирая определенную энергию; на третьем этапе электрон, возвращаясь к атомному остову, упруго рассеивается на нем, образуя пик в спектре ЭАР. Дополнительный квазиклассический анализ эффектов плато в спектре ЭАР был дан в работе [51].

В работе [52] было предложено обобщение метода эффективного радиуса [53, 54] на столкновительные процессы в сильном световом поле. В этом подходе эффекты сильного поля учитываются точно, а эффекты атомного потенциала учитываются посредством специальных граничных условий для волновой функции на малых расстояниях. Основными атомными параметрами в этом методе являются длина рассеяния (щ) и эффективный радиус (п), где I - орбитальный момент, для которого (единственная) парциальная фаза рассеяния ё^Е) предполагается отличной от нуля. В случае / = 0 и го = 0 метод эффективного радиуса эквивалентен потенциалу нулевого радиуса. На основе метода эффективного радиуса в работе [52] исследовано усиление сечений рассеяния при открытии (закрытии) порога вынужденного тормозного испускания, т.е. при энергиях электрона, кратных энергии лазерного фотона. Резонансные явления в ЭАР в световом поле с линейной поляризацией были исследованы в работе [21]. В этой работе было показано, что при резонансных энергиях электрона в процессе ЭАР происходит временный захват налетающего электрона в связанное состояние отрицательного иона с его последующим многофотонным фотоотрывом. Поэтому в этом случае форма спектра рассеянных электронов совпадает со спектром надпорогового отры-

ва (надпороговой ионизации). Случай рассеяния электронов в эллиптически поляризованном поле рассмотрен в [55], где показано, что даже в случае круговой поляризации светового поля эффекты плато в ЭАР не пропадают, как, например, в случае надпороговой ионизации и генерации гармоник.

Несмотря на значительный объем теоретических исследований ЭАР в сильном световом поле, эксперименты по ЭАР носят пока эпизодический характер, что вызвано объективными трудностями при проведении эксперимента по ЭАР (например, недостаточной статистикой при детектировании рассеянных электронов, отсутствием достаточно коллимированных электронных пучков и т.д.). Поэтому существующие эксперименты [40, 56, 57] ограничиваются лишь наблюдением рассеянных электронов с небольшой энергией.

Электрон, сталкиваясь с атомом в присутствии сильного светового поля, может эффективно преобразовывать энергию большого числа лазерных фотонов в энергию спонтанного фотона [4]. В частности, такое преобразование энергии происходит при электрон-атомном фотоприлипании или электрон-ионной фоторекомбинации, при которых испускание спонтанного фотона сопровождается поглощением п-лазерных фотонов с одновременным формированием отрицательного иона или нейтрального атома. Хотя экспериментальное исследование этих процессов началось совсем недавно [11], соответствующие теоретические исследования ведутся уже более десятилетия. Первые теоретические исследования ЭАФП и ЭФР основывались на приближении сильного поля [12, 13, 58], которое состоит в пренебрежении эффектами атомного потенциала в волновой функции электрона в непрерывном спектре. Исследования в этих работах показали, что даже в низшем порядке по атомному потенциалу сечение ЭАФП (ЭФР) как функция энергии спонтанного фотона или числа п поглощенных лазерных фотонов остается в среднем постоянным в достаточно широкой области значений п (область плато). Размеры этой области, а также форма спектра в области плато могут быть описаны исходя

из классических представлений о движении электрона в световом поле [59]. Используя приближение сильного поля, в работе [43] рассмотрено угловое распределение и поляризационные характеристики спонтанных фотонов при ЭФР. В частности, показано, что в лазерном поле возможна рекомбинация в основное состояние, сопровождаемая излучением эллиптически поляризованного фотона, поляризация которого зависит от угла между начальным импульсом электрона и поляризацией лазерного поля. Релятивистское обобщение приближения сильного поля для процесса рекомбинации дано в [60].

Перечисленные выше результаты для ЭФР были получены в низшем порядке по атомному потенциалу, однако существует целый ряд эффектов, описание которых требует учета эффектов высшего порядка по атомному потенциалу. Одним из таких эффектов является эффект высокоэнергетического плато в спектрах атомных фотопроцессов в сильном лазерном поле. Этот эффект обусловлен возможностью возвращения электрона к атомному остову осциллирующим лазерным полем, в результате чего электрон может преобразовать набранную в поле энергию в жесткий спонтанный фотон (генерация высших гармоник или фоторекомбинация), либо перерассеяться на атомном остове и образовать высокоэнергетический пик в спектре надпороговой ионизации. Качественная модель перерассеяния на основе законов классической механики была предложена в начале 90-х г. XX века [8, 61, 62] и позволила оценить границы высокоэнергетических плато в спектрах генерации высших гармоник и надпороговой ионизации. Поправки высшего порядка по атомному потенциалу в борновском приближении в ЭФР были исследованы в работе [14] (см. также [4, 63]). Как было показано в [14], учет этих поправок (или эффектов перерассеяния) позволяет дать качественное объяснение второму, высокоэнергетическому плато в спектре ЭАФП и ЭФР [14, 24].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Желтухин, Александр Николаевич

4.4. Выводы к четвертой главе

В этой главе представлен анализ ЭФР/ЭАФП при резонансных энергиях электрона. Получена общая параметризация сечения фоторекомбинации вблизи ^-фотонного резонанса и установлены следующие результаты: (1) Возрастание (на 1-2 порядка) сечения ЭФР/ЭАФП при резонансных энергиях электрона Е(2) асимметрия профиля сечения ЭФР/ЭАФП, обусловленная интерференцией потенциальной и резонансной частей амплитуды ЭФР/ЭФАП; (3) совпадение формы выскоэнергетического плато в спектре ЭФР/ЭАФП с формой спектра генерации гармоник. Получено квазиклассическое выражение для сечения ЭАФП с учетом резонансных эффектов и показано, что оно может быть записано в виде произведения сечения фоторекомбинации в отсутствие светового поля и «волнового» пакета, явный вид которого существенно зависит от структуры атомной мишени.

Заключение

В настоящей диссертации исследованы электрон-атомное рассеяние и фоторекомбинация в сильном монохроматическом лазерном поле. Для численных расчетов и аналитических оценок использован метод эффективного радиуса для электрона в короткодействующем потенциале и лазерном поле [52, 54], позволяющий непертурбативным образом учесть взаимодействие электрона с атомным потенциалом. В работе получены аналитические формулы для сечений, в значительной степени аналогичные полученным ранее для сечений генерации высших гармоник и надпороговой ионизации [19, 20]. Эти результаты позволяют проводить количественные оценки сечений исследованных процессов, а также дают последовательное квантово-механическое обоснование классического «трехступенчатого» сценария электрон-атомного рассеяния и фоторекомбинации электронов в сильном лазерном поле [10, 14]: «упругое» столкновение электрона с атомом, приводящее к повороту начального импульса электрона вдоль направления поляризации поля (1 этап), возвращение электрона к атому осциллирующим лазерным полем (2 этап), второй акт упругого рассеяния (перерассеяние) в случае ЭАР или фоторекомбинация в случае ЭФР (3 этап). Установлено наличие быстро осциллирующей интерференционной структуры в высокоэнергетической части спектра ЭФР, обусловленной интерференцией в квантовой амплитуде процесса двух парциальных амплитуд, соответствующих двум возможным парам классических траекторий, по которым движется электрон на втором этапе трехступенчатого сценария фоторекомбинации: эти две пары траекторий различаются максимальной энергией, набираемой электроном в поле непосредственно перед излучением спонтанного фотона, вследствие того, что после упругого столкновения с атомом (1 этап) импульс электрона может быть направлен как вдоль направления векторного потенциала лазерного поля, так и в противоположном направлении. Особая чувствительность указанной интерференционной структуры к деталям атомного потенциала объясняется тем, что при упругом столкновении в поле (1 этап) энергия электрона эффективно уменьшается, если начальный импульс электрона направлен вдоль направления электрического поля, а низкоэнергетическое рассеяние наиболее чувствительно к эффектам атомного потенциала. Установлено аналогичное резонансным явлениям в ЭАР [21] резонансное увеличение (на 1-2 порядка) сечения фотоприлипания при значениях начальной энергии Е электрона, удовлетворяющих условию Е + ир + тЬси = Еь, где 11р - средняя колебательная энергия электрона в лазерном поле, Еь < 0 - энергия связанного состояния иона, т - целое число. Получена общая параметризация сечений фоторекомбинации и фотоприлипания для близких к резонансной энергий налетающего электрона, аналогичная формуле Фано для сечения фотоионизации с резонансом на автоионизационном состоянии. Показано, что в резонансном случае форма спектра фоторекомбинации совпадает (с точностью до множителя) с формой спектра генерации высших гармоник лазерного излучения связанным электроном при той же частоте и интенсивности лазерного поля, что и в случае ЭФР. Резонансные усиления сечений ЭФР могут облегчить экспериментальное наблюдение модификации электронной фоторекомбинации лазерным полем. Структура высокоэнергетического плато в спектре фоторекомбинации более чувствительна к эффектам атомного потенциала, чем в других нелинейных фотопроцессах, что должно стимулировать аналогичные [89-91] эксперименты по извлечению информации об атомной динамике из спектра фоторекомбинации в сильном лазерном поле.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Желтухин, Александр Николаевич, 2012 год

Литература

[1] Krausz, F. Attosecond physics / F. Krausz, M. Ivanov // Review of Modern Physics. - 2009. - Vol. 81. - Pp. 163-234.

[2] L'Huillier, A. Theoretical aspects of intense field harmonic generation / A. L'Huillier, K. J. Schafer, К. C. Kulander // Journal of Physics В.— 1991. - Vol. 24. - Pp. 3315-3341.

[3] Burnett, K. Atoms in ultra-intense laser fields / K. Burnett, V. C. Reed, P. L. Knight // Journal of Physics B. - 1993. - Vol. 26. - Pp. 561-598.

[4] Milosevic, D. B. Scattering and reaction processes in powerfull laser fields / D. B. Milosevic, F. Ehlotzky // Advances in Atomic, Molecular, and Optical Physics. - 2003. - Vol. 49. - Pp. 373-532.

[5] Above threshold ionization: From classical features to quantum effects / W. Becker, F. Grasbon, R. Kopold et al. // Advances in Atomic, Molecular, and Optical Physics. ~ 2002. - Vol. 48. - Pp. 35-98.

[6] Becker, A. Intense-field many-body S-matrix theory / A. Becker, F. H. M. Faisal // Journal of Physics B. - 2005. - Vol. 38. - P. R1-R56.

[7] Попов, В. С. Туннельная и многофотонная ионизация атомов и ионов в сильном лазерном поле (теория келдыша) / В. С. Попов // Успехи физических наук. - 2004. - Т. 174, № 9. - С. 921-951.

[8] Corkum, Р. В. Plasma perspective on strong field multiphoton ionization / P. B. Corkum // Physical Review Letters.— 1993.— Vol. 71.— Pp. 1994-1997.

[9] Yang, B. Above threshold ionization beyond the high harmonic cutoff /

В. Yang, L. F. DiMauro, К. C. Kulander // Physical Review Letters.— 1993,- Vol. 70. — Pp. 1599-1602.

[10] Эффекты плато в спектрах электрон-атомного рассеяния в сильном лазерном поле / Н. JI. Манаков, А. Ф. Старас, А. В. Флегель, М. В. Фролов // Письма в ЖЭТФ. - 2002. - Т. 76, № 5. - С. 316-321.

[11] Shuman, Е. S. Multiphoton assisted recombination / Е. S. Shuman, R. R. Jones, T. F. Gallagher // Physical Review Letters. — 2008. — Vol. 101.- P. 263001.

[12] Jaroii, A. Stimulated radiative recombination and x-ray generation / A. Jaron, J. Kaminski, F. Ehlotzky // Physical Review A. — 2000. — Vol. 61. — P. 023404.

[13] Kuchiev, M. Y. Multiphoton radiative recombination of electron assisted by a laser field / M. Y. Kuchiev, V. N. Ostrovsky // Physical Review A. — 2000,-Vol. 61.-P. 033414.

[14] Milosevic; D. B. Rescattering effects in soft-x-ray generation by laser-assisted electron-ion recombination / D. B. Milosevic, F. Ehlotzky // Physical Review A. - 2002. - Vol. 65. - P. 042504.

[15] Strong-field rescattering physics — self-imaging of a molecule by its own electrons / C. D. Lin, A.-T. Le, Z. Chen et al. // Journal of Physics В.— 2010. — Vol. 43. — P. 122001.

[16] Келдыш, Л. В. Ионизация в поле сильной электромагнитной волны / JI. В. Келдыш // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1964. - Т. 47. - С. 1945.

[17] Бункин, Ф. В. Тормозной эффект в сильном поле излучения / Ф. В. Бун-кин, М. В. Фёдоров // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1965. - Т. 49. - С. 1215-1221.

[18] Kroll, N. М. Charged-particle scattering in the presence of a strong electromagnetic wave / N. M. Kroll, К. M. Watson // Physical Review A.-1973. - Vol. 8. - Pp. 804-809.

[19] Analytic formulae for high harmonic generation / M. V. Frolov, N. L. Man-akov, T. S. Sarantseva, A. F. Starace // Journal of Physics B. — 2009. — Vol. 42. — P. 035601.

[20] Frolov, M. V. Analytic formulas for above-threshold ionization or detachment plateau spectra / M. V. Frolov, N. L. Manakov, A. F. Starace // Physical Review A. - 2009. - Vol. 79. - P. 033406.

[21] Plateau structure in resonant laser-assisted electron-atom scattering / A. V. Flegel, M. V. Frolov, N. L. Manakov, A. F. Starace // Physical Review Letters. - 2009. - Vol. 102. - P. 103201.

[22] Fano, U. Spectral distribution of atomic oscillator strengths / U. Fano, J. W. Cooper // Reviews of Modern Physics.— 1968.— Vol. 40.— Pp. 441—507.

[23] Analytic description of the high-energy plateau in laser-assisted electron-atom scattering / A. V. Flegel, M. V. Frolov, N. L. Manakov, A. N. Zheltukhin // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. - 2009. - Vol. 42. - P. 241002.

[24] Эффекты атомной структуры и интерференционные явления в спектре электронной рекомбинации в сильном лазерном поле / А. Н. Желтухин,

H. JI. Манаков, А. В. Флегель, М. В. Фролов // Письма в ЖЭТФ. 2011. - Т. 94, № 8. - С. 641-646.

[25] Resonant phenomena in laser-assisted radiative attachment or recombination / A. N. Zheltukhin, A. V. Flegel, M. V. Frolov et al. // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. — 2012. — Vol. 45. — R 081001.

[26] Радиационная электронная рекомбинация в сильном лазерном поле / А. Н. Желтухин, Н. Л. Манаков, А. В. Флегель, М. В. Фролов // Труды XXIV-ro Съезда по спектроскопии. — Т. 1. — Москва, Троицк: Тровант, 2010,- С. 173-174.

[27] Atomic potential effects in laser-assisted radiative recombination of electron. / M. V. Frolov, A. V. Flegel, N. L. Manakov, A. N. Zheltukhin // 10th European Conf. on Atoms, Molecules and Photons (ECAMP X) 4-9July 2010, Salamanca, Spain: Book of Abstracts. — 2010.— P. 164.

[28] Atomic potential effects in laser-assisted radiative recombination of electron. / M. V. Frolov, A. V. Flegel, N. L. Manakov, A. N. Zheltukhin // 19th Int. Laser Physics Workshop (LPHYS'19): Book of Abstracts. - 2010. — P. 108.

[29] Laser-assisted recombination of slow electrons: Analytical treatment / A. N. Zheltukhin, M. V. Frolov, A. V. Flegel, N. L. Manakov // 20th International Laser Physics Workshop (LPHYS' 11 ), July 11-15, 2011, Sarajevo, Bosnia and Herzegovina: Book of Abstracts. — 2011. — P. 2.1.69.

[30] Atomic potential effects in laser-assisted radiative recombination of electron. / M. V. Frolov, A. V. Flegel, N. L. Manakov, A. N. Zheltukhin //

Int. Symp. on Frontiers on Nonlinear Physics (FNP-2010): Proceedings of Conference. — 2010. — Pp. 165-166.

[31] Базъ, А. И. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов. — 2 изд. — Москва: Наука, 1971. — С. 544.

[32] Ньютон, Р. Теория рассеяния волн и частиц / Р. Ньютон. — Москва: Мир, 1969.

[33] Zewail, А. Н. 4D ultrafast electron diffraction, crystallography, and microscopy / A. H. Zewail // Annual Review of Physical Chemistry. — 2006. — Vol. 57. - Pp. 65-103.

[34] Shao, H.-C. Detecting electron motion in atoms and molecules / H.-C. Shao, A. F. Starace // Physical Review Letters. - 2010. - Vol. 105. — P. 263201.

[35] Силин, В. П. Аномальная кинетика плазмы в поле мощного излучения / В. П. Силин // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1997. - Т. 111, № 2. - С. 478.

[36] Буренков, И. А. Многофотонный вынужденный тормозной эффект для широких в импульсном представлении электронных волновых пакетов в поле ультракороткого лазерного импульса / И. А. Буренков, О. В. Тихонова // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2010. - Т. 137, № 6. - С. 1070-1089.

[37] Kaminski, J. Z. Relativistic generalisation of the Kroll-Watson formula / J. Z. Kaminski // Journal of Physics A: Mathematical and General.— 1985. — Vol. 18.-P. 3365.

[38] Zhou, F. Bremsstrahlung in laser assisted scattering / F. Zhou, L. Rosenberg // Physical Review A. - 1993. - Vol. 48. - Pp. 505-515.

[39] Jaron, A. Kroll-Watson low-frequency approximation revisited / A. Jarori, J. Kaminski // Laser Physics. - 1999. - Vol. 9. — Pp. 81-87.

[40] Wallbank, B. Laser-assisted elastic electron-atom collisions: low electron energy and small scattering angle / B. Wallbank, J. K. Holmes // Journal of Physics B. - 1994. - Vol. 27. - P. 1221.

[41] Milosevic, B. B. Off-shell low-frequency approximation for potential scattering in a laser field: comparison with the Wallbank and Holmes experiments / D. B. Milosevic, F. Ehlotzky // Journal of Physics B. - 1997. - Vol. 30. -P. 2999.

[42] Gauge aspects in multichannel multiphoton ionization / C. Leone, S. Bivona, R. Burlon et al. // Physical Review A. 1989.— Vol. 40.— Pp. 1828-1837.

[43] Polarization and angular distribution of the radiation emitted in laser-assisted recombination / S. Bivona, G. Bonanno, R. Burlon, C. Leone // Physical Review A. - 2007. - Vol. 76. - P. 031402.

[44] Kornev, A. S. Testing of Coulomb-Volkov functions / A. S. Kornev, B. A. Zon // Journal of Physics B. - 2002. - Vol. 35. - P. 2451.

[45] Quantum calculations of correlated electron-ion collisions in a strong laser field / G. Rascol, H. Bachau, V. T. Tikhonchuk et al. // Physics of Plasmas. - 2006. - Vol. 13. - P. 103108.

[46] Bandrauk, A. D. Quantum Dynamic Imaging: Theoretical and Numerical Methods / A. D. Bandrauk, M. Ivanov. — Springer Science+Business Media, 2011.- P. 236.

[47] Hu, S. X. Intense laser-induced recombination: The inverse above-threshold

ionization process / S. X. Hu, L. A. Collins // Physical Review A. — 2004. — Jul. - Vol. 70. - P. 013407.

[48] Ни, S. X. Phase control of the inverse above-threshold-ionization process with few-cycle pulses / S. X. Hu, L. A. Collins // Physical Review A. — 2004,-Vol. 70. — P. 035401.

[49] Berson, I. J. Multiphoton ionization and stimulated bremsstrahlung radiation in the case of short-range potentials / I. J. Berson // Journal of Physics B. - 1975. - Vol. 8. - Pp. 3078-3088.

[50] Демков, Ю. H. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике / Ю. Н. Демков, В. П. Островский. — Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1975. — С. 240.

[51] Cerkic, A. Plateau structures in potential scattering in a strong laser field / A. Cerkic, D. B. Milosevic // Physical Review A. — 2004,- Vol. 70.-P. 053402.

[52] Пороговые явления в электрон-атомном рассеянии в лазерном поле / Н. Л. Манаков, А. Ф. Старас, А. В. Флегель, М. В. Фролов // Письма в ЖЭТФ. - 2008. - Т. 87, № 2. - С. 99-104.

[53] Model-independent quantum approach for intense laser detachment of a weakly bound electron / M. V. Frolov, N. L. Manakov, E. A. Pronin, A. F. Starace // Physical Review Letters. - 2003. - Vol. 91. - P. 053003.

[54] Frolov, M. V. Effective-range theory for an electron in a short-range potential and a laser field / M. V. Frolov, N. L. Manakov, A. F. Starace // Physical Review A. - 2008. - Vol. 78. - P. 063418.

[55] Circularly polarized laser field-induced rescattering plateaus in elec-

tron-atom scattering / A. V. Flegel, M. V. Frolov, N. L. Manakov,

A. F. Starace // Physics Letters A. - 2005. - Vol. 334. - Pp. 197-204.

[56] Direct observation of multiphoton processes in laser-induced free-free transitions / A. Weingartshofer, J. K. Holmes, G. Caudle et al. // Physical Review Letters. - 1977. - Vol. 39. - Pp. 269-270.

[57] Kanya, R. Observation of laser-assisted electron-atom scattering in femtosecond intense laser fields / R. Kanya, Y. Morimoto, K. Yamanouchi // Physical Review Letters. - 2010. - Vol. 105. - P. 123202.

[58] Kaminski, J. Z. Electron-atom scattering and electron-ion recombination in a powerful laser field / J. Z. Kaminski, F. Ehlotzky // Journal of Modern Optics. - 2003. - Vol. 50. - Pp. 621-642.

[59] Jaron, A. Bohr's correspondence principle and x-ray generation by laser-stimulated electron-ion recombination / A. Jaron, J. Z. Kaminski,

F. Ehlotzky // Physical Review A. - 2001. - Vol. 63. - P. 055401.

[60] Muller, C. Relativistic electron-ion recombination in the presence of an intense laser field / C. Muller, A. B. Voitkiv, B. Najjari // Journal of Physics

B. - 2009. - Vol. 42. - P. 221001.

[61] Кучиев, M. Ю. Атомная антенна / M. Ю. Кучиев // Письма в ЖЭТФ. 1987. - Т. 45, № 7. - С. 319-321.

[62] Rescattering effects in above-threshold ionization: a classical model /

G. G. Paulus, W. Becker, W. Nicklich, H. Walther // Journal of Physics B. - 1994. - Vol. 27. - P. L703.

[63] Milosevic, D. B. Laser-assisted electron-ion recombination: emitted photons spectra and recollision effects / D. B. Milosevic, F. Ehlotzky // Journal of Modern Optics. - 2003. - Vol. 50. - Pp. 657-671.

[64] Зельдович, Я. Б. Квазиэнергия квантовой системы, подвергающейся периодическому воздействию / Я. Б. Зельдович // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1966. — Т. 51. — С. 1492-1495.

[65] Ритус, В. И. Сдвиг и расщепление атомных уровней полем электромагнитной волны / В. И. Ритус // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1966. — Т. 51. — С. 1544-1549.

[66] Зельдович, Я. Б. Квазиэнергия квантово-механической системы в периодическом поле / Я. Б. Зельдович // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1967. — Т. 26. — С. 1006-1018.

[67] Зельдович, Я. Б. Рассеяние и излучение квантовой системой в сильной электромагнитной волне / Я. Б. Зельдович // Успехи физических наук. - 1973. - Т. 110. - С. 139-151.

[68] Sambe, Н. Steady states and quasienergies of a quantum-mechanical system in an oscillating field / H. Sambe // Physical Review A. — 1973. — Vol. 7. — Pp. 2203-2213.

[69] Зельдович, Я. Б. Квазиэнергия системы при воздействии периодического внешного возмущения / Я. Б. Зельдович, Н. JI. Манаков, JL П. Рапопорт // Успехи физических наук. — 1975.— Т. 117.— С. 563-565.

[70] Ландау, Л. Д. Курс теоретической физики: Учебное пособие для вузов. В 10 т. Т.З. Квантовая механика (нерелятивистская теория) / J1. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - 6 изд. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - С. 800.

[71] Андреев, С. 77. Слабосвязанные состояния электрона во внешнем электромагнитном поле / С. П. Андреев, Б. М. Карнаков, В. Д. Мур // Письма в ЖЭТФ. - 1983. Т. 37. - С. 155-157.

[72] Спектр слабосвязанных состояний частицы во внешних электрических полях / С. П. Андреев, Б. М. Карнаков, В. Д. Мур, В. А. Полунин // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1984. — Т. 86, № 3. - С. 866-881.

[73] Андреев, С. П. Энергетический спектр частицы при взаимодействии с сильно несоизмеримыми радиусами / С. П. Андреев, Б. М. Карнаков, В. Д. Мур // Теоретическая и математическая физика. — 1985. — Т. 64.-С. 287-297.

[74] Радциг, А. А. Параметры атомов и атомных ионов / А. А. Радциг, Б. М. Смирнов, — Москва : Энергоатомиздат, 1986.— С. 343.

[75] Демков, Ю. Н. Слабосвязанная частица с ненулевым орбитальным моментом в электрическом и магнитном поле / Ю. Н. Демков, Г. Ф. Дру-карев // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1981. - Т. 81, № 4. - С. 1218-1231.

[76] Манаков, Н. Л. Квазистационарные квазиэнергетические состояния и сходимость рядов теории возмущений в монохроматическом поле / Н. JI. Манаков, А. Г. Файнштейн // Теоретическая и математическая физика. - 1981. - Т. 48, № 3. - С. 385—395.

[77] Manakov, N. L. Invariant representations of finite rotation matrices and some applications / N. L. Manakov, A. V. Meremianin, A. F. Starace // Physical Review A. - 1998. - Vol. 57. - Pp. 3233-3244.

[78] Cerkic, A. Interferences of real trajectories and the emergence of quantum features in electron-atom scattering in a strong laser field / A. Cerkic, D. B. Milosevic // Physical Review A. 2006. - Vol. 73. - P. 033413.

[79] Собелъман, И. И. Введение в теорию атомных спектров / И. И. Собель-ман. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 1963. - С. 640.

[80] Manakov, N. L. Atoms in a laser field / N. L. Manakov, V. D. Ovsiannikov, L. P. Rapoport // Physics Reports. - 1986. - Vol. 141. - P. 319.

[81] Potvliege, R. Nonperturbative treatment of multiphoton ionization within the Floquet framework / R. Potvliege, R. Shakeshaft // Atom in intense laser fields / Ed. by M. Gavrila. — New Yourk: Academic, 1992. — Pp. 373-434.

[82] Interaction of laser radiation with a negative ion in the presence of a strong static electric field / N. L. Manakov, M. V. Frolov, A. F. Starace, I. I. Fabrikant // Journal of Physics B. - 2000. - Vol. 33. - P. R141.

[83] Description of harmonic generation in terms of the complex quasiener-gy. I. general formulation / M. V. Frolov, A. V. Flegel, N. L. Manakov, A. F. Starace // Physical Review A. - 2007. - Vol. 75. - P. 063407.

[84] Манаков, H. JI. Распад слабосвязанного уровня в монохроматическом поле / Н. Л. Манаков, А. Г. Файнштейн // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1980. — Т. 79. — С. 751-762.

[85] Варшалович, Д. А. Квантовая теория углового момента: аппарат неприводимых тензоров, сферические функции, Snj-символы / Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский. — Ленинград : Наука, 1975. — С. 440.

[86] Strong field detachment of a negative ion with non-zero angular momentum: application to F- / M. V. Frolov, N. L. Manakov, E. A. Pronin, A. F. Starace // Journal of Physics B. - 2003. - Vol. 36. - Pp. L419-L426.

[87] Description of harmonic generation in terms of the complex quasienergy. II. Application to time-dependent effective range theory / M. V. Frolov, A. V. Flegel, N. L. Manakov, A. F. Starace // Physical Review A. - 2007. -Vol. 75. - P. 063408.

[88] Федорюк, M. В. Метод перевала / M. В. Федорюк. — Москва: Наука, 1977. - С. 368.

[89] Retrieving photorecombination cross sections of atoms from high-order harmonic spectra / S. Minemoto, T. Umegaki, Y. Oguchi et al. // Physical Review A. 2008. - Vol. 78. - P. 061402.

[90] Observation of electronic structure minima in high-harmonic generation / H. J. Wörner, H. Niikura, J. B. Bertrand et al. // Physical Review Letters. — 2009. Vol. 102.-P. 103901.

[91] Experimental retrieval of target structure information from laser-induced rescattered photoelectron momentum distributions / M. Okunishi, T. Mor-ishita, G. Prumper et al. // Physical Review Letters. — 2008. — Vol. 100. — P. 143001.

[92] Kutzner, M. Extended photoionization calculations for xenon / M. Kutzner, V. Radojevic, H. Kelly // Physical Review A. - 1989. - Vol. 40. - P. 5052.

[93] Quantitative rescattering theory for laser-induced high-energy plateau photoelectron spectra / Z. Chen, A.-T. Le, T. Morishita, C. D. Lin // Physical Review A. - 2009. - Vol. 79. - P. 033409.

[94] Channel-closing-induced resonances in the above-threshold ionization plateau / G. G. Paulus, F. Grasbon, H. Walther et al. // Physical Review A. - 2001. - Vol. 64. - P. 021401.

[95] Манатов, Н. Л. Пороговые явления в сечениях атомных фотопроцессов в сильном лазерном поле / Н. Л. Манаков, М. В. Фролов // Письма в ЖЭТФ. - 2006. - Т. 83. - С. 630 634.

[96] Laser-induced recollision phenomena: Interference resonances at channel closings / S. V. Popruzhenko, P. A. Korneev, S. P. Goreslavski, W. Becker // Physical Review Letters. - 2002. - Vol. 89. - P. 023001.

[97] Analytic description of the high-energy plateau in harmonic generation by atoms: Can the harmonic power increase with increasing laser wavelengths? / M. V. Frolov, N. L. Manakov, T. S. Sarantseva et al. // Physical Review Letters. - 2009. - Vol. 102. - P. 243901.

[98] Фейнман, P. Квантовая механика и интегралы по траекториям / Р. Фей-нман, А. Хибс. - Москва: Мир, 1968. - С. 382.

[99] Liang, Y. Numerical simulation of strong-field electron spectra of Xe in the rescattering region / Y. Liang // Physical Review A. — 2010. — Vol. 82. — P. 055403.

[100] High-order above-threshold ionization beyond the first-order born approximation / A. Cerkic, E. Hasovic, D. B. Milosevic, W. Becker // Physical Review A. 2009. - Vol. 79. - P. 033413.

[101] Абрамовиц, M. Справочник по специальным функциям с формулами графиками и таблицами / М. Абрамовиц, И. Стиган. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 1979.- С. 832.

[102] Gnu scientific library, http://www.gnu.org/software/gsl/.

[103] Ильина, В. А. Численные методы для физиков-теоретиков. II. / В. А. Ильина, П. К. Силаев. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.— С. 118.