Электронная зонная структура и теплопроводность двухслойных углеродных наносистем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Чалин Дмитрий Вадимович

• Чалин Дмитрий Вадимович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Чалин Дмитрий Вадимович

Введение

1 Электронная зонная структура двухслойного графена

1.1 Приближение сильно связанных электронов для однослойного

графена

1.2 Структура и трансляционная симметрия соразмерного двухслойного графена

1.3 Теория сложения зон для соразмерного двухслойного графена

1.4 Эквивалентный подход к построению полного гамильтониана соразмерного двухслойного графена

1.5 Метод эффективных гамильтонианов

1.6 Муаровые узоры в несоразмерном двухслойном графене

1.7 Эффективный гамильтониан несоразмерного бислоя

1.8 Матричные элементы межслоевого взаимодействия в бесконечном несоразмерном бислое

2 Электронная зонная структура и оптические переходы в двустенных углеродных нанотрубках

2.1 Прямое и обратное пространства в одностенных углеродных нанотрубках

2.2 Обобщение метода эффективных гамильтонианов на случай несоразмерных ДУНТ

2.3 Матричные элементы межслоевого взаимодействия в несоразмерных ДУНТ

2.4 Метод приближенного расчета межслоевых матричных элементов

2.5 Прямые электронные переходы в ДУНТ

2.6 Расчет энергий оптических переходов в ДУНТ

2.7 Межтрубочные оптические переходы в ДУНТ

2.8 Дипольные матричные элементы ДУНТ

2.9 Спектры рэлеевского рассеяния ДУНТ (10,6)@(14,13) и (14,8)@(19,14)

2.10 Связь муаровых узоров и межтрубочных переходов в ДУНТ

3 Баллистическая теплопроводность одностенных и двустенных углеродных нанотрубок

3.1 Минимальная модель теплопроводности УНТ

3.2 Континуальная модель низкочастотной динамики ОУНТ и ДУНТ, взаимодействующих с окружением

3.3 Численные оценки теплопроводности углеродных нанотрубок

3.3.1 Теплопроводность свободной ОУНТ

3.3.2 Теплопроводность свободной ДУНТ

3.3.3 Влияние окружения на теплопроводность ОУНТ и ДУНТ

3.4 Объемные материалы на основе УНТ: сравнение теории с экспериментом и перспективы применения этих материалов

Заключение

Приложение А. Сравнение теоретических и экспериментальных энергий

оптических переходов

Приложение Б. Перестройка зонной структуры в ДУНТ

Список цитируемой литературы

Список основных публикаций автора

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электронная зонная структура и теплопроводность двухслойных углеродных наносистем»

Актуальность темы

Графен представляет [1] собой лист толщиной в один атом, яр2-гибридизованные атомы углерода которого образуют сотовую гексагональную решетку. Этот материал, обладающий многими уникальными физическими свойствам [2], вызвал огромный интерес после того, как в 2004 году был впервые получен [1] методом микромеханического отшелушивания графита. В свою очередь, в двуслойном графене (ДСГ) по сравнению с его монослоем открываются [3] новые возможности для контроля и модификации электронных, оптических и механических свойств, например, изменяя угол относительного разворота между слоями, межслоевое расстояние, а также тип упаковки слоев.. В частности, варьируя угол относительного разворота между листами в двухслойном графене, можно контролировать [4 - 6] число и положение особенностей Ван Хова (ОВХ) в плотности электронных состояний. Недавние эксперименты показывают [7 - 9], что в двухслойном графене с очень малыми углами разворота между слоями (так называемыми «магическими углами») возможен моттовский фазовый переход проводник-изолятор, а также существуют сверхпроводящие фазы.

Несмотря на большой прогресс в изучении планарных несоразмерных систем, таких как ДСГ [7 - 16], и других плоских бислойных структур на основе графена, нитрида бора и дисульфида молибдена [17-20], электронные свойства двустенных углеродных нанотрубок (ДУНТ) остаются малоизученными, а количество работ, посвященных теоретической стороне этой проблемы, едва превышает два десятка. Так, например, к настоящему моменту (помимо теории развиваемой здесь) предложена лишь одна теория зонной структуры ДУНТ [21]. Сложность построения такой теории частично связана с тем, что подавляющее большинство ДУНТ являются несоразмерными [22], т. е. в данной наносистеме невозможно выделить элементарную ячейку. По этим же причинам для теоретического описания оптических спектров ДУНТ (спектров поглощения или

рэлеевского рассеяния света) чаще всего применяют теорию возмущения [23]. В рамках такого подхода спектр ДУНТ описывается как простая суперпозиция спектров одностенных углеродных нанотрубок (ОУНТ), образующих ДУНТ, с небольшим сдвигом спектральных линий, который обусловлен слабым ван-дер-ваальсовым взаимодействием между внутренним и внешним слоем [23-25].

Подобная теория, однако, не позволяет объяснить оптические спектры целого ряда ДУНТ, в частности, нанотрубок (12,12)@(21,13) [23], (15,13)@(21,17), (10,6)@(14,13) [26] и (12,11)@(17,16) [27]. В работах [27, 28] было высказано предположение, что в ДУНТ с определенной геометрией реализуется сильное межслоевое взаимодействие, что приводит к значительной перестройке электронного спектра нанотрубки. В частности, авторы работы [27] таким образом попытались объясняли «аномальные» пики в спектре поглощения ДУНТ (12,11)@(17,16). Отметим, однако, что в рамках применяемой теории зонной структуры [21] авторы работы [27] смогли лишь качественно описать спектр ДУНТ (12,11)@(17,16), с погрешностью в расчетах энергий электронных переходов зачастую превышающую 100 мэВ.

В диссертации помимо зонной структуры и электронных свойств двухслойного графена и ДУНТ также рассматривается теплопроводность одно-и двустенных углеродных нанотрубок. Теоретическому исследованию теплопроводности индивидуальных ОУНТ и ее зависимости от температуры посвящено несколько десятков работ [29 - 43]. Для низкотемпературной области (при температуре менее 100 К) общепризнанно, что основной вклад в теплопроводность дают фононы [29 - 42], а индивидуальные бездефектные ОУНТ являются [44] практически идеальными проводниками тепла, в которых работает так называемый баллистический (или ландауэровский) механизм теплопроводности [45, 46]. Данный механизм предполагает большую (по сравнению с длиной УНТ) длину свободного пробега фононов. При этом беспрепятственно распространяющиеся по УНТ фононы рассеиваются лишь на ее концах. Однако так как концентрация фононов экспоненциально растет с температурой, то возрастает и вероятность рассеяния этих квазичастиц при

движении внутри УНТ. Поэтому баллистический механизм распространения тепла может реализоваться только при низких температурах. Естественно, с ростом температуры в более длинных УНТ этот механизм прекращает работать раньше, чем в более коротких. По разным оценкам, длина свободного пробега фононов в нанотрубках может составлять от десятков и сотен нанометров [36, 47] до нескольких десятков микрометров [48]. Большим длинам свободного пробега фононов в нанотрубках при низких температурах может способствовать два фактора.

Во-первых, при одинаковом росте температуры в одномерной системе и системе с большей размерностью, в одномерной системе среднее количество фононов будет возрастать медленнее [44]. Во-вторых, в одномерном случае оказывается сложнее удовлетворить законам сохранения энергии и импульса при рассеянии фононов, частоты которых удовлетворяют [49 - 51] определенным дисперсионным соотношениям. Однако с ростом температуры баллистическая теплопроводность постепенно (раньше или позже) превращается в диффузионную [44], для которой процессы переброса и межфононные взаимодействия являются ключевыми, но сложно учитываемыми факторами. Именно этим объясняется противоречивость известных теоретических результатов, предсказывающих теплопроводность УНТ в высокотемпературной области. В частности, при Т = 300 К теоретические значения коэффициента теплопроводности ОУНТ могут варьироваться [29 - 43] от 29.8 до 10000 Вт/мК.

Тем не менее, даже в относительно простой для построения теоретических моделей низкотемпературной области еще остаются важные нерешенные проблемы. Несмотря на то, что баллистический подход Ландауэра был неоднократно применен [48, 52, 53] для изучения теплопроводности индивидуальных ОУНТ, низкотемпературная теплопроводность двустенных углеродных нанотрубок, насколько нам известно, до сих пор практически не изучена, что, очевидно, связано со сложностью моделирования фононного спектра этих в общем случае несоразмерных систем.

Таким образом, тема диссертации, которая посвящена решению двух важных задач физики конденсированного состояния - моделированию электронной зонной структуры двухслойных углеродных наноматериалов, а также расчету теплопроводности одно- и двустенных углеродных нанотрубок, является актуальной и своевременной.

Цель работы: построение общей теории зонной структуры несоразмерных и соразмерных двухслойных графеновых наносистем, а также расчет низкотемпературной теплопроводности одно- и двустенных углеродных нанотрубок.

Для достижения цели диссертации решались следующие задачи:

• построение полного гамильтониана соразмерного ДСГ в рамках классической теории сложения зон и приближения сильно связанных электронов;

• построение редуцированного базиса волновых функций для написания низкоразмерных эффективных гамильтонианов, корректно описывающих низкоэнергетический спектр соразмерного ДСГ.

• обобщение метода эффективных гамильтонианов на случай несоразмерного ДСГ и несоразмерных ДУНТ;

• расчет энергий оптических переходов в ДУНТ и сравнение их с известными экспериментальными данными;

• развитие континуальной модели УНТ для расчета низкочастотных фононных спектров как свободных нанотрубок, так и взаимодействующих с окружающей средой;

• комбинирование развитой континуальной модели с теорией Ландауэра для расчета низкотемпературной теплопроводности индивидуальных ОУНТ и ДУНТ;

• построение модели баллистической теплопроводности объемного материала на основе УНТ и сравнение расчетов теплопроводности с экспериментальными данными;

Научная новизна. В результате исследований впервые:

• предложен метод эффективных гамильтонианов, применяемый для расчета электронной зонной структуры в несоразмерных двухслойных графеновых наноструктурах;

• продемонстрирован механизм, за счет которого происходит уплощение электронных зон в двухслойном графене при уменьшении относительного угла разворота между слоями;

• предложена и теоретически обоснована концепция межтрубочных электронных переходов в двустенных углеродных нанотрубках;

• предложена модель баллистической теплопроводности для двустенных углеродных нанотрубок

• получены аналитические выражения, описывающие нелинейную часть температурной зависимости теплопроводности одно и двустенных углеродных нанотрубок от температуры, исчезающую при Т ^ 0;

• предложена модель баллистической теплопроводности объемного композитного материала, которая позволяет оценить наибольшую величину теплопроводности композитов на основе углеродных нанотрубок.

Практическая значимость. Полученные результаты и выводы могут быть использованы в комбинации с рэлеевской спектроскопией для создания дополнительных критериев индексации и определения закрученности слоев в двустенных углеродных нанотрубках, а также для изучения электронных, оптических и фононных свойств не только углеродных, но и других двухслойных систем с плоской и цилиндрической геометрией (нанотрубок нитрида бора и дисульфидов переходных металлов), активно исследуемых в последнее десятилетие.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Для расчета низкоэнергетической области электронной зонной структуры длиннопериодического соразмерного двухслойного графена в приближении

сильной связи достаточно учесть взаимодействие лишь 24-х из 4 Т электронных зон, возникающих при сложении обратного пространства бислоя, где целое число Т показывает во сколько раз элементарная ячейка бислоя графена больше ячейки его монослоя.

2. В двустенных углеродных нанотрубках, в которых слои обладают близкими хиральными углами и одинаковой закрученностью, реализуется такая, обусловленная ван-дер-ваальсовым взаимодействием, перестройка электронной зонной структуры, которая разрешает переходы между зонами, происходящими из разных слоев нанотрубки.

3. При очень низких температурах, менее 5 К, главный вклад в баллистическую теплопроводность одностенных и двустенных углеродных нанотрубок дают только 4 фононные моды, являющиеся годстоуновскими при нулевой длине волнового вектора. С повышением температуры до 60 К и соответственным возбуждением более высокочастотных колебаний, доминирующий вклад в теплопроводность нанотрубок дают изгибные и квази-изгибные фононные моды.

4. Низкотемпературная теплопроводность гипотетического наилучшего объемного композитного материала, состоящего из углеродных нанотрубок, будет сопоставима с теплопроводностью алмаза (наилучшего известного объемного проводника тепла) только в том случае, если композит будет состоять из бездефектных нанотрубок со средней длиной по крайней мере 50 мкм.

1 Электронная зонная структура двухслойного графена

Первая работа, посвященная теоретическому описанию электронной зонной структуры графена - монослоя графита, была опубликована еще в 1947 году [54], задолго до создания самого материала [1, 55]. С тех пор был опубликован не один десяток работ [56 - 62], посвященный описанию зонной структуры этого уникального двумерного материала. Сочетая в себе простоту и эффективность, метод сильно связанных электронов остается по сей день самым популярным подходом для расчета дисперсии электронных зон как графена [57], так и других углеродных наносистем [56, 57], включая углеродные нанотрубки.

1.1 Приближение сильно связанных электронов для однослойного графена

В приближении сильно связанных электронов, когда учитывается только взаимодействие между ближайшими атомными обителями, одноэлектронный гамильтониан для графена имеет [56] следующий вид:

является матричным элементом, который описывает взаимодействие между подрешетками графена А и В, у - константа сильной связи (СС), аг и а2 -базисные трансляции графена, q - двумерный волновой вектор, I - мнимая единицы. Собственные энергии гамильтониана (1.1) находятся как Е± = ±1/(^)1, а собственные вектора как

где и \фв) - блоховские волновые функции (ВФ) подрешеток А и В. В координатном представлении эти ВФ записываются как:

(1.1)

№±) = Ш±е-1(рШ,

(1.2)

(1.3)

где ф(г — Ra) - атомная pz-орбиталь, локализованная вблизи узла Ra, N - число атомов в подрешетке а, а = А, В. В выражении (1.3) суммирование производится по всем узлам Ra. Положительный и отрицательный знак в функции (1.2) соответствует состояниями в зоне проводимости (ЗП) и валентной зоне (ВЗ), соответственно, (р = Arg(f/Ifl) - разность фаз между подрешетками. Таким образом, электронные состояния графена можно классифицировать с помощью волнового вектора q и индекса о = ± 1, который различает ЗП (+1) и ВЗ (-1). В рамках описанного формализма можно без дополнительных допущений также рассчитать зонную структуру соразмерного ДСГ, хотя возникающая задача определения собственных значений энергии двухслойного гамильтониана оказывается весьма громоздкой.

1.2 Структура и трансляционная симметрия соразмерного двухслойного

графена

Рассмотрим два наложенных монослоя графена в упаковке типа AA. Пусть один из слоев повернут на угол в. При определенных соразмерных величинах в оба слоя имеют одинаковую подгруппу общих гексагональных трансляций, которая и определяет период двухслойной структуры. Из этой подгруппы традиционно в качестве базиса выбирают две следующие минимальные трансляции [14]:

Сг = ha1 + ка2, С2 = (h + k)at — ка2,

Вектор Сг также называют вектором хиральности, а его компоненты (h, к), представляющие собой взаимно-простые числа, называют индексами хиральности.

Вектору хиральности (h, к) соответствует относительный угол между

„ h2+4hk+k2

слоями 0hk = arccos

,2(h2+hk+k2)

и фактор триангуляции Т = И2 + кк + к2.

Отметим также, в случае, когда разность чисел к и к кратна 3, то структура (к, к) обладает трансляциями, которые в раз короче, чем С± (или С2). Иначе говоря,

такая структура оказывается эквивалентна структуре (К, к') с меньшей

, , 2к+Н , , Н-к

периодичностью, где п = , к = —р.

Рисунок 1.1 - Первые две соразмерные двухслойные структуры (2,1) и (3,1) в прямом (а, Ь) и обратном (с, ё) пространствах. На панелях (а,Ь) большие шестиугольники и стрелки показывают элементарную ячейку и базисные трансляции сверхрешеток соответственно. Точки представляют собой узлы примитивной шестиугольной решетки; положения атомов углерода как в верхнем, так и в нижнем слоях совпадают с некоторыми узлами.

Трансляционная длина исходной решетки в VТ раз меньше радиуса углеродного шестиугольника. На панелях (с,ё) первые зон Бриллюэна верхнего и нижнего слоев графена наложены на сотовую гексагональную решетку, которая обладает трансляционной симметрией свернутого обратного пространства.

На рисунках 1.1, а и Ь показаны две первые соразмерные двухслойные структуры к = 2, к = 1,Т = 7 и И = 3,к = 1,Т = 13. Простой геометрический анализ показывает, что в двуслойной структуре с фактором Т на примитивную гексагональную ячейку приходится 4Т атомом углерода, поровну разделенных между нижним и верхними слоями. Обратное пространство обоих слоев (изображенное на рисунках 1.1, с и ё) складывается в Т раз таким образом, что образуется общее гексагональное обратное пространство, разбиваемое на зоны Бриллюэна (ЗБ) в Т раз меньшей площади. Если использовать схему расширенных зон, то вовнутрь первой ЗБ (ПЗБ) каждого из слоев попадет ровно Т узлов (центров сот с координатами Qj) сотовой гексагональной решетки общего обратного пространства.

1.3 Теория сложения зон для соразмерного двухслойного графена

Введем индекс £, принимающий значения А, В, А', В', и будем характеризовать состояния ДСГ с помощью следующих 4Т смещенных блоховских волновых функций (СБФВ):

Ц(г) = ф(г — ЩУ^^ Ъ,

^ (1.4)

где N - количество атомов в подрешетке, ф(г — И^) - атомная ^-орбиталь, локализованная вблизи узла , q - двумерный волновой вектор. Вектор Qj задает смещение ВФ в обратном пространстве. Соответственно, в рассматриваемом случае задача сводится к нахождению собственных значений гамильтониана Нь с размерностью 4 Т.

Выбор базисных функций в виде (1.4) позволяет описать гамильтониан бислоя графена Нь в общей форме. Его матричные элементы имеют вид [А2]:

где Я^ ^ Я^ и Я^) - межатомный хоппинг интеграл. Здесь, мы определяем функцию и^И^И^), пользуясь приближением Слейтера-Костера [14, 63]. Если

оба узла и принадлежат одному и тому же слою и являются соседними, тогда И^) = у, где у = 3 эВ - хоппинг коэффициент (константа сильной связи) графена [56], в противном случае, И^) = 0. В случае, когда узлы Я^ и принадлежат разным слоям, для определения функции и^И^И^) мы пользуемся следующим приближенным выражением

и(р, й) = ус ехр —(^р2 + й2 — й)/л],

где р - расстояние между двумя узлами, спроецированными на единую плоскость, й = 0.34 нм - межслоевое расстояние, Л = 0.045 нм -характеристическая длина волны, ус = 0.48 эВ - межслоевая константа сильной связи [14,16].

Укажем, что строки и столбцы гамильтониана удобно пронумеровать таким образом, чтобы на диагонали матрицы Нь расположилось 2Т транслированных блока. Тогда каждый их этих блоков соответствует либо верхнему, либо нижнему слою (каждый слой обладает своей группой трансляций) и получается из гамильтониана (1.1) подстановкой Ц ^ Ц — Qj. В отсутствие взаимодействия между слоями, такой квазидиагональный гамильтониан описывает чисто формальную процедуру сложения зон, при которой 4 дисперсионных ветки двухслойного графена оказываются сложенными в новую в Т раз меньшую ПЗБ обратного пространства. Расчет суммы (1.5) в соразмерном случае также упрощается тем, что позиции как верхнего, так и нижнего слоев, проектируются на одну и туже простую родительскую гексагональную решетку, период которой в VТ раз меньше, чем расстояние между позициями А и В в графене. Поэтому коэффициенты межслоевого хоппинга, значения функции и^И^И^), принимают дискретный набор значений, количество различных значений в котором равно количеству учитываемых координационных окружностей, окружающих узел родительской решетки. Однако соразмерные двухслойные структуры даже с одинаковой трансляционной симметрией могут иметь различную поворотную симметрию

(см. рисунок 1.1) и как следствие, матричные элементы (1.5) в таких структурах будут отличаться.

Заметим, что при практическом расчете матрицы (1.5), строчки которой нумеруются парой индексов ¿, а столбцы парой индексов можно и нужно ограничиться конечным фрагментом - одной ячейкой сверхструктуры бислоя.

Рисунок 1.2 - Зонные структуры ДСГ (2,1) и (3,1), рассчитанные с использованием полного и эффективного гамильтонианов. Электронные спектры изображены в пределах новой уменьшенной ПЗБ. Точка Г находится в ее центре, точка К является одной из вершин ПЗБ и совпадает с точкой К; точка М лежит посередине ребра шестиугольника. Дисперсионные кривые, полученные в рамках гамильтониана (1.5), показаны черным цветом, а рассчитанные в рамках эффективного гамильтониана (1.9) - красным. Голубой

пунктирной линией показан спектр эффективного гамильтониана Н24. На панелях (а,Ь) зонные структуры для ДСГ (2,1) и (3,1), показаны в диапазонах ± 6 и ± 4 эВ соответственно. Рассчитанные зонные структуры вблизи точки К для

тех же сверхструктур изображены на панелях (е,ё). Начало координат на панелях (с^) выбран в точке К. Слева от начала координат показаны кривые в направлении Г — К, а справа от начала координат представлены расчеты в

направлении К — М.

Появление периодической сверхструктуры означает, что каждая из подрешеток верхнего (а = А, В) и нижнего слоев (Д = А', В') дополнительно

разбивается Т под-подрешеток. На атомах любой к-ой под-подрешетке с координатами Ик скалярные произведения QiR]i не зависят от индекса к. Поэтому при расчете матрицы (1.5) достаточно, чтобы один (любой) из индексов £ или % пробегал по одному атому из каждой под-подрешетке. Область значений второго индекса ограничивается тем фактом, что для достаточно далеко расположенных атомов функция И^) равно нулю. Естественно, при таком способе расчета величина N в гамильтониане (1.5) должна быть заменена на Т.

На рисунках 1.2, а и Ь показаны рассчитанные зонные структуры соразмерных узоров (2,1) и (3,1), в которых слои повернуты относительно друг друга вокруг общей оси 6-го порядка. Аналогично можно рассматривать и другие менее симметричные построения, например случай, когда относительное вращение происходит вокруг общей оси 3-го порядка, проходящей в одном слое через центр шестиугольника, а в другом — через вершину. Такой тип укладки слоев называется [14, 64, 65] АВ-упаковкой. При заданном угле поворота в двухслойные структуры, соответствующие разным укладкам, отличаются друг от друга лишь небольшим сдвигом одного из слоев, и этот сдвиг всегда может быть выражен (см. рисунки 1.1, а и Ь) через базисные трансляции оригинальной решетки.

Заметим, что вне зависимости от рассматриваемого типа упаковки слоев схема сложения зон в обратном пространстве совершенно не изменяется, и спектры, соответствующие различным упаковкам, оказываются [14] очень близки. С уменьшением угла поворота в различие между спектрами различных соразмерных структур, обладающих одинаковым в, исчезает [14, 66], так как расположение атомов одного слоя относительно атомов другого слоя становится равномерно случайным, так же и в случае несоразмерных двухслойных структур.

1.4. Эквивалентный подход к построению полного гамильтониана соразмерного двухслойного графена

Для расчета зонной структуры ДСГ можно воспользоваться и другим гамильтонианом, который построен с помощью альтернативного набора

базисных волновых функций вместо (1.4), которые не смещены в обратном пространстве. Рассмотрим следующие функции

<Рк(г) =

N

ф(г — Нк)е1**к, (1.6)

где целое число к = 1 ...4Т нумерует под-подрешетки ДСГ, ф(г) — атомная р2 —орбиталь, — координата атома, принадлежащего под-подрешетке к, N — количество гексагонов в верхнем (или нижнем) слое графена. В предложенном базисе матричные элементы гамильтониана записываются как

Т N

Н'Ь =1%е'Ч<ЛгЛЧ*иЪ)> (1.7)

где координаты и соответствуют различным под-подрешеткам. Как и ранее, при расчете суммы по под-подрешеткам , мы можем учесть только один атом в этой подрешетке. Тогда выражение (1.7) переписывается в виде

Н%=^е^г*ди(пьп) (1.8)

Зонные структуры, рассчитанные в рамках гамильтонианов (1.8) и (1.5), численно совпадают.

1.5 Метод эффективных гамильтонианов

Отметим, что из-за повышенной трансляционной симметрии обратного пространства вершины первых зон Бриллюэна, повернутые относительно друг друга, становятся эквивалентными (см. рисунки 1.1, с и ё). Последнее приводит к сильному взаимодействию между самыми низкоэнергетическими зонами, происходящих из разных слоев, в соответствующих точках. Обозначим вектор, транслирующий точку К' в К, как Q0. Тогда для описания низкоэнергетического электронного спектра рассматриваемого соразмерного бислоя необходимо учитывать две пары СБВФ.

Узлы соразмерного муарового узора образуют примитивную периодическую гексагональную решетку в обратном пространстве, и вектор Q0

может быть выражен как целочисленная линейная комбинация базисных трансляций С1 и С2 этой решетки. Для соразмерной сверхрешетки (к, к) эти трансляции находятся как

_ АЬ1 + 2АЬ2 _ 2АЬ1 + АЬ2 61 = Ък , = Ък , где Ь1, Ь2 (Ь1 ,Ь'2) - базисные вектора обратной решетки верхнего (нижнего) слоя и АЬ1 = Ь1 — Ъ1, АЬ2 = Ъ2 — Ь'2. Соответственно, вектор Q0 переносящий К' в К находится как —к(С1 + С2).

Отметим, что вектор Q0 также может быть выражен как целочисленная линейная комбинация векторов Ь1,Ь2 и Ь1 ,Ь'2. Перенос на вектор обратного пространства верхнего (нижнего) слоя изменяет только фазу блоховской функции, поэтому при расчете зонной структуры можно пренебречь зависимостью Q0 от векторов Ь1 ,Ь'2 (Ь1,Ь2). Обозначим такой вектор как Qs. Таким образом, мы получаем первый эффективный гамильтониан

ИеГГ = (Н(4) У^) " Кгсч.с},,) — (19)

где недиагональные блоки рассчитываются как

1

У„„,=- ^ е^^^а'Ы^На'), (1.10)

Н(д) и Н'(д) - Гамильтонианы с видом (1.1), сконструированные для нетронутого и повернутого слоя графена, а = А, В и а' = А', В'.

В случае узора (2,1) (его обратное пространство показано на рисунке 1.1, с) вектор, переносящий точку К' в К, равен —(Ь1 + Ь'2). Поэтому в качестве вектора Qs можно взять вектор — Ь1. Для узора (3,1) (см. рисунок 1.1, ё) этот вектор равен 2(Ь1 + Ь'2) — (Ь[ + Ь2), тогда Qs = 2Ь1 — Ь2. Спектры обеих структур, рассчитанные в рамках гамильтониана (1.9), показаны на рисунке 1.2 красными линиями.

Отметим, что спектр полного гамильтониана для любой соразмерной сверхструктуры периодически повторяется в обратном пространстве, построенном на базисных векторах С1 и С2. Предлагаемый эффективный

гамильтониан (1.9) не обладает такой трансляционной симметрией и аппроксимирует полный только в окрестности точки К, совпадающей с вершиной К ячейки свернутого обратного пространства. Точность такой аппроксимации низкоэнергетического спектра снижается при приближении к точкам Г, М (см. рисунок 1.2) и - К.

Рассмотрим теперь, как можно построить более сложный эффективный гамильтониан, хорошо аппроксимирующий низкоэнергетический спектр в пределах ячейки свернутого обратного пространства для любой соразмерной двухслойной структуры. Напомним, что предыдущий эффективный гамильтониан (1.9) построен таким образом, что при отсутствии межслоевого взаимодействия вершины рассматриваемой пары конусов Дирака в точности совпадают в точке К уменьшенной ПЗБ. Следующие эффективные гамильтонианы можно построить, воспользовавшись этой же идеей. А именно, чтобы аппроксимировать спектр в пределах элементарной ячейки с шестью вершинами, мы выбираем вектора трансляций в СБВФ таким образом, чтобы пара дираковских конусов (соответствующих блокам Н(д — Qi) и Н'(<ц — Q'j)) появилась в каждой вершине ячейки. Базис предложенного гамильтониана, который мы обозначим как Н24, состоит из 24 смещенных блоховских функций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чалин Дмитрий Вадимович, 2023 год

Список цитируемой литературы

1. Electric field in atomically thin carbon films. / K.S. Novoselov, A.K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, A.A. Firsov // Science. - 2004. - Vol. 306. - P. 666-669.

2. Synthesis of graphene and its applications: A review. / W. Choi, I. Lahiri, R. Seelaboyina, Y.S. Kang // Crit. Rev. Solid State Mater. Sci. - 2010. - Vol. 35. - P. 52-71.

3. Nimbalkar, A. Opportunities and Challenges in Twisted Bilayer Graphene: A Review. / A. Nimbalkar, H. Kim // Nano-Micro Lett. - 2020. - Vol. 12.

4. Observation of Van Hove singularities in twisted graphene layers. / G. Li, A. Luican, J.M.B. Lopes Dos Santos, A.H. Castro Neto, A. Reina, J. Kong, E.Y. Andrei // Nat. Phys. - 2010. - Vol. 6. - P. 109-113.

5. Raman spectroscopy study of rotated double-layer graphene: Misorientation-angle dependence of electronic structure. / K. Kim, S. Coh, L.Z. Tan, W. Regan, J.M. Yuk, E. Chatterjee, M.F. Crommie, M.L. Cohen, S.G. Louie, A. Zettl // Phys. Rev. Lett. - 2012. - Vol. 108. - P. 246103.

6. Bistritzer, R. Moiré bands in twisted double-layer graphene. / R. Bistritzer, A.H. MacDonald // Proc. Natl. Acad. Sci. U. S. A. - 2011. - Vol. 108. - P. 1223312237.

7. Unconventional superconductivity in magic-angle graphene superlattices. / Y. Cao, V. Fatemi, S. Fang, K. Watanabe, T. Taniguchi, E. Kaxiras, P. Jarillo-Herrero // Nature. - 2018. - Vol. 556. - P. 43-50.

8. Correlated insulator behaviour at half-filling in magic-angle graphene superlattices. / Y. Cao, V. Fatemi, A. Demir, S. Fang, S.L. Tomarken, J.Y. Luo, J.D. Sanchez-Yamagishi, K. Watanabe, T. Taniguchi, E. Kaxiras, R.C. Ashoori, P. Jarillo-Herrero // Nature. - 2018. - Vol. 556. - P. 80-84.

9. Origin of Mott Insulating Behavior and Superconductivity in Twisted Bilayer Graphene. / H.C. Po, L. Zou, A. Vishwanath, T. Senthil // Phys. Rev. X. - 2018. - Vol. 8. - P. 31089.

10. Hofstadter's butterfly and the fractal quantum Hall effect in moiré superlattices. / C.R. Dean, L. Wang, P. Maher, C. Forsythe, F. Ghahari, Y. Gao, J. Katoch, M. Ishigami, P. Moon, M. Koshino, T. Taniguchi, K. Watanabe, K.L. Shepard, J. Hone, P. Kim // Nature. - 2013. - Vol. 497. - P. 598-602.

11. Origin of van Hove singularities in twisted bilayer graphene. / H.B. Ribeiro, K. Sato, G.S.N. Eliel, E.A.T. De Souza, C.-C. Lu, P.-W. Chiu, R. Saito, M.A. Pimenta // Carbon. - 2015. - Vol. 90. - P. 138-145.

12. Band structure of twisted bilayer graphene: Emergent symmetries, commensurate approximants, and Wannier obstructions. / L. Zou, H.C. Po, A. Vishwanath, T. Senthil // Phys. Rev. B. - 2018. - Vol. 98. - P. 085435.

13. Maximally Localized Wannier Orbitals and the Extended Hubbard Model for Twisted Bilayer Graphene. / M. Koshino, N.F.Q. Yuan, T. Koretsune, M. Ochi, K. Kuroki, L. Fu // Phys. Rev. X. - 2018. - Vol. 8. - P. 31087.

14. Moon, P. Optical absorption in twisted bilayer graphene. / P. Moon, M. Koshino // Phys. Rev. B. - 2013. - Vol. 87. - P. 205404.

15. Moon, P. Energy spectrum and quantum Hall effect in twisted bilayer graphene. / P. Moon, M. Koshino // Phys. Rev. B. - 2012. - Vol. 85. - P. 195458.

16. Moon, P. Optical absorption of twisted bilayer graphene with interlayer potential asymmetry. / P. Moon, Y.W. Son, M. Koshino // Phys. Rev. B. - 2014. - Vol. 90. - P. 155427.

17. Emergence of superlattice Dirac points in graphene on hexagonal boron nitride. / M. Yankowitz, J. Xue, D. Cormode, J.D. Sanchez-Yamagishi, K. Watanabe, T. Taniguchi, P. Jarillo-Herrero, P. Jacquod, B.J. Leroy // Nat. Phys. - 2012. - Vol. 8. - P. 382-386.

18. Neek-Amal, M. Graphene on boron-nitride: Moiré pattern in the van der Waals energy. / M. Neek-Amal, F.M. Peeters // Appl. Phys. Lett. - 2014. - Vol. 104. -P. 041909.

19. Probing the interlayer coupling of twisted bilayer MoS2 using photoluminescence spectroscopy. / S. Huang, X. Ling, L. Liang, J. Kong, H. Terrones, V. Meunier, M.S. Dresselhaus // Nano Lett. - 2014. - Vol. 14. - P. 5500-5508.

20. Interlayer couplings, Moiré patterns, and 2D electronic superlattices in MoS2/WSe2 hetero-bilayers. / C. Zhang, C.P. Chuu, X. Ren, M.Y. Li, L.J. Li, C. Jin, M.Y. Chou, C.K. Shih // Sci. Adv. - 2017. - Vol. 3. - P. e1601459.

21. Koshino, M. Incommensurate double-walled carbon nanotubes as one-dimensional moiré crystals. / M. Koshino, P. Moon, Y.-W. Son // Phys. Rev. B. - 2015. - Vol. 91. - P. 035405.

22. Chirality manifestation in elastic coupling between the layers of doublewalled carbon nanotubes. / S. Rochal, D. Levshov, M. Avramenko, R. Arenal, T.T. Cao, V.C. Nguyen, J.L. Sauvajol, M. Paillet // Nanoscale. - 2019. - Vol. 11. - P. 1609216102.

23. Van der Waals-coupled electronic states in incommensurate doublewalled carbon nanotubes. / K. Liu, C. Jin, X. Hong, J. Kim, A. Zettl, E. Wang, F. Wang // Nat. Phys. - 2014. - Vol. 10. - P. 737-742.

24. Rayleigh scattering studies on inter-layer interactions in structure-defined individual double-wall carbon nanotubes. / S. Zhao, T. Kitagawa, Y. Miyauchi, K. Matsuda, H. Shinohara, R. Kitaura // Nano Res. - 2014. - Vol. 7. - P. 1548-1555.

25. Quantum interference effects on the intensity of the G modes in doublewalled carbon nanotubes. / H.N. Tran, J.C. Blancon, R. Arenal, R. Parret, A.A. Zahab, A. Ayari, F. Vallée, N. Del Fatti, J.L. Sauvajol, M. Paillet // Phys. Rev. B. - 2017. -Vol. 95. - P. 205411.

26. Photoluminescence from an individual double-walled carbon nanotube. / D.I. Levshov, R. Parret, H.-N. Tran, T. Michel, T.T. Cao, V.C. Nguyen, R. Arenal, V.N. Popov, S.B. Rochal, J.-L. Sauvajol, A.-A. Zahab, M. Paillet // Phys. Rev. B. -2017. - Vol. 96. - P. 195410.

27. Observation of Drastic Electronic-Structure Change in a One-Dimensional Moiré Superlattice. / S. Zhao, P. Moon, Y. Miyauchi, T. Nishihara, K. Matsuda, M. Koshino, R. Kitaura // Phys. Rev. Lett. American Physical Society, -2020. - Vol. 124. - P. 106101.

28. Popov, V.N. Theoretical evidence of a significant modification of the electronic structure of double-walled carbon nanotubes due to the interlayer interaction. / V.N. Popov // Carbon. - 2020. - Vol. 170. - P. 30-36.

29. Che, J. Thermal conductivity of carbon nanotubes. / J. Che, T. Qagin, W.A. Goddard // Nanotechnology. - 2000. - Vol. 11. - P. 65-69.

30. Berber, S. Unusually high thermal conductivity of carbon nanotubes. / S. Berber, Y.K. Kwon, D. Tomanek // Phys. Rev. Lett. - 2000. - Vol. 84. - P. 4613-4616.

31. Hepplestone, S.P. Low-temperature mean-free path of phonons in carbon nanotubes. / S.P. Hepplestone, G.P. Srivastava // J. Phys. Conf. Ser. - 2007. - Vol. 92.

- P. 012076

32. Temperature dependence of the thermal conductivity of single-wall carbon nanotubes. / M.A. Osman, D. Srivastava // Nanotechnology. - 2001. - Vol. 12.

- P. 21-24.

33. Gu, Y. Thermal conductivities of single-walled carbon nanotubes calculated from the complete phonon dispersion relations. / Y. Gu, Y. Chen // Phys. Rev. B. - 2007. - Vol. 76. - P. 134110.

34. A novel approach for determining thermal properties of single-walled carbon nanotubes. / M. Mir, E. Ebrahimnia-Bajestan, H. Niazmand, M. Mir // Comput. Mater. Sci. - 2012. - Vol. 63. - P. 52-57.

35. Temperature dependence of the thermal conductivity in chiral carbon nanotubes. / N.G. Mensah, G. Nkrumah, S.Y. Mensah, F.K.A. Allotey // Phys. Lett. Sect. A Gen. At. Solid State Phys. - 2004. - Vol. 329. - P. 369-378.

36. Maruyama, S. A molecular dynamics simulation of heat conduction in finite length SWNTs. / S. Maruyama // Phys. B Condens. Matter. - 2002. - Vol. 323. -P. 193-195.

37. Grujicic, M. Atomic-scale computations of the lattice contribution to thermal conductivity of single-walled carbon nanotubes. / M. Grujicic, G. Cao, B. Gersten // Mater. Sci. Eng. B Solid-State Mater. Adv. Technol. - 2004. - Vol. 107. - P. 204-216.

38. Molecular dynamics simulation of thermal conductivity of single-wall carbon nanotubes. / K. Bi, Y. Chen, J. Yang, Y. Wang, M. Chen // Phys. Lett. Sect. A Gen. At. Solid State Phys. - 2006. - Vol. 350. - P. 150-153.

39. Shelly, R.A. Nose-Hoover thermostat length effect on thermal conductivity of single wall carbon nanotubes. / R.A. Shelly, K. Toprak, Y. Bayazitoglu // Int. J. Heat Mass Transf. - 2010. - Vol. 53. - P. 5884-5887.

40. Imtani, A.N. Thermal conductivity for single-walled carbon nanotubes from Einstein relation in molecular dynamics. / A.N. Imtani // J. Phys. Chem. Solids. -2013. - Vol. 74. - P. 1599-1603.

41. Salaway, R.N. Molecular dynamics simulations of thermal conductivity of carbon nanotubes: Resolving the effects of computational parameters. / R.N. Salaway, L. V. Zhigilei // Int. J. Heat Mass Transf. - 2014. - Vol. 70. - P. 954-964.

42. Jiang, J.W. Strain engineering for thermal conductivity of single-walled carbon nanotube forests. / J.W. Jiang // Carbon. - 2015. - Vol. 81. - P. 688-693.

43. Savin, A. V. Thermal conductivity of single-walled carbon nanotubes. / A. V. Savin, B. Hu, Y.S. Kivshar // Phys. Rev. B. - 2009. - Vol. 80. - P. 195423.

44. Marconnet, A.M. Thermal conduction phenomena in carbon nanotubes and related nanostructured materials. / A.M. Marconnet, M.A. Panzer, K.E. Goodson // Rev. Mod. Phys. - 2013. - Vol. 85. - P. 1295-1326.

45. Landauer, R. Spatial variation of currents and fields due to localized scatterers in metallic conduction. / R. Landauer // IBM J. Res. Dev. - 1957. - Vol. 44. - P. 251-259.

46. Landauer, R. Electrical resistance of disordered one-dimensional lattices. / R. Landauer // Philos. Mag. - 1970. - Vol. 21. - P. 863-867.

47. Thermal conductivity of single-walled carbon nanotubes. / J. Hone, M. Whitney, C. Piskoti, A. Zettl // Phys. Rev. B. - 1999. - Vol. 59. - P. R2514-R2516.

48. Mingo, N. Carbon nanotube ballistic thermal conductance and its limits. / N. Mingo, D.A. Broido // Phys. Rev. Lett. - 2005. - Vol. 95. - P. 096105.

49. Thermal conductivity of zigzag single-walled carbon nanotubes: Role of the umklapp process. / J.X. Cao, X.H. Yan, Y. Xiao, J.W. Ding // Phys. Rev. B. - 2004.

- Vol. 69. - P. 073407.

50. Khitun, A. Wang. Modification of the three-phonon Umklapp process in a quantum wire. / A. Khitun, K.L. Wang // Appl. Phys. Lett. - 2001. - Vol. 79. - P. 851853.

51. Yan, X.H. Effects of intertube coupling and tube chirality on thermal transport of carbon nanotubes. / X.H. Yan, Y. Xiao, Z.M. Li // J. Appl. Phys. - 2006. -Vol. 99. - P. 124305.

52. Zimmermann, J. Vibrational modes and low-temperature thermal properties of graphene and carbon nanotubes: Minimal force-constant model. / J. Zimmermann, P. Pavone, G. Cuniberti // Phys. Rev. B. - 2008. - Vol. 78. - P. 045410.

53. Yamamoto, T. Universal Features of Quantized Thermal Conductance of Carbon Nanotubes. / T. Yamamoto, S. Watanabe, K. Watanabe // Phys. Rev. Lett. -2004. - Vol. 92. - P. 075502.

54. Wallace, P.R. The Band Theory of Graphite. / P.R. Wallace // Phys. Rev.

- 1946. - Vol. 329. - P. 622-634.

55. Geim, A.K. The rise of graphene. / A.K. Geim, K.S. Novoselov // Nanosci. Technol. A Collect. Rev. from Nat. Journals. - 2009. - P. 11-19.

56. The electronic properties of graphene. / A.H. Castro Neto, F. Guinea, N.M.R. Peres, K.S. Novoselov, A.K. Geim // Rev. Mod. Phys. - 2009. - Vol. 81. - P. 109-162.

57. Tight-binding description of graphene. / S. Reich, J. Maultzsch, C. Thomsen, P. Ordejon // Phys. Rev. B. - 2002. - Vol. 66. - P. 354121-354125.

58. Kundu, R. Tight-binding parameters for graphene. / R. Kundu // Mod. Phys. Lett. B. - 2011. - Vol. 25. - P. 163-173.

59. Pereira, V.M. Tight-binding approach to uniaxial strain in graphene. / V.M. Pereira, A.H. Castro Neto, N.M.R. Peres // Phys. Rev. B. - 2009. - Vol. 80. - P. 045401.

60. Konschuh, S. Tight-binding theory of the spin-orbit coupling in graphene. / S. Konschuh, M. Gmitra, J. Fabian // Phys. Rev. B. - 2010. - Vol. 82. - P. 245412.

61. Gui, G. Band structure engineering of graphene by strain: First-principles calculations. / G. Gui, J. Li, J. Zhong // Phys. Rev. B. - 2008. - Vol. 78. - P. 075435.

62. Band-structure topologies of graphene: Spin-orbit coupling effects from first principles. / M. Gmitra, S. Konschuh, C. Ertler, C. Ambrosch-Draxl, J. Fabian // Phys. Rev. B. - 2009. - Vol. 80. - P. 235431.

63. Slater, J.C. Simplified LCAO method for the periodic potential problem. / J.C. Slater, G.F. Koster // Phys. Rev. - 1954. - Vol. 94. - P. 1498-1524.

64. McCann, E. The electronic properties of bilayer graphene. / E. McCann, M. Koshino // Reports Prog. Phys. - 2013. - Vol. 76. - P. 56503.

65. Electronic spectrum of twisted bilayer graphene. / A.O. Sboychakov, A.L. Rakhmanov, A. V. Rozhkov, F. Nori // Phys. Rev. B. - 2015. - Vol. 92. - P. 075402.

66. Lopes Dos Santos, J.M.B. Continuum model of the twisted graphene bilayer. / J.M.B. Lopes Dos Santos, N.M.R. Peres, A.H. Castro Neto // Phys. Rev. B. -2012. - Vol. 86. - P. 155449.

67. Jorio, A. Carbon Nanotubes: Advanced Topics in the Synthesis, Structure, Properties and Applications. / A. Jorio, G. Dresselhaus, M.S. Dresselhaus // Top. Appl. Phys. - 2008. - Vol. 111. - P. 750.

68. Dresselhaus, M.S. Physics of carbon nanotubes. / M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, R. Saito // Carbon. - 1995. - Vol. 33. - P. 883-891.

69. Avramenko, M. V. Symmetry of the carbon nanotube modes and their origin from the phonon branches of graphene. / M. V. Avramenko, S.B. Rochal, Y.I. Yuzyuk // Phys. Rev. B. - 2013. - Vol. 87. - P. 035407.

70. The concept of cutting lines in carbon nanotube science. / G.G. Samsonidze, R. Saito, A. Jorio, M.A. Pimenta, A.G. Souza Filho, A. Grüneis, G. Dresselhaus, M.S. Dresselhaus // J. Nanosci. Nanotechnol. - 2003. - Vol. 3. - P. 431458.

71. Excitonic Effects and Optical Spectra of Single-Walled Carbon Nanotubes. / C.D. Spataru, S. Ismail-Beigi, L.X. Benedict, S.G. Louie // Phys. Rev. Lett. - 2004. - Vol. 92. - P. 077402.

72. Saito, R. Trigonal warping effect of carbon nanotubes. / R. Saito, G. Dresselhaus // Phys. Rev. B. - 2000. - Vol. 61. - P. 2981-2990.

73. Amori, A.R. Excitons in Single-Walled Carbon Nanotubes and Their Dynamics. / A.R. Amori, Z. Hou, T.D. Krauss // Annu. Rev. Phys. Chem. - 2018. -Vol. 69. - P. 81-99.

74. An atlas of carbon nanotube optical transitions. / K. Liu, J. Deslippe, F. Xiao, R.B. Capaz, X. Hong, S. Aloni, A. Zettl, W. Wang, X. Bai, S.G. Louie, E. Wang, F. Wang // Nat. Nanotechnol. Nature Publishing Group, - 2012. - Vol. 7. - P. 325-329.

75. Photoluminescence from single-walled carbon nanotubes: A comparison between suspended and micelle-encapsulated nanotubes. / J. Lefebvre, J.M. Fraser, Y. Homma, P. Finnie // Appl. Phys. A Mater. Sci. Process. - 2004. - Vol. 78. - P. 11071110.

76. How does the substrate affect the Raman and excited state spectra of a carbon nanotube? / M. Steiner, M. Freitag, J.C. Tsang, V. Perebeinos, A.A. Bol, A. V. Failla, P. Avouris // Appl. Phys. A Mater. Sci. Process. - 2009. - Vol. 96. - P. 271-282.

77. Cutting lines near the Fermi energy of single-wall carbon nanotubes. / R. Saito, K. Sato, Y. Oyama, J. Jiang, G.G. Samsonidze, G. Dresselhaus, M.S. Dresselhaus // Phys. Rev. B. - 2005. - Vol. 72. - P. 153413.

78. Photoluminescence intensity of single-wall carbon nanotubes. / Y. Oyama, R. Saito, K. Sato, J. Jiang, G.G. Samsonidze, A. Grüneis, Y. Miyauchi, S. Maruyama, A. Jorio, G. Dresselhaus, M.S. Dresselhaus // Carbon. - 2006. - Vol. 44. -P. 873-879.

79. L.C. Lew Yan Voon, L.R. Ram-Mohan. Tight-binding representation of the optical matrix elements: Theory and applications. // Phys. Rev. B. - 1993. - Vol. 47. - P. 15500-15508.

80. 2N+4-rule and an atlas of bulk optical resonances of zigzag graphene nanoribbons. / R.B. Payod, D. Grassano, G.N.C. Santos, D.I. Levshov, O. Pulci, V.A. Saroka // Nat. Commun. Springer US, - 2020. - Vol. 11. - P. 82.

81. Inhomogeneous optical absorption around the K point in graphite and carbon nanotubes. / A. Grüneis, R. Saito, G.G. Samsonidze, T. Kimura, M.A. Pimenta, A. Jorio, A.G. Souza Filho, G. Dresselhaus, M.S. Dresselhaus // Phys. Rev. B. - 2003. - Vol. 67. - P. 1654021-1654027.

82. Lin, M.F. Plasmons and optical properties of carbon nanotubes. / M.F. Lin, K.W.K. Shung // Phys. Rev. B. - 1994. - Vol. 50. - P. 17744-17747.

83. Mixed acoustic phonons and phase modes in an aperiodic composite crystal. / B. Toudic, R. Lefort, C. Ecolivet, L. Guérin, R. Currat, P. Bourges, T. Breczewski // Phys. Rev. Lett. - 2011. - Vol. 107. - P. 205502.

84. Moon, P. Electronic properties of graphene/hexagonal-boron-nitride moiré superlattice. / P. Moon, M. Koshino // Phys. Rev. B. - 2014. - Vol. 90. - P. 155406.

85. Formation and electronic properties of double-walled boron nitride nanotubes. / S.H. Jhi, D.J. Roundy, S.G. Louie, M.L. Cohen // Solid State Commun. -2005. - Vol. 134. - P. 397-402.

86. Evidence of a gate-tunable Mott insulator in a trilayer graphene moiré superlattice. / G. Chen, L. Jiang, S. Wu, B. Lyu, H. Li, B.L. Chittari, K. Watanabe, T. Taniguchi, Z. Shi, J. Jung, Y. Zhang, F. Wang // Nat. Phys. - 2019. - Vol. 15. - P. 237241.

87. Signatures of tunable superconductivity in a trilayer graphene moiré superlattice. / G. Chen, A.L. Sharpe, P. Gallagher, I.T. Rosen, E.J. Fox, L. Jiang, B. Lyu, H. Li, K. Watanabe, T. Taniguchi, J. Jung, Z. Shi, D. Goldhaber-Gordon, Y. Zhang, F. Wang // Nature. - 2019. - Vol. 572. - P. 215-219.

88. Tunable strongly coupled superconductivity in magic-angle twisted trilayer graphene. / J.M. Park, Y. Cao, K. Watanabe, T. Taniguchi, P. Jarillo-Herrero // Nature. - 2021. - Vol. 590. - P. 249-255.

89. Rochal, S.B. Two-dimensional elasticity determines the low-frequency dynamics of single- and double-walled carbon nanotubes. / S.B. Rochal, V.L. Lorman, Y.I. Yuzyuk // Phys. Rev. B. - 2013. - Vol. 88. - P. 235435.

90. Vibrational heat capacity of carbon nanotubes at low and ultra-low temperatures. / M. V. Avramenko, I.Y. Golushko, A.E. Myasnikova, S.B. Rochal // Phys. E. - 2015. - Vol. 68. - P. 133-139.

91. Avramenko, M. V. Specific features of low-frequency vibrational dynamics and low-temperature heat capacity of double-walled carbon nanotubes. / M. V. Avramenko, S.B. Roshal // Phys. Solid State. - 2016. - Vol. 58. - P. 1011-1019.

92. Electrical and thermal transport properties of magnetically aligned single wall carbon nanotube films. / J. Hone, M.C. Llaguno, N.M. Nemes, A.T. Johnson, J.E. Fischer, D.A. Walters, M.J. Casavant, J. Schmidt, R.E. Smalley // Appl. Phys. Lett. -2000. - Vol. 77. - P. 666-668.

93. Pendry, J.B. Quantum limits to the flow of information and entropy. / J.B. Pendry // J. Phys. A Gen. Phys. - 1983. - Vol. 16. - P. 2161-2171.

94. Rego, L.G.C. Quantized thermal conductance of dielectric quantum nanowires. / L.G.C. Rego, G. Kirczenow // Phys. Rev. Lett. - 1998. - Vol. 81. - P. 232235.

95. Raman intensity of single-wall carbon nanotubes. / R. Saito, T. Takeya, T. Kimura, G. Dresselhaus, M. Dresselhaus // Phys. Rev. B. - 1998. - Vol. 57. - P. 41454153.

96. Dresselhaus, G. Physical properties of carbon nanotubes. / G. Dresselhaus, M. S. Dresselhaus, R. Saito - World scientific, 1998.

97. Predicting the Thermal Conductivity of Si and Ge Nanowires. / N. Mingo, L. Yang, D. Li, A. Majumdar // Nano Lett. - 2003. - Vol. 3. - P. 1713-1716.

98. Measurement of the quantum of thermal conductance. / K. Schwab, E.A. Henriksen, J.M. Worlock, M.L. Roukes // Nature. - 2000. - Vol. 404. - P. 974-977.

99. Rego, L.G.C. Fractional Exclusion Statistics and the Universal Quantum of Thermal Conductance: A Unifying Approach. / L.G.C. Rego, G. Kirczenow //Phys. Rev. B. - 1999. - Vol. 59. - P. 13080.

100. Krive, I. V. Transport properties of quasiparticles with fractional exclusion statistics. / I. V. Krive, E.R. Mucciolo. // Phys. Rev. B. - 1999. - Vol. 60. -P. 1429-1432.

101. Вольмир, А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости: учебное пособие для вузов / А. С. Вольмир - 2-е изд., стер. -Москва : Издательство Юрайт, 2022. - 326 с.

102. Savinskii, S.S. Discrete and continuum models for calculating the phonon spectra of carbon nanotubes. / S.S. Savinskii, V.A. Petrovskii // Phys. Solid State. -2002. - Vol. 44. - P. 1802-1807.

103. Specific heat of single-walled carbon nanotubes. / S. Zhang, M. Xia, S. Zhao, T. Xu, E. Zhang // Phys. Rev. B. - 2003. - Vol. 68. - P. 075415.

104. Size and temperature dependence of the specific heat capacity of carbon nanotubes. / S.P. Hepplestone, A.M. Ciavarella, C. Janke, G.P. Srivastava // Surf. Sci. - 2006. - Vol. 600. - P. 3633-3636.

105. Mahan, G.D. Oscillations of a thin hollow cylinder: Carbon nanotubes. / G.D. Mahan // Phys. Rev. B. - 2002. - Vol. 65. - P. 235402.

106. Suzuura, H. Phonons and electron-phonon scattering in carbon nanotubes. / H. Suzuura, T. Ando // Phys. Rev. B. - 2002. - Vol. 65. - P. 235412.

107. Landau, L.D. Theory of Elasticity: Course of Theoretical Physics, Volume 7. / L.D. Landau, E.M. Lifshitz - Oxford: Butterworth Heinemann, 1970.

108. Phonon thermal conduction in graphene: Role of Umklapp and edge roughness scattering. / D.L. Nika, E.P. Pokatilov, A.S. Askerov, A.A. Balandin // Phys. Rev. B. - 2009. - Vol. 79. - P. 155413.

109. Perebeinos, V. Valence force model for phonons in graphene and carbon nanotubes. / V. Perebeinos, J. Tersoff // Phys. Rev. B. - 2009. - Vol. 79. - P. 241409.

110. Optical phonons in carbon nanotubes: Kohn anomalies, Peierls distortions, and dynamic effects. / S. Piscanec, M. Lazzeri, J. Robertson, A.C. Ferrari, F. Mauri // Phys. Rev. B. - 2007. - Vol. 75. - P. 035427.

111. Reich, S. Phonon eigenvectors of chiral nanotubes. / S. Reich, C. Thomsen, P. Ordejon // Phys. Rev. B. - 2001. - Vol. 64. - P. 195416.

112. Canham, P.B. The minimum energy of bending as a possible explanation of the biconcave shape of the human red blood cell. / P.B. Canham // J. Theor. Biol. -1970. - Vol. 26. - P. 61-81.

113. Helfrich, W. Elastic Properties of Lipid Bilayers: Theory and Possible Experiments. / W. Helfrich // Zeitschrift fur Naturforsch. - Sect. C J. Biosci. - 1973. -Vol. 28. - P. 693-703.

114. Goupalov, S.V. Continuum model for long-wavelength phonons in two-dimensional graphite and carbon nanotubes. / S.V. Goupalov // Phys. Rev. B. - 2005. -Vol. 71. - P. 085420.

115. Quantum-coupled radial-breathing oscillations in double-walled carbon nanotubes. / K. Liu, X. Hong, M. Wu, F. Xiao, W. Wang, X. Bai, J.W. Ager, S. Aloni, A. Zettl, E. Wang, F. Wang // Nat. Commun. - 2013. - Vol. 4. - P. 1375.

116. Volkov, A.N. Heat conduction in carbon nanotube materials: Strong effect of intrinsic thermal conductivity of carbon nanotubes. / A.N. Volkov, L. V Zhigilei // Appl. Phys. Lett. - 2012. - Vol. 101. - P. 43113.

117. Berman, R. Nitrogen in diamond: Evidence from thermal conductivity. / R. Berman, P.R.W. Hudson, M. Martinez // J. Phys. C. - 1975. - Vol. 8. - P. L430

118. Slack, G.A. Nonmetallic crystals with high thermal conductivity. / G.A. Slack // J. Phys. Chem. Solids. - 1973. - Vol. 34. - P. 321-335.

119. Slack, G.A. Anisotropic thermal conductivity of pyrolytic graphite. / G.A. Slack // Phys. Rev. - 1962. - Vol. 127. - P. 694-701.

Список основных публикаций автора

Статьи, опубликованные в журналах, входящих в базы данных международных индексов научного цитирования Scopus и/или Web of Science:

A1. Chalin, D. V. Band structure and inter-tube optical transitions in doublewalled carbon nanotubes / D. V. Chalin, S. B. Rochal // Physical Review B. - 2020. -Vol. 102. - Is. 11. - Art. No 115426 (12 p.). - DOI: 10.1103/PhysRevB.102.115426

A2. Tight-binding approximation for bilayer graphene and nanotube structures: From commensurability to incommensurability between the layers / D. V. Chalin, D. I. Levshov, A. E. Myasnikova, S. B. Rochal // Physical Review B. - 2022. - Vol. 105

- Is. 4. - Art. No 045402 (17 p.). - DOI: 10.1103/PhysRevB.105.045402

A3. Chalin, D. V. Simple theory of low-temperature thermal conductivity in single- and double-walled carbon nanotubes / D. V. Chalin, M. V. Avramenko, S. B. Rochal // Physical Review B. - 2017. - Vol. 96 - Is. 15. - Art. No 155413 (11 p.). -DOI: 10.1103/PhysRevB.96.155413

A4. Low-frequency phonon dynamics and related thermal properties of axially stressed single-walled carbon nanotubes / D. V. Chalin, M. V. Avramenko, A. Parmeggiani, S. B. Rochal // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2019. - Vol. 31

- Is. 42. - Art. No 425302 (12 p.). - DOI: 10.1088/1361-648X/ab285c

A5. Чалин, Д. В. Тепловые флуктуации и резонансные свойства сканирующих зондов на основе углеродных нанотрубок / Д. В. Чалин, М. В. Авраменко // Физика твердого тела. - 2019. - Т. 61 - №. 3. - С. 514-520. - DOI: 10.21883/FTT.2019.03.47244.237. Английский перевод: Chalin, D. V. Thermal fluctuations and resonance properties of scanning probes based on carbon nanotubes / D. V. Chalin, M. V. Avramenko // Physics of the Solid State. - 2019. - Vol. 61 - Is. 3.

- P. 383-389. - DOI: 10.1134/S1063783419030077

Статьи, опубликованные в сборниках тезисов и трудах конференций:

А6. Чалин, Д. В. Баллистическая теплопроводность одностенных и двустенных углеродных нанотрубок / Д. В. Чалин // XIII Ежегодная молодежная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Исследования и разработки передовых научных направлений" : тезисы докладов, г. Ростов-на-

Дону, 17-27 апреля 2017 г. - Ростов-на-Дону : ЮНЦ РАН, 2017. - С. 142. - Режим доступа: https://www.ssc - ras.ru/ckfinder/userfiles/files/2017 88С%20ЯД8 ХШ% 20conf.pdf (дата обращения 28.11.2022)

А7. Чалин, Д. В. Теория низкотемпературной теплоемкости и теплопроводности композитных материалов на основе углеродных нанотрубок / Д. В. Чалин // Материалы Международного молодежного научного форума "ЛОМОНОСОВ-2018" / отв. ред. И. А. Алешковский, А. В. Андриянов, Е. А. Антипов [Электронный ресурс] - Москва : МАКС Пресс, 2018. - Режим доступа: https://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov 2018/data/section 34 13552.htm (дата обращения 28.11.2022)

Д8. Чалин, Д. В. Зонная структура и меж-трубочные электронные переходы в двустенных углеродных нанотрубках / Д. В. Чалин // ФизикА.СПб : тезисы докладов международной конференции, 18-22 октября 2021 года. - Санкт-Петербург : ПОЛИТЕХ-ПРЕСС, 2021. - С. 469-470. - Режим доступа: http://phvsica.spb.ru/data/uploads/2021/physicaspb-tesises-2021.pdf (дата

обращения 28.11.2022)

Д9. Чалин, Д. В. Теория зонной структуры двуслойного графена и нанотрубок и меж-трубочные оптические переходы / Д. В. Чалин // Современные проблемы теории конденсированных сред : международная конференция, Дубна, октябрь 17-22, 2022 : сборник аннотаций - Дубна, 2022. - С. 82. - Режим доступа: .1 inr.ru/event/3065/attachments/12435/22575/The%20Book%2

02.pdf (дата обращения 28.11.2022)