Экстремальные задачи в теории относительного роста выпуклых и целых функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор наук Брайчев Георгий Генрихович

• Брайчев Георгий Генрихович
• доктор наук
• 2018

Оглавление диссертации доктор наук Брайчев Георгий Генрихович

ее нулей

ГЛАВА 3 Экстремальные задачи для целых функций положительного порядка с нулями на заданных множествах

3.1 Наименьший возможный рост целой функции порядка меньше единицы с положительными нулями заданных усредненных плотностей

3.1.1 Целые функции с дискретно измеримыми нулями

3.1.2 Доказательство оценки снизу

3.1.3 Целые функции с неизмеримыми нулями

3.2 О типе целой функции с нулями на лучах

3.2.1 Оценка типа целой функции через верхнюю плотность

ее нулей

3.2.2 Оценка типа целой функции через верхнюю и нижнюю плотности ее нулей

3.2.3 Целые функции с нулями на прямой

3.2.4 Целые функции с нулями на осях

3.3 Наименьший возможный рост целой функции с нулями в углах

3.3.1 Доказательство теоремы 3.16: основная оценка

3.3.2 Доказательство теоремы 3.16: построение экстремального примера

3.3.3 Обобщение теоремы

3.3.4 Целые функции с нулями на множестве «правильных» лучей или углов

3.4 Целые функции с нулями в полосе или вертикальных углах

3.4.1 Оценки индикатора целой функции снизу

3.4.2 Свойства экстремальной величины С(к*,р)

3.5 Экстремальные задачи для нижнего типа целой функции

3.5.1 Оценки снизу нижнего типа целой функции

3.5.2 Оценки сверху нижнего типа целой функции

3.5.3 Двусторонние оценки экстремальной величины нижнего типа

3.6 О теоремах единственности

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экстремальные задачи в теории относительного роста выпуклых и целых функций»

ВВЕДЕНИЕ

В течение более четверти века автор занимался разработкой специальных разделов теории выпуклых функций. Полученные общие результаты, посвященные вопросам относительного роста выпуклых функций и их производных, в последнее время нашли эффективное применение в теории экстремальных задач для асимптотических характеристик роста целых функций. Благодаря этому новому подходу удалось провести полное исследование ряда трудных экстремальных проблем, долго не поддававшихся решению внутренними методами теории целых функций.

Актуальность темы. Первая часть диссертации — глава 1 — отведена абелевым и тауберовым теоремам сравнительного роста функций, связанным с правилом Лопиталя, его обращением и дискретными аналогами в форме теоремы Штольца. В отличие от классического подхода задачи рассматриваются в новой, более широкой постановке, включающей нахождение как асимптотических, так и точных равномерных двусторонних оценок сравниваемых величин. Эта часть работы имеет не только самостоятельное значение, но и служит фундаментом для систематического изучения в последующих двух главах глобального роста целой функции в зависимости от поведения ее тейлоровских коэффициентов и нулей.

В главе 2 основное внимание уделено проблеме Адамара, в общих чертах состоящей в следующем. Рост целых функций традиционно описывают путем их сравнения с эталонными функциями. Требуется найти наиболее узкие классы таких эталонных функций сравнения, которые позволяют точно описать асимптотическое поведение любой целой функции по ее тейлоровским коэффициентам. Этому вопросу посвящены работы Ж. Адамара, Э. Линде-лефа, Ж. Валирона и многих других математиков. Важный вклад в решение проблемы внесли В. А. Осколков, М.Н. Шеремета и их ученики. Полученные в диссертации результаты по проблеме Адамара существенно усиливают известные ранее утверждения в смысле возможности измерения не только „верхнего", но и „нижнего" роста целых функций. Кроме того, в терминах введенных автором понятий индексов лакунарности и разреженности, примененных к последовательностям тейлоровских коэффициентов и множествам достижимости характеристик роста, дано описание регулярности поведения максимума модуля целой функции. При отсутствии подобной правильности поведения модуля указаны лучи, на которых функция растет заведомо нерегулярно.

Центральная часть диссертационной работы — глава 3 — также опирается на исследования первой части и посвящена нахождению точных двусторон-

них оценок логарифма максимума модуля целой функции конечного порядка не по тейлоровским коэффициентам, а по ее нулям с учетом их расположения на плоскости и асимптотического поведения, выраженного как классическими плотностями распределения (обычными и усредненными), так и некоторыми специальными характеристиками. Тематика имеет насыщенную историю, восходящую к трудам А. Данжуа, Ж. Валирона, Р. Редхеффера, Б. Я. Левина, А. А. Гольдберга и многих других, получив в последнее время новый импульс развития благодаря работам Б. Н. Хабибуллина, А. Ю. Попова и их учеников. Мы выделяем и систематически изучаем важные на практике случаи, когда все нули целой функции лежат на одном или нескольких лучах (прямых), в одном или нескольких углах. В качестве непосредственных приложений результатов этой части исследований предложены новые теоремы единственности для целых функций.

Цель работы. Основной целью диссертационного исследования является разработка методов получения равномерных и асимптотических оценок выпуклых функций и их применение в теории роста целых функций. Особое внимание уделяется двум центральным направлениям: описание роста функции по тейлоровским коэффициентам; связь асимптотического поведения целой функции с характером распределения ее нулей на комплексной плоскости.

Методы исследования. В диссертации разработаны оригинальные методы получения оценок для выпуклых функций, связанные с абелевыми и тауберовыми теоремами об относительном росте функций и их производных. Для описания роста целых функций в терминах тейлоровских коэффициентов используются специальные приемы из выпуклого анализа с привлечением преобразования Юнга-Фенхеля-Лежандра. Применяются как традиционные, так и оригинальные методы из теории целых функций. В частности, развивается техника исследования особенностей поведения в комплексной плоскости целых функций нерегулярного роста. Предлагаются новые принципы построения экстремальных примеров целых функций с заданными асимптотическими свойствами.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. На защиту выносятся утверждения, полученные лично автором. Перечислим главные из них.

1. Получены точные двусторонние (равномерные и асимптотические) оценки, связывающие относительный рост двух функций с относительным ростом их производных. Отдельно установлены дискретные аналоги в форме различных вариантов обращения теоремы Штольца.

2. Найдены точные границы относительного поведения функций в зависимости от „массивности" множеств, на которых соответствующие характеристики роста достигаются. Даны применения к вопросам регулярности роста целых функций.

3. Введены и изучены новые характеристики роста последовательностей, выявлена связь с классическими внутренними и плотностными характеристиками, востребованными в теории целых и мероморфных функций. В частности, в новых терминах получен критерий измеримости последовательности.

4. Предложено решение обобщенной проблемы Адамара о нахождении наиболее узких классов эталонов для измерения „верхнего" и „нижнего" роста целых функций с его точным описанием по тейлоровским коэффициентам.

5. Найдены точные нижние грани типов целых функций с нулями заданных усредненных плотностей, расположенными на одном или нескольких лучах (прямых), в одном или нескольких углах фиксированного раствора, а также на более общих множествах.

6. Найдены неулучшаемые двусторонние оценки для нижних типов целых функций с нулями заданных усредненных плотностей в двух важнейших случаях расположения нулей: на одном луче; произвольно в комплексной плоскости.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер и способствует развитию выпуклого анализа, теории целых и мероморфных функций. Ее материал представляет интерес для специалистов, работающих в области теории функций, теории вероятностей, аналитического продолжения сумм рядов Дирихле, спектральной теории дифференциальных операторов. Результаты диссертации будут полезны в научных исследованиях, проводимых в МГУ им. М.В. Ломоносова, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Южном математическом институте Владикавказского научного центра РАН, Башкирском, Харьковском, Львовском госуниверситетах, Южном федеральном университете и других российских и зарубежных математических центрах.

Апробация работы. Сообщения о результатах диссертации сделаны на следующих конференциях и симпозиумах:

1) ХП-ХУ, XVII, XIX Саратовские зимние математические школы „Современные проблемы теории функций и их приложения", Саратов, 2004, 2006, 2008, 2010, 2014, 2018 гг.;

2) Воронежские зимние математические школы „Современные методы теории функций и смежные проблемы", Воронеж, 2007, 2009, 2013, 2015 гг.;

3) Международная конференция „Современные проблемы математики,

механики, информатики", посвященная 85-летию С. Б. Стечкина и 75-летию ТулГУ, Тула, 2005 г.;

4) Международная конференция „Теория приближений", посвященная 90-летию С. Б. Стечкина, Москва, МИ РАН им. В. А. Стеклова, 2010 г.;

5) Международная научно-образовательная конференция „Наука в вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высшего и среднего профессионального образования", Москва, РУДН, 2009 г.;

6) VIII, XII Международные Казанские летние научные школы-конференции „Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", Казань, 2007, 2015 гг.;

7) Международная конференция „Алгебра, анализ, геометрия", посвященная П. А. Широкову и А. П. Широкову, Казань, 2016 г.;

8) Всесоюзный симпозиум по теории приближения функций, Уфа, 1987 г.;

9) Уфимская международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная памяти А. Ф. Леонтьева, Уфа, 2007 г.;

10) VI Уфимская международная конференция „Комплексный анализ и дифференциальные уравнения", Уфа, 2011 г.;

11) Уфимская математическая конференция c международным участием, Уфа, 2016 г.;

12) Уфимская международная конференция, посвященная 100-летию А.Ф. Леонтьева, Уфа, 2017 г.;

13) V Международная конференция „Европа и современная Россия. Ин-тегративная функция педагогической науки в едином образовательном пространстве", Прага, 2008 г.;

14) Международная научная конференция „Образование, наука и экономика в вузах и школах. Интеграция в международное образовательное пространство", Цахкадзор, 2014 г., Горис, 2015 г.;

15) Международная конференция „Analysis and Topology", Львов, 2008 г.;

16) Международная конференция „Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения - III", Ростов-на-Дону, 2013 г.;

17) VII, X, XIII, XIV, XVI, XX, XXII, XXIV Международные конференции „Математика. Экономика. Образование", Абрау-Дюрсо, 1999, 2002, 2005, 2006, 2008, 2012, 2014, 2016 гг.;

18) Международные школы-семинары по геометрии и анализу, посвященная памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2002, 2004, 2006 гг.;

19) Международная научная конференция „Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование", Волгодонск, 2007 г.;

20) Международная научная конференция „Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования", Владикавказ, 2010 г.;

21) V Международная конференция „Математические идеи П. Л. Чебы-шева и их приложения к современным проблемам естествознания", Обнинск, 2011 г.;

22) Международная научная конференция „Теория приближений функций и родственные задачи анализа", посвященная памяти доктора физико-математических наук, профессора П. П. Коровкина, Калуга, 2015 г.;

23) Международная конференция „Теоретические и прикладные аспекты математики, информатики и образования", Архангельск, 2014 г.;

24) Международная конференция „Математика и информатика", Москва, МПГУ, 2016 г.

Сообщения о результатах диссертации были сделаны на научных семинарах

механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

1) по теории функций действительного переменного под руководством академика РАН Б. С. Кашина, академика РАН С. В. Конягина, профессора Б. И. Голубова, профессора М. И. Дьяченко, 2008, 2010 гг.;

2) по негармоническому анализу и целым функциям под руководством профессора А. М. Седлецкого и профессора В. В. Власова (в последние годы — профессора А. М. Седлецкого и д.ф.-м.н. А. Ю. Попова), неоднократно, 2002-2017 гг.;

3) по теории тригонометрических и ортогональных рядов под руководством профессора М. К. Потапова, профессора М. И. Дьяченко, профессора Т.П. Лукашенко, профессора В. А. Скворцова, 2017 г.;

4) по теории приближений и теории экстремальных задач под руководством профессора В. М. Тихомирова и профессора Г. Г. Магарил-Ильяева, 2010 г.;

факультета физико-математических и естественных наук РУДН

5) кафедры функционального анализа под руководством профессора В. И. Буренкова, 2017 г.;

6) кафедры прикладной математики под руководством профессора А. Л. Скубачевского, 2018 г.;

а также на научных семинарах

7) Института математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН под руководством чл.-корр. РАН В. В. Напалкова, 2016 г.;

8) кафедры высшей математики МИФИ под руководством профессора В. А. Осколкова, 2003 г.;

9) математического факультета МПГУ „Анализ и его приложения" под руководством профессора И. В. Тихонова и д.ф.-м.н. В. Б. Шерстюкова, неоднократно, 2012-2018 гг.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в одной монографии и двадцати трех работах, восемь из которых — в научных изданиях, входящих в международные реферативные базы данных и системы цитирования, пять работ — в научных изданиях, включенных в перечень ведущих рецензируемых журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ, четыре работы — в международных научных изданиях. Четыре статьи выполнены в соавторстве.

В совместной статье [31] Г. Г. Брайчеву принадлежит § 2, В. Б. Шерстю-кову — § 1, а §§ 3, 4 — обоим соавторам в равной степени.

В совместной статье [32] Г. Г. Брайчеву принадлежит раздел 1, В. Б. Шер-стюкову — раздел 2.

В статье [34] теорема 2 — плод совместного исследования авторов; остальные результаты принадлежат О. В. Шерстюковой.

В совместной статье [108] Г. Г. Брайчеву принадлежит лемма 2, В. Б. Шер-стюкову — лемма 1; основная теорема — обоим соавторам в равной степени.

Структура работы. Текст диссертации содержит введение, три главы и библиографический список. Каждая глава состоит из нескольких параграфов; объемные параграфы разделены на пункты. Принята своя нумерация параграфов в каждой из глав. В списке цитированной литературы в алфавитном порядке идут сначала работы на русском, а затем — на иностранных языках.

Изложим коротко содержание диссертации.

В первой главе предлагаются методы получения оценок относительного роста выпуклых функций и их производных, а также некоторых величин, тесно связанных с такими функциями и характеризующих их рост. Один из методов позволяет устанавливать сразу двусторонние оценки производных по известным двусторонним оценкам функций. Точнее говоря, в главе 1 доказываются теоремы тауберова типа в непрерывном и дискретном случаях. При этом тауберовость понимается в расширенном смысле, когда асимптотическая эквивалентность двух величин заменяется на точные асимптотические двусторонние оценки их отношения. В § 1.1 излагаются известные факты, а

параграф 1.2 посвящен доказательству равномерных оценок относительного роста функций и их производных. Асимптотическим оценкам посвящен § 1.3. Пункты 2, 3 этого параграфа являются техническими — в них проведено исследование вспомогательных функций. Дискретным аналогам теорем тау-берова типа посвящен § 1.4. Здесь доказываются различные варианты обращения теоремы Штольца. В §§ 1.5, 1.6 вводятся специальные характеристики роста комплексных последовательностей (индексы лакунарности и разреженности, внутренние плотности, Н-калибр) и устанавливаются связи между ними, а также влияние этих характеристик на классические. В новых терминах описывается регулярность роста целых функций.

Вторая глава посвящена решению проблемы Адамара, состоящей в нахождении наиболее узких классов эталонных функций, которые позволяют точно описать „верхнее" асимптотическое поведение любой целой функции по ее тейлоровским коэффициентам. Обобщенная проблема Адамара, включающая, в отличие от классического подхода, точное описание не только „верхних", но и „нижних" асимптотик роста целых функций, ставится в § 2.1. В первом пункте этого параграфа вводятся классы эталонных функций и описываются их свойства. Второй пункт посвящен доказательству эквивалентности определений величины типа (нижнего типа) целой функции относительно эталонов роста через максимум модуля и через максимальный член ряда Тейлора. В третьем пункте определяются типы целой функции относительно функций сравнения, а в четвертом доказываются формулы для их вычисления по тейлоровским коэффициентам. Наконец, в заключительном пункте параграфа 2.1 даются различные варианты положительного решения проблемы Адамара.

Параграф 2.2 отведен целым функциям нулевого порядка. Результаты, полученные в первой части этой главы, позволяют описать рост таких функций по их нулям. Основное утверждение состоит в том, что тип (соответственно, нижний тип) целой функции нулевого порядка совпадает с верхней (соответственно, нижней) усредненной плотностью ее нулей.

Третья, центральная глава диссертации, состоит из шести параграфов и посвящена решению экстремальных задач для целых функций положительного порядка с заданными асимптотическими характеристиками нулей.

Основной результат § 3.1 дает наименьшее возможное значение для величины типа целой функции порядка р € (0,1) с положительными нулями заданных (верхней и нижней) усредненных плотностей. Отдельно рассмотрен класс целых функций с дискретно измеримыми нулями. В следующем § 3.2 в терминах обычных плотностей решена серия экстремальных задач для типов целых функций с нулями на нескольких лучах или прямых. Особо выделены

практически важные случаи расположения нулей на вещественной прямой или координатных осях.

Центральный результат диссертации доказан в § 3.3. Здесь решена экстремальная проблема о нахождении точной нижней грани типов целых функций порядка р € (0,1), все нули которых расположены в угле фиксированного раствора ^ п и имеют заданные верхнюю и нижнюю усредненные плотности при показателе р. Даны также некоторые естественные обобщения.

В § 3.4 рассматриваются аналогичные задачи об экстремальном типе для целых функций с нулями в полосе или в вертикальных углах. Для целых функций с отрицательными нулями получены точные оценки индикатрисы роста.

Отдельный § 3.5 посвящен экстремальным задачам для нижнего типа целой функции конечного порядка с нулями, имеющими заданные усредненные плотности. Именно, в пунктах 3.5.1-3.5.3 найден точный диапазон для величины нижнего типа в важных случаях расположения нулей на одном луче и произвольно в комплексной плоскости.

Подчеркнем, что построение экстремальных примеров целых функций в задачах третьей главы потребовало нетривиальных усилий и существенно опирается на результаты первой части диссертации. Кроме того, поскольку найденные экстремальные величины имеют неэлементарный вид, то для них найдены двусторонние оценки через известные функции и исследовано асимптотическое поведение.

В завершение (см. § 3.6) рассмотрены непосредственные приложения результатов главы к теоремам единственности для целых функций.

Автор выражает искреннюю благодарность А. М. Седлецкому, А. Ю. Попову и В. Б. Шерстюкову за проявленный интерес к работе и плодотворные научные контакты. Отдельная признательность Д. Г. Цветкович за техническую помощь.

ГЛАВА 1

НОВЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНОК ВЫПУКЛЫХ

ФУНКЦИЙ

1.1 О поведении отношений двух функций и их производных

В параграфе исследуется рост функций / (х) и их производных /' (х) относительно „эталонных" функций д(х) и их производных д'(х). Считаем, что все эти функции определены на промежутке (а, Ь), где —то ^ а < Ь ^

В математической литературе теоремами абелева типа называются утверждения, в которых по асимптотическому поведению отношения производных двух функций делается вывод об асимптотическом поведении отношения самих функций. Примером утверждения такого типа является классическая теорема, известная как правило Лопиталя (исторически точнее — правило Бернулли-Лопиталя).

Теоремами тауберова типа называются утверждения противоположного характера, когда из асимптотики отношения функций получают асимптотику отношения их производных.

Мы будем понимать под теоремами абелева типа более общие утверждения, в которых по точным асимптотическим границам относительного роста производных двух функций определяются точные асимптотические границы относительного роста самих функций. Под теоремами же тауберового типа понимаем результаты противоположного характера, в которых по асимптотическим границам относительного роста двух функций находятся асимптотические границы относительного роста производных этих функций. В ситуации, когда границы смыкаются, получаем теоремы абелева и тауберова типов в привычном классическом смысле.

Асимптотические границы роста функции ](х) относительно эталона д(х) определяем равенствами

т Т-- 1(Х) 1- 1(Х)

Т = Ит т= Ит

х^ъ- д{х) д{х)

а ее производной относительно д'(х) — равенствами

А= Нт ——, 6= Нт

х^ъ-д'{х) х^ъ- 9\х)

Эти величины могут быть как конечными, так и бесконечными. Общеизвестна следующая теорема Бернулли-Лопиталя.

Теорема A. Пусть функции f (x) и g(x) определены и дифференцируемы на (конечном или бесконечном) интервале (a, b) и удовлетворяют следующим условиям

1) g'(x) = 0 на (a, b),

2) lim g(x) = oo или lim f (x) = lim g(x) = 0.

x— b— x— b— x— b—

Если существует (конечный или бесконечный) предел lim ^-4—г ; то суще-

x— b— g (x)

ствует предел lim ^7—7 , причем эти пределы равны, т. е. x— b— g(x)

f (x) f'(x) „

lim = lim ^Ц-f. (l.l)

x—■ b— g(x) x—• b— g'(x)

В случае, когда пределы отношений функций или их производных не обязательно существуют, справедлива следующая обобщенная теорема Бернулли-Лопиталя, содержащая теорему А.

Теорема B. Пусть функции f (x) и g(x) определены, дифференцируемы на интервале (a, b) и удовлетворяют условиям

1) g'(x) = 0 на (a, b),

2) lim g(x) = o или lim f (x) = lim g(x) = 0.

x—у b— x—у b— x—у b—

Тогда выполняются неравенства

/'W /W т^— fix) —- fix)

lim ^ lim ^-f, lim ^ lim

9 {X) x^b- g{x) x^b-g(x) x^b-g'{x)

или, в краткой записи,

ö < т, T < Д. (1.2)

Оценки (1.2) точны в классе выпуклых функций (см. ниже теорему 1.4).

Замечание 1.1. Теоремы А и В справедливы и при меньших ограничениях. Например, для выпуклой функции f (x) в них можно заменить производные на односторонние производные f+(x) или f'_ (x).

Сформулированные утверждения относятся к теоремам абелева типа. Нас интересуют обращения этих результатов, т. е. теоремы тауберова типа, когда из характера поведения отношения функций делаются заключения о характере поведения отношения их производных. Доказательства таких утверждений приведут нас к неравенствам противоположного (1.2) смысла. Кроме того, будут найдены условия, при которых в (1.2) реализуются знаки равенств.

Систематическое исследование вопроса об обращении правила Лопиталя в отечественной литературе началось, по-видимому, с работ А. В. Братищева [35], [36]. Приведем в удобной для нас форме сводный результат, полученный сочетанием предложений 2.2-2.5 из диссертации [36].

Теорема С. Пусть функция д(х) непрерывно дифференцируема на (конечном или бесконечном) интервале (а, Ь), д(х) — её наибольшая выпуклая миноранта, и д'(х) > 0. Зафиксируем число К € (0, +то) . 1) Для того чтобы для любой выпуклой на (а,Ь) функции /(х) из неравенства

/М

lim

x^ b- g(x)

< то « K)

следовало неравенство

lim <оо (^K),

x

b- g'(x)

необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия

—— q'(x)

lim ^Hr < то « 1),

x

ъ- g'(x)

ßg := lim

x^ ъ- g'(x) t>x t — x

mM. < (^i).

(1.3)

(1.4)

2) Пусть Ь = +то . Для того чтобы для любой выпуклой на (а, +то) функции / (х) из неравенства

lim Щ>0 &К)

g(x)

следовало неравенство

lim Ш>0 (ZK),

необходимо, а в случае, если д(х) выпукла, то и достаточно, чтобы выполнялось условие

_ пг.п' ( тЛ

(1.5)

а„ := lim < оо (^ 1).

x^+то g (x)

Приведем также адаптированную версию обращения классического правила Лопиталя (см. [36, теорема 2.1]).

1

Теорема D. Пусть выполнены условия теоремы C. Для того чтобы для любой выпуклой на (a, b) функции f (x) из равенства

lim Щ = К

x^ b- g(x)

следовало равенство

Hm Щ = К,

x^ b- g'(x)

необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия

lim = (1.6)

x^ b- g' (x)

^g(£) < 1 при всех £ G (0, 1), (1.7)

где обозначено

g(x') + g'(x')(x — x')

-, €€(0,1), (1.8)

и x' = x'(£, x) := max {t : g'(t) ^ £ g'(x)} .

Менее известна непредельная „монотонная" версия правила Лопиталя, в которой устанавливается связь между монотонностью отношения функций и монотонностью отношения их производных (см., например, [93], [101], [126], [136]).

Теорема E. Пусть функции f (x) и g(x) определены, дифференцируемы на (конечном или бесконечном) интервале (a, b) и удовлетворяют условиям

1) g'(x) = 0 на (a, b),

2) g(b-) = f (b-) = 0 или g(a+) = f (a+) = 0.

rp л f(x) f(x)

1огоа, если —-— монотонна на (a,b), то и ——— монотонна в том же g'(x) g(x)

смысле на (a, b) .

Отметим, что монотонность фигурирующих в теореме E отношений функций и их производных позволяет определить точные границы изменения таких отношений. Без предположения монотонности вопрос существенно усложняется. В более общей постановке он обсуждается в следующем параграфе.

1.2 Равномерные оценки относительного роста функций и их производных

В этом параграфе устанавливаются двусторонние оценки относительного роста производных двух функций, исходя из двусторонних оценок относи-

тельного роста самих функций (см. [29]). Всюду речь идет о сравнении функций /(х) и д(х), сохраняющих постоянные и при этом совпадающие знаки на рассматриваемых множествах.

Начнем со случая возрастающих бесконечно больших функций. Всюду далее под /' (х) понимаем правую производную функции / в точке х.

Теорема 1.1. Пусть функция / (х) выпукла на некотором интервале (а,Ь), —то ^ а < Ь ^ +то, функция д(х) дифференцируема на этом интервале, причем д'(х) > 0, и, кроме того, д(а+) = 0, д(Ь-) = +то . Пусть, далее, с неотрицательными константами т, М, т ^ М, выполнено условие

f (г)

т < -г4 < М, хе. (а, Ь). (1.9)

д(х)

Тогда справедлива двусторонняя оценка

f' (X)

Мс\{9) < J-jИ- < Мс2{в), х Е (а, 6), g (х)

(1.10)

где 0 = —; а величины С\(в), С2{в) определяются правилами

ЫО) = mi ———- sup -,

xE(a,b) g (Х) a<t<x t - X

(n\ 1 • r g(t) - °g(x)

C2{0) = sup ——— ml

(1.11)

x(E (a

(a, b) g' (X) b>t>x t - X

Доказательство. Поскольку f (x) — выпуклая функция, то для произвольного х Е (a, b) можем записать

т = inf М^м < inf M9(t) - mg{x) = м щ g{t) - вд(х)

b>t>x t — X b>t>x t — X b>t>x t — X

Таким образом,

f{x) ^ M mf 9(t)-eg(x)

b>t>x t - X

Разделив обе части на g'(x) , для всех X Е (a, b) получаем

Щ ^ м 1 lnf 9(t) - вд(х) м

g (x) g (x) b>t>x t — X

Оценка сверху в (1.10) доказана. Доказательство оценки снизу опирается на те же соображения. Именно, для x Е (a, b) запишем

f'(x) > r_(x) = sup m ~ f{x) >

a<t<x t — X 16

Mg(t) — mg(x) g(t) — 0g(x) ^ sup -^ = M sup ^-

a<t<x t — x a<t<x t — x

или

f'(.T) ^ м sup fcMil. (1.13)

a<t<x t — x

Разделив обе части на g'(x), для всех x £ (a, b) получаем

f'(x) „ ^ 1 g(t) — 0g(x) „ ^

^ M—— sup ^-^ ^ МЫв).

g'(x) g' (x) a<t<x t — x

Теорема доказана. □

Отметим, что условия g(a+) = 0, g(b—) = в теореме 1.1 отбросить нельзя. При нарушении этих условий формулы (1.11), определяющие величины ci(#), c2(0), дают ci(#) = —то, c2(0) = . В этом нетрудно убедиться и геометрически, рассмотрев, например, в случае конечности точек a, b функцию f (x), график которой касается граничных прямых x = a, x = b.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Брайчев Георгий Генрихович, 2018 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абанин, А. В. Слабо достаточные множества и абсолютно представляющие системы: Дисс. ... д.ф.-м.н. - Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1995. - 268 с.

2. Абанин, А. В. Ультра-дифференцируемые функции и ультрараспределения. - М.: Наука. - 2007. - 222 с.

3. Абанин, А. В., Юделевич В. В. Об обращении теоремы Штольца // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2016.

- № 2. - С. 5-9.

4. Аветисян, А. Е. О целых функциях порядка р (1 <р< 2)// Известия Академии Наук Арм. ССР. Математика. - 1988. - Т. XXIII. - № 6. -С. 557-574.

5. Азарин, В. С. Об одном характеристическом свойстве функций вполне регулярного роста внутри угла // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: республиканский межведомственный научный сборник / Харьковский государственный университет. - 1966. - Вып. 2.

- С. 55-66.

6. Азарин, В. С. О регулярности роста функционалов на целых функциях // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: республиканский межведомственный научный сборник / Харьковский государственный университет. - 1972. - Вып. 16. - С. 109-137.

7. Азарин, В. С. Об экстремальных задачах на целых функциях // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: республиканский межведомственный научный сборник / Харьковский государственный университет. - 1973. - Вып. 18. - С. 18-50.

8. Андрашко, М. I. Екстремальний шдикатор цшо! функцп порядку меньше одинищ з додатними нулями // Допов1д1 АН УРСР. - 1960. - № 7.

- С. 869-872.

9. Бибербах, Л. Аналитическое продолжение. - М.: Наука, 1967. - 241 с.

10. Брайчев, Г. Г. О некоторых особенностях роста максимального члена, центрального индекса и коэффициентов Тейлора целой функции // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 1982.

- № 3. - С. 29-32.

11. Брайчев, Г. Г. О некоторых характеристиках аналитических функций логарифмического роста // Теория операторов и субгармонические функции. - Киев: Наукова думка, 1991. - С. 12-24.

12. Брайчев, Г. Г. Индекс лакунарности // Математические заметки. -1993. - Т. 53. - № 6. - С. 3-10.

13. Брайчев, Г. Г. Вычисление индикатора целой функции дробного порядка по ее коэффициентам Тейлора // Украинский математический журнал. - 1993. - Т. 45. - № 6. - С. 854-858.

14. Брайчев, Г. Г. Об индексе лакунарности множества, определяющего рост целой функции конечного порядка // Известия вузов. СевероКавказский регион. Естественные науки. - 2002. - № 3. - С. 122-123.

15. Брайчев, Г. Г. Несколько простых замечаний о равенстве характеристик роста целых функций // Актуальные проблемы математики, физики, информатики и методики их преподавания: Юбилейный сборник к 130-летию МПГУ.- М.: МПГУ, 2003. - С. 49-53.

16. Брайчев, Г. Г. О сглаживании выпуклых функций. Обобщенная проблема Адамара // Актуальные проблемы математики, информатики, физики и математического образования: Юбилейный сборник к 70-летию кафедры математического анализа МПГУ. - М.: МПГУ, 2004. - С. 147156.

17. Брайчев, Г. Г. О сглаживании выпуклых функций // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Выпуск 6: Периодический межвузовский сборник научно-методических работ. -Киров : Изд-во ВятГУ, 2004. - С. 38-47.

18. Брайчев, Г. Г. Об одной проблеме Адамара и сглаживании выпуклых функций // Владикавказский математический журнал. - 2005. - Т. 7.

- № 3. - С. 11-25.

19. Брайчев, Г. Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций.

- М. : Прометей, 2005. - 233 с.

20. Брайчев, Г. Г. Об асимптотическом поведении выпуклых функций и их производных // Исследования по современному анализу и математическому моделированию. - Владикавказ: Владикавказский научный центр РАН и РСО-А, 2008. - С. 21-29.

21. Брайчев, Г. Г. О методах оценок выпуклых функций // Математичш студп. Пращ Льв1вского математичного товариства. - 2009. - Т. 31. -№ 1. - С. 29-36.

22. Брайчев Г. Г. Точные оценки типов целой функции порядка р Е (0,1) нулями на луче // Уфимский математический журнал. - 2012. - Т. 4.

- № 1. - С. 29-37.

23. Брайчев, Г. Г. Точные оценки типа целой функции порядка меньше единицы с нулями на луче заданных усредненных плотностей // Доклады Академии наук. - 2012. - Т. 445. - № 6. - С. 615-617.

24. Брайчев, Г. Г. Наименьший тип целой функции порядка р Е (0, 1) с положительными корнями заданных усредненных плотностей // Математический сборник. - 2012. - Т. 203. - № 7. - С. 31-56.

25. Брайчев, Г. Г. Точные соотношения между некоторыми характеристиками роста последовательностей // Уфимский математический журнал. - 2013. - Т. 5. - № 4. - С. 17-30.

26. Брайчев, Г. Г. Точные оценки типов целых функций с нулями на лучах // Математические заметки. - 2015. - Т. 97. - № 4. - С. 503-515.

27. Брайчев, Г. Г. Точные границы величины нижнего типа целой функции порядка р Е (0, 1) с нулями заданных усредненных плотностей // Уфимский математический журнал. - 2015. - Т. 7. - № 4. - С. 34-60.

28. Брайчев, Г. Г. Наименьший тип целой функции с корнями заданных усредненных плотностей, расположенными на лучах или в угле // Математический сборник. - 2016. - Т. 207. - № 2. - С. 45-80.

29. Брайчев, Г. Г. Двусторонние оценки относительного роста функций и их производных // Уфимский математический журнал. - 2017. - Т. 9.

- № 3. - С. 18-26.

30. Брайчев Г. Г., Шерстюков, В. Б. Связь типов целой функции конечного порядка с плотностями ее нулей // Математика. Экономика. Образование: Сб. трудов XIV Международной конференции. - Ростов на Дону, 2006. - С. 52-55.

31. Брайчев, Г. Г., Шерстюков, В. Б. О наименьшем возможном типе целых функций порядка р Е (0, 1) с положительными нулями // Известия РАН. Серия. Математическая. - 2011. - Т. 75. - № 1. - С. 3-28.

32. Брайчев, Г. Г., Шерстюков, В. Б. О росте целых функций с дискретно измеримыми нулями // Математические заметки. - 2012. - Т. 91. - № 5.

- С. 674-690.

33. Брайчев, Г. Г., Шерстюкова, О. В. Об одной экстремальной задаче для нижнего типа целой функции порядка р Е (0, 1) // Математический форум. Т. 3. Исследования по математическому анализу. - Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН и РСО-А, 2009. - С. 48-54.

34. Брайчев, Г. Г., Шерстюкова, О. В. Наибольший возможный нижний тип целой функции порядка р Е (0,1) с нулями фиксированных р-плотностей // Математические заметки. - 2011. - Т. 90. - № 2. - С. 199215.

35. Братищев, А. В. Обращение правила Лопиталя // Механика сплошной среды. - Ростов-на-Дону: РГУ, 1985. - С. 28-43.

36. Братищев, А. В. Базисы Кете, целые функции и их приложения: Дисс. ... д.ф.-м.н. - Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1998. - 248 с.

37. Говоров, Н. В. Екстремальний шдикатор цшо1 функцп з додатними нулями задано!" верхньо1 та нижньо! густини // Доповщ АН УРСР. -1966. - № 2. - С. 148-150.

38. Говоров, Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. - М.: Наука, 1986. - 240 с.

39. Гольдберг, А. А. Экстремальный индикатор для целой функции с положительными нулями // Сибирский математический журнал. - 1962.

- Т. 3. - № 2. - С. 170-177.

40. Гольдберг, А. А. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложения к теории целых функций. I // Математический сборник. - 1962. -Т. 58(100). - № 3. - С. 289-334.

41. Гольдберг, А. А. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложения к теории целых функций. II // Математический сборник. - 1963. -Т. 61(103). - № 3. - С. 334-349.

42. Гольдберг, А. А. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложения к теории целых функций. III // Математический сборник. - 1964. -Т. 65(107). - № 3. - С. 414-453.

43. Гольдберг, А. А. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложения к теории целых функций. IV // Математический сборник. - 1965. -Т. 66(108). - № 3. - С. 411-457.

44. Гольдберг, А. А., Левин, Б. Я., Островский, И. В. Целые и мероморф-ные функции // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Комплексный анализ. Одна переменная-1.) - М.: ВИНИТИ, 1991. - Т. 85. - С. 5-186.

45. Гольдберг, А. А., Островский, И. В. Распределение значений меро-морфных функций. - М.: Наука, 1970. - 592 с.

46. Гришин А. Ф. О множествах регулярного роста целых функций // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: республиканский межведомственный научный сборник / Харьковский государственный университет. - 1983. - Вып. 40. - С. 36-47.

47. Гришин, А. Ф. О множествах регулярного роста целых функций // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: республиканский межведомственный научный сборник / Харьковский государственный университет. - 1984. - Вып. 41. - С. 39-55.

48. Гришин, А. Ф. О множествах регулярного роста целых функций // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: республиканский межведомственный научный сборник / Харьковский государственный университет. - 1984. - Вып. 42. - С. 37-43.

49. Джрбашян, Н. Н. Интегральные преобразования и представление функций в комплексной области. - М.: Наука, 1966. - 672 с.

50. Евграфов, М. А. Асимптотические оценки и целые функции. - М.: Наука, 1979. - 320 с.

51. Казьмин, Ю. А. Методы интерполяции аналитических функций и их приложения: Дисс. ... д.ф.-м.н. - М.: МГУ, 1972.

52. Казьмин, Ю. А. Сравнения функции // Математическая энциклопедия. Т. 5. - М.: Советская энциклопедия, 1985. - 160 с.

53. Кондратюк, А. А. Экстремальный индикатор для целых функций с положительными нулями // Литовский математический сборник. - 1967.

- Т. 7. - № 1. - С. 79-117.

54. Кондратюк, А. А. Целые функции с положительными нулями, имеющими конечную максимальную плотность // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: республиканский межведомственный научный сборник / Харьковский государственный университет. -1968. - Вып. 7. - С. 37-52.

55. Кондратюк, А. А. Об экстремальном индикаторе целых функций с положительными нулями // Сибирский математический журнал. - 1970.

- Т. 11. - № 5. - С. 1084-1092.

56. Кондратюк, А. А. Ряды Фурье и мероморфные функции. - Львов: Изд-во при Львовского университета, 1988. - 196 с.

57. Коробейник, Ю. Ф. Аналитические решения операторных уравнений бесконечного порядка: Дисс. ... д.ф.-м.н. - Ростов-на-Дону: Ростовский государственный университет, 1965.

58. Коробейник, Ю. Ф. Нормально-разрешимые операторы и дифференциальные уравнения бесконечного порядка // Литовский математический сборник. - 1971. - Т. XI. - № 3. - С. 569-596.

59. Коробейник, Ю. Ф. Представляющие системы // Успехи математических наук. - 1981. - Т. 36. - вып. 1. - С. 73-126.

60. Коробейник, Ю. Ф. О связи между максимумом модуля и тейлоровскими коэффициентами целых функций многих комплексных переменных // Математические заметки. - 1997. - Т. 62. - вып. 2. - С. 238-258.

61. Красичков, И. Ф. Оценки снизу для целых функций конечного порядка // Сибирский математический журнал. - 1965. - Т. 6. - № 4. - С. 840861.

62. Левин, Б. Я. Распределение корней целых функций. - М.: ГИТТЛ, 1956. - 632 с.

63. Леонтьев, А. Ф. Ряды экспонент. - М.: Наука, 1976. - 536 с.

64. Маергойз, Л. С. Индикаторная диаграмма целой функции уточненного порядка и ее обобщенные преобразования Бореля-Лапласа // Алгебра и анализ. - 2000. - Т. 12. - выпуск 2. - С. 1-63.

65. Малютин, К. Г. О множествах регулярного роста функций в полуплоскости. I // Известия РАН. Серия. Математическая. - 1995. - Т. 59. -№ 4. - С. 125-154.

66. Малютин, К. Г. О множествах регулярного роста функций в полуплоскости. II // Известия РАН. Серия. Математическая. - 1995. - Т. 59. -№ 5. - С. 103-126.

67. Мандельбройт, С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. - М.: ИЛ, 1955. - 268 с.

68. Мощевитин, Н. Г. О распределении по модулю 1 лакунарных и сублаку-нарных последовательностей: применение конструкции Переса-Шлага // Фундаментальная и прикладная математика. - 2010. - Т. 16. - вып. 5.

- С. 117-138.

69. Напалков, В. В., Юлмухаметов, Р. С. Весовые преобразования Фурье-Лапласа аналитических функционалов в круге // Математический сборник. - 1992. - Т. 183. - № 11. - С. 139-144.

70. Осколков, В. А. О некоторых вопросах теории целых функций // Математический сборник. - 1993. - Т. 184. - № 1. - С. 129-148.

71. Осколков, В. А. Свойства функций, заданных значениями их линейных функционалов: Дисс. ... д.ф.-м.н. - М.: МГУ, 1994.

72. Осколков, В. А. Современные методы теории функций и смежные проблемы // Воронежская зимняя математическая школа: тезисы докладов. - Воронеж, 1997. - С. 126.

73. Осколков, В. А., Калиниченко, Л. И. Рост целых функций, представленных рядами Дирихле // Математический сборник. - 1996. - Т. 187.

- № 10. - С. 129-144.

74. Полиа, Г., Сеге, Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть вторая. Теория функций. Распределение нулей. Полиномы. Определители. Теория чисел. - М.: Наука, 1978. - 432 с.

75. Попов, А. Ю. О функциях сравнения // Математические заметки. -1991. - Т. 49. - вып. 5. - С. 97-103.

76. Попов, А. Ю. Об обращении обобщенного преобразования Бореля // Фундаментальная и прикладная математика. - 1999. - Т. 5. - № 3. -С. 817-841.

77. Попов, А. Ю. О полноте в пространствах аналитических функций систем экспонент с вещественными показателями заданной верхней плотности // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. - 1999. - № 5. - С. 48-52.

78. Попов, А. Ю. Границы сходимости и единственности интерполяционных задач Абеля-Гончарова // Математический сборник. - 2002. -Т. 193. - № 2. - С. 97-128.

79. Попов, А. Ю. Наименьший возможный тип при порядке р < 1 канонических произведений с положительными нулями заданной верхней р -плотности // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. - 2005. - № 1. - С. 31-36.

80. Попов, А. Ю. О наименьшем типе целой функции порядка р с корнями заданной верхней р-плотности, лежащими на одном луче // Математические заметки. - 2009. - Т. 85. - вып. 2. - С. 246-260.

81. Попов, А. Ю. Развитие теоремы Валирона-Левина о наименьшем возможном типе целой функции с заданной верхней р-плотностью корней // Труды крымской осенней матем. школы-симпозиума, СМФН. - 2013.

- Т. 49. - С. 132-164.

82. Прудников, А. П., Брычков, Ю. А., Маричев, О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. - М.: Наука, 1981. - 800 с.

83. Седлецкий, А. М. Аналитических преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации, I. - СМФН. - 2003. - Т. 5. - С. 3-152.

84. Седлецкий, А. М. Аналитических преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации, II. - СМФН, 2003. - Т. 6. - С. 3-162.

85. Седлецкий, А. М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. - М.: Физматлит, 2005. - 504 с.

86. Сенета, Е. Правильно меняющиеся функции. - М.: Наука, 1985. - 144 с.

87. Симич, С. Некоторые свойства целых функций с неотрицательными коэффициентами Тейлора // Математические заметки. - 2007. - Т. 81.

- вып. 5. - С. 760-765.

88. Таров, В. А. Гладко меняющиеся функции и совершенные уточненные порядки // Математические заметки. - 2004. - Т. 76. - вып. 2. - С. 258264.

89. Филевич, П. В. Зростання щло! i випадтково'1' цто! функцп // Мате-матичш студп. Пращ Львiвского математичного товариства. - 2008. -Т. 30. - № 1. - С. 15-21.

90. Хабибуллин, Б. Н. О типе целых и мероморфных функций // Математический сборник. - 1992. - Т. 183. - № 11. - С. 35-44.

91. Хабибуллин, Б. Н. Полнота систем экспонент и множества единственности. - Уфа: РИЦ БашГУ. - 2006. - 172+xvi с.

92. Хабибуллин, Б. Н. Последовательности нулей голоморфных функций, представление мероморфных функций. II. Целые функции // Математический сборник. - 2009. - Т. 200. - № 2. - С. 129-158.

93. Харди, Г. Г., Литтлвуд, Дж. Е., Полиа, Г. Неравенства. - М.: ИЛ, 1948.

- 456 с.

94. Шеремета, М. Н. О связи между ростом максимума модуля целой функции и модулями коэффициентов ее степенного разложения // Известия вузов. Математика. - 1967. - № 2. - C. 100-108.

95. Шеремета, М. Н. О связи между ростом целых или аналитических в круге функций нулевого порядка и коэффициентами их степенных разложений // Известия вузов. Математика. - 1968. - № 6. - C. 115121.

96. Шеремета, М. Н., Сумык, О. М. Зв'язок мiж зростанням спряжених за Юнгом функцш // Matematychni studiï. Пращ Львiвского математичного товариства. - 1999. - Т. 11. - № 1. - C. 41-47.

97. Шерстюков, В. Б. Минимальное значение типа целой функции порядка р G (0,1), все нули которой лежат в угле и имеют заданные плотности // Уфимский математический журнал. - 2016. - T. 8. - № 1. - С. 113126.

98. Шерстюков, В. Б. Асимптотические свойства целых функций, корни которых лежат в некотором угле: Дисс. ... д.ф.-м.н. — М.: МГУ, 2017.

- 224 с.

99. Abanin, А. V. Effective and Sampling Sets for Hormander Spaces // Complex Analysis and Operator Theory. May 2016. - P. 1-19.

100. Adamovic, D. D. Sur quelques proprietes des fonctions a croissence lente de Karamata // Mat. vesnik, 3. - 1966. - I, II. - P. 123-136, P. 62-72.

101. Anderson, G., Vamanamurthy, M., Vuorinen M. Monotonicity Rules in Calculus // The American Mathematical Monthly. - 2006. - V. 113. - № 9. - P. 805-816.

102. Basinger, R. C. On the coefficients of entire series with gap // Journal of Math. Analysis and Applications. - 1972. - V. 38. - № 3. - P. 790-792.

103. Biernacki, M., Krzyz, J. On the monotonicity of certain functionals in the theory of analytic functions // Ann. Univ. M. Curie-Sklodowska. - 1995. -V. 2. - P. 134-145.

104. Bingham, N. H., Goldie, C. M., Teugels, J. L. Regular variation. -Encyclopedia of Math. and its Applications; 27. - Cambridge: Cambridge University Press, 1987. - 494 p.

105. Boas, R. P. Entire functions. - New-York: Acad. Press, 1954. - 276 p.

106. Borel, E. Lessons sur les fonctions entieres. II ed.— Paris: Gauthier-Vilars, 1921. - 162 p.

107. Braichev, G. G. On comparative increase of relations of convex functions and their derivatives // National Academy of Sciences of Azerbaijan. Proceedings of institute of mathematics and mechanics. - Bacu, 2002. -V. XVII (XXV). - P. 38-50.

108. Braichev, G. G., Sherstyukov, V. B. On an Extremal Problem Related to the Completeness of a System of Exponentials in the Disk // Asian-European Journal of Mathematics. - 2008. - V. 1. - № 1. - P. 15-26.

109. Clunie, J. On integral functions having prescribed asymptotic growth // Can. J. Math. - 1965. - V. 17. - P. 396-404.

110. Clunie, J., Kovari, T. On integral functions having prescribed asymptotic growth II // Can. J. Math. - 1968. - V. 20. - P. 7-20.

111. Earl, J. P., Hayman, W. K. Smooth majorants for functions of arbitrarily rapid growth // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. - 1991. - V. 109. - № 3. -P. 565-569.

112. Eremenko, A., Yuditskii, P. An extremal problem for a class of entire functions of exponential type// arXiv: 0807.2054V1 [math. CV] 13 Jul 2008.

113. Filevych, P. V. On the growth of the maximum of the modulus of an entire function on a sequence // Ukrainian mathematical Journal. - 2002. - V. 54. - № 8. - P. 1386-1392.

114. Freedman, A. R., Sumber, J. J., Raphael, V. Some Cesaro type of Summability Spaces // Proc. London Math. Soc. - 1978. - V. 37. - P. 508520.

115. Gokhan, A., Grungor, M., Bullut, Y. On the strong lacunary convergence and strong Cesaro summability of sequences of real-valued functions // Applied Siences. - 2006. - V. 8. - № 1. - P. 70-77.

116. Gray, A, Shah, S. M. A note on entire functions and conjecture of Erdos // Bull. of the Amer. Math. Soc. - 1963. - V. 69. - № 4. - P. 573-577.

117. Gray, A., Shah, S. M. Holomorphic functions with gap power series. III // J. Math. Mech. - 1966. - V. 16. - P. 297-310.

118. Hadamard, J. Essai d'etude des fonctions donnees par leur developpement de Taylor //J. Math. Pure et Appl. - 1892. - V. 8. - Ser. 4. - P. 154-186.

119. Hadamard, J. Etude sur les proprietes des fonctions entieres et en particulier d'une fonction considerée par Riemann // Journal de mathematiques pures et appliquees 4e serie. - 1893. - V. 9. - P. 171-215.

120. Hayman, W. K. Note on Hadamard's convexity theorem // Entire functions and related parts of analysis. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics: AMS. - Providence. - 1968. - V. 11. - P. 210-213.

121. Horowitz, C., Korenblum, B., Pinchuk, B. Sampling sequences for // Michigan Math. J. - 1997. -V. 44. - № 2. - P. 389-398.

122. Iyer, V. G. On effective sets of points in relation to integral functions // Trans. Amer. Math. Soc. - 1937. - V. 42. - P. 358-365.

123. Kiselman, Ch. O. Order and type as measure of growth for convex or entire functions // Proceedings of London Math. Soc. - 1983. - V. 66. - № 3. -P. 152-186.

124. Kjellberg, B. The convexity theorem of Hadamard-Hayman // Proceedings of Symposium at the Royal Instute of Technolodgy in june 1973. - P. 87114. (The Royal Instute of Technology, Stockholm, 1974). Mathematics. -V. 11. - P. 210-213.

125. Komatsu, H. Ultradistributions I. Structure theorems and a caractersations //J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sec IA, Math. - 1973. - V. 20. - № 1. - P. 25105.

126. Kwong, M. K. On Hospital-style rules for monotonicity and oscillation // arXiv: 1502.07805v1 [math.CA] 27 Feb 2015.

127. Lindelöf, E. Sur la determination de la croissance des fonctions entieres definies par un development de Taylor // Bull. Soc. Math. - 1903. - V. 27. - № 1. - P. 213-226.

128. Lindelof, E. Memoire sur la theorie des fonctions entieres de genre fini. -Fennicœ: Acta Soc. Sc. Fennicœ, 1903. - 79 p.

129. Malliavin, P., Rubel, L. A. On small entire functions of exponential type with given zeros // Bull. Soc. Math. France. - 1961. - V. 89. - P. 175-206.

130. Murai, T. The boundary behaviour of Hadamard lacunary series // Nagoya Math. J. - 1983. - V. 89. - P. 65-76.

131. Nachbin, L. An extension of the notion of integral functions of the finite exponential type // Anais Acad. Brasil. Ciencias. - 1944. - V. 16. - P. 143147.

132. Parolya, M. I., Sheremeta, M. M. Estimates from below for characteristic functions of probability laws // Matematychni studiï. - 2013. - V. 39. -№ 1. - P. 54-66.

133. Pfluger, A. Die Wertverteilung und das Verhalten von Betrag und Argument einer speziellen Klasse analytischer Funktionen. I // Comm. Math. Helv. - 1938. - V. 11. - P. 180-213.

134. Pfluger, A. Die Wertverteilung und das Verhalten von Betrag und Argument einer speziellen Klasse analytischer Funktionen. II // Comm. Math. Helv. - 1939. - V. 12. - P. 25-69.

135. Phragmen, E. et Lindelöf, E. Sur une extension d'un principe classique de l'analyse et sur quelques proprietes des fonctions monogenes dans le voisinage d'un point singulier // Acta Mathematica. - 1908. - V. 31. -P. 381-406.

136. Pinelis, I. L'Hospital type rules for monotonicity, with application // Journal in Pure and Applide Mathematics. - 2002. - V. 3. - is. 1. - art. 5.

137. Platsydem, M. I., Sheremeta, M. M. Estimates for the maximum modulus of analytic characteristic functions of probability laws on some sequences // Matematychni studiï. - 2014. - V. 42. - № 2. - P. 149-159.

138. Poincare, H. Sur les fonctions intieres // Bulletin de la S.M.F. - 1883. -V. 11. - P. 136-144.

139. Redheffer, R. M. On even entire functions with zeros having a density // Trans. Amer. Math. Soc. - 1954. - V. 77. - P. 32-61.

140. Roumieu, C. Sur quelques extension de la notion de distribution // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 3 Ser. - 1960. - V. 77. - № 1. - P. 41-121.

141. Shah, S. M. Trigonometric series with quasi-monotone coefficients // Proc. Amer. Math. Soc. - 1962. - V. 13. - P. 266-273.

142. Stolz, O. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neuen Ansichten // Leipzig: Teubners. - 1885. - P. 173-175.

143. Valiron, G. Sur les fonctions entieres d'ordre nul et d'ordre fini et en particulier les fonctions a correspondance reguliere // Annales de la faculte des sciences de Toulouse Ser. 3. - 1913. - T. 5. - P. 117-257.

144. Valiron, G. Lecture on the General Theory of Integral Functions. -Toulouse: Private, 1923. - 234 p.