Развитие теоремы Валирона-Гольдберга тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Мышаков Фёдор Сергеевич

• Мышаков Фёдор Сергеевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Мышаков Фёдор Сергеевич

1.3 Доказательства теорем

1.4 Доказательства вспомогательных утверждений

2 Уточнение теоремы Гольдберга об оценке типа при уточнённом порядке целой функции целого порядка бесконечного типа

2.1 Регуляризованный интеграл Валирона

2.2 Основные результаты

2.3 Лемма о медленно меняющихся функциях

2.4 Сведение оценок логарифма максимума модуля канонического произведения к оценкам специального ряда и интеграла

2.5 Доказательства теорем

Заключение

Основные определения, обозначения и предварительные сведения

В диссертации изучаются целые (т.е. аналитические по всей комплексной плоскости) функции. Пространство целых функций обозначим А(С). Каждой функции / Е А( С) поставим в соответствие следующие функции действительной переменной Я Е [0, :

М(/, Я) = тах |/(г)|; nf (Я) — количество корней / в круге |г| < Я;

\г\<К

} П0 (х)

Nf(Я) = —- б,х, где п°(х) = nf(х) — т, (0.0.1)

0

а т - кратность корня ](г) в точке г =

Функцию п^(Я) обычно называют считающей функцией множества корней /, а Nf (Я) — усреднённой считающей функцией множества ненулевых корней /•

Определение 1. Порядком целой функции / называется величина

-1п1п М(/, Я)

Pf = lim --——-. (0.0.2)

rj ln R

Эквивалентное определение порядка целой функции таково. Если

lim sup R-a ln M(f, R) = + w Va > 0,

то f— целая функция бесконечного порядка; если при некотором a > 0 верна асимптотическая оценка

ln M(f, R) = O(Ra), R ^ (0.0.3)

то f— функция конечного порядка (для функции f(z) = 0 логарифм максимума модуля не определён, но считается, что эта функция имеет

a

( ) выполняется, называется порядком целой функции ]. Более тонкой характеристикой скорости роста 1п М(/, Я) при Я ^ является тип при уточнённом порядке.

Определение 2. Уточнённым, порядком, называется произвольная функция р(г), определённая и дифференцируемая на лучеЯ0 < г < (число Я0 своё для, каждой такой функции) и обладающая следующими свойствами:

3 lim p(r) = р, 0 < р < lim p'(r)r ln r = 0. (0.0.4)

r—Г—

Уточнённые порядки были введены Ж. Валироном в [22] для создания системы эталонов роста, с которыми сравниваются логарифмы максимумов модулей целых функций конечного порядка. Фактически же Валирон использовал их в более ранних работах, в частности, в статье [21], в которой было положено начало исследованиям, продолжаемым в данной диссертации.

Определение 3. Типом, функции f £ A(C) при уточнённом порядке p(r) называется величина

ap{r)(f) = lim supr-p(r) ln M(f,r). (0.0.5)

r—

f

p(r)

^p(r)(f) =

Когда мы будем писать "целая функция f порядка р типа а", не говоря при каком уточнённом порядке рассматривается тип, это будет означать, что тип рассматривается относительно p(r) = р, то есть

ln M (f, R)

lim sup---= а.

Rp

Определение 4. Верхней плотностью множества корней функции / Е А(С) относительно уточнённого порядка р(г) называется величина,

£р(г) (/) = ИтБир г—р(г)^ (г). (0.0.6)

г^+то

Определение 5. Усреднённой верхней плотностью множества корней функции / Е А(С) относительно уточнённого порядка р(г) называется величина

Я;(г)(/) = 11т8ир г—р(г)% (г). (0.0.7)

г^+то

Известно неуду чшаемое с обеих сторон двойное неравенство [7

pDp(r) < Dp(r) < epDp(r), где р = ^lim^p(r). (0.0.8)

Напомним [1], что медленно меняющейся на бесконечности функцией называется произвольная знакопостоянная измеримая функция ^ : (ж0, ^ R \ {0}, для которой верно предельное соотношение

lim ^Жт = 1 Va G (0, +w), (0.0.9)

причём стремление к 1 в ( ) равномерно на множестве [г, 1/г]

(Ve G (0,1)). Давно известно (см. например [ ], (гл.1,§2), что если функция

^дифференцируема н а луче (ж0, +w) и

ж^'(ж) lim = 0,

ж^+то ^(ж) то она является медленно меняющейся.

Отсюда следует, что если р(г) — уточнённый порядок,

lim р(г) = р G (0, +w), то функция

l(r) = гр(г)-р (0.0.10)

является медленно меняющейся. Действительно, из ( ) следует, что I

дифференцируема на луче (R0, +w) и W(r )

lim = lim r(ln l(r))' = lim r((p(r) — р) lnr)' =

г^+то l(r) г^+то г^+то

Поскольку отношение rl'(r)/l(r) будет играть в дальнейшем значительную роль, то обозначим его специальным символом wi(r).

Пусть w(r) — произвольная положительная невозрастающая на некотором луче (ro, функция, lim w(r) = 0. Введём класс L(w), состоящий из всех медленно меняющихся и дифференцируемых на (r0, функций l, для которых верно неравенство |wi(r)| < w(r), r > r0.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие теоремы Валирона-Гольдберга»

В ведение

Актуальность темы. Одним из основных направлений теории целых функций является изучение связи между скоростью роста максимума модуля целой функции и считающей функции её корней.

В диссертации рассматриваются целые функции конечного положительного порядка. Понятие "порядок целой функции" ввёл Жак Адамар в [18] (см. выше (0.0.2)). Это понятие сыграло фундаментальную роль в создании теории целых функций. Прежде всего, с его помощью A(C) разбивается на три класса, весьма различных по своим свойствам. Один из этих классов, наименее исследованный - целые функции бесконечного порядка. Работ, посвященных распределению корней таких функций, немного потому, что во-первых исследование наталкивается на значительные трудности, а во-вторых, подавляющее большинство целых функций, востребованных в приложениях, в этот класс не входит. Особое место в теории целых функции занимают целые функции нулевого порядка. Pix специфика состоит в быстром росте последовательности модулей корней и "слабой" зависимости скорости роста ln M(f, R) от изменения аргументов корней. Этот класс целых функций достаточно хорошо исследован, см. например, [6].

Мы ограничим рассмотрение целыми функциями конечного положительного порядка. Этот подкласс A(C) наиболее восстребован

в приложениях. В него входят решения линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами

п—1

) + ^ рк (г )у(к) (г) = 0. к=0

В частности, решениями таких уравнений являются целые гипергеометрические функции, функции Бесселя (домноженные на соответствующую степень г), функции Эйри, Вебера. Порядок р имеют функции Миттаг-Леффлера

то к

^ гк

г, д) =

к=0 г(д + к/р)

при любом д Е С. Порядок 1 имеют такие знаменитые специальные функции, как 1/Г(г), (г — 1)((г).

Первой основной теоремой о корнях целых функций конечного порядка стала теорема Адамара-Бореля [ ],§§2.6,2.7. Перед тем, как её сформулировать определим первичный множитель Вейерштрасса Ер §2.6

( Р П)к\

Е0(ад) = 1 — ад, Ер(ад) = (1 — ад) ехр — \, р Е N. Теорема Адамара-Бореля

1. Если р — целое неотрицательное число, Ап — произвольная последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая условиям\

An = 0(Vn Е N), lim Ап = то, V |An|-p-1 <

n=1

то бесконечное произведение

о

П Ep

n=1

. -p » А

An

является целой функцией, порядок которой равен

( (

т^ т е [р,р + | Ап|-Т < +( I П=1

2. Если / — целая функция порядка р е [0, +(), Л =

{Лп}пеМ — множество её ненулевых корней (каждый корень стоит в

последовательности столько раз, какова его кратность), то

(

^ |Лп|-р-е < +((У£> 0),

П=1

/(г) = Агт ехр(Р(г)) Д Ер(Л^ = Агт ехр(Р(г))/д(г), (0.0.11)

П-1 \ /

а сама функция / допускает представление

п=1

г<?е р = [р]7 еслм реМ7 а еслм р е М7 то р = р — 1 б случае сходимости ряда (

X] |ЛП|—р ^ р = р в случае его расходимости; V — многочлен степени не

П=1

выше р, т = 0, если /(0) = А = 07 а еслм /(0) = 07 то

т = тт{^ е М, /м(0) = 0}, А = /(т)(0)/т!.

Из этой теоремы видно, что функция / е А(С) конечного порядка либо имеет вид f (г) = )ерV, д — многочлены, порядок / равен степени многочлена V, и тогда у неё конечное число корней; либо количество корней функции / бесконечно. В частности, любая целая функция ] нецелого порядка или целого порядка, но нулевого или бесконечного типа имеет бесконечное количество корней. В диссертации изучаются именно такие целые функции.

Из теоремы Адамара-Бореля следует, что если имеется целая функция f р

по формуле

Ли nf (г)

р = Нш

1и Г

Может ли быть по асимптотическому поведению n/(r) определён тип f при порядке р или при каком-либо уточнённом порядке p(r), предел которого на бесконечности равен р? Многочисленные примеры показывают, что этого нельзя сделать, поскольку тип функции f G A(C) при уточнённом порядке является более тонкой характеристикой роста ln M(f, r), чем порядок, и уже зависит от распределения аргументов корней. Тем не менее, если множество корней функции f G A(C) нецелого порядка имеет конечную верхнюю плотность относительно некоторого уточнённого порядка р(г), то для типа Gp(r)(f) можно дать (вообще говоря, неулучшаемую) двустороннюю оценку. Такую оценку нашёл около ста лет назаж Ж. Валирон [21], а точность оценки была доказана намного позднее: для оценки снизу Б.Я. Левиным [7], а для оценки сверху A.A. Гольдбергом [1].

Валирон [21] ввёл функцию

(0.0.12)

о

о

р G (0, +to)\N, p = [р], где

(0.0.13)

Функция Mp(r) была исследована А. Данжуа [ ]. Имеем:

Mo(r) = ln(1 + r),

Mp(r) = max Fp(r,0), где

ÖG[0,2n]

1 А гк

^р(г, в) = - 1и(1 — 2г сое в + г2) + -Т сое кв,

2 к

к=1

Заметим, что

1 ^ Ок

1и |Е(—6^)| = - 1и(1 — 2—сое + О2) + V — сое =

2 к

к=1

= ^<М(—). (0.0.14)

С помощью результатов Даижуа [ ] о поведении Мр Валирон доказал сходимость интеграла 3 (р) при люб ом р е (0, +() \ N.

Теорема Валирона-Гольдберга. Пусть р(г) — произвольный уточнённый порядок,

Нш р(г) = р е (0, +()\М,

^ _ произвольная целая функция порядка р, множество корней которой имеет конечную верхнюю плотность относительно этого уточнённого порядка. Тогда, / имеет конечный тип при порядке р(г)7 и справедливо неравенство

ар(г)(/) < 3(р)Я„(г)(/). (0.0.15)

С другой стороны, существует функция имеющая положительный

р(г)

равенство.

Отметим следующее обстоятельство. При р е (0,1) равенство в ( ) достигается для любой функции /, корни которой расположены на одном

ре

(1, +() \ N равенство в ( ) не может достигаться для функций вполне

регулярного роста. У функции построенной Гольдбергом, для которой верно равенство

множество корней имеет радиальную плотность (т. е. существует предел lim r-p(r)nF(r)), но не имеет угловой плотности.

г^+то

Заслуживает упоминания то, что в той же работе [21] Валирон вывел оценку снизу типа целой функции через верхнюю плотность её корней

ap(f) > Df, (0.0.16)

но ограничился рассмотрением случая р(г) = р. Неулучшаемость этой оценки была доказана Левиным [7], (гл.4) в середине 50-х годов 20 века.

Интересно, что для достижимости равенства в (0.0.16) необходимо, чтобы нижняя плотность множества корней f при уточнённом порядке р(г) и была равна нулю: lim r-p(r)n/(r) = 0. Это следует из результатов, приведённых

г^+то

в [ ] (гл.1, §5).

Таким образом, Валирон в 1913 году дал неулучшаемую двустороннюю оценку типа целой функции через верхнюю плотность множества корней.

В диссертации будет исследована возможность уточнения оценок сверху логарифма максимума модуля целой функции через мажоранту считающей или усреднённой считающей функции множества корней. Продвижение в этой тематике было недавно получено А.Ю. Поповым [11]. Он вернулся к исследованию этого вопроса в трактовке Валирона. Из оценки сверху

n/(r) < rp(r) + O(1), (Vr > 0), lim р(г) = р G (0, +то) \ N, (0.0.17)

г^+то

Валирон вывел следующую оценку логарифма максимума модуля целой функции f порядка р:

lnM(f,r) < rp(r)(S(р) + e(r)), (0.0.18)

где е(г) — некоторая положительная функция, стремящаяся к нулю при г ^ +(. Нетрудно убедиться, что из оценки ( ) в силу её общности (справедливости для произвольного уточнённого порядка) выводится неравенство (0.0.15). Для этого достаточно лишь стремления к нулю функции е(г). А. Ю. Попов поставил задачу не только указать е(г) явно, но и найти в определённом смысле оптимальную такую функцию. Приведём два результата [11], полученных в этом направлении.

р(г)

меняющаяся функция, /(г) = гр(г)-р при г > Го монотонна и функция, ш,(г) = Г1^ также монотонна и медленно меняется на бесконечности,

Л

выполняется оценка (0.0.17), то неравенство (0.0.18) справедливо, если, взять

е(г) = 5'(р)ш/(г) + о(ш (г)), г ^ +(, (0.0.19)

причём данная, оценка является, неулучшаем,ой в том, смысле, что множитель 5"(р) в правой, части ( )7 вообще говоря, нельзя заменить меньшим.

В случае произвольного уточнённого порядка нахождение оптимальной функции е(г) в ( ) является сложной задачей, но па классе £(ш) неулучшаемая оценка второго члена в (0.0.18) найдена.

Теорема В. Пусть функция, ш медленно меняется на бесконечности, а уточнённый порядок р(г) такой, ч,то /(г) = гр(г)-р е £(ш). При выполнении условия, (0.0.17) неравенство (0.0.18) справедливо, если, взять

е(г) = 51(р)ш(г) + о(ш(г)), г ^ +(. (0.0.20)

В теоремах А и В фигурируют сходящиеся при любом р е (0, +()\М

интегралы

S'(Р) = dp J Г-Рh(dMp(r);

0

Si(p) = J r-p| Inr| dMp(r).

0

Первая часть диссертации посвящена решению аналогичной задачи, в которой задано ограничение на мажоранту усреднённой считающей функции Nf(R) множества корней f (z), отличных от точки z = 0. В случае когда, уточнённый порядок отличается регулярным поведением, в оценке, аналогичной (0.0.18):

Nf(r) < rp(r) + O(ra), 0 < а < p, (Vr>ro),

lim p(r) = p G (0, \ N, (0.0.21)

найден неулучшаемый остаточный член e(r). В случае, когда уточнённый порядок произвольный, получена асимптотически неулучшаемая оценка сверху остаточного члена.

Скажем несколько слов о функции Валирона S(p), заданной формулой ( ). При 0 < p < 1 эта функция элементарна. Поскольку M0(r) = ln(1 + r), то

/Г-Р п

-dr =-, 0 <p< 1. (0.0.22)

1 + r Sin np v ;

o

Функция Mi(r) устроена сложнее:

2

rj", при 0 < r < 2,

Mi(r)= _

r + ln(r — 1), при r > 2,

и функция S(p) на интервале 1 < p < 2, по-видимому, не элементарна. Она допускает разложение в ряд

S(p) = p21-P (-1- + + V .

\2 - p p - v k=0 k+p

При p > 2 функция Mp(r) на луче 1 + 1/p < r < равна сумме p

ln(r — 1) + ^ rk/k, а на интерв але 0 <r< 1 + 1/p устроена довольно сложно k=i

(в §2.2 результат Данжуа о её производной будет приведён). Что же касается функции S (p), то она на каждом инт ервале p<p<p +1, p G N, выпукла,

lim S(p) = lim S(p) =

p—>p+0 p—p+1—0

lim min{S (p) | p<p<p + 1} =

p—

S(p)

асимптотика, доказанные в [11]:

1 + . \ , +ln4 - 1 <S (p) < 7^+ , \ , +1, 1 <p< 2; (0.0.23)

{p} 1 - {P} ^ {P} 1 - {P}

1 + \ , + 2ln(p +1) - 2.1 < S(p) < 7^+ , \ , +2lnp + 2,

{P} 1 -{P} V ' ' {P} 1 -{P}

p > 2; (0.0.24)

S(p) = -ф(М) - ф(1 - {p}) + 2 ln(2p)-

f 1 - cos nx , ^ /ln p\ ^ ^ ^ ч

-J +P>2 (0'°'25)

0

где ф(х) = Г'(ж)/Г(ж)- логарифмическая производная гамма-функции.

Во второй части диссертации рассматривается задача нахождения оценки сверху логарифма максимума модуля целых функций целого порядка и бесконечного типа.

А. А. Гольдберг [ ] обнаружил, что если р(г)^уточнённый порядок, имеющий своим пределом на бесконечности целое число p, то всегда найдётся целая функция целого порядка p, не являющаяся функцией нормального типа при порядке p, верхняя плотность корней которой при уточнённом порядке p(r) конечна, а ap(r) (f) = Поэтому он поставил и решил задачу построения по уточнённому порядку p(r), lim p(r) = p G N, в определённом

смысле оптимального нового уточнённого порядка p(r), такого, что для

p

типа, справедлива импликация

Dp(r)(f) < ^ (r)(f) <

Уточнённый порядок р Гольдберг определил формулой

ln V (r)

p(r) = p +----, где (0.0.26)

ln r

V(r) = J tp(t)-p-1dt, если j tp(t)-p-1 dt < (0.0.27)

r r о

r

V(r) = у tp(t)-p-1dt, если J tp(t)-p-1 dt = (0.0.28)

ro ro

Теорема С. (A.A. Гольдберг [ ]) Пусть p G N, p(r) —произвольный

lim p(r) = p. f

p

не является функцией нормального типа при порядке p), Dp(r)(f) < Тогда справедливо неравенство

*p(r)(f) ^ Dp(r)(f), (0.0.29)

16

и существует функция, имеющая конечную и положительную плотность множества корней относительно p(r)7 для, которой это неравенство обращается, в равенство.

Годьдберг также доказал, что построенный уточнённый порядок обладает следующими асимптотическими свойствами:

lim rp(r)-p(r) = 0, (0.0.30)

r—

lim rp(r)-p = 0 вслучае(0.0.27), (0.0.31)

r—

lim rp-p(r) =0 вслучае(0.0.28). (0.0.32)

r—

В диссертации теорема С дополняется в случае, когда уточнённый порядок p(r) удовлетворяет условию ( ), lim p(r) = p.

r—

Сформулируем результат в наиболее простом случае:

rp(r)-p /■ оо. (0.0.33)

Пусть f G A(C), имеет порядок p и множество корней f имеет конечную положительную верхнюю плотность относительно уточнённого порядка p(r). Обозначим

A(f,r) = nf(r) - Dp(r)(f)rp(r), r — (0.0.34)

Согласно определению 4 имеем:

A+(f, r) = o (rp(r)) , r — (0.0.35)

где, как обычно, A+ = max(A, 0). В главе 2 доказано, что при условии

r

J A+(f, t)t-p-1dt = o (>(r)-p) , r — (0.0.36)

ro

для логарифма максимума модуля целой функции верна асимптотическая оценка с двумя неулучшаемыми слагаемыми:

1пМ(/, Д) < Лр(г){/}Др(й) + Лр(г){/)5р°Др(д) + о(Др(й)), Л ^ (0.0.37)

положительные числа 5р° будут определены в §2.1.

В предположении (0.0.33) условие (0.0.36) выполняется, например, при наличии более сильной, чем (0.0.35) оценки:

В §3.5 также доказана неулучшаемость асимптотического неравенства

Аналогичный результат в случае, когда гр'(г) = о(гр) (т. е. для целых функций нулевого типа при порядке р) принадлежит А.Ю. Попову и опубликован в совместной работе [10].

Цель работы Цель настоящей диссертации состоит в решении следующих задач: получить асимптотическую оценку сверху логарифма максимума модуля целой функции нецелого порядка через мажоранту усреднённой считающей функции её корней;

найти неулучшаемое второе слагаемое в теореме Гольдберга об асимптотической оценке сверху логарифма максимума модуля целой функции целого порядка бесконечного типа.

Научная новизна Все результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные из них:

Получен аналог неравенства Валирона Гольдберга через усреднённую верхнюю плотность множества корней целой функции.

г о

(0.0.37).

При некотором условии на усреднённую считающую функцию множества корней целой функции доказана в определённом смысле неулучшаемая асимптотическая оценка сверху логарифма максимума модуля.

Дополнен результат Гольдберга для случая целой функции целого порядка бесконечного типа.

Результаты диссертации обоснованы в виде строгих математических доказательств и получены автором самостоятельно. Точные формулировки установленных автором утверждений приведены ниже.

Методы исследования В работе применяются методы теории целых функций и правильно меняющихся функций. Использованы, в частности, метод Гольдберга для построения последовательности корней канонического произведения, а также асимптотические методы.

Теоретическая и практическая ценность Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории целых функций .

Апробация работы По теме диссертации были сделаны доклады на следующих семинарах:

— Кафедральном семинаре кафедры математического анализа под рук. профессора Т.П.Лукашенко (мехмат МГУ, 2015 г.):

— Семинаре кафедры математического анализа под рук. профессора А.М.Седлецкого (мехмат МГУ, 2012 и 2013 гг.).

Результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях: «КРОМШ-2013» (Крым, 2013), «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2014), «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2015).

Публикации Результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора,

в том числе 3 статьях ( [8], [9], [10]) ь журналах из перечня ВАК.

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, насчитывающего 22 наименование. Общий объем диссертации составляет 83 страницы.

Благодарность Автор глубоко признателен научному руководителю доктору физико-математических наук Антону Юрьевичу Попову за постановку задачи, ценные замечания и постоянное внимание к работе.

Глшзв

Аналог теоремы Валирона-Гольдберга при ограничении на усреднённую считающую функцию множества корней

1.1 Основные результаты

Данная часть диссертации посвящена задаче нахождения асимптотической оценки сверху логарифма максимума модуля целой функции ] нецелого порядка при заданной мажоранте усреднённой считающей функции множества корней Ж/(Я).

Величина Ж/(Л) более тесно, чем п/(Я), связана с асимптотическим поведением логарифма модуля функции f. Справедлива формула Йенсена

2п

Ж/(Л) = т1 Лп |/- т 1п Л - 1п 2п I

у (т)(0)

т!

Согласно этой формуле при больших Л с точностью 0(1п Л) функция Ж/(Л) совпадает со средним логарифма модуля /(г) на окружности |г| = Л. В случае /(0) = 1 указанное среднее есть в точности Ж/(Я). Поэтому задача оценки сверху 1п М(/, Л) через Ж/(Л) фактически является задачей

оценки сверху максимума функции ln | f (Re^)| на отрезке 0 < ^ < 2п через её среднее на этом отрезке и выглядит нереальной. Но специфика асимптотического поведения логарифма модуля целой функции нецелого порядка такова, что оценка сверху ln M(f, R) (с некоторым не зависящим от R множителем) через достаточно регулярную мажоранту функции Nf (R)

R

f

много корней.

Сформулируем результат, аналогичный теореме Валирона-Гольдберга, но в котором задана усреднённая верхняя плотность множества корней.

ТЕОРЕМА 1.1.1. Пусть р(г) — произвольный уточнённый порядок, lim p(r) = р Е (0, +ж)\Н, f — произвольная целая функция порядка

р, множество корней которой имеет конечную верхнюю плотность

f

при порядке р(г), и справедливо неравенство

°р(т)(f) < pS(p)Dp(T)(f). (1.1.1)

f

обращается в равенство.

Оценка сверху ( ) не следует из ( ), поскольку согласно ( ) D

оценивается через pD* не сверху, а снизу. Но зато из ( ), ( ), ( )

f

в равенство, то для этой же функции обращается в равенство и неравенство (1.1.1).

Неравенство ( ) было известно ранее только при 0 < р < 1 и лишь в случае p(r) = р (см. [5], (гл. 5, §3), [14] (§2). При этих значениях р функция

S(р) допускает простое выражепие: S(р) = п ео8ее(пр), но при р > 1 функция S(р) не элементарна. В общем случае теорема , по-видимому, является новой.

В диссертации доказывается более детальный результат. Предполагается, что усреднённая считающая функция множества корней Ж/(г) допускает оценку сверху

Ж/(г) < гр(г) + 0(га), г ^ +то, (1.1.2)

где 0 < а < р. В предположении справедливости этого ограничения на Ж/(г) выводится в определённом смысле неулучшаемая асимптотическая оценка сверху 1п М (/, г).

Сперва рассмотрим уточнённые порядки р(г), отличающиеся "правильностью" поведения при г ^ +то. Из определения ( ) следует, что если р(г) — произвольный уточнённый порядок, Нш р(г) = р, то

г^+то

функция

/(г) = гр(г)-р (1.1.3)

является медленно меняющейся [13] и справедливо предельное соотношение

11ш ^ = 0. (1.1.4) г^+то /(г)

Потребуем, чтобы уточнённый порядок удовлетворял следующим дополнительным условиям:

1) функция /(г) монотонна,

2) функция

'«" (г) = ^ (1.1.5)

также монотонна (она может быть либо положительной, либо отрицательной и медленно меняется на бесконечности.

Эти условия выполняются, в частности, для функций

l(r) = exp (a(ln r)6) , a, b E R, b < 1,

l(r) = (lnr)a(ln lnr)6, a, b Е R. (1.1.6)

ТЕОРЕМА 1.1.2. Дан уточнённый порядок р(г),

lim р(г) = р Е (0, +ж)\М,

Т—+Ж

удовлетворяющий сформулированным выше условиям\ 1), 2).

Если для, усреднённой считающей функции Nf (r) множества корней целой функции f порядка р выполняется асимптотическая оценка сверху (1.1.2), то

lnM(f, R) < Rp(r)(pS(р) + (р^(р) + S(р))^ (R) + o(w(R))),

R — +ж. (1.1.7)

N(r)

последовательности положительных чисел {rn}nEN,

lim rn = +ж, выполняется двусторонняя асимптотическая оценка

U—Ж

rp(T) + o(ra) < N(r) = O(rT), r — +ж,

в которой т < [р] + 1, то найдутся числовые последовательности (pn Е [п,п) и Rk — +ж такие, что для, логарифма максимума модуля на окружностях |z| = Rk любой целой фун,кции F, множество всех корней которой есть {rne^n}nEN? справедлива асимптотическая оценка снизу

lnM(F,Rk) > R^^S(р) + (pS/(p) + S(р))™, (Rk) + o(w(Rk))),

k —ж. (1.1.8)

ЗАМЕЧАНИЕ. Если существует последовательность для

усреднённой считающей функции которой верна асимптотика

то можно сделать вывод, что оценка снизу (1.1.8) демонстрирует неулучшаемость оценки сверху (1.1.7). Для существования такой последовательности достаточно возрастания на некотором луче (х0, +то) функции гр(г)(р + и(г)). Она возрастает, если выполнено хотя бы одно из двух условий:

1) функция и(г) абсолютно непрерывна на некотором луче (х1, +то) и Нш ги^(г) = 0 (предел берётся по некоторому множеству полной меры),

г^+то

2) функция и(г) возрастает на некотором луче (х1, +то) (в этом случае она, разумеется, отрицательна).

Нетрудно убедиться в том, что условие 1) замечания 1.1 выполнено для всех функций (1.1.6).

Теперь рассмотрим произвольный уточнённый порядок р(г). В этом

/

предельного соотношения (1.1.4). Возьмём произвольную положительную невозрастающую на некотором луче (г0, +то) функцию и(г), Нш и(г) = 0,

г^+то

и введём класс £(и).

ЗАМЕЧАНИЕ. Из (1.1.5) следует, что, каков бы ни был уточнённый порядок, порождаемая им по формуле (1.1.3) медленно меняющаяся функция принадлежит одному из классов £(и), причём функцию и можно взять медленно меняющейся. Обозначим

Ж(г) = гр(г) + 0(га), г ^ +то,

(1.1.9)

1 +то

$)(р) = ^г-р^мр(г) - ^ г-р^Мр(г), р = [р]. (1.1.10)

01

ТЕОРЕМА 1.1.3. Пусть и : (г0, +то) ^ (0, +то) — произвольная невозрастаюищя, ,медленно меняющаяся на бесконечности функция, Нш и (г) = 0, р(г) — произвольный уточнённый порядок такой, что

г^+то

Нш р(г) = р Е (0, +то)/Н, /(г) = гр(г)-р Е £(и). Тогда, для логарифма

г^+то

р

функция, корней которой удовлетворяет ограничению (1.1.2), справедлива асимптотическая, оценка сверху

1пМ(/,Я) < Яр(д)(р5(р) + (рй(р) + 5)(р)МЯ) + о(и(Я))),

Л ^ +то. (1.1.11)

Выведем из теоремы 1.1.3 теорему 1.1.1. Возьмём произвольное число Ь > ^р(г)(/). Из (0.0.7) следует, что А/(г) при г ^ +то допускает асимптотическую оценку

I г-* г)

Ж/(г) < Ьгр(г) + 0(1) = гР1(г) + 0(1), где р1(г) = р(г) + —.

Согласно замечанию 1.1 существует бесконечно малая и медленно меняющаяся на бесконечности невозрастающая положительная функция и такая, что гр1(г)-р Е £(и). По теореме 1.1.3

1пМ(/, Л) < ЯР1(Д) (р£(р) + 0(и(Я))) = ЬЯр(д) (р£(р) + о(1)),

Я ^ +то. (1.1.12)

Из (1.1.12) находим

W/) < bps(р) Vb > D;(r) (f) ^ ар(г)(/) < D;(r)(/)pS(р),

что и требовалось доказать. Вопрос о неулучшаемости второго члена в

асимптотической оценке (1.1.11) пока в полном объёме не решён. Доказано

р

которых до ближайшего целого числа не больше 1/4.

Обозначим через ||р|| расстояние от р до ближайшего целого числа. В §2.4 будут доказаны неравенства

0 < pSi(p) + So(p) < ^ Vp > 0, (1.1.13)

ИРГ

а если р > 1, то

0 55р 1

рй"(р) + S(р) < —йрТ2 ПРИ 0 < {р} < 4,

1 р 11 4

+ 5(р) > при3 < {р} < 1. (1-1.14)

Из (1.1.13), (1.1.14) получаем

Следствие. В условиях теоремы, при всех достаточно больших Я верпа оценка

ln M(f, R) < Rp(r) (рй(р) + w(R)). (1.1.15)

4_р |Р|

Убедимся в том, что во втором слагаемом, стоящем в скобках в правой части (1.1.15), множитель 4 нельзя заменить на 1/2, даже добавив остаточный член. Другими словами, если написать асимптотическую оценку

1п М(/, Я) < Яр(д) (р5(р) + —^ш(Я) + оИЯ)}) , Я ^ +ж,

V 21| р ||2 /

то она, вообще говоря, будет неверна. А именно, в классе £(ш), когда функция ш медленно меняется па бесконечности, дифференцируема и

Нш г^/(г)/^(г) = 0, найдётся такая медленно меняющаяся функция /, что будет справедливо следующее утверждение.

Определим уточнённый порядок р(г) равенством

р(г) = р + 1п/(г)/ 1п г

(это равенство равносильно ( )). Тогда при р > 1и0 < ||р|| < 1/4 существуют последовательность комплексных чисел Т

усреднённая считающая функция которой имеет асимптотику ( ), целая функция ^ порядка р, имеющая своим множеством корней последовательность {¿п}, и последовательность Д* ^ такие, что

1п М(/, Д*) > Др№(р) + 0|р5Т^(Лк)). (1-1.16)

Существование последовательности {гп}, усреднённая считающая

функция которой имеет асимптотику ( ), доказано в §2.4. Далее мы полагаем

/г \

/(г) = ехр | — J I , если 0 < {р} < 1

хо /

г \

/(г) = ехр | J 1 , если 3 < {р} < 1.

хо /

Эти формулы дают тождества

1 3

— (г) = ——(г), 0 < {р} < -; — (г) = —(г), - < {р} < 1,

и гарантируют включение / Е £(—). Применив вторую часть теоремы и воспользовавшись неравенствами (1.1.14), получаем (1.1.16).

Результаты, издоженные в данном параграфе, опубликованы в работах [8

1.2 Сведение оценки логарифма максимума модуля канонического произведения к оценкам специальных интегралов

Из разложения (0.0.11) следует асимптотика

1п |/(*)| = 1п |/Л(*)| + О (|*|р + 1п |), | ^ +ж. (1.2.1)

Анализ остаточных членов в асимптотических оценках теорем 1.1.2,1.1.3 показывает, что ввиду медленного изменения функции ш, функция Яр + 1п Я является бесконечно малой в сравнении с ш(Я)Яр(д) при Я ^ Отсюда и из соотношения (1.2.1) видно, что асимптотические оценки теорем

/ /Л

разложения (0.0.11).

В [11] доказано, что исследование асимптотического поведения логарифма максимума модуля канонического произведения сводится к задаче получения двусторонних оценок суммы

^ / — \

%(Я) = ^ Мр - , (1-2-2)

1 \гп /

П=1 4 '

где р Е N0, ^ = {гте}те€м — неубывающая последовательность положительных чисел, считающая функция которой удовлетворяет условиям доказываемых теорем. Также в [11] было выведено неравенство

^ / - \

1п М(/л, Я) (1.2.3)

п=1 ^ '

Утверждение об оценке снизу логарифма максимума модуля канонического произведения носит более сложный характер. Сформулируем его в виде леммы.

ЛЕММА 1.2.1. [ ] Пусть р Е N0, ^ = {гп}п^ — произвольная неубывающая, и стремящаяся к +то последовательность положительных чисел, считающая, функция, которой допускает оценку сверху

п^(г) = 0(гт), р<т<р + 1. (1.2.4)

Тогда слрцествуют такие последовательности действительны,х чисел, {^п}п^ и {п*что верна асимптотика

ln M(FA,rn2fc) = ¿M J^ + O (C) , k (1.2.5)

„-1 \ 'n /

любое сколь угодно малое положительное число), где

оо

Fa(Z) = ц Ep

ze

n

1 \

n=l

Еслир = 07 то можно вз ять = пи опустить остаточный член в ( ). При р Е N аргул«енты (рп выбираются из полуинтервала 0 < < р+у.

то

Сумма ряда ^ (Д/гп) в [ ] оценивалась через специальные

п=1

интегралы, в которые входила считающая функция последовательности

{гп}

функцией. Для этого нам понадобятся соотношения, доказанные Данжуа [17]:

1 Гр 1

MP(r) = rpU„(r), 0 < r < 1 + -, MP(r) =--, r > 1 + -,

p ' p ' p p ' r -1 ~ p

п П lim ap(r) =-, аР(1) =-, lim ap(r) = 0. (1.2.6)

-0+ p( ) p +1, p( ) 2p + 1, ^1)- p( ) v y

В равенствах ( ) ap(r) — единственный корень уравнения

sin(p + 1)а п п

—^-'— = r, 0 < а <-, p Е N, (1.2.7)

sin ра p + 1

при r Е (0,1 + 1/p), а функция Up(r) определяется следующим равенством:

= S^OM, 0 <r< 1 + 1. (1.2.8)

sin ap(r) p

В [ ] на основании ( ), ( ) были доказаны неравенства (Vp > 2)

Up(r) < p, 0 <r< 1 + 1, 1 < Up(r) < Vr Е (0,1),

p 1 — r

/2 \ —1 2 1 Up(r) > 1 + - — r , -<r< 1 + -. (1.2.9)

V p y p p

В частности, имеем

п 1 2p +1 ap(1) = -—, Up(1) =-1-v > ^ Vp Е N. (1.2.10)

2p + 1 2siní- ^ n

Из (1.2.6), (1.2.7) непосредственно следуют тождества

г + л/Г2 + 4 3

^1(г) = 1, 0 <г< 2, ^2(г)= + , 0 <г< 3. (1.2.11)

22

В [11] было доказано, что при условии (1.2.4) выполняется соотношение

М^(Я) = у п ) МР(^) (И. (1.2.12)

0

Выведем подобное соотношение для интеграла с усреднённой считающей функцией.

то

ЛЕММА 1.2.2. При условии, ( ) сумма МК(Я) = ^ Мр(Я/гп)

П=1

выражается интегралом Стилътъеса

М*(Я) = I ( (Ш^)) , (1.2.13)

0

е котором — усреднённая, считающая функция, последовательности К, а функция, £МР(£) возрастает на [0,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как условие (1.2.4) равносильно условию

А^(г) = 0(гт), р<т<р + 1,

(1.2.14)

и при (1.2.4) выполняется (1.2.12), то при условии (1.2.14) имеем следующую цепочку равенств:

+то +то

М*(Д) = / п (Д>) МР(") = / п(х)М (¿(^ =

X

X

+то

= - Д

= - Д

п(х) Мр(Д/х)

(¿х = — Д

X

X

+то

J

МР (Д/х)

х

¿Ж (х)

N (х)

МР(Д/х)

+то

х

+то

— N (х)(

'МР(Д/х)

х

0

+то =Д/Ж

0

МР(Д/х)

х

+то

= Д У N [ - ы 0

") Д/"

+то

Д

= У ( .

0

Теперь докажем, что функция "Мр(") возрастает на Действительно, при всех 0 <"< 1 + 1/р ввиду ( ) имеем "Мр(") = "р+1ир("), т.е. функция является произведением возрастающих положительных функций. При " > 1 + 1/р из ( ) получаем, что функция "Мр(") = т^з+х" возрастает на луче " > 1 + 1/р. Лемма доказана. Дадим оценку сверху интеграла

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мышаков Фёдор Сергеевич, 2016 год

Литература

[1] Гольдберг A.A. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложение к теории целых функций. I // Матем. сборник, 1962, т. 58, № 3, с. 289 334.

[2] Гольдберг A.A. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложение к теории целых функций. III // Матем. сборник, 1964, т. 65, № 3, с. 414— 453.

[3] Гольдберг A.A. Интегральное представление монотонных медленно меняющихся функций // Изв. вузов. Матем., 1988, № 4, с. 21—27.

[4] Гольдберг A.A. Экстремальный индикатор для целой функции с положительными нулями // Сибирский матем. журнал, 1962, т. 3, № 2, с. 170—177.

[5] Гольдберг A.A., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. М., 1970.

[6] Заболоцкий И.В. Сильно регулярный рост целых функций нулевого порядка // Матем. заметки, 1998, т. 63, №2, с. 196—208.

[7] Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М., ГИТТЛ, 1956.

[8] Мышаков Ф.С. Аналог теоремы Ва шрони Гольдборги при ограничении на усредненную считающую функцию множества корней // Матем. заметки, 2014, т.96, №5, с. 794 798.

[9] Мышаков Ф.С. Аналог теоремы Вилирони Гольдберги при ограничении на усредненную считающую функцию множества корней // Analysis Mathematica, 2015, т.41, №3, с. 175—198.

[10] Мышаков Ф.С., Попов А.Ю. Уточнение теоремы Гольдберга об оценке типа при уточнённом порядке целой функции целого порядка // Матем. сборник, 2015, Т.206, №12, с. 119 144.

[11] Попов А.Ю. Наибольший возможный рост максимума модуля канонического произведения нецелого порядка с заданной мажорантой считающей функции корней // Матем. сборник, 2013, т. 204, №5, с. 67—108.

[12] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т. 1. Элементарные функции. М.: Наука, 1981.

[13] Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985.

[14] Хабибуллин Б.Н. Последовательность нулей голоморфных функций, представление мероморфных функций. II. Целые функции // Матем. сборник, 2009, т. 200, №2, с. 129—158.

[15] Хабибуллин Б.Н. О типе целых и мероморфных функций // Матем. сборник, 1992, т. 183, №11, с. 35—44.

[16] Boas R.P. Entire functions. New York, 1954.

[17] Denjoy A. Sur les produits canoniques d'or dr e infini // J. Math., 1910, №6, p.l—136.

[18] Hadamard J. Essai d'ietude des fonctions donniees par leur díevíeloppement de Taylor // J. Math. Pure et Appl., 1892, v.8, p. 154 186.

[19] Lindelof E. Sur les fonctions entieres d'or dr e entier // Ann. Ec. Norm. Sup. (3), 22, 1905, p. 369—395.

[20] Saks S. Theory of the Integral. // Warszawa, 1937.

[21] Valiron G. Sur les fonctions entieres d'or dr e nul et d'or dr e fini et en particulier des fonctions a correspondance reguliere //Annales de la fac. sei. de l'univ. Toulouse, 1913, V.5, ser. 3, p. 117—257.

[22] Valiron G. Lectures on the General Theory of Integral Functions // Privat Toulouse, 1923.