Экспериментальное и теоретическое исследование поперечной силы при обтекании тел вращения под большими углами атаки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат технических наук Гумеров, Анвар Василович

• Гумеров, Анвар Василович
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Гумеров, Анвар Василович

Введение.

Глава 1. Поперечная сила на осесимметричных телах, обтекаемых под большими углами атаки.

1.1 Обзор экспериментальных исследований.

1.2 Обзор методов численного моделирования.

1.3 Цели -и задачи настоящих исследований.

Глава 2. Экспериментальное исследование поперечной силы при обтекании тел вращения под углом атаки.

2.1 Описание экспериментальной установки.

2.2 Подготовка и проведение экспериментов.

2.3 Анализ результатов экспериментов.

2.3.1 Модель «конус-цилиндр».

2.3.2 Модель «полусфера-цилиндр».•.

2.3.3 Модель «оживал-цилиндр».

2.3.4 Модели наклонных цилиндров.

2.4 Визуализация вихревых структур.

Глава 3. Метод сосредоточенных вихрей в расчетах обтекания тел ращения.

3.1 Общая постановка задачи гидродинамики.

3.2 Зависимости угла отрыва потока от поверхности.

3.2.1 Изменение угла отрыва в начале движения.:.

3.2.2 Изменение угла отрыва относительно среднего положения.

3.3 Модель сосредоточенных вихрей поперечного обтекания • кругового цилиндра.

3.4 Модель сосредоточенных вихрей обтекания тел вращения под углом атаки.

3.5 Поперечная и нормальная сила сопротивления при обтекании тел вращения под углом атаки.

3.5.1 Невихревая составляющая сил.

3.5.2 Вихревая составляющая сил.

3.6 Исследование устойчивости симметричного развития вихрей за круговым цилиндром

3.7 Описание вычислительной программы

Глава 4. Проведение расчетов обтекания тел вращения.

4.1 Расчет поперечного обтекания кругового цилиндра методом сосредоточенных вихрей.

4.1.1 Двухвихревая модель обтекания.

4.1.2 Трехвихревая модель обтекания.

4.1.3 Четырехвихревая и пятивихревая модели обтекания.

4.2 Расчет обтекания тела вращения под углом атаки методом сосредоточенных вихрей.

4.2.1 Расчет обтекания модели Ламонта оживал-цилиндр» (K=2D).

4.2.2 Расчет обтекания модели Ламонта и Ханта «конус-цилиндр» (K=2D).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экспериментальное и теоретическое исследование поперечной силы при обтекании тел вращения под большими углами атаки»

Достаточно давно известно, что при обтекании тел вращения под большими углами атаки формируется асимметричная вихревая система. Первоначально это явление интересовало аэродинамиков только из-за возникновения интерференции сходящих с корпуса летательного аппарата вихрей и расположенных вниз по потоку поверхностей оперения. И лишь позднее стало ясно, что формирование асимметричной вихревой системы способно индуцировать значительные по величине асимметричные нагрузки на корпус летательного аппарата даже при нулевом угле скольжения. Результаты экспериментальных исследований показали, что индуцированная такой вихревой системой боковая сила может по величине превосходить нормальную силу. Это в свою очередь вызывает момент рыскания, который может превосходить управляющий момент при полном отклонении руля направления. В частности замечено, что при определенных условиях движения летательного аппарата по крену может произойти внезапное изменение направления индуцированной вихревой системой боковой силы и момента рыскания на противоположное.

Предъявляемые в настоящее время к ракетам и самолетам требования по устойчивости и управляемости на больших углах атаки вынудили к проведению интенсивных исследований явлений, связанных с образованием асимметричной вихревой системы около тел вращения. Изучение довольно большого числа публикуемых работ, посвященных этой тематике, показывает, что проведение экспериментов оказывается не простым делом. Эксперименты в аэродинамических трубах указывают на высокую чувствительность ассиметричных нагрузок к микроасимметрии моделей, значению числа Рейнольдса, числа Маха, турбулентности потока в трубе и т.д. Хотя опубликованные материалы и позволяют обнаружить некоторые закономерности, связанные с рассматриваемым течением, наличие расхождений затрудняет глубокое понимание механизмов наблюдаемых явлений. Первая часть данной диссертационной работы посвящена экспериментальному исследованию поперечной силы. Где устанавливается взаимосвязь между положениями линии отрывов, вихревыми структурами и направлением поперечной силы.

На этапе предварительного проектирования, должны быть известны возможные значения поперечной силы и момента рысканья. Проектировщик должен каким-то способом заранее определить влияние вихрей на характеристики полетного режима. Тогда он сможет принять правильное решение о проведении мероприятий, направленных на устранение неблагоприятных эффектов или уменьшения их влияния до уровня, с которым способна справиться система управления полетом. Для этого требуется понимание происходящих аэродинамических явлений, что необходимо при проведении расчетных работ.

На сегодняшний день в механике жидкости и газа существует большое количество математических методов, начиная- от простейших разновидностей метода особенностей и кончая методами, основанными на решении полных уравнений Навье-Стокса. На стадии предварительного проектирования при моделировании вихревого следа за корпусом целесообразно использовать рациональную методику, которая относительно проста в реализации и позволяет получать результаты за приемлемое расчетное время. В связи с этим получили развитие вихревые методы, основанные на невязком моделировании асимметричных вихревых течений. Часть этих методов основана на аналогии с двумерным обтеканием цилиндра, внезапно приведенного в движение. Вторая' половина настоящей работы посвящена разработке инженерной расчетной модели, для оценки аэродинамических характеристик тел кругового сечения при больших углах атаки.

Целью настоящей работы является описание механизма возникновения поперечной силы при несимметричном развитии вихрей на телах вращения под большими углами атаки, а также разработка расчетной модели на основе существующих методов сосредоточенных (точечных) и дискретных вихрей для определения аэродинамических характеристик тел вращения на больших углах атаки.

Диссертационная работа содержит экспериментальную и теоретическую часть. В экспериментальной части исследуется механизм появления поперечной силы. В теоретической части модифицирован метод точечных вихрей для расчета обтекания тел вращения невязкой несжимаемой жидкостью под углом атаки.

В главе. 1 диссертации дан обзор наиболее известных работ по экспериментальному исследованию поперечной силы на осесимметричных телах при больших углах атаки. Приводится обзор имеющихся в литературе методов вычислительного моделирования. На основании проведенного анализа сформулированы основные задачи настоящего исследования.

В главе 2 приводятся результаты экспериментальных работ по измерению поперечной силы, визуализации спектра течения на поверхности моделей и дымовая визуализация вихревых структур. Эксперименты проводились в дозвуковой аэродинамической трубе Самарского государственного аэрокосмического университета. По результатам экспериментов описывается механизм появления поперечной силы.

В главе 3 диссертации представлена модифицированная расчетная схема метода сосредоточенных вихрей применительно к двумерной и трехмерной -задачи обтекания осесимметричных тел. Приводятся выводы полуэмпирической зависимости угла отрыва потока от поверхности и расчетных формул сил сопротивления.

В главе 4 проводятся расчеты двумерного обтекания цилиндра методом сосредоточенных вихрей. Проведены расчеты обтекания тел вращения и дается сравнение с экспериментальными результатами.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе, отражающие ее научную новизну и практическую значимость.

На защиту выносятся следующие основные положения диссертационной работы, отражающие ее научную новизну:

• описание механизма появления поперечной силы при обтекании тела вращения под большими углами атаки;

• модификация метода сосредоточенных вихрей для расчета обтекания осесимметричных тел под большими углами атаки;

• вывод полуэмпирических зависимостей точек отрыва по времени и применение этих зависимостей в модифицированном методе точечных вихрей;

• расчетная программа, реализующая модифицированный метод точечных вихрей;

• результаты вычислительных экспериментов по исследованию аэродинамики тел вращения на больших углах атаки.

Практическая значимость работы заключается в том, что модифицированная модель сосредоточенных вихрей вместе с полуэмпирическими зависимостями линий отрывов позволяет рассчитывать аэродинамические характеристики тел вращения на больших углах атаки. Полученные полуэмпирические зависимости линий отрывов применимы и при расчетах аэродинамических характеристик методом дискретных вихрей.

Основное содержание диссертационной работы опубликованы в рекомендуемых ВАК журналах: «Известия вузов. Авиационная техника» в 2003 и в 2005 г. [6,7], «Вестник СГАУ» в 2008 г. [8].

Основные результаты работ докладывались на 5-х научных чтениях памяти М.К.Тихонравова по военной космонавтике «Космос и обеспечение безопасности России» в 4 ЦНИИ МО РФ (Юбилейный — 2004 г.); на 5-й международной конференции «Авиация и космонавтика-2006» в МАИ (Москва - 2006 г.); на научно-технической конференции молодежи «Инновационные разработки - основа создания мирового лидирующего продукта в ракетно-космической отрасли» в ГНП РКЦ «ЦСКБ-Прогресс» (Самара - 2007 г.).

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Гумеров, Анвар Василович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. По результатам продувок в аэродинамической трубе моделей тел вращения с оживальной, конической и полусферической носовыми частями в широком диапазоне углов атаки установлена причинно-следственная связь между несимметричным вихревым следом, положениями линии отрывов и направлением поперечной силы, описан механизм образования поперечной силы.

2. Одной из сложных и трудоемких операций при расчете отрывного обтекания является определение изменения точек отрыва при поперечном обтекании внезапно приведенного в движение кругового цилиндра. В диссертационной работе получены полуэмпирические зависимости изменения углов отрыва потока, применение которых в разработанной расчетной модели существенно упрощает алгоритмы расчета и сокращает время вычислений.

3. На основе существующих моделей точечных вихрей [5, 33] и дискретных вихрей [1, 39, 44] разработана модель расчета поперечного обтекания импульсивно приведенного в движение кругового цилиндра методом сосредоточенных вихрей. В этой модели изменение углов отрыва потока определяется по полученным полуэмпирическим зависимостям.

4. Исследована устойчивость симметричного движения вихрей за круговым цилиндром. Показано, что симметричное развитие вихрей является неустойчивым к возмущениям по направлению течения. Получены области неустойчивости положения точечных вихрей при различных их интенсивностях.

5. Создана вычислительная программа, реализующая модифицированный метод точечных вихрей. Проведены исследования по методике расчета и тестирования программы путем сравнения с экспериментальными и теоретическими результатами поперечного обтекания импульсно приведенного в движение кругового цилиндра других авторов. Показано, что при расчетах выбором значений свободных параметров можно определить их базовые значения, при которых расчетные и экспериментальные зависимости сопротивления оказываются близкими.

6. По аналогии нестационарного вихревого следа за круговым цилиндром и стационарного следа в соответствующих поперечных сечениях тела вращения модель поперечного обтекания распространена к расчету обтекания осесимметричных тел под углом атаки [5, 33]. Сопоставлением экспериментальных и расчетных аэродинамических характеристик обтекания осесимметричных моделей под углом атаки показана возможность получения удовлетворительных результатов.

7. Составленная вычислительная программа может быть использована для определения распределенных и суммарных аэродинамических характеристик осесимметричных компоновок в диапазоне углов атаки, где наблюдается максимальная поперечная сила.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Гумеров, Анвар Василович, 2008 год

1. Белоцерковский С.М. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. М.: Наука, 1988, 232 с.

2. Бычков Н.М. О появлении боковых сил на телах вращения при больших углах атаки. Прикладная аэрогазодинамика и тепловые процессы, Новосибирск, 1980.

3. Бычков Н.М., Коваленко В.М. Аэродинамические характеристики кругового цилиндра в поперечном потоке. Изв. Сиб. Отд. АН СССР, сер. техн. Наук, 1980, №8, вып. 2.

4. Васильев Л. Е., Николаев И. В., Рябус В. Н. Метод масляно-сажевого покрытия с летучим компонентом для визуализации картины обтекания поверхностей моделей при испытаниях в аэродинамических трубах // Тр. ЦАГИ. 1975. Вып. 1687.

5. Водлоу А. Расчет поперечной силы при больших углах атаки // Ракетная техника и космонавтика, 1974. № 8. С. 173 175.

6. Гумеров A.B., Клементьев В.А. и Галиев А.Г. Экспериментальное исследование поперечной силы при обтекании тел вращения под большими углами атаки. Известия вузов: Авиационная техника, №4, 2003, с 24-27.

7. Гумеров В.Г., Гумеров A.B. Расчет обтекания тел вращения методом сосредоточенных вихрей. Известия вузов: Авиационная техника, №4, 2005, с 28-32.

8. Гумеров A.B. Исследование поперечной силы при обтекании тел вращения под углом атаки / Гумерова Л.В. // Вестник СГАУ, Самара. 2008, №2. -С. 38-46.

9. Крайко А.Н., Рент К.С. Невязкая природа несимметрии отрывного обтекания симметричных тел. ПММ. 1999. Т.63. Вып. 1. С. 63-70.

10. Кочин Н.Е., Кибель И.А. и Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. 4.1. 535 с.

11. Ламонт П. Результаты измерений давления на поверхности цилиндрической модели с оживальной носовой частью, обтекаемой в условиях различных режимов под углом атаки // Ракетная техника и космонавтика, 1983. №6. с. 15 — 25.

12. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. с. 848.

13. Мерти B.C., Роуз В.К. Детальные измерения аэродинамических характеристик кругового цилиндра при поперечном обтекании // Ракетная техника и космонавтика, 1978. № 6. с. 8 — 11.

14. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964 с. 660.

15. Нестерова В.А. Основы проектирования ракет класса «воздух-воздух» и авиационных катапультных установок для них. М.: Изд-во МАИ, 1999. 792 с.

16. Нилсен Дж, Аэродинамика управляемых снарядов, кн М.: Оборонгиз, 1962.473 с.

17. Озеринин В.Н., Семенников Н.В. Исследование поперечных сил тел вращения при больших углах атаки.

18. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука. Гл. ред. физм.-мат. лит., 1992. 424 с.

19. Сарпкайя Т. Течение с отрывом около тел, обладающих подъемной силой, и внезапно начинающееся течение около цилиндров // Ракетная техника и космонавтика, 1965. № 3. с. 41 — 49.

20. Сарпкайя Т. Аналитическое исследование отрывного обтекания круговых цилиндров // Труды амер. об-ва инж.-мех. серия D. 1968. № 4. с. 82-94.

21. Сарпкайя Т., Шоаф. Невязкая модель образования двумерных вихрей за круговым цилиндром // Ракетная техника и космонавтика, 1979. № 11. с. 51.

22. Сахно А.Г. Особенности поведения аэродинамических характеристик тел вращения при больших углах атаки. Аэродинам, проектир. летат. аппаратов. Харьков. 1985, с. 86-91.

23. Сэффмэн Ф.Дж. Динамика вихрей. М.: Научный мир, 2000, 375 с.

24. Фещенко С.А., Худяков Г.Е. Влияние степени турбулентности набегающего потока на аэродинамические характеристики гладкого осесимметричного тела при больших углах атаки. Вестн. МГУ. Сер.1. 1990, №4, с. 95-98.

25. Хемш М., Нилсен Дж, Аэродинамика ракет, кн. 1.М.: Мир, 1989. 426 с.

26. Хемш М., Нилсен Дж, Аэродинамика ракет, кн. 2.М.: Мир, 1989. 510 с.

27. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974, 712 с.

28. Almosnino D. High Angle-of-Attack Calculations of the Subsonic Vortex Flow on Slender Bodies//J. AIAA. 1983. Vol. 23, №8, P. 1150- 1156.

29. Almosnino D. and Rom J. Lateral Forces on a Slender Body and There Alleviation at High Incidence // J. Spacecraft. 1981. Vol. 18, №5, P. 393-400.

30. Bingham H.H., Weimer D.K. and Griffith W. The cylinder and semicylinder in subsonic flow. Princeton Univ., Dept. of Physics. 1952. Tech. Rept. 1113.

31. Bouard R., Coutanceau M. The early stage of development of the wake behind an impulsively started cylinder for 40<Re<104// J. Flued Mech. 1980. Vol. 101. part 3. P. 583-607.

32. Braza M., Chassaing P. and Ha Minh H. Numerical study and physical analysis of the pressure and velocity fields in the near wake of a circular cylinder // J. Flued Mech. 1986. Vol. 165. P. 79 130.

33. Bridges D.H. and Hornung H.G. Elliptic Tip Effects on the Vortex Wake of an Axisymmetric Body at Incidence // J. AIAA. 1994. Vol. 32, № 7, P. 1437- 1445.

34. Bryson A.E. Symmetric vortex separation on circular cylinders and cones // J. of Applied Mechanics. 1959. Vol. 26. No. 4. p. 643 648.

35. Chaderjian N.M. Comparison of two Navie-Stokes Codes for Simulating High-Incidence Vortical Flow // J. of Aircraft. 1993. Vol. 30, № 3, pp. 357-364.

36. Collins W.M. and Dennis S.C.R. The initial flow past an impulsively started circular cylinder. Q. J. Mech. Appl. Maths 26, 1973a, 53.

37. Cottet G.H., Koumoutsakos P. Vortex Methods: Theory and Applications. Cambridge University Press, 1999, p. 367.

38. Cummings R.M., Forsythe J.R., Morton S.A., Squires K.D. Computational challenges in high angle of attack flow prediction. Progress in Aerospace Sciences. Vol. 39. № 5, 2003, pp 369-384.

39. Chien-Cheng Chang and Ruey-Ling Chern. A numerical study of flow around an impulsively started circular cylinder by a deterministic vortex method // J. Flued Mech. 1991. Vol. 233. P. 243 263.

40. Deffenbaugh F.D. and Koerner W.G. Asymmetric Vortex Wake Development on Missiles at High Angles of Attack // J. Spacecraft. 1977. Vol. 14, №3, P. 155- 162.

41. Degani D. and Zilliac G.G. Experimental Study of Nonsteady Asymmetric Flow Around an Ogive-Cylinder at Incidence // J. AIAA. 1990. Vol. 28. № 4. pp. 642 649.

42. Degani D., Tobak M. and Zilliac G.G. Surface Flow Patterns on an Ogive-Cylinder at Incidence // J. AIAA. 1992. Vol. 30. № 1. 272 274.

43. Degani D., Schiff L.B. Numerical Simulation of the Effect of Spatial Disturbances on Vortex Asymmetry // AIAA J. 1991. Vol. 29, № 3, pp. 344-352.

44. Fraczak J. Numerical Simulation of Separated Flow Past a Circular Cylinder by a Discrete-Vortex Method // J. of Theoretical and Applied Mechanics. 1991. Vol. 22, №3. P. 75-88.

45. Gebert G.A. Determination of Slender Body Aerodynamics Using Discrete Vortex Methods // J. of Spacecraft and Rockets. 1994. Vol. 31, № 2, P. 200-207.

46. Gerrard, J.H., Numerical Computation of the Magnitude and Frequency of the Lift on a Circular Cylinder, Phil. Trans. Roy. Soc., 1967, Vol. 261, № 1118, pp. 137-162.

47. Hartman K. Experimental investigation on an ogive-nosed body at high incidence and different Reynolds numbers. Front. Fluid Mech.: Proc. Beijing Int. Corif. Fluid Mech., Beijing, 1-4 July, 1987. Oxford etc. 1988, c. 409415.

48. Hoang N.T., Rediniotis O.K. and Telionis D.P. Hemisphere Cylinder ay Incidence at Intermediate to High Reynolds Numbers // AIAA J. 1999. Vol. 37, № 10, pp. 1240-1250.

49. Humphreys J. S. On a circular cylinder in a steady wind at transition Reynolds numbers // J. Flued Mech. 1960. Vol. 150. P. 603 612.

50. Hummel D. On the Vortex Formation over a Slender Wing at Large Incidence. AGARD-CP-247. 1979, Paper №15.

51. Hydrodynamics around cylindrical structures / B. Mutlu Sumer, Jorgen Fredsoe. (Technical University of Denmark). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, Singapore, 1997.

52. Keener E.R. Oil Flow Separation Patterns on an Ogive Forebody // J. AIAA. 1983. Vol. 21. № 4. pp. 550 556.

53. Kelly H.R. The estimation of normal-force and pitching moment coefficients for blunt-based bodies of revolution at large angles of attack // J. Aerospace Sci. 21, 549-555, 565 (August 1954).

54. Lamont P.J. and Hunt B.L. Pressure and Force Distribution on a Sharp-Nosed Circular Cylinder at Large Angles of Inclination to a Uniform Subsonic Stream // J. Fluid Mech. 1976. Vol. 76. part 3. pp. 519 559.

55. Lamont P.J. and Hunt B.L. Prediction of Aerodynamic Out-of-Plane Forces on Ogive-Nosed Circular Cilinders // J. of Spacecraft. 1976. Vol. 14. № 1. pp. 38-43.

56. Leu T.S., Chang J.R. and Lu P.J. Experimental Investigation of Side Forse Control on Cone-Cylinder Bodies With Flexible Micro Balloon Actuators. Progress in Aerospace Sciences. Vol. 29. № 8, 2005, pp 909- 918.

57. Lowson M.V. and Ponton A.J.C. Symmetry Breaking in Vortex Flows on Conical Bodies // AIAA J. 1992. Vol. 30, № 6. pp. 1576 1583.

58. Luo S.C., Lua K.B. and Lim T.T. Side Force on an Ogive Cylinder: Effects of Freestream Turbulence // AIAA J. 2001. Vol. 39, № 12. pp. 2409 2411.

59. Marshal F.J and Deffenbaugh F.D., Separated Flow over a Body of Revolution, J of Aircraft. 1975. Vol. 12, № 2, P. 78-85.

60. Mustto A.A., Bodstein G.C.R. and Hirata M.H. Vortex Method Simulation of the Flow Around a Circular Cylinder // J. AIAA. 2000. Vol. 38, № 6, P. 1100 — 1102.

61. Norberg C. An experimental investigation of the flow around a circular cylinder: influence of aspect ratio // J. of Fluids Mech. 1994. Vol. 258, pp. 287-316.

62. Rainbird W.J. Crabbe R.S., Peake D.J. and Meyer R.F., Some Examples of Separation in Three-Dimensional Flows. Canadian Aeronautics and Space Journal. Vol. 12. Dec. 1966. pp. 409-423.

63. Reding J.P. and Ericsson L.E. Maximum Side Forces and Associated Yawing Moments of Slender Bodies // J. of Spacecraft. 1980. Vol. 17. № 6. pp. 515-521.

64. Reding J.P. and Ericsson L.E. Re-examination of the Maximum Normalized Vortex-Induced Side Force // J. of Spacecraft. 1984. Vol. 21. № 5. pp. 433 440.

65. Sarpkaya T. and Schoaff R.L. Inviscid Model of Two-Dimensional Vortex Shedding by a Circular Cylinder // J. AIAA. 1979. Vol. 17. № 11. pp. 1193 1200.

66. Sarpkaya T. Computational Methods With Vortices The 1988 Freeman Scholar Lecture // J. of Fluids Engineering. 1989. Vol. 111, P. 5 - 52.

67. Sarpkaya Т., Kline H.K. Impulsively-Started Flow About Four Types of Bluff Body // J. of Fluids Engineering. 1982. Vol. 104, P. 207 213.

68. Shendel L., Effects of Vortex Separation on the Lift Distribution on Bodies of Elliptic Cross Section // J of Aircraft. 1969. Vol. 6, № 6, P. 537 543.

69. Schiff L.B., Degani David, and Cummings R.M. Numerical Simulation and Vortical Flows on Bodies at Large Angles of Attack // Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic Flows IV. 1990. pp. 205-221.

70. Smith P.A. and Stansby P.K. Impulsively started flow around a circular cylinder by the vortex method // J. Flued Mech. 1988. Vol. 194. P. 45 77.

71. Stahl W. Suppression of Asymmetry Behind Circular Cones // AIAA J. 1990. Vol. 28, № 6. pp. 1138 1140.

72. Stansby P.K and Dixon A.G. The Importance of Secondary Shedding in Two-Dimensional Wake Formation at Very High Reynolds. Numbers, Aeronaut. Quart., Vol. 33, pp. 105-123.

73. Tadrist H., Martin R. and Tadrist L. Experimental investigation of fluctuating forces exerted on a cylindrical tube // J. Phis. Fluids' A2 (12). December 1990. pp. 2176-2181.

74. Thomson K.D. and D.F. Morrison. The Spacing, Position and Strength of Vortices in the Wake of Slender Cylindrical Bodies at Large Incidence // J. Fluid Mech. 1971. Vol. 50. part 4. pp. 751 783.

75. Ward K.C. and Katz J. Development of Flow Structures in the Lee of an Inclined Body of Revolution // J. Aircraft. 1989. Vol. 26. № 3. 198 205.

76. Ward K.C. and Katz J. Topology of the Flow Structures Behind an Inclined Projectile: Part B // J. Aircraft. 1989. Vol. 26. № 11. 1023 1031.

77. Wardlaw A.B. and Yanta W.J. Multistable Vortex Patterns on Slender, Circular Bodies at High Incidence // J. AIAA. 1982. Vol. 20. № 4. pp. 509- 515.

78. Yokuda S and Ramaprian B.R. The dynamics of flow around a cylinder at subcritical Reynolds numbers. // J. Phis. Fluids A2 (5). May 1990. pp. 784-791.

79. Zdravkovich, M.M. Flow around a circular cylinders. Vol. 1: fundamentals. Oxford University Press, 1997, 672 pp.

80. Zeiger M.D., Telionis D.P. and Vlachos P.P. Unsteady Separated Flows Over Three-Dimensional Slender Bodies. Progress in Aerospace Sciences. Vol. 40. № 4, 2003, pp 291- 320.

81. Zilliac G.G., Degani D. and Tobak M. Asymmetric Vortices on a Slender Body of Revolution // J. AIAA. 1991. Vol. 29. № 5. pp. 667 674.