Нелинейные многоволновые взаимодействия в тонкостенных элементах конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, доктор технических наук Ковригин, Дмитрий Анатольевич

• Ковригин, Дмитрий Анатольевич
• доктор технических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор технических наук Ковригин, Дмитрий Анатольевич

Актуальность проблемы. К современным механическим конструкциям предъявляются жесткие требования функциональности, надежности, экологии, экономичности и т.д. В частности, для решения подобного комплекса проблем необходим достоверный прогноз динамического поведения конструкций в различных режимах эксплуатации. Опыт показывает, что при динамических испытаниях тонкостенных оболочечных конструкций часто возникают пространственно локализованные бегущие волны, нестационарный обмен энергии между различными формами колебаний, взаимодействия между короткими и длинными волнами и т.д. Некоторые из подобных эффектов до настоящего времени не поддавались изучению в рамках классической теории нелинейных колебаний оболочек. В настоящей работе разрабатывается методика решения подобных задач с позиций теоретико-волнового подхода, обеспечивающего ясную трактовку и внутреннее единство результатов, полученных при исследовании нелинейных многоволновых процессов в тонкостенных элементах конструкций (стержне, круговом кольце, пластинке и цилиндрической оболочке).

Состояние вопроса. В середине двадцатого века в связи с бурным прогрессом в технике возникла неизбежность развития теории нелинейных колебаний тонкостенных оболочечных конструкций. Начало теоретическим и экспериментальным исследованиям положено Григолюком Э.И и Рейсснером [1955]. В качестве уравнений движения использовались геометрически нелинейные уравнения пологих оболочек типа Кармана [1910]. Динамический прогиб и функция напряжений в срединной поверхности оболочки аппроксимировались "одночленными" разложениями в ряд Фурье с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени. В результате исследования такой математической модели была найдена зависимость между частотой и амплитудой колебаний и был обнаружен эффект несимметричности динамических прогибов оболочки относительно ее недеформированной срединной поверхности, что, по существу, явилось первым свидетельством об ограниченности теории линейных колебаний.

Дальнейшее развитие различные аспекты теории нелинейной динамики тонкостенных конструкций (вопросы динамической устойчивости, взаимодействия оболочек с жидкостью и упругим заполнителем, флаттерные задачи) получили в 60 — 70 годы благодаря трудам видных отечественных и зарубежных ученых — Болотина В.В., Челомея В.Н., Лаврентьева М.А., Ишлинского А.Ю., Новожилова В.В., Колесникова К.С., Образцова И.Ф., Каудерера Г., Вольмира A.C., Амбарцумяна С.А., Гузя А.Н., Кильчевского H.A., Филиппова А.П., Шмидта, Довелла Е.Г., Эвенсена Д.А., Мацузаки Е., Новински Дж. Н. и многих других. Основные результаты были получены при исследовании собственных и вынужденных колебаний нелинейных систем, сводимых к простейшим моделям с од-ной-двумя степенями свободы. Такие модели позволили установить ряд важнейших закономерностей нелинейного поведения, которые затем нашли экспериментальное подтверждение — явления колебательного гистерезиса, срыва колебаний в резонансной области и т.д.

Ряд экспериментальных исследований, проведенный в 70 — 80 годы прошлого столетия, показал, что упрощенные модели оказались неприемлемыми для описания нелинейных процессов, в основе которых лежит взаимодействие различных форм колебаний, например: динамической неустойчивости осесимметричных форм колебаний колец и цилиндрических оболочек, приводящей к возбуждению стационарных и нестационарных изгибных волн (Линдберг Дж.Е. [1974], Гинсберг Дж. Г. [1974]); циклических "биений" сопряженных форм колебаний в цилиндрических оболочках (Чен И.С. и Бабкок К.Д. [1975], Кубенко В.Д. и др. [1984]); нестационарного возбуждения изгибных колебаний оболочек на частотах в целое число меньших собственной (Солодилов В.Е. [1980]) и т.д.

Основной этап теоретического исследования подобных нелинейных явлений состоял в выборе базисных функций задачи для последующего применения метода Бубнова-Галёркина. Решение задачи аппроксимировалось различными "многочленными" разложениями. К примеру, в монографии Кубенко В.Д. и др. {Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрических оболочек, Киев: Наукова думка, 1984) можно найти четыре различные версии аппроксимации прогибов оболочки, предложенные различными авторами при постановке практически одной и той же задачи. Оказалось, что при одних значениях параметров системы может быть предпочтительнее одна из таких аппроксимаций и получаются результаты, согласующиеся с экспериментом, но при других значениях параметров ситуация может измениться. Поэтому никаких строгих доводов в пользу выбора той или иной модели не было. Подобное положение вещей сохраняется и по сей день. Примеры тому можно найти в сравнительно недавних работах по нелинейным взаимодействиям осесимметричных и неосе-симметричных форм изгибных колебаний в оболочках с жидкостью (Амабили М. и др. [1998, 1999]).

Существенный прогресс в понимании природы нелинейного взаимодействия различных форм колебаний упругой системы был достигнут в рамках теоретико-волнового подхода, который развивался в 70 — 80 годы в следующих направлениях: волны конечной амплитуды в прямолинейных стержнях (Карнаухов В.Г. [1973]; Островский JI.A., Сутин A.M. [1977]; Березовский A.A., Жерновой Ю.В.

1981]; Милосердова И.А., Потапов А.И. [1983]; Дрейден Г.В., Soerensen М.Р.

1984]; Островский Ю.И., Самсонов A.M., Семенова И.В., Сокуринская Е.В. [1988]; Самсонов A.M. [1988]); трехволновые резонансные процессы в стержнях (Ерофеев В.И., Потапов А.И.

1985]; Ковригин Д.А., Потапов А.И. [1996, 1997]; Ковригин ДА. [1997]); в тонких кольцах и оболочках (Белостоцкая И.А., Ковригин ДА., Потапов А.И. [1990]; Ковригин ДА., Потапов А.И. [1996, 1997]); в пластинках (Ковригин Д.А. [2001]); самомодуляция волн в стержнях и оболочках (Багдоев А.Г., Мовсисян JI.A. [1980, 1988]); в стержнях (Ковригин Д.А. [1997]); в кольцах и оболочках (Wu J., Wheatly J., Putterman S., Rudnick I. [1987]; Ковригин Д.А. [1998]); взрывная неустойчивость" цилиндрических оболочек (Новиков В.В. [1988]); волны конечной амплитуды в пластинах (Шенявский JI.A. [1979]; Потапов А.И. [1985]; Вакуленко С.А., Молотков [1988]; Потапов А.И., Солдатов И.Н. [1984]).

Проведенные исследования позволили выявить нелинейные резонансные многоволновые процессы, описывающие обмен энергии между различными формами колебаний, объединенными в так называемые резонансные волновые ансамбли, которые возникают при выполнении условий фазового синхронизма. Для изучения нелинейных многоволновых процессов потребовался строгий последовательный анализ резонансных свойств конструкций, на основе которого можно судить об адекватности выбора математической модели и о достоверности полученных теоретических результатов. Заметный прогресс в этом направлении достигается при использовании метода нормальных форм уравнений в теории нелинейных колебаний оболочек (Кубышкин Е.П. [1991]; Кубышкин Е.П., Федотов Н.Б. [1995]; Амабили М. и др. [2000]).

Для решения инженерных задач нелинейной динамики оболочечных конструкций, где требуется заданная техническая степень точности вычислений, достаточно воспользоваться лишь только первыми нелинейными приближениями метода нормальных форм, полученными с помощью асимптотических методов исследования. Алгоритм исследования примерно следующий: сначала изучается спектральный состав линеаризованной подсистемы; в первом нелинейном приближении, при анализе полученной информации о спектре колебаний, выявляются трехволновые резонансы; во втором приближении, с учетом поправок первого нелинейного приближения, учитываются четырехволновые резонансы, эффекты кросс-модуляции и самовоздействия волн, группового синхронизма; при необходимости изучаются высшие приближения.

В настоящей работе успешное применение этого алгоритма в задачах динамики тонкостенных элементов конструкций — стержней, колец, пластинок и цилиндрических оболочек, позволило получить ряд основных моделей нелинейной многоволнового взаимодействия, имеющих точные аналитические решения. Такие решения могут служить в качестве "эталонных" для проверки достоверности результатов, полученных при исследования более сложных задач нелинейной динамики конструкций.

Цель работы состоит в разработке основ теории нелинейных многоволновых процессов в элементах тонкостенных упругих конструкций. Она включает в себя решение следующих задач: построения адекватных математических моделей нелинейных многоволновых процессов в типичных элементах тонкостенных конструкций; (11) выявления основных закономерностей распространения и взаимодействия волн в стержне, кольце, пластинке и цилиндрической оболочке; сопоставления полученных результатов с известными экспериментальными и теоретическими данными, полученными другими авторами и другими методами, для проверки непротиворечивости развиваемой теории.

Научная новизна работы состоит в следующем:

I) разработана методика сведения исходных квазилинейных уравнений движения механических систем с распределенными параметрами к эквивалентным нормальным формам уравнений;

II) обнаружены и проклассифицированы трехволновые резонансы в тонком стержне, кольце, пластинке и цилиндрической оболочке, а также выявлены четырехволновые резонансные взаимодействия, эффекты кросс- и самомодуляции;

Ш) предложены новый способ возбуждения незатухающих прецессирующих изгибных волн во вращающемся кольце, и схема идентификации параметра нелинейности осесимметричного резонатора; (¡у) построена модель каскадных процессов резонансного взаимодействия сдвиговых и изгибных волн в тонкой пластинке, и обнаружен эффект двухмерного группового синхронизма коротких изгибных и длинных сдвиговых волн; у) показано, что амплитудно-частотная характеристика изгибных волн в тонкостенных элементах конструкций существенно зависит от параметров длинноволновых продольных и сдвиговых смещений, вызванных распространением этих же изгибных волн.

Достоверность результатов работы основывается на использовании апробированного математического аппарата нелинейной динамики, их сравнении с результатами, полученными при использовании других методов, а также сопоставлением с имеющимися экспериментальными данными.

Научная и прикладная значимость. Результаты работы могут быть использованы при решении научно-технических задач: возбуждения незатухающих прецессирующих волн в твердотельном волновом гироскопе; расчета флатгерной неустойчивости панелей и оболочек в потоке жидкости или газа; идентификации параметров нелинейности тонкостенных механических объектов по данным динамических испытаний.

Диссертационная работа связана с плановыми исследованиями Нижегородского филиала Института Машиноведения Российской Академии Наук. Работа частично поддерживалась международными и отечественными фондами развития научных исследований: ISF (NR 9В000), INTAS (96-2370), РФФИ (95-0205360, 00-02-16582), ФЦП "Интеграция" (проект А-0046); NATO project "Nonlinear dynamics of shells with fluid structure interaction" (PST.CLG.977350).

Результаты работы докладывались на: симпозиуме "Активный контроль в инженерном деле", Лион, Франция, 1993 г. симпозиуме IUTAM "Идентификация механических систем", Вупперталь, ФРГ, 1993 г.,

Всероссийском научном семинаре "Проблемы динамики и прочности электро- и энерго машин", СПб, 1993., симпозиуме "Вибрации в физике", Познань, Польша, 1994 г.,

II международной школе-семинаре по динамике и стохастическим волновым явлениям Н.Новгород-Москва,

10 зимней школе по механике сплошных сред, Пермь, 1995, симпозиуме "Успехи в модальном синтезе сложных конструкций", Лион, Франция, 1995 г.

VIII сессии РАО "Нелинейная акустика твердого тела", Н.Новгород, 1998 г.

XIII симпозиуме "Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем", Москва-Звенигород, 2001г.

Первой рабочей встрече по динамике оболочек с жидкостью по проекту НАТО, Модена, Италия, 2001 г. семинарах ИПФ РАН, (рук. В.А. Зверев) 1999 г., (рук. В.Д. Шелфеев, В.И. Некоркин) 2002 г.; ИМАШ РАН, 2001 г. (рук. К.В. Фролов); ИПМ РАН, 2001 г. (рук. Д.М. Климов, В.Ф. Журавлёв); Нф ИМАШ РАН, 2001 г. (рук. Дерендяев Н.В., Потапов А.И., Уткин Г.А.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 23 работы (10 из них в рецензируемых журналах).

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, шести глав основного текста, заключения и приложения, напечатана на 215 листах, содержит 40 иллюстраций, список литературы из 136 наименований.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные многоволновые взаимодействия в тонкостенных элементах конструкций»

В первой главе "Основы теории многоволновых взаимодействий" излагается методика нормальных форм уравнений для исследования квазилинейных распределенных механических систем вида (п. 1.1):

М(рК +С(р)и = ц1Ч(р,и), где М и С — линейные дифференциальные матричные операторы, характеризующие инерционные и упругие свойства системы (р = V,); N — вектор нелинейных величин; ц — малый параметр задачи, характеризующий меру нелинейности. В любой момент времени / искомые переменные системы и(х,/) относятся к пространственным координатам х. С помощью линейного нормализующего преобразования (О = 0(р)Ч/1и + /ЕЧ^'и,) уравнения движения записываются в форме уравнений связанных нормальных волн (СНВ):

0 + ;о(р)0 = ЦР,<},<}*) и 0* -ю(Р)С>' = -/>Г(р,<У,С>), где {= — вектор нелинейности; Ч* — матрица преобразования;

О = с^{о„(р)} —диагональная матрица дифференциальных операторов, собственные значения которых определяются дисперсионным соотношением; звездочка обозначает комплексное сопряжение. Дисперсионное уравнение получается при подстановке в линеаризованные уравнения СНВ решения в виде гармонических волн: Ап ехр(со„/ - кх).

Уравнения СНВ приводятся к простейшему виду, т.е. к нормальной форме с помощью почти тождественной замены переменных: Q(x,t) = q(x,t) + q*), где h — искомое нормализующее преобразование. По определению нормальной оо формы правая часть уравнений R(p,q,q*) = ^]|inRn(p,q,q*) содержит толькореп=1 зонансные члены.

Основные типы резонансов первого нелинейного приближения таковы: a) трехволновые процессы распада высокочастотной волны на пару низкочастотных, при выполнении условий фазового синхронизма ¿у1(к1) = й>2(к2) + бу3(к3) + Асо и к, =к2 +к3 + Ак; b) генерация 2-ой гармоники, при 2«1(к1) = а>2(к2) + А со и 2к, = к2 + Ак.

Основные типы резонансов второго приближения: a) четырехволновые процессы, при й>1(к1) + «2(к2) = й>3(к3) + й>4(к4) + Асо и kt+к2 =к3+к4 + Ак (взаимодействие двух пар волн) или при й>](к1) = «2(к2) + й>3(к3) + й>4(к4) + Асо и к, = к2 + к3 + к4 + Ак (распад высокочастотной волны на тройку низкочастотных волн); b) вырожденный трехволновый резонанс, при 2го,(к,) = со2(к2) + ¿y3(k3) + Асо и 2к, = к2 + к3 + Ак; c) генерация 3-ей гармоники, при (к,) = со2(к2) + Асо и Зк, = к2 + Ак.

Так называемые "нерезонансные" взаимодействия: a) кросс-взаимодействие, сох (к,) + со2 (к2) = со, (к,) + со2 (к2) и kj + к2 = к, + к2 (взаимодействие пары волн); b) самовоздействие, ^(к^ + ю^к^й^к^ + юДк!) и к! +к, = к! +к,.

Нормальная форма, полностью эквивалентная исходным уравнениям движения, эффективно исследуется с помощью методов теории нелинейных модулированных волн, когда решение представляется в виде набора квазигармонических волн вида Ап (Т, X) ехр(со - кх), где Ап (Т, X) — амплитуды, медленно меняющиеся во времени Т = \it ив пространстве х = цХ. В первом нелинейном приближении стандартная форма эволюционных уравнений трехволнового взаимодействия, при выполнении условий фазового синхронизма эДк,) = ¿У2(к2) + <У3(к3) + Д<у и к, = к2 + к3 + Дк, имеет форму зг 1 " х) " 2(0я алу где \п — групповые скорости волн; = А'А2А3 ехр/Дсо/ - АХА\А\ ехр(-гД<х»/) — потенциал трехволнового взаимодействия; а — коэффициент нелинейности. Во втором приближении стандартная форма уравнений четырехволнового резонанса, при выполнении условий фазового синхронизма

О)

1(к,)+ й>2(к2)= а>3(к3)+ о>4(к4)+ Асо и к! +к2 =к3 +к4 + Дк, имеет вид где 11{ъ) = А'А'2А3Аа ехр г ДсоГ - А1А2А'3А'4 ехр(-г'Д(ог) — потенциал четырехволнового взаимодействия; р — коэффициент нелинейности; р„ш — параметры кросс- и самомодуляции.

В пункте 1.2 приводится определение явления резонанса в многоволновой нелинейной системе. На примерах некоторых постановок задач о статической и динамической устойчивости нагруженного стержня устанавливается связь между явлением динамической неустойчивости и явлением многоволновых резонансов (п. 1.3).

Исследование трех- и четырехволновых резонансов в задачах о нелинейных колебаниях стержня, кольца, пластинки и цилиндрической оболочки составляет предмет остальных глав работы.

Во второй главе "Нелинейные волны в прямолинейном стержне" исследуются на основе простейших уравнений движения, вытекающих из гипотез Кирхгоффа-Лава (п. 2.1). Изучаются различные типы стационарных и нестационарных многоволновых процессов, обусловленные трех- и четырехволновыми резонансами. В пункте 2.2 показано, что в простейшем случае нестационарные движения проявляются в виде периодического или квазипериодического обмена энергии между высокочастотной продольной и двумя низкочастотными изгибными волнами резонансной триады, которые находятся в фазовом синхронизме (рис. 1).

-20 0 20 40 60

Волновое число

Рис. 1. Фазовый синхронизм тройки волн в стержне. При определенных начально-краевых условиях реализуются стационарные движения стержня в виде так называемых трехчастотных солитонов огибающих. Показано, что такие солитоны являются кинематическими волнами — спонтанно, из начального произвольного волнового профиля, они формироваться не могут.

Если квазигармонические изгибные волны достаточно интенсивны, то возникают четырехволновые резонансные взаимодействия (п. 2.3), эффекты кросс-взаимодействия, а также самомодуляции (п. 2.4), способные приводить к самопроизвольному формированию серии солитонов огибающих. Соответствующие этому процессу эволюционные уравнения имеют следующий вид а, +^а11)г=|-г(г|гГ +*Ч> л„-Ахх=к'ехЩ\ где А(х,т) — длинноволновое продольное смещение, появление которого обусловлено распространением изгибной волны с комплексной амплитудой 2?(х,т); Х = |дх и х = цг — "медленные" координаты пространства и времени, соответственно; у = (1(о I йк — групповая скорость; у'= ¿/2со I с!к2 — параметр дисперсии групповой скорости. Существенным в данной модели является то, что длинноволновое продольное поле смещений Л(х,т), которое неизбежно возбуждается при распространении модулированной изгибной волны, существенно изменяет частотно-амплитудную характеристику системы (рис. 2).

Рис. 2. Коротковолновая изгибная и длинноволновая продольная компоненты смещений солитона огибающих в стержне.

Оценивается устойчивость распространения и энергия солитонов. Показано, что солитоны огибающих могут в свою очередь потерять устойчивость из-за четырехволновых резонансных процессов.

В третьей главе "Нелинейные волны в тонком кольце" исследуются на основе математической модели, обобщающей уравнения движения прямолинейного стержня при введении параметра кривизны (п. 3.1): где у(ф,/) и и>(ф,/) — окружная и радиальная компоненты смещений точек сретеризующий отношение толщины кольца к радиусу; ц — малый параметр задачи.

Сопровождающая координата динной линии кольца (У = у +м> и №'=м> -у)-, е = И/ л/12Л — параметр, харак

Найдено, что высокочастотная окружная волна растяжения-сжатия неустойчива при распространении по отношению к малым низкочастотным изгиб-ным возмущениям. В процессе неустойчивости высокочастотной первичной волны развиваются вторичные изгибные волны. При этом первичная и вторичные волны находятся в фазовом синхронизме и из них, как и в стержне, формируется резонансный триплет (рис. 3). Распадная неустойчивость высокочастотной волны приводит к повышению динамических напряжений в кольце. На основе аналитических решений эволюционных уравнений триады оценивается коэффициент повышения динамических напряжений и период обмена энергии между волнами. К примеру, при распадной неустойчивости осесимметричных колебаний кольца, динамические напряжения могут повышаться в два с половиной раза из-за возбуждения пары низкочастотных сопряженных изгибных форм (п. 3.2).

-20 -10 0 10 20 Волновое число

Рис. 3. Фазовый синхронизм тройки волн в кольце.

Низкочастотные изгибные волны в силу дисперсионных свойств кольца не могут являться высокочастотными распадными модами триплетов. Поэтому в рамках первого нелинейного приближения профили низкочастотных изгибных волновых пакетов оказываются устойчивыми по отношению к малым возмущениям. Но во втором приближении эти волны оказываются неустойчивыми из-за четырехволновых резонансов, а также процессов кросс- и самомодуляции (п.

3.3). При развитии модуляционной неустойчивости из почти гармонических из-гибных волн формируются солитоноподобные огибающие, удовлетворяющие, из-за замкнутости кольца, условиям пространственной периодичности.

В заключение главы приводятся примеры численного решения задач о неустойчивости осесимметричных колебаний кольца, подтверждающие основные теоретические результаты, полученные с помощью теории модулированных волн (п. 3.4, см. рис. 4).

Номера мод колебаний ев

3 <

0.2

0.0

-0.2

200 Время

400

Рис. 4. Осциллограммы компонент резонансного триплета, численно рассчитанные в первом нелинейном приближении с использованием метода Галёркина.

В четвертой главе "Нелинейные волны во вращающемся кольце" предлагается новый способ возбуждения незатухающих прецессирующих волн в волновом твердотельном гироскопе (ВТГ) с помощью резонансного возбуждения неустойчивых осесимметричных колебаний кольцевого резонатора внешней периодической силой, при наличии диссипации энергии колебаний (п. 4.1-4.2). В рамках первого нелинейного приближения показано, что при медленном вращении свободного от внешнего воздействия кольцевого резонатора ВТГ всегда имеется фазовый синхронизм между высокочастотными осесимметричным колебанием и парой низкочастотных сопряженных изгибных волн. Кроме того, существует такая нестационарная система отсчета, в которой эволюционные уравнения динамического процесса не зависят явно от параметров вращения (п. 4.3). При учете диссипации энергии и воздействия внешней осесимметричной силы инвариантность уравнений в этой подвижной системе отсчета также сохраняется. Из-за нелинейности в системе наблюдаются несколько стационарных состояний. Одно из них реализуется при малой внешней силе, когда резонатор ведет себя как линейная резонансно возбуждаемая система, колебания которой ограничиваются только лишь за счет диссипации энергии. При увеличении амплитуды внешнего воздействия в системе происходит бифуркация и переход к новому устойчивому стационарному состоянию колебаний. При этом, за счет трехволно-вого резонанса (с отношением частот 2:1) возбуждается пара сопряженных из-гибных волн, находящихся в синхронизме с осесимметричным колебанием. Амплитуда осесимметричного колебания не изменяется, даже при увеличении амплитуды внешней силы (рис. 5). св

2 <

0.2

0.0

-0.2

Номера мод

- 0

- 1

- 2

200

400 ев 2

0.4

0.0

-0.4

Номера мод

- 0 1

- 2

200 Время

Рис. 5. Осциллограммы вынужденных колебаний кольца с учетом диссипации, соответственно, до и после порога возбуждения изгибных волн.

На рисунке 6 представлена бифуркационная диаграмма, где используются следующие обозначения: |Л12| и \А3\ — абсолютные значения амплитуд изгибных волн и осесимметричного колебания, соответственно; К* — бифуркационное значение управляющего параметра. Суперпозиция пары изгибных волн, возникших после бифуркации, образует стоячую изгибную форму колебаний, сохраняющую типичную картину волновой прецессии в ВТГ. Критическое значение управляющего параметра системы в точке бифуркации определяется дисперсионными (О, Ч'), диссипативными (у) и нелинейными параметрами резонатора (а), если известно соответствующее критическое значение внешней силы Г*, т.е. К а На этом основании предлагается схема идентификации параметра нелинейности произвольного осесимметричного резонатора по данным динамических испытаний (п. 4.4).

В уточненной постановке задачи в рамках второго нелинейного приближения в резонансное взаимодействие с осесимметричным колебанием вовлекаются, кроме изгибных волн на половинной частоте, также и пара изгибных волн с частотами близкими к частоте осесимметричной формы (п. 4.5). Кроме этого, в соответствующих эволюционных уравнениях появляются слагаемые, ответственные за малую неравномерность вращения базы резонатора, т.е. наблюдается медленный "уход" гироскопа. А

Насыщение

Управляющий параметр

Рис. 6. Бифуркационная диаграмма.

В пятой главе "Нелинейные волны в тонкой пластинке" исследуются на основе известных уравнений, вытекающих из гипотез Кирхгофа-Лава (п. 5.1-5.2). В пунктах 5.3-5.4 описаны три типа трехволновых резонансных волновых ансамблей, состоящих из мод колебаний следующих типов:

I) высокочастотной продольной и двух низкочастотных изгибных (Тт-триплет);

II) высокочастотной сдвиговой и двух низкочастотных изгибных (Т5ЬЬ);

Ш) высокочастотной изгибной и низкочастотных сдвиговой и изгибной (Тыь -триплет) (рис. 7).

Рис. 7. Схема спектрального состава триады Тыь - типа.

В символьном выражении Тцк первый индекс указывает на тип высокочастотной моды, второй — тип моды на средней частоте, третий — на низкой (Ь — изгиб-ная, 5 — сдвиговая или / — продольная). В общем случае процессы нелинейного трехволнового взаимодействия в пластинке являются существенно двухмерными. Например, трехволновые ансамбли ТФЬ -типа, являясь с формальной точки зрения аналогичными ансамблям Т1ЬЬ -типа, ни при каких условиях не могут быть одномерными динамическими объектами. Физически это связано с поперечной поляризованностью сдвиговой волны по отношению к направлению ее распространения — движение частиц среды, вызванное сдвиговыми волнами, всегда ортогонально распространению самих волн. Другие квазигармонические волны неустойчивы (рис. 8).

1.5 л н и а § и м а . . . <х продольные

1.0 * )( )( X X X )( )( )( )( X )( )( X Х.-'Х X К X )( X с 0.5 -I £ о.о -е

Ъ Л У сдвиговые х х х х )( х х

О'' 0 0

О'

0' 0 0 К

X X X X X; X X X X X X к\

1*21 н-1-1-1-1—

О 10 20 30 40 50 60 70 Модуль волнового вектора

Рис. 8. Диаграмма устойчивости квазигармонических волн в пластинке (кресты обозначают неустойчивые волны).

Очевидно, что в случае коллинеарного распространения и взаимодействия плоских волн, входящих в состав Т1ЬЬ -триплета, нелинейные процессы в пластинке полностью аналогичны волновым процессам протекающим в одномерной упругой системе — прямолинейном стержне. Но колебания пластинки, в отличие от прямолинейного стержня, характерны появлением сдвиговых волн, скорость которых всегда ниже скорости продольных волн. Последнее обстоятельство обусловливает появление новых, по сравнению со стержнем, типов резонансных триад, высокочастотной распадной компонентой которых является либо сдвиговая, либо изгибная волна (ТаЬЬ и Тш -триплеты).

В первом нелинейном приближении квазигармонические изгибные волны в пластинке, имеющие групповые скорости, значение которых ограничено сверху скоростью распространения сдвиговых волн, являются устойчивыми по отношению к малым возмущениям.

Во втором нелинейном приближении интенсивные низкочастотные изгибные волны могут формировать четырехволновые резонансные ансамбли и подвергаться эффектам самовоздействия и кросс-модуляции. Развитие модуляционной неустойчивости приводит к самофокусировке изгибного волнового пакета. Кроме того, эволюционные уравнения, описывающие круговые изгибные волны в своих решениях допускают существование логарифмической точки ветвления — сингулярности, теоретически могущей иметь место даже при конечной энергии двумерной волны, что в принципе не исключает возможности наступления явления волнового коллапса. Обнаружено, что распространение квазигармонических изгибных волн всегда сопровождается возбуждением длинноволновых продольных и сдвиговых смещений пластинки в ее плоскости (п. 5.7).

В отличие от одномерных систем, в пластинке уже в первом нелинейном приближении появляются новый нелинейный эффект вырождения резонансного взаимодействие Ты -типа, наблюдаемый при совпадении групповой скорости высокочастотной изгибной волны с характерной скоростью распространения сдвиговых волн (рис. 9). В отличие от одномерных физических систем, где может наблюдаться групповой синхронизм волн (к примеру, Зозуля О.М., Рыбак С.А. (1998), Одномерная модуляционная неустойчивость волновых пакетов в средах с резонансной дисперсией. Акуст. журн., 44(2), 278-280), резонанс длинных и коротких волн в пластинке, проявляется как динамическое явление, имеющее место не для одной единственной, а для всякой изгибной волны, групповая скорость которой превышает скорость распространения сдвиговых волн. Подобный резонанс приводит к локализации изгибной волны на длинноволновых сдвиговых смещениях пластинки, что может привести к существенному повышению в ней динамических напряжений.

-50 -40 -30

-20 -10 0 10 20 Волновое число (х)

30 40 50

Рис. 9. Проекция резонансного многообразия ТЬаЬ- триплета на плоскость волновых чисел. Групповой синхронизм волн имеет место, когда спектральные параметры изгибной моды с номером 2 близки к соответствующим параметрам изгибной моды с номером 1.

В первом приближении в пластинке обнаружены существенно двухмерные многоволновые каскадные резонансные взаимодействия (п. 5.5-5.6). Триады различных типов и спектральных масштабов могут эффективно взаимодействовать в том случае, когда одна из низкочастотных компонент триплета, расположенного на верхнем спектральном ярусе, становится одновременно и высокочастотной распадной компонентой смежного триплета нижнего яруса. Под спектральным ярусом понимается совокупность спектральных параметров всех триплетов с единой общей высокочастотной компонентой. Последовательность "зацепления" различных резонансных триплетов существенно зависит от специфики дисперсионных, нелинейных характеристик системы и от начальных условий задачи. Совокупность взаимодействующих триадных ярусов образует масштабный резонансный ансамбль, называемый резонансной решеткой. Остов резонансной решетки в тонкой пластинке состоит из множества взаимодействующих триплет-ных цепочек различного спектрального масштаба. Компонентами этих цепочек могут быть лишь только изгибные и сдвиговые моды, т.е. всякая цепочка состоит из смежных пар связанных триплетов типа Тм и Тыь. Самый нижний ярус принадлежит изолированным триплетам Т5ЬЬ -типа, или так называемым "терминирующим" резонансным триплетам (рис. 10). Поэтому нелинейные колебания пластинки в рамках первого нелинейного приближения осуществляются в некоторой ограниченной спектральной области, определяемой параметрами резонансной решетки. В этой области происходит перекачка энергии колебаний преимущественно вниз по спектру. Выявлены стационарные и нестационарные процессы каскадного взаимодействия волн. Установлено, что стационарные процессы характеризуются равнораспределением энергии по группам мод колебаний. Нестационарные каскадные процессы протекают, как правило, хаотически (из-за повышения кратности резонанса).

2Ы-3

Рис. 10. Схема цепочки резонансных триплетов в пластинке.

В пятой главе "Нелинейные волны в цилиндрической оболочке" изучаются на основе известных уравнений, вытекающих из гипотез Кирхгофа-Лава (п. 6.1-6.2). В пунктах 6.3-6.4 описаны четыре типа трехволновых резонансных волновых ансамблей в оболочке, состоящих из мод колебаний следующих типов: 0) высокочастотной продольной и двух низкочастотных изгибных (Тттриплет); и) высокочастотной сдвиговой и двух низкочастотных изгибных (Тм); (ш) высокочастотной изгибной и низкочастотных сдвиговой и изгибной (Тш) (¡у) трех изгибных волн (Тььь).

В некоторых предельных случаях описание динамики цилиндрической оболочки сводится к эволюционным уравнениям, полученным для кольца или пластинки. В данной работе основное внимание отводится тем нелинейным многоволновым процессам, которые свойственны именно цилиндрической оболочке. К таковым можно отнести трехволновые резонансные процессы, в котором участвуют лишь только изгибные моды колебаний — триплеты Тььь -типа. Отмечается, что известные уравнения движения оболочки в форме Доннелла пригодны для описания нелинейной динамики только лишь триплетов Гш-типа. Большая часть нелинейных волновых процессов взаимодействия между высокочастотными и низкочастотными волнами остается без внимания, если воспользоваться подобной моделью колебаний оболочки.

Для динамики цилиндрической оболочки свойственны и динамические процессы с участием осесимметричных мод колебаний различного типа. Исследование устойчивости распространения осесимметричных волн в оболочке актуально с точки зрения решения многих практических задач, поскольку экспериментальный опыт показывает, осесимметричные формы движения всегда сопровождают движения по неосесимметричным формы. Проводится сопоставление полученных теоретических результатов по динамической неустойчивости осесимметричных форм движения с имеющимися экспериментальными данными. Сопоставление указывает на несколько возможных сценариев развития неустойчивости, согласующихся с теорией нелинейного резонансного многоволнового взаимодействия (п. 6.4).

Одной из основных задач динамики оболочки является построение ее частотно-амплитудной характеристики для одночастотных процессов. Имеющиеся в литературе сведения о типе нелинейности оболочки при заданных граничных условиях ("мягкого", "жесткого" типа, и.т.д.) недостаточны для изучения особенностей процесса модуляционной неустойчивости волн. Предлагается один подходов к решению такой задачи (п. 6.5). Соответствующие эволюционные уравнения имеют вид где А(Х, Т) — амплитуда изгибной волны; и(Х, Т) и У(Х, Т) — возбуждаемые этой изгибной волной, продольные и сдвиговые смещения точек срединной поверхности оболочки, медленно изменяющиеся в пространстве и времени: х = и т = ц/, соответственно; оз(п,к) — собственная частота изгибной волны, зависящая от волновых чисел в окружном (и) и продольном (к) направлениях; V = ¿/со / с1к — групповая скорость; = б?2со / йк2 — параметр дисперсии групповой скорости; N — коэффициент нелинейности; е = А/712Д — относительная толщина оболочки; ц — малый параметр задачи. Полученные теоретические данные, на основе изучения модуляционных уравнений, сравниваются с экспериментальными данными по возбуждению солитонов огибающих в оболочках. Наблюдается хорошее совпадение теоретических и экспериментальных данных (п. 6.6).

В приложении приведены алгоритмы получения аналитического решения в виде стационарных волн и многочастотных солитонов огибающих в пластинке, а также процедуры нахождения решений некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих в теории нелинейных колебаний пластинок и оболочек.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ, ПОДТВЕРЖДАЮЩИЕ НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Ряд динамических явлений, наблюдаемых в различных экспериментах, получает хорошее объяснение в рамках теории многоволновых резонансных пкУх ; и^-и^^к2 +Уп2)дх\А\2взаимодействий. Например, теоретические выводы о существовании резонансных триплетов в стержне и кольце подтверждаются экспериментами Линдберга [1,2] и экспериментами Солодилова В.Е. [3], Кубенко В.Д., Ковальчука П.С., Краснопольской Т.С., Подчасова Н.П. по колебаниям цилиндрических оболочек [4,5]. Эффекты самомодуляции изгибных волн в кольце и формирование волн, близких к солитонам огибающих, подтверждаются экспериментами By, Витли, Рудника и Паттермана по возбуждению нелинейных волн к короткой цилиндрической оболочке [6]. Эффект несимметричного деформирования тонких оболо-чечных конструкций экспериментально наблюдался в ряде работ, например, в работах Вольмира А.С. [7], Рейсснера [8]. Существование иерархии волновых неустойчивостей в цилиндрической оболочке также подтверждаются экспериментальными исследованиями Гудьера, Макайвора [9], Гинсберга [10].

1] Lindberg, Н.Е. (1965), Impact buckling of a thin bar, Trans. ASME J. Appl. Mech., Ser. E, 32,315-322.

2] Lindberg, H.E. (1974), Stress amplification in a ring caused by dynamic instability, Trans. ASME J. Appl.Mech., Ser E, 41(2), 390-400.

3] Солодилов В.Е. (1980), Исследование собственных колебаний оболочек методом голографической интерферометрии, Автореф. дис. . канд. техн. наук.

4] Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Краснопольская Т.С. (1984), Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрических оболочек, Киев: Наукова думка, 220 с.

5] Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Подчасов Н.П. (1989), Нелинейные колебания цилиндрических оболочек, К.: Выща школа, 208 с.

6] Wu J, Wheatley J, Putterman S and Rudnick I (1987), Observation of envelope solitons in solids, Phys. Rev. Lett., 59(24), 2744-2747.

7] Вольмир А.С. (1972), Нелинейная динамика пластинок и оболочек, М.: Наука.

8] Reissner, Е. (1955), Nonlinear effects in the vibrations of cylindrical shells, Report NAM 5-6, Ramo-Wooldridge corp., 169-176.

9] Goodier JN, Mclvor IK (1964), The elastic cylindrical shell under nearly uniform radial impulse, Trans. ASME J. Appl. Mech., Ser. E, 2(86), 259-266.

10] Ginsberg JM (1974) Dynamic stability of transverse waves in circular cylindrical shell, Trans. ASME J. Appl. Mech., Ser. E, 41(1), 77-89.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Построены основы теории нелинейных многоволновых процессов в упругих элементах тонкостенных конструкций (стержне, кольце, пластинке и цилиндрической оболочке). На основе метода нормальных форм в первом приближении теории возмущений выведены уравнения, описывающие трехволновые резонансные взаимодействия, каскадные процессы перераспределения энергии волн по спектру. Во втором приближении получены уравнения четырехволновых резонансных процессов, самомодуляции интенсивных изгибных волн, а также нелинейного резонансного взаимодействия длинных и коротких волн. В процессе исследований получен ряд новых результатов:

1. Выявлены эффекты повышения динамических напряжений в конструкциях, связанные с распадом высокочастотных первичных волн на низкочастотные вторичные волны. Дана классификация трехволновых резонансных процессов, приводящих к подобным явлениям. Проанализированы четырехволновые резо-нансы, и эффекты самомодуляции и кросс-модуляции волн.

2. Предложен новый способ возбуждения незатухающих прецессирующих изгибных волн в волновом твердотельном гироскопе (ВТГ). Показано, что незатухающие изгибные волны возникают, когда некоторое характеристическое число системы превышает некоторое пороговое значение. По характеру прецессии изгибных волн можно судить об изменении угловой координаты базы ВТГ в абсолютном пространстве. Установлено, что во втором нелинейном приближении может наблюдаться медленный "уход" гироскопа из-за неравномерности вращения.

3. Обнаружено явление группового синхронизма двухмерных волн в пластинке, приводящее в пространственной локализации волн и к росту сдвиговых динамических напряжений.

4. Выявлены каскадные нелинейные динамические процессы в пластинке, имеющие тенденцию к перекачке энергии колебаний в низкочастотную область спектра.

5. Показана существенная зависимость амплитудно-частотной характеристики изгибных колебаний в тонкостенных системах от вторичных продольных и сдвиговых деформаций, порождаемых этими же изгибными волнами.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ковригин Д.А. Потапов А.И. Нелинейные резонансные взаимодействия продольных и изгибных волн в тонком кольце/ Докл. АН СССР, 305(4), 1989, с. 803 — 807.

2. Ковригин Д.А., Потапов А.И. О нелинейных колебаниях тонкого кольца/ Прикладная механика, 25(3), 1989, с. 76 — 81.

3. Ковригин Д.А., Потапов А.И. Нелинейная волновая динамика одномерных упругих систем. Метод связанных нормальных волн (Часть I)/ Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 4(2), 1996, с. 72 — 81.

4. Ковригин Д.А., Потапов А.И. Нелинейная волновая динамика одномерных упругих систем. Системы со сплошным спектром (Часть II)/ Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 4(2), 1996, с. 81 — 92.

5. Ковригин Д.А., Потапов А.И. Нелинейная волновая динамика одномерных упругих систем. Системы с дискретным спектром (Часть III)/ Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 4(2), 1996, с. 92 — 102.

6. Kovriguine D.A, Potapov A.I. Nonlinear waves in elastic bar/ European J. Mech. A/Solids, 15(6), 1996, 1049 — 1075.

7. Kovriguine D.A. On non-linear resonant excitation of a wave solid-state gyro// In: Proc. Int. Symp. New advances in modal synthesis of large structures. Jezequel ed., Balkema, Rotterdam, 1997, 479 — 489.

8. Kovriguine D.A, Potapov A.I. Intense bending waves in a bar/ Arch. Appl. Mech., 67, 1997, 237 — 246.

9. Kovriguine D.A, Potapov A.I. Nonlinear oscillations in a thin ring. First-order approximation/ A eta Mechanica, 126, 1998, :189— 198.

10. Kovriguine D.A. Nonlinear oscillations in a thin ring. Second-order approximation, Acta Mechanica/ 126, 1998, 189 — 212.

11. Ковригин Д.А., Потапов А.И. Нелинейные резонансные взаимодействия нормальных волн в тонком кольце и оболочке// Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах, АН УССР, Киев, 1991, с. 66 — 68.

12. Ковригин Д.А. Нелинейная динамика тонкостенных цилиндрических оболочек. Свободные колебания// Препринт Гф ИМАШ АН СССР, Горький, 1990, 24 с.

13. Белостоцкая И.А., Ковригин Д.А., Потапов А.И. Динамическая неустойчивость осесимметричных волн в цилиндрической оболочке// Волновые задачи механики, Горький, 1989, с. 80 — 85.

14. Ковригин Д.А., Новиков А.А., Потапов А.И. Нелинейные взаимодействия нормальных волн в одномерных упругих системах// Волновые задачи механики, Нижний Новгород, 1990, с. 115 — 122.

15. Kovriguine D.A. On wave features of energy partition in cascade of coupled resonant triads of various scales// Abs. 2-nd Int. School-Seminar Dynamics and Stochastic Wave Phenomena, N.Novgorod — Moscow, 1994, p. 83.

16. Ковригин Д.А., Кажаев B.B. Регулярная и хаотическая эволюция нелинейных волн в стержне// Тез. докл. Всеросс. научн. семинара "Проблемы динамики и прочности электро- и энерго машин", СПб, 1993, с. 28 — 29.

17. Kovriguine D.A. Modélisation mathématique du transfert l'enérgie dans une lattice de triplets résonants. Un exemple de l'évolution non linéaire d'une onde quasi harmonique dans une plaque solide// Proc. Int.Symp. Active control in mechanical engineering, Lyon, Vol. 2, 1993, Association MV2.

18. Kovriguine D.A. Nonlinear wave phenomena in a thin rotating ring// Proc.Symp. on Vibrations in Physical Systems, Poznan, 1994, p. 75

19. Ковригин Д.A. О взаимодействии нелинейных волн в стержне, кольце и пластинке// Тез. докл. XIII симп. "Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем", Москва-Звенигород, 2001, с. 60 — 63.

20. Ковригин Д.А. Устойчивость упругих систем/ Изв. Акад. Инж. Наук, 2, 2001, с. 85-95.

21. Ковригин Д.А. Нелинейные многоволновые взаимодействия в упругих системах/ Изв. Акад. Инж. Наук, 2, 2001, с. 96-104.

22. Ковригин Д.А. Уравнения многоволновых резонансных процессов в тонкой пластинке/ Вестник Ниж-го ун-та, 3, 2001, с. 79 — 86.

23. Kovriguine D.A, Maugin G.A., Potapov A.I. Multiwave nonlinear couplings in elastic structures / Int. J. Solid Struct., 2002.

24. Гордеев Б.А., Ерофеев В.И., Ковригин Д.А., Синев А.В., Аббакумов Е.И. Взаимодействие силового агрегата мотор-компрессора электоровоза с вибрационными полями в переходных режимах/ Проблемы машиностроения и надежности машин, 4, 2002, с. 105 — 111.

25. Kovriguine D.A, Potapov A.I. Triple-wave ensembles in a thin elastic cylindrical shell/ Proc. NATO CLG Report: Nonlinear dynamics of shells with fluid-structure interaction, eds. F. Pellicano, Yu. Mikhlin, I. Zolotarev, Prague, 2002, 83 — 100.

26. Kovriguine D,A. Nonlinear multi-wave coupling and resonance in elastic structures / Proc. NATO CLG Report: Nonlinear dynamics of shells with fluid-structure interaction, eds. F. Pellicano, Yu. Mikhlin, I. Zolotarev, Prague, 2002, 101 — 114.

КОВРИГИН Дмитрий Анатольевич

НЕЛИНЕЙНЫЕ МНОГОВОЛНОВЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.02.06 — Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Научные консультанты — доктор физико-математических наук, профессор А.И. Потапов; доктор физико-математических наук, профессор A.B. Березин

Н.Новгород— 2002

Оглавление

Введение .4

1. Основы теории многоволновых взаимодействий 14

1.1. Нелинейные многоволновые взаимодействия.15

1.2. Задачи устойчивости упругих систем.24

1.3. Выводы.34

2. Нелинейные волны в прямолинейном стержне 35

2.1. Уравнения движения и дисперсионные соотношения .35

2.2. Резонансные тройки волн.37

2.2.1. Эволюционные уравнения резонансного триплета.37

2.2.2. Повышение динамических напряжений.41

2.2.3. Постановка начально-краевой задачи.42

2.2.4. Трехчастотные солитоны. . 45

2.3. Четырехволновые резонансные взаимодействия.46

2.4. "Нерезонансные" взаимодействия волн.51

2.4.1. Кросс-взаимодействие.52

2.4.2. Самомодуляция изгибных волн. Солитоны огибающих.53

2.5. Выводы.58

3. Нелинейные волны в тонком кольце 60

3.1. Уравнения движения и дисперсионные соотношения .60

3.2. Нелинейное взаимодействие троек волн.63

3.2.1. Повышение динамический напряжений.67

3.2.2. Распад осесимметричного радиального колебания.67

3.2.3. Экспериментальные данные по неустойчивости осесимметрич-ных колебаний кольца.69

3.3. Нелинейные эффекты второго приближения.70

3.3.1. Формулировка задачи.70

3.3.2. Резонансные взаимодействия четверок волн.72

3.3.3. "Нерезонансные" взаимодействия.79

3.4. Численное моделирование.85

3.4.1. Динамака триплета .85

3.4.2. Вынужденные осесимметричные колебания.89

3.5. Выводы.90

4. Нелинейные волны во вращающемся кольцевом резонаторе 92

4.1. Уравнения движения.93

4.2. Дисперсионные соотношения.94

4.3. Трехволновые взаимодействия.98

4.4. Идентификация коэффициента нелинейности.103

4.5. Эволюционные уравнения высших приближений.105

4.6. Выводы.107

5. Нелинейные волны в тонкой пластинке 108

5.1. Уравнение движения.110

5.2. Дисперсия линейных волн.113

5.3. Резонансные триады в пластинке .115

5.3.1. Осредненная функция Лагранжа.116

5.3.2. Три типа резонансных триад.118

5.4. Уравнения эволюции триад.122

5.5. Динамические свойства триплетов.130

5.6. Взаимодействия между триплетами.130

5.6.1. Триплетные цепочки.131

5.6.2. Уравнения динамики триплетной цепочки.133

5.6.3. Законы сохранения .136

5.7. Стационарные волны в резонансных цепочках.139

5.7.1. Нелинейные монохроматические волны.139

5.7.2. Пространственно однородные решения.140

5.7.3. Многочастотные солитоны огибающих .146

5.8. Нелинейные эффекты второго приближения.151

5.8.1. Уравнения второго нелинейного приближения.152

5.8.2. Самомодуляция изгибных волновых пакетов .154

5.8.3. Четырехволновые резонансные процессы.159

5.9. Выводы.163

6. Нелинейные колебания цилиндрической оболочки 165

6.1. Уравнения движения.166

6.2. Дисперсия линейных волн в оболочке.168

6.3. Эволюционные уравнения.172

6.4. Трехволновые взаимодействия.173

6.4.1. Четыре типа резонансных триплетов.174

6.4.2. Частотно-энергетические соотношения.178

6.4.3. Различные сценарии неустойчивости осесимметричных волн . . 179

6.5. Самовоздействие изгибных волн.183

6.5.1. Амплитудно-частотная характеристика.183

6.5.2. Пространственно-временная модуляция волн.185

6.6. Экспериментальные данные по солитонам огибающих .187

6.7. Выводы.188

Экспериментальные данные по многоволновым взаимодействиям . 189

Основные результаты работы.190

Приложения 192

А.1. Стационарные колебания триплетной цепочки.192

А.2. Многочастотные солитоны .196

А.З. Уравнения для малых возмущений.200

А.4. Представление решения степенным рядом.203

А.5. Стационарные волны в оболочке.205

0.1. Введение

Актуальность проблемы. К современным механическим конструкциям предъявляются жесткие требования функциональности, надежности, экологии, экономичности и т.д. В частности, для решения подобного комплекса проблем необходим достоверный прогноз динамического поведения конструкций в различных режимах эксплуатации. Опыт показывает, что при динамических испытаниях тонкостенных обо-лочечных конструкций часто возникают пространственно локализованные бегущие волны, нестационарный обмен энергии между различными формами колебаний, взаимодействия между короткими и длинными волнами и т.д. Некоторые из подобных эффектов до настоящего времени не поддавались изучению в рамках классической теории нелинейных колебаний оболочек. В настоящей работе разрабатывается методика решения подобных задач с позиций теоретико-волнового подхода, обеспечивающего ясную трактовку и внутреннее единство результатов, полученных при исследовании нелинейных многоволновых процессов в тонком стержне, круговом кольце, пластинке и цилиндрической оболочке.

Состояние вопроса. В середине двадцатого века в связи с бурным прогрессом в технике возникла неизбежность развития теории нелинейных колебаний тонкостенных оболочечных конструкций. Начало теоретическим и экспериментальным исследованиям положено Григолюком Э.И [1] и Рейсснером Е. [2] в 1955 г. В качестве уравнений движения в этих работах использовались геометрически нелинейные уравнения пологих оболочек. Динамический прогиб и функция напряжений в срединной поверхности оболочки аппроксимировались "одночленными" разложениями в ряд Фурье с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени. В результате исследования такой математической модели была обнаружены частотно-амплитудная зависимость и эффект несимметричности динамических прогибов оболочки относительно ее недеформированной срединной поверхности, что, по существу, явилось первыми свидетельствами об ограниченности теории линейных колебаний.

Дальнейшее развитие теория динамики тонкостенных оболочек получила благодаря усилиям видных отечественных и зарубежных ученых - Болотина В.В. [3], Челомея В.Н. [90], Виденхаммера [4], Каудерера Г. [5], Вольмира A.C. [6, 7], Амбарцумяна С.А. [8], Гузя А.Н. [9], Кильчевского H.A. [10], Довелла Е.Г. [11], Ивенсена [12], Мацузаки Е. [13], Новински Дж. Н. [14], Линдберга Дж.Е. [15, 16], Гинсберга Дж. [17], Шмидта Г. [18], Кубенко В.Д., Ковальчука П.С., Краснопольской Т.С., Подчасова Н.П. [19, 20] и многих других. Основные результаты были получены при исследовании собственных и вынужденных колебаний нелинейных систем, сводимых к простейшим моделям с одной-двумя степенями свободы. Такие модели позволили затей' установить ряд важнейших закономерностей нелинейного поведения, которые затем нашли экспериментальное подтверждение - явление неизохронности, гистерезисного характера колебаний, ограничения амплитуды колебаний в окрестности резонансных частот при внешнем периодическом возбуждении, и т.д. Одновременно развивалась теория динамической устойчивости упругих систем.

Однако многие упрощенные модели оказались неприемлемыми для описания ряда экспериментально наблюдаемых нелинейных явлений, в основе которых лежит взаимодействие различных форм колебаний. К примеру, в работе Солодилова В.Е. "Исследование собственных колебаний оболочек методом голографнческой интерферометрии" (Автореф. дис. . канд. техн. наук. М., 1980) установлено, что при внешнем периодическом воздействии наблюдался нестационарный процесс возбуждения изгибных колебаний оболочек на частотах, в целое число меньших собственной. Кроме этого явления обнаружено возбуждение сопряженной формы колебаний, которая сдвинута по фазе в окружном направлении оболочки на прямой угол по отношению к непосредственно возбуждаемой форме. В монографии Кубенко В.Д., Ковальчука П.С., Краснопольской Т.С. "Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрических оболочек" [19] имеются опытные осциллограммы свободных затухающих колебаний сопряженных форм колебаний цилиндрических оболочек, представляющих собой медленные биения несмотря на то, что в начальный момент нагрузка четко возбуждала только одну из изгибных форм. В попытках теоретического объяснения одни исследователи связывали явление взаимодействия сопряженных форм с нелинейностью (Chen 1С, Babcock CD (1975), Nonlinear vibrations of cylindrical shells, AIAA Journal, 13(7), 868-876), другие-с геометрическими несовершенствами (Tobjas SA (1951), A theory of imperfections for the vibration of elastic bodies of revolution, Engineering, 172, 409-420). В настоящей работе показано, что нелинейное взаимодействие сопряженных изгибных волн может наблюдаться в геометрически идеальных кольцах и оболочках за счет резонансного взаимодействия с осесимметричными формами движения. Поэтому в реальных оболочках актуален учет обоих факторов.

Важно отметить, что прежде исследователей в основном интересовали лишь низкочастотные изгибные колебания тонкостенных конструкций. Поэтому исходные уравнения движения обычно сильно упрощались (например, с помощью введения функции напряжений, либо условия нерастяжимости срединной поверхности оболочки [5, 21]). При таких предположениях многие виды нелинейного взаимодействия между высокочастотными и низкочастотными волнами не учитываются. В настоящей работе показано, что учет этих факторов приводит к нетривиальным нелинейным динамическим эффектам, связанным с возникновением многоволновых резонансных взаимодействий, Нелинейное взаимодействие нескольких форм колебаний создает предпосылки для эффективного энергообмена между ними, и появления качественно новых видов нестационарных и стационарных движений системы, к примеру, многомодовых резонансных ансамблей квазигармонических волн, локализованных волновых пакетов и т.д. Задачи такого рода, несмотря на теоретическую и прикладную значимость, длительное время практически не находили отражения в литературе. Наиболее последовательной работой по этой тематике являются монографии Кубенко В.Д., Ковальчука П.С., Краснопольской Т.С. [19] и Кубенко В.Д., Ковальчука П.С., Подчасова Н.П. [20], в которых была подведена черта под наиболее важными результатами, достигнутыми в теории нелинейной колебаний оболочек, и на основе экспериментальных данных по динамике цилиндрических оболочек были впервые сформулированы новые задачи о нелинейных многоволновых взаимодействиях.

Основной этап теоретического исследования нелинейных колебаний оболочек состоит в выборе базисных функций задачи для последующей редукции исходных уравнений движения к упрощенным моделям с помощью метода Бубнова-Галёркина. Эксперименты с оболочками демонстрируют неадекватность редуцированной модели, полученной с помощью "одночленного" разложения, физическому процессу. Например, на практике оказывается, что распространение любой изгибной волны в цилиндрической оболочке всегда сопровождается осесимметричными формами движения. Попытка преодоления этого противоречия с использованием "многочленного" разложения всегда носила, по видимому, эмпирический характер. В монографии Кубенко В.Д. и др. [20] можно найти четыре различные версии аппроксимации прогибов оболочки, возникшие при постановке практически одной и той же задачи. Поэтому никаких строгих доводов в пользу выбора той или иной модели не было. Возникла ситуация - сколько авторов, столько и моделей. Примеры тому можно найти в сравнительно недавних работах Амабили, Пелликано и Пайдусси [22, 23]. Подобное неубедительное положение вещей сохраняется и по сей день. Очевидно, что для преодоления сложившихся трудностей прежде всего необходим строгий и последовательный анализ резонансных свойств нелинейной системы, на основе которого можно судить об адекватности выбора базисных функций задачи. Заметный прогресс в этом направлении может быть достигнут при использовании метода нормальных форм уравнений в теории нелинейных колебаний оболочек. Первые шаги в этом направлении прослеживаются в работе Амабили, Пелликано и Вакакиса [24]. Наибольшую перспективу в решении подобных задач имеет теоретико-волновой подход, со свойственным ему пространственно-временным описанием физического явления [25]—[33]. Применительно к задачам нелинейной динамики тонкостенных упругих систем, волновой подход апробировался последние годы в следующих направлениях [34]—[58]: i) волны конечной амплитуды в прямолинейных стержнях (Карнаухов В.Г. [1973];

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Ковригин, Дмитрий Анатольевич

6.9. Основные результаты работы

1. Разработана методика получения нормальных форм уравнений для изучения нелинейной динамики тонкостенных механических систем с распределенными параметрами. Показано, что нелинейные многоволновые процессы в элементах конструкций адекватно описываются нормальными формами. В первом нелинейном приближении теории выявляются трехволновые резонансы, во втором - четырехволновые резонансы, а также эффекты кросс-взаимодействия и самомодуляции.

2. Выявлены и подробно проклассифицированы трехволновые резонансы в стержне, кольце, пластинке и цилиндрической оболочке. В стержне и кольце эти резонансы вызывают распад продольных квазигармонических волн растяжения-сжатия на пары низкочастотных изгибных волн, что сопровождается повышением динамических напряжений. В пластинке и оболочке распадной неустойчивости могут подвергаться не только продольные и сдвиговые волны, но и изгибные волны (в пластинке групповая скорость распадных изгибных волн должна быть не ниже скорости распространения сдвиговых волн).

3. В стержне, кольце, пластинке и цилиндрической оболочке обнаружены четырехволновые резонансы, эффекты кросс- и самомодуляции волн. Установлено, что низкочастотные изгибные волны, не образующие в первом нелинейном приближении резонансных троек волн, во втором нелинейном приближении могут подвергаться самомодуляции, приводящей к формированию одномерных солитонов огибающих (в стержне, кольце и короткой цилиндрической оболочке) или к самофокусировке двумерных волн (в пластинке). Показано, что такие локализованные волны в свою очередь могут разрушаться из-за четырехволновых резонансных процессов. 4. Предложен новый способ возбуждения незатухающих прецессирующих изгибных волн в волновом твердотельном гироскопе (ВТГ), основанный на эффекте распадной неустойчивости осесимметричной моды кольцевого резонатора. Показано, что эволюционные уравнения амплитудных огибающих в первом нелинейном приближении не зависят явно от угловой скорости вращения базы ВТГ (в специальным образом выбранной вращающейся системе отсчета).

Найдено характеристическое число задачи, представляющее собой безразмерную комбинацию параметров внешней силы, диссипации энергии, дисперсии и коэффициента нелинейности системы. Незатухающие изгибные волны в ВТГ возникают только тогда, когда характеристическое число превышает некоторое пороговое значение. По характеру прецессии изгибных волн можно судить об изменении угловой координаты базы ВТГ в абсолютном пространстве.

Установлено, что во втором нелинейном приближении может наблюдаться медленный "уход" гироскопа из-за неравномерности вращения.

5. Обнаружено явление двухмерного группового синхронизма коротких изгибных и длинных сдвиговых волн в пластинке. Оно приводит к пространственной локализации волн за счет резонансного механизма перекачки энергии изгибной волны в энергию сдвиговых деформаций, что может привести к существенному повышению динамических напряжений.

6. В пластинке обнаружены двумерные стационарные и нестационарные каскадные процессы резонансного взаимодействия изгибных и сдвиговых волн. Установлено, что стационарные процессы характеризуются равнораспределением энергии по группам мод колебаний. Нестационарные каскадные процессы протекают, как правило, хаотически. При этом энергия колебаний системы имеет тенденцию к перекачке в низкочастотную часть спектра.

7. Показано, что тонкостенных элементах конструкций амплитудно-частотная характеристика изгибных волн может существенно зависеть от длинноволновых продольных и сдвиговых смещений, появление которых обусловлено распространением этих же изгибных волн.

А.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Ковригин, Дмитрий Анатольевич, 2004 год

1. Григолюк Э.И. (1955), Нелинейные колебания и устойчивость пологих стержней и оболочек, Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук, 3, 33-68.

2. Reissner, Е. (1955), Nonlinear effects in the vibrations of cylindrical shells, Report NAM 5-6, Ramo-Wooldridge corp., 169-176.

3. Болотин В.В. (1956), Динамическая устойчивость упругих систем, М.: Гостех-издат.

4. Weidenhammer F (1952), Nichtlineare Biegschwingungen des axial-pulsierend belasteten Stabes, Ing. Arch., 20, 315-330.

5. Kauderer H (1958), Nichtlineare Mechanik, Springer, Berlin.

6. Вольмир А.С. (1967), Устойчивость деформируемых систем, М.: Наука, 984 с.

7. Вольмир А.С. (1972), Нелинейная динамика пластинок и оболочек, М.: Наука.

8. Амбарцумян С.А. (1987), Теория анизотропных пластин, М.: Наука, 360 с.

9. Гузь А.Н., Чернышенко И.С. и др. (1980), Методы расчета оболочек, Под ред. А.Н. Гузя, Киев: Наук, думка, т. 1, 636 с.

10. Кильчевский Н.А., Избедская Г.А., Киселевская Л.И. (1974), Лекции по аналитической механике оболочек, Киев: Вища школа, 232 с.

11. Dowell EH, Ventres CS (1968), Modal equations for the nonlinear flexural vibrations of a cylindrical shell, Int. J. Solids and Struct., 4, 6, 975-991.

12. Evensen DA, Fulton RE (1966), Some studies on the nonlinear dynamic response of shell-type structures, In: Dynamic stability of structures, ed. G. Herrmann. New York: Pergamon, 237-254.

13. Matsuzaki Y, Kobayashi S (1970), A theoretical and experimental study of the nonlinear flexural vibrations of thin circular cylindrical shells with clamped ends, J. Jap. Soc. Aeronaut. Sci., 12, 308-315.

14. Novinsky JN (1964), Nonlinear transverse vibrations of orthotropic cylindrical shells, AIAA Journal, 2, 1, 617-620.

15. Lindberg HE (1965), Impact buckling of a thin bar, Trans. AS ME J. Appl. Mech., Ser.E, 32, 315-322.

16. Lindberg HE (1974), Stress amplification in a ring caused by dynamic instability, Trans. ASME J. Appl.Mech., Ser E, 41(2), 390-400.

17. Ginsberg JM (1974) Dynamic stability of transverse waves in circular cylindrical shell, Trans. ASME J. Appl. Mech., 41(1), 77-89.

18. Шмидт Г. (1978), Параметрические колебания, M.: Мир, 336 с.

19. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Краснопольская Т.С. (1984), Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрических оболочек, Киев: Наукова думка, 220 с.

20. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Подчасов Н.П. (1989), Нелинейные колебания цилиндрических оболочек, К.: Выща школа, 208 с.

21. Donnell LH (1979), Beams, Plates and Shells, Mc Graw-Hill, New-York.

22. Amabili M, Pellicano F and Païdoussis MP (1998), Nonlinear vibrations of simply supported circular cylindrical shells coupled to quiescent fluid, J. of Fluid and Structures, 12, 883-918.

23. Amabili M, Pellicano F and Païdoussis MP (1999), Nonlinear dynamics and stability of circular shells containing flowing fluid, J. of Sound and Vibrations, 224(4), 655699.

24. Pellicano F, Amabili M. and Vakakis AF (2000), Nonlinear vibration and multiple resonances of fluid-filled, circular shells, Part 2: Perturbation analysis, J. Vibration and Acoustics, 122, 355-364.

25. Захаров B.E. (1974), Гамильтонов формализм для волн в нелинейных средах с дисперсией, Изв. вузов СССР. Радиофизика, 17(4), 431-453.

26. Уизем Дж.Б. (1977), Взаимодействие волн, В кн: Линейные и нелинейные волны. М.: Мир.

27. Филлипс О.М. (1984), Взаимодействие волн. Эволюция идей, Современная гидродинамика. Успехи и проблемы. М.: Мир, 297-314.

28. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. (1988), Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 694 с.

29. Абловиц M., X. Сигур (1987), Солитоны и метод обратной задачи рассеяния, М.: Мир.

30. Rabinovich MI, Trubetskov DI (1989), Oscillations and waves in linear and nonlinear systems. Kewver-Academic Publ., Amsterdam.

31. Maugin GA (1988), Continuum Mechanics of Electromagnetic Solids, Elsevier, Amsterdam.

32. Landa PS (1996), Nonlinear Oscillations and Waves in Dynamical Systems, Kluwer, Dordrecht.

33. Ostrovsky LA and Potapov AI (1999), Modulated Waves. Theory and Applications, Jonh Hopkins Uni Press, Baltimore London.

34. Островский JI.А., Сутин A.M. (1977), Нелинейные упругие волны в стержнях, ПММ, 41(3), 531-537.

35. Березовский А.А., Жерновой Ю.В. (1981), Нелинейные продольно-поперечные стационарные волны в упругих стержнях, В сб.: Мат. Физика, Киев, Наукова думка, 30, 41-48.

36. Soerensen MP et al (1984), Solitary waves in nonlinear elastic rods, J. Acoust. Soc. Amer., 76, 871-879.

37. Ерофеев В.И., Потапов А.И. (1985), Трехчастотные резонансные взаимодействия продольных и изгибных волн в стержне, В сб.-.Динамика систем, Горьковский ун-т, 75-84.

38. Kovriguine DA, Potapov AI (1996), Nonlinear waves in elastic bar, Eur. J. Mech. A/Solids, 15(6), 1049-1075.

39. Kovriguine DA, Potapov AI (1996), On nonlinear oscillations of a thin bar, Arch. Appl. Mech., 66, 168-176.

40. Ковригин Д.А., Потапов A.M. (1989), Нелинейные резонансные взаимодействия в тонком кольце, Докл. АН СССР, 305(4), 803-807.

41. Ковригин Д.А., Потапов А.И. (1989), 0 нелинейных колебаниях тонкого кольца, Прикладная механика, 25(3), 76-81.

42. Kovriguine DA, Potapov AI (1998), Nonlinear oscillations in a thin ring I(II), Acta Mechanica, 126, 189-212.

43. Багдоев A.Г., Мовсисян JI.A. (1980), 0 дисперсионных уравнениях гибких пластин и цилиндрических оболочек, Изв. АН Арм.ССР. Механика, 41(3), 3-5.

44. Багдоев А.Г., Мовсисян Л.А. (1980), Уравнения модуляции в нелинейных диспергирующих средах и их приложение к волнам в тонких телах, Изв. АН Арм.ССР, Механика, 3, 29-40.

45. Kovriguine DA (1997), Intense bending waves in a bar, Arch. Appl. Mech., 67, 237246.

46. Wu J, Wheatley J, Putterman S and Rudnick I (1987), Observation of envelope solitons in solids, Phys Rev Lett, 59(24), 2744-2747.

47. Новиков В.В. (1988), 0 неустойчивости упругих оболочек как проявлении внутреннего резонанса, ПММ, 52, 1022-1029.

48. Шенявский JI.А. (1979), Влияние геометрической нелинейности на волны, распространяющиеся в свободной тонкой пластине, ПММ, 43(6), 1089-1094.

49. Потапов А.И. (1985), Нелинейные волны деформации в стержнях и пластинах, Горький ун-т, 108 с.

50. Молотков И.А., Вакуленко С.А. (1988) Локализованные нелинейные волны, Л.: Ленинградский ун-т.

51. Потапов А.И., Солдотов И.Н. (1984), Квазиплоский пучок нелинейных продольных волн в пластине, Акуст. журн., 30(6), 819-822.

52. Kroner Е (1986), On gauge theory in defect mechanics, In: Trends in application of pure mathematics to mechanics. E. Kroner, K. Kirchgssner Eds. Lecture Notes in Physics, Springer, Heidelberg 249, 281-296.

53. Edelen DG and Lagoudas DG (1988), Gauge theory and defects in solids, North-Hollands, Amsterdam.

54. Lagoudas DG (1989), A gauge theory of defects in media with microstructure, Int. J. Engng. S ci., 27(3), 287-248.

55. Popov VL (1992), Gauge theory of "plastically incompressible" medium without dissipation, Int. J. Engng. Sci., 30(3), 329-340.

56. Potapov AI, Pavlov IS and Maugin G A (1998), Nonlinear wave propagation in ID crystals with complex (dumbbel) structure, Wave Motion, 29, 297-312.

57. Maugin GA (1999), Nonlinear waves in elastic crystals, Oxford Uni Press.

58. Obukhov AM, Dolzhansky EV (1975), On simple models for simulation of nonlinear processes in convection and turbulence, Geoph.Fluid.Dyn., 6, 195-209.

59. Farge M (1992), Wavelet transforms and applications to turbulence. Annual Review of Fluid Mechanics, 24, 395-457.

60. Poincaré H (1889), Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Paris, Gauthier-Villars.

61. Birkhoff GD (1927), Dynamical systems, AMS Collection Publications, vol. 9 (reprinted 1966).

62. Брюно A.Д. (1990), Ограниченная задача трех тел, М.:Наука.

63. Arnold VI (1978), Mathematical methods of classical mechanics, Berlin, SpringerVerlag.

64. Арнольд В.И. (1979), Потеря устойчивости автоколебаний вблизи резонансов, Нелинейные волны, ред. А.В. Гапонов-Грехов, М.: Наука, 116-131.

65. Кубышкин Е.П. (1991), Влияние высокочастотной вибрации на ориентацию фронта кольцевого резонатора, МТТ, 3, 134-142.

66. Кубышкин Е.П. (1992), Автоколебательный способ возбуждения волн в кольцевых резонаторах, МТТ, 6, 42-47.

67. Кубышкин Е.П., Федотов Н.Б. (1995), Особенности влияния вибрации на поведение картины кольцевого резонатора, МТТ, 5, 25-33.

68. Новиков А.А. (1976), Использование метода нормальных связанных волн для анализа нерезонансных взаимодействий, Изв. вузов СССР, Радиофизика, 19(2), 321-327.

69. Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. (1988), Прикладные методы в теории колебаний, М.:Наука.

70. Jezequel L and Lamarque С-Н (1991), Analysis of nonlinear dynamical systems by the normal form theory, J. Sound and Vibration, 149(3), 429-459.

71. Aranson IS, Beilin KE (1990), Chaotic dynamics of an envelope soliton coupled to a low-frequency field. Phys. Lett. A, 148(3,4), 171-176.

72. Зозуля O.M., Рыбак С.A. (1998), Одномерная модуляционная неустойчивость волновых пакетов в средах с резонансной дисперсией. Акуст. журн., 44(2), 278280.

73. Akhatov Sh.I, Khismatullin DB (1999), Long-wave-short-wave interactions in bubbly liquids. J. Appl. Maths, 63(6), 917-926.

74. Каир PJ, Reiman A and Bers A (1979), Space-time evolution of nonlinear three-wave interactions. Interactions in a homogeneous medium, Rev. of Modern Phys, 51(2), 275-309.

75. Ковригин Д.А., Потапов А.И. (1996), Нелинейная волновая динамика одномерных упругих систем, Изв.вузов. ПНД, 4(2), 72-102.

76. Ковригин Д.А., Новиков А.А., Потапов А.И. (1990), Нелинейные взаимодействия нормальных волн в одномерных упругих системах, Сб. научн. тр. Волновые задачи механики, Н.Новгород, 115-122.

77. Ковригин Д.А. (2001), Устойчивость упругих систем, Изв. Акад. Инж. Наук, 2, 85-95.

78. Ковригин Д.А. (2001), Нелинейные многоволновые взаимодействия в упругих системах, там же, 96-104.

79. Маслов В.П. (1973), Операторные методы, М.:Наука.

80. Сиразетдинов Т.К. (1987), Устойчивость систем с распределенными параметрами, Новосибирск: Наука.

81. Четаев Н.Г. (1962), Устойчивость движения. Работы по аналитической механике, М.: Изд-во АН СССР.

82. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. (1987), Стахостические и хаотические колебания, М.: Наука.

83. Красицкий В.П. (1990), 0 канонических преобразованиях в теории слабонелинейных волн с нераспадным законом дисперсии, ЖЭТФ, 5(11), 1644-1655.

84. Euler L (1732), Solutio problematis de invenienda curva quam format lamina utcunque elastica in singulis punctis a potentiis quibuscunque sollicitata, Comment Acad. Sci.Petrop., 1728, 3, Opera 11-10, 70-84.

85. Euler L (1744), Methodus inveniendi lineas curvas maximi proprietate gaudentes, Lausanne, Geneve, Opera 1-24.

86. Лаврентьев M.A., Ишлинский А.Ю. (1949), Динамические формы потери устойчивости в упругих системах, Докл. АН СССР, 64(6), 779-782.

87. Беляев Н.М. (1924), Устойчивость призматических стержней под действием периодических нагрузок, В сб.: Инженерная и строительная механика, Ленинградский ун-т, 25-27.

88. Капица Л.П. (1951), Динамическая устойчивость маятника на вибрирующей точке подвеса, ЖЭТФ, 21(5), 110-116.

89. Челомей В.Н. (1956), 0 возможности стабилизации упругих систем с помощью вибраций, Докл. АН СССР, 110(3), 345-347.

90. Болотин В.В. (1951), 0 поперечных вибрациях стержней, вызванных периодическими продольными нагрузками, В сб.:Поперечные колебания и критические скорости, 1, 46-77.

91. Haken Н (1983), Advanced Synergetics. Instability Hierarchies of Self-Organizing Systems and devices, Berlin, Springer-Verlag.

92. Потапов А.И. (1983), Нелинейные взаимодействия продольных и изгибных волн в стержне, Дифф. и интегральные уравнения. Горьк. ун-т, 52-59.

93. Сухорукой А.П. (1988), Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике, М.: Наука 232 с.

94. Ablowitz MJ h Н Segur (1979), On the evolution of packets of water waves, J. Fluid Mech., 92, 691-715.

95. Djordjevic VI) & LG Redekopp (1977), On two-dimensional packets of capillary gravity waves, J. Fluid Mech., 79, 703-714.

96. Yajima N & M Oikawa (1975), A class of exactly solvable nonlinear evolution equations, Prog. Theoret. Phys., 56, 1719-1739.

97. Давыдов А.С. (1985), Солитоны в молекулярных системах, Киев: Наук, думка.

98. Gundersen RM (1993), The evolution of packets of surface waves, Int. J.Non-Linear Mechanics, 28(2), 187-194.

99. Whitham GB (1974), Dispersive waves and variational principles. In: Nonlinear waves (S. Leibovich & A.R. Seebass eds.), Cornell Uni. Press, Itac.a k. London, 139169.

100. Маневич JI.И., Михлин Ю.В., Пилипчук Ю.В. (1989), Метод нормальных колебаний для существенно нелинейных систем, М.: Наука.

101. Yuen НС & ВМ Lake (198*2), Non-linear dynamics of deep-water gravity waves, Adv. in Appl. Mec.h., 22, 229-267.

102. Лурье А.И. (1947), Статика тонкостенных упругих оболочек, ОГИЗ Гостехиз-дат, Москва-Ленинград - 252 с.

103. Bretherton FP (1964), Resonant interactions between waves. J. Fluid Mech., 20, 457-472.

104. Бломберген H. (1965), Нелинейная оптика, M.: Мир 424с.1. Janke- Emde- Lösch1960), Tafeln Höherer Funktionen. Sechste auflage, Neubearbeitet von F.Lösch,

105. B.G.Teubuer, Verlagsgesellschaft, Stuttgard.

106. Fermi E, Pasta JR, Ulam SM (1965), In: Collected works of Enrico Fermi, Chicago., Vol.2.

107. Kovriguine DA (1994), Nonlinear wave phenomena in a thin rotating ring, Proc. Symp. on Vibrations in Physical Systems, Poznan, p. 75

108. Ковригин Д.А., Потапов А.И. (1990), К задаче идентификации нелинейных колебательных систем с внутренними резонансами, Тез. докл. Всесоюзн. конф. vИнж.-техн.проблемы новой техники", М.: Изд-во МГУ, 113-114.

109. G.H. Bryan (1890), On the beats in the vibrations of a revolving cylinder or bell, Proc. Cambridge Philos. Soc. Math. Ph.ys.Sci., 7, 101-111.

110. C.C. Glynn (1982), On the resonant nonlinear travelling waves in a thin rotating ring, Int. J. Non-Linear Mech., 17(5/6), 327-340.

111. Журавлев В.Ф., Д.Д. Линч (1995), Электрическая модель волнового твердотельного гироскопа, МТТ, 5, 12-24.

112. Журавлев В.Ф., Д.М. Климов (1985), Волновой твердотельный гироскоп, М.: Наука, 124 с.

113. W.B. Scott (1982), Delco makes low-cost gyro prototype, Aviat. Week, 25, 64-72.

114. Kovriguine D.A., A.I. PotapofF (1992), On the identification of nonlinear mechanical systems with internal resonances. Proc. EUROMECH-280 Symp. Identification of Nonlinear Mechanical Systems from Dynamic Tests, Jezequel & Lamarque eds., Balkema.

115. Ковригин Д.А. (2001), Уравнения многоволновых резонансных процессов в тонкой пластинке, Вестник Ниж-го ун-та, 3, 2001, 79-86.

116. Ковригин Д.А. (1992), Нелинейные резонансные взаимодействия волн в упругих элементах конструкций, Автореф. дисс. к.ф.-м.н.

117. Васидзу К. (1987), Вариационные методы в теории упугости и пластичности, М.: Мир, 542 с.

118. Новожилов В.В. (1948), Основы нелинейной теории упугости, Jl.-М.: ГИТТЛ.

119. Уизем Дж.Б. (1977) Волны с дисперсией и вариационные принципы, В кн: Нелинейные волны. М.: Мир.

120. Ньюэлл А. (1989), Солитоны в математике и физике, М.: Мир.

121. Ландау Л.Д., Е.М. Лифшиц (1979), Теоретическая физика, Том X, М.: Наука.

122. Richardson LF (1922), Weather prediction by numerical process, Cambridge.

123. Ландау Л.Д. (1944), 0 проблеме турбулентности, Докл. АН СССР, 44(8).

124. Hayes WD (1974), Introduction to wave propagation, In: Nonlinear Waves, Leibovich S. and A.R. Seebass eds., Cornell Univ. Press, Itaca and London.

125. Takeno S (1994), Anharmonic localized modes in physical and biological systems. In: Nonlinear Coherent Structures in Physics and Biology, Spatschek K.H. and F.G. Mertens eds., Plenum Press, NY.

126. Dias F, Kharif С (1999), Nonlinear gravity and capillary-gravity waves. Annu. Rev. Fluid Mech., 31, 301-346

127. Hadouaj H, Maugin GA (1992), Surface solitons on elastic surfaces: Numerics, Wave Motion, 16, 115-123

128. Таланов В.И. (1965), О самофокусировке волновых лучей в нелинейных средах, Письма в ЖЭТФ, 2(5), 218-222.

129. Mikhlin YuV (2000), Analytical construction of homoclinic orbits of two-and three-dimensional dynamical systems, J. Sound and Vibrations, 230(5), 971-983.

130. Белостоцкая И.А., Ковригин Д.А., Потапов А.И. (1989), Динамическая неустойчивость осесимметричных волн в цилиндрической оболочке, Сб. ст. Волновые задачи механики, Горький, 80-85.

131. Ковригин Д.А., Потапов А.И. (1991), Нелинейные резонансные взаимодействия нормальных волн в тонком кольце и оболочке, Сб. науч. тр. Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах, АН УССР, Киев, 66 -68.

132. Ковригин Д.А. (1990), Нелинейная динамика тонкостенных цилиндрических оболочек. Свободные колебания, Препринт 30, Гф ИМАШ АН СССР, Горький, 24 с.

133. Goodier JN, Mclvor IK (1964), The elastic cylindrical shell under nearly uniform radial impulse, Trans. ASME J. Appl. Mech., Ser. E, 2(86), 259-266.

134. Rudnick I, Wu J, J Wheatley, Putterman S (1987), Flexural wave envelope solitons in a metallic cylindrical thin shell, Proc. of IUPAP, IUTAM Symp.Problems of nonlinear acoustics, Kedrinskii VK ed., Novosibirsk, 208-212.