Эффективные нелинейные сигма модели в гравитации и космологии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Шабалкин, Дмитрий Юрьевич

• Шабалкин, Дмитрий Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шабалкин, Дмитрий Юрьевич

Оглавление

1. Введение

1.1. Метод обратной задачи рассеяния

1.2. Метод обратной задачи рассеяния в теории гравитации

1.3. Уравнения Эрнста

1.4. Эффективная нелинейная сигма модель

2. Вакуумные эффективные НСМ

2.1. Представления вакуумной эффективной НСМ

2.2. Точные решения в классе метрик, допускающих представление в виде эффективных НСМ

2.3. Точные решения уравнений эффективной НСМ

2.3.1. Метод изометрического анзаца

2.3.2. Метод функционального параметра

2.4. Обсуждение результатов

3. Обобщённая эффективная НСМ

3.1. Самогравитирующие НСМ в теории гравитации и космологии

3.2. Построение обобщённой эффективной НСМ

3.3. Точные решения обобщённой эффективной НСМ

3.3.1. Метод функционального параметра

3.3.2. Двупараметрические решения

3.3.3. Космологические решения обобщённой НСМ

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффективные нелинейные сигма модели в гравитации и космологии»

Введение

Одной из актуальных задач науки на протяжении последних восьмидесяти лет является исследование уравнений Эйнштейна, поиск их точных решений. Методы, используемые для достижения этой цели различны.

Одним из направлений поиска стал подход, основанный на возможности представления исходной системы уравнений в виде некоторой эквивалентной эффективной модели, интегрируемость которой связана с её внутренней структурой. При этом исследование переносится с исходной системы на построенную модель.

1.1. Метод обратной задачи рассеяния

Метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), появившись в 1967 [1], позволил рассмотреть с единой точки зрения широкий класс уравнений математической физики, описывающих различные явления, зачастую имеющие с физической точки зрения мало общего между собой. С внешней стороны сходство между этими уравнениями проявляется

в том, что все они являются в том или ином смысле интегрируемыми, т.е. существует механизм построения достаточно широкого класса их точных решений, а иногда даже удаётся найти и общее решение.

В основе МОЗР лежит возможность представления нелинейного дифференциального уравнения в виде пары Лакса [2]

Ь*=[Ь,А], (1.1

либо и - V пары [3]

и* - У4 + [и, V] = 0. (1.2)

В этом случае нелинейное уравнение является условием совместности двух линейных систем

Фь = и ф, , ч

^ 1.3

фх = Уф.

Уравнение (1.2) часто называют условием нулевой кривизны.

Предполагается, что операторы содержат зависимость от некоторого комплексного спектрального параметра А, причём А^ = 0. Операторы V и и выбирались в виде

/ —А ш\ (А В\

У = -л)'и= (с о)- (1'4)

где А, В, С, Б зависят от неизвестной функции и{ж, £) и её производных, так что (1.2) принимает вид исследуемого уравнения.

Идея, лежащая в основе интегрирования такова. Второе уравнение системы (1.3) соответствует задаче рассеянию на потенциале и(ж,£) [4]. Таким образом, чтобы решить уравнение необходимо по данным рассеяния "восстановить" рассеивающий потенциал. Для

этого необходимо знать вид потенциала в начальный момент времени. По и(х, 0) находят матрицу рассеяния при t = 0 S(x, 0), решая систему (1.3) определяют эволюцию матрицы рассеяния, а по ней, строят потенциал u(x,t).

и(х, 0) S(x, 0) S{x, t) и(х, t). (1.5)

Таким образом были проинтегрированы уравнения Кортвега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, sine-Gordon, встречающиеся в различных областях физики. С помощью МОЗР могут быть получены решения, обладающие замечательным свойством. При столкновениях они ведут себя подобно частицам, восстанавливая свою форму после взаимодействия. По этой причине их называют солитонами.

Ключевым моментом в применении МОЗР для интегрирования нелинейного уравнения является построение для него пары Лакса (нулевой кривизны). Применение метода обратной задачи рассеяния для решений уравнений Эйнштейна связано с рядом дополнительных трудностей. МОЗР является мощным средством решения уравнений, содержащих две независимые переменные. Использование метода в задачах с двумя пространственными переменными до сих пор является нерешённой внутренней проблемой метода. Существуют и другие проблемы, связанные с построением оператора рассеяния для уравнений Эйнштейна. В следующем параграфе подробно описан подход к применению МОЗР в ОТО.

1.2. Метод обратной задачи рассеяния в теории гравитации

Впервые метод обратной задачи рассеяния для решения уравнений Эйнштейна был предложен В.А.Белинским и В.Е.Захаровым в 1978 году [5]. В работе рассматривалось применение аппарата МОЗР для анализа вакуумных уравнений Эйнштенйа

где а, 6 = 1,2, ха — х,у, /, функции только I и 2. Таким образом рассматривается двумерная полевая конфигурация.

Исходные уравнения Эйнштейна (1.6) могут быть записаны таким образом

Щи = о

(1.6)

в классе плоско-симметричных пространств

¿в2 = ¡{—сИ2 + (1г2) + даъс1ха(1х

ъ

(1.7)

{ад,£9 1),г1+{а9щ9 ^^О

(1.8а) (1.85)

(1.8с)

А = -®9^9 \ В = -ад,Г)д \ &еЬд — а2,

а^г, = 0.

(1.8 с?) (1.8е)

(т

Здесь £ и ту - конусные переменные:

£ = £ + 77, 7

1.9

Уравнения (1.8с), (1.8^) позволяют линейным интегрированием определить / при известных даь. Метод обратной задачи рассеяния состоит в возможности представления исходных уравнений (1.8) в виде системы линейных операторных уравнений, содержащих комплексный спектральный параметр Л. В дальнейшем эта система решается, определяются собственные функции соответствующих операторов, строится связь собственных функций и неизвестных величин на определённых траекториях в комплексной плоскости.

Соответствующая спектральная задача в данном случае имет вид:

д

БхФ = --Ф

хъа (1Л°)

б2ф = --ф.

Л + а

Операторы В1 и Т>2 определяются следующим образом

С1 = % -

Г Ч (1.11)

А + а

Условие совместности (1.10) (представление нулевой кривизны)

Б^з-БзВх^О (1.12)

имеет место в силу уравнений Эйнштейна.

Связь функции Ф(А,£,ту) с искомой метрикой \даь\ задаётся соотношением

Ы = Ф(0,£,77). (1.13)

Поиск Ф(А,£,7/) осуществляется с помощью "затравочной" функции еЬа), связанной с известным решением уравнений Эйнштейна д^ в соответствии с (1.13).

Так, в работе [5] в качестве известного выбиралось решение Керра. В результате был построен уединённый гравитационный импульс-гравитационный солитон, распространяющийся со скоростью света.

Позднее МОЗР был сформулирован в более удобном детерминированном виде [6]. Для аксиально-симметричных метрик развитие МОЗР рассматривалось в работах ряда авторов [7], [8], [9].

Наряду с вакуумными уравнениями Эйнштейна, МОЗР может быть использован и для непустых пространств. С помощью техники обратного рассеяния в классе метрик (1.7) решалась задача о солитоных возмущениях метрики при наличии источника в виде идеальной жидкости со со "сверхжёстким" уравнением состоянием вещества е = р В.А.Белинским (1979) [10]. Подход к решению элек-тровакумных уравнений Эйнштейна с помощью МОЗР описан в работе Г.А.Алексеева (1987) [13].

1.3. Уравнения Эрнста

Среди эффективных моделей особую роль занимают уравнения Эрнста. Уравнения Эрнста возникают как двумерные редукции

и г-ч и и О

уравнении Эйнштейна для гравитационных полей в вакууме. В случае стационарных полей с осевой симметрией

¿82 = /~1[е2у(с1г2 + йр2) + р2(1ф2} - f{dt - ин1ф)2 (1.14)

эти уравнения могут быть записаны в удобной форме в виде одного нелинейного (квазилинейного) уравнения эллиптического типа для одной неизвестной комплексной функции E(p,z), называемой потенциалом Эрнста [11].

{ЕЕ* - 1 )V2E = 2E*VEVE (1.15)

В другом двумерном случае, когда искомое решение зависит от времени и одной из пространственных координат, как, например, в случае плоских, цилиндрических волн, а также для решений космологического типа, возникает аналогичное уравнение, но уже волнового (гиперболического) типа, которое также принято называть уравнением Эрнста.

В общем случае уравнение Эрнста можно записать в виде:

(у

(ДеЯ)тГ № + ~£)dvE - гГдуЕдцЕ = 0, (1.16)

где греческие индексы пробегают значения 1,2, нумеруя пару существенных координат хм = ж1, ж2; Е = Е{х1,х2) - комплексный потенциал Эрнста; двумерная матрица Tf"v имеет диагональные вид rfv = diag(l, — б), в котором параметр е = —1 для стационарных полей, т.е. в эллиптическом случае, и е = 1 в волновом (гиперболическом). В уравнении (1.16) присутствует также функция а(х1,х2), являющаяся "гармонической": функция а определяется как произвольное невырожденное решение линейного уравнения

гГд11дуа = 0, (1.17)

для которого

ц^д^а ф 0, (1.18)

Если по выбранной функции а(х1, х2) определить другую функцию /^(ж1, ж2), являющуюся "гармонически сопряжённой" к а и вычисляемую из соотношений

Э^(3 = ееЧд„а, (1.19)

где

¡Ь а-20)

то функции а(х1, х2) и (3(х1,х2) удобно принять за новые координаты ж1, ж2. Тогда уравнение (1.16) запишется в виде:

(Де£)(<92 - ед23 + ^да)Е - даЕдаЕ + едрЕдрЕ = 0. (1.21)

Иногда ещё болле удобно пользоваться другой парой независимых переменных (£,??), определяемых по а и (3 формулами:

А = /3 + та ,

4 н 7 (1.22) г) = (3- ¿а,

где у2 = € (У = 1 при б = 1 и 2 — г при е = —1). Таким образом, координаты £ и г] являются вещественными ("конусными") переменными в гиперболическом случае и комплексными, сопряжёнными друг другу в эллиптическом случае.

Были обнаружены различные частные преобразования симметрии для полей, описываемых уравнениями Эрнста. В работе [14] был сделан вывод о существовании бесконечномерной группы преобразований, сохраняющих полевые уравнения, и высказана гипотеза о том, что эта группа действует транзитивно в пространстве всех решений, т.е. эти преобразования позволяют получить любое решение из любого наперёд заданного.

Гаррисоном [15] был использован известный общий подход к анализу внутренней структуры систем - метод Эстабрука-Уолквиста [16] и показано наличие у уравнений Эрнста преобразований Бэклунда. В то же время Нейгебауэром [17] был использован другой подход к поиску преобразований Бэклунда для уравнений (1.16).

В литературе известно несколько определений преобразования Бэклунда, которые даются, как правило на "физическом" уровне строгости. Математически строгое определение в рамках геометрического подхода к дифференциальным уравнениям дано в статье [18]. Для описания конструктивного подхода часто используется менее строгое определение, но более употребительное определение [19], [20].

Пусть имеются две функции такие, что функция

и{х^) удовлетворяет уравнению

их,ии ...) = 0, (1.23)

а функция г>(ж,£) удовлетворяет уравнению

Т(х,ЬиХ1щ,...) = 0. (1.24)

Пусть, кроме того имеется пара уравнений

= 0, (125)

С}{х^,их,щ,.. = 0,

где Р и - некоторые функции, аргументами которых являются независимые переменные ж, неизвестные функции и, V и их производные. Кроме того они могут зависит и от некоторого спектрального параметра А.

Говорят, что пара уравнений (1.25) задаёт преобразование Бэклунда, связывающее уравнения (1.23) и (1.24), если эти уравнения устанавливают такую связь между функциями и(х,€) и что

если мы выберем в качестве и{х,€) любое решение уравнения (1.23), то из (1.25) можно вычислить функцию и(ж,£), которая с необходимостью окажется удовлетворяющей (1.24), и наоборот для любой функции у(х, ¿), удовлетворяющей (1.24), уравнения позволяют вычислить некоторую функцию которая автоматически окажется удовлетворяющей (1.23).

Построение и развитие метода обратной задачи рассеяния (см. 7) привело к возникновению новых подходов к решениям полевых уравнений и поиску соответствующих преобразований Бэклунда [21], [22],

и.

Несмотря на различные подходы к построению решений уравнений Эрнста, многие результаты оказались весьма близкими по содержанию. В работах Косгорова [23], [24], [25] было проведено детальное сравнение различных подходов (метода обратной задачи рассеяния и теоретико- групповых подходов) и показана их эквивалентность.

Метод построения преобразований Бэклунда уравнений Эрнста, использующий элементы различных подходов и их взаимосвязь был представлен Г.А.Алексеевым [26].

1.4. Эффективная нелинейная сигма модель

Одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений современной физики являются нелинейные полевые теории. Среди них

особое место занимает нелинейная сигма модель (НСМ). Во многом это объясняется мощным аппаратом исследования уравнений НСМ, богатой внутренней структурой самой модели. Теории сигма моделей посвящён ряд обзоров и монографий. Развёрнутый исторический обзор можно найти в монографии С.В.Червона [27]. Здесь мы кратко рассмотрим основные этапы развития теории НСМ.

Впервые понятие о а поле и а частице встречается работе Ю.Швингера 1957 года [28]. а поле возникает, как гипотетическое построение, призванное решить ряд проблем в теории квантованных полей. Основной акцент в работе был сделан на анализ преобразований симметрии. Дальнейшее развитие теория получила в работах Т.Скирме [29], Гелл-Манна и Леви [30]. Интерес к нелинейным сигма моделям значительно возрос после работ А.М.Полякова [31] и А.А.Белавина и А.М.Полякова. [32], в которых найдены инстан-тонные решения двмерной чисто бозонной НСМ. Нелинейные сигма модели стали предметом пристального изучения не только с физической, но и с математической точки зрения [33], [82], [35]. Это дало стимул к развитию НСМ, как эффективной теории в ОТО в контексте построения точных решений [36], [14].

Действие для классической бозонной нелинейной сигма модели, определённой на пространственно-временном многообразии (М,д{к(х)) имеет вид [27]

5 = /м у/д^х^ЬАВ 9*к<Р?<Рк, (1-26)

где (Л/", 1ъав(<р)) ~~ киральное пространство полей ср = (ср1,... , (рп), д =

I фь — дк<рА- Лагранжиан модели имеет вид

(1.27)

Уравнения движения, следующие из вариации действия

Одной из первых работ, в которой уравнения Эйнштейна представлялись в виде уравнений НСМ является статья Д.Мэйсона [37]. Было показано, что уравнения Эйнштейна для стационарных аксиально-симметричных пространств допускают представление в духе пары Лакса. При этом уравнения полученной системы оказывались "поразительно похожими на уравнения нелинейной сигма модели, рассмотренными Лушером и Полмейером [38].

Впервые связь вакуумных уравнений Эйнштейна и уравнений эффективной динамической системы вида НСМ была получена Р. Мацнером и Ч. Мизнером [39] при исследовании симметрий четырёхмерного пространства-времени

= ~Р2-

Связь декартовых и полярных координат определяется стандартным образом

Все компоненты метрики не зависят от ф и Ь. Параметризация ме-

— ЯггЫр2 + Аг2\ + даЬ(1ха(1хь, а, Ъ = 3,4 ж3 = </>, ж4 =

(1.29)

ж = рсоБф, у = рвтф, г = г, £ =

(1.30)

трики выбиралась в виде

, , (9tt 9<t>t \9ab\ =

\ 9t<¡> 9ФФ

1.31)

cos | sin I \ / —реР 0 \ / cos | - sin f — sin | cos I / V 0 ре-/3) V sin I cos | Соответствие метрических коэффициентов и полей (параметров) а, /3, р окончательно задавалось следующим образом

gtt = —р{ cos achf3 -f sh/3),

дфф = р(cos ach/3 - sh/3), (1.32)

g<pt = psinach/3.

Это позволяло записать уравнения Эйнштейна Rab = 0:

Rtt = о,

Rt4> = о, (1-33)

Яфф = 0

в терминах введённых полей

V(ch2/3VcO = 0,

1 Í (1-34)

V2/3 + -(Va)2sh2/3 = 0. ¿j

Оператор V имеет 3-мерный смысл:

_ ^ / d2 Q2 Q2 \ ^ ду2 ^ dz2у ' (1-35)

В свою очередь, полученные уравнения следуют из вариации действия

S= £2тг pdpdz (1.36)

для лагранжиана

£ = д'^Ж^, (1.37)

у дхг дхз v 7

где дгз, хг, хJ относятся к вещественному евклидову 3-пространству, Кав - метрика единичного гиперболоида

di2 = (d(3)2 - ch2¡3{da)2 (1.38)

Уравнения (1.35) и (1.32) определяют метрические коэффициенты 9tt, 9t<pi 9ФФ однозначно. Компонента gzz определяется линейным интегрированием уравнений

Rzz —

RPz = о, (1.39)

Rpp = 0.

В рассмотренной работе, однако, не указывалось на соответствие полученных уравнений некоторой НСМ. Методы исследования нелинейно-полевых теорий в то время не были достаточно разработаны, поэтому результаты работы были практически невос-требованы. В статье, вышедшей годом позже цитируемой работы Р.Мацнера и Ч.Мизнера, Ф.Эрнст [11], предлагая новую форму записи уравнений Эйнштейна (см. стр. 10), достаточно скептически высказывается относительно целесообразности получения представления (1.34). В этой же статье приводится связ потенциала Эрнста и полей а и /3, введённых Р.Мацнером и Ч.Мизнером

Ymv = а, ^ ^

Reí/ = lnch|,

где для потенциала Е, являющегося решением (1.15) Е = ev.

Спустя двадцать лет появилась статья Червона C.B. и Мусли-мова А.Г. [40], [41] где аналогичный подход применялся непосредственно для построения эффективной НСМ. Было показано, что для пространства-времени

¿в2 = А{(1х1у + 2ВахЧх2 + С{йхУ - £>[(^)2 - (¿ж4)2], (1.41)

А, В, С, Б зависят только от ж3, х4 действие гравитационного поля, записанное в форме Эйнштейна-Розена

при подстановке, аналогичной рассмотренной в [39]

А = -e^(cosxsh# + ch#), В = е^ sin xsh#, С = e^(cos%sh0 — ch#),

(1.42)

(1.43)

может быть записан как лагранжиан НСМ (1.27), если положить

/-1 0 0 -1\

0 10 0

0 0 зК2в 0

V—1 о О О у

hue

= е^

1.44)

определены на

и киральными полями ср1 = ф,(р2 = 0,сръ = ХчЧ^ — двумерном псевдоевклидовом пространстве ¿в2 = (с?ж3)2 — (¿ж4)2. Утверждалось, что при этом вакуумные уравнения Эйнштейна

Rik =z 0 переходят в уравнения

□ е^ = О,

2 - v?Y4h90 = О

(1.45)

□ 9 + (фзОз - ФаОа) ~\(xl~ Xl)sh29 = О,

□ X + {ФзХз - ФАХ4) + 2(^зХз - to)ctM = О, □ Ф - Ы - Ф1) + Щ - 01) + № - xl)sh2# = О,

□ = Ö33 - д44 [40].

Которые, в свою очередь являются уравнениями Эйлера-Лагранжа эффективной НСМ и следуют из действия (1.26).

В качестве иллюстрации метода приводилось частное решение уравнений НСМ, отвечающее случаю

ф3 = 0, в3 = 0, . . ^ (1.46)

Хз = а, </>з = 6, а, 6 = const.

Метрические коэффициенты А, Л, С, Z), соответствующие некоторому частному решению системы, в обозначениях для координат

1 9 Ч А ,

х = х, х — у, х' = z, х — t имеют вид

А = -|r|(cosx*sh.ö* + ch0*),

В = Irl sin Y*sh0*,

1 1 (1.47)

С = |r|(cosx*shö* — сЫ9*),

D = he*

где r = ci + t; x* = c2 + 02;; = |Arsh^/l + 1/r4, r* = (a/y/S)r; ci и c2 - постоянные интегрирования. Функции h и / таковы

i \3(1 + л/2п+Г2)(1+^)/211/8

/i =

1 VI + y/ITrJ/ (1-А/2Г, + Г2)И"^1/2

/ = ± í) + ]- (зт2(1 - Vi + г"4) + 2arctgr2 - 2 v^narctg

'1 - г.

arc

:tg(l + V2n) - arctgjl - л/2т*| + |1 - V2n| -

(1.48)

(1 + y/2rt) - 3y/l + r? - 6 /[F(A, k) - 2E{\ k)]dr^

где F(А, /г) and i?(A, к) - эллиптические интегралы соответственно первого и второго рода, причем

Полученное решение очевидно является недиагональным. Интер-

претация полученных решении и их сравнение с другими решениями в классе метрик (1.41) весьма проблематично ввиду нелинейности преобразований (1.43) и интеграла от эллиптических функций для функции / в (1.8).

Эффективная НСМ рассматривалась А.Аштекаром и В.Хусейном . Проводилась редукция уравнений Эйнштенйа для пространств, допускающих два коммутирующих, пространственно-подобных векторных поля Киллинга. Частным случаем таких пространств является рассмотренные ранее плоско-симметричные пространства. В работе рассматривались вакуумные космологические пространства Гоуди [42], [43], (см. стр. 35). Для случая калибровок (¿еЬ^ = г и с1е1 даь = z приводились уравнения Эйнштейна, представленные в виде полевых уравнений НСМ. Выбор зависимости метрических коэффициентов от киральных полей был аналогичным (1.32), (1.43). Акценты ставились на изучение соответствия между 5Х(2Д) (6*0(3)) нелинейной сигма моделью и главной киральной моделью. Рассматривался гамильтонов формализм для исследования интегрируемо-

А = arcsin

(1.49)

сти соответствующих уравнении.

В качестве эффективной теории рассматривалась НСМ в работе Б.Де Витта [44]. Точное вычисление интеграла Фейнмана для решётки и оценка его поведения в непрерывном пределе проводились с помощью строилась эффективная модель. Исследование переносилось на систему эффективных киральных полей.

Интересной и фундаментальной работой в этом направлении является статья П. Бреитенлонера, Д.Мэйсона и Г. Гиббонса [45]. В теории суперструн эффективная НСМ обсуждалась в работах Д.В. Галь-цова и др. [46], [47], [48]. Другим направлением применения эффективных НСМ является многомерная гравитация.

В то же время, с физической точки зрения несомненный интерес представляют космологические приложения теории самогравитиру-ющей НСМ. Киральная модель инфляции [49] позволяет по новому взглянуть на ряд проблем теоретической космологии.

Интересно было бы рассмотреть задачу о самогрвитирующей НСМ в классе пространств, представимых в виде эффективной НСМ.

В и о и

таком подходе найдет применение и мощный математическии аппарат исследования уравнений киральных полей, и результаты такого подхода могут быть востребованы для решения задач физики ранней Вселенной.

Задача настоящего исследования можно сформулировать следующим образом.

Исследование эффективной нелинейной сигма модели гравитационного поля в вакууме и самогравитирующих НСМ произвольной структуры в классе пространств, допускающих представление эффективной НСМ. Получение точных решений таких систем.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Шабалкин, Дмитрий Юрьевич

Заключение

1) Найдена эквивалентная запись вакуумных уравнений Эйнштейна в терминах эффективных киральных полей в классе метрик, допускающих двупараметрическую абелеву группу изо-метрий. Построена эффективная НСМ данного класса пространств.

2) Найден новый класс точных решений уравнений эффективной НСМ с помощью метода функционального параметра. Построены точные решения для случая волны, распространяющейся в заданном направлении. Приведены точные решения уравнений Эйнштейна в вакууме. В частном случае выполнен анализ полученных решений.

3) Показано, что уравнения Эйнштейна, описывающие взаимодействие физических киральных полей с гравитацией могут быть представлены в виде обобщённой эффективной НСМ.

4) Найдены точные решения уравнений обобщённой эффективной НСМ для выбранного класса двухкомпонентных НСМ. Предложены методы приложения данного подхода в космологии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шабалкин, Дмитрий Юрьевич, 1998 год

Литература

[1] Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Mima R.M. Method for solvingthe Kortvweg-de-vries equation// Phys. Rev. Lett.-1967(19) .-P.1095-1097.

[2] Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves// Commun. Pure. Appl. Math.-1968(21).-P.467-490.

[3] Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell A.G., Segur #., The inverse scattering transformation-Fourier analysis for nonlinear problems// Stud. Appl. Math.-1974(53) .-P.249-315.

[4] Додд P., Эйлбек Дж.,Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения.-М.:Мир, 1988

[5] В. А. Белинский, В. Е. Захаров, Инегрирование уравнений Эйнштейна методом обратной задачи рассеяния и вычисление точных решений, ЖЭТФ.-1978(75).-№6 С.1953-1971.

[6] Г.А.Алексеев, О солитонных решениях уравнений Эйнштейна в вакууме// Доклады акад. наук. СССР.-1981(256).-№4.-С.827-829.

[7] P. S. Letelier, Cyllindrically symmetric solitary wave solutions of the Einstein equations// J. Math. Phys.-1984(25).-№9.-P.2675-2681.

[8] P. S. Letelier, Static and stationary multiple soliton solutions to the Einstein equations// J. Math. Phys.-1985(26).-P.467-474.

[9] K.C.Das, Odd-soliton solutions of the Einstein equations in a vacuum// Phys. Rev. D.-1985(31).-№4.-P. 927-928.

[10] В.А.Белинский, Односолитонные космологические волны// ЖЭТФ.- 1979(77). - С.1239-1254.

[11] Ernst F.J., New formulation of the axially symmetric gravitational field problem. I// Phys.Rev.- 1968(167).-№2.- P. 1175-1178.

[12] Ernst F.J., New formulation of the axially symmetric gravitational field problem. II// Phys.Rev.-1968(168).-№2.- P.415-417.

[13] Алексеев Г.А., Точные решения в общей теории относительности// Дан СССР.-1985(283)-С.211-259.

[14] R. Geroch, A method for generating new solutions of Einstein's equation. II// J. Math. Phys. - 1972(13). - P. 394-404.

[15] Harrison B.K., New solutions of the Einsytei-Maxwell equations from old// J.Math.Phys.-1978(12).-№60.- P. 918

[16] Wahlquist H.D. Estabrook F.B., Prolongation structure of nonlinear evolution equations.// J.Math.Phys-1975(16).-№1 - P. 1-7.

[17] Neugebauer G., Backhand trnsformations of axially symmetric stationary gravitational fields// J.Phys.A.-1979(12).-№4 P.L19-21

[18] Жаринов В.В., Соответствия Бэклунда// Математический Сборник.-1988(136).-№2 С.277-293.

[19] Backhand transformations/ed. Miura. Lectures Notes in Mathematics 1976.-551., Springer-verlag, New York

[20] Rogers C., Shadwick W.F., Backhand transformations and their applications.- New York.- Academic - 1982

[21] Neugebauer G., Recursively calculations of axially symmetric stationary Einstein fields// J.Phys.A.-1980(13).-№5.-P.1737-1740

[22] Neugebauer G., A genral integral of the axially symmetric stationary Einstein equations// it J.Phys.A.-1981.(13).-№3 P.195-200.

[23] Cosgrove C.M., Relationship between the group-theoretic aoid soliton-theoretic techniqes for generating stationary axisymmet-ric gravitational solutions// J.Math.Phys-1980(21)-№9.-P.2417-2447.

[24] Cosgrove C.M., Backhand transformations in the Hauser - Ernst formalism for stationary axisymmetric spacetimes// J.Math.Phys.-1981(22).-№11.- P.2624-2639.

[25] Cosgrove C.M., Relationship between the inverse scattering techniqes of Belinskii-Zakharov and Hauser-Ernst in general relativity// J.Math.Phys.-1981(23).-№4.- P.615-633.

[26] Алексеев Г.А., Андреев В.А,, Преобразования Беклунда и связанные с ним алгебраические структуры. Алгебра продолженных структур// в сб. Итоги Науки и техники, классическая теория поля и теория гравитации.- М..-ВИНИТИ, 1992(4).-С.4-66.

[27] С.В. Червон, Нелинейные поля в теории гравитации и космологии.- Ульяновск: изд-во Средневолжского научного центра-1997.

[28] J.Schwinger, A theory of fundamental interactions.// Ann.Phys.-1957(2).- P.407-434.

[29] T.H.R.Skyrme, A nonlinear theory of strong inderactions.// Proc.Roy.Soc.- 1958(A247).-№1249.-P.260-278.

[30] M.Gell-Mann, M.Levy, The axial vector current in beta decay// Nuovo Cim.- 1960(26).-№4, P.705-726.

[31] A.M.Polyakov, Phys.Lett.-1975(59B).-P.79

[32] А.А. Белавин, A.M. Поляков, Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетка.// Письма в ЖЭТФ. -1975(22).-№10, С.503. - 506.

[33] М.Forger, Instations in nonlinear sigma-models gauge theories and general relativity.// Lect.Not.Phys.-1981(139).-P.110.-134.

[34] A.M.Переломов, Решения типа инстантонов в киралъных моделях.// Успехи физических наук.-1981(134).-№4.-С.577-609.

[35] A.M.Perelomov, Chiral models: geometrical aspects.// Phys.Reports.-1987(146).-№3.-P. 136-213.

[36] R. Geroch, A method for generating solutions of Einstein's equations// J. Math. Phys. - 1971(12). - P. 918-924.

[37] Maison D., On the complete integrability of the stationaryaxi-ally symmetric Einstein equation// J. Math. Phys.-1979(20) .-№5.-P.871-877.

[38] Luscher M., K. Pohlmeyer

Nucl. Phys. 1978(B 137).-P.46

[39] R.A. Matzner, C.W. Misner, Gravitational field equations for sourses with axial symmetry and angular momentium

Phys. Rev. -1967(154).-№5.-P. 1229-1232.

[40] Chervon S.V., Muslimov A.G., Plane-symmetric gravitational field as a four-component nonlinear sigma model// Phys.Lett.-1989(A142).-P. 14-16.

[41] S.V.Chervon, A.G.Muslimov, The plane-symmetric gravitational field as a four-component nonlinear sigma model// Preprint LFTI-1347,Ioffe Physical Technological Institute, Leningrad, 1989.-20p.

[42] R. H. Gowdy, Gravitational wave in closed Universes// Phys. Rew. Let. - 1971(27).- №12.- P.826-829, and erratum, page 1102.

[43] R. H. Gowdy, Vacuume space-time with two-parameter spacelike isometry groups and compact invariant hypersurfaces: Topology and boundary conditions// Annals of Physics. -1974(83). - P. 203241.

[44] B.DeWitt, Nonlinear sigma models in 4 Dimensions as Toy Models for quantum gravity// in Conceptual Problems of quantum Gravity.-Boston:Birkhauser.-1991.-P.512

[45] P. Breitenlohner, D. Maison, and G. Gibbons, //Commun. Math. Phys.-1988(120.-P. 295-333.

[46] GaVtsov D.V., Integrable system in string gravity// Phys. Rew. Let.- 1995(74).-№15.-P.2863-2866.

[47] GaVtsov D. V., Kechkin О. V., Ehlers-Harrison-type transformations in dilaton-axion gravity// Physical Reveiw D.-1994(50).-№12.-P. 7394-7734.

[48] GaVtsov D.V., Letelier P.S., Interpolating black holes in dilaton-axion gravity// Class.Quantum Gav.-1997(14).-L9-L14.

[49] S. V. Chervon, Chiral nonlinear sigma models and cosmological inflation// Gravitation & Cosmology.-1995(l).-№2.-P.l

[50] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшищ Теоретическая физика: Т.II.Теория поля 7-е изд.,испр.-М.:Наука, 1988.

[51] П.А.М.Дирак, Общая теория относительности. - М.: Атомиз-дат, 1978.

[52] H.Bondi, Plane gravitational waves in general Relativity// Nature. - 1957(179).- P.1072 - 1073

[53] Rosen N.

//Phys. Z. Soviet Union.-1937(12).-P. 366

[54] Einstien A. Rosen Ж, On gravitational waves// J. Frank. Inst. -1937(223).-P. 43-54.

[55] Ч.Мизнер, К. Торн, Дж.Уиллер, Гравитация. - М.: Мир, 1977.

[56] M.Carmeli, Ch.Charach , The Einstein-Rosen gravitational waves and cosmology// Foundations of Physics. - 1984(14).- №10.-P.963-986.

[57] G.F.R.Ellis, M.A.H.MacCallum, A class of homogeneous cosmolog-ical modeles// Commun. Math.Phys.- 1969(12).-P.108-141.

[58] G. Oliver, E. Verdaguer, A family of inhomogeneous cosmological Einstein-Rosen metrics// J. Math. Phys. - 1989(30).-№2.-P.442-445.

[59] J.Wainwright, W.C.W.Ince, B.J.Marshman, Spatialy homogenious and inhomogenious cosmologies with equation of state p = p,// Gen.Rel.Gravit- 1979(10) .-P.259-271.

[60] R.Tabensky, A.H.Taub, Plane-symmetric self-gravitating fluids with pressure equal to energy density// Commun. Math. Phys.-1972(29).-P.61-77.

[61] B.A. Белинский, E.M. Лифшиц, И.М. Халатников, // УФН.-1970(102).- C.63.

[62] B.C.Xanthopoulos, Cyllindrical waves and cosmic string of Petrov type D// Phys.Rev. -1986(D34)- P.3608-3616

[63] J. Garriga, E. Verdaguer, Cosmic string and Einstein-Rosen soliton waves// Phys. Rev. D.-1987(36).-№8.-P.2250-2258.

[64] J. Céspedes, E. Verdaguer, Gravitational wave pulse and soliton wave collision// Phys. Rev. D.-1987(36)-№8.-P.2259-2266.

[65] Вигман П.Б., Точное решение 0(3) нелинейной сигма-модели в 2х измерениях// Письма в ЖЭТФ.-1985(41).-№.2.-С.79-83.

[66] Р.А.Даишев, Изометрические движения идеальной жидкости с массивным скалярным полем// в сб. Гравитация и теория относительности - Казань.: издательство Казанского университета, 1989.- вып.30.- С. 40-84.

[67] Г.Г.Иванов, Симметрии, законы сохранения и точные решения в нелинейной сигма-модели// ТМФ-1983(57)-№1- С.45.-54.

[68] Д.Ю.Шабалкин, С.В.Червон, Об одном точном решении ки-ральной модели плоскосимметричного гравитационного поля// Известия ВУЗов. Физика. -1998. - №6. С.114-115.

[69] С.В.Червон, Д.Ю.Шабалкин, Геометрические свойства кираль-ной модели плоско-симметричного гравитационного поля// в сб. Учёные записки Ульяновского госуниверситета. Серия физическая - Ульяновск: изд-во Ульяновского госуниверситета, 1998. - вып. 1(4).- С.21 - 25.

[70] Л.В.Капитанский, О.А.Ладыженская, О принципее Коулмэна нахождения стационарных точек инвариантных функционалов/ / в сб. Записки научных семинаров ЛОМИ. Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. - Л.: Наука, 1983. - т. 127. -вып. 15.-С.84.-102.

[71] R. S. Palais, The principle of symmetric criticality// Communications in Mathematical Physics.- 1979(69). - №1. - P. 19-30.

[72] S. V. Chervon, V.M. Zhuravlev and D. Yu. Shabalkin, Effective chiral model of a plane-symmetric gravitational field.// Grav. & Cosmol.-1997(3).-№4(12).- P. 312-316.

[73] Захаров B.E., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачию-М.: Наука, 1980

[74] Захаров В.Е, Михайлов А.В., Релятивистки-инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи// ЖЭТФ.-1978(74).-С.1953-1973

[75] А.Д.Попов // Ядерная физика. - 1991. -С.

[76] A.H.Guth, Inflationary universe: A possible solution to the horizon and flatness problems.// Phys.Rev., D23, No.2, 1981, p.347.

[77] А.Д.Линде, Физика элементарных частиц и инфляционная космология.- М.: Наука, 1990

[78] Черв он C.B., О киральной модели нелинейных скалярных полей// В книге: Гравитация и теория относительности, Казань, издательство Казанского университета.- 1992.- вып.29.-С.85.

[79] F. S. A dams, К. Frees е, // Phys.Rev.-1991(D43).-P.353.

[80] L.M. Widrow, False-vacuum decay in time-dependent and two-field model// Phys.Rev.-1991 (D44) .-P.2306.

[81] A.Linde, Eternal extended inflation and graceful exit from old inflation without Jordan-Brans-Dicke// Phys.Lett.-1990(249).-№l.-1990.-P.18-26.

[82] A.M.Переломов, Решения типа инстантонов в киральных моделях.// Успехи физических наук.- 1981(т.134)-№4 С.577.-609.

[83] S. V. Chervon, Nonlinear sigma models for inflation scenarios// IU-CAA Preprint, IUCAA- 15/92, October 1992.

[84] S. V. Chervon, Chiral inflationary models: exact solutions and cos-mological perturbations// In: Abstracts. International School-Seminar "Problems of Theoretical cosmology", Russia, Ulyanovsk, September 1-7, 1997, P.ll-12.