Генерирование вакуумных аксиально-симметричных решений уравнений ОТО с помощью стационарных евклидонов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Шайдеман, Александр Александрович

• Шайдеман, Александр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шайдеман, Александр Александрович

Введение

1 Стационарные аксиально-симметричные уравнения Эйнштейна-Максвелла

1.1 Уравнения стационарного аксиально-симметричного гравитационного поля.

2 Статический эвклидон

2.1 Статические аксиально-симметричные уравнения Эйнштейна в вакууме.

2.2 Получение статического евклидонного решения различными методами.

2.3 Физическая интерпретация статического евклидонного решения.

2.4 Суперпозиция статических евклидонных решений.

3 Стационарный евклидон

3.1 Стационарные аксиально-симметричные уравнения Эйнштейна в вакууме.

3.2 Класс решений Льюиса . 3G

3.3 Физическая интерпретация стационарного евклидонного решения.

3.4 Метод нелинейной суперпозиции стационарного евклидона с произвольным стационарным полем Эйнштейна.

4 Использование стационарного евклидона для построения нового класса решений статических уравнений Эйнштейна-Максвелла

4.1 Уравнения статического гравитационного поля электровакуума.

4.2. Метод вариации постоянных в случае электровакуумных уравнений Эйнштейна-Максвелла.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Генерирование вакуумных аксиально-симметричных решений уравнений ОТО с помощью стационарных евклидонов»

Точным решениям в любой нелинейной теории принадлежит особое место. Трудно переоценить их роль и в раскрытии физического содержании эйнштейновской общей теории относительности (ОТО), совершившей, по всеобщему признанию, переворот в представлениях на пространство и время. Точные решения ОТО прочно вошли в арсенал современной астрофизики и космологии, определяя, а иногда и открывая, как это имело место, например, в случае физики черных дыр [1-4], целые направления их развития.

Ввиду сложности уравнений ОТО, представляющих собой систему нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, точные решения обычно ищутся для определенных классов задач, обладающих симметриями. Большой интерес при этом представляет случай аксиальной симметрии, где в последние два десятилетия был достигнут заметный прогресс благодаря развитию различных методов генерирования новых решений из уже известных. В настоящей работе рассматриваются точные решения уравнений Эйнштейна, которые, обладая аксиальной симметрией, являются также асимптотически плоскими, т.е. описывают внешние гравитационные поля, создаваемые так называемыми островными системами, для которых метрический интервал на больших расстояниях от источников переходит в обычную метрику Минковского неискривленного пространства-времени. Этот широкий класс решений уравнений гравитации включает в себя статические и стационарные поля Эйнштейна и ему принадлежат как уже известные решения, имеющие фундаментальное значение для ОТО, так и решения, которые в недалеком будущем смогут найти широкое применение для большого круга астофизических задач.

Вскоре после выхода в свет работы Эйнштейна [5], в которой уравнения общей теории относительности получили окончательную формулировку, Шварцшильд [6] нашел точное сферически-симметричное решение, описывающее внешнее гравитационное поле невращающейся звезды или сколлапсированиого объекта. Уникальность метрики Шварцшильда состоит в том, что, согласно теореме Биркгоффа [7], она является единственным статическим сферически-симметричным решением уравнений Эйнштейна. Кроме того, как позднее было математически строго доказано Израэлем [8], никакое другое статическое вакуумное решение не может иметь полностью регулярного горизонта событий.

Заметное влияние на дальнейшие исследования в области точных решений оказала работа Вейля [9], в которой были получепы два класса аксиально-симметричных решений, содержащих произвольную гармоническую функцию: класс статических вакуумных решений уравнений Эйнштейна и класс статических решений уравнений Эйнштейна-Максвелла (класс электровакуума Вейля). Среди вакуумного класса Вейля можно отмстить метрику Шази-Керзоиа [12, 13], структура сингулярностей которой отлична от сингулярностей метрики Шварцшильда.

В работах Лыоиса [14] и Ван Стокума [15] были даны первые примеры стационарных вакуумных нолей, которые, правда, не являются асимптотически плоскими. Несмотря на этот недостаток данных решений, они в дальнейшем были использованы для получения асимптотически плоских, физически интересных метрик. Класс стационарных вакуумных полей был получен Папапетру [16] благодаря записи метрического аксиально-симметричного интервала в так называемой канонической форме (наиболее широко используемой в настоящее время), которая позволила существенно упростить вид полевых уравнений. Известным решением, принадлежащим классу Папапетру, является метрика Ныомена-Унти-Тамбуриио (НУТ) [17], которая, не обладая свойством асимптотической плоскостности, все же некоторое время рассматривалась как стационарное обобщение решения Шварцшильда.

Среди работ, посвященных полям деформированных источников, следует отметить статью Эрсца и Розена [20]. Этими авторами была предложена метрика, описывающая внешнее гравитационное поле статической массы, обладающей произвольным квадрупольным моментом. Этому же вопросу посвящены работы [21-25], в которых предложены новые методы построения гравитационных мультиполей, повзоляющис в ряде случаев получать более простые выражения для метрических функций. Работа [20] примечательна еще и тем, что в ней впервые были использованы координаты вытянутого эллипсоида вращения, которые впоследствии стали широко применяться для нахождения новых точных решений.

Первое асимптотически плоское решение, описывающее гравитационное поле стационарно вращающегося аксиально-симместричного изолированного источника, было найдено в 19G3 году Керром [26] при изучении алгебраически специальных вакуумных метрик, однако лишь спустя четыре года после работы Бойера и Линдквиста [27] стала возможной его строгая физическая интерпретация. Теорема Робинсона [3] устанавливает, что метрика Керра - единственное асимптоматически плоское стационарное аксиально-симметричное решение уравнений Эйнштейна в вакууме, имеющее гладкий и выпуклый горизонт событий. Временной интервал в сорок семь лет, разделяющий решения Шварцшильда и Керра, наглядно свидетельствует о трудности нахождения точных решений.

Из обобщений метрики Керра можно отметить решение Демьянского и Ныомена [28], описывающее суперпозицию метрик Керра и НУТ.

Новый подход к отысканию новых точных аксиально-симметричных решений был предложен Эрнстом [31, 32]. В случае стационарных вакуумных полей задача интегрирования уравнений Эйнштейна была им сведена к решению нелинейного дифференциального уравнения второго порядка для одной комплексной функции. Благодаря исключительно симметричному виду уравнения Эрнста [31] Томимацу и Сато сумели построить серию новых решений [33, 34], зависящую от целочисленного параметра <5, которые могут описывать внешние гравитационные поля стационарно вращающихся деформированных источников. В статическом случае эти решения переходят в решение Зипоя [35] с соответствующими параметрами дисторсии

Класс Томимапу-Сато привлек большое внимание исследователей. В одних работах [36-38] для решения этого класса были получены новые точные соотношения и выяснены некоторые вопросы физической интерпретации. В других же [39-41] были сделаны попытки расширения этого класса, в частности, на случай непрерывно изменяющегося параметра дисторсии S, а также указаны похожие классы решений. Ямазаки [43] сумел построить рекуррентные формулы нахождения метрических функций в случае произвольного целочисленного S.

Во второй половине 70-х годов быстрыми темпами начали развиваться методы генерирования точных решений, основанные на использовании внутренних симметрий уравнений Эйнштейна. Начало этому направлению было положено работами Элерса [44], Освача [45] и Харрисона [46], а вклад в его дальнейшее развитие внесли несколько исследователей, разрабатывавших в основном три различных подхода.

Теоретико-групповой метод, с помощью которого можно генерировать новые метрики, содержащие произвольное число параметров, был введен Герочем [47, 48] и Киннерсли [49], а затем развит в работах Киннерсли и Читра [50-52]. Основные достижения этого подхода связаны с отысканием группы непрерывных преобразований уравнения Эрнста, известных под названием преобразований Хоснселаерса-Киннерсли-Ксаптополуса (ХКК) [53], с помощью которых был построе ряд асимптотически плоских стационарных метрик [54-60].

Второе направление начало развиваться на пути применения к уравнениям Эйнштейна метода обратной задачи рассеяния. В оснополагающих работах Белинского и Захарова [61, 62] данным методом было найдено хорошо известное теперь N-солитониое решение, подробный анализ которого приведен в [63]. Явная детерминантная форма вакуумных солитонных решений была получена Алексеевым [64]. Метод обратной задачи рассеяния разрабатывается в настоящее время представителями различных гравитационных школ [60-69].

Третий подход использует для генерирования новых точных решений преобразования Бэклунда, существование которых для случая стационарных аксиально-симметричных вакуумных полей было доказано Харрисоном [70] и Нойгебауэром [71]. Преобразования Бэклунда, теория которых для уравнений Эйнштейна получила дальнейшее развитие в работах [72-74], позволяют генерировать новые стационарные вакуумные решения, содержащие произвольное число параметров [75]. Наиболее известный результат, полученный данным методом - решение Крамера-Нойгебауэра [7G], описывающее нелинейную суперпозицию двух ксрровских масс, разнесенных по оси симметрии. Это решение было обобщено позднее Ямазаки на случай N вращающихся масс [77], которые, по его мнению, удерживаются в равновесии благодаря тому, что гравитационное притяжение компенсирует отталкивание, обусловленное вращением.

Взаимозависимость и математическая эквивалентность всех трех указанных подходов к генерированию точных решений была установлена Косгровом [82].

Метод вариации постоянных, предложенный в работе [83], позволяет находить новые асимптотически плоские метрики, содержащие произвольное число действительных параметров. Среди метрик, полученных данным методом, большой физический интерес представляют найденные совсем недавно точные решения уравнений Эйнштейна, переходящие в метрику Шварцшильда в статическом пределе [84-106].

Анализ мультипольной структуры конкретных метрик открывает широкие перспективы для более детального физического исследования в области точных решений уравнений гравитации. Начало этому исследованию было положено в работах Героча [107] и Хансена [108]. Хоенселаерс [109] сумел найти рекуррентные соотношения, необходимые при вычислении релятивистских мультипольных моментов произвольной стационарной вакуумной аксиально-симметричной деформированной массы.

В настоящее время поиск решений с произвольной мультипольной структурой является одним из основных направлений деятельности исследователей в области точных решений, но можно определенно сказать, что на пути получения общего стационарного аксиально-симметричного решения уравнений Эйнштейна-Максвелла предстоит преодолеть еще очень много математических трудностей. С такими поисками непосредственно смыкается и работа по отысканию наиболее широкого класса преобразований, позволяющего генерировать решения из заданных метрик [114, 115]. С другой стороны, возрастает актуальность получения новых частных метрик, представляющих интерес для конкретных астрофизических приложений (к примеру, большое значение имело бы построение реалистичной суперпозиции метрики Керра с безмассовым магнитным диполем). В связи с вышесказанным трудно не согласиться с мнением известного американского специалиста Киниерсли [116], который, анализируя перспективы развития различных методов интегрирования уравнений Эйнштейна, отводит точным решениям приоритетную роль.

Основной целью настоящей диссертации является получение новых асимптотически плоских аксиально-симметричных метрик, пригодных для описания гравитационных и электромагнитных полей реальных астрофизических объектов. Большинство полученных точных решений является результатом использования и дальнейшего развития методов генерационной техники.

Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе рассмотрены основные уравнения, описывающие гравитационные и электромагнитные поля с аксиальной симметрией, их запись в форме Эрнста, а также иекоторьле преобразования симметрии для уравнений Эйнштейна-Максвелла.

Вторая глава посвящена статическому евклидопному решению. Приведены различные методы получения этого решения. Основной результат второй главы состоит в получении физической интерпретации статического евклидона. Также рассмотрена суперпозиция евклидонных решений.

В третьей главе рассматривается стационарное евклидонное решение. Приведены различные методы получения этого решения. Одним из основных результатов третьей главы состоит в получении физической интерпретации стационарного евклидона. Также показано, что суперпозиция двух стационарных евклидонов содержит решение Керра как частный случай. Еще один важный результат третьей главы — построение квазиинерциальной системы отсчета для метрики Керра. Методом вариации постоянных получено повое стационарное аксиально-симметричное решение, представляющее собой нелинейную суперпозицию стационарного евклидона со статическим полем Вейля специального вида.

В последней, четвертой главе, методы генерирования точных решений применены к статическим полям Эйнштейна-Максвелла. Здесь среди полученных результатов следует отметить новые точные решения, позволяющие описывать внешнее гравитационное поле аксиально-симметричной массы, обладающей электрическим зарядом или магнитным дипольным моментом.

Методы решения нелинейных дифференциальных уравнений, использованные и развитые в настоящей диссертации, могут найти применение в различных нелинейных теориях, приводящих к аналогичным полевым уравнениям. В частности, даже в рамках ОТО они могут быть использованы для генерирования точных решений, описывающих распространение гравитационных волн. Найденные точные решения представляют несомненный интерес для астрофизики, поскольку все они допускают строгую физическую интерпретацию и могут быть использованы при описании внешних гравитационных полей реальных астрофизических объектов.

Результаты исследований, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической физики Российского университета дружбы народов, на 5-й международной конференции по гравитации и астрофизике стран Азиатско-Тихоокеанского региона (Москва, 1-7 октября 2001 г.), на международном семинаре, посвященном 75-летию профессора Николая Александровича Черникова (Дубна, 25-27 февраля 2004 г.).

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Шайдеман, Александр Александрович

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в настоящей диссертационной работе.

1. Получена физическая интерпретация статического и стационарного евклидонных решений.

2. Построена нелинейная суперпозиция двух стационарных евклидонов, частным случаем которой является решение Керра.

3. Построена квазиинерциальная система отсчета для метрики Керра.

4. Методом вариации постоянных получено новое стационарное аксиально-симметричное решение, представляющее собой нелинейную суперпозицию стационарного евклидоиа с обобщенным двух-параметрическим статическим полем Зипоя. С помощью этого метода и теоремы симметрий получен новый класс аксиально-симметричных стационарных решений уравнений Эйнштейна.

5. Построенным на основе стационарного евклидоа методом вариации постоянных в случае статических уравнений Эйнштейна-Максвелла получено новое аксиально-симметричное статическое электровакуумное решение, содержащее двух-параметрическое статическое поле Зииоя в частном случае. Таким образом получен новый класс аксиально-симметричных электростатических и магнитостатических решений уравнений Эйнштейна-Максвелла.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шайдеман, Александр Александрович, 2005 год

1. Носиков И.Д., Фролов В.П. Физика мерных дыр М.: Наука, 1986-326с.

2. Зельдович Я.В., Новиков И.Д. Релятивистская астрофизика.- М.: Наука, 1967.- 656с.

3. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: в 2 частях.-М.: Мир, 1986.- 2 ч.

4. Крамер Д., Штефани X., Мак-Каллум М., Херльт Э. Точные Решения Уравнений Эйнштейна.- М.: Энергоиздат, 1982.- 416с.

5. Einstein A. Die Feldgleichungen tier Gravitation //Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss.- 1915.- V.48.- P.844-847.

6. Schwarzschild K. Uber das Gravitationsfield eines Massenpiinktes nach der Einsteinschen Theorie //Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss.- 1916.-V.B7.- P. 189.

7. Birkhoff G.K. Relativity and Modern Physics.- Cambridge: Harvard University Press, 1923.- 255p.

8. Israel W. Event horizons in static vacuum space-times //Phys.Rev.-1967.- V.164.- P.1776-1779.

9. Weyl H. Zur Gravitationstheorie //Annal. Physik.- 1917.- V.54.- P.117-145.

10. Reissner H. Uber die Eigengravitation des Elektrischen Felds Nach der Einsteinschen Theorie //Annal. Physik.- 1916.- V.50.- P.106-120.

11. Nordstrom G. On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory //Proc. Kon. Ned. Akad. Wet.- 1918.- V.20.- №9-10.- P.1238-1245.

12. Chazy J. Sur le champ de gravitation de deux masses fixes dans la theorie de la relativite //Bull. Soc. Math. France.- 1924.- V.52.- P.17-38.

13. Curzon H.E.J. Cylindrical solutions of Einstein's gravitational equations //Proc. London Math. Soc.- 1924.- V.23.- P.477-480.

14. Lewis T. Some Special Solutions of the Equations of Axially Symmetric Gravitational Fields //Proc. Roy. Soc. London.- 1932.- V.A136.- P. 176192.

15. Van Stockum W.J. The Gravitational Field of a Distribution of Particles Rotating About an Axis of Symmetry //Proc. Roy. Soc. Edinburgh.- 1937.- V.A57.- P.135-154.

16. Papapetrou A. Eine Rotationssymmetrische Losung in dcr Allgemeinen Relativitatstheorie //Annal. Physik.- 1953.- V.12.- P.309-315.

17. Newman E.T., Tamburino L., Unti T. Empty-Space Generalization of the Schwarzchild Metric //J. Math. Phys.- 1963.- V.4.- P.915-923.

18. Bonnor W.B. Static Magnetic Fields in General Relativity //Proc. Phys. Soc. London.- 1954.- V.A67.- P.225-232.

19. Bonnor W.B. Exact Solutions of the Einstein-Maxwell Equations //Z. Phys.- 1961.- V.185.- P.439-444.

20. Ercz G., Rosen N. The gravitational field of a particle possessing a multipole moment //Bull. Res. Council Isr.- 1959.- V.F8.- P.47-50.

21. Gutsunaev Ts. I., Manko V.S. On the Gravitational Field of a Mass Possessing a Multipole Moment //Gen. Rclat. Grav.- 1985.- V.17.- P.1025-1027.

22. Quevedo H. On the Exterior Gravitational Field of a Mass with a Multipole Moment //Gen. Relat. Grav.- 1987.- V.19.- №10.- P.1013-1023.

23. Quevedo H. General Static Axisymmetric Solution of Einstein's Vacuum Field Equations in Prolate Spheroidal Coordinates //Phys. Rev.-1989.- V.D39 №10.- P.2904-2911.

24. Manko V.S. On a General Static Axisymmetric Solution of the Einstein Vacuum Equations //Gen. Relat. Grav.- 1989.- V.21.- №11.- P.1193-1195.

25. Manko V.S., Khakimov Sh.A. General static axisymmetric solution of the vacuum Einstein equations possessing a regular event horizon //Phys.Lett.- 1990.- V.A149.- №7,8.- P.351-353.

26. Kerr R.P. Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics //Phys.Rev.Lett.- 1963.- V.ll.- №5.- P.237-238.

27. Boyer R.H., Lindquist R.W. Maximal analytic extension of the Kerr metric //J.Math.Phys.- 1967.- V.8.- №2.- P.265-281.

28. Demianski M., Newman E.T. A Combined Kerr-NUT solution of the Einstein field equations //Bull.Acad.Polon.Sci.Ser.Math.Astron.Phys.-1966.- V.14.- №10.- P.653-657.

29. Newmann E.T., Couch E., Chinnapared K., Exton A., Prakash A., Torrence R. Metric of a rotating charged mass //J.Maht.Phys.- 1965.-V.6.- т.- P.918-919.

30. Bonnor W.B. An exact solution of the Einstein-Maxwell equations referring to a magnetic dipole //Z.Phys.- 1966.- V.B190.- P.444-445.

31. Ernst F.J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem //Phys.Rev.- 1968.- V.167.- №5.- P. 1175-1178.

32. Ernst F.J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem. II //Phys.Rev.- 1968.- V.168.- №5.- P.1415-1417.

33. Tomimatsu A., Sato H. New exact solution for the gravitational field of a spinning mass //Phys.Rev.Lett.- 1972.- V.29.- №19.- P.1344-1345.

34. Tomimatsu A. Sato H. New series of exact solutions for gravitational fields of spinning masses //Prog.Theor.Phys.- 1973.- V.50.- №1.- P.95-110.

35. Zipoy D.M. Topology of some spheroidal metrics //J.Math.Phys.-1966.- V.7.- P. 1137-1143.

36. Tanab Y.A. Comment oil physical interpretation of the Tomimatsu-Sato metrics //Prog.Theor.Phys.- 1974.- V.52.- №.- P.727.

37. Economu J.E., Ernst F.J. Weyl conform tensor of J = 2 Tomimatsu-Sato spinning mass gravitational field //J.Math.Pliys.- 1976.- V.17.-№.- P.52.

38. Yamazaki M. On the Kerr-Tomimatsu-Sato family of spinning mass //J.Math.Pliys.- 1977.- У.18.-Ж2.- P.2502-2508.

39. Kinnersley W., Kelley E.F. Limits of the Tomimatsu-Sato gravitational fields //J.Math.Phys.- 1974.- V.15.- №12,- P.2121.

40. Cosgrove C.M. New family of exact stationary axisyrnmetric gravitational fields generalizing Tomimatsu-Sato solutions //J.Phys.A: Math.Gen.- 1977.- V.10.- №9.- P.1481-1524.

41. Yamazaki M. On the Kerr-Tomirnatsu-Sato family of solutions with nonintegral distortion parameter //J.Math.Pliys.- 1978.- V.19.- №9.-P.1847.

42. Ernst F.J. Charged version of Tomimatsu-Sato spinning mass field //Phys.Rev.- 1973.- V.D7.- №8.- P.2520.

43. Yamazaki M. On the charged Kerr-Tomimatsu-Sato family of solutions //J.Math.Phys.- 1978.- V.19.- т.- P.1376.

44. Ehlers J. Exterior solutions of Einstein's gravitational field equations admitting a two-dimensional Abelian group of isometric correspondences //Colloq.Theorie Relativ.- Bruxelles, 1959.- P.49-57.

45. Geroch R.J. A method for generating solutions of Einstein's equations //J.Math.Phys.- 1971.- V.12.- №G.- P.918-924.

46. Geroch R.J. A method for generating solutions of Einstein's equations. II //J.Mafcli.Phys.- 1972.- V.13.- №3.- P.394-404.

47. Kinnersley W. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell equations. I //J.Math.Phys.- 1977.- V.18.- №8.- P.1529-1537.

48. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell equations. II //J.Math.Phys.- 1977.- V.18.- №8.- P.1538-1542.

49. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell equations. Ill //J.Math.Phys.- 1978.- V.19.-№9.- P.1926-1931.

50. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell equations. IV //J.Math.Phys.- 1978.- V.19.- №10.- P.2037-2042.

51. Hoenselaers C., Kinnersley W., Xanthopoulos B.C. Generation of asymptotically flat, stationary space-times with any number of parameters //Phys.Rev.Lett.- 1979.- V.42.- №8.- P.481-482.

52. Hoenselaers C. On a new solution of Einstein's equations //J.Math.Phys.- 1980.- V.21.- №8.- P.2241-2245.

53. Hoenselaers C. A static solution of the Einstein-Maxwell equations //Prog.Theor.Phys.- 1982.- V.67.- №2.- P.697-G98.

54. Dictz W., Hoenselaers C. Stationary system of two masses kept apart by their gravitational spin-spin interaction //Phys.Rev.Lett.- 1982.- V.48.-№2.- P.778-780.

55. Hoenselaers C., Dietz W. The rank N HKX transformations: new stationary axisymmctric gravitational fields //Gen.Relat.Grav.- 1984.-V.16.- т.- P.71-78.

56. Quevedo H., Mashhoon B. Exterior gravitational field of a rotating deformed mass //Phys.Lett.- 1985.- V.A109.- P. 13-18.

57. Quevedo H., Mashhoon B. Generalization of Kerr spacetime //Phys.Rev.- 1991.- V.D43.- №12.- P.3902-3906.

58. Quevedo H., Mashhoon B. Exterior gravitational field of a charged rotating mass with arbitrary quadrupole moment //Phys.Lett.- 1990.-V.A148.- №3-4.- P.149-153.

59. Белинский В.А., Захаров B.E. Интегрирование уравнений Эйнштейна методом обратной задачи рассеяния и вычисление точных солитонных решений //ЖЭТФ.- 1978.- Т.78.- С. 1953-1971.

60. Белинский В.А., Захаров В.Е. Стационарные гравитационные солитоны с аксиальной симметрией //ЖЭТФ.- 1979.- Т.77.- С.3-19.

61. Алексеев Г.А., Белинский В.А. Статические гравитационные солитоны //ЖЭТФ.- 1980.- Т.78.- С.1297-1313.

62. Алексеев Г.А. О солитонных решениях уравнений Эйнштейна в вакууме //ДАН СССР.- 1981.- Т.256.- е 4, С.827-830.

63. Алексеев Г.А. N-солитоиные решения уравнений Эйнштейна-Максвелла //Письма в ЖЭТФ.- 1980.- Т.32, С.301-303.

64. Gleiser R.J. On the physical interpretation of some simple soliton solutions of Einstein's equations //Gen.Relat.Grav.- 1984.- V.1G.- №11.-P.1077-1094.

65. Tomimatsu A. Distorted rotating black holes //Phys.Lett.- 1984,-V.A103.- Ш- P.374-376.

66. Ibat)ez J., Verdaguer E. Multisoliton solutions to Einstein's equations //Phys.Rev.- 1985.- V.D31.- №2.- P.251-257.

67. Belinsky V. Gravitational breather and topological properties of grav-isolitons //Phys.Rev.- 1991.- V.D44.- №10.- P.3109-3115.

68. Harrison B.K. Backlund transformation for the Ernst equation of general relativity //Phys.Rev.Lett.- 1978.- V.41.- P. 1197-1200.

69. Neugebauer G. Backlund transformations of axially symmetric stationary gravitational fields //J.Phys.A: Math.Gen.- 1979.- V.12.- №4.-P.L67-L70.

70. Neugebauer G. A general integral of the axially symmetric stationary Einstein equations //J.Phys.A: Math.Gen.- 1980.- V.13.- P.L19-L21.

71. Neugebauer G. Relativistic gravitational fields of rotating bodies., Phys.Lett.- 1981.- V.A86.- №2.- P.91-93.

72. Kramer D., Neugebauer G. Backlund transformations in general relativity //Lect.Notes Phys.- 1984.- V.205.- P.l-25.

73. Neugebauer G. Recursive calculation of axially symmetric stationary ^ Einstein fields //J.Phys.A:Math.Gen.- 1980.- V.13.- P.1737-1740.

74. Kramer D., Neugebauer G. The superposition of two Kerr solutions //Phys.Lett.- 1980.- V.A75.- №4.- P.259-261.

75. Yamazaki M. Stationary line of N Kerr masses kept apart by spin-spin interaction //Phys.Rev.Lett.- 1983.- V.50.- №14.- P.1027-1030.

76. Kramer D., Neugebauer G. Prolongation structure and linear eigenvalue equations for Einstein-Maxwell fields //J.Phys.A: Math.Gen.- 1981.-V.14.- P.L333.

77. Kramer D. Equivalence of various pseudopotential approaches for Einstein-Maxwell fields //J.Phys.A: Math.Gen.- 1982.- V.15.- P.2201.

78. Neugebauer G., Kramer D. Einstein-Maxwell equations //J.Phys.A: Math.Gen.- 1983.- V.16.- P.1927.

79. Kramer D. Kerr solution endowed with magnetic dipole moment //Class.Quant.Grav.- 1984.- V.I.- P.L45.

80. Cosgrove C.M. Relationships between the group-theoretic and soliton-theoretic techniques for generating stationary axisymmetric gravitational solutions //J.Math.Phys.- 1980.- V.21.- P.2417-2447.

81. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. On a stationary generalization of the Schwarzschild solution //Class.Quantum Grav.- 1989.- V.6.- №8.-P.L137-L139.

82. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. New stationary electrovacuum generalization of the Schwarzschild solution //Phys.Rev.- 1989.- V.D40.- №6.-P.2140.

83. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S., Elsgolts S.L. New exact solutions of the static Einstein-Maxwell equations //Class.Quant.Grav.- 1989.- V.6.-P.L41.

84. Manko V.S. On a new static solution of the Einstein-Maxwell equations for a massive magnetic dipole //Phys.Lett.- 1989.- V.A141.- №5,6.-P.249.

85. Abramyan S.M., Gutsunaev Ts. I. A class of asymptotically flat solutions of the static Einstein-Maxwell equations //Physics Letters A.-1990.- V.144.- №8,9.- P.437.

86. Castejon-Amenedo J., Manko V.S. Superposition of the Kerr metric with the generalized Erez-Rosen solution //Phys.Rev.- 1990.- V.D41.-№6.- P.2018-2020.

87. Castejon-Amenedo J., Manko V.S. On a stationary rotating mass with an arbitrary multipole structure //Class.Quant.Grav.- 1990.- V.7.- №5.-P.779-785.

88. Гуцупаев Ц.И., Манько B.C. Об одном точном решении уравнений электростатики в ОТО //В сб.: Статистическая физика и теория поля, М.: Изд-во РУДН, 1990.- С.28-31.

89. Manko V.S. New exact solution for the exterior gravitational field of a spinning mass //Phys.Rev.Lett.- 1990.- V.21.- №11.- P.1193-1195.

90. Manko V.S. New axially symmetric solutions of the Einstein-Maxweel equations //Gen.Relat.Grav.- 1990.- V.22.- №7.- P.799-809.

91. Манько B.C., Хакимов Ш.А. Новое точное решение уравнений Эйнштейна для гравитациооного поля стационарной осесимметричной массы //Письма в ЖЭТФ.- 1990.- Т.51.- е 10, С.493-495.

92. Chamorro A., Manko V.S., Denisova Т.Е. New exact solution for the exterior gravitational field of a charged spinning mass //Phys.Rev.-1991.- V.D44- № 10.- P.3147-3151.

93. Денисова Т.Е., Манько B.C., Шорохов С.Г. Об одном обобщении решения Керра-Ньюмена //Известия ВУЗов. Сер. Физика.- 1991.-Т.34.- ell.- Р.119-120.

94. Денисова Т.Е., Манько B.C., Хакимов Ш.А. Стационарное электровакуумное обобщение решения Шварцшильда, отличное от метрики Керра-Ныомена //Письма в ЖЭТФ.- 1991.- Т.53.- е 1, C.54-5G.

95. Гуцунаев Ц.И., Бейсекеев С.Б. Об одном классе решений вакуумных стационарных уравнений Эйнштейна //Письма в ЖЭТФ.- 1991.- Т.54.- е 11, С.597-599.

96. Гуцунаев Ц.И., Манько B.C., Хакимов Ш.А. Точное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла для поля массивного магнитного диполя //Известия ВУЗов. Сер. Физика.- 1991.- Т.1.- С. 120.

97. Manko V.S., Khakimov Sli.A. Oil the gravitational field of an arbitrary axisymmetric mass possessing a magnetic dipole moment //Phys.Lett.1991.- V.A154 №3-4.- P.96-98.

98. Denisova Т.Е., Manko V.S. Exact solution of the Einstein-Maxwell equations referring to a charged spinning mass //Class.Quant.Grav.1992.- V.9.- т.- P.57-60.

99. Chamorro A., Manko V.S., Suinago J. New exact solution of the Einstein equations for a spinning mass //Nuovo Cirnento.- 1993.- V.108.-m.- P.717-719.

100. Manko V.S. New generalization of the Kerr metric referring to a magnetized spinning mass //Class.Quant.Grav.- 1993.- V.10.- №12.- P.L239-L242.

101. Geroch R. Multipolc moments. II. Curved space //J.Math.Phys.- 1970.-V.ll.-m.- P.2580-2588.

102. Hansen R.O. Multipole moments of stationary space-times //J.Math.Phys.- 1974,- V.15.- №1.- P.46-52.

103. Hoenselaers C. On multipole moments in general relativity //In: Proceedings of the 14th Yamada Conference on gravitational collapse and relativity (ed. by Sato H. and Nakamura Т.), World scientific, 1986.-P. 176-184.

104. Thorne K.S. Relativistic stars, black holes and gravitational waves //In: Proceedings of the International School of Physics i-cEnrico Fermini (eds. by Sachs B.K.), Academic Press, 1971.- P.237-283.

105. Beig R., Simon W. //Proc.Roy.Soc.London.- 1981.- V.A376.- P.333.

106. Beig R., Simon W. The multipole structure of stationary space-times //J.Math.Phys.- 1983.- V.24.- №5.- P.1163-1171.

107. Giirsel Y. //Gen.Relat.Grav.- 1983.- V.12.- P.1003.

108. Ehlers J. //In: Grundlagenprobleme der Modernen Physik (eds. by Nitsch J., Pfarr J. and Stachov E.-W.), Bl-Verlag, Mannheim, 1981.-P.65-84.

109. Kramer D., Neugebauer G. Eine exakte stationare losung der Einstein-Maxwell-Gleichungen //Annal.Physik.- 1969.- V.24.- P.59-61.

110. Kinnersley W. Recent progress in exact solutions //In: General Relativity and Gravitation (Proceedings of GR7, Tel-Aviv 1974), Wiley, New York, London, 1975.- P.109-135.

111. Ландау Jl.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля.- М.: Наука, 1988.- 510 с.

112. Waylen Р.С. The general axially symmetric solution of Einstein's vacuum equations //Proc. Roy. Soc. London.- 1982.- V.A382.- P.467-470.

113. Гуцунасв Ц.И. Электромагнитное поле заряда вблизи особенности метрики Шварцшильда //Изв. ВУЗов СССР. Физика.- 1976.- №11.-С.145-148.

114. Gutsunaev Ts.I., Chernyaev V.A. and Elsgolts S.L. Stationary euclidon in the gravitational field //Gravitation & Cosmology.- 1999.- V. 5.- №4 (20).- P.335-337.