Некоторые стационарные осесимметричные модели, описываемые формализмом Эрнста тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Родченко, Егор Дмитриевич

• Родченко, Егор Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Родченко, Егор Дмитриевич

Введение

1 Основные уравнения и метод их решения

1.1 Уравнения Эйнштейна-Максвелла в стационарном осе-симметричном случае.

1.2 Формализм Эрнста.

1.3 Метод Сибгатуллина.

2 Расширенное 4-солитонное решение электровакуума

2.1 Вывод расширенного 4-солитонного электровакуумного решения

2.2 Экваториально-симметричные и антисимметричные поля Эйнштейна-Максвелла.

2.3 Обобщение метрики Бретон-Манько для двух вращающихся заряженных масс.

2.4 Модель двух вращающихся масс с произвольными электрическим и магнитным дипольными моментами.

3 Две асимптотически плоские модели. Вектор Пойнтинга

3.1 Модель двух противоположно вращающихся частиц Керра.

3.1.1 Предельный случай а = 0.

3.2 Образование черной дыры Керра из двух струнообразных источников НУТ

3.3 Вектор Пойнтинга в формализме Эрнста.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые стационарные осесимметричные модели, описываемые формализмом Эрнста»

Точные решения являются фундаментом общей теории относительности (ОТО). Они позволяют существенно продвигаться вперед в понимании физического смысла эйнштейновской теории, поскольку описываемые ими модели допускают возможность глубокого и всестороннего аналитического анализа с помощью хорошо разработанных математических методов. Ввиду крайней сложности самосогласованной системы уравнений, описывающих гравитационное и электромагнитное поля, точные решения обычно ищутся для определенных классов задач, обладающих симметриями. Случай осевой симметрии, вместе с предположением о стационарности пространства-времени, представляет несомненный физический интерес, поскольку включает в себя внешние поля хорошо известных астрофизических объектов, таких как черные дыры и нейтронные звезды (или их системы). До 1968 года поиск точных решений данного типа не носил систематического характера, и число найденных физически интересных метрик было сравнительно небольшим, хотя к тому времени уже и были известны все решения для одиночных черных дыр [89, 87, 83, 48, 81]. Только после выхода в свет двух работ Эрнста [28, 29], в которых уравнения Эйнштейна-Максвелла в стационарном осесимметричном случае были записаны в очень простом виде, началось серьезное изучение внутренних симметрий этих уравнений, что первоначально привело к отысканию простейших преобразований инвариантности [49], а в конечном счете - к созданию мощных методов генерирования точных решений.

Основоположником теоретико-группового подхода к получению точных решений является Киннерсли [50], и основные достижения этого подхода связаны с отысканием группы непрерывных преобразований симметрии для уравнения Эрнста, известных под названием преобразований Хоэнселарса-Киннерсли-Ксантопулоса (НКХ) [45], с помощью которых был построен ряд асимптотически плоских вакуумных метрик, не имеющих шварцшильдовского предела, а также рассмотрены некоторые частные задачи равновесия в двойных системах (см., например, [26]). Другое направление генерирования точных решений развивалось Белинским и Захаровым [2, 3] на математическом фундаменте обратной задачи теории рассеяния. Эта техника позволила, в частности, получить статическое ./У-солитонное вакуумное решение и особый класс стационарных электровакуумных суперэкстремальных решений [1]. Преобразования Бэклунда для уравнения Эрнста были найдены Харрисоном [41] и Нойгебауэром [77], а в работе [78] данная техника генерирования была распространена на уравнения Эйнштейна-Максвелла. Пожалуй, самым интересным результатом, полученным с помощью данной техники, является так называемое двойное решение Керра [54], которое описывает нелинейную суперпозицию двух черных дыр Керра, расположенных на оси симметрии. Под стать ему и решение Нойгебауэра-Майнеля для твердотельно вращающегося тонкого пылевого релятивистского диска, построенное в работах [79, 80]. Переформулировка метода Киннерсли на языке однородной задачи Римана-Гильберта была выполнена Хаузером и Эрнстом [42, 43], которые таким образом ввели в генерационные техники мощный аппарат теории функций комплексной переменной. Отметим, что эквивалентность различных подходов к генерированию точных решений была продемонстрирована в вакуумном случае Косгроувом [23, 24], а в случае электровакуума - Крамером [53]. Простые формулы, описывающие нелинейную суперпозицию решения Керра с произвольным статическим полем Вейля, были получены в работе [36], и с их помощью был построен целый ряд метрик, обладающих интересными физическими свойствами. Так, например, асимптотически плоские электровакуумные решения, имеющие шварцшильдовский предел, были сгенерированы в [6, 7, 25, 35, 37, 57], а в работах [22, 38] были построены двупараматрические стационарные вакуумные решения, также асимптотически плоские и переходящие в статическом случае в метрику Шварцшильда, но отличающиеся от метрики Керра. Стационарные обобщения чернодырных решений Шварцшильда, Керра и Керра-Ньюмена на случай произвольного набора внутренних или внешних массовых мультипольных моментов были получены в работах [17, 18, 56, 64].

Следует отметить, что в электровакуумном случае упомянутые выше методы позволяли генерировать из пространства Минковского только суперэкстремальные решения, и распространение этих методов на субэкстремальный случай, включающий в себя решения для черных дыр, долгое время считалось важной нерешенной задачей. Появление в 1984 году интегрального метода Сибгатуллина, творчески развившего подходы Киннерсли и Хаузера-Эрнста, дало выход из кризиса, связанного с электровакуумными полями, который переживали различные научные школы. Главной заслугой метода Сибгатуллина является то, что он основан на общем преобразовании симметрии уравнений Эрнста, и это позволяет переходить с его помощью от пространства Минковского к любому произвольному стационарному осесимметрич-ному электровакуумному решению уравнений Эйнштейна-Максвелла одним приемом, без необходимости применять нескольку раз одно и то же частное преобразование симметрии, как это имело место в других подходах; к тому же, решения получаются в аналитически расширенном виде, описывая как суперэкстремальные, так и субэкстремальные источники. Среди точных решений, построенных методом Сибгатуллина, можно отметить асимптотически плоские магнитные обобщения метрик Керра и Керра-Ныомена [58, 59], нелинейную суперпозицию двух произвольных источников Керра-Ньюмена [61], шестипарамет-ричекое электровакуумное солитонное решение, обладающее экваториальной симметрией [62], решение для внешнего поля нейтронной звезды [63]. Методом Сибгатуллина были также построены аналитически расширенные многосолитонные решения [68, 88], двойное решение Райсснера-Нордстрема [20, 60], решен ряд задач равновесия нескольких тел [21, 69, 70, 73]; этот метод лег в основу строгого подхода к сравнению точных и приближенных решений [71].

Нельзя не обратить внимания на то, что особое место среди решений, получаемых методом Сибгатуллина (равно как и другими методами), принадлежит экваториально-симметричным полям, поскольку описываемые ими модели имеют достаточно простой вид и могут характеризовать компактные астрофизические объекты. Анализ пространств-времен, обладающих такой дополнительной симметрией, был проведен, в терминах потенциалов Эрнста, в работах [76] (вакуумный случай) и [31] (случай электровакуума). В последней работе помимо экваториальной симметрии был подробно рассмотрен и случай так называемой "экваториальной антисимметрии", когда соответствующие решения также имеют относительно простой вид, а описывают противоположно вращающиеся источники. В настоящей диссертации различные аспекты экваториально-антисимметричных моделей получат дальнейшее развитие; в частности, будут получены условия на параметры многосолитонного решения, определяющие подкласс экваториально-антисимметричных пространств, а также построены в явном виде две новые метрики из этого подкласса, описывающие противоположно вращающиеся заряженные источники.

Важной составной частью изучения точных решений является анализ их физических характеристик. Зная вид потенциалов Эрнста, можно, например, установить мультипольную структуру решений вакуума и электровакуума, используя определения мультиполей Героча-Хансена [34, 39, 33] и Бейга-Симона [90]. В случае многокомпонентных моделей, мультипольный анализ поведения решений на бесконечности дает информацию только об их общих свойствах, а индивидуальные характеристики каждой из компонент конкретной модели, такие как масса, угловой момент или заряд, находятся локально, например с помощью интегралов Комара [52]. Физические эффекты в полях одиночных черных дыр хорошо изложены в известных монографиях [5, 12]; очевидно, что в осесимметричных конфигурациях нескольких черных дыр физический анализ моделей значительно усложняется. Прежде всего, трудности возникают уже на уровне построения желаемого точного решения, удовлетворяющего требованиям поставленной задачи; кроме того, даже построив решение, зачастую нужно еще найти его физическое представление, удобное для дальнейшего анализа, а также учесть целый ряд дополнительных моментов, не возникающих в случае одиночных черных дыр, таких как наличие равновесных конфигураций, взаимодействие источников и др. Наличие электромагнитного поля тоже может усложнять анализ физических свойств точных решений, что подчас приводит к необходимости независимой проверки уже опубликованных в литературе результатов. Хорошим подтверждением последнему служит сравнительно недавняя статья известных специалистов в области ОТО Эрреры с сотрудниками [44], в которой была сделана (неудачная) попытка вывода формулы для вектора Пойнтинга в рамках формализма Эрнста с целью ее использования при анализе стационарных потоков энергии в некоторых известных электровакуумных пространствах. То, что авторам работы [44] не удалось использовать комплексные потенциалы Эрнста для упрощения конечного выражения, наводит на мысль о возможных ошибках, вкравшимся в их вычисления. Учитывая важность вектора Пойнтинга для правильной интерпретации электровакуумных метрик, в данной диссертационной работе будет дан независимый вывод формул, определяющих этот вектор, что позволит, в частности, установить источник ошибки, допущенной в работе [44] - разный выбор знака электрической компоненты электромагнитного 4-потенциала в базовых соотношениях формализма Эрнста и при выводе формулы для вектора Пойнтинга. Учитывая, что в основополагающей работе [29] электрическая компонента была взята Эрнстом с противоположным общепринятому знаком, в диссертации будет проведена подробная ревизия формализма Эрнста, используя правильные знаки всех потенциалов и исходя прямо из системы уравнений Эйнштейна-Максвелла, а не из вариационного принципа, который применялся Эрнстом. Это в конечном счете позволит вывести простую формулу для вектора Пойнтинга, включающую только первые производные электромагнитного потенциала Эрнста. Полученная формула будет применена к двум точным решениям, опи- * сывающим внешнее поле заряженной намагниченной статической массы, чтобы подтвердить гипотезу Боннора о том, что эффект увлечения системы отсчета, имеющий место в моделях этого типа, объясняется стационарным потоком энергии в азимутальном направлении, который описывается соответствующей компонентой вектора Пойнтинга.

Помимо детальной ревизии формализма Эрнста и вывода на этой основе простой формулы для вектора Пойнтинга, другой важной целью настоящей диссертации является получение условий, определяющих подкласс экваториально-антисимметричных солитонных решений, построение полного набора метрических функций для новых точных решений, обладающих экваториальной антисимметрией, и решение задачи равновесия в этих моделях; получение физического представления для простейшего решения, описывающего две стационарно вращающиеся черные дыры; демонстрация возможности образования черной дыры Керра из двух струнообразных нутовских источников.

Диссертация состоит из трех глав, включающих в себя одиннадцать разделов. В первой главе проведена подробная оригинальная ревизия формализма Эрнста, а также изложен интегральный метод Сибгатуллина, позволяющий строить решения уравнений Эрнста с заданными физическими характеристиками. Во второй главе метод Сибгатуллина применяется к построению четырехсолитонного электровакуумного решения, являющегося основой для последующего рассмотрения конкретных бинарных моделей, и находятся условия, которым удовлетворяют данные на оси симметрии экваториально-симметричных и экваториально-антисимметричных подклассов мно-госолйтонного решения. Здесь же строятся две новые экваториально-антисимметричные метрики, и для них в аналитическом виде решается задача равновесия. В третьей главе сначала находится физическое представление простейшей метрики для двух стационарно-вращающихся черных дыр Керра, включая предельный случай экстремальных черных дыр, а затем строится двойное решение НУТ, с помощью которого демонстрируется возможность образования черной дыры Керра из двух струнообразных объектов. Последние два раздела этой главы посвящены выводу простой формулы для вектора Пойн-тинга в стационарных осесимметричных электровакуумных пространствах и ее применению к объяснению бонноровского эффекта увлечения системы отсчета заряженным массивным магнитным диполем.

Результаты исследований, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры квантовой статистики и теории поля МГУ им. М.В.Ломоносова, на 7-ой Мексиканской школе по гравитации и математической физике (Плайа дель Кармен, Мексика, 2006), Лондонском семинаре по относительности и космологии (Колледж королевы Марии, Англия, 2008), Испанской гравитационной конференции (Саламанка, Испания, 2008), минисимпозиуме "Нелинейные процессы: теория и приложения" (Толука, Мексика, 2009).

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Родченко, Егор Дмитриевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ниже формулируются основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Проведена детальная ревизия формализма Эрнста сведения стационарной аксиально-симметричной задачи электровакуума к двум дифференциальным уравнениям для пары комплексных потенциалов, исходя непосредственно из самосогласованной системы уравнений Эйнштейна-Максвелла и метрики Папапетру с использованием правильного знака для электрической компоненты электромагнитного 4-потенциала.

2. С помощью интегрального метода Сибгатуллина в явном виде построены две новые метрики, обладающие экваториальной антисимметрией и описывающие противоположно вращающиеся заряженные массивные источники. В общем случае многосолитонного решения получены условия на параметры, характризующие подкласс экваториально-антисимметричных метрик.

3. В аналитическом виде решена проблема равновесия для построенных пространств-времен. В случае обобщения метрики Бретон-Манько получено условие равновесия вида га2 + ^2 = д2 + 62, которое обобщает аналогичное условие равновесия в известных решениях Маджумдара-Папапетру и Перьеша-Израэля-Вильсона. В другом случае, описывающем две противоположно вращающиеся намагниченные массы, строго показано отсутствие равновесных состояний между компонентами.

4. Получено физическое представление решения для двух противоположно вращающихся черных дыр Керра и продемонстрирована справедливость массовой формулы Смарра для каждой из компонент. Построен предельный случай этого решения, описывающий конфигурацию двух экстремальных керровских источников, и показано, что равенство а2 = М2, имеющее место в случае изолированной экстремальной черной дыры Керра, для неизолированного экстремального керровского источника переходит в неравенство а2 > М2.

5. На основании точного решения, описывающего нелинейную суперпозицию двух источников НУТ, продемонстрирована возможность образования черной дыры Керра из пары струнообразных объектов.

6. Для случая стационарных осесимметричных пространств получена простая формула для вектора Пойнтинга, которая, благодаря применению формализма Эрнста, не содержит метрическую функцию ш. Эта формула включает только производные электромагнитного потенциала Эрнста Ф и является инвариантной относительно дуальных вращений Ф —> ехр(1о;)Ф, где а - произвольная действительная постоянная.

7. Полученная формула для вектора Пойнтинга с успехом применена к двум точным решениям, описывающим внешнее поле статической заряженной и намагниченной массы. Она позволила продемонстрировать в аналитической форме, что эффект Боннора увлечения системы отсчета заряженным магнитным диполем объясняется потоком энергии в азимутальном направлении, описываемым соответствующей компонентой вектора Пойнтинга.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Родченко, Егор Дмитриевич, 2010 год

1. Алексеев ГА. JV-солитонные решения уравнений Эйштейна-Максвелла // Письма в ЖЭТФ.- 1980.- Т.32 - С.301-303.

2. Белинский В.А., Захаров В.Е. Интегрирование уравнений Эйнштейна методом обратной задачи рассеяния и вычисление точных солитонных решений // ЖЭТФ,- 1978.- Т.75.- С.1953-1971.

3. Белинский В.А., Захаров В.Е. Стационарные гравитационные со-литоны с аксиальной симметрией // ЖЭТФ,- 1979 Т.77 - С.З-19.

4. Варзугин Г.Г. Сила взаимодействия вращающихся черных дыр, находящихся в равновесии // ТМФ,- 1998 Т.116 - С.367-378.

5. Гальцов Д.В. // Частицы и поля в окрестности черных дыр.- М.: Изд-во МГУ, 1986.- 288 с.

6. Гуцунаев Ц.И., Манько B.C. Электровакуумное решение уравнений ОТО, имеющее шварцшильдовский предел // ЖЭТФ-1989.-Т.95- С. 1537-1540.

7. Денисова Т.Е., Манько B.C., Хакимов Ш.А. Стационарное электровакуумное обобщение решения Шварцшильда, отличное отметрики Керра-Ньюмена // Письма в ЖЭТФ- 1991- Т.53-С.54-56.

8. Крамер Д., Штефани X., Херльт Э., Мак-Каллум М. // Точные решения уравнений Эйнштейна.- М.: Энергоиздат, 1982 416 с.

9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. // Теория поля М.: Наука, 1973-504 с.

10. Манько B.C., Родченко Е.Д., Руиз Э., Садовникова М.Б. Возникновение керровской черной дыры из двух струнообразных объектов НУТ // Вестник Моск. Университета, Физика.- 2009 №4-С.3-5.

11. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. // Гравитация. Т. 2 М.: Мир, 1977,- 525 с.

12. Новиков И.Д., Фролов В.П. // Физика черных дыр М.: Наука, 1986,- 328 с.

13. Сибгатуллин Н.Р. // Колебания и волны в сильных гравитационных и электромагнитных полях.- М.: Наука, 1984 352 с.

14. Bonnor W.B. Exact solutions of the Einstein-Maxwell equations // Z. Phys.- 1961.- V.161- P.439-444.

15. Bonnor W.B. An exact solution of the Einstein-Maxwell equations referring to a magnetic dipole // Z. Phys 1966 - V.190 - P.444-445.

16. Bonnor W.B. Dragging of inertial frames by a charged magnetic dipole // Phys. Lett. A.- 1991.- V.158 P.23-26.

17. Bretón N., Denisova T.E., Manko V.S. A Kerr black hole in the external gravitational field // Phys. Lett. A.- 1997.- V.230 P.7-11.

18. Bretón N., García A.A., Manko V.S., Denisova T.E. Arbitrarily deformed Kerr-Newman black hole in an external gravitational field // Phys. Rev. D 1998,- V.57.- P.3382-3388. •

19. Bretón N., Manko V.S. A binary system of 'antisymmetric' Kerr-Newman masses // Class. Quantum Grav.- 1995 V.12 - P.1969-1975.

20. Bretón N., Manko V.S., Aguilar-Sánchez J.A. On the equilibrium of charged masses in general relativity: the electrostatic case // Class. Quantum Grav.- 1998,- V.15.- P.3071-3083.

21. Bretón N., Manko V.S., Aguilar-Sánchez J.A. On the equilibrium of charged masses in general relativity: II. The stationary electrovacuum case // Class. Quantum Grav.- 1999.- V.16.- P.3725-3734.

22. Castejón-Amenedo J., MacCallum M.A.H., Manko V.S. On an axisymmetric solution of the vacuum Einstein equations for a stationary rotating mass // Class. Quantum Grav.- 1989.- V.6.-P.L211-L215.

23. Cosgrove C.M. Relationships between the group-theoretic and soliton-theoretic techniques for generating stationary axisymmetric gravitational solutions // J. Math. Phys.- 1980.- V.21- P.2417-2447.

24. Cosgrove C.M. Backlund transformations in the Hauser-Ernst formalism for stationary axisymmetric spacetimes //J. Math. Phys.1981,- V.22 P.2624-2639.

25. Denisova T.E., Manko V.S. Exact solution of the Einstein-Maxwell equations referring to a charged spinning mass // Class. Quantum Grav.- 1992.- V.9.- P.L57-L60.

26. Dietz W., Hoenselaers C. Stationary system of two masses kept apart by their gravitational spin-spin interaction // Phys. Rev. Lett.1982.- V.48 P.778-780.

27. Dietz W., Hoenselaers C. Two mass solutions of Einstein's vacuum equations: The double Kerr solution // Ann. Phys. (NY)- 1985-V.165 P.319-383.

28. Ernst F.J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem // Phys. Rev 1968.- V.167.- P.1175-1178.

29. Ernst F.J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem. II. // Phys. Rev.- 1968.- V.168- P.1145-1417.

30. Ernst F.J. Charged version of Tomimatsu-Sato spinning-mass field // Phys. Rev. D.- 1973.- V.7.- P.2520-2521.

31. Ernst F.J., Manko V.S., Ruiz E. Equatorial symmetry/antisymmetry of stationary axisymmetric electrovac spacetimes // Class. Quantum Grav.- 2006,- V.23.-P.4945-4952.

32. Ernst F.J., Manko V.S., Ruiz E. Equatorial symmetry/antisymmetry of stationary axisymmetric electrovac spacetimes: II // Class. Quantum Grav.- 2007.- V.24.-P.2193-2203.

33. Fodor D., Hoenselaers C., Perjes Z. Multipole moments of axisymmetric systems in relativity //J. Math. Phys 1989 - V.30-P.2252-2257.34. (GJeroch R. Multipole moments. II. Curved space //J. Math. Phys-1970,- V.ll.- P.2580-2588.

34. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. On the gravitational field of a mass possessing a magnetic dipole moment // Phys. Lett. A 1987-V.123 - P.215-216.

35. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. On a family of solutions of the EinsteinMaxwell equations // Gen. Relativ. Grav- 1988- V.20 -P.327-335.

36. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. New static solutions of the EinsteinMaxwell equations // Phys. Lett. A.- 1988 V.132.- P.85-87.

37. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. On a stationary generalization of the Schwarzschild solution // Class. Quantum Grav 1989 - V.6.-P.L137-L139.

38. Hansen R.O. Multipole moments of stationary space-times //J. Math. Phys.- 1974.- V.15 P.46-52.

39. Harrison B.K. New solutions from the Einstein-Maxwell equations from old // J. Math. Phys.- 1968.- V.9.- P.1744-1752.

40. Harrison B.K. Backlund transformation for the Ernst equation of general relativity // Phys. Rev. Lett.- 1978.- V.41.- P. 1197-1200.

41. Hauser I., Ernst F.J. Integral equation method for effecting Kinnersley-Chitre transformations // Phys. Rev. D- 1979.- V.20-P.362-369.

42. Hauser I., Ernst F.J. Integral equation method for effecting Kinnersley-Chitre transformations. II // Phys. Rev. D- 1979-V.20 P. 1783-1790.

43. Herrera L., González G.A., Pachón L.A., Rueda J.A. Frame dragging, vorticity and electromagnetic fields in axially symmetric stationary spacetimes // Class. Quantum Grav.- 2006.- V.23 P.2395-2408.

44. Hoenselaers C., Kinnersley W., Xanthopoulos B.C. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell equations. VI. Transformations which generate asymptotically flat spacetimes with arbitrary multipole moments // J. Math. Phys.- 1979.- V.20 P.2530-2536.

45. Israel W. Line sources in general relativity // Phys. Rev. D.- 1977-V.15- P.935-941.

46. Israel W., Wilson G.A. A class of stationary electromagnetic vacuum fields // J. Math. Phys.- 1972.- V.13 P.865-867.

47. Kerr R.P. Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics // Phys. Rev. Lett.- 1963 V.ll-P.237-238.

48. Kinnersley W. Generation of stationary Einstein-Maxwell fields // J. Math. Phys.- 1973.- V.14 P.651-653.

49. Kinnersley W. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell field equations. I. // J. Math. Phys.- 1977,- V.18.- P.1529-1537.

50. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the stationary EinsteinMaxwell field equations. IV. Transformations which preserve asymptotic flatness // J. Math. Phys.- 1978- V.19 P.2037-2042.

51. Komar A. Covariant conservation laws in general relativity // Phys. Rev.- 1959.- V.113 P.934-936.

52. Kramer D. Equivalence of various pseudopotential approaches for Einstein-Maxwell fields // J. Phys., A: Math. Gen.- 1982.- V.15-P.2201-2207.

53. Kramer D., Neugebauer G. The superposition of two Kerr solutions // Phys. Lett. A.- 1980.- V.75 P.259-261.

54. Majumdar S.D. A class of exact solutions of Einstein's field equations // Phys. Rev.- 1947.- V.72.- P.390-398.

55. Manko V.S. New exact solution for the exterior field of a spinning mass // Phys. Rev. Lett.- 1990.- V.64 P. 1625-1627.

56. Manko V.S. New axially symmetric solutions of the EinsteinMaxwell equations // Gen. Relativ. Grav.- 1990.- V.22.- P.799-809.

57. Manko V.S. On the simplest magnetic generalization of the Kerr-Newman metric // Phys. Lett. A.- 1993,- V.181- P.349-352.

58. Manko V.S. New generalization of the Kerr metric referring to a magnetized spinning mass // Class. Quantum Grav.- 1993.- V. 10-P.L239-L242.

59. Manko V.S. Double-Reissner-Nordstrom solution and the interaction force between two spherical charged masses in general relativity // Phys. Rev. D 2007.- V.76- P.124032-1-6.

60. Manko V.S., Martin J., Ruiz E. Metric of two arbitrary Kerr-Newman sources located on the symmetry axis //J. Math. Phys.-1994 V.35 - P.6644-6657.

61. Manko V.S., Martin J., Ruiz E. Six-parameter solution of the Einstein-Maxwell equations possessing equatorial symmetry // J. Math. Phys.- 1995.- V.36.- P.3063-3073.

62. Manko V.S., Mielke E.W., Sanabria-Gomez J.D. Exact solution for the exterior field of a rotating neutron star // Phys. Rev. D.- 2000.-V.61.- P.08501-1-5(R).

63. Manko V.S., Novikov I.D. Generalizations of the Kerr and Kerr-Newman metrics possessing an arbitrary set of mass-multipole moments // Class. Quantum Grav 1992 - V.9.- P.2477-2487.

64. Manko V.S., Rodchenko E.D., Ruiz E., Sadovnikov B.I. Exact solutions for a system of two counter-rotating black holes // Phys. Rev. D.- 2008.- V.78.- P.124014-1-4.

65. Manko V.S., Rodchenko E.D., Ruiz E., Sadovnikov B.I. On the simplest binary system of rotating black holes // AIP Conf. Proc-2009 V.1122.- P.332-335.

66. Manko V.S., Rodchenko E.D., Sadovnikov B.I., Sod-Hoffs J. The Poynting vector of axistationary electrovac spacetimes reexamined // Class. Quantum Grav.- 2006.- V.23.- P.5289-5395.

67. Manko V.S., Ruiz E. Extended multi-soliton solutions of the Einstein field equations // Class. Quantum Grav.- 1998.- V.15 P.2007-2016.

68. Manko V.S., Ruiz E. Exact solution of the double-Kerr equilibrium problem // Class. Quantum Grav.- 2001.- V.18 P.L11-L15.

69. Manko V.S., Ruiz E. A remark on the mass-angular-momentum relation in the double-Kerr solution // Class. Quantum Grav-2002,- V.19 P.3077-3081.

70. Manko V.S., Ruiz E. How can exact and approximate solutions of Einstein's field equations be compared? // Class. Quantum Grav-2004.- V.21- P.5849-5869.

71. Manko V.S., Ruiz E. Physical interpretation of the NUT family of solutions // Class. Quantum Grav.- 2005 V.22- P.3555-3560.

72. Manko V.S., Ruiz E., Manko O.V. Is equilibrium of aligned Kerr black holes possible? // Phys. Rev. Lett.- 2000.- V.85.- P.5504-5506.

73. Manko V.S., Sanabria-Gomez J.D., Manko O.V. Nine-parameter electrovac metric involving rational functions // Phys. Rev. D-2000.- V.62- P.044048-1-10.

74. Manko V.S., Sibgatullin N.R. Construction of exact solutions of the Einstein-Maxwell equations corresponding to a given behaviour of the Ernst potentials on the symmetry axis // Class. Quantum Grav-1993.- V.10- P. 1383-1404.

75. Meinel R., Neugebauer G. Asymptotically flat solutions to the Ernst equation with reflection symmetry // Class. Quantum Grav.- 1995-V.12- P.2045-2050.

76. Neugebauer G. Backlund transformations of axially symmetric stationary gravitational fields //J. Phys. A: Math. Gen.- 1979-V.12 P.L67-L70.

77. Neugebauer G., Kramer D. Einstein-Maxwell solitons //J. Phys. A: Math. Gen.- 1983,- V.16- P. 1927-1936.

78. Neugebauer G., Meinel R. The Einsteinian gravitational field of the rigidly rotating disk of dust // Astrophys. J 1993 - V.414 - P.L97-L99.

79. Neugebauer G., Meinel R. General relativistic gravitational field of a rigidly rotating disk of dust: axis potential, disk metric, and surface mass density // Phys. Rev. Lett.- 1994 V.73.- P.2166-2168.

80. Newman E.T., Couch E., Chinnapared K., Exton A., Prakash A., Torrence R. Metric of a rotating charged mass //J. Math. Phys.-1965.- V.6.- P.918-919.

81. Newman E.T., Tamburino L., Unti T. Empty-space generalization of the Schwarzschild metric // J. Math. Phys 1963.- V.4.- P.915-923.

82. Nordstrom G. On the energy of the gravitational field in Einstein's theory // Proc. Kon. Ned. Akad. Wet.- 1918.- V.20.- P.1238-1245.

83. Papapetrou A. A static solution of the equations of the gravitational field for an arbitrary charge distribution // Proc. Roy. Irish Acad. A.- 1947- V.51- P. 191-204.

84. Papapetrou A. Bine rotationssymetrische Losung in der Allgemeinen Relativitätstheorie // Ann. Physik.- 1953,- V.12- P.309-315.

85. Perjes Z. Solutions of the coupled Einstein-Maxwell equations representing the fields of spinning sources // Phys. Rev. Lett.- 1971-V.27.- P.1668-1670.

86. Reissner H. Uber die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie // Ann. Physik.- 1916,- V.50.- P.106-120.

87. Ruiz E., Manko V.S., Martin J. Extended N-soliton solution of the Einstein-Maxwell equations // Phys. Rev. D.- 1995-V.51- P.4192-4197.

88. Schwarzschild K. Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss.-1916,- V.7.- P. 189-196.

89. Simon W., Beig R. The multipole structure of stationary space-times // J. Math. Phys.- 1983. V.24 P. 1163-1171.

90. Smarr L. Mass formula for Kerr black holes // Phys. Rev. Lett.-1973.- V.30 P.71-73.

91. Sod-Hoffs J., Rodchenko E.D. On the properties of the Ernst-Manko—Ruiz equatorially antisymmetric solutions / / Class. Quantum Grav.- 2007.- V.24.- P.4617-4629.

92. Tomimatsu A. On gravitational mass and angular momentum of two black holes in equilibrium // Prog. Theor. Phys.- 1983 V.70-P. 385-393.

93. Tomimatsu A., Kihara M. Conditions for regularity on the symmetry axis in a superposition of two Kerr-NUT solutions // Prog. Theor. Phys.- 1982.- V.67 P. 1406-1414.

94. Tomimatsu A., Sato H. New exact solution for the gravitational field of a spinning mass // Phys. Rev. Lett 1972,- V.29 - P.1344-1345.

95. Wolfram S. // The Mathematica Book (4th Edn.)- Cambridge: Wolfram Media, Cambridge Univ. Press, 1999.

96. Yamazaki M. On the Kinnersley-Chitre spinning mass field // Prog. Theor. Phys.- 1980,- V.63 P.1950-1956.