Многофотонные процессы в атомах при частотах, превышающих потенциал ионизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Мармо, Сергей Иванович

• Мармо, Сергей Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мармо, Сергей Иванович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I, ОБОБЩЕННЫЕ ШТУРМОВСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА

§ 1.1. О вкладе промежуточных состояний дискретного спектра атомов в составные матричные элементы теории возмущений.

§ 1.2. Обобщенное штурмовское разложение кулоновской функции Грина.

§ 1.3. Обобщенное штурмовское разложение Функции Грина валентного электрона в методе модельного потенциала.

§ 1.4. Обобщенное штурмовское разложение релятивисткой кулоновской функции Грина.

Глава 2. СВЯЗАННО-СВЯЗАННЫЕ ПЕРЕКОДЫ В АТОМАХ.

§ 2.1. Поляризуемость высоковозбужденных атомных состояний.

§ 2.2. Динамические гиперполяризуемости атомов.

§ 2.3. Генерация третьей гармоники в атомарном газе.

§ 2.4. Поправки высших порядков к энергии атома в электрическом и магнитных полях.

Глава 3. СВЯЗАННО-СВОБОДНЫЕ ПЕРЕХОДЫ ЭЛЕКТРОНА В АТОМАХ.

§ 3.1. Надпороговая двухфотонная ионизация атома во до-. рода.

§ 3.2. Поправки к фотоэффекту в сильном световом поле

§ 3.3. Комптон-эффект на связанном электроне.

Глава 4. ДВУХФОТОННЫЕ СВОБОДНО-СВОБОДНЫЕ ПЕРЕХОДЫ.

§4.1. Двухфотонные процессы при рассеянии на короткодействующем потенциале.

§ 4.2. Двойное тормозное излучение при рассеянии в кулоновском поле.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многофотонные процессы в атомах при частотах, превышающих потенциал ионизации»

Изучение однофотонных процессов, обусловленных взаимодействием атома с электромагнитным полем - фотоэффекта, поглощения и излучения кванта, тормозного излучения - было, как известно, одной из первых задач квантовой механики. В те же годы были рассмотрены и некоторые двухфотонные процессы, например, рассеяние света на атоме [I] - эффект, появляющийся лишь во втором порядке теории возмущений, и двухфотонный распад [2] , преобладающий над однофотонным, если последний зацрещен правилами отбора. Однако в целом многофотонные процессы (ввиду того, что их вероятности, нелинейным образом зависящие от интенсивности поля при использовании обычных оптических источников, являются крайне малыми) считались экзотическими и систематического исследования их не проводились. С созданием оптических и инфракрасных квантовых генераторов положение изменилось. Громадная интенсивность пучков фотонов, получаемых в лазере, сделала возможным не только наблюдение нелинейных процессов, таких как многофотонная ионизация, генерация гармоник, вынужденное комбинационное рассеяние, самофокусировка и др., но и практическое их использование. Это повлекло бурное развитие области физики, изучающей многофотонное взаимодействие вещества с полем электромагнитной волны.

Среди многочисленных возникающих в ней задач особый интерес представляет исследование действия поля на простейшие квантовые системы - изолированные атомы, закономерности которого проявляются в наиболее "чистом" виде. Вместе с тем, атомы являются и наиболее удобными объектами для экспериментального и теоретического исследования явлений, происходящих в световых полях.

Поскольку точно учесть действие электромагнитной волны на электрон, находящийся в поле "некоторого реалистического потенциала, невозможно, в теоретических расчетах обычно используется теория возмущений по взаимодействию с полем волны« Параметром малости при этом является отношение напряженности внешнего поля Р к внутриатомной Га , так как в большинстве практически интересных случаев выполняется неравенство Р/1 . Следует подчеркнуть, что данное приближение в наибольшей степени соответствует специфике задачи, так как позволяет точно учесть влияние атомного потенциала на электрон. Многочисленные эксперименты [з] и расчеты [4] показывают, что от структуры конкретного атома существенным образом зависят все параметры взаимодействия с полем. Отметим также, что если в постоянном поле ряд теории возмущений для сдвига уровней является асимптотическим, а ширина уровня неаналитична по Р при Р^О , то в монохроматическом поле, как показано в [5, б] , ряды теории возмущений для сдвига и ширины уровней имеют конечный радиус сходимости по амплитуде Р , зависящий от частоты и убывающий при 6)--О как сд2/1, так что использование теории возмущений в достаточно слабом поле является вполне оправданным.

При теоретическом исследовании многофотонных процессов возникают две основные проблемы. Первая состоит в получении общих формул нестационарной теории возмущений. Использование ее наиболее распространенного варианта, предложенного Дираком, в высших порядках сопряжено со значительными сложностями, связанными в частности, с необходимостью учета вклада в ширину эффектов сдвига в более низких порядках и наоборот. В связи с этим был предложен [7-8] ряд иных вариантов теории возмущений, приспособленных для расчета нестационарных поправок высших порядков. Их отличие друг от друга заключается в технических приемах, используемых для правильного учета нормировочных и секулярных членов.

В случае периодической зависимости напряженности внешнего поля от времени наиболее целесообразно использовать формализм квазиэнергетических состояний (КЭС) и квазистационарных (распадающихся) КЭС и теорию возмущений для них [-9,6]. При таком подходе положение и ширина уровней определяются единым образом как г вещественная и мнимая часть комплексной квазиэнергии причем не возникает упомянутых выше сложностей с выделением се-кулярных и нормировочных членов. (В настоящей диссертации формализм КЭС использован при рассмотрении смешанного эффекта Штар-ка и Зеемана в §2.4).

Вторая проблема состоит в развитии математического аппарата, позволяющего вычислять составные матричные элементы теории возмущений. у <<( IV!"м>< IV1П«-а>.»< па |VI Г)1 X VII > п^ ( ^-Г * ^ « ) - - £ " * (В.1) А здесь V - оператор взаимодействия электрона с полем, 11 >, I / > - начальное и конечное состояние с энергией , £ , сумма распространяется на все промежуточные состояния как дискретного, так и непрерывного спектра.

Наиболее удобным, а в высоких порядках единственным способом расчета М является использование для суммирования по виртуальным состояниям функции Грина оптического электрона

Еп-Е (В.2) аналитическое выражение для которой (обычно не замкнутое, а в виде ряда или интеграла) должно быть найдено из дифференциального уравнения.

Для систем с центрально-симметричным потенциалом мос жет быть разложена в ряд по сферическим функциям т=-£ и где - (£; 4,4') - радиальная часть функции Грина, уравнение для которой имеет вид

В. 4) и (г) -атомный потенциал.

Это разложение оказывается особенно полезным, если в начальном или конечном состоянии электрон имеет определенный ор-битпльный момент, а для оператора V можно использовать мульти-польное разложение, оставив в нем небольшое число первых членов. Тогда в сумме (В.З), согласно правилам отбора, остается лишь несколько слагаемых. Интегрирование по угловым переменным в (В. I) легко выполняется, и вся задача сводится к вычислению радиальной части матричных элементов: мГ^^^-Ме^^ • (В.5)

Существуют различные способы их расчета. Использование спектрального разложения для ^ неэффективно из-за необходимости проведения численного интегрирования по состояниям непрерывного спектра и медленной сходимости суммы по дискретному спектру. В §1.1 показано, что приближения, связанные с учетом в лишь состояний дискретного спектра, являются некорректными, т.к. приводят для (В.5) при Л/ > 3 к расходящемуся результату. Это обстоятельство,впервые замеченное авторами [10], связано с не экспоненциальным поведением величины < С > щ)И # чл

Вычисление с помощью численного интегрирования цепочки неоднородных дифференциальных уравнений [II, 12] ограничено случаем нерелятивистской кулоновской задачи и является достаточно сложным в техническом отношении.

Наиболее эффективным методом расчета многофотонных переходов электрона в кулоновеком поле и (7. оказалось использование для ^ предложенного Хостлером [13] разложения в ряд по полиномам Лагерра I* п(Х)£п(Х') , л ц у7

В.6)

П - О где t -Ve i

-Ч» X

S)

Этот результат может быть получен разложением кулоновской функции Грина (КФГ) ^ в ряд по собственным функциям уравнения Штурма-Лиувилля, роль спектрального параметра в котором играет множитель перед потенциалом, и носит название штурмовского разложения. Запись ^ в виде ряда факторизованных по переменным 7 и *z' произведений функций Штурма £п при вычислении матричных элементов теории возмущений М^ позволяет выполнить радиальные интегрирования в аналитическом виде и представить результат в виде рядов гипергеометрических функций.

Если в (В.5) E¡< 0 , а | l> и (или) I прийадлежат дискретному спектру, то эти ряды быстро сходятся ( как '

Сам штурмовский ряд (В. 6) сходится при Е< О и 0 как П^2 Если же энергии Ej переходят в область непрерывного спектра (случай высоких частот Е. = >0 ), то ряды для матричного элемента М^ ( -ряды) становятся расходящимися.

41 к

Штурмовское разложение при этом непосредственно может быть применено лишь в тех исключительных случаях, когда оно позволяет получить результат в аналитическом виде, после чего он может быть продолжен в область £ >0 .

В области Е>0 расходится и сам ряд для функции Грина. В [14] показано, что в этом случае спектр уравнения на функции

Штурма становится непрерывным и ряд (В. 5) заменяется интегралом. л/1 сы)

В то же время матричные элементы М как функции энергии Е4,Ег,., , имеют конечное число особых точек типа точек ветвления и ряды, получаемые из (В.5) с использованием разложения (В.6) могут быть аналитически продолжены в область непрерывного спектра. В работах [15,]^ были предложены различные методы численного продолжения таких рядов, сводящиеся к перестройке исходного ряда. При этом оказалось, что убывание членов перестроенного ряда достигается за счет взаимной компенсации растущих членов исходного ряда, что существенно осложняет проведение вычислений из-за возникающей потери точности.

Вопросы о возможности теоретического расчета сечений многофотонных процессов и атомных восприимчивостей при высоких частотах электромагнитного поля стали актуальными в связи с проведением в последние годы экспериментов по надпороговой ионизации атомов [17,18] , использованием газовых сред для генерации излучения в ультрафиолетовом и мягком рентгеновском диапазонах [19,20] а также с исследованием свойств возбужденных атомных уровней методами лазерной спектроскопии '[21] .

Целью настоящей диссертации является развитие эффективного метода расчета надпороговых процессов и исследование наиболее важных из них - изменения спектра связанных состояний, многофотонных переходов электрона в контиуум, излучения световых квантов при рассеянии- в условиях, когда энергия кванта внешнего поля превосходит энергию электрона в атоме. При этом мы будем рассматривать одноэлектронный атом, либо ограничиваться одно электронным приближением для сложных атомов.

В первой главе излагается новый метод расчета надпороговых процессов, предложенный в работах [22]. В §1.2 получено представление кулоновской функции Грина (£ ), позволяющее вычислять матричные элементы как при положительных, так и при отрицательных энергиях в (В.5). Техника расчетов с ним вполне аналогична : технике расчетов с хостлеровской функцией Грина ^ . Наиболее трудоемкая часть вычислений - интегрирование по радиальным переменным - выполняется аналитически, затем проводится численное суммирование полученного ряда. Исследование асимптотики членов получающегося ряда показывает, что существует область значений входящего в новое представление ^ свободного параметра о^ , обеспечивающих его сходимость. Предложен алгоритм выбора оптимальных значений о^ . При отрицательных энергиях Е; в (В. 5) м си) новое представление позволяет получить для М^ ряд, сходящийся более быстро, чем щтурмовский. В §1.3 аналогичные результаты получены для функции Грина валентного электрона в методе модельного потенциала Фьюса, а в §1.4 для релятивистской кулоновской функции Грина.

Во второй и третьей главах развитый метод применяется для конкретных расчетов.

Во второй главе рассмотрены связанно-связанные переходы.

Исследовано изменение спектра атома в лазерном поле. В §2.1 проведен расчет поляризуемоетей высоколежащих уровней. Поскольку при экспериментальном наблюдении нерезонансных процессов используются поля большой напряженности (Р^ПГ3 - от внутриатомного), существенными могут стать поправки высших порядков по Р к результатам первого неисчезавдего приближения теории возмущений. В §2.2 приведены результаты количественных расчетов п Ч сдвига и уширения уровней с учетом членов ^ г . Описывающие их динамические гиперполяризуемости (^ ) имеют и самостоятельный интерес. В частности, они определяют зависящую от интенсивности часть показателя преломяешгя атомарного газа, а мнимая часть Гуп ¿(п ( ^ ) цри и) >|Ец| дает линейные по интенсивности поправки к сечению обычной фотоионизации.

В §2.3 рассчитаны коэффициенты генерации третьей гармоники (-ЗсО; сО, сО, и) ) „ наиболее эффективного процесса преобразования частоты в газовой среде.

В §2.4 исследованы "комбинированные" гиперполяризуемости, описывающие эффект одновременного воздействия на атом постоянного магнитного поля и поля световой волны (или постоянного электрического поля).

В третьей главе рассмотрены некоторые возможные каналы мно< гофотонных переходов из связанного состояния в континуум. Кроме самостоятельного интереса, внимание к ионизации объясняется тем, что она является важным конкурирующим цроцессом во многих задачах взаимодействия атома с полем, ограничивает предельные интенсивности световых пучков в среде и возможность наблюдения нелинейно-оптических эффектов в атомарных газах в достаточно сильных полях.

В §3.1 подробно исследован процесс надпороговой двухфотон

I I ной ионизации, выяснена точность приближений, использующихся для его описания.

В §3.2 получены численные значения поправки к классическому фотоэффекту в сильном световом поле, роль которой до сих пор выяснена не была. Для водородного : атома определен вклад в нее прямой двухфотонной ионизации и переизлучения фотонов в процессе фотоэффекта.

В §3.3 получено аналитическое выражение и численные значения сечения рассеяния на связанном электроне, сопровождающегося переходом последнего в континуум.

Четвертая, заключительная глава посвящена рассмотрению еще одного возможного типа переходов электрона в нецрерывном спектре-свободно- свободных переходов,сопровождающихся излучением и поглощением фотонов. Процессы такого рода играют важную роль в электромагнитных явлениях на ускорителях, в физике плазмы, а также в астрофизике.

В §4.1 в первом неисчезающем порядке по полю волны получены сечения двухфотонных процессов при рассеянии электрона в поле 8 - потенциала. Посредством точного учета эффектов запаздывания во взаимодействии частицы с волной выяснено условие применимости дипольного приближения в задаче рассеяния.

В §4.2 исследовано вынужденное двойное тормозное излучение, сопровождающее рассеяние электрона на ядре. Получено аналитическое выражение амплитуды процесса, в виде однократного интеграла от гипергеометрической функции Р . Рассмотрены различные д 1 предельные случаи. Проведено сравнение полученных результатов с известной формулой Бункина и Федорова.

В Приложение вынесена часть выкладок и результатов, имеющих математический характер.

Всюду в диссерташш, если не оговорено отдельно, используется атомная система единил е =1я =лг = I. Параграфы и формулы нумеруются по главам (первая пифра - номер главы).

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Мармо, Сергей Иванович

Основные результаты, полученные в диссертации, состоят в следующем:

1. Предложено новое разложение радиальной кулоновской функции Грина, применимое для расчетов характеристик надпорого-вых процессов. Матричные элементы электромагнитных переходов с его помощью могут быть представлены в виде рядов гипергеометрических функций, сходящихся как при отрицательных, так и при положительных энергиях функций Грина. Построена редуцированная функция Грина.

Аналогичные результаты получены для функции Грина валентного электрона в методе модельного потенциала и для релятивистской кулоновской функции Грина.

2. Выяснен вклад виртуальных состояний сплошного спектра в составные матричные элементы N - го порядка в поле с кулоновской асимптотикой. Показано, что учет в суммах по промежуточным состояниям лишь состояний дискретного спектра приводит к расходящимся значением матричных элементов при N >3 ,

3. Проведен расчет дисперсионной зависимости поляризуемо-стей высоковозбужденных состояний ( с ) водородного атома. Показано, что квазиклассическая формула Делоне и Крайнова правильно описывает качественное поведение о^^СсО) .

4. С использованием результатов п.1 исследованы процессы четвертого порядка во взаимодействии атомов с электромагнитным полем: а) проведены расчеты гиперполяризуемостей основного и первых возбужденных состояний водорода и щелочных атомов в широком интервале частот; б) получены численные значения комбинированных гиперполяризуемостей, обусловленных одновременным действием на атом электрического и магнитного полей; в) рассчитаны нелинейные восприимчивости, соответствующие процессу генерации третьей гармоники на атомах.

5. Исследованы различные каналы ионизации водородного атома: а) проведен подробный численный расчет сечений надпорого-вой двухфотонной ионизации. Сравнением с полуклассической формулой Берсона показано, что последняя с хорошей точностью ( > 90$) передает правильную зависимость сечения от частоты и номера уровня. Выяснен вопрос о роли каскадных процессов. Показано, что они доминируют, если свойства начального и конечного состояния близки к классическим; б) найдена линейная по интенсивности волны поправка к сечению классического фотоэффекта, определен вклад в нее двухфо-тонной ионизации и процессов с переизлучением фотонов; в) исследован процесс комптоновского рассеяния на электроне, связанном кулоновским или £ - потенциалом.

6. Рассмотрен процесс ионизации атома, находящегося в переменном электрическом и постоянном магнитном поле. Локализующее действие магнитного поля приводит к тому, что вероятность ионизации водородного атома уменьшается по сравнению с вероятностью обычного фотоэффекта. В щелочных атомах поправка, обусловленная действием магнитного поля, может быть положительной в области куперовского минимума ионизации.

7. Получены аналитические выражения сечений двойного тормозного излучения, сопровождающего рассеяние частицы на куло-новском и 8 - потенциале. Рассмотрены предельные значения частот и импульсов. Проведено сравнение с обычно используемым борновским приближением.

8. Найдены асимптотические выражения функцийС, ¿) и с,с'/ 2,2') при больших значениях параметра ё Показано, что справочное значение асимптотики является неверным.

В заключение выражаю глубокую благодарность Николаю Леонидовичу Манакову за высокий уровень научного руководства и постоянное внимание и Александру Григорьевичу Файнштейну за всестороннюю и постоянную помощь в работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации проведено количественное рассмотрение ряда многофотонных процессов в "непрерывном спектре", т.е. таких процессов, в которых непрерывному спектру принадлежит энергия начального, конечного или промежуточных состояний атомного электрона. При этом исследование двухфотонных свободно-свободных переходов оказалось возможным провести аналитически, а для количественного расчета связанно-связанных и связанно-свободных переходов потребовалось развить специальную технику расчетов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мармо, Сергей Иванович, 1985 год

1. tttameis H., HeLôenêeig W. Sireuunq o£cM-yuanien auf den Momen. - . Pßiys., {925,1. В.34, IMs. 681-68?.

2. Goeppeii -jМауеъ M. КБе'г tiemeniaïakiç. mii zwei Quaniai'tpiunoen. Л/7/r öf. Phyb., i9öi, B.9, S.273-279.

3. Делоне H.Б., Крайнов В.П. Атом в сильном световом поле.-М.: Атомиздат, 1978,- 288 с.

4. Рапопорт Л.П., Зон Б.А., Манаков Н.Л. Теория многофотонных процессов в атомах. М.: Атомиздат, 1978. - 184 с.

5. Манаков Н.Л., Файнштейн А.Г.Квазистационарные квазиэнергетические состояния и сходимость рядов теории возмущений в монохроматическом поле. ТМФ, 1981, т.48, ЖЗ, с.385-395.

6. Манаков Н.Л. Рапопорт Л.П., Файнштейн А.Г. Квазистационарные квазиэнергетические состояния. Изв. АН СССР:сер. физич., 1981, т.45, Ш, с.2401-2419.

7. Sambe И. Steady sia4e and quaôiene'zgLeô of. Q c^aanium mechanical буб4ет ùn a obcilLo-hinq {ild.-Phys.ßev.A,'l973,V.6, /V-З, p. 22032219.

8. Мпоиъ £., &a$üan й., Maçuei A. Sdimufaled wtdíaíi-v-e соггесЛ1опъ in hydioqe>n tn the pieiesice of a Sinonq taàe* field. Phys . Rev. А, 198Ъ,1. V. 27, №2, p. 977-995.

9. Лутаг M., Сгапсе M. Two phoion ionisation of aiomic hydi4.oqen in ihe presence of one phoion ionibalion.-lPhys. Q ,1%0,У.1Ъ,М, p.LZ2>7 L292.

10. Gonüei Y., Tiahin M. MuOiphcAon Qê>ào<iêûonsabove, ihe ionisation threshold. -J.Pfiys.В, Í9&0, V.l?>fH°-7, p. 43Ô1 -Í367.

11. ИоуНег L. Coulomb G-zeen funckon and ihe

12. Fuiiy appioxLmaUon. O.Moíh. PAys., IQS4N5, Ñ-3, p• 59Î-6U.

13. Христенко C.B. Штурмовские разложения функции Грина для простейших систем. ТМФ, 1975, т.22, №1, с.31-45.15. \¿ta%s¡etd S.,MQquei A. Pode-àiuimcon apioach io muUipboion iom¿>QÍior\ ¿n kydioqenBùke aiomà- Phi¿6. Lett. A, ¿980, V. 79, /V-°i, p. Ч0-Ц2)

14. P ade appioxLma lion 6 Qnc( muUip^o^on tonino lion o\ Momie hydïogen.-lPhys.e>,i9Ô0,V.iZ,№tè)p.L553-L556.

15. ЛуоЖт P., Càmeni M., РсхЬъе FРеШе Mutlùpboicn ùonisaiion Ш-vvlvinq jmuUipb&bri сoniirwium- continuum {ranbUion'b. С/. P-hy.s. ß, i98i,V.M,Hii6, p. L49i-L49S.

16. Hiteà R.B., Haiiil S.E. OpUcat ihfad-haimcnicqenexaiion Cn alkali meÀal irapoi*.- /£*££ 3. Qucmi • &£ek4rvn.t d975, V. QE -3, p. Ч70-Ш.

17. J2èinijes Ö., Che C.Y., bckaidi P.C., ttaianqeêen Al.fv /Inckeurs 2. A., SevwMi fiarmomc сопу-гъ-Моп o( mode EoaÂecf pu£ôe6 io SB.Onm - Дрр£. PAys. XeU., ¿977, V. 30, №9, p. ï&O-HÔZ.

18. Летохов B.C., Чеботаев В.П. Принципы нелинейной лазерной спектроскопии.- М.: Наука, 1975. 279 с.

19. ВМ И. GLuanMoiiire. Итогу çj. ibe tivo-phoion ioniwiion р/ ihe alkali ottom-b.- Phys.1966,VM9,p.25-32. ; Theoiy of tiee-pboion

20. ШыЖоп 4 ihe Mali aiom-brPbys.Rev.ßölvM^l.p.zm

21. Mdiiis S.E\ Geneictiion of vacuum uli*iQ{iole4 ond àoli Х- %<щ iQdCctüon utinq fuqh - otde г nonlùneût optical polotiLsabiUefas. — Phys . Rat/.LeM., V. Ы, N^6, p. ЪШ-ЪЦЦ.

22. Richen, и. Thiid-oiciei buscepMcMy o{ a&kati melat v&pois. IEEE O.Quan4. MeUzon, 1945,

23. Альтшуллер Г.Б., Дульнева Е.Г., Крылов К.И., Митев В.IL , Павлов Л.И., Стаменов К.В., Храмов В.Ю. Расчет нелинейной восприимчивости паров металлов. ОС, 1983, т.54, №3, с.408-414.

24. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. -М: Наука, 1974, т.1,2-296 е., 286 с.

25. Справочник по специальным функциям. Под ред. Абрамовича М. и Стиган И. М.: Наука, 1979. - 832 с.

26. Saimons New- modlet po4en4iai joi рьеио!оpol&nlial caleufakonb.-З. Cbem. Phus>, 1971, V. 55, №6, p. 756-769.

27. Горшков В.Г. 0 кулоновской функции Грина.- ЖЭТФ, 1967, т.47, Ш, с.352-359.

28. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1970. - 480 с.

29. Запрягаев С.А., Манаков H.JI. Применение функции Грина уравнения Дирака к исследованию релятивистских и корреляционных эффектов в многозарядных ионах. Изв. АН СССР: сер. физич., 1981, т.45, Ш, с.2336-2353.

30. Зон Б.А., Манаков Н.Л., Рапопорт Л.П. Кулоновская функция Грина в X представлении и релятивистская поляризуемость водородоподобного атома. ЯФ, 1972, т.15, №3, с.508-517.

31. Грановский Я.И., Нечет В.И. Различные формы пропагатора в кулоновском поле. ТМФ, 1974, т. 18, Ш, с. 262-266.

32. Берестецкий В.Б,, Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1980. - 704 с.

33. Смирнов Б.М. Возбужденные атомы. М.: Энергоиздат, 1982.231 с.

34. Делоне Н.Б., Крайнов В.П. Шепелянский Д. Л. Высоковозбужденный атом в электромагнитном поле.- УФН, 1983, т.140, №, с.355-392.

35. Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. М.: Физматгиз, I960. - 586 с.

36. Манаков Н.Л., Преображенский М.А., Рапопорт Л.П., Файнштейн А.Г. Эффекты высших порядков теории возмущений для сдвига и ширины атомных уровней в световом поле. ЖЭТФ, 1978,т.75, М, с.1243-1260.

37. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред.-М.: Наука, 1982. 620 с.

38. Еломберген Н. Нелинейная оптика. М.: Мир, 1966. - 424 с.

39. Манаков Н.Л., Мармо С.И., Файнштейн А.Г. Нелинейные восприимчивости водорода при высоких частотах. В кн.: Всесоюзная конф. по теории атомов и атомных спектров: тезисы докладов. - Минск, 1983. - с.84.

40. Варшалович Д. А., Москалев А.Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента» Л.: Наука, 1975. - 440 с.

41. Базь А.И., Зельдович Б.Я., Переломов A.M. Рассеяние, реакции, распады в нерелятивистской квантовой механике. М.: Наука, 1971. - 544 с.

42. Демков 10. Н., Монозон Б. С., Островский В.Н. Уровни энергии атома водорода в скрещенных электрическом и магнитном полях.- ЖЭТФ, 1969, т.57, М, C.I43I-I434.

43. Соловьев Е.А. Второй порядок теории возмущений для атома водорода в скрещенных электрическом и магнитном полях.-ЖЭТФ, 1983, т.85, с.108-114.

44. Manokov N.L., OvsianmUov v. D., Uieíích S.

45. Mq(jneloeieUiic, tyócepiibitiiieó of degeneróte Siaies Acia Pbys.poi.A, Í9W, V. 53; p. 595

46. Турбинер A.B. Об алгебраизации теории возмущении в квантовой механике. Письма в КЭТФ, 1981, т.33, №3, с.181-185.

47. Турбинер A.B. Атом водорода в слабых электрическом и магнитном полях. ЖЭТФ, 1983, т. 84, М, с.1329-1335.

48. ОоЬпбоп В.й Schneibne* й.Р.,РогеМу D. Lorcp-o^den. perturbation-ihtotij in the Slaik

49. Zeeman effect fot pazaííel fields. PAys. Lett., 1983, V. 57, №25, p. 2280- 2283.

50. Турбинер A.B. Задача о спектре в квантовой механике и процедура нелинеаризации. УФН, 1984, т. 144, И, с.35-78.

51. Фано У., Купер Д. Спектральные распределения сил осцилляторов в атомах. М.: Наука, 1972. - 200 с.

52. Каруле Э.М. Сечение многофотонной ионизации атома водорода для П — iö . В сб.: Атомные процессы, Рига, Зинатне, 1975, с.5-23.

53. Каруле Э.М. Двухюотонная ионизация возбужденных состояний атома водорода над порогом фотоионизации. В сб.: Нелинейные процессы в двухэлектронных атомах. - Москва, 1984,с.210-235.

54. Собельман И.И. Введение в теорию атомных спектров. М.: Наука, 1977. - 320 с.

55. Агпоиъ E.t Mai5{itd 6., Wane S. АпдиСаг dL6-iiliuiion in ihe two quantum aiomic рЬоФо-effect. -Pfiys. ßeu.A,d9?3, V. p.i559-1568.

56. FainükLn A.G., Manakov N.L., Магто S.T. Use o( Coulomb Gzeen'S function foz cot Ecu6ct 4ion of above ihzesbolo/. muUipho4on izQn6iiion\-P%s. Leil. А, {Ш, V. iOk, №6-7 , p. ЪЦ7- 350.

57. Манаков Н.Л., Мармо С.И., Файнштейн А.Г. Поправки к фотоэффекту в сильном световом поле.- В кн.: Всесоюзная конференция по физике электронных и атомных столкновений: тезисы докладов. Рига, 1984, ч.2, с.118.

58. GqitllIq И. Campion scatteiinq &{ pho4on6 By bound U-she iE eEeU'ions.- Le4i. Nuovo cimenio i969, V.zf л/s5, р. ио-т.

59. Горшков В.Г., Михайлов А.И. Релятивистский комптон-эффект на связанном электроне. ЖЭТФ, 1973, т.64, с.1128-1140.

60. Демков Ю.Н., Островский В.Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике.- Л.: Издательство ЛГУ, 1975. -240 с.

61. Витушкин А.Ф., Михайлов А.И. Двухфотонная ионизация атома фотонами из разных пучков. ОС, 1981, т.50, М, с.П-18.

62. Градштейн И.С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов, произведений. М.: Наука, 1971. - 1108 с.t *

63. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1971. - 800 с.

64. Мигдал А.Б. Качественные методы в квантовой теории.- М.: Наука, 1975. 336 с.

65. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля.- М.: Наука, 1973.504 с.

66. Ландау Л.Д., Лириц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1974. - 752 с.

67. Бункин Ф.В., Казаков А.Е., Федоров М.В. Взаимодействие интенсивного оптического излучения со свободными электронами. УФН, 1972, т. 107, М, с.559-593.

68. Gaviito М., Van den. viteß И. Fiee- f?ee nodio-live hQn-bUcond of еВесЛъоп-Ыот буб4ет6.— Com. Aiom. Mot.Pbyd., 1978, V.&, N4-2, p. i-20.

69. РобепВегд L. Т&еогу of eieciton-aiom 6ca4ie-vLvbCj in a iQötaUon /ietd.-Adv. m A4om. cmd Hot. Phy6., i9B2,V. iß, p.i-52.

70. МШСетап H. Inhoduc4ion io ihe iheorzy of 1обег-~о1от Сг\4еч.е<Жеб -Neu/- Öobk , Pienum, 1982,-J09p.

71. WeinqaiMofer A.,Holmes J.H., Clatke E.H., ¡¿xüqer И. Free eltoixons аЬьоъб pfacdonö.-Phyd. Rei/. Leti497?, V.39, H°-5, p. 269-272 .

72. WeinqQihhofev. A.fCta%ke E.M., Holmes 3.H.,JunqC. &xpefiimen4s on mui4ipbo4on $гее-{г-ее tr-anichonä.-Phyt. Rev.A, 1979f Vi9,№-6, p. 2374-2576.

73. Бункин Ф.В., Федоров M.B. Тормозной эффект в сильном поле излучения.- ЖЭТФ, 1965, т.49, М, с.1215-1221.

74. Вегьоп 10. Mui4ipho4on ioniiaiton in i4e сабе shoii ianqe po4en4iatö.-J.Pfiys.B,197£, V.6, №i8,p.30J8-3086.

75. UioU N.M., Waisoh U.M. Cßiaiged-paiücße ьсаИе-itnq in ihe рчебепсе of a sironq ehcixomogne-hc urave. PP>ys. ßßir. A, J9?5,V.8,№2, p. Ш-SOS.

76. Берсон И. Я. Полуклассическое приближение для вынужденного тормозного излучения. ЖЭТФ, 1981, т.80, №5, с.1727-1736.

77. Мармо С.И., Файнштейн А.Г. Двухфотонные процессы при рассеянии на короткодействующем потенциале. Изв. вузов, Физика, 1984, М, с. 92-95.

78. Манаков Н.Л., Мармо С.И., Файнштейн А.Г. Упругое рассеяние на кулоновском потенциале в присутствии монохроматической световой волны.- В кн.: Всесоюзная конференция по физике электронных и атомных столкновений: тезисы докладов. Рига, 1984, ч.2, с.118.

79. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. -М.: Наука, 1969. 624 с.

80. Зоммерфелд А. Строение атома и спектры. М.: Гостехиздат, 1956. - 591 с.85. NoidUek А. ßeduc4ion ot•tfi еочу of biamö^whluriy.-Phys.ßev., /£54, V. 93, Н-Ц7р. 185-73?.

81. Манаков Н.Л., Рапопорт Л,П. Кулоновская функция Грина в параболических координатах. ОС, 1972, т.33, JB9, с,988-991.

82. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука, 1978. - 375 с.