Двойственность в дробно-линейном программировании и ее приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат физико-математических наук Баялинов, Эрик Бакишевич

• Баялинов, Эрик Бакишевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Баялинов, Эрик Бакишевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава I ЗАДАЧА ДРОБНО-ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

§ I. Постановка и основная экономическая интерпретация задачи дробно-линейного программирования . II

§ 2. Основные определения и теоремы дробно-линейного программирования

Глава 2 ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ДРОБНО-ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

§ I. Построение двойственной задачи

§ 2. Основные теоремы двойственности

§ 3. Исследование влияния изменений условий задачи дробно

• линейного программирования на оптимум целевой функции

§ 4. Интерпретация двойственных переменных дробно-линейного программирования как экономических оценок ресурсов и продукции в планово-экономических задачах

Глава

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДРОБНО-ЛИНЕЙНОГО - ПРОГРАММИРОВАНИЯ

§ I. О втором алгоритме метода последовательного улучшения плана.

§ 2. О методе последовательного уточнения оценок

§ 3. Метод последовательного сокращения невязок

Глава

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗРАБОТАННЫХ АЛГОРИТМОВ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ ТЕРРИТОРИАЛЬНО-ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ

- КОМПЛЕКСОВ

§ I. Моделирование формирования и развития территориальнопроизводственных комплексов . 94

§ 2. К проблеме выбора наилучшего варианта комплексного использования ресурсов Иссык-Кульской области и районов Чуйской долины Киргизской ССР

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двойственность в дробно-линейном программировании и ее приложения»

Планирование производства, управление системами и проектирование техники на основе экстремальных принципов экономит время, ресурсы и труд, повышает качество решения экономических и технических задач.

Теоретические основы и методы решения задач планирования, управления и проектирования разрабатываются в сравнительно новой математической дисциплине, получившей название математического программирования. За последние 15-20 лет возник и начал формироваться новый раздел этой дисциплины - дробно-линейное программирование (ДЛП), ставшее необходимым инструментом при решении многих оптимизационных задач с удельными показателями качества.

Появление и развитие теории ДЛП обусловлено необходимостью системного подхода к анализу функционирования социалистической экономики. Так, обратимся за примером к отраслевому планированию. Отраслевое планирование - это та область, в которой в течение последнего десятилетия интенсивно развиваются теоретические исследования и оптимизационные расчеты, связанные с применением экономико-математических методов и вычислительной техники. Тем не менее, многие отрасли, в частности сезонные производства, связанные с переработкой сельскохозяйственного сырья, остаются до сих пор слабо разработанными как в теоретическом, так и в практическом отношении. Это объясняется спецификой сезонных производств. При планировании и управлении сезонного производства возникает проблема согласования и оптимизации работы сельскохозяйственной отрасли, выращивающей и поставляющей сырье, автомобильного и железнодорожного транспорта, перевозящего сырье, и пищевой промышленности, перерабатывающей его. К тол^у же,- обычно, в сезонных производствах объем производства конечной продукции нельзя фиксировать, гак как он сам является искомой величиной. Поэтому в сезонных производствах наряду с абсолютными критериями оптимальности типа "максимум прибыли", "максимум объема конечной продукции" целесообразно применять удельные критерии оптимальности типа "минимум удельной себестоимости продукции",, "минимум удельных приведенных затрат", "максимум уровня рентабельности".

Также и в перспективном планировании для многих отраслей производства недостаточен критерий "минимум приведенных затрат" при заданном объеме конечной продукции. Действительно, при такой постановке задач из расчета выпадают те варианты плана, в которых сравнительно небольшое приращение приведенных затрат дает сравнительно большое приращение конечной продукции.

О важности применения удельных экономических показателей в планировании промышленности говорится в "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на 1981-1985 годы и на период до 1990 года": "Считать увеличение производства и повышение качества товаров для населения первостепенной задачей всех отраслей промышленности, всех предприятий и организаций, предметом особой заботы всех партийных, советских и хозяйственных органов.

Для решения этих задач: . повысить рентабельность, снизить себестоимость промышленной продукции".

Именно с позиций удельных экономических показателей позволяет теория ДЛП подходить к проблеме оптимизации функционирования народного хозяйства, его отраслей и предприятий.

Первые статьи, посвященные рассмотрению задач дробно-линейного программирования и разработке методов их решения, появились в начале 60-х годов. В 1960 году была опубликована работа [7б], в которой ее автор - рассмотрел задачу "гиперболического программирования" и показал, что для решения этой задачи может быть использован "слегка модифицированный" симплексный метод. Работа [7б] положила начало развитию нового раздела математического программирования, получившего в середине 60-х годов название дробно-линейного программирования. Вслед за этой статьей в 1962 году появилась работа СклапевА и СоореаШЩ^ЪЪ], в которой был предложен метод решения задачи ДЛП с ограниченной областью допустимых планов. Метод обеспечивает получение решения путем решения одной задачи линейного программирования (ЛП). Эта задача формируется в результате добавления одной переменной и одного ограничения. В том же 1962 году Ъоак¡¡(/.в.в [59] доказал, что любой локальный минимум задачи ДЛИ является в то же время глобальным, и указал способ нахождения решения задачи путем решения серии соответствующих линейных задач. При использовании метода Л&иЬеЗЛ'№аитМ[м\ решение задачи ДЛП заменяется решением последовательности линейных задач с исходными ограничениями, но с разными целевыми функциями.

Названные работы обозначили три основных подхода к решению задач дробно-линейного программирования:

- обобщение методов линейного программирования на случай дробнолинейной целевой функции [51, [гз], [24] , [25], [2б], [30] , [76]. $ *

- сведение исходной задачи путем нелинейной замены переменных к задаче ЛП [20] ,[21] .[22],[54].

- декомпозиционные методы [б], [7], [8], [9], [10], [II], [31], [34], [Зб] , [38] , [43], [44], [45] ,[46], [50] , [51] , [53], [57], [58], [59], [61] , [71], [77], [80] , [81], [82], [83] , [85] , [86], [88], [94], [95] .

Следует отметить, что для решения специальных задач ДЛП, имеющих фиксированную структуру ограничений (транспортная задача, распределительная задача, задача блочного ДЛП и т.п.) наиболее предпочтительным является первый подход, так как использование двух других приводит к изменению системы ограничений исходной задачи, а это значительно затрудняет или вообще делает невозможным использование специальных алгоритмов, учитывающих специфику ограничений.

Первая отечественная работа [зо], в которой рассмотрена заг дача дробно-линейного программирования и предложен метод ее решения, принадлежит Шварцману А.П. Эта работа увидела свет в 1965 году.

Полученные в вышеупомянутых и других работах результаты по теории дробно-линейного программирования были позднее обобщены и во многом развиты в монографии Чернова Ю.П. и Ланге Э.Г. [2б]. В [¿в] рассмотрены методы решения непосредственно задачи ДЛП и других задач нелинейного программирования с дробной целевой функцией без сведения их к задаче линейного программирования или к другим соответствующим задачам математического программирования. Наоборот, линейное, выпуклое, вогнутое и параметрическое линейное программирование рассмотрены в [2б] как частные случаи дробно-линейного, дробно-выпуклого, дробно-вогнутого и параметрического дробно-линейного программирования соответственно.

Перечисленные и другие работы по ДЛП быстро получили широкую известность и породили многочисленные исследования в этой области. Среди многих работ, внесших весомый вклад в дело разработки эффективных методов решения как общих, так и специальных задач дробно-линейного программирования и дробного программирования вообще следует в первую очередь отметить [б] ,[ю], [II], [20], [21], [22], [31], [36] , [4-3] , [Щ , [52], [54], [57] , [58], [60 ], [бб], ¿71], [80] , [81], [82], [83], [86], [88].

Развитие дробно-линейного программирования шло и идет, естественно, не только по пути разработки вычислительных методов. Ведь численное решение любой экстремальной задачи должно базироваться на соответствующем математическом аппарате. Таким аппара

•сом (гак же, как, в частности, и в линейном программировании) стала в дробно-линейном программировании теория двойственности, согласно которой данной экстремальной задаче ставится в соответствие тесно связанная с ней двойственная задача.

Первой работой, посвященной теории двойственности в дробном программировании, является статья 1x4] советского математика Гольштейна Е.Г. В этой статье автор описал общую схему формирования двойственных задач для функциональных аналогов задач выпуклого и дробно-выпуклого программирования и сформулировал ряд утверждений, составляющих основу теории двойственности для этих задач. Предложенная в [14] схема составления двойственной задачи имеет аналитический характер и обобщает подход, изложенный в [12], для конечномерных задач выпуклого программирования. Результаты работы [14] были впоследствии развиты в [Х5\ и [17]. Указанные работы Гольштейна Е.Г. определили одно из направлений в исследовании вопроса о двойственности в дробном программировании, которое характеризуется использованием терминов, связанных с задачей об отыскании седловой точки дробной функции Лаграшса. Реализация этого направления, как будет показано ниже, может дать весьма полезные в теоретическом и практическом отношении результаты.

Первая зарубежная работа [91] по теории двойственности в дробно-линейном программировании появилась почти одновременно с [14], а именно в 1967 году. Автор ее, индийский мвтвыаятВмаАирК, показал, что теоремы'двойственности, сформулированные и доказанные (см., напр., [65], [72] ,[95] и др.) для задач нелинейного программирования, могут быть распространены на случай, когда целевая функция экстремальной задачи имеет дробно-линейный вид и достигает своего оптимума в конечной точке допустимого множества. При построении двойственной задачи Лиуо^ассрК^ апеллировал к функции Лагранжа, имеющей обычную (не дробную) структуру. Используемая в

911 формулировка двойственной задачи имеет несколько схематичный характер и не очень удобна для практических применений. Вероятно именно поэтому данная формулировка двойственной задачи дробно-линейного программирования не получила широкого распространения.

Качественно иной подход к вопросу о двойственности в дробно-линейном программировании предложен в работе [55], авторы -й&Ш/ъЗ. и Ь. - которой показали, что для частного случая задачи

ДЛП двойственная к ней может быть сформулирована также в виде задачи дробно-линейного программирования, В [48], [49]»[62],[68], [78] ,[79] ,[87] ,[91] ,[92] аналогичная (имеющая дробный вид) формулировка двойственной задачи получена для других частных случаев задачи ДЛП.

Наибольшее распространение получил другой подход, при котором исходная задача ДЛП с помощью нелинейной замены переменных преобразуется в линейную задачу [39], [40]-[45], [53], [55], [бб], [67],[74],[75],[80]-[85]. Это объясняется тем, что такой подход к рассмотрению задачи дробно-линейного программирования позволяет пользоваться хорошо разработанным аппаратом линейного программирования. Однако при этом теряется один из важнейших результатов теории двойственности - практический смысл двойственных оценок.

Настоящая работа также посвящена двойственности в дробно-линейном программировании и ее приложениям. Целью работы является:

1. реализация общей идеи [14] (использование дробной функции Ла-гранжа) для случая задачи ДЛП;

2. использование результатов пункта I при разработке теоретических основ алгоритмов решения задач ДЛП и при проведении экономических исследований.

Работа состоит из четырех глав.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Баялинов, Эрик Бакишевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа посвящена исследованию одного из центральных пунктов дробно-линейного программирования - теории двойственности, согласно которой данной экстремальной задаче ставится в соответствие тесно связанная с ней двойственная задача. Совместное рассмотрение обеих задач оказалось полезным как при разработке теоретических основ численных методов решения задачи ДЛП, так и при проведении качественного анализа задачи и ее оптимального плана.

В результате предварительных исследований свойств задачи ДЛП известная (см.,напр.,[зз]) теорема о разрешимости задачи линейного программирования обобщена на случай задачи дробно-линейного программирования. В основной части работы (гл.2) для задачи ДЛП сформулирована двойственная к ней задача, доказаны основные утверждения теории двойственности и определены условия, при которых исходная задача дробно-линейного программирования имеет по крайней мере один оптимальный план с конечными компонентами. Сформулирована задача линейного программирования, как двойственная к двойственной, по сути являющаяся линейным аналогом задачи ДЛП. Доказаны утверждения, устанавливающие связь между двумя задачами и. их планами. В качестве приложения теории двойственности к разработке вычислительных методов теоретические основы трех известных по линейному программированию методов обобщены на случай решения задачи ДЛП. Исследовано влияние изменений вектора правых частей ограничений на оптимум целевой функции и выведено соответствующее аналитическое выражение. Показано, что для задач ДЛП экономического содержания компоненты оптимального плана двойственной задачи могут быть интерпретированы как экономические оценки ресурсов и продукции, объемы потребления и производства которых ограничены условиями задачи. Предложена схема ( Я -схема) возможного использования полученных в работе теоретических результатов при решении народнохозяйственных проблем, приводящих к задачам дробно-линейного программирования.

Практическая ценность настоящей работы в основном определяется ее прикладным характером: разработанный здесь математический аппарат позволяет подходить к решению проблемы оптимизации производственной деятельности некоторого экономического объекта с позиций удельных экономических показателей,

В настоящее время вышеупомянутая Ц -схема применяется в Институте экономики и экономико-математических методов планирования Госплана Киргизской ССР при проведении исследований, связанных с формированием и развитием Иссыккульско-Чуйского территориально-производственного комплекса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Баялинов, Эрик Бакишевич, 1984 год

1. Арутюнян Ю.В. Об одной задаче оптимизации топливно-энергетического баланса. Ереван, 1966.

2. Баялинов Э.Б. К вопросу о двойственности в дробно-линейном программировании. Изв.АН Кирг.ССР, 1981, №2.

3. Баялинов Э.Б. О влиянии изменений условий задачи дробно-линейного программирования на оптимум целевой функции. В сб.: Применение экономико-математических методов в совершенствовании управления народным хозяйством. Фрунзе: Илим, 1982.

4. Баялинов Э.Б. Об экономическом смысле двойственных переменных дробно-линейного программирования. Экономика и математические методы, в печати.

5. Белых В.М., Гавурин М.К. Алгоритм минимизации дробно-линейной функции. Вестник ЛГУ, 1980, №19.

6. Верина Л.Ф. Параметрическая декомпозиция одного класса задач дробного программирования. Тезисы Всесоюзного семинара "Математическое обеспечение АСУП", Москва-Горький, 1975.

7. Верина Л.Ф., Танаев B.C. Декомпозиционные подходы к решению задач математического программирования. Обзор. Экономика и математические методы, 1975, т.II, №6.

8. Верина Л.Ф. О решении некоторых классов задач дробного программирования. Численные методы нелинейного программирования. Тезисы П Всесоюзного семинара. Харьков, 1976.

9. Верина Л.Ф. Алгоритм параметрической декомпозиции для одного класса задач дробного программирования. Изв.АН БССР, серия физ.-мат.н., 1976, Ш»

10. Ю. Верина Л.Ф. Решение задачи дробного квадратично-линейного программирования. Б-ка программ решения экстремальных задач. Минск, 1979, №2.

11. Гавурин М.К. Дробно-линейное программирование на неограничен' ном множестве. Вестник ЛГУ, 1982, №19.

12. Гольштейн Е.Г. Двойственные задачи выпуклого программирования. Экономика и математические методы, 1965, т.1, вып.З.

13. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Новые направления в линейном программировании. Советское радио, 1966.

14. Гольштейн Е.Г. Двойственные задачи выпуклого и дробно-выпуклого программирования в функциональных пространствах. ДАН СССР, 1967, 172, №5.

15. Гольштейн Е.Г. Двойственные задачи выпуклого и дробно-выпуклого программирования. В сб.: Исследования по математическому программированию. Наука, 1968.

16. Гольштейн Е.Г. Выпуклое программирование. Элементы теории. М.; Наука, 1970.

17. Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения* М.: Наука, 1971.г

18. Лэсдон Л.С. Оптимизация больших систем, м.:-Наука, 1975.

19. Овсепян А.М., Марукова Э.П. Некоторые вопросы оптимизации топливно-энергетического баланса. Ереван, 1966.

20. Соломон Д.И. Об одном методе решения задач дробно-линейного программирования с матрицами блочно-диагональной структуры. Изв.АН Молд.ССР, серия физ.-мат.и техн.наук, 1979, №3.

21. Соломон Д.И. Применение метода обобщенного градиентного спуока при решении задач дробно-линейного программирования. Изв.АН Молд.ССР, серия физ.-мат.и техн.наук, 1983, №1.

22. Соломон Д.И. Об одной задаче целочисленного дробно-линейного программирования. Математические исследования. Кишинев, 1983, №72.

23. Чернов Ю.П. Некоторые задачи параметрического дробно-линейного программирования. В сб.: Оптимальное управление, вып.16, Новосибирск: Наука, 1970.

24. Чернов Ю.П., Ланге Э.Г. Транспортная задача дробного программирования. В сб.: Оптимальное управление, вып.16. Новосибирск: Наука, 1970.

25. Чернов Ю.П. Об одной задаче параметрического дробно-линейного программирования. Изв.АН Кирг.ССР, 1970, №3.

26. Чернов Ю.П., Ланге Э.Г. Задачи нелинейного программирования с удельными экономическими показателями. Фрунзе: Илим, 1978.

27. Чернов Ю.П., Баялинов Э.Б. О линейном аналоге задачи дробно-линейного программирования. В сб.: Математическое моделирование народнохозяйственных процессов. Фрунзе: Илим, 1981.

28. Чернов Ю.П., Баялинов Э.Б. О двойственной задаче дробно-линейного программирования. В сб.: Математическое моделирование народнохозяйственных процессов. Фрунзе: Илим, 1981.

29. Шварцман А.П. Об одном алгоритме дробно-линейного программирования. Экономика и математические методы, 1965, т.1, вып.4.

30. Шепилов М.А. О методах решения дробных задач математического программирования. Кибернетика, 1980, №1.

31. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование (теория и конечные методы). М.: физматгиз, 1963.

32. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование (теория, методы и приложения). М.: Наука, 1969.

33. Дё&оСье ¡¥¿£€¿<2/773 ДС. апоС- /г?еМос& оп, сСесо/7?/ро£1бсо/г. /^есе/г^ ас/ста псе* ¿к. уча^бежл^са £1. ЖеиГ-Уо^ Мо виси/-И4963.

34. Jtf$&4Utfbß S.P. StaJ¿á>é<f ô/soàUùon, ¿W ¿¿/v&tfr /eacóíonaé pRsOg&am/níntf pfu>á¿e/x. %ЙММ> /Ж

35. S. P. PaJl¿Lfr>e¿ñ¿c ¿¿кеал> /¿actocn-tié /¿c/icü¿>naé pfiœflpawning. //¿^ ^^ /2.

36. S. P. £>/-¿/ie^ soâcoiùon- ¿o <z- ¿¿/zeae* -/aac

37. Л (band P. ажЖ /y?e>¿Á<?ds i/г dec¿>/>?/>&-3LÚ¿on> -foz, ¿¿леал. ffcacéío/Laé S¿ud. Sc¿.1. Hмк we. s,

38. Jbd£¿tvs/¿¿ M. is.; %¿ut/r/ú£ UP У. J7i& dcca¿ ¿n, м/ь&леая, pfísO^RA/nmÍH^ ¿Lfid i¿s ecóJb€?/r7¿c ¿п£е>&/>яе.ta.tion. £.e¿f¿e¿<f ¿>f ecc/vû/Kôc studies, XXX V(3).

39. С.Р/. QícaJkáf ¿/г- fa&céie/ari¿c indefinite

40. C.&. P&yf&am/rjcng f/to&â&ws urtàA- со/ытех. /яаг-■¿ùonaS fíccsioóio/LS. Ofe-j&zûions œesea&cA,; </#6% SÇ, rfd.

41. Beciog, С.Я. (dcc&foty ¿и, suvzs&tieae, foac&o/wâ ZfUimrnintf. Ze¿¿sc/bfc¿-f¿ tye&a-ziiens /eesea&cA^

42. SùétUUb в. Maßf^CLniL T.L tf&zc-tiP/uzéf&SffWn/ntnf: ' iduosZityj M(^o/¿¿íJbmsJ Se/2s¿¿¿cr¿¿^ J?/>/)£¿cation.s. Tzch-tbicaC ¿¿efo&í; rfÛ2. ^esecmcA

43. AJasscu^/tcose-tts <$nót. о/ТеоАлей?^ РУЩУкяе.44. jBié/UUv G.P.j JlCagruZnii TU. fflcoci&fy se^si¿¿<r¿¿y cbtvtißcfsis -fo/t /ñac¿i&/7a£ ffMffOpe&a,¿¿on.s /ее-secuto^ ^ №

44. JbLÍ/Um, Q.Py.j A/ornes Ж G. ¿<inea&cl- -f/icictio/uz£ o^ec¿i¿/e /¿¿su>tio/¿,. Of>e/z¿i¿¿o/?s -ZeaJlck-, J973; vsg. У/46. сю/ик/^е^S.P.j ¿Ряеу S.O. ¿xr¿¿/z.húm¿>^e*ie¿>¿ts O^e-^lio/is fceseo-tcÁ^ i/oe.47* C/uzdAa S.S. /&zc¿¿o/ui¿ f¿c/zc¿¿ún¿?g

45. ЯАМ ufítk, ¿l iuíú &$ec7f¿<re~ .1. MM, vo£. 5<f.

46. С/шбС/ьа, S.S. J? duaé? faaoiio/z-atZ /п. Z/1MM, yoe. 6/.

47. CA,adA& S.S. lAemzws Д>/£ œ.and- fka#¿¿0/ia£ f&o^/M/r?. ££¿>n¿>sr?¿>ePú-- /voiematícty ogz,^ -/Û?^ ^

48. Okadka. S.S., S/lLcî/Ou&î S. ß s¿s»/>fe cá?ss ¿>f1. ZiïMM, </$73; sog. S3.

49. Ch&otka S.S. S/tttf/ou&c S. ó/busne&<z,t¿ye ¿ecArufrue tz/ь- eíoéj^e/7?e jDoín^é fjzac¿tón.¿?g

50. S&u&nœg ¿>f ú/>e-¿¿U¿<pns /zese&ëcA, -/MQ i/o&tf, //4.

51. Ck¿ln¿¿/l¿i S., C/uzn¿¿/uimoA£?/i /И. ¿mp/Wt/eú ¿aa/tc/t and /v-eéAca'g /г?¿ceее/ Sirteaz. f/zae-6¿onaef/boj&ti/vs. Z/jMMj ¿ л/JO.53. /J Cocfea MC № Pacjf&a/nminf "tttäfunctionate. Afai/ag ß&s. Icff. с/og. ff,

52. Ch-frLgtoi/ (S. P/tefe-ñéie? ancC /r?e¿/tc?c¿ -f&fc Sûgyin^ ■fflac-íóúnag e>f¿¿/n¿z&iùô/z ß&ofgews. íde/t/ra^*/ £ълг. JSZZj //d.55. g-^í/en ß. ß.jM&nscC ß. J7ve cùctaé of л. -g¿nea./t faœc

53. ЪсоукхС- ß/Uff&a/r). &f /??<zé/?. a/?agys¿$ as?t/¿if/iéc

54. C^dífe^u ß.id.j JUo/zd- ß. Л rwíe- ejb c¿¿¿a£¿¿c/ ¿j^ gen&eus: f&cff/za/n/nS/ff. //a¿fag ßes. leg. QuaM.j 497-в; wog. 26, M.

55. Z-Mfe>¿e-&, ■&ne<z&e</z' /¿cncél^e^ ¿csvéeo, ¿¿/zea&est, /teáe/?

56. Z ¿Sc-k^/&¿f-¿ f¿<& Ш^Л/А-зо/ъ&си £¿cA/te¿¿s-¿kzo&ie contó i/e&n/6L/z¿¿¿e Ge.é¿e¿e¿ /962;

57. Qm/vcnß. /lf¿i/ifi^e-/?7e/zé Sc¿e/?ceJ S3.

58. Юо&п, МУ.& iCitteafr -f&tz&fco/itfgр&с^/гл/плоСп^. dSAf-УоиЛ; J H2. ; ß/oveMgexi.60. 6¡clr,£ /¿-.С., Swa&cop ¡6. JTie use cocuis ¿к- f&ac1. Z/fMM j xs<?e. rfd.

59. Gtßmo&e PC., Gomo&tf Д ¿ j? ¿¿/геал ffrcff/w/nmi/tf. <fff>pRsoa.clv i o 6/^e. cusHin^ stock

60. GuùlÛ Tf¿. fOtta&ty fabo-Mtbrf-ii#feñetU¿a&é f&ac-tCenaZ pñ-Off/zam. С а. А. Ce/*¿. éiucC. яеасА. S вi,

61. QccptoL Z.P. £ S impfe cêass of pafca/n&à&Lc &/iea& fazcûwag

62. QccpííL &.P.J Siv&frap & -Sto/iasiícfáicúowé? fu/7c¿¿6>/?4£ pfU>g/iaM/77(/7g. Ope&osüo/is OéseaecA;65. /-/и a/¿oí /? p&ûffûœ/vs. &ece/i,<t a¿¿¿/as?<:€S waifÀ.66. ¿faga/)л а. ¿Лап Cfo sû/??e- p&ope&t¿es e>f

63. JáfoC&iníí F ¿n, /яаейот?p&ofí/M/vníi/tf. ■ ' MAiíaZ /les. bofí Quawé., </$72; i/oe. </.3.

64. JUa-zi^asa fU&n, O.k.fónsíeStiü, Mc/iimax, a/id dua&éíf ¿и. /то*-Ünea&. p&ogfUimmi/ij. Cfûuœnafef/Uatt. ûnaPJp/é., ///¿б^об.//

65. Manfltiscuùcirt, 0A /Уеъ&'пеа & f/zacé¿onag¿fifí. . У&атлв of Üpeßaüosis /шеа&сА Society ofjapan, S363; i/o£ //.

66. Mafrfosß. fype&tfoùc pfuy/M/nm/ty P¿<g£Л/aé/i. /twfí. Дсас/ет^ <rfSuelees, V> sec. </36 û.77. flüwúos &. СГАе ейяея/pû*fe&> ¿>f acfyace/zi?n?eíAods. A/âsza^e/ке/гn?Sc¿e#ce, /<966; /^ MS.

67. JíCond C/Ult/еиг ê.id. ß n£>¿e ¿vz. s*7a>i//?es77£tz?¿ca>é- Ait fifí Kfiik f/iact¿onctS ofyeaUue. /¡/¿¿¿g ßes.ho<j. Qua ni.; roe. 2.0.

68. Ze¿ésc7ifí/¿fé f¿¿&- Ope&ZsíiC/b ле^еляс^ /$77, i/o¿. 7¿>.

69. J. ffrotf&aM/v/s?^: 2. <0/t

70. Pínk&Céack's atyo&iéÁsv. Ji/û/iagewe/dSc/e/ice; /У/б, rc€¿2.

71. У ¿n faof/w/n/ni/?^: /Usu'-■fúecí ßpffroac/i. ú/>e&a>¿¿cn /zesea&cA, 2^ /73.

72. SCÓ¿¿ C.Mj Jefêe&sotv Tfc. ^zactíMaé¿DA-P^/W/^ jfútS¿/2jZe<¿UL SCCt&fy; /МО; 62-fj //V.

73. Ses/utn, C.&. On, ¿tt> TUxeag, /ka&iù&fzaé'

74. Pfc&c. ^/ьсСса^ Jcaafe/vj' Sc¿^eJ Л/сг^А^

75. S/uv&ma d.C. <3¿¿&£c¿¿o/?s app&oac/c éo /¿.ac

76. C^C¿¿CL), /dé?, i/£>e. ¿7.

77. Sn/a&up 7¿. û/t ¿Cua&fy ¿n*-f&acé¿maé? /¿c/zcácostaéZe¿¿scA&¿/¿

78. StcLhC j! Hd-tbffadûs сégfagg¿héti-dcU&t o/eÁ&m/iozícifya'f.Jg^ S^/va, /$22, /6, /74.

79. Swafrcop -¿/¿хеа/г- /&ao¿¿¿>/ia£ /u/zo7¿¿>s?¿?gs тйи^ 0/>e#,Qs¿ú&/7S &ese<z&c/t~; </$66; yoé?. 73^ /76.90. Sn/a&up ¿¿r¿tk91« Swa&zop tC. Some a-spe^ts о/f/№C¿¿oti<?£92. Sto/ßL&tcp J¿, ¿к, .

80. Sh/afUcp te. ûn f>¿w#/ve>¿eas ¿*t <z £¿/7ea& <f&A<y6¿o/ta& -functional/>&o£ée/y7¿>. Meé/UÁíAJ ^£>e. /3.

81. Wag/ie/t MAf.j Усса*г J.S.C Jéfyo<¿éktr?¿c efco¿¿ra^e/?ce1. Science*, у об. У^95. l//o¿/& /? /} cCccaßci^ ¿k&û&esv /¿¡e ^n-^ónea,^1. УТВЕРЖДАЮ '

82. Институт физики и математики АН Киргизской ССРзав.лабораторией, к.ф.-м.н. Б.Г.Ланге-¿СаЛм**^ ст.инженер лаборатории Ь. Б. Баяли нов

83. Институт экономики и экономико-математических методов планирования Госплана Киргизской ССРзав.отделом, к.э.н, К.С.Сыдыков