Аналитические методы и модели управления параметрами систем защиты технических объектов в условиях рисковых ситуаций и угроз тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Яцко, Андрей Иванович

• Яцко, Андрей Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Яцко, Андрей Иванович

Введение.2

Глава 1. Прикладные задачи управления параметрами систем защиты технических объектов.22

1.1. Состояние проблемы создания математических моделей обеспечения безопасности технических объектов.22

1.2. Минимизация общего риска угроз безопасности объекта и оптимальный выбор показателей системы защиты.27

1.2.1. Математические модели общего риска.32

1.2.2. Новый аналитический метод минимизации общего риска (I).47

1.2.3. Новый аналитический метод минимизации общего риска (II).55

1.3. Интервальный анализ общего риска угроз безопасности технического объекта.66

1.3.1. Постановка задачи системного интервального анализа.67

1.3.2 Новый метод интервального анализа общего риска.70

1.3.3. Новый метод декомпозиции общего риска.76

1.3.4. Новый метод корректировки проектов обеспечения безопасности.77

Выводы по главе .79

Глава 2. Основы теории системного интервального анализа (I).82

2.1. Постановка интервальной задачи.83

2.2. Вывод геометрического тождества для среднего порядка t и получение из него новых неравенств.86

2.2.1. Вывод геометрического тождества для среднего порядка t.88

2.2.2. Вывод новых соотношений для среднего порядка t.94

2.2.3. Геометрическое тождество для средних значений и новые неравенства между ними.95

2.2.4. Неравенства для отношения двух средних порядка t.100

2.2.5. Оценки сверху для целевой функции в задаче геометрического программирования.113

2.3. Теоремы о решении уравнения f(x) = у, где f[x) - сумма позиномов.116

2.3.1. Решение уравнения f(x) = у и производящее соотношение.118

2.3.2. Нахождение решения производящего уравнения.127

2.4. Теорема о задании системы интервальных ограничений (I).134

2.4.2. Весовые коэффициенты числовых интервалов.138

Выводы по главе.142

Глава 3. Новый аналитический метод решения задачи геометрического программирования.148

3.1. Постановка двойственной задачи.150

3.2. Нахождение множества допустимых векторов в двойственной задаче.152

3.3. Нахождение максимума двойственной функции.156

3.4. Новый метод коррекции для нахождения допустимого решения двойственной задачи.165

3.5. Новый линейный итерационный метод решения двойственной задачи.173

3.6. Элементы теории двойственности.183

Выводы по главе.188

Глава 4. Основы теории системного интервального анализа (II).191

4.1. Теоремы о решении уравнения f(x)= у ,

0) где фс) - сумма позиномов (II).193

4.1.1. Методика решения уравнения f{x)=y в задаче первого уровня трудности.193

4.1.2. Нахождение решений системы производящих уравнений.197

4.2. Новый метод решения неравенств f(x)<y, f(x) >у, где f(x) - сумма позиномов.200

4.2.1. Новый метод решения неравенства f{x)<y, в задаче первого уровня трудности.200

4.2.2. Новый метод решения неравенств f(x)<y , f(x)>y, в общем случае.209

4.2.3. Новые методы нахождения решений системы производящих неравенств.213

4.3. Теорема о задании системы интервальных ограничений в общем случае.220

Выводы по главе.223

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические методы и модели управления параметрами систем защиты технических объектов в условиях рисковых ситуаций и угроз»

Актуальность проблемы. В настоящее время все большее значение приобретает проблема создания математических моделей в задачах управления рисками объектов, что подчеркивается в доктрине информационной безопасности РФ, утвержденной Президентом РФ 09.09.2000 г.

На начальных этапах исследования сложных технических систем первое место отдавалось проблеме их надежности [24]. В последующем акцент был перенесен на проблему обеспечения безопасности. Задачу развития теории безопасности технических систем взяла на себя научная школа под руководством Северцева Н.А., включающая основных авторов: Барзиловича Е.Ю., Дедкова В.К, Дивеева А.И., Зубова Н.В., Ильичева А.В, Ишмухаметова А.З., Каштанова В. А., Садыхова Г.С. и др. Этой школой уже созданы основополагающие труды в данной области [3, 9, 10, 11, 13. 17,29]. Одновременно развивается научное направление под руководством Сухарева Е.М. по проблеме информационной безопасности электронных систем и информационных технологий [21,25].

В настоящее время ведутся работы по созданию математических моделей оптимального выбора параметров и показателей безопасности. Так в работе [30] показана необходимость математического подхода к анализу рисков угроз безопасности. В монографии [14] указывается на необходимость совместного рассмотрения показателей эффективности и безопасности. Монография [21] посвящена разработке моделей разведок и угроз безопасности информации. В ней в качестве базовой математической модели предлагается принять метод динамического программирования. Однако данный метод в основном является численным и, как правило, не позволяет получать простые аналитические результаты, необходимые при анализе безопасности систем.

В целом проблема создания количественных математических моделей управления рисками сложных объектов, оптимального выбора и контроля критериев и показателей их безопасности находится еще в стадии становления.

В связи с изложенным заключаем, что тема представленной диссертации является актуальной.

Цель и задачи исследований. Цель работы состоит в разработке новой актуальной научной проблемы, заключающейся в создании аналитических методов и моделей управления параметрами систем защиты технических объектов в условиях рисковых ситуаций и угроз.

Под безопасностью объекта на заданном интервале времени [0,7] понимается его защищенность от случайного или преднамеренного вмешательства в нормальный процесс его функционирования.

Под угрозой понимается потенциально возможное воздействие на объект, направленное на нарушение его безопасности. Угроза считается случайным событием.

Угроза называется крупной, если ее реализация является недопустимой с точки зрения обеспечения безопасности объекта. Далее рассматриваются только крупные угрозы.

Общей угрозой объекта называется событие, состоящее в реализации хотя бы одной из крупных угроз.

Частным риском на интервале времени [0,7] называется вероятность реализации угрозы на этом интервале.

Под общим риском объекта на интервале времени [0,7] понимается вероятность реализации общей угрозы безопасности объекта на [0,7].

Указанная научная проблема впервые решается в представленной диссертации на основе теории геометрического программирования и включает в себя следующие три направления разработок автора:

1. Основы теории системного интервального анализа параметров технических объектов.

2. Аналитический метод решения задачи геометрического программирования повышенного уровня трудности. Аналитическое решение задачи нахождения допустимых векторов в двойственной задаче.

3. Разработка моделей общего риска. Приложения полученных результатов к решению задач управления параметрами систем защиты технических объектов.

Задачами исследований являются следующие.

По первому направлению:

- вывод исходных неравенств и оценок для целевой функции технического объекта;

- решение задачи оценки корректности заданных границ на целевую функцию; разработка методов решения производящих уравнений и неравенств;

- решение задачи по заданию интервальных ограничений на показатели системы, исходя из требований к целевой функции.

По второму направлению:

- аналитическое решение задачи геометрического программирования повышенного уровня трудности;

- аналитическое решение задачи нахождения допустимых значений двойственных переменных;

- построение основ теории двойственности и разработка линейного итерационного метода для решения двойственной задачи с оценкой скорости его сходимости.

По третьему направлению:

-разработка моделей общего риска, выбор целевой функции и установление двусторонних оценок для общего риска; -минимизация общего риска угроз безопасности сложных объектов и оптимальный выбор показателей систем защиты; -интервальный анализ общего риска объекта, обоснование допус-ковых требований к показателям системы защиты; -декомпозиция общего риска и его распределение по отдельным угрозам;

-сравнительная оценка и коррекция проектов обеспечения безопасности сложных объектов.

Методы исследования. Основной метод состоит в установлении и использовании неравенств и оценок в задачах минимизации риска. Важное место в работе занимает теория обобщенных обратных матриц, применение которой приводит к получению систем производящих уравнений и неравенств. Для доказательства основных теорем и построения прикладных моделей использовалась и развивалась теория геометрического программирования, применялись элементы теории вероятностей, методы численного анализа.

Степень изученности проблемы. 1. Постановка задачи интервального анализа состоит в следующем. Пусть для целевой функции у = f(x) объекта задано ограничение в форме уе[у,у]. Требуется задать интервалы [aj,foj] для показателей Xj системы защиты такие, чтобы при реализации всех условий Xje[aj,bj] выполнялось ограничение уе[у,у].

Интервальная задача известна и является одной из основных при проектировании и эксплуатации технических систем. Однако до настоящего времени в силу значительной сложности она еще не имеет решения при задании критерия у= f(x) в виде, принятом в теории геометрического программирования, т.е. в форме суммы позиномов. Данная задача ранее в теории геометрического программирования не рассматривалась. Ее решение впервые дается в настоящей работе. Ранее термин "интервальный анализ" использовался в теории приближенных вычислений [1,19], а также в теории доверительных интервалов [24], где в этот термин вкладывался другой смысл.

2. Задача оптимального выбора показателей систем на основе использования геометрического программирования рассмотрена во многих работах. Основы теории изложены в монографии [8], а ее приложения даются в работах [7,22,34]. Развитие теории содержится в [12,35], где уделяется внимание оценке границ решений и построению численных алгоритмов. Для темы данной работы наибольший интерес представляет задача минимизации геометрического программирования без ограничений повышенной трудности. В [8] эта задача решена лишь для уровня первого уровня трудности, а для повышенного уровня трудности аналитического решения еще не получено.

В существующей литературе эффективного аналитического решения задачи на минимум геометрического программирования без ограничений повышенной трудности (индекса d>1) еще не получено.

Отличие предлагаемого нового метода состоит в том, что он содержит аналитическое решение указанной задачи минимизации при d>1 простыми методами матричной алгебры.

3. Приложения предлагаемых новых методов к решению задач управления параметрами систем защиты технических объектов в условиях рисковых ситуаций и угроз ранее не давались.

Достоверность. Достоверность полученных результатов определяется строгостью математического аппарата, применяемого при создании аналитических методов и моделей управления параметрами систем защиты технических объектов в условиях рисковых ситуаций и угроз. Каждое новое утверждение доказывалось в форме теоремы, а их общее число составляет 36. Адекватность предлагаемых новых методов и моделей имеющимся опытным данным подтверждена на практическом примере оценки безопасности реального объекта и выбора оптимальных параметров системы его защиты.

Научная новизна. Новизной обладает как разработанная в диссертации новая актуальная научная проблема, так и три перечисленные выше основные направления разработок, которые она включает.

Основы теории интервальной задачи впервые позволяют обоснованно выбрать систему интервальных ограничений на показатели системы защиты.

Новый метод решения задачи теории геометрического программирования без ограничений повышенного уровня трудности впервые позволяет решить эту задачу в аналитическом виде с использованием простого линейного итерационного метода в соответствующей двойственной задаче. Предлагаемый итерационный метод сходится к оптимальному решению задачи и имеет квадратичную скорость сходимости.

Ряд перечисленных выше прикладных задач управления параметрами системы защиты оценки и обеспечения безопасности технических объектов впервые решены с помощью предложенных методов в простой аналитической форме.

Совокупность разработанных в диссертации теоретических прикладных результатов составляют содержание решенной в работе новой актуальной научной проблемы.

Практическая ценность. Практическая ценность полученных результатов состоит в том, они впервые позволяют решать в аналитическом виде важные прикладные задачи оценки, контроля и обеспечения безопасности технических объектов по указанному выше третьему направлению исследований, проведенных в диссертации.

Преимущества предлагаемых методов состоят в следующем, -аналитический характер соотношений для выбора совокупности интервальных ограничений на показатели сложных объектов;

-аналитический характер соотношений для минимизации общего риска объекта и оптимального выбора показателей системы защиты;

- вычислительная простота метода решения двойственной задачи;

- возможность получения аналитического решения прикладных задач управления параметрами системы защиты.

Реализация. Результаты работы внедрены в НПО им. Лавочкина С.Л., НИИКП, были использованы в ряде проектных разработок, а также при составлении экспертного заключения на проект «Сахалин II».

Апробация. Результаты работы прошли широкое обсуждение на ряде научных семинаров и конференций.

Они неоднократно обсуждались на научном семинаре Отдела надежности и устойчивости ВЦ РАН им. А.А. Дородницына (2004 г, руководитель - профессор Северцев Н.А.), на научных конференциях по проблемам надежности кафедры прикладной математики МГТУ им. Н. Э. Баумана (1983 -1984 г., руководитель - профессор Судаков Р.С.), на совместных семинарах по проблемам устойчивости сложных систем Института математики АН УССР и военной академии ПВО (1985 г., руководитель профессор Варюхин В.А.), на научных семинарах по проблематике прикладных математических исследований МГАУ им. В.П. Горячкина (1990, руководитель профессор Сергованцев В.Т.), на международном семинаре "Надежность и качество", Пенза (2003 г.), а также на конференциях профессорско - преподавательского состава

Одесского государственного университета и национальной Академии государственного управления при Президенте Украины (2001-2004 г.), на научных семинарах в Институте математики Польской АН под руководством профессора Боярского Б. (механико - математический факультет, 1999 г.), на 3 - м международном когрессе "Applied Mathematics", Гамбург, 1995 г., на 29 -й Всепольской конференции по прикладной математике, Закопане, 2000 г, на 7 -ой международной конференции по теории вероятностей (Польская АН), Бендлево, 2002 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано две монографии в центральном издательстве и 20 статей, из которых 8 опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК.

Личный вклад автора. В диссертацию включены результаты, которые получены лично автором. Одна из двух монографий, а также большая часть статей, написаны лично автором. В работах с соавторами диссертанту принадлежит 60% результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 235 страницах и состоит из введения 4 глав, заключения, списка литературы из 70 наименований.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Яцко, Андрей Иванович

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Показана актуальность и необходимость создания математических моделей в задачах управления параметрами систем защиты технических объектов, оценки и обеспечения их безопасности. Установлено, что в настоящее время указанное научное направление находится в стадии становления.

2. Сформулирована цель диссертации, которая состоит в разработке новой актуальной научной проблемы, заключающейся в создании аналитических методов и моделей управления параметрами систем защиты технических объектов в условиях рисковых ситуаций и угроз.

Это научная проблема впервые решается на основе теории геометрического программирования в представленной диссертации и включает в себя следующие три новые направления разработок:

- основы теории системного интервального анализа;

- аналитическое решение задачи геометрического программирования повышенного уровня трудности; аналитическое решение задачи нахождения допустимых значений двойственных переменных;

- разработка моделей общего риска и приложения разработанных новых аналитических методов и моделей к решению задач управления параметрами систем защиты технических объектов.

3. По первому направлению исследований получены следующие новые научные результаты:

- дана постановка задачи интервального анализа, доказаны ряд новых неравенств и оценок для целевой функции объекта;

- разработан метод оценки корректности заданных границ на целевую функцию объекта; в результате получены условия совместности в виде производящих систем уравнений и неравенств;

- впервые разработаны методы решения систем производящих уравнений и неравенств, что позволило получить основные результаты системного интервального анализа в аналитической форме;

- впервые получено явное аналитическое решение задачи о задании интервальных ограничений на показатели системы защиты, исходя из заданных ограничений на целевую функцию объекта.

4. По второму направлению исследований получены следующие новые научные результаты:

- разработан аналитический метод решения задачи геометрического программирования повышенной трудности; метод реализован в виде простых рабочих формул или линейных расчетных схем с использованием операций над матрицами и векторами;

- доказано, что логарифм преобразованной двойственной функции строго вогнут и имеет единственную точку максимума, в которой достигается наибольшее значение двойственной функции;

- найдены явные условия оптимальности для нахождения единственной оптимальной точки в двойственной задаче; предложен новый линейный итерационный метод нахождения этой точки;

- доказана сходимость по норме итерационного процесса к единственной оптимальной точке, а также доказано, что предложенный метод имеет квадратичную скорость сходимости;

- дано построение теории двойственности в рассматриваемой задаче геометрического программирования повышенной трудности;

-разработан новый метод коррекции, позволяющий решить в аналитической форме задачу нахождения допустимых значений решений в двойственной задаче.

5. По третьему направлению исследований получены следующие новые научные результаты:

- разработана модель общего риска объекта и получена двусторонняя оценка общего риска с использованием суммы частных рисков;

- впервые разработаны приложения предлагаемых новых методов для решения следующих задач управления параметрами систем защиты технических объектов:

- минимизация общего риска угроз безопасности объекта;

- оптимальный выбор показателей системы защиты;

- интервальный анализ общего риска объекта и обоснование допусковых требований к показателям системы защиты;

- декомпозиция общего риска и его распределение по системе угроз;

- сравнительная оценка проектов обеспечения безопасности сложных объектов.

Иллюстрация предлагаемых новых методов дана на примере минимизации риска угроз безопасности движения автотранспорта на железнодорожном переезде и оптимального выбора параметров системы защиты этого объекта.

Совокупность разработанных в диссертации теоретических и прикладных результатов составляют содержание решенной в работе новой актуальной научной проблемы, заключающейся в создании аналитических методов и моделей управления параметрами систем защиты технических объектов в условиях рисковых ситуаций и угроз.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Яцко, Андрей Иванович, 2005 год

1. Альфред Г., Херцебергер Е. Введение в интервальные вычисления. - М.:Мир, 1987, 517 с.

2. Бекенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.:Мир, 1961, 276 с.

3. Гусятников П.Б. Линейные навигационные задачи. М.:, изд. МФТИ, 1994,154

4. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. -М.: Наука, 1984, 320 с.

5. Гипич Г.Н. Модели прогнозирования и снижения рисков воздушных судов гражданской авиации. М.: изд. МГУ им. Ломоносова, 2005, 500 с.

6. Гребенников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. М.:Наука, 1986, 384 с.

7. Давыдов Э.Г., Злобина С.В. Применение геометрического программирования к задачам распределения ресурсов на сетевых графах,- М.: ВЦ РАН, 1981, 45с.

8. Даффин Р., Питерсон Э., Зеннер К. Геометрическое программирование. М.: Мир, 1972, 311 с.

9. Дикусар В.В., Милютин А .А. Качественные и численные методы в принципе максимума. -М.: Наука, 1989, 240 с.

10. Дедков В.К. Модели прогнозирования индивидуальных показателей надежности. М.: ВЦ РАН им. А.А. Дородницына, 2003, 186 с.

11. И.ДивеевА. И., Северцев Н.А., Метод выбора оптимальных вариантов технических систем. М.: ВЦ РАН им. А.А. Дородницына, 2000, 105 с.

12. Дикин И.И. Решение задачи геометрического программирования методом внутренних точек. Препринт ИСЭМ СО РАН, 2002- N 7, Иркутск, 1999, 54 с.

13. Зубов Н.В., Зубов С.В. Математические методы в стабилизации динамики систем. С. Питербург, СПГУ, 1996 г., 212 с.

14. Ильичев А.В. Введение в системную безопасность и эффективность. М.: Научный мир, 2003, 215 с.

15. Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимально го управления систем с распределенными параметрами.-М.:ВЦ РАН, 1988, 72 с.

16. Каштанов В. А. Вероятностные процессы и их приложения М.:МИЭМ, 1989, 149 с.

17. Краснощекое П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: Наука, 2002, 307 с.

18. Карманов В. Г. Математическое программирование. -М.: Наука, 1988, 278 с.

19. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск, Наука, 1986, 278 с.

20. Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. М.: Наука, 972, 354 с.

21. Модели технических разведок и угроз безопасности информации. /Под ред. Е.М. Сухарева, кн. 3. -М.: Радиотехника, 2003, 178 с.

22. Макаров В.В., Ибрагимов Л.Г. Проектирование химико-технологических процессов методами геометрического программирования.-М.: МХТИ, 1982, 45 с.

23. Маршалл Д., Олкин И. Неравенства.теория мажоризации и ее приложения. -М.: Мир, 1983, 489 с.

24. Надежность и эффективность в технике. Энциклопедический справочник в 10 т. М.: Машиностроение, 1988.

25. Общие вопросы защиты информации /Под ред. Е.М. Сухарева, кн. 3, М.: Радиотехника, 2002, 232 с.

26. Ортега Дж., Вернер Р. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1976, 558 с.

27. Проект выносного свайного основания «Сахалин П» - М: МПР РФ, 2003.

28. Садыхов Г.С. Решение практических задач математической теории надежности теоретико вероятностными методами. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 19992, 44 с.

29. Северцев Н.А., Шутова Т.В. Моделирование управлением системой военноэкономической торговли России. М.: Изд. УДН, 2004, 205 с.

30. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул,-М.:Наука, 1974, 541 с.

31. Судаков Р.С. Теория псевдополуобратных матриц и ее применение к задачам оценки надежности систем. М.:3нание, 1981, 72 с.

32. Судаков Р.С. Теория испытаний технических систем. М.: Машиностроение, 1988, 345 с.

33. Судаков Р.С., Яцко А.И. Элементы прикладной теории геометрического про-грамирования. -М.: Знание, 2004., монография, 8.5 уч. изд. л.

34. Самсонов В.А., Дидманидзе О.Н. Геометрическое программирование в инженерных задачах. М.: Колос, 1999, 280 с.

35. Тарасов С.П. Границы решений в задачах геометрического программирова -ния.-М.: ВЦ РАН, 1981,32 с.

36. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967, 493 с.

37. Указ Президента РФ от 24. 04. 96., N 608. О государственной стратегии экономической безопасности РФ. Основные положения.

38. Хиршман И.И., Уиддер Д.В. Преобразования типа свертки. М.: Изд. иностранной литературы, 1958, 312 с.

39. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. Мир, 1989, 504 с.

40. Черников С.Н. Линейные неравенства. М.:Наука, 1968, 329 с.

41. Яцко А.И. Системный интервальный анализ. Элементы теории и приложения. М.: Знание, 2005, монография, 9.5 уч. изд. л.

42. Яцко А.И. Метод коррекции проектов обеспечения безопасности систем по критерию минимизации риска. // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем- М.: ВЦ РАН, -2004.-вып. 7. с. 27 35.

43. Яцко А.И. Метод оптимизации параметров, определяющих надежность сельхозмашин.// Тракторы и сельскохозяйственные машины, -М. -2005.-№ 6.

44. Яцко А.И. Новый метод задания допусковых ограничений на парамет ры технических объектов // Приборы, -М.- 2005,- № 4, 7 с.

45. ЯцкоА.И. Методика решения задач оптимизации по критерию обес печения максимума надежности сельхозмашин.//Тракторы и сельскохозяйственные машины, -М.- 2005.- № 7.

46. ЯцкоА.И. Метод коррекции проектов обеспечения безопасности систем по критерию минимизации риска II Приборы,-М,- 2005.-№ 5, 8 с.

47. Яцко А.И. Новый метод коррекции в прикладных задачах геометри ческого программирования // Приборы, -М,- 2005.-№ 6, 7 с.

48. Тескин О.И., Яцко А.И. Планирование объемов испытаний при конструировании технических изделий для случая параметрических отказов

49. Надежность и контроль качества, -М.- 1990.- № 2, с.12-16.

50. Тескин О.И., Яцко А.И. Расчет доверительных границ вероятности безотказной работы для параметрической модели отказов.// Надежность и контроль качества,-М.:-1989.- № 9, с. 16-20.

51. Jatsko A.I., Lipski T. Planowanie zakresu forsownych prob technicznych podczas kontroli parametrycznej niezawodnosci urzadzen. // Proceed "Ogolnopolska XXIX konferencja zastosowan matematyki". Zakopane -Koscielisko,- 2000- p. 52-54.

52. Ахламов С.Г., Яцко А.И. Моделирование и прогнозирование развития области как сложной социально экономической системы.// Изд. Национальной АН Украины, -2002- 20 с.

53. Яцко А.И. Метод нахождения начального решения в задаче геометриче ского программирования. // "Техника и технология "- М.:-2005.-№ 1, с.29 -32.

54. Яцко АИ. Об одной задаче в теории двойственности геометрического программирования. // "Естественные и технические науки"- М.:- 2005,-№ 1, с.148 — 152.

55. Яцко А.И., Мочкаев Н.М. Некоторые особенности математического обеспечения задач геометрического программирования. // "Техника и технология "- М.:-2005.-№ 1, с.45 50.

56. Яцко А.И. Применение метода мажоризации в системном интервальном анализе. // "Техника и технология "- М.:-2005.-№ 1, с.39 45.

57. Яцко А.И. Метод решения системы производящих соотношений в тео рии геометрического программирования. // "Естественные и технические науки"- М.:- 2005.-№ 1, с. 143 148.

58. Яцко А.И., Яцко С.И. Обобщенная краевая задача Римана с кусочно -непрерывными коэффициентами. II Укр. матем. журнал. -1978. т. ЗО. N5, с. 646-653.

59. Яцко А.И., Яцко С.И. К теории обобщенной краевой задачи Римана с кусочно непрерывными коэффициентами. II В кн. "Теоретические и прикладные вопросы диф. уравнений и алгебра". Сб. научи, тр., Киев. "Наукова думка". -1979.

60. Яцко А.И. Обобщенная краевая задача Римана в пространствах lp с весом. II Укр. матем. журнал. -1981. т.ЗЗ. Ко. 2, с. 283 - 286.

61. Яцко А.И. К теории обобщенной краевой задачи Римана с производными. II Препринт. Но. 5554 81 Деп. в ВИНИТИ.-1981.

62. Яцко А.И. К теории обобщенной краевой задачи Римана для сложного контура. II Извест. ВУЗов. Математика. 11.-1981 .-с. 85 87.

63. Яцко А.И. О некоторых классах сингулярных интегро дифференциальных уравнений со сдвигом и сопряжением. II Препринт N0. 402 - 82. Деп. в ВИНИТИ.-1982.

64. Яцко А.И. Исключительный случай обобщенной краевой задачи Римана. II Препринт Ко. 152 ук-85. Деп. в Укр. НИНТИ.

65. Dragomir S.S. On the arithmetic mean geometric mean -harmonic mean inequality., Austral.Math. Caz. 2000,27,N1,с 6-11

66. Greville T.N., Ben -Israel A. Generalized Inverse Matrices. New York, 1973, 420 p.71 .Gusyatnikov P, Rtznichenko S. Vector algebra.-M.:Mir, 1988, 288