Дробное интегродифференцирование переменного порядка в пространствах обобщенной и переменной гельдеровости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Кочуров, Евгений Сергеевич

• Кочуров, Евгений Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кочуров, Евгений Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Оценки типа Зигмунда для обобщённых модулей непрерывности дробных интегралов и дробных производных переменного порядка.

§ 1. Вспомогательные сведения. п. 1.1. Функции типа модуля непрерывности и некоторые их свойства п. 1.2. Обобщённые пространства Гёльдера с характеристикой, зависящей от параметра. п. 1.3. Понятие весовых пространств Гёльдера переменного порядка 23 п. 1.4. Дробные интегралы и дробные производные переменного порядка. п. 1.5. Обобщённые классы Зигмунда-Бари-Стечкина Ф^.). п. 1.6. Индексные числа Матушевской-Орлича и их связь с классами Ф^. п. 1.7. Некоторые вспомогательные утверждения и соотношения

§ 2. Оценки типа Зигмунда для обобщённых модулей непрерывности операторов 1ь( ), и

ГЛАВА 2. Теоремы о действии операторов дробного интегрирования и дифференцирования в пространствах обобщённой переменной гёль-деровости.

§ 3. Действие операторов и в пространствах Нш('\[а, 6])

§ 4. Регуляризация интегрального уравнения Абеля переменного порядка

ГЛАВА 3. Действие операторов дробного интегродифференцирования в пространствах переменной гёльдеровости со степенными весами

§ 5. Действие операторов и в пространствах Нх^ ([а, Ь], р) в случае веса [х — а.

§ 6. Действие операторов и в пространствах Нх^ ([а, 6], р) в случае веса (6 — х)и.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дробное интегродифференцирование переменного порядка в пространствах обобщенной и переменной гельдеровости»

В данной диссертации рассматриваются левосторонние и правосторонние операторы дробного интегрирования

1а(0 fix) - 1 [ f(t)dt (о I) a b

I«() f(x) <M 1 f (o 2) ib- f[X) T[a(x)}J (t-xy-»(*) X и операторы дробного дифференцирования X

D<*> f(x) -M+ "W f /W ~ /(*) dt f0 z) r[l - a(®)](® - a)°(*) Г[1 - a(x)] J {x - t)i+«(*)ar' 1 j a b

D*<-> f(x) =M+ a(a?) Í /М ~ / W dt f0 4) b" JK ' Г[1 - a(x)](b - x)°W T[1 - a(x)] J (t - ®)i+«(*) { } X переменного порядка a{x), 0 < а{х) < 1, в обобщённых пространствах Гёльдера Нш^'\[а,Ь]) с характеристикой, зависящей от параметра, и в пространствах переменной гёльдеровости Нх^ ([о, 6], р) со степенными весами. В нашем случае характеристика w(t, х),0 < t < Ъ — а, принадлежит классу типа Зигмунда-Бари-Стечкина по переменной t равномерно по ж, а вес р{х) имеет вид (х — aY или (Ъ — х)и, где fi и v — некоторые действительные числа.

В последнее время сильно возрос интерес к изучению пространств переменного порядка, когда параметры, определяющие пространство, обычно постоянные, могут изменяться от точки к точке. Типичным примером такого пространства является обобщенное пространство Лебега с переменным показателем, определяемое модуляром§ \/(х)\р^с1х. Другим примером п является пространство Гельдера переменного порядка, определяемое условием а>(/, ^ сЬх^х\х Е где локальный модуль непрерывности а;(/, функции / равен эир |/(ж + К) — /(ж)|. Известны и более общие пространства, а именно, обобщенные пространства Гельдера с переменной характеристикой ж), зависящей от х: о;(/, х) ^ сигде мажоранта х) - функция типа модуля непрерывности по переменной £ (для каждого х 6 [а, Ь]).

Целью работы является исследование зависимости отображений, осуществляемых дробными интегралами и дробными производными переменного порядка, от локальных значений а(х), Х(х) и при заданных ограничениях на величины /1 и р. Необходимость такого исследования возникает, например, при исследовании дифференциальных свойств функций или при решении некоторых интегральных уравнений первого рода (см., напр., [24]).

В настоящее время проведено большое число исследований по описанию образов и обращению операторов дробного интегрирования и дифференцирования в пространствах Гёльдера. Так, первый результат в данной области принадлежит Г. Вейлю (см. [47]). Он показал, что периодические функции, удовлетворяющие условию Гёльдера порядка Л, имеют непрерывные дробные производные порядка а < А. Для непериодических функций подобный результат был получен П. Моптелем в работе [32]. Более точно действие операторов дробного интегрирования и дробного дифференцирования в пространствах Нх было изучено Г. Харди и Д. Литтлвудом в работе [25]. В ней была доказана теорема о действии оператора дробного интегрирования постоянного порядка из пространства Гёльдера Hq в пространство Hq+0l , А + а < 1, с „лучшим"показателем гёльдеровости, а также теорема о действии оператора дробного дифференцирования из пространства Hq , А > а, в пространство Hq~а с „худшим" показателем гёльдеровости. Позднее B.C. Рубиным (см. [23]) были получены аналогичные теоремы о действии оператора в пространствах Гёльдера постоянного порядка со степенными весами. Дробные интегралы и дробные производные постоянного порядка в пространствах переменной гельдеровости рассматривались в работах Н. К. Карапетяпца и А. И. Гинзбург [12], [26]. Там же был получен изоморфизм этих пространств, осуществляемый дробным интегралом. Дробные интегралы переменного порядка в пространствах переменной гельдеровости рассматривались в работах Б. Росса и С. Г. Самко [33], С. Г. Самко [42]. Дробное интегродифференцирование на отрезке вещественной оси в пространствах обобщённой гёльдеровости в безвесовом и весовом случаях рассматривались в работах X. М. Мурдаева [17],[18], X. М. Мурда-ева и С. Г. Самко [19] - [21]. Действие операторов дробного интегрирования чисто мнимого порядка в пространствах Гёльдера постоянного порядка на отрезке вещественной оси со степенными весами было изучено в работе Н.К. Карапетянца и Л.Д. Шанкишвили [14]. Дробное интегродифференцирование комплексного порядка в пространствах обобщённой гёльдеровости со степенными весами рассматривалось в работе Н.К. Карапетянца и

Л.Д. Шанкишвили [29]. Здесь же был получен изоморфизм указанных пространств, осуществляемый дробным интегралом. Многомерные потенциалы и гиперсингулярные интегралы в пространствах переменной, обобщённой и обобщенной переменной гельдеровости рассматривались в работах Б. Г. Ва-кулова [2] - [4], [5] - [8], [45], Б. Г. Вакулова, Н. К. Карапетянца и Л. Д. Шанкишвили [9],[10],[46] и Н. Г. Самко и Б. Г. Вакулова [11]. Наиболее общие результаты о действии операторов типа потенциала и сответствующих гиперсингулярных операторов в рамках обобщенных пространств с переменными характеристиками были получены в работе Н. Г. Самко, С. Г. Самко и Б. Г. Вакулова [11], где рассматривались пространства гёльдеровых функций, определенных на однородных пространствах (квазиметрических пространствах с мерой, удовлетворяющей условию удвоения).

Ещё одним важным вопросом является регуляризация интегральных уравнений первого рода. В работе С. Г. Самко [43] рассматривается вопрос о регуляризации уравнения Абеля переменного порядка в пространствах Ьр. Там же изучен вопрос об обращении оператора дробного интегрирования переменного порядка в указанных пространствах. К уравнению типа Абеля приводит целый ряд естественно-научных задач (см., например, [15] с. 230). К таким относится задача отыскания закона распределения размеров шаровых частиц, погруженных в непрозрачную среду, по измерениям сегментов, которые получаются при пересечении частиц случайными плоскостями или задача из теории „глобулярного скопления" в астрономии (глобулярное скопление представляет собой собрание звезд, расположенных вокруг общего центра сферическими слоями постоянной плотности). В настоящей работе регуляризация интегрального уравнения Абеля переменного порядка проводится в пространствах обобщённой переменной гёльдеровости.

Диссертация состоит из трёх глав, разбитых на 6 параграфов. Теоремы (леммы, формулы, замечания). нумеруются двумя цифрами, первая из которых указывает на номер параграфа, а вторая — на номер теоремы (леммы, формулы, замечния) внутри параграфа.

В главе I получены оценки типа Зигмунда для обобщённых модулей непрерывности операторов дробного интегрирования (0.1),(0.2) и операторов дробного дифференцирования (0.3),(0.4). В нашем случае эти оценки носят локальный характер и зависят от точек х 6 [а, 6].

§1 носит вспомогательный характер. В нём приведены определения, обозначения, вспомогательные сведения и утверждения. В частности, здесь была доказана следующая

Лемма 1.1 Пусть - функция типа модуля непрерывности по переменной Ь для каждого х Е [а,Ь] и сио ^ т£ со{р — а, х) > 0. Тогда оператор умножения на функцию д Е Ыр([а,Ь]) ограничен в 6]) и в Я0"Н([а,6]).

В §2 получены оценки типа Зигмунда для разностей функций, являющихся дробными интегралами или дробными производными переменного порядка. Из леммы 1.1 следует, что при рассмотрении левостороннего и правостороннего операторов дробного интегрирования (0.1) и (0.2) оценки типа

Зигмунда достаточно получить для интегралов х хd f(t)dt f f (х- t)dt и S def f f(t)dt f J (X - ,).-(.) = J

1 -a(x) a 0 def f f(t)dt b?Xf(t + x)dt def f f(t)dt f

-1-а{х) 0 соответственно. А для левостороннего и правостороннего операторов дробного дифференцирования (0.3) и (0.4) — для множителей х - а)а(ж) (Ъ- х)а№ во внеинтегральном выражении из (0.3) и (0.4) и для интегралов

4 ' ] (х-г)1+а(х) ] а 0 ] У (г- ху+°(*) У *!+«(«) х 0

Везде в наших рассуждениях считаем, чтоа;(£,:г) является функцией типа модуля непрерывности по переменной I для каждого х е [а, Ь], и что а>(£,ж) равномерно по х не зануляется вне начала координат: т£ > 0 при 8 > 0. же [а,6] ье(6,ь-а)

Основными результатами §2 являются следующие утверждения: Теорема 2.1 Пусть выполняются условия а € Lip([a,b}) и 0 < inf а(ж) ^ sup о;(а;) < 1. (1) хе[а,Ц же [а,6]

Если / е Яо(-)([ а, 6]), то для функции <р справедлива следующая оценка типа Зигмунда

Ь—а м* + Л) - ¥>(*)! < с||/||я«Л |Л > 0. (2) Н

Теорема 2.2 Пусть выполняются условия (1). Если / £ Н^\[а,Ь]), то для функции ср справедлива следующая оценка типа Зигмунда

Ь—а ф{х + Л) - ф{х)\ < с||/||я"Л | Л > 0. (3) г

Теорема 2.3 Пусть выполняются условия (1). Если / £ //^^([а, &]), то для функций д(х) и справедливы следующие оценки h

4) П в(х + h) - 9(x)\ ^c\\f\\H. J uj(t,x) ж + /г) fl+a(x) fl+a{x+h) f-l+a{x+h) dt. (5)

Теорема 2.4 Пусть выполняются условия (1). Если f € #о°(М]); то для функций д(х) и 9{х) справедливы следующие оценки п я(х + h) - g(x)\ ^cll/llflw J иj(t,x) и}(t,x-\-h) j-l+a(x) -f-l+a(x+h) dt,

6) в(х + h) - §{x)\ uj(t, x) u(t, x + h) uj(t, x + h) fl+a(x) fl+a(x)

1+a{x+h) dt. (7)

В формулировках теорем 2.1—2.4 постоянная с > 0 не зависит от x,h и /.)

Теоремы 2.1—2.4 доказываются с использованием свойств функций типа модуля непрерывности, а также следующих неравенств: xß ~ Л < М\х - у\ [mm{x: у}]^1, я > 0, у > 0, р < 1, (8) - у| [max{®, t/}]""1, ж > 0, у > 0, р ^ 0. (9)

В главе II рассматривается действие дробого интегродифференциро-вания переменного порядка в пространствах обобщённой переменной Гёльдеровости 6]), а также применение полученных результатов к решению некоторых интегральных уравнений первого рода.

В §3 были получены теоремы о действии операторов дробного интегрирования и дробного дифференцирования в обобщенных пространствах Гёльдера b]) с переменной характеристикой. Для их формулировки нам понадобится следующее

Определение 1.9. Говорят, что функция иj(t,x) принадлежит по переменной t обобщенному классу Зигмунда-Бари-Стечкина Ф^'.), где 0 ^ 5(х) < ß(x),x G [a,b], если выполняются условия

1. х) по t непрерывна и почти возрастает на [0, b — а] равномерно по х G [а, 6], и lim cü(t, х) = 0 для каждого х G [а, 6], t—f+о о

3. Y^Y^^fldt^ccü^x), h где 0 < h < b — а, постоянная с не зависит от h и х Е [а,Ь].

Через Ф5^ мы также обозначаем соответствующий класс, для которого выполняется только условия 1 и 2, а через Ф/3(.) — класс с условиями 1 и 3, так что Ф^ = Ф5^ ПФЖ-)

Обозначим ua(t, х) = ta^uj(t, х), wa(i, х) = х).

Центральными результатами данного параграфа являются следующие утверждения:

Теорема 3.1 Пусть выполнены условия (1), функция u(t,x) является функцией типа модуля непрерывности по t для каждого х Е [а, 6] и Lo(t,x) Е Ф\-а{х).Тогда оператор ограниченно действует из пространства &]) в пространство

Теорема 3.2 Пусть выполнены условия (1); функции uj(t,x) и являются функциями типа модуля непрерывности по t для каждого х Е [а,Ъ], иj(t,x) Е Фа{х) и c\uj{h, х) ^ uj(h, х + К) ^ C2Uj(h, х), h > О, (10) где Ci,C2 > 0 и не зависят от х и h. Тогда оператор ограниченно действует из пространства Н^'\[а,Ь}) в пространство Hq 6]).

Теорема 3.3 Пусть выполнены условия (1); функция w(t, х) является функцией типа модуля непрерывности not для каждого х Е [а, 6], co(t, х) Е

Ф1-а(а:) и выполняется условие (10). Тогда оператор ограниченно действует из пространства Н^'\[а, 6]) в пространство Н^^([а, &]).

Теорема 3-4 Пусть выполнены условия (1), функции ц>{Ь,х) и являются функциями типа модуля непрерывности по £ для каждого х Е [а, Ь], ш{1,,х) Е и выполняется условие (10). Тогда оператор ограниченно действует из пространства Н^ ([а, Ь}) в пространство Н^а{'\[а:Ь]).

Для доказательства теорем 3.1 - 3.4 были использованы оценки типа Зигмунда (2) - (7).

Полученные теоремы о действии можно переформулировать в терминах известных в теории пространств Орлича индексов Матушевской-Орлича для функции ш(Ь, ж), зависящих от параметра х Е [а, Ь]:

1п т(ш, х) — эир *>1

- ш{Ъ,,х)

1.Л->0

1п

1п

М(ш.х) = т£ 4 ' ¿>1 Ит

1п

1п* Ит

-»сю

1п£ ыг

Сделать это позволяет следующая теорема (см. [11], Следствие 2.11): Теорема 1.1 Пусть выполнены условия

А ¿ЕС(М) и

ЩЩ [Р(х) - 5(ж)] > 0. х&[а, Ь]

Тогда ш{Ь,х) Е Ф^ <!=>- езБЫ[т(и;,х) - ¿(ж)] > 0, хе[а,ь] ш{Ь,х) Е Ф/}(.) ез8 8ир[М(а;, х) - /3(х)] < 0. хб [а, 6] и) (12)

С учётом (11) и (12), теоремы 3.1 - 3.4 принимают вид:

Теорема 3.5 Пусть выполнены условия (1); функция си(t, х) является функцией типа модуля непрерывности по t для каждого х 6 [а, 6] и локальный индекс М{си,х) функции си(i, х) удовлетворяет неравенству ess sup[М(со, х) + о;(ж)] < 1. хЕ[а,Ь]

Тогда оператор ограниченно действует из пространства Н^ \[а,Ъ]) в пространство Ь]).

Теорема 3.6 Пусть выполнены условия (1); функции cu(t,x) и ^iffi являются функциями типа модуля непрерывности по t для каждого х £ [о, 6] и выполнено условие (10). Если локальный индекс т(со:х) функции uj(t, х) удовлетворяет неравенству ess inf[т(ш, х) — а?(я)] > 0, же [а,¿>] то оператор ограниченно действует из пространства Н^\[а,Ь]) в пространство 6]).

Теорема 3.7 Пусть выполнены условия (1), функция и(t,x) является функцией типа модуля непрерывности not для каждого х £ [а, Ь\, выполняется условие (10) и локальный индекс М(ш, ж) функции а;(£, х) удовлетворяет неравенству ess sup[M(u;, х) + а;(ж)] < 1.

Тогда операторограниченно действует из пространства [а, 6]) в пространство Н^'\[а,Ь]).

Теорема 3.8 Пусть выполнены условия (1), функции uj{t,x) и являются функциями типа модуля непрерывности по t для каждого х £ [а:Ь], выполняется условие (10) и локальный индекс т(и, х) функции io(t, ж) удовлетворяет неравенству ess inf[ra(u;, х) — «(я)] > 0-хе[а,Ь]

Тогда оператор D^P ограниченно действует из пространства Н^'\[а,Ь]) в пространство ^([а, 6]).

Обозначим = (—сх>, N), N ^ оо. В §4 была получена следующая теорема об общем виде произведения сохраняющего пространство 6]):

Теорема 4-1 Пусть выполнены условия:

1. 0 < inf а(х) ^ sup а(х) < 1, а,Ь] х£[а,Ь]

2. аеСг([а,Ь]),

3. u{t, х) и ^а(х) являются функциями типа модуля непрерывности по переменной t для каждого х G [а, Ь],

4. u>(t,z) €

5. wo == inf ш(Ъ — а,х) > 0; х£ [а,Ь]

6. C\u)(h, х) ^ а;(/г, х + К) ^ C2u(h: ж), h > 0, где с\, c<i > 0 не зависят от х и h.

И пусть для некоторого N £ (6, оо) функция ¿(ж) есть гладкое финитное продолжение а(х) на Q>n, удовлетворяющее условиям:

1. О < т ^ ä(x) ^ М < 1, для всех х G

2. äec1{ttN).

Тогда для всех (р Е Н^ ^([а, 6]) справедливо представление X d:|-} <р) (х) = [(/ + L)ip] (х) Й ф) + I ф, X - t)<p(t)dt. а

Здесь функция £) имеет вид ^ «(Я)вифга(*)] / K-rt^-^K-^bi

1 - - J y^) ÖУ • о

Равенство — I + L доказывается при помощи известного ранее см. [43], с. 220) аналогичного результата для операторов дробного интегрирования и дробного дифференцирования переменного порядка на всей вещественной оси.