Дрейфовые неустойчивости плазменных волн в двумерных электронных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Петров Александр Сергеевич

• Петров Александр Сергеевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Петров Александр Сергеевич

Введение

Глава 1. Дрейфовая неустойчивость плазменных волн в

плазмонном кристалле с дифракционной решёткой в

качестве затвора

1.1 Текущее состояние ТГц технологий на основе плазменных эффектов в ДЭС

1.1.1 Токовые неустойчивости двумерной плазмы в однозатворных транзисторах

1.1.2 Токовые неустойчивости двумерной плазмы в многозатворных структурах

1.1.3 Детектирование дальнего ИК излучения

1.2 Неустойчивости двумерной плазмы в плазмонном кристалле, вызванные усиленным отражением

1.2.1 Введение и постановка задачи

1.2.2 О гидродинамической модели электронного транспорта в ДЭС

1.2.3 Дисперсия плазменных волн в плазмонном кристалле

1.2.4 Определение законов дисперсии

1.2.5 Анализ дисперсионного уравнения

1.2.6 Максимизация инкремента нарастания

1.3 Обсуждение результатов

Глава 2. Теория возмущений для гидродинамических

плазменных эффектов в двумерных электронных

системах

2.1 Построение теории возмущений

2.1.1 Энергетический способ построения теории возмущений

2.2 Токовые неустойчивости в ограниченных ДЭС

2.3 Влияние дрейфа на спектр мод в плазменных кристаллах

2.4 Обсуждение результатов

Глава 3. Теория возмущений для краевых эффектов в ДЭС

3.1 Теория ВМ для межкраевых магнитоплазмонов

3.1.1 Межкраевой магыитопдазмоы в слабых магнитных полях . 52 3.2 Неустойчивость межкраевого магнитоилазмона, вызванная

наличием дрейфа

3.2.1 Введение

3.2.2 Формализм

3.2.3 Поправка к спектру межкраевого магнитоилазмона, вызванная дрейфом

Заключение

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации

Приложение А. Описание электронного транспорта через

границу между открытой и подзатворной

областями

А.1 Гидродинамический транспорт через границу

А.2 Баллистический транспорт через границу

А.З Условие постоянства электрического потенциала

Приложение Б. Некоторые выкладки из теории возмущений

Б.1 Гамильтониан плазменных волн в ДЭС

Б.2 Эрмитовость оператора НО,

Б.З Вывод выражения (2.26)

Б.3.1 Вычисление поправки, вызванной дрейфом

Б.3.2 Вычисление поправки, вызванной столкновительным

затуханием

Б.4 Теория возмущений в периодических структурах

Б.4.1 Функция Грина в периодических структурах

Б.4.2 Вывод выражения для поправки, вызванной дрейфом, к собственной частоте плазменных волн в плазменных

кристаллах

Приложение В. Некоторые выкладки из теории межкраевых

магнитоплазмонов

В.1 Преобразование выражения (3.11) для профиля межкраевого

магнитоплазмона

В.1.1 Преобразование функций х±

В. 1.2 Преобразование интеграла (В.5)

В. 1.3 Окончательное выражение для профиля межкраевого

магнитоплазмона

В.2 Вычисление дрейфовой поправки к спектру межкраевого

магнитоплазмона

В.2.1 Вычисление матричного элемента в числителе

В.2.2 Вычисление матричного элемента в знаменателе

В.2.3 Взятие по частям интегралов от обобщённых функций

Приложение Г. Численный метод вычисления собственных

частот плазменных мод в транзисторных структурах

Г.1 Расчёт для транзистора с частично открытым каналом

Г.2 Расчёт для плазменного кристалла

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дрейфовые неустойчивости плазменных волн в двумерных электронных системах»

Актуальность работы.

Терагерцовый (ТГц) диапазон это следующий рубеж электроники и оптоэлектроники с потенциальными приложениями от визуализации, космической связи, вычислений, контроля качества и внутренней безопасности до биотехнологии и медицины [1 4]. На ТГц частотах инерция электронов становится важной, обеспечивая задержку между приложенным напряжением и скоростью (током) электронов. Когда столкновения электронов с примесями и колебаниями решетки нечасты, эта задержка приводит к колебаниям электронной плотности (называемым плазменными волнами или плазмонами) в ограниченных двумерных каналах, служащими резонансными полостями для плазменных волн. В режиме с преобладанием столкновений плазменные волны чрезмерно затухают, но все же играют роль, резко меняя распределение электронов в каналах устройства на ТГц частотах. Резонансный режим можно использовать для как для генерации, так и для детектирования ТГц излучения [5; 6]. И резонансные, и затухающие плазменные волны позволяют использовать другие электронные устройства ТГц диапазона, такие как детекторы, смесители и фазовращатели [7]. Для продвижения терагерцовых технологий в повседневную жизнь необходимо развивать как элементную базу (терагерцовые источники, детекторы, трансмиттеры), так и теоретические подходы к описанию этих приборов.

К примеру, одним из перспективных типов приборов терагерцовой пдазмо-ники являются субмикронные транзисторы на основе двумерных электронных систем (ДЭС). Они могут применяться как приёмник или трансмиттер, а также и как источник ТГц излучения. Так, в присутствие продольного электрического поля носители заряда в ДЭС приобретают направленную дрейфовую скорость, и если эта скорость превышает некоторое пороговое значение, двумерная плазма становится неустойчивой относительно самовозбуждения плазменных колебаний [8]. Далее за счёт радиационного затухания энергия плазменных колебаний преобразуется в ТГц излучение, что наблюдалось как в транзисторах с одним затвором [5], так и в устройствах с периодической вариацей плотности носителей в канале [9] (плазмопиых кристаллах) при комнатной температуре.

Таким образом, дрейфовые неустойчивости являются одним из актуальных механизмов генерации ТГц излучения и достаточно изучены к настоящему моменту. В то же время, несмотря на значительное количество работ по данной тематике, большинство из них сосредотачиваются на предсказании свойств конкретных структур: например, изучались дрейфовые неустойчивости в транзисторах, полностью покрытых затвором [8], транзисторах без затвора [10], транзисторах с заглушкой [11], плазменных кристаллах с симметричной элементарней ячейкой [12] и т.д. В те же время вопрос о тем, являются ли исследованные типы структур оптимальными для генерации плазмонов, остаётся открытым.

Обсуждение выше относится к возбуждению поверхностных плазменных мод в транзисторах. Однако не менее интересны и краевые моды, обладающие хиральными свойствами [13; 14], высокой концентрацией электрического поля и потенциально менее диссипативные по сравнению с поверхностными модами [15]. Теоретическое описание краевых мод опирается на более сложный математический аппарат и потому весьма скудно представлено в литературе [13 17]. Таким образом, качественное и обширное описание краевых плазменных мод является одним из вызовов для ТГц плазмоники.

Более того, добавление дополнительного внешнего воздействия на уже исследованную систему (например, помещение устройства в магнитное поле или подача переменного сигнала на затвор транзистора) обычно приводит к необходимости построения принципиально новой теории, которая может быть кратно сложнее исходной. Например, теоретическое описание краевого магнитол лазмона даже в минимальной модели является нетривиальной задачей, т.к. требует применения хоть и известного в литературе, но весьма громоздкого метода решения интегро-дифференциальных уравнений типа Винера-Хопфа [15]. При этом исследование влияния вязкости двумерного электронного газа на спектр этой моды требует заметно более глубоко погружения в математические тонкости [18] и исключает возможность проведения быстрых оценок. Налицо потребность в некоторой теории, подобной теории возмущений в квантовой механике [19] или электродинамике [20], позволяющей исследовать влияние различных эффектов на основе решения базовой задачи.

Выше перечислены лишь немногие вызовы современной терагерцовой плазмоники. Преодоление этих вызовов является актуальной задачей, и данная работа направлена на частичное решение обозначенных проблем.

Целью данной работы является изучение влияния дрейфа на плазменные колебания (в основном, терагерцовые) в двумерных электронных системах. А именно: выявление новых типов дрейфовых неустойчивостей в двумерных электронных системах; построение теории возмущений для терагерцовых плазменных эффектов в ДЭС; систематизация уже имеющихся знаний и выявление общих закономерностей во влиянии дрейфа на терагерцовые плазменные колебания в ДЭС.

Для достижения цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Показать, что в плазмонных кристаллах с элементарной ячейкой, частично покрытой затвором, возможно возникновение плазменной неустойчивости.

2. Построить аналог квантово-механической теории возмущений для плазменных эффектов в ДЭС, позволяющий пертурбативно описывать влияние следующих возмущений на спектр плазменных волн: дрейф носителей заряда, внешнее магнитное поле, вязкость, столкновитель-ное затухание.

3. С помощью построенной теории возмущений выявить общие закономерности влияния постоянного тока на спектр плазменных волн в каналах полевых транзисторов.

4. С помощью построенной теории возмущений исследовать возможность самовозбуждения магнитоплазмонов на краю ДЭС с различной плотностью носителей и протекающим поперечным постоянным током.

Научная новизна

1. Впервые предсказана возможность возникновения дрейфовой неустойчивости в каналах плазмонных кристаллов с элементарной ячейкой, частично покрытой затвором.

2. Впервые построен аналог квантово-механической теории возмущений для плазменных эффектов в ДЭС, позволяющий пертурбативным образом учитывать влияние возмущений (дрейф носителей заряда, внешнее магнитное поле, вязкость, столкновительное затухание) на исходную плазменную моду.

3. На основании данной теории впервые показана необходимость асми-метричности устройств на основе ДЭС для беспорогового возбуждения плазменных волн.

4. Впервые показано, что пропускание постоянного тока перпендикулярно границе двух ДЭС с различными плотностями носителей во внешнем магнитном поле может привести к возбуждению межкраевой магпито-плазменной моды на этой границе.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Постоянный ток в транзисторных структурах на основе двумерных электронных систем, покрытых решетчатым затвором, является неустойчивым относительно генерации плазменных волн, начиная с некоторого критического значения. Согласно развитой теории, основанной на уравнениях электронной гидродинамики, критическая скорость дрейфа электронов для достижения генерации в гетероструктурах на основе 1пАй при комнатной температуре имеет порядок 3 • 105м/с, и является экспериментально достижимой.

2. Построена последовательная теории возмущений для вычисления спектров и распределений поля двумерных плазмонов. В построенной теории нулевым приближением является решение спектральной задачи для плазмона в локальной друдевской модели электропроводности, а роль возмущений могут играть дрейф носителей заряда, внешнее магнитное поле, электронная вязкость, рассеяние носителей заряда, а также изменение граничных условий.

3. Необходимым, а в случае отсутствия диссипации и достаточным, условием для возникновения гидродинамической неустойчивости плазменных волн в транзисторах с двумерным каналом является отсутствие центра инверсии у структуры.

4. Пропускание постоянного тока перпендикулярно границе двумерных электронных систем с различными плотностями носителей во внешнем магнитном поле может привести к возбуждению межкраевой магни-топлазменной моды на этой границе. Темп роста данной плазменной неустойчивости пропорционален разности концентраций носителей заряда в двух соседних областях, не зависит от волнового вектора в слабых магнитных полях и квадратичен по волновому вектору в сильных магнитных полях. Критическая скорость дрейфа электронов для наблюдения данной неустойчивости в гетероструктурах на основе арсенида галлия является экспериментально достижимой при темпера-

турах порядка и менее 80 К и магнитных полях порядка и более 10 Т.

Практическая значимость работы состоит в предсказании новых тера-герцовых плазменных эффектов в двумерных электронных системах, которые могут найти применение в источниках и трансмиттерах терагерцовых сигналов. Этими эффектами являются: возбуждение межкраевого магнитоплазмона постоянным током; возбуждение плазменных колебаний постоянным током в плазмонном кристалле с решетчатым затвором с пороговой скоростью ниже скорости плазменных волн.

Теоретическая значимость работы состоит в построении аналога кван-тово-механической теории возмущений для плазменных эффектов в ДЭС, позволяющей приближённо описывать влияние внешних возмущений, таких как дрейф носителей заряда, внешнее магнитное поле, вязкость электронного газа, столкновительное затухание, вариация граничных условий, на плазменные моды в ДЭС.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием экспериментально проверенных приближений, качественным сравнением предсказаний построенных теорий с экспериментальными данными и количественным сравнением предсказаний построенных теорий с теоретическими предсказаниями других авторов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях:

1. Russia-Japan-USA-Europe Symposium ои Fundamental and Applied Problems of Terahertz Devices and Technologies, 2016, Sendai, Japan;

2. XXI Международный симпозиум Нанофизика и наноэлектроника, 2017, Нижний Новгород;

3. Progress in Electromanetics Research Symposium, 2017, Санкт-Петербург;

4. 60-ая научная конференция МФТИ с международным участием, 2017, Долгопрудный;

5. Международная конференция-конкурс молодых физиков, 2018, Москва;

6. XX Всероссийская молодёжная конференция по физике полупроводников и наноструктур, полупроводниковой опто- и наноэлектронике, 2018, Санкт-Петербург;

7. 26th International Symposium Nanostructures: Physics and Technology, 2018, Минск, Беларусь;

8. International Conference on Metamaterials and Nanophotonics METANANO 2018, Сочи;

9. Surface Plamon Photonics-9, 2019, Копенгаген, Дания;

10. XIV Российская конференция по физике полупроводников, 2019, Новосибирск;

11. 2D Materials 2019: International Congress on Graphene, 2D Materials and Applications, 2019, Сочи;

12. International Conference on Metamaterials and Nanophotonics METANANO 2020, онлайн;

13. Nanophotonics of 2D Materials 2020, онлайн;

14. International Conference on Metamaterials and Nanophotonics METANANO 2021, онлайн;

15. EP2DS 24/MSS 20 Joint Conference, 2021, онлайн.

Структура работы. Диссертация состоит из 3 глав, основные результаты которых изложены в статьях [А1 А4]. Статьи [А2 А4] опубликованы в рецензируемом международном журнале Physical Review В, включённом в библиографические базы Scopus и Web of Science. Полный объём диссертации составляет 107 страниц, включая 14 рисунков и 0 таблиц. Список литературы содержит 110 наименований, из которых 6 работ [A1 А6] опубликованы автором лично или в соавторстве.

Личный вклад. Общая постановка задач осуществлялась научным руководителем автора Свинцовым Д. А. Коллеги автора, участвовавшие в обсуждении методов и результатов исследования, указаны в работах [A1 А6] в качестве соавторов. Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором лично.

и

Глава 1. Дрейфовая неустойчивость плазменных волн в плазмонном кристалле с дифракционной решёткой в качестве затвора

Общепринято, что генерация излучения из полевых транзисторов на основе ДЭС происходит вследствие возбуждения колебаний электронной плотности (плазмоиов) в каналах таких структур и дальнейшем радиационном затухании полученных плазменных волн. Одним из используемых подходов для возбуждения плазменных колебаний является пропускание постоянного тока через канал транзистора; при этом развивается плазменная неустойчивость, которая отдалённо напоминает возникновение звука во флейте [8; 21]. При этом не существует единого подхода к описанию механизмов возникновения таких неустойчивостей, и результаты данной главы призваны частично заполнить этот пробел. Более чёткое понимание природы самопроизвольного нарастания плазменных волн позволит оптимизировать существующие приборы для наиболее эффективного преобразования энергии электронного потока в энергию плазмоиов и далее в излучение.

Вследствие этого настоящее исследование направлено на выявление общих закономерностей в самовозбуждении плазменных волн в каналах транзисторных структур на основе ДЭС. Мы показываем, что одной из таких закономерностей является механизм усиленного отражения плазменных волн от неоднородностей в каналах транзисторов, впервые предложенный Дьяконовым и Шуром [8] для транзисторов, полностью покрытых затвором. При этом неустойчивость Дьяконова-Шура (ДШ) развивалась благодаря несколько необычному граничному условию на стоковом контакте (постоянство электронного потока). В разделе 1.2 мы расширим модель ДШ в контексте применения к современным ТГц эмиттерам (обзор приведён в разделе 1.1) и исследуем неустойчивости в периодических структурах. Как будет показано, в них также доминирует принцип усиленного отражения, с помощью которого мы впервые показываем возможность самовозбуждения плазмоиов в таких структурах при пропускании малого тока (дрейфовая скорость много меньше скорости насыщения/скорости плазменных волн) через канал транзистора.

По результатам проведённых исследований выпущено две статьи: [А1] и

[А2] ■

1.1 Текущее состояние ТГц технологий на основе плазменных

эффектов в ДЭС

1.1.1 Токовые неустойчивости двумерной плазмы в однозатворных

транзисторах

Токовые неустойчивости в двумерных электронных системах были впервые предсказаны в 80-х годах прошлого века Крашенинниковым и Ча-пликом [22; 23], однако эти теории не могли найти экспериментального подтверждения вследствие того, что пороговая скорость дрейфа, необходимая для зарождения неустойчивости, была крайне высока порядка скорости плазменных волн или скорости насыщения в данном материале.

Но вскоре была открыта беспороговая, т.е. развивающаяся при бесконечно малых скоростях дрейфа в отсутствие диссипации, неустойчивость в ДЭС неустойчивость Дьяконова-Шура (ДШ)[8]. Преимуществом модели ДШ оказалось то, что они рассматривали ограниченную систему (полевой транзистор), а не бесконечную ДЭС. В таком случае при введении асимметрии в исследуемую систему, что в случае ДШ было достигнуто с помощью различных граничных условий (ГУ) на истоке и стоке транзистора, становится возможной генерация ТГц плазмонов при гораздо меньших скоростях дрейфа по сравнению с бесконечными ДЭС. Механизм неусточивости ДШ заключается в усиленном отражении плазменной волны, движущейся по потоку, от стокового контакта транзистора (на котором поддерживается постоянным поток носителей); при этом при последующем отражении этой волны от контакта истока потери энергии не происходит (т.к. на истоке поддерживается постоянной концентрация носителей). Отметим, что транзисторная структура является резонатором для плазменных колебаний, и усиливает лишь отдельные частоты, которые можно менять с помощью напряжения на затворе.

Спустя десятилетие неустойчивость ДШ была реализована в работах Кна-па и соавторов [24; 25], наблюдавших относительно узкополосное ТГц излучение из транзисторных структур на основе ТпСаЛв при температуре 4 К. Излучение появлялось пороговым образом при постепенном увеличении напряжения исток-

сток, причём центральная частота в спектре излучения зависела от напряжения на затворе и хорошо описывалась теорией ДШ.

Однако первое время достоинства источников на основе неустойчивости ДШ были неочевидны: источники ДШ, как и многие аналоги, требовали охлаждения до гелиевых температур, причём мощность излучения на выходе оставалась крайне низкой, порядка наноВатт. К счастью, вскоре исследователям удалось пронаблюдать ТГц генерацию при комнатной температуре, а также увеличить выходную мощность на 1-2 порядка [26] за счёт использования СаХ/ЛЮаХ транзисторов. Наконец, группам проф. Кнапа и Отсужи удалось пронаблюдать зависимость положения спектрального пика эмитируемого излучения от напряжения на затворе [5; 27] в более широком диапазоне частот (до 2,1 ТГц против 1 ТГц в ранее), что окончательно показало реализуемость механизма плазменной неустойчивости ДШ на практике.

Работа ДШ также послужила отправной точкой для интенсивных теоретических исследований. Начальная модель (рассматривающая полевой транзистор, полностью покрытый затвором) была значительно доработана и глубже исследована: так, в работах [28 30] было показано, что для развития неустойчивости ДШ достаточно, чтобы импеданс стока превосходил импеданс истока, а также проведено численное моделирование развития неустойчивости. Также в поисках более оптимальных конфигураций для поддержания плазменной неустойчивости изучались и другие модели: негейтированный транзистор [10], транзистор в геометрии Корбино [31], полевой транзистор с частично открытым каналом [А1; 32], а также транзистор с заглушкой [11; 33].

1.1.2 Токовые неустойчивости двумерной плазмы в многозатворных структурах

Хотя теория ДШ описывает неустойчивости в транзисторах с одним затвором, она пробудила интерес к поиску беспороговых неустойчивостей и в многозатворных структурах. ДЭС, покрытую множеством затворов с некоторым пространственным периодом, мы будем называть плазмонным кристаллом. Ранние теории взаимодействия ТГц излучения с ДЭС, покрытыми дифракционной решёткой, также как и работы [22; 23], предсказывали большую пороговую

скорость для развития неустойчивости или хотя бы усиления падающего ТГц излучения [34; 35]. Тем не менее, в подобных приборах также удалось добиться ТГц генерации [36 39] и усиления [9] даже при комнатной температуре и небольших скоростях дрейфа. Это стало возможным благодаря применению асимметричных встречно-штыревых дифракционных решёток, позволяющих выборочно обеднять или обогащать носителями определённые части двумерного канала и использовать возникающие времяпролётные эффекты в обеднённых частях канала, где скорость носителей наибольшая (неустойчивость Рыжия-Сато-Шура [40]), а также благодаря использованию материалов с высокой подвижностью носителей, в том числе графена.

К настоящему моменту известно множество теоретических работ, направленных на изучение токовых неустойчивостей в плазмонных кристаллах. Так, были изучены полностью гейтированные плазмонные кристаллы с варьируемой фазовой скоростью плазменных волн [41] или дрейфовой скоростью электронов в элементарной ячейке [12], а также структуры со встречно-штыревыми затворами на основе графена [42]. Однако эти работы не позволили выявить оптимальные условия для развития неустойчивостей: так, первые две модели требуют высокую пороговую скорость порядка скорости плазменных волн для развитися неустойчивости, а в третьей модели важную роль играют времяпролётные эффекты в открытых областях канала, которые становятся значимыми лишь при больших (сотни мВ) падениях напряжения на соответствующих участках; в реальных же структурах эта величина не превосходит 50 мВ [43].

В связи с этим нами была исследована модель плазмонного кристалла на основе ДЭС с ненулевой эффективной массой носителей, в которой удалось показать возможность самовозбуждения плазменных волн при скоростях дрейфа заметно меньше скорости насыщения/скорости плазменных волн. В разделе 1.2 будет показано, что это стало возможным за счёт эффективного сложения неустойчивостей ДШ (основанных на усиленном отражении от границ гейтиро-ванной и негейтированной областей) в каждой ячейке плазмонного кристалла. Результаты изложены в публикации [А2].

1.1.3 Детектирование дальнего ИК излучения

В заключение обзора отметим, что плазменные эффекты в транзисторных структурах на основе ДЭС успешно применяются в детекторах ТГц излучения. Так, одновременно с созданием эмиттера на основе неустойчивости Дьяконова-Шура был создан и соответствующий детектор [44], работающий при комнатной температуре (теоретически возможность детектирования была предсказана несколькими годами ранее [7]). Данная область активно развивалась; были исследованы структуры с одним [45; 46] и многими затворами [47; 48], а такжу структуры в геометрии Корбино [А5; 49]. Однозатворные транзисторы на данный момент показывают чуть лучшие характеристики: они прекрасно подходят для сканирования бытовых объектов [50 52] и доступны на коммерческом рынке (см., например, www. t-waves-technologies. com или www.terasense.com).

1.2 Неустойчивости двумерной плазмы в плазмонном кристалле,

вызванные усиленным отражением

1.2.1 Введение и постановка задачи

В данном разделе мы изучим неустойчивость двумерной плазмы в плаз-монных кристаллах, покрытых решетчатым затвором с одним завтором в элементарной ячейке (рис. 1.1А). А именно, в предположении гидродинамического транспорта будет впервые изучен механизм развития беспороговой неустойчивости, что является обобщением идеи Дьяконова-Шура об усиленном отражении плазмонов: в нашем случае плазмоны будут отражаться не от контактов (они бесконечно удалены и не рассматриваются в модели), а от границ подзатворная область-открытая область. Предлагаемый механзим, возможно, ответственен за ТГц генерацию из структур на основе арсенида индия-галлия при малых продольных напряжённостях поля (не более 1 кВ/см) [38] и, соответственно, малых скоростях дрейфа (меньших скорости насыщения и скорости плазменных волн).

(А)

V.

и

V

20Е5

(Б)

-ллллл-

(В)

и

т

•у'-уЛЛЛг

■ЛААДЛ

Т г,

-1

и

.! /\У\Л

т

Рисунок 1.1 (А) Схематичное изображение транзисторной структуры с двумерным каналом, покрытой решетчатым затвором. (Б, В) Схематичное изображение отражений плазменной волны (Б) под изолированным затвором и (В) в многозатворной структуре. Отражение от правой границы приводит к усилению волны при наличии потока, тогда как отражение от левой к её затуханию в случае (Б). Однако это затухание может быть скомпенсировано (В) плазменной волной, падающей на левую границу из соседней ячейки кристалла. Особенно эффективная компенсация происходит при совпадении фаз (см. ниже). Символы Т5, Т9, Ть-1, Ти обозначают трансфер-матрицы, описывающие распространение плазменных волн в различных частях плазмонного кристалла.

Механизм развития нашей неустойчивости может быть понят следующим образом. В отдельной ячейке периодической структуры подзатворный плазмой, распространяющийся по потоку, испытывает усиленное отражение от границы подзатворная область-открытая область и меняет направление распространения на обратное. Далее, падая на левую границу подзатворной области и отражаясь от неё, плазмон затухает, ибо падение на границу происходит против потока (рис. 1.1Б). Важно, что в обоих случаях присутствует утечка энергии плазменной волны в открытые области, что также показано на рис. 1.1Б. Однако эти потери энергии могут компенсироваться в периодической структуре (рис. 1.1В) за счёт подкачки энергии из соседней ячейки плазмонного кристалла, и в нашей работе мы установим необходимые параметры структур для эффективности такой подкачки.

В разделе 1.2.3 с помощью метода трансфер-матриц мы получим общее дисперсионное уравнение для плазменных волн в произвольном плазмонном кристалле в присутствии дрейфа носителей. Далее мы рассчитаем собственные частоты и темпы роста неустойчивости для структуры, изображённой на рис. 1.1А. В конце работы (раздел 1.2.6) будут найдены условия для наиболее эффективной передачи энергии из одной ячейки плазмонного кристалла в соседнюю, что обеспечит развитие беспороговой неустойчивости.

1.2.2 О гидродинамической модели электронного транспорта в

дэс

Ещё с работ Блоха в 1930-х годах [53] гидродинамическая модель электронного транспорта стала часто применяться при описании различных явлений в твёрдых телах благодаря своей простоте, в то время как более общий подход, основывающийся на решении кинетического уравнения Больцмана, гораздо более трудоёмок. Формально, гидродинамическое приближение справедливо, если частота электрон-электронных (е-е) столкновений т-1 является доминирующей в рассматриваемой системе, т.е. превосходит характерную частоту рассматриваемого процесса ш, а также эффективную частоту рассеяния носителей заряда на фононах, примесях и границах кристаллах-1. Проведём оценки упомянутых величин для двумерных электронов в гетероструктуре GaAs/AlGaAs при темпе-

ратуре 77 К и плотности носителей 1012см 2: согласно [ ] темп е-е рассеяния Гее может быть вычислен по формуле

nzF (кТ\\ кТ

Гяя =---М — in

) 'n f ■ M

Ш \eF

откуда получаем Гее ~ 1.7 • 1012 Гц, тогда как характерная частота плазменных колебаний ш ~ 2п • 1012рад/с^ т"1 и т"1 ~ 1012Гц^ Г"1.

ее р

Таким образом, для наблюдения истинно гидродинамического транспорта в ДЭС необходимы сверхчистые образцы с невысокой плотностью носителей. Первые свидетельства гидродинамических явлений в твёрдых телах были получены только в 1995 году [55; 56], однако дальнейшее развитие эта область получила совсем недавно. Так, в 2016 году разными группами наблюдались электронные вихри [57] и нарушение закона Видемана-Франца в графене [58], а также получены свидетельства в пользу вязкого течения электронов в узких каналах кобальтата палладия [59]. Годом позже была предсказана возможность сверхбаллистического транспорта носителей заряда через узкие двумерные каналы [60] благодаря кооперативным эффектам в вязком электронном газе, и совсем скоро эта теория нашла экспериментальное подтверждение [61]. Недавно гидродинамический транспорт также наблюдался в полуметаллах Вейля [62] и гетероструктурах СаАн/АЮаАн [63].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Петров Александр Сергеевич, 2022 год

С. С.

логии с задачей о грузике, колеблющемся на пружине, члены с комплексными экспонентами преобразуются к дисперсионному уравнению для рассматриваемых плазменных мод и сократятся.

2.2 Токовые неустойчивости в ограниченных ДЭС

Постоянный ток, протекающий в ограниченных ДЭС, может давать энергию пдазмонным модам и приводить к их самовозбуждению (плазменной неустойчивости). Один из первых примеров такой неустойчивости был продемонстрирован Дьяконовым и Шуром [8]; они исследовали полевой транзстор, полностью покрытый затвором, с граничными условиями постоянства потенциала на истоке и постоянства тока на стоке. Позже были проанализированы другаие геометрии и граничные условия, включая нагруженный сток [29], транзисторы с частично открытым каналом [А1; 32] и диски Корбино [31]. Этот поиск неустойчивостей был весьма разрозненным, и не было общего понимания, поддерживает ли данная структура полевого транзистора неустойчивость или нет. В то же время и теоретические работы, и экспериментальные данные [5; 24] намекают, что структурная асимметрия каким-то образом способствует неустойчивости.

Построенная теория возмущений позволяет нам сформулировать критерий плазменной неустойчивости в самом общем виде. С позиций операторного подхода, оператор дрейфа Уаг в ограниченной ДЭС неэрмитов, а значит, приводит к возникновению мнимой части собственной частоты плазменных колебаний. Собственная частота может остаться действительной лишь при выполнении определённых условий, которые мы установим ниже.

Для начала мы ограничимся рассмотрением колебаний двумерных электронов вдоль одного направления (сонаправленного с дрейфом, ось Ох на рис. 2.1); рассмотрение мод с неоднородностью по перпендикулярной оси будет проведено в главе 3. Вычислив матричные элементы в уравнении (2.12), мы определим поправку к собственном частоте плазменных колебаний, вызванной наличием дрейфа, диссипативного рассеяния и вязкости, в ограниченной ДЭС:

ША = - ЩЦ]— а*.

1пл|

где К(х) = т|ил(ж)|2/2 — плотность кинетической энергии плазменной моды,

ь

П = е2 (1х(1х' п\(х)С(х,х')п\(х') (2.27)

о

плотность потенциальной энергии ьзаимодеистьия возмущении зарядовой плотности в ДЭС длины Ь, а

ь # Ь

Qlosа = У йх {Ие а|ЕЛ|2 + п^2} + ^^ о

(2.28)

является диссииативным членом, учитывающим влияния вязкого трения и рассеяния на примесях/фононах; а = ге2п0/т(0 + г/тр) обозначает проводимость Друде. Вывод данной формулы приведён в Приложении Б.З. Проанализируем выражение (2.26). Во-первых, оно наглядно показывает, что инкремент нарастания плазменных волн 1т 80л происходит от разности кинетической энергии волны на истоке и стоке А К = КЛ(0) — Кл(Ь). Далее, оно запрещает беспороговое возбуждение пламенных волн, обладающих какой-либо симметрией. Действительно, чётные/нечётные профили мод удовлетворяют условию и2(Ь) = и2(0), что зануляет накачку АК. Поэтому зеркально-симметричные транзисторные структуры не поддерживают неустойчивые моды, в то время как асимметричные структуры, как правило, поддерживают (в отсутствие диссипации). При этом природа асимметрии может быть крайне разнообразной: она может происходить от асимметричного расположения завтора(ов), неодинаковой нагрузки истока и стока, неоднородной плотности носителей в канале, или комбинации этих и других факторов.

Отметим, что полученное выражение (2.26), в частности, воспроизводит

К(0) — К( Ь)

не обращается в ноль из-за асимметричных граничных условий на контактах транзистора.

Результат (2.26) позволяет пойти дальше общих выводов о симметрии и установить требования для максимизации инкремента неустойчивости среди различных конфигураций транзисторных структур. Максимизация инкремента эквивалента максимизации разности квадратов скоростей и2(0) — и2(Ь), которые в свою очередь пропорциональны электрическому полю и обратно пропорциональны плотности носителей. Таким образом, мы ожидаем, что ДЭС с (1) высоким электрическим полем и малой плотностью носителей на истоке и (2) низким электрическим полем и высокой плотностью носителей на стоке будут наиболее подходящими для возбуждения плазменных волн постоянным током. Простейшей реализацией такого сценария является полевой транзистор с частично открытым каналом (рис. 2.1 А) с короткой обеднённой носителями

Длина затвора / длина канала

Рисунок 2.2 Вычисленные инкременты нарастания неустойчивости для фундаментальной плазменной моды в полевом транзисторе с частично открытым каналом (показан на вставке) при различных длинах затвора и концентрации носителей. Профиль плотности носителей аппроксимирован сглаженной ступенчатой функцией п0(х) = п\ + (п2 — п1)\1 + е(ж-ж0)/lint]-1, где ^ L — длина перехода. Инкременты нарастания нормированы на w0/L, оде и0 — дрейфовая скорость на стоке (одинакова для всех кривых), плотность носителей на стокеп0 также зафиксирована. При инверсии полярности напряжения исток-сток (что равносильно изменению направления дрейфа) кривые зеркально отражаются относительно горизонтальной оси. Неустойчивость предпочтительно развивается, если поток направлен из обеднённой в обогащенную область и особенно проявляется, если обеднённая область короткая и не покрыта затвором (ср.

точки 1 и 2).

подзатворной областью рядом с истоком и длинной обогащенной носителями открытой областью рядом со стоком (см. вставку на рис. 2.2).

Для проверки этой гипотезы мы разработали симулятор плазменных мод в транзисторе с частично открытым каналом. 14сток и сток нашей структуры поддерживают постоянный потенциал, что соответствует типичному экспериментальному подключению контактов к источнику постоянного напряжения; неоднородность распределения носителей в канале создаётся с помощью напряжения исток-затвор. Мы численно решаем самосогласованные уравнения гидродинамики и электростатики для такой структуры (см. Приложение Г) и строим на рис. 2.2 мнимые части собственных частот для множества структур с различной длиной затвора и соотношением плотностей носителей. В соответствии с нашими ожиданиями, максимальный инкремент нарастания (точка 1) достигается для структуры с короткой обеднённой областью, расположенной рядом с истоком. Если мы изменим направление дрейфа (полярность подаваемого напряжения), кривые отразятся относительно горизонтальной оси и новый максимум (точка 2, которая теперь будет сверху, в области инкрементов) окажется ожидаемо ниже из-за экранирования полей затвором. К тому же, рис. 2.2 иллюстрирует, что обеднённые области не должны быть слишком короткие: в противном случае структура будет всё более стремиться к симметричным предельным случаям транзистора, полностью покрытого затвором или полностью открытой ДЭС а моды в симметричных структурах, как мы уже выяснили, являются устойчивыми.

Наши выводы подтверждаются экспериментом. Так, первые источники ТГц излучения, основанные на плазменной неустойчивости [24], были симметричны и излучали широкий спектр лишь при гелиевых температурах. Последующие приборы стали заметно асимметричны [5] и позволили пронаблюдать резонансное испускание ТГц волн уже при комнатной температуре. Более того, работа [5] показала, что пороговый ток, при котором прибор начинает излучать, заметно меньше в случае расположения обеднённой части канала вблизи истока, в полном согласии с нашими выводами.

2.3 Влияние дрейфа на спектр мод в плазмонных кристаллах

В периодических системах оператор дрейфа является эрмитовым из-за трансляционной инвариантности и потому сохраняет энергию. Это значит, что возникновение беспороговых неустойчивостей невозможно в плазмонных кристаллах, но полностью они не запрещены, как демонстрирует глава 1 и работы [12; 23; 35]. Таким образом, небольшой дрейф не сказывается на устойчивости плазменных мод; он меняет их спектр.

Для того, чтобы получить модификации спектра плазменных мод в плазмонных кристаллах, вызванные дрейфом носителей, мы применяем построенную теорию возмущений с несколькими дополнениями. А именно, после процедуры линеаризации мы применяем стандартное разложение неизвестных функций по блоховским волнам

V (х) — ?(х)еЩвХ (2.29)

и приходим к тем же выражениям (2.5)-(2.8), но с несколькими отличиями:

— 'Волновые вектор-функции' Ф = (п(ж),й(ж)) теперь включают в себя не полные амплитуды концентрации и скорости носителей в плазменной волне, а только их периодические части (и не включают блоховские);

— Оператор производной необходимо модифицировать согласно правилу

Х ^ Их — (^^х + Щв) (где дв — блоховский вектор, см. уравнение (Б.23));

— Функция Грина также претерпевает изменения:

п=+то

спеи](х,х')— ^ Сггие(х,х' + пЬ)е*в(Х-Х)е*вп!, (2.30)

п=—ж

где ж и ж' лежат внутри одной элементарной ячейки длины Ь, а С^ие(х,х') настоящая гриновская функция плазмонного кристалла, определённая для любых (см. вывод в Приложении Б.4.1).

Эти замечания позволяют нам применить уравнение (??) к описанию плазменных волн в плазмонных кристаллах с дрейфом. Мы приходим к:

Шл = 1т(шйлДх^л) ^ Зц

^л ^ (1хКе(—еплфЛ)

Как и ожидалось, поправка является действительной и соответствует допле-ровскому сдвигу невозмущённой моды.

Заметные сдвиги исходной плазменной частоты могут быть полезны в резонансном фотодетектировании, основанном на эффекте плазмонного увлечения [82]. Действительно, в типичных плазмонных кристаллах нормально падающее излучение возбуждает волновые пакеты в окрестности дв = 0, где распределение групповой скорости симметрично в отсутствие дрейфа. Для надлежащего детектирования сигнала требуется ввести заметную асимметрию в это распределение, что может быть сделано с помощью дрейфа. Последний нарушает симметрию дисперсионной кривой, и чем больше долеровский сдвиг частоты, тем больше разница групповых скоростей плазмонов, распространяющихся по и против потока.

На первый взгляд, однако, плазмонные кристаллы могут показаться малопригодными для фотодетектирования: уравнение (2.31) требует, чтобы поправка Шл обращалась в 0 в пределе стоя чих волн дв = 0 из-за 1ш(тилВхиЛ) = 0

в 0 только в рамках невырожденной теории возмущений, когда моды исходной задачи достаточно удалены друг от друга. Но если плазмонный кристалл поддерживает две близкие моды, то мы обязаны применить вырожденную теорию возмущений, и в таком случае приходим к

= ^ + «2 ±\!(«1 - ^2)2 + 4|^12|2} , (2.32)

= , . (2.33)

^/(Ф1|Я |Ф0 (Ф2|Я |Ф2>

Вывод данных выражений полностью аналогичен выводу формул вырожденной теории возмущений в любом учебнике по квантовой механике, см., например, [83].

Рис. 2.3 иллюстрирует вышесказанное. В левой части рис. 2.3 мы строим вычисленные доплеровские сдвиги для Зей и 4ой мод в плазмонном кристалле, полностью покрытом затвором (см. вставку в правой части рисунка) со ступенчатым профилем концентрации носителей в элементарной ячейке. Сдвиги нормированы на ожидаемую величину доилеровского сдвига

^ /АТ Ь1/Ь2 + п1/п2

М/Ь = и°/М =ио ЫЬ/Ь2 , (2-34)

где й1 — скорость плазменных волн под первым затвором, Ь1 и Ь2 обозначают длины затвором, Ь1 + Ь2 = Ь, п1 и п2 — концентрации носителей, и N

нумерует пары плазмонных мод; в нашем случае N = 2 (вторая пара). Верхняя правая часть рнс. показывает зависимости ) для первых четырёх мод в плазмонном кристалле с Ь2 = 0.7Ьх и п2 = 0.7щ. В полном соответствии с уравнением (2.32), мы наблюдаем параболический спектр при очень низких дрейфовых скоростях, который трансформируется в линейный спектр, когда амлитуда возмущения начинает превышать амплитуду вырождения. Таким образом, наклон линейной части графика определяется недиагональными матричными элементами и в определённом диапазоне параметров приводит к увеличенным доплеровским сдвигам.

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3

Отношение концентраций п2/п1 Норм. доплеровский сдвиг

Рисунок 2.3 (Левая и нижняя правая часть) Номированный доплеровский сдвиг для Зей и 4ой мод в плазмонном кристалле, полностью покрытом затвором со ступенчатым профилем концентрации в элементарной ячейке. (Верхняя правая часть) Зависимости частоты плазмона от скорости дрейфа ) для плазмонного кристалла с параметрами Ь2 = 0.7Ьх и п2 = 0.7пх. Характер этих зависимостей совпадает с предсказаниями вырожденной теории возмущений (2.32). Вставка: схема плазмонного кристалла, полностью покрытого затвором.

2.4 Обсуждение результатов

Разработанная теория возмущений обладает той же функциональностью, что и её старший аналог из квантовой механики: зная точное решение невозмущённой задачи, мы можем определить поправки к этому решению, вызванные малыми возмущениями. Однако точные решения большая редкость в двумерной плазмонике, среди решённых сложных задач можно выделить построение теории краевых мод [13; 84] (к которому мы ещё вернёмся в главе 3) и описание плазменных мод в транзисторных структурах, полностью покрытых затвором, с бесконечными стенками [А5; 49]. К счастью, невозмущённые задачи в нетривиальных геометриях хорошо решаются коммерческими симуляторами задач электромагнетизма, и получающиеся профили мод могут использоваться для вычисления поправок по нашей теории возмущений.

Применение гидродинамической модели электронного транспорта обусловлено не столько фокусом на ограниченном классе структур, в которых такой транспорт действительно возможен, сколько её способностью хорошо описывать классические эффекты в ДЭС. Действительно, многие экспериментальные работы по наблюдению плазмонов соответствуют баллистическому режиму транспорта штее ^ 1 [ ; ], когда е-е столкновения, ведущие к гидродинамическим явлениям, не играют роли. Тем не менее, различия в предсказаниях гидродинамического и баллистического подходов важны лишь при исследовании температурных поправок к частоте плазмонов, а также затухания Ландау [87]. Таким образом, мы имеем основания предполагать, что построенная теория приведёт к разумным результатам и в баллистическом пределе.

При построении теории возмущений мы пользовались классическими моделями и пренебрегли эффектами запаздывания, формально полагая скорость

мерных плазмонов, т.к. их частота находится заметно ниже светового конуса ш = cq ~ с/L [ ]. Отказ от нашего приближения незамедлительно влечёт возникновение излунательного затухания плазмонов и неэрмитовость (модифицированного с учётом релятивистских эффектов) гамильтониана Н. Построение теории в этом случае также возможно [89], но потребует аккуратного обращения с расходящимся на бесконечности полем плазмона. В то же время отметим, что взаимодействие дисперсионных кривых света и двумерных плаз-

монов недавно наблюдалось в сверхчистых гетероструктурах СаАн/АЮаАн на ГГц частотах [90; 91].

Полученные в данной главе результаты демонстрировали использование первого порядка вырожденной и невырожденной теории возмущений. При необходимости поправки высших порядков также могут быть рассчитаны в полной аналогии с квантовой механикой. Эти поправки могут играть роль, ко:да поправки первого порядка запрещены по симметрии (доплеровский сдвиг в центре плазменной зоны Бриллюэна). Другое применение высшие поправки могут найти в анализе слабых турбулентностей плазмы вблизи порога неустойчивости [92; 93]. К настоящему времени подобные задачи в ДЭС решались численно [80] или же были ограничены упрощёнными модельными системами [94]. Теория возмущений позволит провести общий анализ плазменных турбулентностей вблизи порога.

Глава 3. Теория возмущений для краевых эффектов в ДЭС

В данной главе мы исследуем действие дрейфа на спектр межкраевых магнитоилазмонов с позиции теории возмущений, разработанной в главе 2. Под межкраевым плазмоном подразумевается плазменная мода, локализованная на границе двух ДЭС с различными проводимостями, тогда как термин «краевой плазмой» соответствует моде, локализованной на границе ДЭС-диэлектрик.

Первое наблюдение краевых плазменных мод относится к 1985 году [86], когда Мает, Дам и Феттер исследовали поглощение радиоволн двумерным электронным газом над поверхностью жидкого гелия в слабых магнитных полях. Развёрнутая теоретическая модель была представлена Феттером несколькими месяцами позже [13] и дала отличное качественное совпадение с экспериментом. В то же время, Феттер полагался на квазилокальную модель электростатики, которая, в частности, не воспроизводит логарифмическую расходимость групповой скорости краевого магнитоплазмона в длинноволновом пределе в сильных магнитных полях. Упомянутая расходимость групповой скорости следует из расходимости двумерного кулоновского потенциала, что нарушается в квазилокальном приближении.

В 1988 году модель Феттера была избавлена от квазилокалыюго приближения; соответствующую теорию построили Волков и Михайлов (ВМ) [84; 95]. С помощью весьма громоздких выкладок им удалось решить интегро-дифференциальное уравнение типа Винера-Хопфа и получить спектр краевого и межкраевого магнитоплазмона в точной электростатической модели (уравнение Пуассона без приближений). Подход ВМ уже воспроизводит упомянутую расходимость групповой скорости краевого плазмона, а также уточняет численные коэффициенты в зависимостях, полученных Феттером.

Таким образом, описание краевых и межкраевых плазмонов возможно и предпочтительно проводить в честной электростатической модели, однако её применение всегда связано с вычислительными трудностями: метод Винера-Хопфа ещё более усложняется по сравнению с минимальной моделью, рассмотренной Феттером и ВМ, при учёте дополнительных воздействий на двумерные электроны [17; 18; 96; 97]. Поэтому целесообразным видится применение теории возмущений для учёта новых эффектов на (меж)краевой магнитоплаз-мон. В данной главе мы рассмотрим влияние дрейфа.

3.1 Теория ВМ для межкраевых магнитоплазмонов

Описание межкраевых магнитоплазмонов принято проводить в гидродинамической модели транспорта. Соответственно, к ним применимы соотношения (2.1) (2.8), которые мы запишем в виде

Дф = 4тсепф); (3.1)

г Пп = У); (3.2)

За = -ОарУрф, (3.3)

где аар — тензор проводимости 2ДЭГ, диэлектрическая проницаемость окружения принята равной 1. Геометрия задачи представлена на рис. 3.1 А. Для плазмонов с волновым вектором ду уравнения ( ) — ( ) преобразуются:

ф(х,у,0) = 4пе ^ (?г'Сггие(г,г')п(г')6(/); (3.4)

Шп = (дх ]х + г ду,]у); (3.5)

Зх = - Сххдхф - ®хуЩуф; ]у = -Суудхф - ЗухЩуф, (3.6)

а компоненты тензора проводимости запишутся так:

- Ш е2п0(х)

-02 + ш2 т - шс е2щ (х)

0"х? I /х

(3.7)

х - х 2 2

—02 + ш2; т

Уравнение Пуассона мы переписали в интегральной форме, Сггие(г,г') _ функция Грина, которая будет преобразована в разделе 3.2.2.

Важно отметить, что профиль плотности носителей в канале предполагается ступенчатым: по(х) = пг0(х)+ щ0(-х), где пг,1 — плотности носителей при х > 0 и х < 0, соответственно, а 0(х) — тета-функция Хевисайда. Плавность профиля плотности носителей приводит к возникновению семейства краевых мод [98] с фундаментальной модой, определяемой из 'ступенчатого' случая.

Далее необходимо подставить выражения (3.5) (3.6) в уравнение Пуассона (3.4) и представить последнее в интегральной форме. Получившееся интегро-дифференциальное уравнение решается методом Винера-Хопфа (процедура описана в работе ВМ [84]) и приводит к следующему дисперсионному

Рисунок 3.1 (А) Схематичное изображение межкраевого магнитоплазмона. Голубая и оранжевая области граничат в плоскости х = 0, магнитное поле В однородно во всей ДЭС. (Б) Спектр межкраевого магнитоплазмона в гетероструктуре СаАв/АЮаАБ. Параметры структуры: щ = 10-11 см-2, пг = 9 • 10-11 см-2, диэлектрическая проницаемость окружающего пространства для простоты взята равной 1. Оранжевая штриховая линия показывает циклотронную частоту в данной стурктуре. (В) Зависимость темпа затухания межкраевых плазменных волн от магнитного поля при различной температуре; эффективные времена релаксации импульса были приняты за 0,5 пс при 230 К и 5 пс при 77 К. Цвета линий соответствуют цветам на графике Б.

уравнению:

( то

1 + ^^ 1п

гДсхх | п] 1 + Ц2

I о

ег (д ,0) е/(д ,0)_

= 0, (3.8)

<7хН|Ц

где Даху = аху(х > 0) — иху(х < 0) и аналогично для Дахх; е(г'г)(д,0) диэлектрическая проницаемость ДЭГа:

2яе /ш

е^ (9,0) = 1 +-—02 + Ш2-. (3-9)

Преобразуем дисперсионное уравнение (3.8) с учётом выражений для проводимости ДЭГа (3.7):

то

1 — ^ | я/тГ£?1п

о

ег (Ц) е (Ц

= 0, (3.10)

&Н Чу |Ц

где 0С = sign(qy) • шс, а диэлектрические проницаемости ( ) переопределены так, чтобы они зависели от безразмерной переменной Ц = дх/\ду\.

Типичные дисперсионные зависимости решения уравнения (3.10) показаны на рис. 3.1Б. График 3.1В демонстрирует темп затухания межкраевых магнитоплазмонов, вызванный конечным временем релаксации импульсаТр, которое было опущено в формулах (3.7) и (3.9). В сильных магнитных полях темп затухания снижается, что является одним из результатов работы ВМ.

Профиль потенциала (меж)краевого плазмона задаётся следующим выражением:

то

ф(0) Г ¿л с—г 1хх

ф±(х) = Т 2 .Д 2 + 2 (1у Д°ху + ЯхДЯхх — АХ±( дх)) . (3.11)

2п-Ъ АЛ Охх щ/ Ях +Яу —то

Здесь функции ф±(х) определены при х > 0 и х < 0 соответственпо, А — константа, задаваемая выражением

Л Су Д ^ху + Ъ \ Яу \ Д Охх

= х+ои^уу) '

а функции Х+(д) и Х— (д) являются аналитическими при 1т д > 0 и 1тд < 0 соответственно, и определены следующим образом:

то

= -1- ¿/^ 1пЮЙ I. (3'12)

Для дальнейших целей нам потребуется вычислять профиль межкраевого магнитоплазмопа. Выражение (3.11) для этого малопригодно и нуждается в значительных преобразованиях; соответствующие выкладки приведены в приложении В.1. В итоге мы приходим к:

00

ф ф(0) 1 - -./- ш,2 - [ е-Т|'1 сЦ Уе-Тхт(ТТ)

Ф±(*' = п ' Х+М ' ш2 - ш2 1 -Т2 + 1 ' 1 + «2,, (Т2 - 1) ' 1 '

где £ = |(¡у\х — безразмерная коордииата, Т = дх/\ду| — безразмерный волновой вектор,

2

< I

ОгЛ =

ш2 - -2'

шГ;/ = 2пе2пг^д/т, Х±(Т) _ полный аналог функций Х±(д), но только от обез-

размеренного аргумента (см. также формулу (В.4)):

«■<*»="*=(

что следует из ( ), а выражения хт(Т^Т) преобразуются к виду (приложение В.1.1)

Х,№« = еХр |±П . (3-15)

Выражение (3.13) хоть и пригодно для численного вычисления профиля межкраевого магнитоплазмопа, но требует длительного времени вследствие необходимости вычисления интеграла от квадратуры хт(т^Т)- К счастью, мы можем использовать приближённое выражение для интеграла в (3.13) и вынести квадратуру хт(Т^Т) из-под знака интегрирования:

то

ф(0) 1 - -с/- ш2 - ш2 , ч Г е^кТ 1 ..

ф±(() = -^г• -ХМ-'Щ^^ I ^Т• 1 + а2,(Т2 -1). (3-16)

1

Мы воспользовались тем, что функция хт(Т^Т) является крайне плавной и

Т=1

проверили правомерность такого перехода численно для характерных значений параметров. Константа перед интегралом (3.16) упрощается с помощью (3.14):

то

V - Щ

т ф(0) ш2 - ш2 [ е-т*Т 1 г«17х

Ф±(г)= п -(-с т -)/ ' 1 + а2, (Т2 - 1). 10

3.1.1 Межкраевой магнитоплазмон в слабых магнитных полях

В случае слабых магнитных полей дисперсионное уравнение и профиль межкраевого магнитоплазмона сильно упрощаются. Преобразуем сначала дисперсионное уравнение (3.10):

00

1 - §Ш1111 П^/щ*1п

1 - ^ 1апЬ < 1 [ . 2 1п П I п] 1 + Е2

ь (Е). 1 +

ш;

—2 — Пс

1 + ш2 Л/Е 2 + 1 1 + ш2с-П2^ Е + 1

(3.18)

= 0.

В слабых магнитных полях выполнено шс,и ^ —г,1- Поэтому разложим подло-гарифмическое выражение до нулевого порядка малости по шГ;//шс, возьмем получившийся интеграл аналитически и придём к простейшему выражению

и = аПг

(3.19)

где а = (пг — щ)/(пг + п/). Отметим, что формула (3.19) формально допускает отрицательные значения П: это происходит, когда знак выражения Дп • signg • В отрицателен. Данный результат будет означать, что распространение плазмона запрещено в рассматриваемом направлении, и требуется изменить знак волнового вектора на противоположный так проявляется хиралыюсть межкраевого магнитоплазмона.

Теперь перейдём к упрощению выражения для профиля плазмона. Для начала заметим, что интегралы в функциях х±(±^Е), входящие в выражение для профиля (3.13), могут быть преобразованы аналогично интегралу в дисперсионном выражении:

I то

Хт(Т^) = ехр < Е /

_ мЕ)

п] V2 + Е2 1П £/(£/) 0

1п

= ехр

(Щ

то

п/^+Е2 0

2

ш2 1п —

ш

то

= ехр

1 п

Е2 +1

2

ш2 1п —

ш

= Пг/гц.

0

0

Таким образом, в (3.13) нам останется взять интеграл

агсБт

1 \ п

т (

\ аГ1 I

,/Ц2—Г1 + «2,(£? — 1) = . /0^7 и 2^2 +0(1/а22,)'

-, ■ ■ - /а,,— 1

Подставляем эти два выражения в (3.13) и в нулевом порядке малости по 1/а,1 получим интуитивное выражение для профиля межкраевого магнито-плазмона в слабых магнитных полях:

фС0шс«шг,г = Ф(0)е ^

(3.20)

3.2 Неустойчивость межкраевого магнитоплазмона, вызванная

наличием дрейфа

3.2.1 Введение

Влияние дрейфа носителей на (меж)краевой (магнито)плазмой почти не исследовалось ранее. Одними из немногих работ в данной области являются [16; А1], которые указывают на возможность возбуждения краевого плазмона вблизи линейных неоднородностей канала полевого транзистора. Рассчитанный в этих работах темп роста краевых мод превосходит темп роста хорошо изученных "нормальных" (распространяющихся параллельно потоку) мод, что позволяет сделать качественный вывод о значительной роли краевого плазмона в экспериментах по наблюдению ТГц эмиссии. При этом в рамках использованных упрощенных моделей спектр плазмона оказывается чисто мнимым, что предсказывает нерезонансный характер излучения. Однако в реальных экспериментах [5; 44] в ТГц спектрах наблюдаются пики испускания, что допускает две интерпретации: (1) краевому плазмону несвойственен резонансный спектр, и он дает малый вклад в эмиссию; (2) нерезонансный спектр краевого плазмона есть артефакт упрощенных моделей, на самом же деле он имеет свои выраженные частоты, на некоторых из которых наблюдается эмиссия в экспериментах.

В пользу (2) говорит тот факт, что краевой плазмой имеет ярко выраженную собственную частоту даже при нулевой скорости дрейфа носителей (это было предсказано теоретически в уже разобранной работе ВМ [84] и наблюдалось экспериментально, например, в [99 101]). Модель [16], по всей видимости, не уловила действительную часть частоты плазмона вследствие слишком упрощенной геометрии транзистора (транзистор, полностью покрытый затвором с однородной концентрацией носителей в канале). В работе [А1] рассмотрена более сложная геометрия, для описания которой, однако, используется приближенная электростатическая модель. Так, связь амплитуды потенциала и концентрации плазменной волны испытывает резкий скачок на границе неоднородности: в подзатворной области используется модель плоского конденсатора, в открытой - точное решения уравнения Пуассона для свободного двумерного электронного газа. В конечном итоге это приводит к тому, что для краевого

пдазмоыа становится невозможным удовлетворить условию постоянства потока носителей через границу в отсутствие дрейфа, и модель "просматривает" его.

Также отметим, что численное моделирование [102], учитывающее возможность распространения плазмона перпендикулярно потоку, не обнаружило краевой плазмон, так как фокусировалось на плазменных модах, распространяющихся под углом к потоку, но не перпендикулярно ему. При выбранных параметрах расчета пороговая скорость неустойчивости для "нормального" плазмона была значительно ниже, чем для краевого; краевая неустойчивость стала просто не видна на фоне "нормальной". Более подробное исследование краевой моды для других параметров авторами не проводилось.

3.2.2 Формализм

Для описания неустойчивости межкраевого магнитоплазмона мы используем уравнения электронной гидродинамики, записанные в операторной форме (2.1) (2.8), или, что эквивалентно, уравнения (3.4) (3.6) с добавленным дрейфом. Выпишем их в явном виде:

(б + й*л + к) ф = бФ, (3.21)

где оператор невозмущённой задачи (рассмотренной ВМ), даётся выражением

б = -г

( 0 дх[по(г)-] гду [по(г)-]^

2

^дхдч [•] 0 шс

К^Щ^Я Н —0 )

(3.22)

а операторы дрейфа и столкновителыюго затухания выражаются следующим образом:

(дх(щ •)

0

0

г = —

\

0 0

дх(щ •) 0 0 щдх ■)

К =-г

000 0 т 0

0 тту

(3.23)

Грина нашей задачи подобно тому, как мы это делали в случае с плазменными кристаллами (раздел 2.3). Если в упомянутом случае она упрощалась

вследствие периодичности рассмотренных структур, то в текущей ситуации мы предполагаем однородность структуры по направлению распространения плазмона Оу7 и соответственно мы можем записать

Gtrue(r,r') = Gtrue(x,x',ly - у'l,z,z'). (3.24)

Далее, согласно определению функции Грина (1.4) мы можем записать (координату плоскости ДЭГа г = z' = 0 опускаем)

ф(х,у) = -е J dx'dy' Gtrue{x,x'\у - у'\)п(х',у').

В силу периодичности плазмонных характеристик вдоль оси Оу: (х)егдуу = -е j dx'dy' Gtrue(x,x',\у - у'\)щ(х')еЩуу', что легко преобразуется к виду

tyq(х) = -е j dx' Gq(x,x')nq(x') = -eQq[nq], (3.25)

Gq(x,x') = J Gtrue(x,x',y,y')ещу(y'-y)dy'.

В последующем изложении мы будем опускать индексы q у всех величин, кроме модифицированной функции Грина Gq(х,х').

Гамильтониан межкраевого магнитоплазмона будет иметь следующий

вид:

(е- Г Gq(х,х') • dx' 0 0 \

т J -то Ч V ' >

Н= 0 По 0 , (3.26)

V 0 0 по)

а скалярное произведение мы определяем следующим образом:

то

(а|&) = j a*bdx. (3.27)

-то

Проверка эрмитовости гамильтониана ( ), а также оператора НО, со скалярным произведением (3.27) проводится аналогично случаю с одномерным движением плазмонов (см. приложения Б.1 и Б.2).

3.2.3 Поправка к спектру межкраевого магнитоплазмона,

вызванная дрейфом

По теории возмущений получим выражение для поправки:

6б =

Ф< НУы цф^

(Ф ЯФ^

(3.28)

После преобразований (см. приложение В.2.1) выражение в числителе примет

<

Ф

Н\4-, ^Ф) = г ^ох 1 / Е" Е-

2 V б

где Е±0 = —ф'(±0), а

(ЕбХ + (Е+о — Е—о) + ЕххЕхуф(0) (Е+о — Е-о)

Е =

х х

ах

Е =

х

а

х у

% е 2по/т' ху е2по/т

В знаменателе (приложение В.2.2) получим:

00

(ф|яф) = (ту ( 2Еххк| / по(ф'2 +Ф2)^ — ^Дпф(0)2

— 2дЕххЕху Дпф(0)

(3.29)

(3.30)

Таким образом, для вычисления поправки (3.28) нам необходимо вычислить значения Е±о = — ф'(±0), которые прямо следуют из (3.17):

Е± о = ±-

ф(0) ш2 — ^2 [ №__1

п б(бс т б) У 11 + — 1)

ф(0) Дпб ± бс

2 ПГ1 б

,

а также интеграл

по(ф'2 + ф2)(И

(3.32)

Интеграл (3.32) можно вычислить аналитически в приближении (3.17). после громоздких выкладок мы получим:

' /2 2\л паг гса^агсс^а) п агс8^у/о2—Г

(ф + ф )г = 2(02—1) - 4(а - 1)3/2 4(а -1)3/2

(3.33)

+п\/¿2 - 11п -1 + 2а2 + 2аЛ/а2 - 1

8 I

и точно такое же выражение для интеграла в пределах от -то до 0 с заменой аг ^ а.

Как видно из приведённых рассуждений, поправка (3.28) является чисто мнимой, что соответствует нарастанию или затуханию плазменных волн в зависимости от знака мнимой части поправки. Отметим, что если для некоторой комбинации параметров системы поправка окажется отрицательной, её знак можно изменить, инвертировав направление дрейфа. Таким образом, мы вправе говорить о беспороговом характере неусйточивости в отсутствие потерь. Вычисленные значения поправки приведены на рис. 3.2.

Из рис. 3.2 мы видим, что неустойчивости благоприятствует заметный контраст плотности носителей (см. голубую стрелку на рис.), а её характер кардинально различен в слабых и сильных магнитных полях. В слабых полях темп роста неустойчивости линеен по волновому вектору и не зависит от магнитного поля. В сильных полях темп роста квадратичен по магнитному полю и не зависит уже от волнового вектора. В этих предельных случаях возможно получить аналитические выражения:

6—шс«—г,г - ^—— а ш°сд1 Дп1; (3.34)

. . Шс (пг - Щ)2 (пг + Щ) 2 С д 1 го ок\

6шШс>Шг,г - -1Щс—-8^2-а —Я Дп , (3.35)

Как видно из рис. 3.2 и приближённых формул, неустойчивость развивается беспороговым образом в отсутствие затухания. Для оценки наблюдаемости данной неустойчивости в реалистичных системах, сравним рассчитанные темпы роста с характерным затуханием при различных температурах в гетерострукту-рах на основе арсенида галлия. Для этого мы строим цветовую карту (рис. 3.3), на которой отмечаем границы областей, за которыми возможно возбуждение межкраевого магнитоплазмона. Граничные линии в каждой точке графика вычисляются из условия равенства темпа затухания при данной температуре и

с

Циклотронная частота сос1а)1

Рисунок 3.2 Вычисленный темп роста межкраевого магнитоилазмона (в единицах дощ) в зависимости от циклотронной частоты (нормированной на собственную частоту колебаний электронной плазмы в левой области Ш/(до)) при различных значениях волнового вектора и разности плотностей носителей в гетероструктуре СаАв/АЮаАв; (¡о = 2п/(0.5 цт), щ = 107см/с. Сплошные линии соответствуют относительному контрасту плотности носителей а = пг — щ /пг + п/, равному 0,8; штрихованные - 0,6; точка со штрихом - 0,2, и точка - 0,9. п/ = 1011 см—2 для всех кривых. Инкремент нарастания насыщается в слабых полях при стремлении а к единице (голубая стрелка).

темпа роста для при максимально возможной скорости скорости насыщения (для СаАБ это примерно 2 • 107см/с). В скобках отметим, что рис. не учитывает взаимное влияние дрейфа и столкновителыюго затухания: тепм роста был рассчитан на основании невозмущённого состояния без столкновений, а темп затухания брался исходя из точной теории в отсутсвие дрейфа Щ = иг = 0, см. рис. 3.1В). Сей факт будет оказывать влияние на области, где столкновитель-ное затхание наиболее выражено: Ие ш ^ 1т ш, на рис. это соответствует В < 1Т.

Мы видим, что межкраевой магнитоплазмон может быть легко возбуждён при 77 К; его возбуждение при больших температурах возможно при коротких длинах волн или сильных магнитных полях. Однако не величина магнитного поля ограничивает возможность возбуждения межкраевого магни-топлазмона; скорее, это отношение циклотронной частоты и фундаментальной частоты ДЭС. Поэтому для достижения заметного темпа роста мы можем не только увеличивать магнитное поле, но и уменьшать фундаментальную частоту (например, с помощью обеднения канала). Например, для двумерного электронного газа над поверхностью жидкого гелия характерное отношение циклоктронной и фундаментальной частот составляет величину порядка 1000 даже при 1Т, что заметно усиливает квадратичный эффект неустойчивости (3.35), а заодно уменьшает столкновительное затухание [84].

Рисунок 3.3 Цветовая карта дисперсии межкраевого магнитопдазмона с наложенными критическими линиями неустойчивости, рассчитанными при трёх различных температурах для гетероструктуры СаАн/АЮаАн. Плазмоны с параметрами правее и ниже критических линий обладают пороговой скоростью возбуждения неустойчивости меньшей, чем скорость насыщения в арсениде галлия 2 • 107см/с). Параметры структуры те же, что и на рис. Б, времена релаксации при указанных температурах следующие: 5пс при 77 К, 0.75 пс при

200 К и 0.25 пс при 250 К.

Заключение

Данная работа посвящена влиянию дрейфа носителей заряда на плазменные моды в двумерных электронных системах. В первой главе мы рассмотрели частный случай такого влияния и показали возможность самовозбуждения плазменных волн в плазмонном кристалле с решетчатым затвором при пропускании постоянного тока. Так, в гетероструктуре на основе 1пАй при комнатной температуре темп роста неустойчивости превосходит столкновительное затухание при скорости дрейфа носителей, равной 3 • 105м/с, что сравнимо со скоростью насыщения в данных структурах.

Глава 2 является ядром работы: в ней мы построили теорию возмущений для плазмонов в ДЭС, позволяющую пертурбативно учитывать различные воздействия на плазменные моды, такие как: дрейф носителей, столкновительное затухание, вязкость, магнитное поле, вариацию граничных условий и прочие. Теория была построена двумя способами: с помощью квантово-механи-ческой аналогии и из энергетических соображений. В представленной работе мы использовали теорию возмущений для исследования влияния дрейфа на плазменные моды в различных конфигурациях и обнаружили, что беспороговое самовозбуждение плазменных мод возможно только в асимметричных транзисторных структурах. При этом нам удалось установить предпочтительные конфигурации транзисторов для возбуждения плазмонов постоянным током: такие транзисторы должны обладать обеднённой открытой областью у истока и обогащённой подзатворной областью у стока.

С помощью построенной теории возмущений мы пертурбативно исследовали влияние дрейфа на межкраевые плазменные моды (глава 3) в точной электростатической модели. Мы показали, что данные моды возможно возбудить беспороговым образом в отсутствие затухания, а с учётом затухания наблюдение такой неустойчивости возможно в гетероструктурах ОиЛн ЛЮиЛн при температурах порядка 77К в сильных (ЮТ) магнитных полях.

Теория возмущений открывает множество путей для дальнейшего исследования плазмонов в ДЭС. Например, вследствие общности построенной теории возможно изучение целых классов устройств (таким классом могут являться, например, полевые транзисторы с однородной плотностью носителей в канале) в рамках единого формализма. Это позволило бы обоснованно выявить наи-

более оптимальные структуры для наблюдения плазменных неустойчиьостей или, наоборот, исключить из рассмотрения наименее эффективные. При этом в рассмотрение не ограничивается учётом эффектов дрейфа, но и натуральным образом позволяет включить любые из перечисленных выше эффектов, например, столкновителыюе затухание и вязкость.

Большое количество новых плазменных эффектов в ДЭС может быть обнаружено в материалах, обладающих аномальной холловской проводимостью в отсутствие магнитного поля [14; АЗ; А6]. В подобных системах отношение аномальной (недиагоналыюй) и диагональной проводимостей зачастую является малым параметром, что делает применение теории возмущений более чем оправданным.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность и большую признательность научному руководителю Свинцову Д. А. за поддержку, помощь, обсуждение результатов и научное руководство. Также автор благодарит Алымова Г. В. за помощь с особо запутанными математическими выкладками. Исключительную моральную поддержку в трудные минуты оказали Былин-кин А. Н. и Крылов 14. В. 14 конечно же, данный труд не был бы возможен без неоценимой помощи и внимания семьи автора на протяжении всей его научной карьеры.

Список литературы

1. Security applications of terahertz technology [Текст] / M. С. Kemp [и др.] // Terahertz for Military and Security Applications. T. 5070. — International Society for Optics, Photonics. 2003. - C. 44^52.

2. Tonouchi, M. Cutting-edge terahertz technology [Текст] / M. Tonouchi // Nature photonics. - 2007. - T. 1, № 2. - C. 97 105.

3. Saeedkia, D. Handbook of terahertz technology for imaging, sensing and communications [Текст] / D. Saeedkia. — Elsevier, 2013.

4. Siegel, P. H. THz technology: An overview [Текст] / P. H. Siegel // Terahertz Sensing Technology: Volume 1: Electronic Devices and Advanced Systems Technology. - 2003. - C. 1-44.

5. AlGaN/GaN high electron mobility transistors as a voltage-tunable room temperature terahertz sources [Текст] / A. El Fatimy [и др.] // Journal of applied Physics. - 2010. - T. 107, № 2. - C. 024504.

6. Resonant terahertz detection using graphene plasmons [Текст] / D. A. Bandurin [и др.] // Nature communications. — 2018. — T. 9, № 1. — C. 1—8.

7. Dyakonov, M. Detection, mixing, and frequency multiplication of terahertz radiation by two-dimensional electronic fluid [Текст] / M. Dyakonov, M. Shur // IEEE transactions on electron devices. — 1996. — T. 43, № 3. — C. 380^387.

8. Dyakonov, M. Shallow water analogy for a ballistic field effect transistor: New mechanism of plasma wave generation by dc current [Текст] / M. Dyakonov, M. Shur // Physical review letters. - 1993. - T. 71, № 15. - C. 2465.

9. Room-temperature amplification of terahertz radiation by grating-gate graphene structures [Текст] / S. Boubanga-Tombet [и др.] // Physical Review X. - 2020. - T. 10, № 3. - С. 031004.

10. Dyakonov, M. Current instability and plasma waves generation in ungated two-dimensional electron layers [Текст] / M. Dyakonov, M.S. Shur / / Applied Physics Letters. - 2005. - T. 87, № 11. - C. 111501.

11. Aizin, G. Current-driven Dyakonov-Shur instability in ballistic nanostructures with a stub [Текст] / G. Aizin, J. Mikalopas, M. Shur // Physical Review Applied. - 2018. - T. 10, № 6. - C. 064018.

12. Kachorovskii, V. Y. Current-induced terahertz oscillations in plasmonic crystal [Текст] / V. Y. Kachorovskii, M. Shur // Applied Physics Letters. — 2012. - T. 100, № 23. - C. 232108.

13. Fetter, A. L. Edge magnetoplasmons in a bounded two-dimensional electron fluid [Текст] / A. L. Fetter // Physical Review B. - 1985. - T. 32, № 12. -C. 7676.

14. Song, J. C. Chiral plasmons without magnetic field [Текст] / J. C. Song, M. S. Rudner // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2016. — T. 113, № 17. - C. 4658 4663.

15. Волков, В. Краевые магнетоплазмоны: низкочастотные слабозатухающие возбуждения в неоднородных двумерных электронных системах [Текст] /

B. Волков, С. Михайлов // ЖЭТФ. - 1988. - Т. 94. - С. 217.

16. Dyakonov, М. Boundary instability of a two-dimensional electron fluid [Текст] / M. Dyakonov // Semiconductors. - 2008. - Т. 42, № 8. -

C. 984^988.

17. Nonretarded edge plasmon-polaritons in anisotropic two-dimensional materials [Текст] / D. Margetis [и др.] // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2020. - T. 53, № 5. - C. 055201.

18. Cohen, R. Hall and dissipative viscosity effects on edge magnetoplasmons [Текст] / R. Cohen, M. Goldstein // Physical Review B. — 2018. — T. 98, ..V" 23. - C. 235103.

19. Schro dinger, E. Quantisierung als eigenwertproblem [Текст] / E. Schrodinger // Annalen der physik. - 1926. - T. 385, № 13. - C. 437 490.

20. Waldron, R. Perturbation theory of resonant cavities [Текст] / R. Waldron // Proceedings of the IEE-Part C: Monographs. - 1960. - T. 107, № 12. -C. 272 274.

21. Dyakonov, M. Two dimensional electronic flute [Текст] / M. Dyakonov, M. Shur 11 Applied physics letters. - 1995. - T. 67, № 8. - C. 1137 1139.

22. Krasheninnikov, M. V. Instabilities of two-dimensional plasma waves [Текст] / M. V. Krasheninnikov, A. V. Chaplik // Zhurnal Eksperimentalnoi i Teoreticheskoi Fiziki. - 1980. - T. 79. - C. 555-560.

23. Chaplik, A. Absorption and emission of electromagnetic waves by two-dimensional plasmons [Текст] / A. Chaplik // Surface Science Reports. — 1985. - T. 5, № 7. - C. 289-335.

24. Terahertz emission by plasma waves in 60 nm gate high electron mobility transistors [Текст] / W. Knap [и др.] // Applied Physics Letters. — 2004. — T. 84, № 13. - C. 2331-2333.

25. Voltage tuneable terahertz emission from a ballistic nanometer InGaAs InAlAs transistor [Текст] / J. Lusakowski [и др.] // Journal of Applied Physics. - 2005. - T. 97, № 6. - C. 064307.

26. Room-temperature terahertz emission from nanometer field-effect transistors [Текст] / N. Dyakonova [и др.] // Applied Physics Letters. — 2006. — T. 88, Л'° 14. - С. 141906.

27. Room temperature coherent and voltage tunable terahertz emission from nanometer-sized field effect transistors [Текст] / S. Boubanga-Tombet [и др.] // Applied Physics Letters. - 2010. - T. 97, № 26. - C. 262108.

28. Numerical study of the current instability in a two-dimensional electron fluid [Текст] / A. P. Dmitriev [и др.] // Phys. Rev. B. — 1997. — T. 55, вып. 16. — С. 10319-10325.

29. Cheremisin, M. V. D'yakonov-Shur instability in a ballistic field-effect transistor with a spatially nonuniform channel [Текст] / M. V. Cheremisin, G. G. Samsonidze // Semiconductors. — 1999. — T. 33, № 5. — С. 578—585.

30. Crowne, F. J. Dyakonov-Shur plasma excitations in the channel of a real high-electron mobility transistor [Текст] / F. J. Crowne // Journal of Applied Physics. - 2000. - T. 87, № 11. - C. 8056-8063.

31. Sydoruk, O. Plasma oscillations and terahertz instability in field-effect transistors with Corbino geometry [Текст] / О. Sydoruk, R. R. A. Syms, L. Solymar // Applied Physics Letters. - 2010. - T. 97, № 26. - C. 263504.

32. Ryzhii, V. Transit-time mechanism of plasma instability in high electron mobility transistors [Текст] / V. Ryzhii, A. Satou, M. S. Shur // Physica status solidi (a). - 2005. - T. 202, № 10. - R113-R115.

33. Aizin, G. R. Plasmons in ballistic nanostructures with stubs: transmission line approach [Текст] / G. R. Aizin, J. Mikalopas, M. S. Shur // IEEE Transactions on Electron Devices. — 2018. — T. 66, № 1. — C. 126—131.

34. Zheng, L. Theory of two-dimensional grating couplers [Текст] / L. Zheng, W. Schaich, A. MacDonald // Physical Review B. - 1990. - T. 41, № 12. -C. 8493.

35. Mikhailov, S. Plasma instability and amplification of electromagnetic waves in low-dimensional electron systems [Текст] / S. Mikhailov // Physical Review

B. - 1998. - T. 58, № 3. - C. 1517.

36. A grating-bicoupled plasma-wave photomixer with resonant-cavity enhanced structure [Текст] / T. Otsuji [и др.] // Optics Express. — 2006. — T. 14, Л" И. - С. 4815-4825.

37. Grating-bicoupled plasmon-resonant terahertz emitter fabricated with GaAs-based heterostructure material systems [Текст] / T. Otsuji [и др.] // Applied Physics Letters. - 2006. - T. 89, № 26. - C. 263502.

38. Room temperature terahertz emission from grating coupled two-dimensional plasmons [Текст] / Y. M. Meziani [и др.] // Applied Physics Letters. — 2008. - T. 92, № 20. - С. 201108.

39. Emission and detection of terahertz radiation using two-dimensional electrons in III—V semiconductors and graphene [Текст] / T. Otsuji [и др.] // IEEE Transactions on Terahertz Science and Technology. — 2013. — T. 3, № 1. —

C. 63-71.

40. Mechanism of self-excitation of terahertz plasma oscillations in periodically double-gated electron channels [Текст] / V. Ryzhii [и др.] // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2008. - T. 20, № 38. - C. 384207.

41. Aizin, G. Current-driven plasmonic boom instability in three-dimensional gated periodic ballistic nanostructures [Текст] / G. Aizin, J. Mikalopas, M. Shur // Physical Review B. - 2016. - T. 93, № 19. - C. 195315.

42. Giant plasmon instability in a dual-grating-gate graphene field-effect transistor [Текст] / Y. Koseki [и др.] // Physical Review В. — 2016. — T. 93, № 24. - С. 245408.

43. Emission of terahertz radiation from dual grating gate plasmon-resonant emitters fabricated with InGaP/InGaAs/GaAs material systems [Текст] / Т. Otsuji [и др.] // Journal of Physics: Condensed Matter. 2008. T. 20, № 38. C. 384206.

44. Plasma wave detection of sub-terahertz and terahertz radiation by silicon field-effect transistors [Текст] / W. Knap [и др.] // Applied Physics Letters. 2004. T. 85, № 4. C. 675 677.

45. Detection of terahertz radiation in gated two-dimensional structures governed by dc current [Текст] / D. Veksler [и др.] // Physical Review B. 2006. T. 73, вып. 12. С. 125328.

46. Room temperature tunable detection of subterahertz radiation by plasma waves in nanometer InGaAs transistors [Текст] / F. Teppe [и др.] // Applied Physics Letters. 2006. T. 89, № 22. C. 222109.

47. Current driven resonant plasma wave detection of terahertz radiation: Toward the Dyakonov Shur instability [Текст] / S. Boubanga-Tombet [и др.] // Applied Physics Letters. 2008. T. 92, № 21. C. 212101.

48. Ultrahigh sensitive plasmonic terahertz detector based on an asymmetric dual-grating gate HEMT structure [Текст] / Т. Watanabe [и др.] // Solid-State Electronics. 2012. Т. 78. С. 109 114.

49. Svintsov, D. Exact Solution for Driven Oscillations in Plasmonic Field-Effect Transistors [Текст] / D. Svintsov // Phys. Rev. Applied. 2018. Авг. Т. 10, вып. 2. С. 024037. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevApplied. 10.024037.

50. Broadband terahertz imaging with highly sensitive silicon CMOS detectors [Текст] / F. Schuster [и др.] // Optics Express. 2011. T. 19, № 8. C. 7827 7832.

51. Graphene field-effect transistors as room-temperature terahertz detectors [Текст] / L. Vicarelli [и др.] // Nature materials. 2012. T. 11, № 10. C. 865 871.

52. Muravev, V. M. Plasmonic detector/spectrometer of subterahertz radiation based on two-dimensional electron system with embedded defect [Текст] / V. M. Muravev, I. V. Kukushkin // Applied Physics Letters. 2012.

T. 100, № 8. C. 082102.

53. Bloch, F. Bremsvermögen von Atomen mit mehreren Elektronen [Текст] /

F. Bloch // Zeitschrift für Physik. - 1933. - T. 81, № 5. - C. 363-376.

54. Zheng, L. Coulomb scattering lifetime of a two-dimensional electron gas [Текст] / L. Zheng, S. D. Sarma // Physical Review B. — 1996. — T. 53, ..V" 15. - C. 9964.

55. De Jong, M. Hydrodynamic electron flow in high-mobility wires [Текст] / M. De Jong, L. Molenkamp // Physical Review B. - 1995. - T. 51, № 19. -C. 13389.

56. Gurzhi, R. Electron-electron collisions and a new hydrodynamic effect in two-dimensional electron gas [Текст] / R. Gurzhi, A. Kalinenko, A. Kopeliovich // Physical review letters. - 1995. - T. 74, № 19. - C. 3872.

57. Negative local resistance caused by viscous electron backflow in graphene [Текст] / D. Bandurin [и др.] // Science. — 2016. — Т. 351, № 6277. — С. 1055-1058.

58. Observation of the Dirac fluid and the breakdown of the Wiedemann-Franz law in graphene [Текст] / J. Crossno [и др.] // Science. — 2016. — Т. 351, до 6277. - С. 1058-1061.

59. Evidence for hydrodynamic electron flow in PdCo02 [Текст] / P. J. Moll [et и 1.1 // Science. — 2016. — Vol. 351, no. 6277. — P. 1061 1064.

60. Higher-than-ballistic conduction of viscous electron flows [Текст] / H. Guo [и др.] // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2017. — C. 201612181.

61. Superballistic flow of viscous electron fluid through graphene constrictions [Текст] / R. K. Kumar [и др.] // Nature Physics. - 2017. - T. 13, № 12. -C. 1182.

62. Experimental signatures of the mixed axial-gravitational anomaly in the Weyl semimetal NbP [Текст] / J. Gooth [и др.] // Nature. — 2017. — Т. 547, Л'" 7663. - С. 324.

63. Viscous electron flow in mesoscopic two-dimensional electron gas [Текст] /

G. Gusev [и др.] // AIP Advances. - 2018. - Т. 8, № 2. - С. 025318.

64. Fetter, A. L. Electrodynamics of a layered electron gas. I. Single layer [Текст] / A. L. Fetter // Annals of Physics. - 1973. - T. 81, № 2. - C. 367-393.

65. Dispersion studies in THz plasmonic devices with cavities [Текст] / M. Karabiyik [и др.] // Terahertz Physics, Devices, and Systems VIII: Advanced Applications in Industry and Defense. T. 9102. International Society for Optics, Photonics. 2014. 91020K.

66. Pen dry, J. Photonic Band Structures [Текст] / J. Pendry // Journal of Modern Optics. 1994. T. 41, № 2. C. 209 229.

67. Terahertz plasmons in coupled two-dimensional semiconductor resonators [Текст] / О. Sydoruk [и др.] // Phys. Rev. В. 2015. Т. 92. С. 195304.

68. Collin, R. E. Field Theory of Guided Waves [Текст] / R. E. Collin. Wiley-IEEE Press, 1990.

69. Metamorphic AlSb/InAs HEMT for low-power, high-speed electronics [Текст] / R. Tsai [и др.] // 25th IEEE Gallium Arsenide Integrated Circuit (GaAs 1С) Symposium, 2003. 2003. C. 294 297.

70. Plasmonic terahertz detection by a double-grating-gate field-effect transistor structure with an asymmetric unit cell [Текст] / V. V. Popov [и др.] // Applied Physics Letters. 2011. T. 99, № 24.

71. Bethe, H. A. Perturbation theory for cavities [Текст] / H. A. Bethe, J. Schwinger. Massachusetts Institute of Technology, Radiation Laboratory, 1943.

72. Collin, R. E. Field Theory of Guided Waves, 2nd Edition [Текст] / R. E. Collin //. IEEE Press, 1991. Гл. 5.

73. Raman, A. Perturbation theory for plasmonic modulation and sensing [Текст] / A. Raman, S. Fan // Phys. Rev. B. 2011. Май. Т. 83, вып. 20. С. 205131. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB. 83.205131.

74. Kraichnan, R. H. Two-dimensional turbulence [Текст] / R. H. Kraichnan, D. Montgomery // Reports on Progress in Physics. 1980. Май. Т. 43, № 5. С. 547 619.

75. Kopylov, V. Galvanothermomagnetic instability in Bi [Текст] / V. Kopylov // Solid State Commun. 1980. T. 33, № 4. C. 427 428.

76. Kopylov, V. Investigation of the Period-Doubling Bifurcation Cascade Occuring During the Development of Magnetohydrodynamic Instability in Bismuth [Текст] / V. Kopylov, S. Yanchenko // Sov. Phys. JETP. 1987. T. 65, № 6. C. 1210 1215.

77. The physics of instabilities in solid state electron devices [Текст] / H. L. Grubin [и др.]. Springer Science & Business Media, 2013.

78. Mendoza, M. Preturbulent Regimes in Graphene Flow [Текст] / M. Mendoza, H. J. Herrmann, S. Succi // Phys. Rev. Lett. 2011. Аир. T. 106, вып. 15. С. 156601. URL: https : / / link . aps . org / doi / 10 . 1103 / PhysRevLett.106.156601.