Динамика саней Чаплыгина на горизонтальной плоскости с трением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат наук Шамин Александр Юрьевич

• Шамин Александр Юрьевич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Шамин Александр Юрьевич

1.1 Постановка задачи

1.2 Уравнения движения

1.3 Определение реакций. Общие свойства

1.3.1 Положительность нормальных реакций

1.3.2 Уравнения движения

2 Задача о движении саней Чаплыгина по горизонтальной плоскости с сухим трением в двух точках контакта

2.1 Определение реакций

2.2 Геометрическая интерпретация положительности реакций

2.3 Уравнения движения и свойства их решений

2.4 Фазовый портрет при К =

2.4.1 Поведение линий переключения ¡¿> = 0 и V) =

2.4.2 Исследование поведения фазовых кривых в окрестности положения равновесия

3 Задача о движении саней Чаплыгина по горизонтальной плоскости с сухим трением в трех точках контакта

3.1 Определение реакций

3.1.1 Случай скольжения конька () ф 0)

3.1.2 Случай покоя точки С () ф 0)

3.1.3 Положительность нормальных реакций

Случай покоя точки С (у = 0)

3.2 Геометрическая интерпретация положительности реакций

3.3 Уравнения движения и свойства их решений

3.3.1 Случай скольжения конька (у ф 0)

3.3.2 Случай покоя точки С (у ф 0)

3.4 Фазовый портрет при К =

3.4.1 Случай отсутствия трения в точках контакта А и

В

Заключение

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика саней Чаплыгина на горизонтальной плоскости с трением»

Актуальность

Работа посвящена изучению динамики саней Чаплыгина - платформы, движущейся по плоскости с опорой на три точки так, что скорость одной из ее точек опоры имеет фиксированное направление относительно платформы. Динамика этой системы в исходной постановке была исследована С.А. Чаплыгиным. Он использовал эту механическую систему в качестве иллюстрации к методу приводящего множителя. Было получено решение задачи в квадратурах и показано, что в случае, когда центр масс проецируется в точку контакта лезвия с плоскостью (конек Чаплыгина), интегрирующий множитель постоянен.

Актуальность задач исследования таких систем возросла в контексте развития робототехники, в частности, мобильных транспортных средств. Известно, что динамика трехколесного экипажа с двумя ведущими колесами и одним пассивным описывается системой уравнений, аналогичной системе для саней Чаплыгина. Цель работы

Целью работы является исследование движения механической системы, называемой санями Чаплыгина, по горизонтальной плоскости с учетом сил трения, в частности, изучение условий безотрывного движения, исследование влияния массовых и геометрических характеристик системы на качественный характер поведения фазовых кривых. Научная новизна

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, яв-

ляются новыми. Явно получены выражения для нормальных реакций и дана геометрическая интерпретация условий безотрывности движения саней. Построены фазовые портреты системы, на основе которых дан глобальный качественный анализ динамики саней Чаплыгина на плоскости с трением. Исследована финальная динамика саней Чаплыгина с трением в двух и трех точках контакта в зависимости от массовых и геометрических характеристик.

Теоретическая и практическая значимость

Диссертация носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применения при проведении исследований в МГУ имени М.В. Ломоносова, Институте проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН, Институте прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН и научно-исследовательских центрах, занимающихся проектированием и исследованием транспортных средств различного назначения.

Методы исследования

Исследование выполнено методами теоретической механики, теории устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений.

Основные положения, выносимые на защиту

1. При любых начальных значениях скорости скольжения и угловой скорости нормальные реакции во всех точках контакта положительны во все время движения, если высота центра масс саней Чаплыгина не превышает определенного положительного значения, которое зависит от начальных значений скоростей.

2. При положительном значении коэффициента трения в двух точках контакта ножек с опорной плоскостью независимо от наличия или отсутствия трения в точке контакта лезвия с плоскостью сани останавливаются за конечное время; в случае, когда коэффициент трения в точке контакта конька меньше некоторого определенного значения (или равен нулю), скорость скольжения и угловая скорость вращения

обращаются в нуль одновременно при ненулевом начальном значении угловой скорости; в случае, когда коэффициент трения в точке контакта конька больше указанного значения, в фазовом пространстве возникает зона застоя, при попадании в которую скорость скольжения конька тождественно равна нулю, а угловая скорость убывает (по модулю) до нуля по явно вычисленному закону.

3. Плоскость безразмерных параметров задачи, характеризующих массовые и геометрические параметры системы, разбивается на три области, различающиеся видом фазовых портретов на плоскости «угловая скорость-скорость скольжения» и, в частности, типом финальных движений: для первой области параметров фазовая траектория входит в начало координат по касательной к оси скорости скольжения, для третьей - по касательной к оси угловой скорости, а для второй (промежуточной) - вдоль прямой, угол наклона которой зависит от этих параметров.

Достоверность результатов

Основные результаты диссертации получены с помощью строгих математических рассуждений. Полученные результаты количественно и качественно подтверждаются результатами численных расчетов. Личный вклад.

Научными руководителями были предложены постановки задач и методы их исследований. Все представленные в диссертации результаты получены лично соискателем. Апробация работы

Результаты докладывались соискателем на всероссийских конференциях и научных семинарах:

1. XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Уфа, Россия, 19-24 августа

2. Ломоносовские чтения - 2019, МГУ имени М.В. Ломоносова, Россия, 12-22 апреля 2019

3. Семинар по аналитической механике и теории устойчивости име-

ни В.В. Румянцева под руководством д.ф.-м.н. проф. А.В. Карапетя-на и к.ф.-м.н. доц. А.А. Зобовой (2018, 2019, 2020 гг.), на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова

4. Семинар «Динамические системы и механика» (2020 г.) на кафедре мехатроники и теоретической механики Московского авиационного института. Пувликлции

По результатам работы опубликованы в рецензируемых журналах, индексируемых в международных базах Web Of Science, Scopus и RSCI, следующие статьи:

1. Карапетян А. В., Шамин А. Ю. О движении саней Чаплыгина по горизонтальной плоскости с сухим трением // Прикладная математика и механика. - 2019. - Т. 83, № 2. - С. 228-233. Перевод: A. V. Karapetyan, and A. Yu. Shamin On Motion of Chaplygin Sleigh on a Horizontal Plane with Dry Friction, Mechanics of Solids, 2019, Vol. 54, No. 5, pp. 10-15, Web Of Science IF 0.508

2. Shamin A. Y. On the Motion of the Chaplygin Sleigh on a Horizontal Plane with Dry Friction at Three Points of Contact, Rus. J. Nonlin. Dyn., 2019, Vol. 15, no. 2, pp. 159-169, Scopus IF 0.6

3. Шамин А.Ю. Динамика саней Чаплыгина на горизонтальной плоскости с трением // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2020, № 1, с. 48-55, Scopus IF 0.5

4. Karapetyan A.V., Shamin A.Y. On the movement of the Chaplygin sleigh on a horizontal plane with dry friction // Acta Astronautica, 2020. doi: 10.1016/j.actaastro.2020.04.051, Scopus IF 5.1

Также опубликована статья в сборнике трудов всероссийской конференции:

5. Шамин А.Ю. Динамика саней Чаплыгина на шероховатой плоскости // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник трудов в 4 томах. т. 1: Общая и прикладная механика.- Уфа: РИЦ БашГУ, 2019. С. 150-152

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Полный объем диссертации 89 страниц текста с 13 рисунками. Список литературы содержит 104 наименования.

Обзор литературы

Движение твердого тела, которое опирается на горизонтальную плоскость тремя ножками, две из которых могут скользить без трения, а третья снабжена острым лезвием, не позволяющим проскальзывать в направлении, перпендикулярном лезвию, было исследовано в работе С.А. Чаплыгина [57]. Он использовал эту механическую систему (в дальнейшем и названную санями Чаплыгина) в качестве иллюстрации к методу приводящего (интегрирующего) множителя, изложенному в этой же работе. С.А. Чаплыгин получил решение задачи в квадратурах и показал, что в частном случае, когда центр масс проецируется в точку контакта лезвия с плоскостью (конек Чаплыгина), интегрирующий множитель постоянен.

Задача о санях Чаплыгина является одной из известных модельных задач теории неголономных систем. Так как наличие неинтегри-руемых связей не позволяет применить методы, разработанные для голономных систем, различными исследователями разрабатывались и анализировались аналитические методы исследования таких систем [2,5,38,55,60,93]

В дальнейшем динамику саней Чаплыгина в несколько иной постановке изучал К. Каратеодори [66]. Вместо неголономной связи он добавил силу вязкого трения, линейную по скорости проскальзывания лезвия в направлении, перпендикулярном его плоскости: Я = —кV, где к — коэффициент вязкого трения, который предполагался очень большим. Таким образом, он перешел к голономной системе, но с большой силой трения в направлении, ортогональном плоскости конька. Им рассматривался вопрос о возможности реализации неголономной

связи силами вязкого трения. Введя малый параметр £ ~ 1, Кара-теодори показывает, что при £ = 0 уравнения движения в голоном-ной постановке с трением переходят в уравнения Чаплыгина. Далее он рассматривает начальное условие такое, что скорость конька равна нулю при ненулевой угловой скорости, и на основе уравнений получает, что в голономном случае вторая производная угловой скорости в начальный момент времени в общем случае отлична от нуля, а в него-лономном — равна нулю. Из этих рассуждений он делает вывод, что при сколь угодно малом £ = 0 движение системы отличается от движения при £ = 0 и, как следствие, вопрос о реализации неголономной связи силами вязкого трения решается отрицательно.

Задачи о движении саней Чаплыгина и Каратеодори обсуждались Ю.И. Неймарком и Н.А. Фуфаевым в книге [42], где авторами показана необоснованность утверждения Каратеодори. Они обращают внимание, что система уравнений вырождается при переходе от случая Каратеодори к случаю Чаплыгина. Они показывают, что при стремлении к нулю малого параметра трехмерное пространство переменных является областью быстрых движений по одной из координат за исключением определенной поверхности, которая является областью медленных движений и в том числе областью устойчивых состояний равновесия для быстрых. Таким образом, любая точка трехмерного пространства за малое время попадает в окрестность этой поверхности и далее движется, не покидая эту окрестность. В итоге, авторы показывают, что несмотря на то, что в начальный момент времени значения ¿О0 различаются в случаях, когда малый параметр равен нулю и отличен от него, различие быстро исчезает (решение за порядок времени £ 1п 1 ,£ ^ 1 попадает в £-окрестность решения при £ = 0). Из этого авторы делают вывод, что рассмотрение «парадокса» Каратеодори более подробно, приводит к выводу о том, что неголономная связь в задаче Чаплыгина реализуется силами вязкого трения.

Разными авторами рассматривались обобщения задачи о санях Ча-

плыгина, например, в той же книге [42] было рассмотрено движение саней по наклонной плоскости как без трения, так и с введенными силами трения скольжения и верчения, в частности была исследована устойчивость положения равновесия.

Также задачу о движении саней по горизонтальной и наклонным плоскостям без трения исследовали А.В. Борисов и И.С. Мамаев [6]. Ими было показано, что в случае горизонтальной плоскости и в случае наклонной, но с условием проекции центра масс саней в точку контакта лезвия с плоскостью, уравнения движения могут быть представлены в гамильтоновом виде. Также исследованы асимптотики в случае прямолинейных равноускоренных движений вдоль прямой направления градиента плоскости. Численно получен результат о фрактальном характере областей по числу оборотов саней, прежде чем система перейдет в предельный режим.

Исследуются модифицированные задачи, например, изучаются движения саней, на поверхностях ненулевой кривизны [21,43,61], а также в случае неоднородных связей [64]

Задачу о движении саней Чаплыгина по горизонтальной плоскости можно отнести к более широкому классу задач о движении твердых тел по неподвижной плоскости, которым посвящено большое количество исследований. Более того, эти задачи являются одними из классических задач теоретической механики, в частности, динамики твердого тела. Наличие связи в виде неподвижной плоскости неизбежно приводит к вопросу о характере взаимодействия твердого тела и неподвижной плоскости в зонах контакта. В качестве моделей взаимодействия тел с плоскостью часто используют модель абсолютной гладкой плоскости, когда реакции связи имеют только компоненты, нормальные к плоскости, модель абсолютно шероховатой плоскости, когда скорости точек контакта твердого тела, равны скоростям точек контакта плоскости (в случае покоящейся плоскости — равны нулю), в таком случае возникают тангенциальные составляющие реакций, которые заранее

неизвестны и могут быть получены с помощью уравнения связи. Еще одним из вариантов модели опорной плоскости является не абсолютно шероховатая плоскость или модель с сухим конечным трением (модель Амонтона-Кулона). В этом случае касательная составляющая реакции явно зависит от нормальной. Эта модель примечательна своей простотой и в то же время она достаточно адекватно описывает взаимодействие тела с опорной плоскостью при поступательном движении.

Изучение законов трения восходит к Леонардо да Винчи, который показал, что трение зависит от качества обработки материалов и от самих материалов, образующих трущиеся поверхности. Экспериментально им был получен факт зависимости силы трения от нормальной силы

р = ^(Ы),

и, что важно, независимости ни от скорости скольжения, ни от номинальной площади соприкасающихся поверхностей.

Позже, Амонтон [59] на основе обобщения экспериментальных данных получил закон

^Тр = »Ы.

Этот закон согласован с результатами Леонардо да Винчи: сила трения ^Тр линейно зависела от нормальной нагрузки N и от » - коэффициента трения скольжения (характеризует материалы и качество их обработки по да Винчи).

Л. Эйлер [69] предложил несиловой способ измерения коэффициента трения, а также он пришел к выводу, что коэффициент трения скольжения меньше, чем коэффициент трения покоя.

Позднее вышла работа Ш. Кулона [67], где им были опубликованы результаты экспериментов по изучению законов трения скольжения и качения, тем самым заложены основы современного представления о трении. Кулон добавил для определения силы трения адгезионное слагаемое:

^тр = »Ы + ^адг.

Это позволило описать не только трение скольжения, но и покой тел с помощью введения силы, компенсирующей вынуждающую, но не превосходящую ßN.

В современном изложении закон, совмещающий трение скольжения и покоя, имеет вид:

_ i-M|N, а =о,

FTP _ \ _

[Т : |T| < ßn|N|, v _ 0.

Здесь ßn - коэффициент трения покоя, причем обычно ßn > ß из-за наличия эффекта адгезии.

Дальнейшее развитие модель трения получила в работах Д. Джел-лета и П. Пенлеве. В работе [73] Джеллет изучал равновесие систем с трением и им была показана неоднозначность решения задачи об определении сил, действующих на покоящееся тело. В частности, в этой работе введены понятия возможного и обязательного положения равновесия тела, на которое действуют силы сухого трения, а также сформулированы принципы виртуальных перемещений для этих случаев. Джеллет считал, что в случае движения тел неоднозначности решения не возникает, что было опровергнуто позднее.

В [44] Поль Пенлеве впервые привел примеры механических систем с сухим трением, для которых движения системы или не существуют, или не являются единственными. Эта работа вызвала большую дискуссию среди ученых (Ф. Клейн, Л. Лекорню, Л. Прандтль, Р. Мизес и пр.), более того, обсуждение «Парадоксов Пенлеве» продолжается и в настоящее время [37,71,72,76]. Лотстедом [83] был построен такой пример системы, для которой неединственность заключалась в существовании трех решений: покоя, скольжения и потери контакта с опорой. В настоящее время показано, что при малых коэффициентах трения парадоксы не возникают [18,85,95].

Полем Пенлеве закон трения был обобщен на случай начала скольжения, учитывая ускорение точки:

FTp - <

—M|N||, V -0, —m|N||f, v -0, a-0,

T : |T| < Mn|N|, v -0, a -0.

Е.А. Болотов в своей диссертации [3] изучил движение плоского тела с одной или двумя точками контакта с шероховатыми кривыми и получил условия, при которых отсутствуют парадоксы, а результаты эти имели геометрическую интерпретацию. В работе [4] была приведена геометрическая интерпретация соударения тел с поверхностями с трением, а также исследованы случаи так называемых ударов трением, соударений при нулевых скоростях сближения.

Модель Кулона в настоящее время достаточно широко используется для изучения систем с сухим трением, но, тем не менее, возникающие парадоксы, а также тот факт, что вопреки экспериментальным данным, модель Кулона не учитывает зависимость силы от модуля скорости скольжения, привели ко многим попыткам уточнить закон трения. Например, в своей работе [92] Штрибек привел экспериментальные данные, свидетельствующие о том, что сила сухого трения плавно снижается от силы трения покоя до силы трения скольжения Кулона при увеличении скорости. Это явление в дальнейшем стало называться Штрибек-эффектом. Стоит отметить, что еще Кулон отмечал, что далеко не во всех случаях имеет место быть независимость силы трения от скорости скольжения.

Штрибек-эффект является далеко не единственным уточнением закона Кулона, и на данный момент существует множество различных моделей трения, в которых коэффициент трения существенно зависит от скорости скольжения, нормальных реакций и других кинематических и динамических параметров системы. Описание таких моделей изложено в работах [1,20,54,56].

Среди исследований движения твердых тел по неподвижным шероховатым поверхностям можно выделить наиболее близкие задачи,

например, о движении тел с плоским основанием, а также задачи о движении тел с тремя точками опоры.

Одной из первых работ, посвященных движению треноги на горизонтальной плоскости, является работа [70], в которой был рассмотрен случай, когда точки опоры образуют равнобедренный треугольник. В работе выписаны уравнения движения и получен ряд оценок для скоростей. В работе [82] была исследована устойчивость такой треноги на плоскости.

Исследователями было отмечено, что в случае, когда относительные скорости точек контакта различны, возникают динамические эффекты, которые не наблюдаются в системах с трением при поступательном движении [9,10,36]. Например, такой эффект, как отклонение траектории центра масс симметричной высокой шайбы от прямолинейной при наличии угловой скорости, не объясним в рамках квазистатической модели, а учет неравномерности распределения нормальной нагрузки позволяет объяснить эффект [53]. Это послужило толчком к исследованию динамически согласованных контактных моделей, что приводит к вопросу о нахождении распределения нормальных реакций.

В работе [91] изложены результаты численного моделирования динамики тела, опирающегося тремя точками на шероховатую плоскость, также приведены численные расчеты траекторий центра масс тела, изучены поведение нормальных реакций в точках контакта, продемонстрированы примеры движений, когда тренога в конце движения опрокидывается, а также приведено сравнение результатов со случаем, когда тело имеет кольцевое основание.

В работах А.П. Иванова [19,20] получены уравнения движения треноги в общем случае, а также подробно исследован вопрос о распределении нормальных реакций, оценено влияние сбалансированности треноги. (Сбалансированность треноги означает, что одна из главных центральных осей инерции вертикальна). Для нахождения нормаль-

ных реакций и условий безотрывности движения треноги была дана геометрическая интерпретация как в случае наличия и отсутствия сбалансированности, так и в случаях наличия и отсутствия трения. Также был рассмотрен случай движения, близкий к поступательному, и показано, что в случае сбалансированной треноги при любом направлении скольжения модуль угловой скорости убывает, а в случае несбалансированной может возникать ситуация, когда трение приводит к росту угловой скорости. Также в работе были получены условия, для которых существует чистое вращательное движение. А.П. Иванов в своих работах уделяет особое внимание изучению условий нарушения односторонних связей (условие отрыва), в частности, в [17] условий отрыва при разных законах трения. Кроме того, А.П. Иванов получил условия возникновения ситуаций, для которых решение не существует или не является единственным (ситуация, аналогичная парадоксам Пенлеве). В [16] А.П. Ивановым получен ряд необходимых и достаточных условий устойчивости для систем с неидеальными связями. При этом было показано, что в определенном случае выбора характера удара о связи, результаты могут быть распространены и на случай неудерживающих связей.

В работах [50,51] Г.М. Розенблатом был рассмотрен случай движения плоского тела с тремя точками опоры (треноги) по горизонтальной шероховатой плоскости. Им скорректирован результат, полученный А.П. Ивановым в [19], в части существования чистых вращений в случае несбалансированной треноги: Розенблат показал, что такие движения не реализуются. В работе также получены частные интегралы уравнений движения треноги. В [45] рассмотрена задача, о качении плоской пластинки по шероховатой прямой (задача Е.А. Болотова), только в отличие от [3], результаты представлены в аналитическом виде, а также рассмотрен ряд частных случаев. Также Г.М. Розен-блатом были исследованы вопросы о равновесии тел с анизотропным трением, парадоксы Пенлеве и динамические системы с сухим трением

в целом [45-49].

В статье А.В. Борисова, И.С. Мамаева и Н.Н. Ердаковой [63] изучалась финальная динамика треноги на горизонтальной плоскости, показано существование различных режимов: чистое вращение, чистое скольжение и случай, когда и вращение, и скольжение заканчиваются одновременно. Исследованы траектории центра масс системы, а также результаты исследования сравнивались со случаем движения тел с плоским основанием.

Н.Е. Жуковский в [8] изучил вопрос о равновесии тела при наличии внешних сил, сформулировал условия для его существования, а также в случае произвольного статического распределения реакций по площади контакта обсуждает свойства сил трения и момента. Условия равновесия тел обсуждались также в работах Ф.Л. Черноусько [58]

Одной из первых наиболее полных исследований динамики финального движения однородного круглого диска и тонкого кольца по горизонтальной шероховатой плоскости является работа [22] Ишлин-ского А.Ю., Соколова Б. Н. и Черноусько Ф.Л. Было доказано, что при нетривиальных движениях (начальная скорость центра и угловая скорость не равны нулю) найдется момент остановки t* такой, что и скольжение и верчение заканчиваются одновременно: v(t*) - w(t*) - 0. Также ими был установлено, что при финальном движении скорости v и ш оказываются связанными: v - шЯ для кольца и v - кшЯ для диска. Факт интересен тем, что отношение V стремится к величине, характеризующей параметры задачи и независящей от начальных условий. Аналогичный результат был получен зарубежными учеными Военли и Эриксоном в работе [97] с разницей в том, что Военли и Эриксон получили значение к ~ 0, 653, что является более корректным по сравнению с результатом [22] к « 0, 71.

В работе Вайдмана и Мальотры [98] исследовалась задача о финальном движении кольцевого диска с геометрическим параметром r2

П - rt , характеризующим отношение внутреннего и внешнего радиу-

сов. Было показано, что при изменении параметра п в пределах от 0 до 1 (п = 0 соответствует случаю сплошного диска, п = 1 - тонкому кольцу), коэффициент k лежит в диапазоне от 0,653 до 1, что согласуется с результатами [22,97]. Также в этой работе были численно изучены финальные движения тел, составленных из коаксиальных круговых цилиндров различной высоты и радиусов; было показано, что в зависимости от массовых и геометрических характеристик составляющих цилиндров финальное движение может быть как чистым вращением, так и поступательным. Стоит отметить, что в работах [22, 97, 98] была использована гипотеза о постоянном распределении давления по пятну контакта (использовалось статическое распределение давления p(r) = const). Известно, что такая модель в случае ненулевой высоты шайбы является динамически несогласованной: это условие находится в противоречии с равенством нулю проекций момента силы на оси, параллельные плоскости.

В настоящее время множество работ [31,52,62,68,90,94] также посвящено изучению динамики твердых тел на шероховатой плоскости, в частности, шайб (однородных прямых цилиндров), дисков, контактирующих с плоскостью по некоторому пятну контакта, а также тел, имеющих несколько точек контакта. В работе [94] авторы исследуют т—устойчивость движения шайбы, подразумевая под этим устойчивость по Ляпунову траекторий некого предельного векторного поля U, полученного в предположении малости кинетической энергии. Таким образом, изучается финальная динамика шайбы с линейным распределением давления по пятну контакта. Авторами получены области т—устойчивости в пространстве параметров системы, а также приведено сравнение динамики шайбы с круглым основанием и треногой.

В [90] также исследуется задача о движении шайбы с линейным распределением реакций. Авторами приведен исчерпывающий качественный анализ движения шайбы: было показано, что время движения шайбы конечно, причем во время движения знак проекции угловой

скорости на восходящую вертикаль не меняется. Также было показано, что скольжение и верчение на нетривиальных движениях заканчиваются одновременно (аналогичный эффект наблюдается и для шара с постоянной плотностью распределения и в случае шайбы нулевой высоты). Также показано, что при ненулевой высоте шайбы траектории отклоняются от прямолинейной (эффект вызван перераспределением нормальной нагрузки в пятне контакта).

В работе И.С. Мамаева и Н.Н. Ердаковой [68] изучается случай сбалансированной шайбы на кольцевом основании с линейным законом распределения нагрузки. Было показано, что в случае неособых решений величина скорости центра масс всегда убывает, а также получен факт уклонения траектории вправо по ходу движения при вращении против часовой стрелки и влево в противном случае. Авторами проведен качественный анализ фазового портрета с помощью исследования дескриптивных функций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шамин Александр Юрьевич, 2020 год

Литература

1. Андронов В.В., Журавлев В.Ф. Сухое трение в задачах механики. М.- Ижевск: РХД, 2010. 184 с.

2. Аппель П. Теоретическая механика. М.: ГИФМЛ, 1960. Т. 2. 516 с.

3. Болотов Е.А. о движении материальной плоской фигуры, стесненном связями с трением. М.: Университетская типография, 1906. 147с.

4. Болотов Е.А. Об ударе двух тел при действии трения // Изв. Моск. Инж. училища. 1908. Ч.2. С. 43-55

5. Борисов А. В., Мамаев И. С. Законы сохранения, иерархия динамики и явное интегрирование неголономных систем // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4. № 3. С. 223-280.

6. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика саней Чаплыгина // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 2. С. 219-225.

7. Горячева И.Г., Зобова А.А. Торможение жесткого цилиндра, скользящего по вязкоупругому основанию // ПММ. 2019. Т. 83. Вып. 2. С. 215-227.

8. Жуковский Н.Е. Условие равновесия твердого тела, опирающегося на неподвижную плоскость некоторой площадкой и могущего перемещаться вдоль этой плоскости с трением / Собр. соч. Т. 1. М.; Л.: Гостехтеориздат, 1948. С. 339-354.

9. Журавлев В. Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 5. С. 762-767.

10. Журавлев В.Ф. Закономерности трения при комбинации скольжения и верчения // Изв. РАН, МТТ. 2003. № 4. С. 81-88.

11. Журавлев В. Ф., Климов. Д. М. О динамике волчка Томсона(тип-топ) на плоскости с реальным сухим трением// Изв. РАН. МТТ. 2005. № 6. С. 157-168.

12. Зобова А.А. О стационарных движениях тяжелого тела вращения на шероховатой плоскости // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения М.: ВЦ РАН. 2004. С. 78 88.

13. Зобова А.А. Построение бифуркационных диаграмм Пуанкаре-Четаева и Смейла в динамике тела вращения на шероховатой плоскости // Труды научной школы-конференции «Мобильные роботы и мехатронные системы» М.: Изд-во МГУ. 2004. С. 107 - 118.

14. Зобова А. А., Карапетян А. В. Построение бифуркационных диаграмм Пуанкаре-Четаева для консервативных неголономных систем с симметрией // Прикладная математика и механика. — 2005. - Т. 69, № 2. — С. 202-214.

15. Зобова А.А., Карапетян А.В. Анализ стационарных движений волчка тип-топ // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 6. С. 867-877.

16. Иванов А. П. Об устойчивости равновесия в системах с трением // Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71. Вып. 3. С. 427-438.

17. Иванов А. П. Об условиях отрыва в задаче о движении твердого тела по шероховатой плоскости // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4. №3. С. 287-302.

18. Иванов А. П. Условия однозначной разрешимости уравнений динамики систем с трением // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72. Вып. 4. С. 531-546.

19. Иванов А. П. Динамически совместная модель контактных напряжений при плоском движении твердого тела // ПММ, 2009, т. 73, № 2, с. 189-203.

20. Иванов А.П. Основы теории систем с трением. - М.-Ижевск: НИЦ «РХД», ИКИ, 2011.- 302 с.

21. Ифраимов С.В., Кулешов А.С. О движении саней Чаплыгина по выпуклой поверхности // Автоматика и телемеханика. 2013, № 8. С. 80-90.

22. Ишлинский А. Ю., Соколов Б. Н., Черноусько Ф.Л. О движении плоских тел при наличии сухого трения // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1981. №4. С. 17-28.

23. Ишханян М.В., Карапетян A.B. Динамика однородного шара на горизонтальной плоскости с учетом трения скольжения, верчения и качения // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 2. С. 3-14.

24. Ишханян М.В. О взаимосвязанности скольжения и качения в задаче о движении однородного шара по шероховатой горизонтальной плоскости // ПММ. 2010. Т. 74. Вып. 2. С. 216-220.

25. Козлов В.В. Замечания о сухом трении и неголономных связях // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6. № 4. С. 903-906.

26. Карапетян А. В. Качественное поведение динамики волчка на плоскости с трением // ПММ. 1991. Т.55. №4. С. 698-701.

27. Карапетян А.В. Глобальный качественный анализ динамики китайского волчка (тип-топ) // Изв. РАН. МТТ. 2008. № 3. С. 33-41.

28. Карапетян А. В. Двухпараметрическая модель трения и ее свойства// ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 4. С. 515-519

29. Карапетян А.В. О моделировании сил трения в динамике шара на плоскости // ПММ. 2010. Т. 74. Вып. 4. С. 531-535.

30. Карапетян А.В., Муницына М.А. Динамика неоднородного эллипсоида на горизонтальной плоскости // ПММ. 2014. Т. 78. Вып. 3. С. 328-333.

31. Карапетян A.B., Русинова A.M. Качественный анализ динамики диска на наклонной плоскости с трением // ПММ. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 731-737.

32. Киреенков A.A. О движении однородного вращающегося диска по плоскости в условиях комбинированного трения // Изв. РАН, МТТ. 2002, №1, с. 60-67.

33. Киреенков A.A. Метод вычисления силы трения и момента сил трения в комбинированной модели сухого трения для круговых площадок контакта // Изв. РАН, МТТ, 2003, №4, с. 81-88.

34. Киреенков A.A. Связанная модель трения скольжения и качения в динамике тел на шероховатой плоскости.//Изв. РАН. МТТ. 2008. № 3. С. 116-131.

35. Киреенков A.A. Обобщенная двумерная модель трения скольжения и верчения // Докл. АН, 2010, т. 431, №4, с. 482-486.

36. Контенсу П. Связь между трением скольжения и трением верчения и ее учет в теории волчка // Проблемы гироскопии. М.: Мир, 1967. С. 60-77.

37. Ле Суан Ань. Парадоксы Пэнлеве и законы движения механических систем с кулоновым трением // ПММ. 1990. Вып.4. С. 520-529.

38. Матюхин В.И. О реализации неголономных механических связей // Изв. АН. МТТ. 1999. № 6. С. 3-11.

39. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992. 335 с.

40. Новожилов И.В. Условия застоя в системах с кулоновым трением // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. № 1. С. 8-14.

41. Новожилов И. В., Кручинин П. А., Магомедов М. X. Контактные силы взаимодействия колеса с опорной поверхностью // Сб. научно-методических статей. М.: Изд-во МГУ, 2000. Вып. 23. С. 86-95.

42. Ю.И. Неймарк, Н.А. Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. М.: «Наука», 1967.- 549 с.

43. Орешкина Л. Н. Некоторые обобщения задачи о санях Чаплыгина // Механика твердого тела, 1986, № 19, с. 34-39

44. Пэнлеве П. Лекции о трении. М.: Гостехтеориздат, 1954. 316 с.

45. Розенблат Г. М. Движение плоского твердого тела по шероховатой прямой // Нелинейная динамика. 2006. Т. 2. № 3. С. 293-306.

46. Розенблат Г. М. Динамические системы с сухим трением. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. 203 с.

47. Розенблат Г. М. К динамике неголономных моделей колесных экипажей // Вестник Удмуртского университета. Серия «Математика, механика, компьютерные науки». 2008. Вып. 3. С. 90-108.

48. Розенблат Г. М. К постановке задач в динамике несвободного движения твердого тела и парадоксы Пэнлеве // Вестн. Удм. ун-та. Серия «Математика,механика,компьютерные.науки».2009. Вып. 2. С. 75-88.

49. Розенблат Г. М. Равновесие твердого тела на плоскости с анизотропным сухим трением // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 2. С. 204-218.

50. Розенблат Г. М. Об интегрировании уравнений движения тела, опирающегося на шероховатую плоскость тремя точками // Докл. РАН, 2010, т. 435, № 4, с. 475-478.

51. Розенблат Г. М. О движении тела, опирающегося на шероховатую плоскость тремя точками. // ПММ. 2011. Т. 75. Вып. 2. С. 254-258.

52. Русинова A.M. О динамике однородной шайбы на наклонной плоскости с трением // ПММ. 2013. Т. 77. Вып. 4. С. 538-544.

53. Самсонов В. А. О трении при скольжении и верчении тела // Вестник МГУ. Сер. матем., мех., 1981. № 2. С. 76-78.

54. Самсонов В.А. Очерки о механике. Некоторые задачи, явления и парадоксы. Ижевск: РХД. 2001. 80с.

55. Сумбатов А.С. Неголономные системы. В сб. Неголономные динамические системы. Ред. А.В. Борисов, И.С. Мамаев. М., Ижевск, 2002, с. 20-48.

56. Сумбатов А.С., Юнин Е.К. Избранные задачи механики систем с сухим трением. М. Физматлит, 2013, 200 с.

57. С.А. Чаплыгин. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе.// Мат. сб. 1911. т. 28. Вып. 2. с. 303-314.

58. Черноусько Ф. Л. Условия равновесия тела на шероховатой плоскости // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1988. №6. С. 6-17.

59. Amotons G. De resistance caus ee dance les machines. Memoires de l'Academie Royale, 1699, p. 203-222.

60. Appell, Paul. Sur une forme générale des équations de la dynamique. Mémorial des sciences mathematiques, no. 1 (1925), 58 p.

61. Bizyaev I. A., Borisov A. V., Mamaev I. S., Dynamics of the Chaplygin sleigh on a cylinder, Rus. J. Nonlin. Dyn., 2016, Vol. 12, No. 4, pp. 675-687

62. Alexey V. Borisov, Yury L. Karavaev, Ivan S. Mamaev, Nadezhda N. Erdakova, Tatyana B. Ivanova, Valery V. Tarasov, "Experimental Investigation of the Motion of a Body with an Axisymmetric Base Sliding on a Rough Plane", Regul. Chaotic Dyn., 20:5 (2015), 518-541

63. A. V. Borisov, I. S. Mamaev, N. N. Erdakova, "Dynamics of a body sliding on a rough plane and supported at three points", Theor. Appl. Mech., 43:2 (2016), 169-190

64. Borisov A. V., Mamaev I. S., An inhomogeneous Chaplygin sleigh, Rus. J. Nonlin. Dyn., 2017, Vol. 13, No. 4, pp. 625-639

65. Brogliato, B. Nonsmooth Mechanics, 2 ed. Springer, London, 1999

66. Caratheodory C. Der Schlitten // Z. Angew. Math. Mech., 1933, vol. 13, no. 2, pp. 71-76

67. Coulomb C.A. Theorie des machines simples. Paris, 1781, 368 p.

68. Erdakova N. N., Mamaev I. S., On the dynamics of a body with an axisymmetric base sliding on a rough plane, Rus. J. Nonlin. Dyn., 2013, Vol. 9, No. 3, pp. 521-545

69. Euler L. Sur la diminution de la resistence du frottement //Histoire de L'acad'emie royale des sciences et belles lettres. MDCCXLVIII (1748). P. 122-132.

70. Field P. On the motion of a disc with three supports on a rough plane // Phys. Rev. (Series I), 1912, vol. 35, pp. 177-184.

71. Genot, F., and Brogliato, B. New results on Penleve paradoxes. European Journal of Mechanics—A/Solids 18 (1999),653-677

72. Ivanov A. P., Comments on the P.Painleve paper "Sur les lois du frottement de glissement", Rus. J. Nonlin. Dyn., 2012, Vol. 8, No. 5, pp. 981-984

73. Jellet J. H. A Treatise on The Theory of Friction. Dublin: Hodges, Foster and Co.,London: Macmillan and Co., 1872.

74. Kuleshov A. S., Treschev D. V., Ivanova T. B., Naymushina O. S., A rigid cylinder on a viscoelastic plane, Rus. J. Nonlin. Dyn., 2011, Vol. 7, No. 3, pp. 601-625

75. Le Saux, C., Leine R.I., Glocker, Ch.,Dynamics of a rolling disk in the presence of dry friction, Journal of Nonlinear Science 15 (1) (2005) 27-61

76. Leine, R.I., Brogliato, B., and Nijmeijer, H. Periodic motion and bifurcations induced by the Painleve paradox. European Journal of Mechanics—A/Solids 21,5 (2002), 869-896

77. Leine, R.I., Glocker, Ch., A set-valued force law for spatial Coulomb-Contensou friction, European Journal of Mechanics-A/Solids 22 (2003) 193-216

78. Leine, R.I., Glocker, Ch., Van Campen, D.H., Nonlinear dynamics and modeling of various wooden toys with impact and friction. Journal of Vibration and Control 9,1 (2003). 25-78

79. Leine, R.I., Nijmeijer, H. Dynamics and Bifurcations of Non-Smooth Mechanical Systems, vol. 18 of Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. Springer-Verlag, Berlin, 2004

80. Leine, R.I., and Van de Wouw, N. Stability properties of equilibrium sets of nonlinear mechanical systems with dry friction and impact. International Journal of Nonlinear Dynamics and Chaos in Engineering Systems 16,1 (1998), 41-54

81. Leine, R.I., and Van de Wouw, N., Stability and Convergence of Mechanical Systems with Unilateral Constraints, Springer-Verlag Berlin Heidelber (2008)

82. Levi-Civita T. Sulla stabilita delle lavagna a cavalletto// Periodico de Mathematiche. 1924. S.IV.V.IV.P. 59-73

83. Lotstedt P. Coulomb friction in two-dimensional rigid body systems // ZAMM. 1981. V. 61. № 12. P. 605-615.

84. Moreau J. J. Unilateral Contact and Dry Friction in Finite Freedom Dynamics // Nonsmooth Mechanics and Applications. Vienna: Springer Vienna, 1988. C. 1-82. URL: http://link.springer.com/10.1007/978-3-7091-2624-01.

85. Pang J.S., Trinkle J.C. Complementarity formulation and existence of solutions of dynamic multirigidbody contact problems with Coulomb friction // Math. Programming. 1996. V. 73. № 2. P. 199-226.

86. Poschel T., Brilliantov N.V., Zaikin A. Bistability and noise-enhanced velocity of rolling motion // Europhys. Lett., 69 (3), pp. 371-377 (2005)

87. Poschel T., Schwager T., Brilliantov N. V. Rolling friction of a hard cylinder on a viscous plane // Eur. Phys. J. B 10, pp. 169-174 (1999)

88. Poschel T., Schwager T., Brilliantov N. V., Zaikin A. Rolling friction and bistability of rolling motion // Powders and Grains 2005: Proc. of the 5th Internat, pp. 505-509.

89. Reynolds O. On rolling friction // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A., 1875, vol. 23, pp. 506-509.

90. Salnikova T. V., Treschev D. V., Gallyamov S. R., On the motion of free disc on the rough horisontal plane, Rus. J. Nonlin. Dyn., 2012, Vol. 8, No. 1, pp. 83-101

91. Shegelski M. R. A., Goodvin G. L., Booth R., Bagnall P., Reid M. Exact normal forces and trajectories for a rotating tripod sliding on a smooth surface // Can. J. Phys., 2004, vol. 82, pp. 875-890.

92. Stribeck, R., Die wesentlichen Eigenschaften der Gleit- und Rollenlager (Characteristics of Plain and Roller Bearings), Zeit. des VDI 46. 1902.

93. Sumbatov A.S. Nonholonomic systems. // Reg.Chaot Dyn. 2002, v. 7, N 2, pp 221-238.

94. Treschev D. V., Erdakova N. N., Ivanova T. B., On the final motion of cylindrical solids on a rough plane, Rus. J. Nonlin. Dyn., 2012, Vol. 8, No. 3, pp. 585-603

95. Trinkle J.C., Pang J.S., Sudarsky S., Lo G. On dynamic multi rigid body contact problems with Coulomb friction // ZAMM. 1997. Bd. 77. № 4. P. 267-279

96. Van de Wouw, N., and Leine, R.I. Attractivity of equilibrium sets of systems with dry friction. International Journal of Nonlinear Dynamics and Chaos in Engineering Systems 35, 1 (2004),19-39

97. Voyenli K., Eriksen E. On the motion of an ice hockey puck // Amer. J. Phys., 1985, vol. 53, pp. 1149-1153.

98. Weidman P. D., Malhotra C. P., On the terminal motion of sliding spinning disks with uniform Coulomb friction, Rus. J. Nonlin. Dyn., 2011, Vol. 7, No. 2, pp. 339-365

99. Карапетян А. В., Шамин А. Ю. О движении саней Чаплыгина по горизонтальной плоскости с сухим трением // Прикладная математика и механика. - 2019. - Т. 83, № 2. - С. 228-233.

100. A. V. Karapetyan, and A. Yu. Shamin, On Motion of Chaplygin Sleigh on a Horizontal Plane with Dry Friction, Mechanics of Solids,

2019, Vol. 54, No. 5, pp. 10-15

101. Шамин А.Ю. Динамика саней Чаплыгина на горизонтальной плоскости с трением // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех.,

2020, № 1, 48-55

102. Shamin A. Y., On the Motion of the Chaplygin Sleigh on a Horizontal Plane with Dry Friction at Three Points of Contact, Rus. J. Nonlin. Dyn., 2019, Vol. 15, no. 2, pp. 159-169

103. Karapetyan A.V., Shamin A.Y. On the movement of the Chaplygin sleigh on a horizontal plane with dry friction // Acta Astronautica, 2020. doi: 10.1016/j.actaastro.2020.04.051

104. Шамин А.Ю. Динамика саней Чаплыгина на шероховатой плоскости // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник трудов в 4 томах. Т. 1: Общая и прикладная механика.— Уфа: РИЦ БашГУ, 2019. С. 150-152