Сухое трение и односторонние связи в механике твердого тела тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, доктор физико-математических наук Розенблат, Григорий Маркович

• Розенблат, Григорий Маркович
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Розенблат, Григорий Маркович

Введение

Сюва 1. Задачи о равновесии твердого тела на шероховатой плоскости.

§ 1.1. Равновесие твердого тела на плоскости с анизотропным сухим трением.

1. Постановка задачи о равновесии, описание модели анизотропного трения и основные уравнения.

2. Формулировка и обоснование результатов в случае п = 1.

3. Формулировка и обоснование результатов для случая и = 2.

4. Формулировка и обоснование результатов для случая п = 3.

§ 1.2. О динамическом (обязательном) равновесии твердого тела, опирающегося одной точкой на шероховатую плоскость.

1. Постановка задачи.

2. Вывод основных уравнений начального движения.

3. Формулировка результата.

4. Обоснование результата.

§ 1.3. Равновесие абсолютно твердого тела при опирании на две шероховатые плоскости.

1. Описание модели и постановка задачи

2. Уравнения равновесия и их преобразование.

3. Формулировка и обоснование результатов.

4. Обсуждение результатов.

Ошва 2. Задачи о движении плоских тел по шероховатой плоскости.

§2.1. Движение тела, опирающегося двумя свободно укрепленными площадками на шероховатую плоскость.

§ 2.2. Движение тела, опирающегося двумя жестко укрепленными площадками на шероховатую плоскость.

§2.3. Движение тела, опирающегося произвольной площадкой на шероховатую плоскость.

§ 2.4. Движение тела, опирающегося круглой площадкой на шероховатую плоскость.

§ 2.5. Движение тела, опирающегося кольцевой площадкой на шероховатую плоскость.

§2.6. Движение тела, опирающегося прямоугольной площадкой на шероховатую плоскость.

§2.7. Интегрирование уравнений движения диска по шероховатой плоскости.

П1ава 3. Движение твердого тела по шероховатой плоскости.

§3.1. О движении плоского твердого тела по шероховатой прямой.

1. Постановка задачи.

2. Уравнения движения.

3. Формулировка результатов.

4. Некоторые частные случаи.

5. Обоснование результатов.

§ 3.2. К постановке задач в динамике несвободного движения твердого тела и парадоксы Пэнлеве.

1. Основные принципы.

2. Плоское твердое тело, контактирующее с шероховатой плоскостью одной своей точкой.

3. Задача Пэнлеве—Аппеля

4. Твердое тело, опирающееся о шероховатую плоскость двумя своими точками

5. Тело в поле силы тяжести с тянущей горизонтальной силой и опирающееся на шероховатую плоскость двумя своими точками (двухсторонняя связь)

§ 3.3. Метод определения параметров безотрывного движения волчка на гладкой плоскости.

1. Постановка задачи и уравнения движения для гладкой плоскости.

2. Формулировка и обоснование результатов.

§3.4. О безотрывных движениях волчка на гладкой плоскости (общий случай)

1. Уравнения движения и постановка задачи.

2. Формулировка результата для сферического волчка.

3. Обоснование результата.

§3.5. Движение волчка по абсолютно шероховатой плоскости.

1. Постановка задачи.

2. Формулировка результатов.

Глава 4. О движении некоторых колесных экипажей в условиях трения.

§4.1. К динамике неголономных движений колесной пары и плоской модели типа скейтборда

1. Колесная пара на наклонной плоскости. Уравнения движения, постановка задачи и формулировка результатов.

2. Динамика плоской колесной модели (скейтборд).

§4.2. О неустойчивости экипажа при его установившемся движении вдоль вертикальной плоскости с учетом сил трения.

1. Описание модели.

2. Постановка задачи.

3. Уравнения движения и система линейного приближения.

4. Формулировка и обоснование результатов.

5. Исследование устойчивости линейных уравнений движения экипажа в общей постановке.

§ 4.3. О движении тела, опирающегося на шероховатую плоскость тремя точками

1. Описание модели, вывод уравнений движения и постановка задачи.

2. Вращательные движения тела вокруг вертикальной оси, проходящей через центр масс.

3. Поступательные движения тела

4. Движения тела, близкие к поступательным

5. Произвольные движения тела.

6. Обсуждение результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сухое трение и односторонние связи в механике твердого тела»

Настоящая работа посвящена исследованиям автора в области решения некоторых задач статики и динамики твердого тела при наличии сил сухого трения и односторонних связей. История исследования таких задач насчитывает не одну сотню лет и восходит к работам Леонардо да Винчи (Средние века), Д. Морена, Л. Эйлера, Ш. Кулона, Дж. X. Джел-летта и т.д. В XIX-XX вв. к этим задачам обращались П. Пэнлеве, Ф. Клейн, Р. Мизес, Л. Прандтль, Л. Лекорню, П. Контенсу, Н. Н. Шиллер, Н. Е. Жуковский, Е. А. Болотов, Г. К. Пожарицкий и т. д.

В настоящее время такими задачами занимаются немало исследователей, как на Западе (А. Руина, Ф. Пфейфер, М. Шегельский, Р. Лейн, С. Глоккер и т.д.), так и в России (В. А. Самсонов, А. В. Карапетян, Ф. Л. Черноусько, А. П. Иванов, В. Ф. Журавлев, В. В. Андронов, H.A. Фуфаев, В. В. Козлов, В. М. Матросов, П. Е. Товстик, Н. Н. Болотник и т.д.). Разумеется, этот список далеко не полон, и мы перечислили фамилии наиболее значительных (по нашему мнению) ученых, которые внесли (и вносят, в настоящее время) существенный вклад в развитие теорий сухого трения и односторонних связей для задач механики твердого тела.

I. Задачи статики для твердого тела, опирающегося односторонним образом несколькими своими точками на шероховатые плоскости. Такие задачи рассмотрены в главе 1 настоящей работы. Они восходят к Дж. X. Джеллеггу и были рассмотрены в его известном трактате [19]. Здесь были введены, пожалуй, впервые, понятия «возможного» и «обязательного» положений статического равновесия тела в условиях сухого трения. Под «возможным» равновесием подразумевается существование таких допустимых сил трения покоя в точках контакта тела с опорами, которые уравновешивают приложенную к телу систему активных сил, т. е. удовлетворяют шести уравнениям статики твердого тела. Под «обязательным» равновесием, помимо указанного условия, подразумевается еще и выполнение условий отсутствия каких-либо начальных движений тела (из рассматриваемого положения равновесия), связанных со скольжением и/или отрывом точек контакта. В [19] получение таких условий было продемонстрировано на нескольких простейших примерах.

Изотропная сила трения покоя, возникающая при статическом равновесии в точке контакта тела с плоскостью, ограничена по модулю величиной fN (/ — коэффициент трения, N > 0 — нормальная реакция), но направление ее в плоскости контакта, вообще говоря, неизвестно. Направления и модули этих сил являются такими, чтобы удовлетворить условиям статического («возможного») равновесия тела. Всякий раз, когда уравнениям равновесия тела можно удовлетворить положительными нормальными реакциями и соответствующими силами трения покоя, именно это предположение принимается за действительное, даже если, может быть, не соблюдены условия «обязательного» равновесия. Однако, как отмечал Е.А.Болотов [8], это предположение не имеет достаточного обоснования. Это вполне понятно, так как рассматриваемая задача о равновесии является, вообще говоря, статически неопределимой. При этом надо иметь в виду, что при опоре тела на одну, две или три свои точки на одной и той же шероховатой плоскости задача статически определима для нормальных реакций (они зависят только от внешних активных сил). Касательные же реакции (силы трения покоя) однозначно определяются только при опоре на одну точку. При опоре на две или три точки этих касательных реакций (в рамках рассматриваемой модели) будет уже целое множество, и для них задача является статически неопределимой. Целью исследования в этом случае {см. главу 1 настоящей работы) является получение условий, которым следует подчинить систему внешних активных сил и геометрические параметры расположения опор, чтобы это множество сил трения покоя было непусто. А чтобы определить однозначно эти силы трения покоя, необходимо уточнять и усложнять постановку исходной задачи, например, вводя упругость (податливость) опор, превращать точки контакта в небольшие площадки, решая соответствующие контактные задачи с трением (И. Г. Горячева [15], И. И.Аргатов [6]). Аналогичная ситуация возникает и в случае опирания тела на шероховатую плоскость четырьмя и более своими точками, когда статически неопределимыми становятся также и нормальные реакции опор. В этом случае задачу можно рассматривать как задачу о гарантированном равновесии, понятие которого было введено Ф.Л.Черно-усько в [107]. Если статическая неопределимость для нормальных реакций снята путем введения каких-либо дополнительных гипотез (например, путем введения податливости в точках контакта), то нормальные реакции можно считать известными. Однако, как было отмечено в упомянутой работе [107], полученные величины нормальных реакций сильно зависят от жесткостей различных элементов тела и опоры, а также от геометрических неидеальностей (погрешностей изготовления). В [107] было показано, что задача гарантированного равновесия (т. е. статического равновесия при любом допустимом распределении нормальных реакций) сводится к проверке условий статического равновесия при опоре на любые три точки из рассматриваемого множества точек опоры. Таким образом, задача о равновесии тела при опоре на три точки является здесь определяющей при ' исследовании условий гарантированного равновесия при опоре на произвольное количество точек на одной шероховатой плоскости. В § 1.1 главы 1, в частности, сделана попытка аналитического решения такой задачи о статическом равновесии при опоре на одну, две или три точки на одной шероховатой плоскости

Если тело опирается двумя, тремя или более своими точками на разные шероховатые плоскости, то задача становится уже статически неопределимой по всем составляющим опорных реакций (как по нормальным, так и по касательным). Исследование статического равновесия здесь уже имеет свои особенности: возникают варианты «заклинивания» или «самоторможения». Кроме того, важными в этой задаче обстоятельствами являются: 1) величины начальных напряжений (нормальных реакций в точках контакта); 2) предыстория состояния и нагружения системы (см. предисловие Р. В. Гольдштейна к книге [20]). В общем виде для двух точек опоры эта задача исследуется в £1.3 главы 1, где приведен также конкретный пример использования полученных результатов. Отметим, что задача о статическом равновесии тяжелого абсолютно твердого тела в шероховатом вертикальном цилиндре рассматривалась в статье [7].

В §\.2 главы 1 исследуется задача о нахождении условий «обязательного» равновесия твердого тела, опирающегося одной своей точкой на шероховатую плоскость. Найдены все случаи, когда условия «обязательного» равновесия совпадают с условиями «возможного» (т. е. статического) равновесия. Однозначная разрешимость уравнений динамики для начального движения такого тела исследовалась в работе [44].

II. Задачи динамики для плоских твердых тел, перемещающихся по шероховатой горизонтальной плоскости. Эти задачи рассмотрены в главе 2 настоящей работы. В §§2А, 2.2 рассматриваются задачи о движении стержня, опирающегося двумя малыми, свободно или жестко укрепленными на нем площадками, на шероховатую плоскость. Такого рода задачи ранее исследовались численно в работе [49]. В настоящих параграфах сделана попытка аналитического решения таких задач. В симметричных случаях удается найти частные первые интегралы уравнений движения, на основании которых можно дать качественный анализ процесса движения тела по плоскости. В частности, получены следующие результаты: 1) если опорные площадки укреплены на теле свободно (и тогда естественно используется классическая, «одномерная» модель Кулона для возникающих сил трения от опорной плоскости), то процесс движения почти всегда (за исключением описанных вырожденных ситуаций) заканчивается чистым вращением вокруг одной из опорных площадок; 2) если опорные площадки закреплены жестко на теле (и тогда естественно используется «двумерная» модель Контенсу—Журавлева [27] для возникающих сил трения от опорной плоскости), то процесс движения, напротив, никогда не заканчивается указанным вращением, однако угловая скорость и скорость центра масс тела обращаются в нуль одновременно, в момент его полной остановки. §§2.3—2.7 главы 2 посвящены исследованию движения плоского тела, опирающегося на шероховатую плоскость некоторой непрерывной областью с равномерно или осесимметрично распределенными нормальными давлениями. Такого рода задачи рассматривались ранее многими авторами (см., например, [5,22,27,49,50,56,61,63]). В указанных параграфах настоящей работы получены оценки (снизу и сверху) для времени движения тела до его полной остановки, в зависимости от начальных условий задачи, решена задача об определении максимального (в определенном классе начальных условий) пути, проходимого телом вплоть до его полной остановки, рассмотрены вопросы о существовании чисто вращательных и чисто поступательных движений тела, показано, что при совпадении центра нормальных давлений и центра масс тела процесс движения заканчивается лишь при одновременном обращении в нуль угловой скорости тела и скорости его центра масс. Кроме того, для круглой и кольцевой областей контакта (££2.4, 2.5) проведено качественное исследование движения тела в зависимости от значений его параметров (геометрических размеров и центрального радиуса инерции), получены неулучшаемые (в определенном классе начальных условий) оценки сверху и снизу для времени движения тела до его полной остановки. В некоторых случаях (см. §2.7, посвященный движению тонкого диска с осесимметрич-ным распределением нормальных давлений) удается точно проинтегрировать уравнения движения.

III. Задачи динамики для твердого тела, опирающегося односторонним образом одной, двумя или тремя своими точками на шероховатую плоскость. Здесь возникает необходимость решения следующих типов задач.

1. Определение области начальных условий, при которых возможно однозначное решение уравнений динамики твердого тела для безотрывного его движения (парадоксы Пэнлеве).

2. Определение области начальных условий и параметров тела, при которых происходит его безотрывное движение, т. е. исследование знака нормальной реакции в точках контакта тела с плоскостью.

3. Исследование отрыва тела от опоры (ослабление связи) в момент, когда нормальная реакция меняет свой знак.

Исследованию перечисленных задач посвящена глава 3 настоящей работы. Задача 1 подробно рассматривается в §3.1 главы 3 для плоского тела (пластинки), движущегося по шероховатой прямой (односторонняя связь). Ранее такая задача с геометрической точки зрения рассматривалась Е. А. Болотовым (см. оригинальную работу Е.А.Болотова [8], а также статью В. А. Самсонова [97], посвященную Е.А.Болотову). В указанном параграфе вводится понятие корректных начальных условий, которые реализуются в результате движения тела при напряженной связи. Если тело в рассматриваемый момент времени £ = ¿о удовлетворяет уравнению односторонней связи как по координатам, так и по скоростям, то классический удар (по нормали к связи) здесь не реализуется, однако может происходить касательный «удар трением». Такая ситуация была подробно рассмотрена для стержня в работе [116], где для обоснования явления касательного удара использовались податливость опоры в точке контакта, а также другие предположения теории вязкоупругости. Эффект «удара трением» также исследовался для задачи динамики тормозной колодки в работе В. А. Самсонова [96].

Если же связь при I = ¿о — 0 была напряжена и движение тела реально происходило по этой связи (что означает также положительность соответствующей нормальной реакции в ближайшем прошлом), то, как показано в £3.1 главы 3, продолжение движения при I — ¿о + 0 происходит однозначно и без каких-либо парадоксов. Можно выразиться так: если мы учитываем ближайшее прошлое при классическом (нормальном) заходе в данный момент £ = ¿о на одностороннюю связь (помимо других дополнительных предположений), то почему бы это ближайшее прошлое не учитывать и для безударного или безотрывного захода на связь. Изложенные принципы и обстоятельства подробно обсуждаются и иллюстрируются на известных классических задачах в §3.2 главы 3.

Задача 2 рассмотрена в ££3.3—3.5 главы 3 для симметричного твердого тела (волчка), контактирующего одной своей точкой с абсолютно шероховатой плоскостью (неголоном-ная связь) и с абсолютно гладкой плоскостью . Для случая абсолютно гладкой плоскости получены простые аналитические формулы для необходимых и достаточных условий, при которых происходит безотрывное движение волчка. Для абсолютно шероховатой плоскости такие условия удалось получить в некоторых частных случаях движения волчка.

Отметим, что исследование знака нормальной реакции при решении задач механики твердого тела с односторонними связями является необходимым (а может, даже и обязательным) дополнением при интегрировании соответствующих уравнений движения, которые были получены из общих теорем динамики путем исключения реакций связей. Игнорирование этого обстоятельства может приводить к курьезам, которые, к сожалению, нередко встречаются, как в учебной литературе по теоретической механике (см., например, [108], стр.418, пример 42), так и в серьезных научных математических статьях механикоподоб-ного содержания (см., например, [10]: стр.236, п. 3.3; стр.260, п. 9; стр.267, п. 11). Кроме того, в §§3.3—3.5 главы 3 исследуется задача 3, т. е. движения тела, которые происходят после обнуления нормальной реакции (ослабление связи). Наиболее просто и однозначно этот вопрос решается для случая гладкой плоскости. В случае же абсолютно шероховатой плоскости (см. §3.5) возникают парадоксальные ситуации, разрешить которые, оставаясь в рамках модели абсолютно шероховатой плоскости, невозможно. Более подробно эти вопросы исследуются и обсуждаются в недавних (2008) статьях А. П. Иванова [45,46].

Глава 4 посвящена исследованию движения некоторых моделей колесных экипажей в условиях трения или неголономных связей.

4.1 главы 4 посвящен исследованию неуправляемых движений колесных экипажей в неголономной постановке. Решение уравнений движения удается свести к простым квадратурам. Кроме того, показано, что в неголономной постановке возможный отрыв колеса экипажа (при обнулении соответствующей нормальной реакции) имеет парадоксальный характер, что свидетельствует об ограниченной области применимости модели неголономной связи.

§4.2 главы 4 посвящен исследованию устойчивости и неустойчивости положения равновесия в вертикальной плоскости экипажа при его прямолинейном и равномерном движении и наличии трения (трения качения для колес). Предполагается известной зависимость коэффициентов трения качения колес от скорости движения. Найдены необходимые и достаточные условия для параметров системы, при которых такие равновесия являются устойчивыми. Полученные аналитические результаты представлены геометрически. Ранее такие модели при отсутствии трения рассматривались в работах [93,101,105].

В §А.Ъ главы 4 рассматривается задача о движении тяжелого твердого тела, опирающегося на шероховатую горизонтальную плоскость тремя своими точками (модель неуправляемого движения мотоцикла с коляской, или «тренога»). Контакты в точках опоры предполагаются односторонними, а касательные силы реакции в них подчиняются классическому («одномерному») закону сухого трения. Изучается динамика возможных движений такого тела. В случае плоского тела (или очень низкого расположения его центра тяжести) удается получить частные интегралы уравнений движения и дать качественное описание движения тела. Подобного типа задача, пожалуй, впервые была рассмотрена в работе [109] от 1912 года. Часть приведенных в $4.3 результатов является уточнением и развитием результатов, полученных в недавней (2009) работе А. П. Иванова [47].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Розенблат, Григорий Маркович, 2011 год

1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч. 1. Планиметрия. М.: Учпедгиз, 1948. 608 с.

2. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 429 с.

3. Андронов В. В. Механика в лесоинженерном деле. М.: Изд-во Московского государственного университета леса, 2000. 176 с.

4. Аппель П. Теоретическая механика. М.: ГИФМЛ, 1960. Т. 2. 516 с.

5. Аргатов И. И., Дмитриев Н. Н. Основы теории упругого дискретного контакта. СПб.: Политехника, 2003. С. 234.

6. Аргатов И. И. Асимптотические модели упругого контакта. СПб.: Наука, 2005. 448 с.

7. Болотник Н. Н., Кумакшев С. А. О равновесии абсолютно твердого тела, опирающегося на внутреннюю шероховатую поверхность цилиндра // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2000. № 1. С. 58-69.

8. Болотов Е.А. О движении материальной плоской фигуры, стесненной связями с трением. М.: Университетская типография, Страстной бульвар, 1906. 147 с.

9. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2006. 576 с.

10. Борисов А. В., Мамаев И. С. Законы сохранения, иерархия динамики и явное интегрирование неголономных систем // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4. № 3. С. 223-280.

11. Буданов В. М., Девянин Е.А. О движении колесных роботов // Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67. № 2. С. 244-255.

12. Ванторин В. Д. Движение по плоскости с анизотропным трением // Трение и износ в машинах. 1962. Т. 16. С. 81-120.

13. Галин JT.A. Контактные задачи теории упругости и вязко-упругости. М.: Наука, 1980. С. 303.

14. Горшковский В. Польские физические олимпиады. М.: Мир, 1982. 256 с.

15. Горячева И. Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001. 478 с.

16. ГОСТ Р 52102-2003. Шины пневматические. Определение сопротивления качению методом выбега. Госстандарт России. М., 2003.

17. Дерябин М. В. Общие принципы динамики и теория односторонних связей // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика, механика. 1998. № 1. С. 53-59.

18. Дерябин М. В., Козлов В. В. К теории систем с односторонними связями // Прикладная математика и механика. 1995. Т. 59. Вып. 4. С. 531-539.

19. Джеметт Дж. X. Трактат по теории трения. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2009. 264 с.

20. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1980. 509 с.

21. Динамика материальной точки. Методические указания к решению задач и выполнению курсовой работы по теоретической механике / Баранов В. Н., Феоктистова О. П., Саратов Ю. С., Щеглова Н. Н. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. 36 с.

22. Дмитриев Н. Н. Начало движения тела по плоскости с ортотропным трением // Динамика и устойчивость механических систем. СПб.: Изд-во СПБ ун-та, 1995. С. 14-20.

23. Дмитриев Н. Н., Товстик П. Е. К условиям равновесия тела на шероховатой плоскости // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1998. №6. С. 22-28.

24. Жуковский Н. Е. Теоретическая механика. Собрание сочинений. Т. 5, ГИТТЛ. M.-JI.; 1949. С.596-600.

25. Жуковский Н. Е. Трение бандажей железнодорожных колес о рельсы // Собр. соч. Т. VII. М.; Л.: Гостехтеориздат, 1950. С. 426-478.

26. Жуковский Н. Е. Условие равновесия твердого тела, опирающегося на неподвижную плоскость некоторой площадкой и могущего перемещаться вдоль этой плоскости с трением // Собр. соч. Т. 1. М.: Гостехтеориздат, 1949. С. 339-354.

27. Журавлев В. Ф. Закономерности трения при комбинации скольжения и верчения // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2003. №4. С. 81-88.

28. Журавлев В. Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 5. С. 762-767.

29. Журавлев В. Ф. О разложении нелинейных обобщенных сил на потенциальную и циркулярную составляющие. Доклады Академии Наук, 2007. Т. 414. №5. С. 622-624.

30. Журавлев В. Ф. Основы теоретической механики. 3-е изд., перераб. М.: Физматлит, 2008. 304 с.

31. Журавлев В.Ф., Фуфаев H.A. Механика систем с неудерживающими связями / Отв. редактор академии РАН Д.М.Климов. М., Наука; Институт проблем механики РАН, 1993. 240 с.

32. Журавлев В. Ф., Розенблат Г. М. О колебаниях колесного экипажа при наличии трения // Доклады РАН. 2011. Т. 436. №5. С. 627- 630.

33. Задачи московских городских олимпиад по физике 1986-2005 / Под ред. М. В. Семенова, А. А. Якуты. М.: МЦНМО, 2006. 616 с.

34. Задачи по физике / Под ред. О. Я. Савченко. С.Пб., 2001. 367 с.

35. Зобова А. А. Качественный анализ движения тела вращения на шероховатой плоскости. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М.: МГУ им. М. В.Ломоносова, 2008. 102 с.

36. Иванов А. П. Бифуркации в системах с трением: основные модели и методы // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5. №4. С. 479-498.

37. Иванов А. П. Динамика систем с механическими соударениями. М.: Международная программа образования, 1997. 336 с.

38. Иванов А. П. Динамически совместная модель контактных напряжений при плоском движении твердого тела // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 2: С. 189-203.

39. Иванов А. П. О безударных движениях в системах с неудерживающими связями // Прикладная математика и механика. 1992. Т. 56. Вып. 1. С. 3-15.

40. Иванов А. Я. О безударных прыжках неоднородного колеса. 1. Случай гладкой опоры // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1992. № 1. С. 25-31.

41. Иванов А. П. О безударных прыжках неоднородного колеса. 2. Шероховатая опора // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1993. № 1. С. 61-64.

42. Иванов А. П. Об уравнениях движения неголономной системы с неудерживающей связью Ц Прикладная математика и механика. 1985. Т. 49. Вып. 5. С. 717-723.

43. Иванов А. П. Об устойчивости равновесия в системах с трением // Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71. Вып. 3. С. 427-438.

44. Иванов А. П. Условия однозначной разрешимости уравнений динамики систем с трением // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72. Вып. 4. С. 531-546.

45. Иванов А. П. Геометрическое представление условий отрыва в системе с односторонней связью // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4. №3. С. 303-312.

46. Иванов А. П. Об условиях отрыва в задаче о движении твердого тела по шероховатой плоскости // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4. № 3. С. 287-302.

47. Иванов А. П. Динамически совместная модель контактных напряжений при плоском движении твердого тела // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 2. С. 189-203.

48. Ишлинский А. Ю. Трение качения. ПММ, 1939. Вып. 2. С. 245-260 (см. также в кн.: Ишлин-ский А. Ю. Прикладные задачи механики. Кн. 1: Механика вязкопластических и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1986. С. 176-190).

49. Ишлинский А. Ю., Соколов Б. Н., Черноусько Ф.Л. О движении плоских тел при наличии сухого трения // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1981. №4. С. 17-28.

50. Киреенков А. А. О движении однородного вращающегося диска по плоскости в условиях комбинированного трения // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2002. № 1. С. 60-67.

51. Козлов В. В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями. 1-5 // Вестник Моск. ун-та. Серия «Математика, механика». 1982. №3. С. 92-100; 1982. №4. С. 70-77; 1983. №3. С. 102-111; 1987. №5. С. 76-83; 1988. №6. С. 51-54.

52. Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмурт, гос. ун-та, 1995. 429 с.

53. Козлов В. В., Трещев Д. В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. Изд-во Московского университета, 1991. 168 с.

54. Козлова 3. П., Пагшина А. В., Розенблат Г. М. Теоретическая механика в решениях задач из сборника И. В. Мещерского. Динамика материальной точки / Под ред. Г. М. Розенблата. М.: Ком-Книга, 2006. 312 с.

55. Козлова 3. П., Паншина А. В., Розенблат Г. М. Теоретическая механика в решениях задач из сборника И. В. Мещерского. Динамика материальной системы / Под ред. Г. М. Розенблата. М.: Издательство ЛКИ, 2007. 432 с.

56. Контенсу П. Связь между трением скольжения и трением верчения и ее учет в теории волчка // Проблемы гироскопии. М.: Мир, 1967. С. 60-77.

57. Левенсон Л. Б. Статика и динамика машин. ОНТИНКТП СССР. Госмашметиздат, 1934. 476 с.

58. Левин M. А., Фуфаев H.A. Теория качения деформируемого колеса. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 272 с.

59. Литпвуд Дж. Математическая смесь. М.: Наука, 1965. 150 с.

60. Лобас Л. Г. Неголономные модели колесных экипажей. Киев: Наукова думка, 1986. 232 с.

61. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: ГИФМЛ, 1961. 824 с.

62. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М.: Мир, 1974. 526 с.

63. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука; Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. 335 с.

64. Маркеев А. П. Теоретическая механика. Изд. 4-е исправл. М.; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2007. 591 с.

65. Мартыненко 10. Г. К теории обобщенного эффекта Магнуса для неголономных механических систем // Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68. № 6. С. 948-957.

66. МеркинД. Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука. Гл.ред физ.-мат. лит., 1971. 312 с.

67. МеркинД. Р. Гироскопические системы. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974. 344 с.

68. Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука, 1986. 448 с.

69. Неймарк Ю. К, фуфаев H.A. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967. 519 с.

70. Остроградский М. В. Общие соображения относительно моментов сил // М. В. Остроградский. Избранные труды. Изд-во Академии наук СССР, 1958. С. 205-229.

71. Пожарицкий Г. К. Распространение принципа Гаусса на системы с сухим трением // Прикладная математика и механика. 1961. Т. 25. Вып. 4. С. 391-406.

72. Пэнлеве П. Лекции о трении. М.: Гостехиздат, 1954. 316 с.

73. Пятницкий Е. С., Трухан H. М., Ханукаев Ю. И., Яковенко Г. Н. Сборник задач по аналитической механике: Учебное пособие для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Физматлит, 2002. 400 с.

74. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. М.: Наука, 1983. Т. 2. 543 с.

75. Розенблат Г. М. Движение плоского твердого тела по шероховатой прямой // Нелинейная динамика. 2006. Т. 2. № 3. С. 293-306.

76. Розенблат Г. М. Динамические системы с сухим трением. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. 203 с.

77. Розенблат Г. М. К динамике неголономных моделей колесных экипажей // Вестник Удмуртского университета. Серия «Математика, механика, компьютерные науки». 2008. Вып. 3. С. 90-108.

78. Розенблат Г. М. К постановке задач в динамике несвободного движения твердого тела и парадоксы Пэнлеве // Вестн. Удм. ун-та. Серия «Математика,механика,^компьютерные.науки».2009. Вып. 2. С. 75-88.

79. Розенблат Г. М. Метод определения параметров безотрывного движения волчка на гладкой плоскости // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4. № 1. С. 87-98.

80. Розенблат Г. М. Механика в задачах и решениях. M.: URSS, 2004. 160 с.

81. Розенблат Г. М. О безотрывных движениях волчка на гладкой плоскости // Известия РАН. Механика твердого тела. 2010 (в печати).

82. Розенблат Г. М. О безотрывных движениях твердого тела по плоскости // Доклады РАН. 2007. Т. 415. №5. С. 622-624.

83. Розенблат Г. М. О движении плоского твердого тела по шероховатой прямой // Нелинейная динамика. 2006. Т. 2. № 3. С. 293-306.

84. Розенблат Г. М. О движении тела, опирающегося двумя площадками на плоскость при наличии сил сухого трения // Теоретическая механика. Сборник научно-методических статей. М.: Изд-во Московского университета, 2004. Вып. 25. С. 157-164.

85. Розенблат Г. М. Об интегрировании уравнений движения диска по шероховатой плоскости // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2007. №4. С. 65-71.

86. Розенблат Г. М. Об интегрировании уравнений движения тела, опирающегося на шероховатую плоскость тремя точками // Доклады РАН. 2010. Т. 435. № 4. С. 475-478.

87. Розенблат Г. М. Об одной задаче динамики твердого тела при наличии сил сухого трения // Теоретическая механика. Сборник научно-методических статей. М.: Изд-во МГУ, 2006. Вып. 26. С. 113-120.

88. Розенблат Г. М. Равновесие твердого тела на плоскости с анизотропным сухим трением // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 2. С. 204-218.

89. Розенблат Г. М. Сухое трение в задачах и решениях. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. 52 с.

90. Розенблат Г. М. Сухое трение и односторонние связи в механике твердого тела. М.: Книжный дом «Либроком»/1Л158, 2011. 208 с.

91. Розенблат Г. М. О движении тела, опирающегося на шероховатую плоскость тремя точками. // ПММ. 2011. Т. 75. Вып. 2. С. 254-258.

92. Рокар И. Неустойчивость в механике. М.: Изд-во иностр. литературы, 1959. 287 с.

93. Самсонов В. А. О трении при скольжении и верчении тела // Вестник МГУ. Серия Уатематика, механика. 1981. №2. С. 76-78.

94. Самсонов В. А. Ветвление и некоторые свойства нелинейных механических систем // Нелинейная механика / Под ред. В. М. Матросова, В. В. Румянцева, А. В. Карапетян. М.: Физматлит, 2001. С. 323-361.

95. Самсонов В. А. Динамика тормозной колодки и «удар трением» // Прикладная математика и механика. 2005. Т. 69. № 6. С. 912-921.

96. Самсонов В. А. К 100-летию результата Е. А. Болотова // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2007. № 2. С. 100-102.

97. Сикорский Ю. С. Элементы теории эллиптических функций с приложениями к механике. М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. 365 с.

98. Смышляев А. С., Черноусько Ф. Л. Условия равновесия стержня на шероховатой плоскости // Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66. Вып. 2. С. 177-182.

99. Суслов Т.К. Теоретическая механика. M.-JI.: ГИТТЛ, 1946. 655 с.

100. Тарасик В. П. Теория движения автомобиля: Учебник для вузов. СПб.: БХВ-Петербург, 2006. 478 с.

101. Теоретическая механика. Руководство к решению задач / Под ред. проф. С. К. Слезкинского. СПб.: Политехника, 2007. 487 с.

102. Тимошенко С., Юнг Д. Инженерная механика. М.: Машгиз, I960. 507 с.

103. Фейнман Р., Лейтон Р., Сендс М. Задачи и упражнения с ответами и решениями. М.: Мир. 1969. 624 е.; 5-е изд. В 2-х т. М.: Книжный дом «JIh6pokom»/URSS, 2009.

104. Хачатуров А. А., Афанасьев В. Л. и др. Динамика системы дорога-шина-автомобиль-водитель / Под общей редакцией проф. А. А. Хачатурова. М.: Машиностроение, 1976. 535 с.

105. Чаппыгин С. А. О движении тяжелого тела вращения на плоскости // Тр. отд-ния физ. наук О-ва любителей естествознания, антропологии и этнографии. 1897. Т. 9. Вып. 1. С. 10-16.

106. Черноусько Ф. Л. Условия равновесия тела на шероховатой плоскости // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1988. №6. С. 6-17.

107. Яблонский А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической механики: Учебник для вузов. 14-е изд., исправленное. М.: Интеграл-Пресс, 2007. 608 с.

108. Field P. On the motion of a disk with Three supports on a rough plane // Phys. Rev. (Series 1). September 1912. 35. P. 177-184.

109. Ispolov Yu.G., Smolnikov B.A. Skateboard dynamics // Computer Methods in Appl. Mech. and Eng. 1996. № 131. P. 327-333.

110. JellettJ. H. The theory of friction. London: Macmilian and Co., 1872. 220 p.

111. JelletJ. H. A Treatise on the Theory of Friction. London: Macmilian, 1872.

112. Kuleshov A. S. Further Development of the Mathematical Model of a Snakeboard // Regul. & Chaotic Dyn. 2007. Vol. 12. № 3. P. 321-334.

113. Shegelski M. R.A., Goodvin G. L., et al. Exact normal forces and trajectories for a rotating tripod sliding on a smooth surface // Canadian J. Phys. 2004. Vol. 82. P. 875-890.

114. Xi F„ Angélico О., and Sinatra R. Tripod dynamics and its inertia effect // Journal of Mechanical Design. 2005. Vol. 127. № 1. P. 144-149.

115. Zhen Zhao, Caishan Liu, Bin Chen. The Painleve Paradox studied at a 3D Slender Rod. Multibody System Dyn., 2010 (in press).