Динамика квантовых систем с вырожденным гамильтонианом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Сакбаев, Всеволод Жанович

• Сакбаев, Всеволод Жанович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Сакбаев, Всеволод Жанович

Введение

1 Корректность задачи Коши для уравнения с вырожденным оператором

1.1 Уравнение Шредингера.

1.1.1 Постановка задачи Коши.

1.1.2 Определения сильного и обобщенного решений задачи Коши.

1.1.3 Разрешимость задачи Коши в спектральных терминах

1.2 Постановка задачи Коши для уравнения Шредингера с одномерным координатным пространством.

1.2.1 Модельная задача Коши.

1.2.2 Обобщения на коэфициенты уравнения.

1.3 О граничных условиях в точках разрыва коэффициентов дифференциального выражения оператора Ь.

1.4 Регуляризация вырожденного оператора Шредингера

1.5 О задаче Коши для уравнения Фоккера-Планка, вырождающегося на полупрямой.

1.5.1 Постановка задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка и ее корректность.

1.5.2 Задачи, порожденные оператором L на полупрямых

1.5.3 Регуляризация уравнения Фоккера-Планка.

1.5.4 Обобщения на поведение коэффициентов уравнения Фоккера-Планка.

2 Спектральный подход к регуляризации

2.1 Аппроксимация некорректной задачи последовательностью корректных задач.

2.2 О регуляризации задачи Коши в банаховом пространстве.

2.3 О регуляризации задачи Коши в гильбертовом пространстве

2.4 Примеры вырожденных операторов.

2.4.1 Операторы в одномерном пространстве.

2.4.2 О влиянии геометрии области вырождения оператора на его индексы.

2.4.3 Пример задачи Коши с вырожденным вне области оператором.

2.4.4 Классификация в терминах индексов дефекта оператора Шредингера

2.5 Слабый предел последовательности решений регуляризованных задач и интегральное тождество.

3 Последовательности регуляризованных операторов плотности.

3.1 Динамика операторов плотности, порожденная задачей

Коши для уравнения Шредингера.

3.1.1 О сходимости последовательности квантовых состояний в топологии *-слабой сходимости.

3.2 О сходимости спектральных мер.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика квантовых систем с вырожденным гамильтонианом»

В настоящее время интерес к вырождающимся дифференциальным уравнениям возникает в теоретических работах по корректности краевых задач для дифференциальных уравнений, теории полугрупп и теории марковских процессов (см. [44], [70], [40], [36], [16]), и поддерживается необходимостью описания течений жидкости в пористых средах, распространении колебаний в кристаллических твердых телах и движения носителей заряда в полупроводниках ([116]). Современный анализ указанного класса задач используют вариационные и спектральные методы исследования (см. [36], [63], [73], [74], [75]).

В диссертации изучается влияние вырождения производящего оператора в эволюционном уравнении (уравнении Шредингера, уравнении Фоккера-Планка) на корректную разрешимость задачи Коши и на свойства динамических преобразований пространства начальных данных. Работа состоит из введения и пяти глав.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Сакбаев, Всеволод Жанович

Заключение

В первой главе определен класс рассматриваемых задач Коши для эволюционных уравнений второго порядка с вырожденными негладкими коэффициентами. Исследованы индексы дефекта дифференциальных операторов из рассматриваемого класса и получены необходимые и достаточные условия корректной разрешимости задачи Коши. Рассмотрена равномерно эллиптическая регуляризация вырожденного оператора, исследованы сильная и слабая сходимости последовательности регуляризованных решений, а также сходимости последовательности регуляризованных полугрупп в сильной и в слабой операторной топологиях.

Во второй главе определяется регуляризация вырожденного симметрического оператора задачи Коши. Показано, что если задача Коши с вырожденным оператором корректна, то любая последовательность регуляризованных полугрупп сходится к полугруппе, порожденной производящим оператором, в сильной операторной топологии равномерно на любом отрезке. Установлено, что если производящий оператор является максимальным симметричным, но не максимальным диссипативным, то любая последовательность регуляризованных полугрупп сходится в слабой операторной топологии равномерно на любом отрезке, однако не является сходящейся в сильной операторной топологии. Установлено, что для сходимости некоторой подпоследовательности последовательности регуляризованных полугрупп в сильной операторной топологии необходимо, чтобы производящий оператор исходной задачи Коши имел максимальные диссипативные расширения, совокупность которых определяет множество частичных пределов всевозможных последовательностей регуляризованных полугрупп в сильной операторной топологии. В случае нарушения необходимого условия компактности в сильной операторной топологии дано описание множества сжимающих полугрупп, являющихся пределами последовательностей регуляризованных полугрупп в слабой операторной топологии. Определены классы пробных функций, для которых предел (сильный или слабый) последовательности регуляризованных решений удовлетворяет уравнению (1) и начальному условию (2) в смысле интегрального тождества.

В главе 3 исследована сходимость последовательности операторов плотности, задаваемых решениями регуляризованных задач, в слабых топологиях пространства В*(Н). Из сходимости последовательности решений по норме следует *-слабая сходимость последовательности регуляризованных операторов плотности в пространстве В* (Н). Если же последовательность регуляризованных решений сходится лишь слабо в пространстве Н, то последовательность регуляризованных операторов плотности расходится в *-слабой топологии пространства В*(Н). Определено многозначное отображение .Р, сопоставляющее каждому оператору А € В(Н) множество частичных пределов Р(Ь,ио,А) последовательности значений регуляризованных операторов плотности в точке А. Установлена непрерывность многозначного отображения Р в метрике Хаусдорфа и указаны условия, обеспечивающие связность множества его значений.

Исследована сходимость последовательности операторов плотности в более слабых топологиях пространства В*(Н), порожденных алгебрами ограниченных операторов, унитарно эквивалентными коммутативной алгебре операторов умножения на ограниченную непрерывную функцию. Получены необходимые и достаточные условия существования подпоследовательности последовательности операторов плотности, сходящейся в указанных слабых топологиях.

В четвертой главе расходящаяся последовательность регуляризованных операторов плотности {ре(£), £ > 0, е € В, е —» 0,} рассматривается как ¿Г(7/)-значный случайный процесс на измеримом пространстве (Е, 2е) с неотрицательной нормированной чисто конечно аддитивной мерой, заданной на алгебре всех подмножеств 2е множества параметров регуляризации Е и сосредоточенной в произвольной окрестности предельной точки множества параметров регуляризации. Через У/(Е) обозначено множества всех мер, обладающих указанными свойствами. Средние значения такого процесса определяются слабым интегралом Петтиса от векторной функции по конечно аддитивной мере. Чтобы рассмотреть случайные процессы как векторы в банаховом пространстве интегрируемых функций, определены пространства СР(Е, 2е, Н, р) Н-значных функций на множестве Е, интегрируемых по конечно аддитивной мере ¡1, которые являются пополнениями пространства ограниченных (а не простых) //-значных функций по норме, определяемой интегралом. Исследованы отличия свойств пространств СР{Е, 2е, Н, рь) от классических пространств Ьр(Е,2е,Н^).

Регуляризация некорректной задачи Коши для уравнения Шредингера (1), (2) {иье(£), £ > 0, е € Е, е —> 0}, представлена как полугруппа унитарных преобразований несепарабельного гильбертова пространства С2(Е, 2е, ц, Л"), которая является примером реализации теоремы М.А. Наймарка о расширении симметрического оператора до самосопряженного с выходом в расширенное гильбертово пространство. Установлено, что математическое ожидание случайного процесса на вероятностном пространстве (Е, 2е , рь) совпадает с частичным следом оператора плотности чистого состояния из расширенного гильбертова пространства, и является непрерывной ветвью многозначного отображения F, определенного в третьей главе. Многозначное отображение Р представлено как объединение своих однозначных непрерывных ветвей, параметризованных мерами ¡1 € \¥(Е).

В пятой главе исследована задача определения случайных процессов ро) по наблюдениям за их средними значениями.

1. Установлены условия на начальное состояние процесса и момент времени > 0, при которых по математическому ожиданию /^(¿1) можно определить начальное состояние процесса рщ.

2. В случае произвольного чистого начального состояния процесса для его определения недостаточно информации об усредненных состояниях р^Ь^щ) в некоторый момент времени ^ > 0 при всех рь € У/(Е). Но если р, - мера из леммы 5.2.4, то измерения состояний в два различных момента времени ¿1, позволяют одноначно определить начальное состояние процесса рщ и, следовательно, всю усредненную траекторию рщ) процесса.

3. Установлено, что при любом выборе меры р, из класса \¥(Е) семейство усредненных динамических преобразований £ > О, утрачивает полугрупповое свойство. Для найденных в теореме 5.1.1 мер усреднения в пространстве квантовых состояний ) определены области, на которых усредненное динамическое преобразование проявляет свойства инъективности и сюрьективности. Для класса мер, удовлетворяющих условиям леммы 5.2.4 в пространстве квантовых состояний £(//) определены области, на которых однопараметрическое семейство динамических преобразований £ > 0, обладает полугрупповым свойством.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Сакбаев, Всеволод Жанович, 2010 год

1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М.: Наука, 1966.

2. Алхутов Ю.А., Жиков В.В. О гельдеровости решений вырождающихся эллиптических уравнений// Доклады РАН. 2001. Т. 378, № 5. С. 583-588.

3. Амосов Г.Г., Сакбаев В.Ж. О задаче Коши для уравнения Шредингера с вырождением на двух полупрямых// Мат. Заметки. 2004. Т. 76, № 3. С. 335-343.

4. Антонцев С.Н., Шмарев С.И. Существование и единственность решений вырождающихся параболических уравнений с переменным показателем нелинейности// ФПМ. 2006. Т. 12, № 4. С. 3-19.

5. Аптекарев А.И., Рыков Ю.Г., О вариационном представлении решений некоторой гиперболической системы с помощью логарифмического потенциала во внешнем поле// Доклады РАН. 2006. Т. 409, № 1. С. 12-14.

6. Арсеньев A.A. Построение турбулентной меры для системы уравнений Навье-Стокса// Мат. Сборник. 1976. Т. 101, № 2. С. 204211.

7. Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю. Итерационные методы решения некорректных операторных уравнений с гладкими операторами. М.: УРСС, 2002.

8. Балакришнан A.B. Прикладной функциональный анализ. М.: Мир, 1980.

9. Балашов М.В., Половинкин Е.С. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: Физматлит, 2004.

10. Банах С. Курс функционального анализа. Киев, Радянська школа, 1948.

11. Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве// Ученые записки МГУ. 1951. Т. 148. С. 69-107.

12. Березанский Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1965.

13. Березин Ф.А., Шубин М.И. Уравнение Шредингера, М.: Наука, 1983.

14. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996.

15. Биллингслей П. Сходимость вероятностных мер. М. Наука, 1977.

16. Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1. М.: УРСС, 2003.

17. Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 2. М.: УРСС, 2006.

18. Брателли У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М.: Мир. 1982.

19. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах:, меры на отделимых пространствах. М.: Наука, 1977.

20. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

21. Варадарайн В. С. Меры на топологических пространствах// Матем. Сборник. 1961. Т. 55(97), N 1. С. 35-100.

22. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.

23. Вершик A.M., Ладыженская O.A. ДАН СССР. 1976. Т. 226, № 1. С. 26-29.

24. Владимиров B.C. Уравнения математической физики, М.: Наука, 1971.

25. By лих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.: Наука, 1965.

26. Гельфанд И.М. Abstrakte funktionen und lineare Operatoren// Мат. сб. 1938. Т. 46. С. 235-286.

27. Гитман Д.М., Тютин И.Д. Каноническое квантование полей со связями. М.: Наука, 1986.

28. Глушко В.П., Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения. Части 1-4// Дифф. уравнения. 1968. Т. 4, № 9. С. 15841597; Т. 4, № 11. С. 1956-1966; 1969. Т. 5, № 3. С. 443-445; Т. 5, № 4. С. 599-611.

29. Голопуз С.А. Определяющие граничные условия и вырожденная задача для эллиптических краевых задач с малым параметром при старших производных// Матем. Сб. 2003. Т. 194, № 5. С. 3-30.

30. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. Киев: Наукова думка, 1984.

31. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных песамосопряженных операторов, М.: Наука, 1965.

32. Данфорд Н., Шварц Д. Теория операторов. Т. 1. М.: УРСС, 2004.

33. Диденко В. П. Вариационная задача для уравнения смешанного типа// Дифф. уравнения. 1977. Т. 13, № 1. С. 44-49.

34. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969.

35. Эванс Л. К. Методы слабой сходимости для нелинейных уравнений с частными производными. Новосибирск, 2006.

36. Жиков В. В. К проблеме предельного перехода в дивергентныхнеравномерно эллиптических уравнениях// Функ. ан. и его прил. 2001. Т. 35, № 1. С. 23-39.

37. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Физматлит, 1993.

38. Иванов В.К., Мельникова И.В. Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Наука, Физматлит, 1995.

39. Иванов В.К., Васин В.В. Танана В.П. Теория нелинейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

40. Ильин A.M. Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения// Мат. Сборник. 1960. Т. 50, № 4. С. 443-498.

41. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Наука, 1967.

42. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966.

43. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

44. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнения эллиптического типа на границе области// ДАН СССР. 1951. Т. 77, № 2, С. 181-183.

45. Клемент Ф., Хейманс X., Ангенет С., ван Дуйн К., де Пахтер Б. Однонараметрические полугруппы. М.: Мир, 1992.

46. Козлов В. В. Устойчивость периодических траекторий и многочлены Чебышева// Вестн. МГУ Сер. 1. Математика. Механика. 1991, № 5. С. 7-14.

47. Колмогоров А.Н.О возможности общего определения производной, интеграла и суммирования расходящихся рядов. Избранные труды А.Н. Колмогорова. Т. 1. С. 44-46. М.: Наука, 2004.

48. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

49. Колокольцов В.Н. Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами и магнитными полями// Матем. Сб. 2003. Т. 194, № 6. С. 87-102.

50. Кондратьев В.А. Краевые задачи для параболических уравнений в замкнутых областях// Труды Моск. Матем. Об-ва. 1966. Т. 15. С. 400-451.

51. Коробенко Л.В., Сакбаев В.Ж. О постановке и корректности задачи Коши для уравнения диффузии с вырожденными разрывными коэффициентами// Журнал Выч. Мат. и Матем. Физ. 2009. Т. 49, № 6. С. 1085-1102.

52. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1967.

53. Труды С.Н. Кружкова. Сб. статей./ Под ред. С.Н. Бахвалова. М.: Физматлит, 2000. С. 14-38; 39-45; 287-316.

54. Кружков С.Н. Лекции по уравнениям с частными производными. М.: МГУ, 1970.

55. Кудрявцев Л.Д. О вариационном методе отыскания обобщенных решений дифференциальных уравнений в функциональных пространствах со степенным весом// Дифф. уравнения. 1983. Т. 19. С. 1723-1740.

56. Куратовский С. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966.

57. Ладыженская O.A. Об уравнениях с малым параметром при старших производных в линейных дифференциальных уравнениях с частными производными// Вестник ЛГУ. 1957. Т. 7, С. 104-120.

58. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Физматлит, 1973.

59. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970.

60. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

61. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высш. школа, 1982.

62. Додонов В.В., Манъко В.И., Скаржинский В.Д. Неоднозначности вариационного описания классических систем и проблема квантования// Труды ФИАН. 1983. Т. 152. С. 37-89.

63. Мельникова И. В. Доклады РАН. 2003.

64. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

65. Михайлов В. П. Теорема существования и единственности решения одной граничной задачи для параболического уравнения с особыми точками на границе// Труды МИАН. 1967. Т. 91. С. 47-58.

66. Михлин С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1965.

67. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

68. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

69. Олейник O.A., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Итоги науки. Серия: математика. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1969.

70. Олейник O.A. О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристической формой.// Матем. Сб. 1966. Т. 69(111), № 1. С. 111-140.

71. Орочко Ю.Б. Условие непроницаемости точки вырождения одночленного симметрического оператора четного порядка// Матем. Сб. 2003. Т. 194, № 5. С. 109-138.

72. Орлов Ю.Н. Основы квантования вырожденных динамических систем. М: МФТИ, 2004.

73. Панов Е.Ю. О последовательности мерозначных решений квазилинейного уравнения первого порядка.// Матем. Сб. 1994. Т. 195, № 2. С. 87-106.

74. Пастухова С.Е. О вырожденных уравнениях монотонного типа: эффект Лаврентьева и вопросы достижимости// Матем. Сб. 2007. Т. 198, № 10. С. 89-118.

75. Плотников П.И., Саженков С. А. Задача Коши для ультрапараболического уравнения Гратца-Нуссельта// Доклады РАН. 2005. Т. 401, № 4. С. 455-458.

76. Проспери Дж.М. Процесс квантового измерения и наблюдения непрерывных траекторий// Математика. Новое в зарубежной науке. Вып. 42. Квантовые случайные процессы и открытые системы. Сб. статей. М.: Мир. 1988. С. 197-222.

77. Pud М., Саймон Б. Современные методы математической физики. Т. 1. М.: Мир, 1977.

78. Савчук A.M., Шкаликов A.A. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами// Матем. заметки. 1999. Т. 66, JV2 6. С. 897-912.

79. Сакбаев В.Ж. О постановке задачи Коши для вырождающегося уравнения Шредингера// Межд. Сборник. Некоторые проблемы современной и прикладной математики. М.: МФТИ, 1999. С. 161— 178.

80. Сакбаев В. Ж. О свойствах решений задачи Коши для вырождающегося вне отрезка уравнения Шредингера и спектральных аспектах регуляризации// Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. Т. 21. С. 87-113.

81. Сакбаев В. Ж. О функционалах на решениях задачи Коши для уравнения Шредингера с вырождением на полупрямой// Журнал Выч. Мат. и Матем. Физ. 2004. Т. 44, № 9. С. 1654-1673.

82. Сакбаев В. Ж. О задаче Коши для уравнения Шредингера с генератором переменного типа// Дифф. Уравнения. 2004. Т. 40, № 2. С. 229-241.

83. Сакбаев В. Ж. О задаче Коши для уравнения Шредингера с генератором переменного типа// Дифф. Уравнения. 2007. Т. 43, № 8. С. 1127-1143.

84. Сакбаев В. Ж. О постановке задачи Коши для уравнения Шредингера, вырождающегося на полупространстве// Журнал Выч. Мат. и Матем. Физ. 2002. Т. 42, № 11. С. 1700-1711.

85. Сакбаев В.Ж. Аппроксимационные и вариационные методырегуляризации некорректных задач// Доклады РАН. 2008. Т. 419, № 2. С. 174-178.

86. Сакбаев В. Ж. О многозначных отображениях, задаваемых регуляризацией уравнения Шредингера с вырождением// Журнал Выч. Мат. и Матем. Физ. 2006. Т. 46, № 4. С. 682-698.

87. Сакбаев В. Ж. Спектральные аспекты регуляризации задачи Коши для вырожденного уравнения// Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 2008. Т. 261. С. 258-267.

88. Сакбаев В. Ж. О динамике квантовых состояний, порожденной задачей Коши для уравнения Шредингера с вырождением на полупрямой// Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, № 6. С. 157-174.

89. Секефалъви-Надъ Б., Фояш С., Гармонический анализ операторов. М.: Мир, 1970.

90. Слободецкий Л.Н. Обобщенные пространства С.Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. Ленинградский Гос. Пед. Ин-т им. А.И. Герцена. Ученые Записки. 1958. Т. 197. С. 54-112.

91. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966.

92. Смоляное О.Г., Хренников А.Ю. Вероятностные модели измерений некоммутирующих и коммутирующих наблюдаемых// Доклады РАН. 2005. Т. 402, № 6. С. 748-753.

93. Сухинин М.Ф. Избранные главы нелинейного анализа. М.: Изд. РУДН, 1992.

94. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

95. Трепе Ф., Флаксмайер Ю. О некоторых приложениях теории расширений топологических пространств и теории меры// УМН. 1977. Т. 32, № 5. С. 125-162.

96. Fichera G. On a unified theory of boundary value problems for elliptic-parabolic equations of second order// Boundary problems in differential equations, The University of Wisconsin Press, Madison, 1960, P. 97-120. Имеется также перевод

97. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений второго порядка // Математика 1963. Т. 164 С. 99-121.

98. Филиппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.А. Вариационные принципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. 1992. Т. 40. С. 3-176.

99. Филлипс Р. С. Диссипативные операторы и гиперболические системы дифференциальных уравнений в частных производных. Сб. переводов "Математика". Т. 6, № 4. 1962.

100. Фрейдлин М.И. О стохастических уравнениях Ито ивырождающихся эллиптических уравнениях// Изв. АН СССР, сер. Мат. 1962. Т. 26. С. 653-676.

101. Фрейдлин М.И. Марковские процессы и дифференциальные уравнения. Теория вероятности и математическая статистика. Теоретическая кибернетика. Итоги науки. М.: ВИНИТИ. 1967. С. 7-58.

102. Фрейдлин М.И. Диффузионные процессы и малый параметр в эллиптических уравнениях с разрывными коэффициентами// Изв. АН СССР, сер. Мат. 1965. Т. 29. С. 1005-1036.

103. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: ИИЛ, 1951.

104. Холево A.C. Вероятностные и статистические аспекты квантовой механики. Москва-Ижевск, 2003.

105. Чабакаури Г.Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний струны// Дифф. уравнения. 2001. Т. 37, № 12. С. 16551663.

106. Шамин Р. В. Пространства начальных данных для параболических функционально-дифференциальных уравнений// Матем. заметки. 2002. Т. 71, № 4. С. 636-640.

107. Эванс J1.К. Методы слабой сходимости для нелинейных уравнений с частными производными. Новосибирск. 2006.

108. Яковлев Г.Н. Об одной вариационной задаче// Дифф. уравнения. 1969. Т. 5, № 7. С. 1303-1312.

109. Яковлев Г.Н. Дифференциальные свойства экстремалей квадратичных функционалов с разрывными коэффициентами// Дифф. уравнения. 1971. Т. 7, № 7. С. 1741-1749.

110. Accardi L., Lu Y.G., Volovich I. V. Quantum theory and its stochastic limit. Springer, Texts and monographs in physics, 2001.

111. Alicki R. Quantum dynamical semigroups and applications. Springer Lect. Notes Phys. Vol. 286 (Springer, 1987).

112. Brooks J.K., Dinculeanu N. Lebesgue type spaces for vector integre-tion, linear operators, weak completeness and weak compactness// J. Math. Anal. Appl. 1976. V. 54, N 2. P. 348-389.

113. Dautray R.; Lions J.-L. Mathematical analysis and numerical methods for science and technology. M. 5. Evolution problems 1. SpringerVerlag, 1992.

114. Dell Antonio G.F. On the limits of sequences of normal states// Comm. Pure Appl. Math., 1967, v. 20, p. 413-429.

115. Dinculeanu N. Vector integration and stochastic integration in Banach spaces. Pure and Appl. Math., New-York, 2000.

116. Gadella M., Kuru S., Negro J. Self-adjoint Hamiltonians with a mass jump: General matching conditions// Phys. Letters A. 2007. V. 362. P. 265-268.

117. Gerard P. Microlocal defect measures// Comm. Part. Diff. Eq., 1991. V. 16, N 11. P. 1761-1794.

118. Hewitt E., Iosida K. Finitely additive measures// Trans. Amer. Math. Soc. 1952. V. 72. P. 46-66.

119. Foias C. Statistical study of Navier-Stokes equations// Part I, II, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1972. V. 48. P. 219-348; V. 49. P. 9-123.

120. Karasev M. V. Magneto-metric Hamiltonians on quantum surface in the configuration space// Russ. J. Math. Phys. V. 14, N 1. P. 57-65.

121. Pavlotsky I.P., Strianese M. Irreversibility in classical mechanics as a consequence of Poincare group// International J. of Mod. Phys. B. 1996. V. 10, N. 21 P. 2675-2685.

122. Safonov M. V. Nonuniqueness for second-order elliptic equations with measurable coefficients// SIAM J. Math. Anal. 1967. V. 30, N 4. P. 879-895.

123. Srinivas M.D. Collapse postulate for observables with continuous spectra// Comm. Math. Phys. 1980. V. 71, N 2. P. 131-158.

124. Tartar L. H-measures, a new approach for studying homogenization, ascillation and concentration effects in partial differential equations// The Roy. Soc. of Edinburgh. Proceedings, Sect. A (Math.) 1990. V. 115. N 3/4. P. 193-230.