Динамика кубических кристаллов в модели Ван-дер-Ваальсовских связей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Мачихина, Инна Олеговна

• Мачихина, Инна Олеговна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мачихина, Инна Олеговна

Введение.

Глава 1. Обзор теплофизических свойств кубических кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками (литературный обзор).

1.1. Доборновские исследования колебаний линейной цепочки.

1.2. Первые исследования Борна по динамической теории кристаллов и теория теплоемкости Дебая.

1.3. Общая динамическая теория Борна.

1.4. Методы расчета частотных спектров кристаллов.

1.5. Расчеты частотных спектров кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками.

1.6. Кривые дисперсии по нейтронографическим данным и данным рентгеноструктурного анализа.

1.7. Электронный вклад в теплоемкость кристаллов.

Выводы к главе 1.

Глава 2. Уравнения динамики атомов кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками.

2.1. Общие принципы построения динамической модели.

2.2. Уравнения динамики ионных остовов для ОЦК и ГЦК решеток в модели Ван-дер-Ваальсовских взаимодействий.

2.3. Принцип длинных волн.

2.4. Метод бегущих волн.

2.5. Уравнение динамики центров зарядов внешних электронных оболочек атомов для ОЦК и ГЦК решеток.

Выводы к главе 2.".

Глава 3. Исследование термодинамических свойств кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками.

3.1. Дисперсионные соотношения для кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками.

3.2. Расчет фононных спектров для кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками.

3.3. Расчет энергии и теплоемкости по фононным спектрам для кубических кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками.

3.4. Расчет среднеквадратичных смещений атомов по фононным спектрам для кубических кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками.

3.5. Поправка на электронный вклад в теплоемкость металлов.

Выводы к главе 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика кубических кристаллов в модели Ван-дер-Ваальсовских связей»

Как известно, динамические процессы, происходящие в веществе, так или иначе, определяются тем, каким образом взаимодействуют между собой отдельные атомы. Поэтому для теоретического исследования свойств вещества возникает необходимость адекватного описания механизма межатомного взаимодействия, позволяющего построить динамическую модель и произвести необходимые расчеты.

В настоящее время существуют два подхода к построению такого описания - первопринципный и полуэмпирический. Первый [ 1 -2] основан на определении волновых функций электронов в кристалле при условии равновесного состояния системы ионных остовов и последующем решении уравнения Шредингера для системы электронов. После решения уравнения для системы электронов считается, что электронная плотность остается статически распределенной, и рассматривается задача о колебаниях ионных остовов в статически распределенной среде электронной плотности. Однако решение подобной задачи осложняется наличием огромного числа взаимодействующих частиц и практически невозможно без каких-либо упрощений и привлечения эмпирических поправок или свободных параметров. Таковыми, например, являются одноэлектронное приближение, приближение локализованных атомных орбиталей, приближение почти свободных электронов, ограничения на вид волновых функций и др. Принятие ряда ограничений влечет за собой пусть даже небольшие «искажения» волновых функций электронов. А это, в свою очередь, приводит к расхождению между рассчитанными и экспериментально измеренными величинами тех или иных характеристик кристалла или молекулы. Для того чтобы уменьшить степень расхождения с экспериментом, зачастую приходится вводить эмпирические поправки. Все это, так или иначе, приводит к исчезновению самой сути первопринципного подхода. Поэтому данный подход оказался успешным при описании достаточно простых систем — изолированных атомов, ионов.

Полуэмпирический подход [2] имеет ряд возможностей для своей реализации и, тем самым, сохраняет свою актуальность по сей день. Традиционные подходы предполагают задание для каждого вещества функций межатомных взаимодействий [3 - 4] или функции распределения электронной плотности в кристалле или в молекуле [2]. И те и другие определяются исследователем из физических соображений, а входящие в них параметры находятся из условий совпадения рассчитанных и экспериментально измеренных физических характеристик исследуемого вещества. В конечном счете, задача сводится к решению уравнения динамики решетки в соответствии с динамической теорией М. Борна.

В развитие данных подходов, можно заменить непрерывное распределение электронной плотности дискретным распределением центров зарядов внешних электронных оболочек (ВЭО) атомов. В такой модели необходимо учитывать не только силы взаимодействия между ионными остовами, но и между центрами зарядов электронных оболочек и ионными остовами, а также взаимодействие центров зарядов электронных оболочек между собой. Существование сил, действующих на центры зарядов ВЭО атомов, не может не приводить к их тепловому движению. Тогда согласно классическим представлениям третий закон Ньютона не выполняется. Следовательно, модель закрепленных зарядов приводит к противоречиям.

В обоих подходах предполагается, что движение ионных остовов происходит в потенциальной среде, обеспеченной статически распределенной электронной плотностью. Тем самым выпадает из рассмотрения временная зависимость электронной плотности, как реакции на тепловое движение ионных остовов. В результате становится затруднительным определение механизма межатомного взаимодействия, учитывающего временную зависимость электронной плотности, исследование процессов излучения и поглощения отдельно взятого атома, а также определение условий термодинамического равновесия. Возможно, что учет временной зависимости электронной плотности не оказывает существенного влияния на результаты расчетов теплофизических свойств кристаллов ввиду существенной разницы масс электронов и ионных остовов. Однако, при расчете теплофизических свойств электронного газа это обстоятельство может оказаться весомым. Например, формула Ферми, выражающая электронный вклад в удельную теплоемкость металлов, дает существенное занижение по сравнению с экспериментом. Возможным объяснением такого расхождения является пренебрежение тепловым движением электронного газа. Учет теплового движение электронного газа может оказаться полезным при исследовании процессов излучения, поглощения и теплопередачи в металлах.

Таким образом, становится очевидной актуальность построения динамической модели, в которой был бы определен механизм межатомного взаимодействия, позволяющий описать условия термодинамического равновесия, произвести расчеты теплофизических свойств кристаллов, а также параметров временной зависимости электронной плотности. При определении механизма межатомного взаимодействия важно, чтобы, во-первых, это не приводило к сверхсложным расчетам, а получаемые выводы давали достаточно хорошее совпадение с экспериментом, и, во-вторых, не исключалась возможность расчета параметров модели из первых принципов.

В качестве объектов исследования были выбраны элементы 1 - 5, 8 групп таблицы Д.И. Менделеева, имеющие объемноцентрированную кубическую (ОЦК) и гранецентрированную кубическую (ГЦК) кристаллические решетки: 1л, Ыа, К, V, 1ЧЬ, А1, Си, А§, N1, а также инертный газ Аг.

Целью работы является изучение теплофизических свойств кубических кристаллов на основе разработанной динамической модели.

Задачи исследования:

1) построение динамической модели на основе сил взаимодействия Ван-дер-Ваальсовского характера;

2) подтверждение принципа длинных волн для кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками и расчет силовых констант динамической модели через упругие константы рассматриваемых веществ;

3) вывод и расчет дисперсионных соотношений для ОЦК и ГЦК решеток, а также их сравнение с результатами исследований по нейтронному рассеянию;

4) расчет плотности распределения фононных спектров кубических кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками;

5) построение температурных зависимостей тепловой энергии, теплоемкости и среднеквадратичных смещений атомов для выбранных объектов исследования, сравнение полученных результатов с теоретически рассчитанными и экспериментальными данными;

6) расчет энергии и теплоемкости теплового движения центров зарядов внешних электронных оболочек атомов металлов с ОЦК и ГЦК решетками;

7) вычисление поправки к теоретическим данным по удельной электронной теплоемкости металлов, обеспечивающей наилучшее приближение к экспериментальным данным.

Научная новизна полученных результатов.

1. Разработана динамическая модель, учитывающая временную зависимость электронной плотности.

2. В рамках данной модели рассчитаны важнейшие тепловые свойства моноатомных кубических кристаллов без каких бы то ни было подгоночных параметров.

3. Осуществлен расчет теплового движения электронного газа в металлах.

4. Получены выражения для температурных зависимостей электронного вклада теплового движения центров зарядов внешних электронных оболочек атомов металлов с ОЦК и ГЦК решетками в энергию и теплоемкость.

5. Вычислена поправка к теоретическим данным, полученным из первых принципов, по удельной электронной теплоемкости металлов, согласующаяся с имеющимися экспериментальными данными.

Результаты работы имеют научную и практическую значимость. Разработана методика расчета важных теплофизических свойств кристаллов, исходя из справочных данных по упругим константам, без использования каких-либо подгоночных параметров. Результаты работы могут быть использованы при проведении дальнейших исследований динамики решетки в отсутствии адиабатических условий; также при расчете упругих констант и других параметров инертных газов в твердой фазе на основе теоретических данных, полученных другими исследователями, путем интерполирования их имеющимися формулами. Получение соответствующих параметров для инертных газов экспериментально затруднено.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) плотность распределения электронного заряда в кристалле имеет временную зависимость, вызванную колебаниями ионных остовов атомов кристалла. Для отдельно взятого атома это приводит к возникновению дипольного момента, плечо которого зависит от радиальной и тангенциальной составляющих относительных перемещений остова атома с остовами его соседей;

2) атом, рассматриваемый как динамический диполь, излучает электромагнитную энергию; плотность излучаемой энергии равна потоку вектора Умова-Пойнтинга через сферу, радиус которой представляет собой вариационный параметр, названный эффективным радиусом атома; энергия, излучаемая атомом за пределы сферы эффективного радиуса, рассматривается как результат работы силы реакции;

3) при адиабатических условиях на любом временном промежутке средняя энергия, поглощаемая атомом, совпадает со средней энергией, излучаемой им, что возможно лишь, когда кулоновские силы, действующие на атом с учетом его экранизации, уравновешиваются силой реакции на его излучение;

4) в адиабатическом приближении движение остова атома происходит лишь под действием силы внутреннего диполя, наведенного соседними атомами и имеющего квантово-механическую природу.

Диссертация содержит введение, три главы, заключение, 3 приложения, список литературы из 133 наименований, 198 страниц текста, 65 рисунков, 10 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Мачихина, Инна Олеговна

Основные результаты проведенного исследования теплофизических свойств моноатомных кубических кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками состоят в следующем.

1. Разработаны физические принципы построения динамической модели с использованием Ван-дер-Ваальсовских связей в условиях адиабатического приближения. Получен общий вид уравнений динамики ОЦК и ГЦК решеток.

2. Описан механизм возникновения внутриатомного диполя, учитывающий как радиальные, так и тангенциальные относительные перемещения ионных остовов соседних атомов.

3. Получены и разработаны методы решения уравнений динамики для решеток указанного типа.

4. Подтвержден принцип М. Борна, согласно которому уравнения динамики решетки в континуальном приближении должны переходить в уравнения распространения волн упругих деформаций в кристалле. Получены соотношения, выражающие силовые коэффициенты динамической модели через упругие константы.

5. Выведены уравнения, позволяющие производить расчеты дисперсионных кривых и фононных спектров кристаллов.

6. На основе данных, включающих в себя: атомную массу, параметр решетки и упругие константы кристалла, и без каких-либо подгоночных параметров произведены расчеты дисперсионных кривых, фононных спектров, температурных зависимостей энергии, теплоемкости, среднеквадратичных смещений атомов для ряда элементов 1 — 5, 8 групп таблицы Д.И. Менделеева. Для инертного газа Аг использовались данные по упругим константам, приведенные в работе Рейсленда и полученные с использованием потенциала 12-9-6.

7. Исходя из уравнения термодинамического равновесия, получено и решено уравнение движения центров зарядов внешних электронных оболочек атомов кристалла, содержащее вариационный параметр, названный эффективным радиусом атома. Это позволило произвести расчеты энергии и теплоемкости теплового движения центров зарядов ВЭО атомов металлов с ОЦК и ГЦК решетками.

8. Теплоемкость теплового движения центров зарядов ВЭО атомов металлов рассматривалась как поправка к теоретическим данным по удельной электронной теплоемкости. При заданных температурах и определенных значениях эффективного радиуса атома для ряда веществ была вычислена поправка к теоретическим данным по удельной электронной теплоемкости, обеспечивающая наилучшее приближение к экспериментальным данным.

Полученные результаты показали хорошее согласие с соответствующими теоретически рассчитанными и экспериментальными данными.

На основе анализа полученных результатов исследования сделаны следующие выводы.

1) В адиабатическом приближении в металлах имеет место временная зависимость распределения электронной плотности, что приводит к возникновению сил Ван-дер-Ваальсовской природы.

2) Кулоновские дальнодействующие силы компенсируются силой реакции на излучение внутриатомного диполя.

3) Реальные силы взаимодействия имеют квантово-механическую природу и возникают, как следствие деформации электронных оболочек при относительном перемещении атомов.

4) При моделировании механизма возникновения внутриатомного диполя необходимо учитывать как радиальное, так и тангенциальное относительное перемещение остовов соседних атомов. В случае учета только радиальной составляющей был бы нарушен принцип длинных волн и, кроме того, выполнялось бы известное соотношение Коши, чего не может быть.

5) Расхождения в теоретических и экспериментальных данных по электронному вкладу в теплоемкость кристаллов объясняются пренебрежением тепловым движением электронного газа.

Разработанная динамическая модель и соответствующая методика расчетов теплофизических свойств кубических кристаллов позволяют получать их важнейшие характеристики, исходя лишь из следующих данных: атомная масса, параметр решетки, упругие константы. Используемые принципы построения динамической модели могут быть применены в случае моноатомных решеток и других типов, таких как, например, алмазо- или графитоподобных.

Автор выражает глубокую признательность кандидату физико-математических наук, доценту Владимиру Евгеньевичу Холодовскому за предоставление темы диссертации и руководство над ее выполнением.

151

Общие выводы и заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мачихина, Инна Олеговна, 2011 год

1. Саврасов С.Ю., Максимов Е.Г. Расчеты динамики решетка-кристаллов из первых принципов // Успехи физических наук. 199S № 7(165). С. 773-797.

2. Баранов М.А. Сферическая симметрия электронных оболочек атомо^^ и стабильность кристаллов // ЭФТЖ. 2006. Т. 1. С. 34-48.

3. Борн М., Гепперт Майер М. Теория твердого тела. М.: ГИТТХх 1938.417 с.

4. Борн М., Хуан К. Динамическая теория кристаллических решето z^q. М.-.ИЛ, 1958.488 с.

5. Newton I. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. London: Reo Soc. Pr., 1686.510 c.

6. Thomson W. Baltimore Lectures on Molecular Dynamics and the Wave Theory of Light. London: Cambridge Univ. Pr., 1904. 342 c.

7. Born M., von Karman T. Schwingungen in Raumgittern // Phys. Zs. 19 X о Bd. 13, №8. S. 297-309.

8. Bom M., von Karman T. Schwingungen in Raumgittern // Phys. Zs. 191 3 Bd. 14. S. 15.

9. Борн M. Динамика кристаллической решетки. M.: ИЛ, 1938. 144 с.

10. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 792 q;

11. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела: в 2 т. М.: Мир, \ Т. 2. 423 с.

12. Вейсс Р. Физика твердого тела. М.: Атомиздат, 1968. 456 с.

13. Маделунг О. Теория твердого тела. М.: Наука, 1980. 416 с.

14. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1974. 470 с.

15. Ал ере Дж. Использование измерений скорости звука «ц^д определения температуры Дебая в твердых телах // Физически акустика. Динамика решетки. М.: Мир, 1968. Т. 3. С. 12-58.

16. Blackman M. The specific heat of solids // Handbuch der Physik. 1955 Bd. 7, teil l.S. 325-381.

17. De Launay J. Lattice dynamics // J. Solid State Physics. 1956. V. 2. P. 219-348.

18. Leibfried G. Gittertheorie der mechanischen und thermischen Eigenschaften der kristalle // Handbuch der Physik. 1955. Bd. 7, teil 1. S. 104-251.

19. Born M., Begbie G.H. Interaction of waves in crystals II Proc. Roy. Soc. London, 1947. V. AI 64. P. 179.

20. Воеводин B.B., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320 с.

21. Ewald P.P. Elektrostatischer Gitterpotentiale und optischer Berchnung HZs. Krist. 1921. Bd. 56. S. 129.

22. Крауфорд Ф. Волны. M.: Наука, 1974. 521с.

23. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Теория упругости. М.: Наука, 1987. Т. 7. 248 с.

24. Самсонов Г.В. Справочник. Свойства элементов. Физические свойства. М.: Металлургия, 1976. Ч. 1. 600 с.

25. Акустические кристаллы: Справочник / A.A. Блистанов и др. М.: Наука, 1982. 600 с.

26. Sham L.J. Electronic contribution to lattice dynamics in insulating crystals // Ph. Rev. 1969. V. 188, № 3. P. 1431-1439.

27. Pick R.M., Cohen M.H., Martin R.M. Microscopic theory of force constants in the adiabatic approximation // Phys. Rev. 1970. V. 1. P. 910-920.

28. Рейсленд Дж. Физика фононов. М.: Мир, 1975. 365 с.

29. Мэзон У. Физическая акустика. Динамика решетки. М.: Мир, 1968. Т. 3. 392 с.

30. Труэлл Р., Эльбаум Ч., Чик Б. Ультразвуковые методы в физике твердого тела. М.: Мир, 1972. 308 с.

31. Neighbours J.R., Alers G.A. Elastic constants of Silver and Gold // Phys. Rev. 1958. V. 111,№3.P. 707-712.

32. Vallin J., Mongy M., Salama K. Elastic constants of aluminum // J. Appl. Phys. 1964. V. 35, № 6. P. 1825-1826.

33. Vaks V.G., Zarchentsev E.V., Kravchuc S.P. Temperature dependence of the elastic constants in alkali metals // J. Phys. 1978. V. E8, № 5. P. 725-742.

34. Красильников O.M. Уравнение состояния и упругие постоянные щелочных металлов при отрицательных давлениях // Физ. мет. и металловед. 2007. Вып. 103, № 3. С. 317-321.

35. Марадудин А., Монтролл Э., Вейсс Дж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении. М.: Мир, 1965. 383 с.

36. Бровман Е.Г., Каган Ю.М., Холас А. Проблема сжимаемости и нарушения соотношений Коши в металлах // ЖЭТФ. 1969. № 57. С. 16-35.

37. Leibfried G. Zur theorie idealer kristalle // Die Werke der Konferenz. Westfalen, 1958. Bd. 74. S. 43-52.

38. Sarkar S.K., Sengupta S. On completeness of Born-Huang invariance conditions // Indian J. Phys. 1977. V. A51, № 4. P. 273-277.

39. Masao Shimizu. Effects of noncentral force and an electron gas to the Cauchy relation in metals // J. Phys. Soc. Japan. 1962. V. 17, № 3. P. 577-578.

40. Бровман Е.Г., Каган Ю.М. Фононы в непереходных металлах // УФН. 1974. Т. 112, вып. 3. С. 369-427.

41. Бровман Е.Г., Каган Ю.М. О фононном спектре металлов // ЖЭТФ. 1967. Т. 52, №2. С. 557-574.

42. Brovman E.G., Kagan Yu. The role of electrons in phonon spectrum formation in metals //Neutron Inelastic Scattering. 1968. V. 1. P. 3-33.

43. Brovman E.G., Kagan Yu. Phonons in non transition metals // Dynamical properties of solids: Proc. of the int. conf. Amsterdam (North-Holland), 1974. P. 191-297.

44. Косевич A.M. Основы механики кристаллической решетки. М.: Наука, 1972. 280 с.

45. Gupta О.Р., Hemkar М.Р., Kharoo H.L. Crystal equilibrium and lattice dynamics of face-centered cubic metals // Canad. J. Phys. 1978. V. 56, № 4. P. 447-452.

46. Balkanski M. Lattice dynamics // Europhys. News. 1978. V. 9, № 5. P. 9-11.

47. Chester G.V. The theory of the interaction of electrons with lattice vibrations in metals // Adv. Phys. 1961. V. 10. P. 357-400.

48. Займан Дж. Электроны и фононы. Теория явлений переноса в твердых телах. М.: ИЛ, 1962. 488 с.

49. Бетгер X. Принципы динамической теории решетки. М.: Мир, 1986. 392 с.

50. Гусев А.А. Динамика решетки ковалентных кристаллов // Физ. и техн. высок, давлений. 1996. Вып. 6, № 3. С. 11-26.

51. Кацнельсон М.И., Трефилов А.В., Хромов К.Ю. Особенности ангармонических эффектов в динамике решетки ГЦК металлов // Письма в ЖЭТФ. 1999. Вып. 69, № 9-10. С. 649-652.

52. Кацнельсон М.И., Трефилов А.В. Динамика и термодинамика кристаллической решетки. М.: ИздАТ, 2002. 382 с.

53. Холодовский В.Е., Сидоров А.А. Диполь дипольная модель межатомного взаимодействия в кристаллах // Новые идеи, технологии, проекты и инвестиции: Тез. докл. регион, науч.-практ. конф.-ярмарки. Брянск, 1999. Ч. 1. С. 104-106.

54. Холодовский В.Е., Сидоров А.А. Фононный спектр и теплоемкость кристаллов в модели диполь — дипольных взаимодействий // Сборник научных трудов БГПУ. 2000. С. 178-183.

55. Парселл Э. Электричество и магнетизм. М.: Наука, 1983. 416 с.

56. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1961. 664 с.

57. Займан Дж. Современная квантовая теория. М.: Мир. 1971. 288 с.

58. Вихман Э. Квантовая физика. М.: Наука, 1976. 407с.

59. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989. 504 с.

60. Измайлов С.В. Курс электродинамики. М.: Учпедгиз, 1962. 440 с.

61. Сирота Н.Н., Соколовский Т.Д. Частотные спектры колебаний ионов в кристаллах с кубической решеткой в связи с характером межатомного взаимодействия // Химическая связь в полупроводниках и твердых телах: Мат. конф. Минск, 1965. С. 176-179.

62. Kroll W. On the determination of the elastic spectra of solids from specific heat data // Prog. Theor. Phys. 1952. V. 8. P. 457-460.

63. Dayal В., Srivastava P.L. Phonon spectrum and thermal energy of sodium by Toya s method with a modified interference factor // Proc. Roy. Soc. London, 1963. V. 277. P. 183-191.

64. Toya T. Dynamical properties of solids // J. Res. Inst. Catal. 1958. V. 6, № 161. P. 183.

65. Hultgren R., Desai P.D., Hawkins D.T. Selected values of the thermodynamic prorerties of the elements. Ohio: Amer. Soc. for Metals, 1973. 636 p.

66. Walker С.В. X Ray study of lattice vibrations in aluminum // Phys. Rev. 1956. V. 103, № 3. P. 547-557.

67. Stedman R., Almqvist L., Nilsson G. Phonon frequency distributions and heat capacities of Aluminum and Lead // Phys. Rev. 1967. V. 162, № 3. P. 549-557.

68. Talmi A., Gilat G. Phonon spectrum in Lead by new phenomenological method // Lattice dynamics: Proceedings of the international conference on lattice dynamics. Paris, 1977. C. 52-54.

69. Varshni Y.P., Shucla R.C. Lattice vibrations and Debay temperatures of copper and aluminum // J. Chem. Phys. 1965. V. 43, № 11. P. 3966-3972.

70. Vosco S.H.,. Taylor R., Keech G.H. The influence of the electron ion interaction on the phonon frequencies of simple metals: Na, Al, and Pb // Canad. J. Phys. 1965. V. 43. P. 1187-1247.

71. Sham L.J. A calculation of the phonon frequencies in sodium // Proc. Roy. Soc. London, 1965. V. A283. P. 33-49.

72. Бровман Е.Г. Микроскопическая теория фононного спектра металлов: Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. М., 1973. 28 с.

73. Normal models of vibration in Nickel / R.J. Birgeneau et al. // Phys. Rev. 1964. V. 136, № 5A. P. A1359-A1365.

74. Nakagawa Y., Woods A.D.B. Lattice dynamics of niobium // Phys. Rev. Letters. 1963. V. 11, № 6. P. 271-274.

75. Gupta O.P., Hemkar M.P. Crystal equilibrium and lattice dynamics of Vanadium //Nuovo cimento. 1978. V. B45, № 2. P. 255-274.

76. Pracash S. Kohn anomalies and phonon dispersion in transition metals // Lattice dynamics: Proceedings of the international conference on lattice dynamics. Paris, 1977. P. 30-33.

77. Фононные спектры кристаллической решетки V, Cr, Mn, Fe, Co, Ni, Си / H.H. Сирота и др. // Докл. РАН. 2000. Вып. 373, № 6. С. 750-753.

78. Энергия связи, фононные спектры и термодинамические свойства элементов со структурами Аь А2, А3, А4 Al, Си, V, Ti, Mg, Si, Sn / H.H. Сирота и др. // Физ. тверд, тела. 2001. Вып. 43, № 9. С. 1674-1679.

79. Чеботарев JI.B. Фононный спектр и локальные колебания в сильно анизотропных кристаллах // Ж. эксперим. и теор. физ. 1978. Т. 74, №5. С. 1920-1935.

80. Upadhyaya J.C., Dagens L. Resonant model potential and the phonon frequencies in cooper // J. Phys. 1978. V. F8, № 2. P. L21-L24.

81. Van Heugten W.F.W.M. An interatomic potential for cooper from the phonon spectra//Phys. Status solidi. 1978. V. B86, № 1. P. 277-281.

82. Крисько О.В., Силонов В.М., Скоробогатова Т.В. Фононные спектры магния в методе гладкого нелокального модельного потенциала // Вестн. МГУ. 2007. Сер. 3, № 6. С. 43-47.

83. Sinha S.K. Phonons in transition metals // Dynamical properties of solids: Proc. of the int. conf. Amsterdam (North-Holland), 1980. P. 3-90.

84. Рейф Ф. Статистическая физика. M.: Наука, 1976. 348 с.

85. Joshi S.K.,- Hemcar М.Р. Vibrational spectrum and specific heat of potassium //Physica. 1961. V. 27, № 8. P. 793-796.

86. Кириллин B.A., Шейндлин A.E., Чеховский В.Я. Термодинамические свойства ниобия в интервале температур от 0К до температуры плавления 2740К // Теплофизика высоких температур. 1965. Т. 3,' № 6. С. 860-865.

87. Martin Douglas L. Specific heats of coper, silver and gold below 30K // Phys. Rev. 1966. V. 141, № 2. P. 576-582.

88. Егоров Б.Н., Килессо B.C. Комплексное определение теплофизических свойств твердых материалов импульсно-адиабатическим методом // Материалы 3 Всесоюзной теплофизической конференции по свойствам веществ при высоких температурах. Баку, 1968. С. 65-71.

89. Mittal R. Modelling of anomalous thermodynamic properties using lattice dynamic and inelastic neutron scattering // В ARC Newslett. 2006. № 273. P. 88-91.

90. Джеймс Р. Оптические принципы дифракции рентгеновских лучей. М.: ИИЛ, 1950. 572 с.

91. Kumar Mahendra, Hemkar М.Р. Temperature variation of Debye-Waller factors of bcc metals // Acta phys. pol. 1978. V. A53, № 4. P. 543-553.

92. Kharoo H.L., Gupta O.P., Hemkar M.P. Debye-Waller factors of fee metals by modified Cheveau model // Physica. 1978. V. BC94, № 2. P. 212-218.

93. Clare B.C., Robert H., Wallis P.F. Theoretical mean-square displacements for surface atoms in face-centered cubic lattices with applications to Ni //Phys. Rev. 1965. V. 139, № ЗА. P. 860-867.

94. Францевич И.Н. Упругие постоянные металлов и сплавов // Вопросы порошковой металлургии и прочности материалов. Киев: Изд. АН УССР, 1956. Вып. 3. С. 14-21.

95. Троицкая Е.П., Чабаненко В.В., Горбенко Е.Е. Динамика решетки легких кристаллов инертных газов под давлением // Физика твердого тела. 2009. Т. 51, вып. 10. С. 1999-2005.

96. Зароченцев Е.Е., Троицкая Е.П., Чабаненко В.В. Упругие постоянные кристаллов инертных газов под давлением и соотношение Коши // Физика твердого тела. 2004. Т. 46, вып. 2. С. 245-249.

97. Динамика решетки тяжелых кристаллов инертных газов под давлением / Е.П. Троицкая и др. // Физика твердого тела. 2008. Т. 50, вып. 4. С. 696-702.

98. Троицкая Е.П., Чабаненко В.В., Горбенко Е.Е. Фононы и электрон-фононное взаимодействие в кристаллах инертных газов при высоких давлениях // Физика твердого тела. 2007. Т. 49, вып. 11. С. 2055-2062.

99. Зароченцев Е.В., Троицкая Е.П. Уравнение состояния кристаллов инертных газов вблизи металлизиции // Физика твердого тела. 2001. Т. 43, вып. 7. С. 1292-1298.

100. Троицкая Е.П., Чабаненко В.В., Горбенко Е.Е. Неадиабатические эффекты в динамике решетки сжатых кристаллов инертных газов // Физика твердого тела. 2005. Т. 47, вып. 9. С. 1683-1688.

101. Максимов Е.Г., Зиненко В.И., Замкова Н.Г. Расчеты физических свойств ионных кристаллов из первых принципов // УФН. 2004. Т. 174, № 11. С. 1145-1170.

102. Burkel Eberhard. Determination of phonon dispersion curves by means of inelactic X-ray scattering // J. Phys.: Condens. Matter. 2001. V. 13, № 34. P. 7627-7644.

103. Wang Y.R., Overhauser A.W. Lattice dynamics of lithium at low temperature //Phys. Rev. 1986. V. 12. P. 8401-8405.

104. Masatoshi Ono. Lattice dynamics of metallic lithium // Journal of the Physical Society of Japan. 1973. V. 34, № 1. P. 26-35.

105. Sharan В., Kumar Ashok, Neelakandan K. Lattice dynamics of lithium // J. Phys. F: Metal Phys. 1973. V. 3. P. 1308-1312.

106. Ramamurthy V., Singh K.K. On the crossing of dispersion curves of alkali metals in £00. direction // Phys. Status solidi. 1978. V. B85, № 2. P. 761-768.

107. Crystal dynamics of sodium at 90K / A.D.B. Woods et al. // Phys. Rev. 1962. V. 128, №3. P. 1112-1120.

108. Kushwaha S.S., Rajput J.S. Phonon dispersion relations of body-centered-cubic metals // Phys. Rev. 1970. V. 2, № 10. P. 3943-3947.

109. Singh R.S., Gupta H.C., Tripathi B.B. Phonon anomalies in niobium using a model potential approach // Journal of the Physical Society of Japan. 1982. V. 51, № i.p. 111-115.

110. Dispersion relations for phonons in Lead at 80 and 300K / R. Stedman et al. //Phys. Rev. 1967. V. 162, № 3. P. 545-548.

111. Crystal dynamics of Lead. Dispersion curves at 100K / B.N. Brockhouse et al. //Phys. Rev. 1962. V. 128, № 3. P. 1099-1111.

112. Rumyancev A.U., Pushkarev V.V., Zemlyanov M.G. Experimental study non-coupled interionic interaction through electrons conductivity // Proc. Symp. Vienna, 1978. V. 1. P. 293-309.

113. Quong Andrew A., Klein Barry M. Self-consistent-screening calculation of interatomic force constants and phonon dispersion curves from first principles. Application to aluminum // Phys. Rev. 1992. V. B46, № 17. P. 10734-10737.

114. Sosnowski J.J., Kozubowski J. Phonon dispersion relations for cooper single crystal in the 100. direction // Journ. Phys. Chem. Solids. 1962. V. 23. P. 1021-1023.

115. Cribier D., Jacrot В., Saint-James D. Diffusion des par les phonons dans un monocristal // Joum Phys. Rad. 1960. V. 67. P. 67-69.

116. Бедарев C.H., Кузнецов A.B. Расчет фононных спектров для ГЦК кристалла меди и серебра с помощью потенциала основанного на методе внедренного атома // Физ., радиофиз. нов. поколение в науке. 2004. № 4. С. 39-43.

117. Prasad В., Srivastava R.S. Thermal properties and Gruneisen parameters of gold using Toya's first principle approach // Phys. Status solidi. 1978. V. B85, № 2. P. 789-793.

118. Займан Дж. Физика металлов. М.: Мир, 1972. 464 с.

119. Пайерлс Р.Э. Электронная теория металлов. М.: ИЛ, 1947. 96 с.

120. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. М.: Высш. шк., 2000. 494 с.

121. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела: в 2 т. М.: Мир, 1975. Т. 1.400 с.

122. Filby J.D., Martin Douglas L. The electronic specific heat of silver // Canad. J. Phys. 1962. V. 40, № 6. P. 791-794.

123. Мачихина И.О., Холодовский B.E. О динамике моноатомных кубических решеток в модели Ван-дер-Ваальсовских силвзаимодействия // Сборника тезисов ВНКСФ-16. Волгоград, 2010. С. 129-130.

124. Сергеева И.О., Холодовскигге^зг 33.Е. О колебаниях линейной цепочки упруго связанных части: г; jr // Сборник тезисов ВНКСФ-12. Новосибирск, 2006. С. 167-IL öS.

125. Холодовский В.Е., Мачих^зг=ЕЕз:а И.О., Кульченков Е.А. Поправка на электронный вклад в тепл^оемкость металлов в модели Ван-дер-Ваальсовских взаимодейс^с^изий // Вестник БГТУ. 2010. № 4. С. 115-123.

126. Мачихина И.О., Холодовскпез^й В.Е. Поправка на электронный вклад в теплоемкость металлов // Сборник тезисов ВНКСФ-17. Екатеринбург, 2011. С. 13 О-131.

127. Холодовский В.Е., Мач:^1^^и:на И.О. Принцип длинных волн и фононные спектры кубичес^СЕсих кристаллических решеток // Вестник ЮУрГУ. Математика. МСе^^аника. Физика. 2009. Вып. 1, № 22. С. 97-104.

128. Холодовский В.Е., Ma^ziE3z?cnHa И.О., Кульченков Е.А. Расчет теплоемкости и среднекпвадратичных смещений по фононным спектрам для кристалло:Е=г~ с ОЦК и ГЦК решеткой // Вестник

129. ЮУрГУ. Математика. Механика. Физика. 2010. Вып. 2, № 9. С. 101-109.

130. Холодовский В.Е., Сергеева И.О. Поток энергии и сила реакции на излучение подвижного диполя // Вестник БГУ. Естественные и точные науки. 2005. Вып. 12, № 4(273). С. 266-268.

131. Холодовский В.Е., Мачихина И.О., Кульченков Е.А. Дисперсионные соотношения для кубических кристаллических решеток в модели диполь дипольных взаимодействий // Вестник ЮУрГУ. Математика, физика, химия. 2009. Вып. 12, № 10(143). С. 92-99.