Динамика и устойчивость системы электрически заряженных тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат физико-математических наук Федоров, Александр Евгеньевич

• Федоров, Александр Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Федоров, Александр Евгеньевич

Введение.

Глава 1. О динамике тела с точечным электрическим зарядом в поле одноименного точечного неподвижного заряда.

§1.1 Постановка задачи. Линейная модель.

§ 1.2 О влиянии диссипативных и циркуляционных сил на устойчивость системы.

Глава 2. О способах максимизации области притяжения равновесного состояния

§ 2.1 Область притяжения равновесного состояния

§ 2.2 О влиянии конфигурации электростатического поля на область притяжения равновесного состояния системы.

Глава 3. О динамике двух свободных гравитирующих тел, несущих электрические заряды.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика и устойчивость системы электрически заряженных тел»

Состояние, при котором твердое тело "парит" в силовом поле подвеса без какого-либо механического контакта с окружающими телами, называют левитацией [33]. В первой половине XX века был впервые реализован магнитный подвес ферритовых тел, и задача о левитации в силовых полях получила инженерное развитие. В 1911 г. Г. Камерлинг-Оннес открыл сверхпроводимость ртути, охладив ее жидким гелием до температуры 4.2 К. Как выяснилось позже, полная потеря электрического сопротивления при переходе в сверхпроводящее состояние не единственное необычное свойство такого вещества. В 1933 году В. Мейснер и Р. Оксенфельд экспериментально установили, что сверхпроводник полностью вытесняет магнитное поле из своего объема (если индукция поля не превышает критического значения). "Абсолютный" диамагнетизм сверхпроводящего состояния означал, в частности, возможность свободного подвешивания магнита над чашей из сверхпроводника. В 1939 г. немецкий ученый В. Браунбек обнаружил теоретически и экспериментально реализовал устойчивую левитацию тела с диамагнетиком [38]. В 1945 г. такой опыт осуществил В.К. Аркадьев. Он заставил безопорно парить небольшой постоянный магнит над сверхпроводящим свинцовым диском.

В настоящее время известны следующие категории неконтактных подвесов: электростатические, магнитные, криогенные и комбинированные [33]. Вопросы, обсуждаемые в данной работе, относятся не только к электростатическим подвесам, но и позволяют лучше понять динамику подвесов других типов.

Статическое вывешивание в магнитном поле тел, обладающих диамагнитными свойствами (магнитная проницаемость меньше единицы) возможно благодаря тому, при определенной конфигурации магнитного поля потенциальная энергия системы в состоянии равновесия имеет минимум ("потенциальная яма") [25, 41, 42]. Иная ситуация наблюдается при вывешивании парамагнетиков в магнитном поле или заряженных тел в электростатическом. Статическое вывешивание в этих случаях невозможно.

Одно из главных препятствий возникающих перед разработчиками электростатических подвесов заключается в природе электростатического поля. В 1839 году английский физик и математик Ирншоу (S. Earnshow) выступил с докладом "О природе молекулярных сил, определяющих физическое строение светоносного эфира" [58], в котором он впервые высказал утверждение, впоследствии названное теоремой Ирншоу. Одна из ее современных формулировок (например [29, 45, 51]) звучит следующим образом:

Совокупность неподвижных частиц, взаимодействующих между собой с силой обратно пропорциональной квадрату расстояния (притягивающихся или отталкивающихся), не может образовывать устойчивую равновесную систему.

Доказательство теоремы основано на том, что силы, действующие на неподвижную частицу со стороны других неподвижных частиц, потенциальны, а соответствующий им скалярный потенциал ср не может обеспечивать равновесное состояние, отвечающее минимуму потенциальной энергии частицы. Потенциал ф электростатического или гравитационного поля в области вне источнип дгср дгср дгср . ков удовлетворяет уравнению Лапласа —^ +—\ + —f = 0, и вторые производдх ду dz ные по всем трем декартовым координатам не могут иметь одинаковые знаки, так, что ф не может иметь экстремумов в этой области. Особым случаем является равенство нулю всех трех слагаемых в уравнении Лапласа. В этом случае устойчивость определяется производными более высокого порядка.

Для преодоления запрета Ирншоу существует две возможности: использовать систему автоматического регулирования или изменить структуру сил. Первый способ подразумевает наличие в системе обратной связи. Датчик контролирует положение подвешиваемого тела и подает команды на управляющее 4 устройство, которое изменяет электростатическое или электромагнитное поле таким образом, чтобы тело вернулось в положение равновесия [12, 15, 28, 40, 46, 53, 58, 64]. На этом принципе основана конструкция большинства приборов, использующих эффект левитации.

Второй подход заключается в выборе структуры сил действующих на вывешиваемое в электростатическом или магнитном поле тело. В качестве примера применения такого подхода рассмотрим задачу динамики двух электрически заряженных материальных точек, находящихся в поле силы тяжести. Заряды одинаковы. Вектор g направлен вертикально вниз (рис. 1). Один из зарядов (нижний) жестко закреплен, а другой в положении равновесия находится над неподвижным.

Рис. 1

Начало координат выбрано таким образом, что для подвижного заряда оно оказывается положением равновесия, в котором кулонова сила отталкивания от неподвижного заряда будет уравновешена силой тяжести mg. При смещении подвижного заряда вдоль оси z результирующая электростатической и 1равита-ционной сил возвращает подвижный заряд в состояние равновесия. Однако отклонение подвижного заряда от положения равновесия в плоскости ху (рис. 1,6) вызывает силу, уводящую его из положения равновесия, что является прямым следствием теоремы Ирншоу.

Уравнения движения точечного заряда в векторной форме будут выглядеть следующим образом: mr = -gradYl3 + mg, 2 где П,3 = —'-—, г-радиус вектор (рис. 1,6). 4ле0г

В декартовой системе координат Oxyz линеаризованные около положения равновесия уравнения движения запишутся

•• чг тх =-х,

4Щ

- q2 ту = --у,

4 ле0 1 I* mz = -2-z.

После перехода к масштабу времени t, =

4тле0 2 х-х,

У = У, z = -2 z.

Здесь точкой обозначено дифференцирование по безразмерному времени t

Т = —. t,

Систему можно стабилизировать введением гироскопических сил [36], то есть сил направленных ортогонально вектору скорости. Включим магнитное поле, вектор индукции В которого направлен вдоль оси z (рис. 1). При этом на подвижный заряд будет действовать магнитная составляющая силы Лоренца

F = </[v,B], (1) где q - величина точечного подвижного заряда, v - вектор скорости. Сила F прямо пропорциональна скорости и действует в перпендикулярном ей направлении (рис. 2), то есть является гироскопической. Ей соответствует кососим

I 0 qB \

-qB ОГ метричная матрица G =

Л ( О ч

-qB О bYx"

У. П

Fn В

Ft

О т в О q> О ч< О

Рис. 2

После учета лоренцевой силы уравнения движения системы принимают вид: х = д: + Ну,

У = У-НХ, (2) z = —2z.

Здесь параметр Н = qBt,.

Задача эквивалентна рассмотренной в [33]. Уравнения подвижного заряженного тела в координатах Оху совпадают с уравнениями угловых движений волчка Лагранжа [35, 43J.

Волчком Лагранжа называется осесимметричное тело, двигающееся в коле силы тяжести по горизонтальной, гладкой поверхности и приведенное во вращение с угловой скоростью £1. На волчок действуют две внешние силы: сила тяжести mg, приложенная к центру масс С волчка, и реакция опоры Ry опоры О (рис. 3). Положение оси ОС, симметрии волчка относительно неподвижных осей определяется углами и и [3 (рис. 4), которые предполагаются малыми а«1 и Р«1. Невозмущенным движением волчка является его равномерное вращение с угловой скоростью вокруг оси симметрии ^ совпадающей с неподвижной вертикальной осью: а - 0, а = 0, /? = О, = О, ф-ф0 = Q = const.

Линеаризованные уравнения движения имеют вид:

А а = mgla - CQ.fi, Afi = mglfi + CCld,

3) или а = %а - Hp, p = zp + Hd,

4)

CQ mgl где H = — , х = ~т-А А

Уравнения (4) можно рассматривать как результат наложения на неустойчивую потенциальную систему (5) (перевернутый маятник) гироскопической силы F =(НР,-На). а - у а - О л (5) р-хр = о

Сделав замену а = Ае'р', р =Beipl, получим характеристическое уравнение:

-Р

-Hpi

Hpi

-р2-х {p2+x)2-H2p2=p4+p2(2x-H2)+x2=Q

6)

С корнями pi 2

2 -2Х + Н2±^2Х-Н2)2-4Х2 Ру2 ~ 2

Для консервативной устойчивости необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения (6) были действительными. Следовательно, должно выполняться неравенство: lX-H2)2-4X2>0. Отсюда получаем условие на параметр Я:

U>lfX. (7)

Для системы двух зарядов условие (7) означает, что при достаточно высокой индукции магнитного поля В>— —-— система будет консервативно устойqt, у иж, чива.

Вывод о существовании порогового значения параметра гироскопических сил Я*, начиная с которого система устойчива, следует из теоремы Кельвина о достаточных условиях гироскопической стабилизации [36]. Согласно теореме, если матрицы гироскопических и консервативных сил невырождены, то при значениях параметра гироскопических сил Я больших порогового Н* система будет устойчивой*. Матрица G в рассмотренных примерах невырождена: detG^O, то есть выполняется условие теоремы Кельвина, следовательно, область устойчивости по Я ограничена снизу (рис. 5). Полную формулировку теоремы можно найти например в [2]:

Уравнения возмущенного движения линейной автономной системы, на которую действуют потенциальные и гироскопические силы можно записать в матричном виде: Aq - HGq + Cq = 0. Здесь Н - параметр гироскопических сил, G - матрица гироскопических сил, А и С -симметричные матрицы масс и потенциальных сил соответственно. Характеристическое уравнение запишется следующим образом д(д) = |лд2 + //СА + С| = 0- Кроме характеристического уравнения исходной системы, рассмотрим два других уравнения: д'"'(д) = |Л/1 + IIG\ = 0 и д'"'(Л.)=|//GA + С| = 0• Первое определяет частоты нутационных колебаний той же системы в предположении, что на нее перестали действовать потенциальные силы. Второе определяет частоты прецессионных колебаний. Теорема: Если к неустойчивой линейной автономной потенциальной системе присоединить гироскопические силы, удовлетворяющие условиям: 1. определители |G| и |С| не равны нулю; 2. прецессионная система устойчива; 3. среди корней уравнений для нутационных и прецессионных колебаний нет равных, то при достаточно большом значении параметра II неустойчивое движение системы будет стабилизировано гироскопическими силами. о Н, Н

Рис. 5 Область устойчивости по параметру Н

Таким образом, систему двух одноименных электрических зарядов, один из которых неподвижен, можно стабилизировать введением магнитного поля. Далее показано как осуществить левитацию заряженного тела в электростатическом поле только за счет механических сил. Такая задача для систем с постоянными магнитами достаточно хорошо изучена, например, в работах [10, 54, 60,61,66, 75].

Остановимся на работе [10], в которой рассматривается система двух постоянных магнитов с осевой намагниченностью. Если одноименные полюса магнитов обращены к друг другу, то, закрепив нижний магнит так, как показано на рис. 6, можно найти на его оси точку, в которой сила тяжести, действующая на верхний подвижный магнит, компенсируется силой отталкивания со стороны нижнего. h

Рис. 6

При этом положение равновесие, как и в случае с двумя зарядами, не будет устойчивым. Подвижный магнит стремится перевернуться на 180° и уйти поперек оси.

Предполагается, что в положении равновесия центр подвижного магнита расположен на расстоянии h он центра неподвижного, h заметно больше толщины h\ 2 каждого из двух постоянных магнитов. Магниты моделируются витками с током. Токи колец, запишутся как I\=j\h\, /2=72^2 гДеУ'1,2 - плотности поверхностных токов, зависящие от материала постоянных магнитов и создающие их осевую намагниченность. Направление токов в кольцах встречное. На рис. 7 эти кольца с токами показаны с учетом поступательных и угловых перемещений (ток /] относится к подвижному магниту, ток /2 к неподвижному).

С неподвижным кольцом связана система координат О, г|, С,, начало которой помещено в центр кольца 1. С неподвижным кольцом связана система координат d, rj7, (!,, начало которой помещается в центр кольца 2. Подвижному телу

12 ставится в соответствие масса т с центром масс в центре кольца и моменты инерции: осевой С и экваториальный А.

Уравнения движения без учета диссипации будут следующими: ди mt =-, dU mt]=-, V ди л(<9, + cos sin )+ Н032 cos = О, а(&2 cos2 +2i9,,92 cossin 5,)-Я05, cos £>, -— = 0, д9г где 9и9г - углы Крылова наклона оси подвижного магнита (кольца 2) d^ по отношению к вертикальной оси ОЪ, неподвижного магнита (кольца 1), Э3 - угол собственного вращения относительно di симметрии подвижного магнита Н0 =с(д3 -9г$'тЭу)= const - модуль вектора кинетического момента вращающегося вывешенного тела. Его постоянство обусловлено тем, что угол Э3 (поворот магнита вокруг оси симметрии) является циклической координатой. U - силовая функция пондеромоторного взаимодействия двух колец с токами 1\ /2, аналогичная рассмотренной в [11]. Для малых отклонений от положения равновесия функция U может быть представлена в виде многочлена

6h£ 9f+s; 3 4/г + Щ ( 2 2 2\ (tf^f (R^h^f

-LLR Rflh

4 " ' ' (Rf+h>f2

В состоянии равновесия сила тяжести уравновешивается силой отталкивания магнитов яр0 IJ^R^h mg

Rf +h2Y2

Обозначим $г=со. Запишем уравнения движения в комплексных переменных

ГА 12/,

9 = 9Х + i&2, u = % + ir] и новом масштабе длины I, = J— и времени t, = —, тогда т \ g получим безразмерные уравнения движения в виде: ii-ku-i0 = О, 9 + Шв-%в + ш = О,

Е 4h2-R2l С [2/7 2 R2+h2 где L = —, к = —-—J-—, я = — со —, х = —!-• Точкой обозначено диффе

I, R2 +h h A ]j g 3 hi, t ренцирование по времени г = —. t*

В отличие от системы с двумя зарядами устойчивость подвижного магнита определяют уже не два, а четыре уравнения. Гироскопические силы присутствуют лишь в уравнениях для угловых движений. Матрица гироскопических сил вырождена и теорема Кельвина не может быть применена.

Если отыскивать решение полученной системы уравнений (без отделяющегося уравнения для в виде aeiST, то характеристическое уравнение данной системы приводится к виду s*-Hs3 +s2(k + x)-kHs + kx-1 = 0. Для того, чтобы подвес был устойчивым, необходимо, чтобы все корни этого уравнения были действительными. Отсюда получается условие, определяющее область устойчивости: н2 <н2 < н2,

2,51 г2 1 V 1 Г 1 V

2 к 8 к3 к + 2къ) 8^[к2 1 ч*2 где fj. — к% — 1«1. Таким образом, система имеет ограниченную область устойчивости по параметрам к, ц, Я.

В [10] приведены численные оценки области устойчивости, а также рассмотрены возможные реализации подвеса с использованием постоянных магнитов. В работе [17] показано, что введением сил диссипации во вращающейся системе координат консервативную устойчивость такой системы можно упрочнить до асимптотической.

Подобный принцип устойчивости постоянного магнита в магнитном поле реализован на практике. Существует демонстрационное устройство, известное в Европе и США как левитрон [63, 65]. Детальное описание устройства можно найти в работе [62].

Рис. 8 1-вращающаяся часть; 2- постоянный магнит; 3-подъемная планка; 4-жестко закрепленная база; 5-постоянный магнит с отверстием в центре

Устройство состоит из постоянного магнита, который может висеть в воздухе над другим постоянным магнитом (рис. 8) примерно в течение двух минут. Для стабилизации системы необходимо, чтобы подвижная часть вращалась с определенной угловой скоростью.

Простейшая теория гироскопической стабилизации, предложенная производителем в [67] не была достаточной. Первая математическая модель была получена Berry [54]. Уравнения движения с шестью степенями свободы были (?> получены в работах [56, 57, 61]. В этих работах на линейной модели показано, что устойчивое равновесное состояние возможно, если относительная скорость собственного вращения тела ограничена и сверху и сиизу.

Данная работа посвящена левитации тела, несущего заряд, в электростатическом поле. Как и в рассмотренной выше задаче с вывешиванием постоянного магнита в магнитном поле, стабилизация системы обеспечивается собственным вращением вывешенного тела. Несмотря на то, что устройство на постоянных магнитах из-за конфигурации создаваемого поля значительно более сложный объект для исследования, уравнения возмущенного движения для малых отклонений от равновесного состояния совпадают.

Актуальность темы обусловлена необходимостью использования безопорных подвесов в научном и промышленном приборостроении для удовлетворения современным высоким требованиям к ряду характеристик оборудования, таким как: точность измерений, продолжительность и стабильность работы, энергозатратность, малое трение (или его отсутствие) и так далее.

Бесконтактный подвес обеспечивает малое трения в узлах прибора, что увеличивает ресурс устройства, сокращает энергетические затраты на преодоление сопротивления. В настоящее время в промышленно развитых странах активно ведутся работы по созданию высокоскоростных поездов на магнитной подушке [4, 71], в которых контакт подвижной платформы с рельсом минимален, что обеспечивает долгий период эксплуатации, как самой дороги, так и платформы. Под воздействием электромоторов за 30 секунд такой поезд разгоняется по желобообразному рельсу до скорости 130 км/ч. Затем его колеса, словно шасси самолета, убираются внутрь, и поддерживаемый в воздухе силой магнитного отталкивания он продолжает "парить" над рельсом, набирая все большую скорость. Экспериментальные образцы "Маглева"* уже демонстрируют возможность двигаться со скоростью 550 км/ч. Даже при таких скоростях за счет неконтактного вывешивания достигается хорошая плавность хода. Новый импульс в развитии высокоскоростных транспортных средств в последние годы связан с открытием явления высокотемпературной сверхпроводимости, быстрым развитием силовой полупроводниковой техники, а также систем электродвижения на основе новых типов двигателей [69, 77].

Безопорное вывешивания позволяет существенно уменьшить внешнее воздействие на датчик в измерительном приборе, увеличивая его чувствительность и точность. Известно, что наибольшей точностью обладают гироскопы, в которых ротор вывешен в электростатическом или электромагнитном поле [30, 34, 46]. Их точность колеблется от 10"6 до 10"4 град/ч. Для сравнения, для гироскопа на шариковых подшипниках этот показатель меняется на интервале от 10" до 1 град/ч.

С помощью магнитного поля в экспериментальных термоядерных реакторах типа Токамак [7, 22, 27, 44] (тороидальная камера с магнитными катушками) плазма изолируется от стенок реактора. Центрифуги, вывешенные в магнитном поле и раскрученные до высоких скоростей, позволяют разделять вещества [24]. С помощью вывешенной гравитационной антенны можно принимать гравитационные волны с минимально возможным уровнем шума [55, 70, 73, 74]. Подшипники на магнитных подвесах обеспечивают высокоскоростное, бесшумное вращение. Список можно продолжить. Не все области применения левитации еще открыты, но там, где безопорное парение уже используется, сделан значительный шаг вперед, дан новый импульс развитию целых отраслей промышленности.

Так называют этот поезд, сокращая термин "магнитная левитация".

17

Цели работы.

• Обоснование способа осуществления левитации тела с электрическим зарядом в электростатическом поле за счет выбора структуры сил.

• Развитие модели, описывающей динамику тела с электрическим зарядом в электростатическом поле. Аналитическое исследование влияния гироскопических, диссипативных и циркуляционных сил на устойчивость движения.

• Численное исследование нелинейных моделей с целью выяснения зависимости области притяжения равновесного состояния от параметров системы и от конфигурации электростатического поля.

• Исследование динамики двух свободных гравитирующих тел, несущих электрические заряды.

Методика исследований основана на применении аналитических и численных методов для исследований условий устойчивости рассматриваемых систем. Исследования проводись с использованием метода D-разбиений, прямым методом Ляпунова, с помощью критериев Сильвестра и Рауса-Гурвица. Также применялось численное интегрирование задач Коши методами Эйлера и Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Для числениого исследования многомерных областей устойчивости в пространстве параметров системы применялись метод дихотомии и другие итерационные алгоритмы.

Научная новизна работы.

Впервые показана возможность стабилизации тела несущего точечный заряд в электростатическом поле только за счет механических сил. Гироскопическая стабилизация ранее исследовалась только на системах с постоянными магнитами. Была получена ограниченная область в пространстве параметров линеаризованной системы, соответствующая консервативной устойчивости.

Известно, что диссипация разрушает консервативную устойчивость. В работе показано, что совместное влияние на вывешиваемое в силовом поле тело диссипативных и циркуляционных сил упрочняет устойчивость до асимптотической.

Численно исследованы способы максимизации области притяжения равновесного состояния системы. Нигде ранее, насколько автору известно, такая задача для рассматриваемых систем (в том числе и для построенных на постоянных магнитах) не решалась.

Показана возможность стабилизации двух свободных гравитирующих тел, несущих электрические заряды только за счет собственного вращения. Указано, что полученные результаты обобщают теорему Кельвина о достаточных условиях гироскопической стабилизации систем с четной степенью неустойчивости на случай вырожденной матрицы гироскопических сил.

Достоверность результатов подтверждается сравнением результатов, полученных разными методами, а также сравнением полученных условий устойчивости с результатами численного эксперимента.

Динамика реализованных на практике с использованием постоянных магнитов систем, описываемых в первом приближении предлагаемой моделью, также подтверждает достоверность полученных результатов.

Практическая ценность.

Выделено небольшое число существенных параметров системы, изменяя которые, можно добиться устойчивости тела с электрическим зарядом в электростатическим поле либо постоянного магнита в магнитном поле (в линейном приближении динамика обоих систем описывается одними и теми же уравнениями). Это позволяет сформулировать рекомендации разработчикам по конструированию прибора.

В связи с тем, что в системах с трением консервативная устойчивость недостижима, при конструировании прибора необходимо добиваться асимптотической устойчивости. Такая возможность появляется, если в системе вместе с силами диссипации на вывешенное тело действуют циркуляционные силы, которые можно реализовать, например, поместив вывешиваемое тело во вращающийся цилиндрический кожух.

Разработана методика расчета области притяжения равновесного состояния системы, позволяющая рассчитать эту область для любого устройства (любого набора параметров). Указаны способы повышения стабильности работы устройства, в частности, за счет изменения конфигурации электростатического поля.

Защищаемые положения работы.

• Обоснование принципа достижения устойчивости тела с зарядом в электростатическом поле.

• Развитие модели, описывающей динамику тела, несущего электрический заряд, в электростатическом поле, а также результаты аналитического и численного исследований условий устойчивости.

• Результаты численного исследования способов максимизации области притяжения равновесного состояния системы.

• Результаты численного исследования динамики двух свободных гравити-рующих тел, несущих электрические заряды.

Апробация работы.

Основные результаты работы представлялись на следующих конференциях и семинарах:

Пятой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения 2006" (Казань, 2006), Четвертой всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, 2007), семинаре по Теоретической Физике в ИПФРАН (Нижний Новгород, 2007), 11 Нижегородской сессии молодых ученых "Математические науки" ("Красный плес", 2006), семинаре Климова, Журавлева в Институте проблем механики РАН (Москва, 2005), Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 20-летию Нижегородского филиала Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН "Фундаментальные проблемы машиноведения: Новые технологии и материалы" (Нижний Новгород, 2006), Второй всероссийской научной конференции "Волновая динамика машин и конструкций" (Нижний Новгород, 2007), итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства" "Математическое моделирование и оптимизация" (Нижний Новгород, 2007).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19, 20,47-50].

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена па 100 страницах, содержит 73 рисунка. Список литературы состоит из 77 наименований.

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Федоров, Александр Евгеньевич

Основные результаты работы:

• Обоснован принцип достижения устойчивости тела с зарядом в электростатическом поле.

• Найдены условия стабилизации системы. Показано, что консервативной устойчивости соответствует ограниченная область в пространстве параметров системы. Исследовано влияние диссипативных и циркуляционных сил на динамику системы. Показано, что введение диссипации и циркуляционных сил в соответствующих соотношениях упрочняет устойчивость до асимптотической.

• Проведено численное исследование области притяжения устойчивого состояния системы. Исследованы способы максимизации области притяжения, в частности, изучено влияние конфигурации электростатического поля на движение системы.

• Показана возможность существования устойчивой связки двух неконтак-тирующих тел, взаимодействующих посредством гравитационных и электростатических сил. Полученные результаты обобщают теорему Кельвина о достаточных условиях гироскопической стабилизации консервативных систем с четной степенью неустойчивости на случай вырожденной матрицы гироскопических сил.

• Разработано программное обеспечение для численного анализа рассмотренных моделей.

Заключение

В работе изучается проблема пассивной (без системы управления) левитации электрически заряженных тел в электростатическом поле. Возможность осуществления левитации тел за счет только механических сил обнаружена относительно недавно. Рассмотренная в работе задача не только позволяет указать принципы, которые могут быть положены в основу создания приборов с электростатическим подвесом, но и в силу своей простоты позволяет понять динамику магнитных пассивных подвесов.

Суть проблемы в том, что статическая конфигурация тел, несущих заряды, невозможна в силу запрета Иришоу.

Центральное место в работе занимает задача о динамике тела, несущего точечный электрический заряд, в поле одноименного точечного неподвижного заряда. Стабилизация тела осуществляется за счет его вращения. Аналитически с помощью характеристического уравнения и прямым методом Ляпунова показано, что существует ограниченная область консервативной устойчивости в пространстве параметров системы. Этот результат является обобщением теоремы Кельвина о достаточных условиях гироскопической стабилизации системы с четной степенью неустойчивости на случай вырожденной матрицы гироскопических сил.

Известно, что диссипация в системе разрушает консервативную устойчивость, что делает невозможным создание устойчивых систем на практике. Но силы диссипации совместно с циркуляционными силами могут упрочнить консервативную устойчивость до асимптотической. На простой модели аналитически методом D-разбиений и численно с помощью критерия Гурвица показано, что существует область асимптотической устойчивости в пространстве циркуляционных и диссипативных сил. В рассматриваемом случае матрица циркуляционных сил может быть (также как и матрица гироскопических сил) вырождена.

Для изучения области притяжения равновесного состояния была рассмотрена нелинейная модель. Разработан и реализован алгоритм расчета области притяжения равновесного состояния. С его помощью получены области притяжения для нескольких наборов параметров. Исследована зависимость размеров области притяжения от параметров системы, таким образом, указана возможность улучшения характеристик системы.

Другим способом максимизации области притяжения является изменение конфигурации электростатического поля. В работе рассматривалось движение тела с электрическим зарядом в электростатическом поле, создаваемым равномерно заряженным кольцом. Показано, что, изменяя радиус кольца, можно увеличить размеры области притяжения

В последней главе исследуется динамика двух гравитирующих свободных тел несущих точечные электрические заряды. Показано, что и в системах большей размерности устойчивость достижима, что также является обобщением теоремы Кельвина. Эта задача может иметь отношение к проблеме динамики космических тел.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Федоров, Александр Евгеньевич, 2007 год

1. Анапольский Л.Ю., Иргентьев В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова // Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. М.: ВИНИТИ, 1975.-Т.2.

2. Артобольский И.И., Боголюбов А.Н., Болотин В.В. и др. Вибрации в технике: Справочник. М.: Изд-во "Машиностроение", 1978. т 1, с. 352.

3. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

4. Бахвалов Ю.А., Бочаров В.И., Винокуров В.А., Нагорский В.Д. Транспорт с магнитным подвесом. М.: Машиностроение, 1991.

5. Белецкий В.В. Некоторые задачи динамики двойных астероидов // Современные проблемы механики и физики космоса / Сборник статей. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, С. 27-40.

6. Белман Р. Введение в теорию матриц: Пер. с англ. М.: Наука, 1969.

7. Бете Г. "Необходимость ядерной энергетики"//Успехи физических наук, 1976 год, т. 120, выпуск 3.

8. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости,-М.: Физматгиз, 1961.- 400 с.

9. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1986. 544 с.

10. Ю.Веселитский И.В., Воронков B.C., Денисов Г.Г., Линьков Р.В. Стабилизация вращением магнита в поле неподвижного // ЖТФ.2005. т.75. Вып. 3. С. 88-93.

11. Веселицкий И.В., Воронков B.C., Сигуньков С.А. Пондеромоторное взаимодействие двух постоянных магнитов цилиндрической формы // ЖТФ. 1996. Т 66. Вып. 5. С. 152-161.94

12. Воронков B.C., Поздеев О.Д., Сандалов В.М. О динамике магнитного подвеса // Известия вузов. Электромеханика. 1974. №10, с. 1082-1089.

13. Вышнеградский И.А. О регуляторах прямого действия // Д.К. Максвелл, И.А., Вышнеградский и А. Стодола. Теория автоматического регулирования.-М.: АН СССР, 1949.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 3-е изд. - М.: Наука, 1967.

15. Гапоненко В.А. Исследование устойчивости и качества регулирования магнитной подвески с помощью АВМ. "Электромеханика", 1971, № 3.

16. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. Красноярск: изд-во Крас-нояр. ун-та, 1995.- 429 с.

17. П.Денисов Г.Г. Диссипация и устойчивость в механических системах. Изв. РАН. МТТ, 1998, № 2, С. 183-190

18. Денисов Г.Г., Новиков В.В. К проблеме гироскопической стабилизации механических систем // МТТ. 2006, № 3. С. 11-15.

19. Денисов Г.Г., Новиков В.В., Федоров А.Е. Гироскопическая стабилизация несущего электрический заряд тела, вывешенного в поле другого заряда.:// Вестник Нижегородского Университета. 2007, №1, С. 144-150.

20. Денисов Г.Г., Новиков В.В., Федоров А.Е. О левитации тела, несущего электрический заряд, в электростатическом поле.: М. МТТ. 2007, № 6, С. 4-13.

21. Капица П.Л. "Плазма и управляемые термоядерные реакции", "Успехи физических наук", 1979 год, т. 129, Вып. 4.

22. Кларк. Дж. Ф. "Следующий шаг в термоядерном синтезе: что это такое и как его делать", "Физика плазмы", 1980 год, т. 6, Вып. 6.

23. Косов А.А. О гироскопической стабилизации неконсервативных систем //Сибирский журнал индустриальной математики. 2006, том 9, №3(27) С. 80-89

24. Кофман. Е.Б. "Конструкции современных ультрацентрифуг"// Успехи физических наук, 1941 год, т. 25, Вып. 3.

25. Кузнецов С.И., Урман Ю.М. Исследование возможности левитации сверхпроводящего тела в поле N магнитных полюсов // Журнал технической физики, том 76; Вып. 3, С 7-15

26. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 8-е изд. М.: Физматгиз. 1963.

27. Курчатов И.В. "О возможности создания термоядерных реакций в газовом разряде", Москва, 1956 год.

28. Левин Л.А., Жидков А.А., Малтинский М.И. Физические основы, элементы и устройство криогенного гироскопа. Л.: Румб, 1979.

29. Линьков Р.В., Миллер М.А. Ирншоу теорема. Физическая энциклопедия. М.: Сов. Энциклопедия, 1990. Т. 2. С. 216.

30. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: Гостех-издат, 1950

31. Мартыненко Ю.Г. Движение твердого тела в электрических и магнитных полях,— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.- 368 с

32. Мартыненко Ю.Г. Инерциальная навигация // Соросовский образовательный журнал. 1998. №8. С. 102.

33. Мартыненко Ю.Г. О проблеме левитации в силовых полях // Соросовский образовательный журнал. 1996. №3. С. 82-86.

34. Мартыненко Ю.Г. Тенденции развития современной гироскопии // Соросовский образовательный журнал. 1997. №11. С. 120.

35. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. Санкт-Петербург: Лань, 2003. - 304 с.

36. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. М.: Наука, 1974. 344 с.

37. Меркин Д.Р. К вопросу об устойчивости по структуре сил // ПММ. 1975. -Т. 39, Вып. 5

38. Михалевич B.C. и др. Магнитная потенциальная яма эффект стабилизации динамических систем. Киев: Наук, думка, 1991, 335 с.

39. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука. 1978. 336 с.

40. Пивень Л.З. Об устойчивости магнитного подвеса со стабилизатором. Проблемы технической электродинамики. АН УССР, Вып. 24, 1970.

41. Понизовский В.М. Свободный подвес диамагнитных тел в постоянном магнитном поле // Успехи физических наук. 1970. том 100, Вып 3

42. Понизовский В.М. Свободный подвес проводящего диска в переменном магнитном поле // Успехи физических наук. 1969. том 99, Вып 1

43. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.- 304 с

44. Сахаров А.Д., Тамм И.Е. "Теория магнитного термоядерного реактора", в сб. "Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций", под ред. М.А. Леонтовича, Москва, 1958 год, т. 1.

45. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976. Издание 9.

46. Урман Ю.М. К расчету силовых характеристик внешнего сферического подвеса криогенного гироскопа // Изв. вузов. Приборостроение. 1973. № 8. С. 72-74.

47. Федоров А.Е. Влияние структуры сил на устойчивость системы. // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань. 2006. Т. 34. С. 210-211

48. Федоров А.Е. К вопросу о динамике системы гравитирующих тел, несущих заряды // Волновая динамика машин и конструкций. Тезисы докладов Второй Всероссийской научной конференции. Нижний Новгород, 2007. С.98.

49. Федоров А.Е. О стабилизации системы заряженных тел. // Труды четвертой всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике". Тезисы докладов. М. 2007.

50. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике, Издательство АН СССР, М., 1962

51. Bassany R. Earnshow (1805-1888) and Passive Magnetic Levitation // Mec-canica. 2006, №41,375-389

52. Beams J.W., Hulburt C.W., Lorz W.E., Jr., Montague R.M. Jr. Magnetic suspension balance, RSI, № 12, 1955.

53. Berry M.V. The Levitron: an adiabatic trap for spins // Proc. R. Soc A452 1207-20

54. Blair D. G. The Detection of Gravitational Waves (Cambridge University Press, Cambridge, 1991).

55. Dullin H.R. and Easton R.W. Stability of Levitrons. Physica D, 126: 1-17, 1999

56. Dullin H.R. and Easton R.W. Stability of Levitrons. Z. Angew. Math. Mech., 79: SI67-S170,1999. supl. 1: proceeding of the GAMM 98

57. Earnshaw S., 'On the nature of the molecular forces which regulate the constitution of the luminiferous ether', Trans. Cambridge Philos. Soc. 116 (1842) 97-112.

58. Edge R. "Levitation using only permanent magnets" // Phys. Teach. 33, 252— 253,1995.

59. Gans R.F., Jones B.J., Washizu M. Dynamics of the Levitron // Appl. Phys., 31 (1998) 671-679

60. Genta G., Delprete C., Rondano B. Gyroscopic stabilization of passive magnetic levitation // Meccanica. 1999, № 34,411-424

61. Gov S., Matzner H. and Shtrikman S., "Hovering a magnetic top above an air coil", Bulletin of the Israel Physical Society, vol. 42, pp. 121, 1996.

62. Harrigan R.M., U.S. Patent No. 4,382,245 (3 May 1983)

63. Holmes I.I. Axial magnetic suspension. RSI, № 11,1937.

64. Hones E.W. and Hones W.G., U.S. Patent 5,404,062, (April 4, 1995).

65. Jones T.B., Washizu M., Gans R. Simple theory for the Levitron // J. Appl. Phys. 1997, Vol. 82, No. 2,

66. Kagan D. "Building a magnetic levitation toy" // Phys. Teach. 31, 432-433, 1993.

67. Mc. Hurraitt, Breazeall J.B., Dacus E.N. Improved magnetic suspension system, RSI, № 11,1958.

68. Moon Fr. Superconducting Levitation. Cornell University, 1996.70.0hanian H., Runi R., Gravitation and Spacetime, 2nd ed. (Norton & Company, New York, 1994).

69. Proceedings of the MAGLEV'2000, June 7-10-2000, Rio de Janeiro, Brazil.

70. Routh E.J. A treatise on the stability of a given state of motion. London, 1877.

71. Sang Jun Kang An Idea about a New Type Gravitational Wave Detector: A Gravitational Wave Detector Composed of the Earth and a Particle Levitated by a Magnetic Force, Journal of the Korean Physical Society, Vol. 46, No. 6, June 2005, pp. 1305»1310

72. Saulson P. R. Interferometric Gravitational Wave Detectors (World Scientific, 1994).

73. Simon M.D., Heflinger L.O. and Ridgway S.L., Spin stabilized magnetic levi-tation // Am. J. Phys. 65 (4) (1997) 286-292.

74. Thomson W. and Tait P., Treatis on Natural Philosophy. Part I, Cambridge University Press, 1879

75. Wang J., Wang S., Ren Z., Wang X., Song H. High Temperature Superconducting Maglev Vehicle. Proceedings of ISMAGLEV'2002, June 25-27-2002, Chengdu, China.