Разработка методов фильтрации в постановке Р. Калмана в условиях случайной дискретизации сигналов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Пучков, Андрей Юрьевич

• Пучков, Андрей Юрьевич
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Пучков, Андрей Юрьевич

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

ВВЕДЕНИЕ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ СЛУЧАЙНОЙ ДИСКРЩШШСИГНАЛОВ

1.1. Характеристика видов случайной дискретизации

1.2. Обзор работ, посвященных фильтрации по Н. Винеру и Р. Калману в условиях

случайной дискретизации

1.3. Конкретизация задачи исследования

1.4. Выводы по главе

2. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ РАСЧЕТА ФИЛЬТРА КАЛМАНА В УСЛОВИЯХ СЛУЧАЙНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ СИГНАЛОВ

2.1. Вывод уравнения оптимального фильтра Калмана

при аналоговом варианте фильтрации

2.2. Получение описания обобщенного аналогового фильтра Калмана при случайной дискретизации сигналов

2.3. Разработка методики расчета оптимального фильтра Калмана при дискретном варианте фильтрации

2.4. Выводы по главе

3. ПРМЕНЕНИЕ МЕТОДА СТОХАСТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА КАЛМАНА

3.1. Общая характеристика алгоритмов

3.2. Разработка алгоритма определения оптимальных параметров фильтра Калмана для аналогового варианта фильтрации

3.3. Разработка алгоритма определения оптимальных параметров фильтра Калмана для дискретного варианта фильтрации

3.4. Выводы по главе

4. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ В СИСТЕМЕ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ И В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ

4.1. Применение полученных результатов в системе обработки данных датчика угловых перемещений летательного аппарата

4.2. Использование разработанного программного обеспечения по расчету оптимальных параметров фильтра Калмана в учебном процессе в Смоленском филиале Московского Энергетического института

4.3. Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов фильтрации в постановке Р. Калмана в условиях случайной дискретизации сигналов»

ВВЕДЕНИЕ

Алгоритмы оптимальной линейной фильтрации получили большое распространение (см. например, /1-6/), при этом достаточно широко применяются дискретные виды данных алгоритмов (например в ситуациях, когда наблюдению доступен не непрерывный сигнал, а его дискретные значения, поступающие через одинаковые интервалы времени). Между тем, во многих случаях физические особенности систем контроля и управления не позволяют обеспечить такую детерминированную дискретизацию и приводят к постановке задачи фильтрации в условиях случайной дискретизации сигналов /7-10/. Нерегулярность или случайность моментов квантования может объясняться как самой физической природой систем, что имеет место, например, в человеко-машинных и биологических, некоторых электромеханических системах, в системах, использующих радиоизотопные и квантовые оптические датчики, так и алгоритмами работы, что характерно, в частности, для цифровых систем контроля и управления - при асинхронном обмене информацией с периферийными устройствами, наличии систем приоритетов периферийных устройств, вариациях программ обработки данных, для импульсных радиолокационных систем - в целях борьбы с активными помехами и т. д.

Анализ подобных задач проведен только для фильтра Н. Винера /11-13/, в то время как более перспективным для большинства практических ситуаций представляется использование фильтра Р. Калмана. К достоинствам подхода Калмана можно

отнести следующее:

- не требуется стационарности характеристик сигналов и бесконечных интервалов времени, которые фигурируют при строгом определении спектров полезного сигнала и помехи;

- удобство реализации алгоритмов фильтрации на ЭВМ;

- оценки получаются в реальном масштабе времени по мере поступления данных при каждом опросе.

С учетом сказанного, актуальной научной задачей, имеющей как теоретическое так и прикладное значение, выступает разработка и исследование методов фильтрации в постановке Р. Калмана в условиях случайной дискретизации сигналов.

Диссертация выполнялась в рамках работы "Теория импульсных систем со случайной дискретизацией" ( руководитель -- д. т. н. профессор Круглов В. В., сроки: 1993 - 1994 г.г.) гранта по программе "Технические университеты" по разделу 2.4 "Управление в технических системах" направления "Фундаментальные иследования в технических университетах" и по планам г/б НИР кафедры Управления и информатики Смоленского филиала МЭИ.

Целью диссертационной работы является разработка, исследование эффективных методов и алгоритмов линейной фильтрации полезного сигнала, зашумленного аддитивной помехой в постановке Р. Калмана в условиях случайной дискретизации и практическое использование данных методов при решении прикладных задач.

Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Анализ известных подходов к линейной фильтрации сиг-

налов, квантованных по времени, в том числе, при случайной дискретизации.

2. Разработка алгоритмов оптимальной линейной фильтрации в постановке Р. Калмана в условиях, когда наблюдению доступны сигналы, дискретизированные в случайные моменты времени.

3. Разработка соответствующего алгоритмического и программного обеспечения для персональных ЭВМ.

4. Разработка алгоритмического обеспечения, реализующего фильтр Калмана для конкретной системы сбора и обработки данных в условиях случайной дискретизации.

Методы исследования в диссертации базируются на методах теорий автоматического управления, вероятностей, оптимизации, случайных потоков и численных методах.

Достоверность теоретических разработок, научных положений, выводов и рекомендаций подтверждается совпадением полученных результатов с данными имитационного эксперимента и результатами практического использования разработанных методов и алгоритмов.

Научная новизна .

1. Получено описание аналогового фильтра Р. Калмана для случая восстановления непрерывного зашумленного сигнала, когда наблюдениям доступны значения сигнала в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток случайных событий. Показано, что с точностью до значений элементов матрицы усиления такое описание подобно описанию фильтра Калмана для непрерывного случая.

2. Предложена методика получения описания стационарного

дискретного варианта фильтра Калмана в условиях случайного квантования сигналов по времени при произвольном характере данной дискретизации. Сущность методики сводится к определению ординат оптимальной импульсной характеристики фильтра и нахождению неизвестных матриц в описании фильтра Калмана путем решения системы нелинейных уравнений.

3. Разработаны алгоритмы численного определения параметров фильтра Калмана для аналогового и дискретного вариантов в условиях случайной дискретизации сигналов, базирующиеся на использовании принципов имитационного моделирования и метода стохастической аппроксимации.

Практическая ценность работы состоит: в разработанных методах определения оптимальных параметров линейного фильтра Калмана при известных вероятностных характеристиках непрерывного случайного полезного сигнала, помехи и процесса квантования сигнала по времени; в разработанном алгоритмическом и программном обеспечении определения характеристик оптимального фильтра Калмана; в внедрении разработанного алгоритма в действующую систему сбора и обработки информации.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-практической конференции посвященной 35-летию Смоленского филиала МЭИ (Смоленск, 1996), на семинаре "Современные проблемы энергетики" (Смоленск, 1997), на первой городской научно-практической конференции молодых ученых и студентов (г. Смоленск, 1998 г.), на научных семинарах кафедр Управления и информатики МЭИ и Смоленского филиала МЭИ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Краткое содержание диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений.

В первой главе рассмотрены особенности моделей случайной дискретизации, проведен обзор методов линейной фильтрации сигналов при их случайном квантовании по времени, конкретизирована постановка задачи исследования.

Вторая глава посвящена решению теоретических вопросов, связанных с определением оптимальных параметров фильтра Кал-мана при аналоговом и дискретном варианте фильтрации при случайной дискретизации сигналов.

В третьей главе проводится разработка алгоритмов и программ численного моделирования по определению значений оптимальных характеристик фильтра для отмеченных выше вариантов фильтрации.

В четвертой главе отражено практическое применение разработанных методов фильтрации.

Заключение содержит основные выводы по проделанной работе, отмечаются теоретические и прикладные результаты исследований.

В приложениях приведены вспомогательные теоретические материалы и промежуточные выкладки, а также акты об использовании результатов диссертационной работы.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ СЛУЧАЙНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ СИГНАЛОВ

1.1. Характеристика видов случайной дискретизации

При квантовании непрерывного сигнала по времени

происходит замена этого сигнала некоторой последовательностью его мгновенных значений ик= иСЬк), взятых в моменты времени к=0, 1, 2,... . Информация, сохраненная при осуществлении операции дискретизации и содержащаяся в последовательности <ик>, должна быть достаточной для выполнения решаемой задачи обработки сигнала и(Ъ). Отсюда следует, что требования к процедуре дискретизации могут быть более или менее жесткими в зависимости от того, какую характеристику сигнала и(Ъ) нужно определить путем обработки мгновенных значений -Си^}.

Моменты времени получения отсчетов образуют поток событий, который обычно представляется в виде потока точек дискретизации, как это показано на рис. 1.1. Свойства операции дискретизации определяются выбранной закономерностью формирования точечного потока, согласно которому берутся отсчеты ию

Наиболее простой и удобной с точки зрения практической реализации является детерминированная (регулярная) дискрети-

1=0

Рис.1.1. Иллюстрация процесса дискретизации

зация, когда отсчеты разделены интервалом времени известной длительности. Однако, как уже отмечалось выше, не всегда удается обойтись только регулярной дискретизацией.

Среди других моделей дискретизации, отличных от периодической и привлекающих внимание исследователей, выделяют широкий класс моделей случайной или стохастической дискретизации, в которых последовательность моментов является реализацией некоторого точечного случайного процесса. В соответствии, например, с эмпирическими выводами работы /14/, к определяющему фактору, приводящему в большинстве случаев к необходимости учета случайного характера дискретизации, целесообразно отнести относительную вариацию интервала квантования /8/, т.е. отношение среднего квадратического отклонения интервала дискретизации бт к его математическому ожиданию л?т. При этом случайность дискретизации необходимо учитывать /14/, если выполняется неравенство:

6т/тг > (0,05 - 0.1). (1.1)

Для рассматриваемых далее потоков максимальное отношение 6Т/тТ равно единице, а минимальное - при регулярной дискретизации, нулю /8/.

Причины, вынуждающие исследователей отказаться от применения традиционной модели периодической дискретизации и требующие рассматривать модели случайной дискретизации, можно условно разделить на две группы /15/.

К первой групе относятся работы, в которых анализируют-

ся ограничения, связанные с применением модели периодической дискретизации и обусловленные присущей этой модели эффектом наложения частот и его последствиями. Отказ от модели периодической дискретизации приводит к рандомизации процедуры квантования сигнала по времени, т. е. к планируемой случайной дискретизации исследуемого процесса /15, 16/.

Вторая группа работ связана с естественной или неплани-руемой случайной дискретизацией, обусловленной специфичностью физического эксперимента, метода измерения, несовершенством аппаратуры и т. п. При изучении такой дискретизации было показано, что случайность при квантовании сигнала по времени может быть даже полезной /15 - 17/.

Однако это утверждение носит скорее качественный, чем количественный, причем достаточно общий характер, что, по-видимому, является причиной, по которой преднамеренное введение случайности в процесс дискретизации применяется достаточно редко.

Рассмотрим некоторые наиболее употребительные модели случайной дискретизации /15, 16, 18/. Отметим, что абсолютно все авторы, рассматривающие случайное квантование сигналов по времени, исходят из концепции, что совокупность моментов дискретизации {Ь^У представляет собой на временной оси случайный точечный поток однородных событий, обладающий свойствами ординарности и стационарности /8, 19/.

Следует отметить, что свойство стационарности проявляется в большинстве практических задач /7, 8/, так как обычно реализуемые алгоритмы получения отсчетов удовлетворяют сформулированным условиям в течении длительных промежутков вре-

мени, а оценки параметров определяются путем обработки достаточно большого количества отсчетов /16/. Физические принципы, лежащие в основе работы систем со случайной дискретизацией, позволяют считать рассматриваемые потоки ординарными и стационарными.

Приведенным свойствам удовлетворяют две основные разновидности случайных точечных потоков:

1) случайные потоки с детерминированными тактовыми интервалами (по терминологии /15/ - это дискретизация с "дрожанием" периода, согласно /16/ - потоки без накопления дисперсии) , для которых

tk = к % + 1к> (1-2)

где тт = const - математическое ожидание периода дискретизации Тк,

{lk> - одинаково распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием;

2) случайные потоки класса потоков Пальма /8/ (другие названия - процессы восстановления /20/, апериодические случайные потоки /21/, аддитивная случайная дискретизация /15, 16/), обладающие, кроме свойств однородности и стационарности, еще и свойством ограниченности последействия.

Для всех разновидностей случайной дискретизации, судя по литературным источникам, предполагается, что совокупность {tk> никак не коррелированна со значениями u(t).

По мнению авторов /16/, для описания случайной дискретизации более подходящими являются модели потоков второго

вида, поэтому на их свойствах имеет смысл остановится подробнее.

При задании конкретного потока указанного класса достаточно задать набор конкретных функций распределения

Fk(T) = P(Tr<T), k > 1, (1.3)

где Tk=tk-tk_i - k-й интервал дискретизации, Р(-) - обозначение вероятности события.

В случае стационарного режима дискретизации можно полагать, что

Fi CT) = F2(T) =...= F(T), (1.4)

и определить плотность распределения интервала дискретизации:

Р (Т < Тк <Т + ДТ )

f(T) = lim- = F '(Т). (1.5)

ДТ-Ю ДТ

Следует особо остановится на выборе момента начала отсчета (t=0). В работе /22/ отмечено, что при анализе систем в стационарном случае выбор этого момента не имеет принципиального значения, так как сигналы на входе и выходе системы имеют бесконечную длительность. В такой ситуации, из чисто физических соображений, начало отсчета можно полагать не зависящим от потока дискретизации (см. рисЛ.2,а), но в ряде случаев удобно принимать его совпадающим с одним из моментов дискретизации (рис.1.2,6).

Поток дискретизации в последующем будем характеризовать

Т1

Т2

Тк

Тк+1

tk+l £

а)

1-1 1^=0 tl

Ьк 1к+1 t

б)

Рис. 1.2. Графическая иллюстрация процессов дискретизации;

а - при произвольно выбранном начале отсчета, б - при совпадении начала отсчета с одним из замыканий

плотностью вероятности 1Г(Т) или ее преобразованием Лапласа /7/

00

Мт(р) = | ГСТ) е~рТ сЯ, (1.6)

о

которое иначе ( учитывая положительность случайной величины Т^ ) можно трактовать /23/ как математическое ожидание функции е-рТ, а также такими числовыми параметрами как математическое ожидание % и дисперсия бт2 интервала дискретизации:

00

¡Пгг = М{Т> = [гГ(Т)сГГ, (1.7)

о

л _

бт2 = М-Ц Тк - т? )2> = (Т - т^)2-?(Т)с/Т, (1.8)

о

где М{*> - символ математического ожидания.

Напомним, что величина А, обратная математическому ожиданию /Пт:

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Пучков, Андрей Юрьевич

4.3. Выводы по главе

1. Получено математическое описание взаимосвязи сигналов угла тангажа и угловой скорости легкого ЛА (на базе анализа физики полета, процесса управления ЛА), выявлен случайный характер дискретизации сигнала, поступающего с датчика угла тангажа, что, в совокупности, показало совпадение поставленной задачи оценивания угла и угловой скорости с принятой в диссертационной работе постановкой задачи для аналогового варианта фильтра Калмана.

2. С использованием разработанных в диссертации методов был проведен расчет оптимальных параметров аналогового фильтра Калмана для канала датчика угла с учетом случайного характера дискретизации.

3. Полученная модель оптимального аналогового фильтра Калмана реализована в алгоритмческом обеспечении функционирования канала датчика угла, что позволило снизить величину ошибки фильтрации сигнала угла тангажа летательного аппарата в среднем на 15 % и дополнительно учесть, при выработке управляющего воздействия на рули ЛА, значения угловой скорости.

4. Разработанное с помощью системы МеЛЬАВ 4.0 программное обеспечение легло в основу двух лабораторных работ по курсу "Цифровая обработка сигналов" в филиале МЭИ в г. Смоленске, а так же использовано при курсовом и дипломном проектировании.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения диссертационной работы получены следующие научные результаты.

1. Проведен обзор известных подходов к линейной фильтрации сигналов в условиях случайной дискретизации, выявлены их недостатки и ограничения при применении. Определена наиболее перспективная постановка задачи исследования методов фильтрации при случайной дискретизации.

2. Получены уравнения (2.52), (2.54) - (2.56), (2.58), (2.76) и (2.85) описывающие оптимальный аналоговый фильтр Калмана в условиях случайной пуассоновской дискретизации. Показано, что с точностью до значений элементов матрицы усиления такое описание подобно описанию фильтра Калмана для непрерывного случая.

3. Разработана гибридная методика получения аналитического выражения для оптимального стационарного фильтра Калмана при дискретном варианте фильтрации, сущность которой сводится к определению ординат оптимальной весовой функции и нахождению неизвестных матриц в описании ЦФ в форме фильтра Калмана путем решения системы нелинейных уравнений.

4. С использованием метода стохастической аппроксимации и принципов имитационного моделирования разработаны алгоритмы определения оптимальных параметров стационарного фильтра Калмана с известной структурой для аналогового и дискретного вариантов фильтрации при различных моделях процессов случайной дискретизации, написаны программы реализующие данные алгоритмы.

5. Разработанный в диссертации метод оптимальной линейной фильтрации использован в алгоритмическом и программном обеспечении изделия МСРП - А - 01 в канале сбора информации, поступающей с датчика угловых перемещений, что позволило повысить точность оценок параметров угловых перемещений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Пучков, Андрей Юрьевич, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Крутько П.П. Статистическая динамика импульсных систем. М.: Сов. радио.1963.

2. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состоянй. М.: Наука. 1975.

3. Сейдж Э., Мелса Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М.: Связь. 1976.

4. Квакернак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир. 1977.

5. Виленкин С.Я. Статистическая обработка результатов исследования случайных функций. М.: Энергия. 1979.

6. Изерман Р. Цифровые системы управления. М.: Мир. 1984.

7. Артамонов Г.Т., Тюрин В.Д. Анализ информационно-управляющих систем со случайным интервалом квантования сигнала по времени. М.: Энергия. 1977.

8. Горелов Г.В. Нерегулярная дискретизация сигналов. М.: Радио и связь. 1982.

9. Артемьев В.М. , Ивановский A.B. Дискретные системы управления со случайным периодом квантования. М.: Энергоато-миздат. 1986.

10. Баранов Л.А. Квантование по уровню и временная дискретизация в цифровых системах управления. М.: Энергоатомиз-дат. 1990.

11. Прохоренкова А.Т. Разработка и исследование методов оптимальной линейной фильтрации в условиях случайной дискретизации сигналов. Дисс... канд. техн. наук. М.: Моск.

энерг. ин-т. 1993.

12. Круглов В.В. Фильтр Н. Винера в условиях случайной дискретизации сигналов // Вестник МЭИ. 1995. N2. С. 71-74.

13. Круглов В.В., Прохоренкова А.Т. Винеровская фильтрация в условиях случайной дискретизации // Изв. РАН - Теория и системы управления! 1995. N4. С. 47-57.

14. Круглов В.В. Теория амплитудно-импульсных систем со случайными интервалами квантования сигналов по времени. Дисс... докт. техн. наук. М.: Моск. энерг. ин-т. 1992.

15. Талонов В.А., Томсон Я.Я. Об оценке математического ожидания стационарного случайного процесса при неравномерной дискретизации // Алгоритмы обработки и средства автоматизации теплофизического эксперимента.Новосибирск, 1978. С. 20-29.

16. Билинский И.Я., Микелсон А.К. Стохастическая цифровая обработка непрерывных сигналов. Рига: Зинатне. 1983.

17. Кларк Дж., Кейн Дж. Кодирование с исправлением ошибок в системах цифровой связи. М.: Радио и связь . 1987.

18. Мадорский Л.С. Устойчивость импульсных систем со случайным периодом //Изв.вузов - Приборостроение .1978. N1. С.38-43.

19. Круг Г.К., Круглов В.В., Прохоренкова А.Т. Обработка сигналов при их случайной дискретизации. М.: Деп. в ВИНИТИ. N 4032-В90. 1990.

20. Кокс Д., Смит В. Теория восстановления. М.: Сов.радио. 1967.

21. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн.2. М.: Сов. радио. 1968.

22, Ивченко Г.В.} Каштанов В,А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания, М,г Высш. школа, 1932,

23, Справочник по теории вероятностей и математической статистике /B.C. Кородюк, Н.И. Портенко, А,В, Скороход, А.Ф. Турбин, М,; Наука. 1985,

24, Вентцель Е,С,, Овчаров Л,А, Теория вероятностей и ее инженерные приложения, М,: Наука. 1988.

25, Гнеденко Б,В, Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1988.

26, Новиков O.A. , Петухов С.И. Прикладные вопросы теории массового обслуживания, М.: Сов.радио. 1969,

27, Круглов В,В, Многоканальные системы прямого цифрового управления, М,: Моек, энерг, нн-т. 1989,

28, Григилионис Б,И, 0 сходимости сумм ступенчатых случайных процессов к пуаоооновокому // Теория вероятностей и

ее применения, 1963, N2, С, 189-194,

29, Дли М.И. Исследование методов обработки данных в условиях случайной дискретизации сигналов, Диоо,., канд, техн, наук, М,: Моек, энерг, ин-т, 1994,

30, Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М.: Физ-матгиз, 1963,

31, Тихонов В.И,} Харисов В,Н, Статистический анализ и синтез радиотехнических систем и устройств, М,: Радио и связь. 1991,

32, Беоекерский В,А,, Попов Е.П. Теория систем автоматического управления, М,: Наука, 1972.

33, Ивалзенко H.H. Автоматическое регулирование, Теория и элементы систем, М.: Машиностроение. 1973,

34. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. М.: Машиностроение. 1986.

35. Бесекерский В.А., Изранцев В.В. Системы автоматического управления с микро-ЭВМ. М.: Наука. 1987.

36. Левин Б.Р., Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления. М.: Радио и связь. 1985.

37. Kailalh Т. A View of Three Decades of Linear Filtering Theory // IEEE Trans. Infor. Theory. 1974. IT-20. March. P. 146-181.

38. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир. 1975.

39. Zadeh L.A., Ragazzini J.R. An Extention of Wiener's Theory of Prediction // J. Appl. Phys.Applied Physics. 1950. V. 21. July. P. 645-655.

40. Booton R. An Optimization Theory for Time-varying Linear Systems with Nonstationary statistical Inputs // Proc. IRE. 1952. V-40. P. 977-981.

41. Zadeh L.A., Ragazzini J.R. Optimum Filters for the Detection of Signals in Noise // Proc.IRE. 1952. V.40. P. 1223-1231.

42. Kalman R.E. A New Approach to Linear Filtering and Predictions Problems // J.Basic.Eng. 1960. March. P. 34-35.

43. Kalman R.E. New Methods of Wiener Filtering Theory // Proceedings First Symposium Eng. Appl. of Random Function Theori and Probability. N.Y. 1963.

44. Kalman R.E., Bucy R.S. New Results in Linear Filtering and Prediction Theory // J. Basic. Eng. 1961. December. P. 95-107.

45. Schneewelss W.G. Zufallsprozesse in dinainischen Systemen. Springer Verlag. 1974.

46. Гроп Д. Методы идентификации систем . М.: Мир. 1979.

47. Hansler Е. Grunlagen der Tehorie statistisher Signale. Springer Verlag. 1983.

48. Фельдбаум A.A., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука. 1971.

49. Теоретические основы связи и управления /А.А. Фельдбаум, А.Д. Дудыкин, А.П. Мановцев, Н.Н. Миролюбов. М.: Физмат-гиз. 1963.

50. Leneman O.A.Z. Sampling in randow processes:stepwise processes // Third Congress of the International Federation of Automatic Control. London. 1966. P. 301-307.

51. Leneman 0., Beutler F. The theory of stationary point process // Acta Math. 1966. V. 116. P. 159-196.

52. Leneman 0. Random sampling of random processes:optimum linear interpolation // J. of the Franklin Institute. 1966. V.281. N4. P. 302-314.

53. Leneman 0. Random sampling of random processes:meansqua-re behavior of a first order closed - loop system // IEEE Trans. Autom. Contr. 1968. V. AC-13. P. 429-432.

54. Leneman 0. A note on the mean-square behaviour of a first order random sampling system // IEEE Trans.Autom. Contr. 1968. V.AC-13. P. 450-451.

55. Beutler F., Leneman 0. Random sampling of random processes: stationary point processes // Inform, and Contr. 1966. N9. P. 325-346.

56. Leneman 0., Lewis J. Random Sampling of Random Proces-

ses: Mean-Square Comparison of Various Interpolators // IEEE Translations on Automatic Control. 1966. V. C-ll. N3. P. 396-403.

57. Leneman 0., Lewis J. A note on reconstruction for randomly sampled data // IEEE Trans. Autom. Contr. 1966. V. AC-11. N3. P. 626.

58. Leneman 0., Lewis J. On "mean- square reconstruction error" // IEEE Trans. Autom. Contr. 1966. V. AC-11. N2. P. 324-325.

59. Теория автоматического управления. 4.2 / Н.А.Бабков, А.А.Воронов, А.А.Воронова и др.; Под ред. А.А.Воронова. М.: Высш. шк. 1986.

60. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / Под ред. К.Т.Леондеса - М.: Мир. 1980.

61. Approximate Kalman filtering1/ Editor G. Chen. University of Houston, Texas, USA, 1993.

62. Chui C.K., Chen G. Kalman filtering with real-time applications. USA, New York: Springer - Verlag, 1995.

63. Chang S.S.L. Optimum Filtering and Control of Randomly Systems. // IEEE Trans. Autom. Contr. 1967. V.AC-12, N5. P. 537-546.

64. Явойш И.Ю. Статистическая оптимизация систем управления со случайной дискретностью в заряжающих манипуляторах ЗРК ближнего действия. Дисс... канд. техн. наук. Минск: Минское Высшее военное инженерное училище. 1993.

65. Круглов В.В., Пучков А.Ю. Оптимальная линейная фильтрация в условиях случайной дискретизации сигналов.- М.: Деп. ВИНИТИ 24.11.94. N 2685-1394.

66. Круглов В.В., Пучков А.Ю. Уравнение для характеристики оптимального фильтра в дискретном аналоге винеровской фильтрации при случайной дискретизации сигналов // Сб. науч. трудов / Смоленский филиал МЭИ - 1995.- Вып. 8. -С. 131-134.

67. Круг лов В. В., Пучков А.Ю. Дискретный фильтр Калмана при случайной дискретизации сигналов // Научн.-практич. конф. посвященная 35-летию СФ МЭИ: тез. докл. - Смоленск, 1996. - С. 91-92.

68. Круглов В.В, Пучков А.Ю. Алгоритм определения параметров дискретного фильтра Калмана при случайной дискретизации сигналов // Сб.науч. трудов "Устройства и системы автоматического управления ". / Смоленский филиал МЭИ -1996. С. 24-27.

69. Основы управления технологическими процессами / Под ред. Н.С. Райбмана. М.: Наука. 1978.

70. Толчеев О.В., Ягодкина Т.В. Методы идентификации одномерных линейных динамических систем. М.: Издательство МЭИ. 1997.

71. Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Энер-гоатомиздат. 1987.

72. Вазан М. Стохастическая аппроксимация. М.: Мир, 1972.

73. Сейдж Э.П., Мелса Дж. Идентификация систем управления. М.: Наука. 1974.

74. Холл Д., Уатт Д. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1979.

75. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука. 1987.

76. Теория автоматического управления. 4.1. / H.A. Бабков, A.A. Воронов, A.A. Воронова и др.; Под ред.А.А. Воронова. М.: Высш. шк. 1986.

77. Круглов В.В, Зубов В.А. Анализ устойчивости нелинейных систем регулирования со случайным квантованием по времени методом функций'Ляпунова. М.: Деп.ВИНИТИ. N 1078-В87.

78. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. М.: Радио и связь, 1983.

79. Ковалев A.M., Круглов В.В., Пучков Ю.И. Применение метода Монте-Карло в инженерных исследованиях. М.: Моек . энерг. ин-т. 1984.

80. Пучков А.Ю. Применение метода стохастической аппроксимации для нахождения оптимальных параметров фильтра Калма-на в условиях случайной дискретизации сигналов // Сб. научн. трудов / Смоленский филиал МЭИ - 1997. - Вып. 10. - С.139-142.

81. Пучков А.Ю. Стохастическая аппроксимация в задаче калма-новской фильтрации при случайной дискретизации сигналов // Сб. статей "Современные проблемы исследований в энергетике, информатике и управлении". /Смоленский филиал МЭИ - 1998.- С. 128-132.

82. Пучков А.Ю. Оптимальный фильтр Калмана при случайной дискретизации сигналов // 1-я городская научно-практическая конф. молодых ученых и студентов г. Смоленска.

Тез. докл. - Смоленск. - 1998.- С. 20-21.

83. Пучков А.Ю. Выбор величины пробного шага в методе стохастической аппроксимации при определении параметров фильтра Калмана в условиях случайной дискретизации сиг-

налов // 1-я городская науч.-практич. конф. молодых ученых и студентов г. Смоленска. Тез. докл. - Смоленск.-1998.- С. 16-17.

84. Теория импульсных систем со случайной дискретизацией /

B.В. Круглов, М.И. Дли, А.Ю. Пучков, С.Р. Кривко. Отчет (заключит., 1) по' г/б НИР N 1465930. ГР N 02950000408. М.: Моск. энерг. ин-т, 1994. 88 с.

85. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. М.: Энергоатотмиздат. 1987.

86. Иваненко А.П., Сенилов Г.Н., Селезнев Н.А., Шабсин И.Я. Автоматическое, приборное и высотное оборудование летательных аппаратов. М.: Министерство обороны СССР. 1971.

87. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С. Оптимальное управление системами. М.: Радио и связь. 1982.

88. Friedland В. Estimating Angular Velocity From Output of Rate-Integrating Giro // IEEE Trans. On Aerospase and Electronic System. 1975. Vol. AES-11. N4 p. 551-554.

89. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. Ортогональные методы. М.: Наука. 1984.

90. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. М.: Наука. 1982.

91. Круглов В.В. Спектральная плотность сигналов, дискрети-зированных в случайные моменты времени// Сб. науч. трудов" Системы автоматизации и управления технологическими объектами"/ Смоленский филиал МЭИ - Вып. 5. - 1993. -

C.103-110.

92. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. М.: Мир, 1982.

93. Цыпкин Я.З. Адаптация, обучение и самообучение в автома-

тических системах. // Автоматика и телемеханика. N1. 1966.- С.23-61.

94. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Высш. шк. 1989.