Динамические и топологические солитоны О(3) векторной нелинейной сигма-модели тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Шокиров, Фарход Шамсидинович

• Шокиров, Фарход Шамсидинович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шокиров, Фарход Шамсидинович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Нелинейные модели уравнений математической физики и численный эксперимент.

§ 1. Нелинейные уравнения математической физики, обладающие солитонными решениями.

§ 2. Математическое моделирование в террии солитонов.

§ 3. 0(3) векторная нелинейная сигма-модель.

§ 4. Разностные схемы для численного моделирования.

ГЛАВА II. Численное моделирование солитонов одномерной

О(З) векторной нелинейной сигма-модели.

§ 1. Численная схема.

§ 2. Моделирование тестовых упражнений.

§ 3. Численное решение бризерного типа с вращением вектора АЗ-поля в изопространстве.

§ 4. Динамика взаимодействий.

ГЛАВА III. Топологические решения двумерной

О(З) векторной нелинейной сигма-модели.

§ 1. Топологические солитоны.

§ 2. Динамические топологические солитоны в изотропной модели.

§ 3. Динамические топологические солитоны в анизотропной модели.

ГЛАВА IV. Динамика взаимодействия топологических солитонов двумерной О(З) векторной нелинейной сигма-модели.

§ 1. Столкновение топологических солитонов.

§ 2. Эффект дальнодействия.

§ 3. Свойства взаимного притяжения и отталкивания.

§ 4. Распад солитонов при взаимодействии.

§ 5. Взаимодействие топологических солитонов с разной динамикой изоспиновой структуры.

ГЛАВА V. Бризерные решения двумерной 0(3) векторной нелинейной сигма-модели.

§ 1. Двумерные бризеры нелинейных эволюционных уравнений

§ 2. Новые двумерные бризерные решения О(З) векторной нелинейной сигма-модели.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамические и топологические солитоны О(3) векторной нелинейной сигма-модели»

Актуальность темы. Интенсивное развитие теории нелинейных явлений и синергетики, появление мощных аналитических методов решения нелинейных эволюционных уравнений, таких как метод обратной задачи рассеяния, алгебро-геометрические методы интегрирования и др., тем не менее, однако оставляют за математическим моделированием и вычислительным экспериментом основную роль в качестве инструмента исследования широкого круга нелинейных явлений. Именно численное моделирование остается, при отсутствии надежных аналитических методов, практически основным инструментом исследования поведения сложных комплексных нелинейных диссипативных систем, формирования когерентных структур в самоорганизующихся системах и динамики их взаимодействий.

Векторные нелинейные сигма-модели (ВНСМ), впервые предложенные Гелл-Манном и Леви [1] в теории поля, находят широкое применение в различных областях теории конденсированного состояния [2], в частности, при описании антиферромагнитных систем, квантового эффекта Хол

•з ла, сверхтекучего гелия — 3 ( Не), сверхпроводимости (двумерные топологические солитоны).

Начиная с пионерских работ Т. Скирма (Т.Н.Я. Б купле) [3], в которых топологические солитоны (3+1)-мерной киральной модели были использованы для описания ядерной материи, начинают свое развитие непертурба-тивные квантовые теории поля, являющиеся альтернативными по отношению к хиггсовской Стандартной модели. Некоторые свойства известных в настоящее время частиц, имеющих составную структуру, описываются, в том числе теорией связанных состояний, природа образования которых определяется непертурбативными эффектами (например, в моделях, основанных на использовании динамических уравнений Бете-Солпитера, Там-ма-Данкоффа, в модели бэби-скирмиона [4] и др.). Таким образом, найденные в работе новые связанные состояния, описываемые бризерными решениями, представляют значительный интерес в теории элементарных частиц, в частности, в физике адронов.

По всей видимости, скирмионы, бризеры и топологические солитоны, используемые в непертурбативной теории поля, являются частными случаями более общих видов возбуждений, которые описываются теорией струн (или суперструн). Именно эти возбуждения описывают элементарные частицы, в частности адроны. Теория суперструн и супермембран в настоящее время является бурно развивающейся областью науки, и пока полная теория не построена. Известно, что в теории струн элементарные частицы представляют собой достаточно сложные объекты, описываемые в 11-мерном пространстве-времени, и именно эта теория является претендентом на более общую теорию за пределами Стандартной модели.

Как отмечено в работах A.M. Полякова [5], имеется глубоко кореня-щая аналогия между четырехмерными теориями Янга-Миллса и двумерными SU(N) ВНСМ, и последние, являясь более простыми, могут служить в качестве модельного представления уравнений Янга-Миллса, т.е. быть своеобразной теоретической лабораторией для апробации методов моделирования непертурбативных теорий поля.

Таким образом, ВНСМ находят широкие приложения, как в физике конденсированного состояния, так и в теории поля, и их исследования носят мультидисциплинарный характер. Целью работы являются:

1. Математическое моделирование динамических и топологических со-литонов О(З) векторной нелинейной сигма-модели теории поля численными методами.

2. Нахождение новых численных бризерных решений одно- и двумерной 0(3) векторной нелинейной сигма-модели, обладающих динамикой вращения вектора АЗ-поля в изоспиновом пространстве, установление области их устойчивости в зависимости от параметров решения и исследование динамики их взаимодействий.

3. Численное моделирование топологических возбуждений с нетривиальным индексом Хопфа в двумерной О(З) векторной нелинейной сигма-модели и исследование динамики их взаимодействий. Методика исследований. В работе использованы основные принципы теории разностных схем, с привлечением стереографической проекции и учетом теоретико-групповых особенностей конструкции класса О(14) ВНСМ теории поля. Разработаны алгоритмы и созданы компьютерные коды для численного моделирования О(З) ВНСМ, а также анализа и визуализации.

Научная новизна работы состоит в том, что впервые: Разработан алгоритм, который позволяют избежать сингулярности при проведении численных исследований локализованных возбуждений нелинейных теоретико-полевых моделей, в частности О(З) ВНСМ.

Получены новые бризерные решения анизотропной О(З) ВНСМ в одномерном случае, обладающие динамикой внутренней степени свободы в изопространстве. Определена энергия связи для составляющих бризерного решения. Выявлен порог устойчивости численных бризерных решений в зависимости от частоты вращения со вектора АЗ-поля в изопространстве и от скорости движения солитона V .

Проведено численное моделирование динамики взаимодействия бри-зеров 0(3) ВНСМ в одномерном случае. Установлено, что столкновение бризеров О(З) ВНСМ в отличие от бризеров уравнения БШ-Гордона (СГ) носит неупругий характер.

Численными методами получены новые движущиеся топологические солитоны двумерной О(З) ВНСМ с различными значениями топологического заряда (индекса Хопфа) в изотропном и анизотропном случаях. Аналитически и численно показана устойчивость данных топологических со-литонов.

Получены численные модели динамики взаимодействия топологических солитонов двумерной О(З) ВНСМ в анизотропном случае, исследованы основные свойства данных моделей.

В частности, получены дальнодействующие модели динамики упругого взаимодействия топологических солитонов двумерной анизотропной О(З) ВНСМ. Численно исследована изоспиновая динамика данных солитонов, выведен аналитический вид системы взаимодействующих топологических солитонов, проявляющих свойства дальнодействия.

Получены численные модели процесса распада топологических солитонов двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ на локализованные возмущения вследствие их взаимодействия. Численно показано сохранение суммы топологического заряда взаимодействующих солитонов после их распада на локализованные возмущения (JIB), предложен численный метод определения топологического заряда локализованных возмущений.

В качестве общей закономерности установлено, что столкновение топологических солитонов двумерной анизотропной О(З) ВНСМ, сопровождающееся их распадом (вплоть до полного разрушения), происходит с дискретными потерями топологического заряда (ТЗ) по одной единице, и, соответственно, потери энергии топологическим солитоном (ТС) также носят периодический характер.

Получены численно новые бризерные решения двумерной анизотропной О(З) ВНСМ, обладающие динамикой внутренней степени свободы и динамикой вращения в изотопическом пространстве.

Практическая значимость.

Исследование магнитно-упорядоченных структур имеет непреходящее значение с точки зрения их использования в различных областях микро- и нано- электроники, в том числе, в качестве элементов памяти. В настоящее время хорошо установлены нелинейные уравнения динамики намагниченности - это уравнение Ландау-Лифшица и ВНСМ. Создание пакета компьютерных программ для моделирования процессов в системах, описываемых подобными уравнениями, наталкивается на ряд принципиальных проблем, таких как появление сингулярностей на полюсах изосфе-ры и т.д. Разработанные в работе алгоритмы позволяют осуществить численное моделирование процессов динамики намагниченности в магнитных системах при наличии внешних управляющих факторов и могут найти применение при создании запоминающих устройств.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации представлены и докладывались на международных научных конференциях, школах и семинарах: Международная школа молодых ученых стран СНГ «Смежные проблемы физики и астрофизики частиц сверхвысоких энергий» (Душанбе, 2011); 8-я Международная конференция по компьютерному анализу проблем науки и технологии (Душанбе, ТНУ, 2011); Международная научная конференция «Современные проблемы математики и, ее приложения», посвященная 70-летию члена-корреспондента АН Республики Таджикистан Мухамадиева Э.М. (Душанбе, 2011); научный семинар - Института математики АН РТ (Душанбе, 2011); научный семинар «Актуальные задачи и первые результаты деятельности Международного научно-исследовательского центра Памир-Чакалтая» (Душанбе, АН РТ, 2011); 6-я Международная научно-техническая конференция «Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта» (Вологда, ВоГТУ, 2011); Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения — XXII» Современные методы теории краевых задач (Воронеж, ВГУ, 2011); Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, ВГУ, 2011); Международная молодёжная инновационная сессия

СНГ (Москва, 2010); Стажировка молодых учёных стран СНГ (ОИЯИ Дубна, 2010); Международная научная конференция «Современные проблемы физики» (Душанбе, АН РТ 2010); Международная научно-техническая конференция «Автоматизация и энергосбережение машиностроительного и металлургического производства, технология и надежность машин, приборов и оборудования» (Вологда, ВоГТУ, 2010), Международная научно-практическая конференция «Перспективы междисциплинарных высокогорных исследований природных систем с учетом астро-космических факторов» (Душанбе, АН РТ, 2010); Форум «Digital Youth of Central Asia» (Душанбе, 2009-2010); а также на семинарах Физико-технического института им. С.У. Умарова АН Республики Таджикистан (Душанбе, 2009-2011) и семинарах кафедры «Высшей математики и моделирования» Таджикского государственного университета права, бизнеса и политики (Худжанд, 2008-2009).

За созданные пакеты прикладных программ для моделирования нелинейных возбуждений в 0(3) ВНСМ автор был удостоен Диплома лауреата «Открытого конкурса молодёжных инновационных проектов в области гуманитарных, естественных и технических наук в государствах - участниках СНГ» (Москва, 8-10 декабря 2010 г.) и Сертификата об успешном прохождении предварительной экспертизы на базе ОАО Технопарк «Система-Саров» (Москва, 2010 г.).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 16 печатных работах, в том числе 4 в рецензируемых изданиях, также получены 5 Свидетельств о регистрации интеллектуального продукта в Государственном учреждении «Национальный патентно-информационный центр» Министерства экономического развития и торговли Республики Таджикистан.

Личный вклад соискателя.

Все представленные в диссертации результаты получены при непосредственном участии автора. В частности, разработка алгоритма моделирования эволюции локализованных решений уравнений теоретико-полевых моделей, общая постановка задач, физическая интерпретация, анализ точности и достоверности полученных результатов проводились диссертантом совместно с научным руководителем. Оптимизация алгоритма для случаев одномерной и двумерной О(З) ВНСМ: создания моделей эволюции движущихся локализованных одномерных бризерных и двумерных топологических решений, динамики их взаимодействий, процессов распада, визуализация и анализ изоспиновой динамики двумерных солитонных решений, а также все численные расчеты проведены автором самостоятельно.

Степень достоверности результатов.

Достоверность результатов основана на сходимости численной схемы для линейной задачи, а также на совпадении полученных расчетных данных тестовых задач с результатами других авторов в нелинейном случае. Во всех численных расчетах эволюционных задач велся контроль точности сохранения интегралов движения. В частности, относительные погрешности сохранения интеграла энергии не превышала ~ 10-5 -10-6 для одномерных моделей и « 1(Г3 - Ю-4 для двумерных моделей.

Реализация результатов исследования.

Разработанный в диссертационной работе комплекс прикладных программ для проведения математического моделирования нелинейных возбуждений в двумерных магнитных системах был признан лучшим (выдан Диплом [142] победителя конкурса) в этой области на конкурсе инновационных проектов СИГ в 2010 году, независимой российской экспертной комиссией — Федеральным государственным учреждением «Научно-исследовательский институт — республиканский исследовательский научно-консультационный центр экспертизы» (РИНКЦЭ) на базе Федерального реестра независимых экспертов научно-технической сферы. Разработанные программы были оценены с точки зрения возможности создания приборов и устройств обработки и хранения информации, отличающихся чрезвычайно высокой плотностью и скоростью обработки данных.

Методика исследования, теоретический и численный подход, реализованный в работе, успешно прошли предварительную экспертизу на базе ОАО Технопарк «Система-Саров» Российской Федерации в Москве 2010 году, с выдачей соответствующего Сертификата [141], а также приглашения в данный Технопарк для продолжения исследований в области проблем осуществления квантовых вычислений на основе многоуровневых квантовых элементов с применением теории обобщенных когерентных состояний.

Структура и объём диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка использованной литературы. Работа изложена на 141 страницах машинописного текста, содержит 76 рисунков. Список литературы включает 142 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Шокиров, Фарход Шамсидинович

Основные результаты диссертации опубликованы в печатных работах [81-86,110-112,119-124,135]; разработанные в диссертационной работе комплексы прикладных программ защищены Свидетельствами о регистрации интеллектуального продукта [136-140], а также отмечены Сертификатом [141] и Дипломом [142].

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Х.Х. Муминову за постоянную помощь и оказанное внимание к работе. Также автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность академику З.Дж. Усманову, профессорам З.Х. Рахмонову, И.Дж. Нурову, Т.Х. Салихову и М.К. Юнусову, доцентам И.Б. Бабаджанову и H.H. Степановой, коллективам Физико-технического института им. С.У. Умарова и Института математики АН Республики Таджикистан за внимательное обсуждение работы и ценные советы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработаны трехслойные разностные схемы второго порядка точности по времени и по координате для численного решения задачи Коши теоретико-полевых уравнений, в частности О(З) ВНСМ в одномерном и двумерном случаях, с использованием свойств стереографической проекции, позволяющие избежать сингулярности при численном моделировании.

2. Разработаны алгоритмы компьютерных программ и написаны программные коды, которые позволяют проводить численное моделирование эволюции локализованных решений теоретико-полевых моделей, в частности одномерной и двумерной О(З) ВНСМ.

3. Численными методами получены новые бризерные решения одномерной 0(3) ВНСМ, обладающие динамикой степени свободы составляющих бризера и вращением вектора АЗ-поля в изопространстве. Определена энергия связи составляющих бризерного решения, выявлен порог устойчивости численных бризерных решений в зависимости от частоты вращения вектора АЗ-поля в изопространстве и от скорости движения солитона, созданы численные модели эволюции различных видов взаимодействий полученных бризеров и проведен анализ динамики их взаимодействий.

4. Численными и аналитическими методами показана устойчивость ТС двумерной 0(3) ВНСМ.

5. Численными методами получены новые движущиеся ТС двумерной О(З) ВНСМ белавин-поляковского типа и показана их устойчивость в численных экспериментах в процессе эволюции при различных значениях ТЗ. В анизотропном случае изучена динамика упругого двухсолитонного и четырехсолитонного взаимодействий; численно выявлено свойство сохранение суммы ТЗ после распада взаимодействующих ТС на JIB; предложен численный метод определения ТЗ образовавшихся JIB вследствие распада ТС; получены модели динамики упругого взаимодействия ТС, отличающиеся от известных проявлением дальнодействующих сил; выявлен аналитический вид ТС, проявляющих свойство дальнодействия при встречном взаимодействии; численно показано свойство периодического излучения энергии в виде линейных волн, сопровождающееся дискретной потерей солитоном топологического заряда в процессе разрушения (аннигиляции) взаимодействующих ТС двумерной анизотропной О(З) ВНСМ.

6. Методами численного моделирования получены новые бризерные решения двумерной анизотропной О(З) ВНСМ, обладающие динамикой внутренней степени свободы и вращением вектора АЗ-поля в изопространстве.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шокиров, Фарход Шамсидинович, 2011 год

1. Gell-Mann М., Levy М. The axial vector current in beta decay // Nuovo Cimento 16 (1960) 705-726.

2. Косевич A.M., Иванов Б.А., А.С.Ковалёв. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. — Киев: Наукова думка, 1983, 193с.

3. Skyrme T.H.R. A Non-Linear Field Theory. — London: Proceedings of the Royal Society Mathematical and Physical Sciences, Series A, (Feb. 7, 1961), Vol. 206, No. 1300, 127-138.

4. Kudryavtsev A., Piette В., Zakrjewsky W.J. Mesons, Baryons and Waves in the Baby Skyrmion Model. England, Durham: DH1 3LE - arXiv:hep-th/9611217vl, 26 NOV 1996, DTP-96/17.

5. Поляков A.M. Калибровочные поля и струны. — Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999, 312с.

6. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971,553 с.

7. Xin J.X. Modeling light bullets with the two-dimensional sine-Gordon equation // Physica D 135 (2000) 345-368.

8. Piette В., Zakrjewsky W.J. Metastable stationary solutions of the radial D-dimensional sine-Gordon model // Nonlinearity 11 (1998) 1103-1110.

9. Minzoni A.A., Smyth N.F., Worthy A.L. Evolution of two-dimensional standing and travelling breather solutions for the Sine-Gordon equation // Phys. D 189 (2004) 167-187.

10. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977, 622 с.

11. Лонгрен К., Скотт Э. Солитоны в действии. — М.: Мир, 1981, 312 с.

12. Маханьков В.Г. Солитоны и численный эксперимент // ФЭЧАЯ, 1983, т.14, вып.1, с.123-180.

13. Е.М. de Jager. On the Origin of the Korteweg-de Vries Equation // arXiv:math/0602661vl math.HO. 28 Feb 2006.

14. Додд Р., Эйлбек Д., Гиббон Д., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. -М.: Мир; 1988 г, 694с.

15. Кудряшов H.A. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. — Москва-Ижевск: ИКИ, 2004, 360 с.

16. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М.: Физматлит, 2002,432 с.

17. Рыскин Н.М., Трубецков Д.М. Нелинейные волны М.: Наука, 2000, 272 с.

18. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М.: Физматлит, 2001, 608 с.

19. Fermi Е., Pasta J., Ulam S. Studies of Nonlinear Problems // Document LA-1940 (May 1955), 491-502.

20. Маханьков В.Г., Рыбаков Ю.П., Санюк В.И. Модель Скирма и сильные взаимодействия // УФН, т. 162, №2, 1992, 1-61.

21. Кетов C.B. Введение в квантовую теорию струн и суперструн. — Новосибирск: Наука, 1990, 368 с.

22. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989, 324 с.

23. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи рассеяния. — М.: Мир, 1987, 480 с.

24. Дубровский В.Г. Элементарное введение в метод обратной задачи и теорию солитонов. Новосибирск: НГТУ, 1997, 88 с.

25. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи М.: Наука, 1980, 319 с.

26. Переломов A.M. Решения типа инстантонов в киральных моделях // УФН, т. 134, вып. 4, 1981, с. 577-609.

27. Зотов A.B. Классические интегрируемые системы и их теоретико-полевые обобщения // ФЭЧАЯ, 2006, т.37, вып.З, с. 758-843.

28. Рыбников A.K. Теория связностей, преобразования Коула-Хопфа и потенциалы дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка//Известия вузов, №9 (544), 2007, с. 50-70.

29. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. — М.: Физматлит, 2001, 320 с.

30. Коткин Г.Л., Черкасский B.C. Компьютерное моделирование физических процессов с использованием MATLAB. — Новосибирск: НГУ, 2001, 173 с.

31. Пайерлс Р. Построение физических моделей // УФН, т. 140, вып. 2, 1983 г., стр. 315-332.

32. Самарский A.A. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1977, 657 с.

33. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1977, 592 с.

34. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989, 432 с.

35. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Устойчивость трехслойных проек-ционно-разностных схем // Математическое моделирование, т.8, № 9, с. 74-84.

36. Гулин A.B. Необходимые и достаточные условия устойчивости трехслойных разностных схем //ЖВМ и МФ, 1968, т.8,№4, с. 899-902.

37. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М.: Мир, 1972, 420 с.

38. Сегерлинд J1. Применение метода конечных элементов. Под ред. Победри Б.Е. М.: Мир, 1979, 393 с.

39. Шеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1978, 462 с.

40. Боголюбский И.Л., Маханьков В.Г. О времени жизни пульсирующих солитонов в некоторых классических моделях // ЖЭТФ, 1976, том 24, вып. 1, с. 15-18.

41. Боголюбский И.Л., Маханьков В.Г. Динамика сферически-симметричных пульсонов большой амплитуды // ЖЭТФ, 1977, том 25, вып. 2, с.120-123.

42. Катышев Ю.В., Маханьков В.Г. О свойствах классических солитонов в некоторых моделях теории поля // Труды Международного совещания по программированию и математическим методам решения физических задач. ОИЯИ Дубна, 1977 г., с. 38-42.

43. Bogolyubsky I.L., Zhidkov Е.Р., Katyshev Yu.V., Makhankov V.G., Rastorguev A.A. Relativistic Soliton Stability in a Classical (p4 Field Theory // ЛЖ-Р2-9673. Apr 1976, 21 pp.

44. Боголюбский И.Л. Осциллирующие частицеподобные решения нелинейного уравнения Клейна-Гордона // Письма в ЖЭТФ. 1976. Т.24, вып. 10, с. 579-583.

45. Боголюбский И.Л. Сравнительный анализ устойчивости одномерных и сферически-симметричных солитонов скалярного поля с самодействие J^ // ТМФ 43, 1980, с. 378-385.

46. Bogolubskaya А.А., Bogolubsky I.L. 2D Topological solitons in the gauged easy-axis Heisenberg antiferromagnet model // Phys.Lett. B395 (1967) 269.

47. Bogolubsky I.L. Three-dimensional Topological solitons in the Lattice model of a magnet with competing interactions // Phys. Lett A126 (1988) 511-514.

48. Muminov Kh.Kh., Fedyanin V.K. Magnetoelastic Interaction in the Heisenberg Magnet Model // Phys. Scrip., vol. 62, 23-30, 2000.

49. Николаев В.А. Модель Скирма: нуклоны, дибарионы, ядра // ФЭЧАЯ, т. 20, вып. 2, 1989, 401-439.

50. Маханьков В.Г., Швачка А.Б. Численное исследование свойства неодномерных солитоноподобных объектов // Труды Международного совещания по проблемам математического моделирования в ядерно-физических исследованиях. — ОИЯИ Дубна, 1981, с. 94-102.

51. Ковалев A.C., Косевич A.M., Маслов К.В. Магнитный вихрь — топологический солитон в ферромагнетике с анизотропией типа легкая ось // Письма в ЖЭТФ, т. 30, вып. 6, 1979, с. 321-324.

52. Воронов В.П., Косевич A.M. Двумерные солитоны-магнитные вихри в одноосном антиферромагнетике // ЖЭТФ, 90, (1986), с. 2145-2151.

53. Косевич A.M., Ковалев A.C. Самолокализация колебаний в одномерной ангармонической цепочке //ЖЭТФ 67, (1974), с. 1793-1804.

54. Kosevich A.M., Ivanov В.А. Kovalev A.S. Magnetic solitons // Phys. Rep. v. 194 117, 1990.

55. Иванов Б.А. Стабильные топологические солитоны (вихри) в двумерных антиферромагнетиках во внешнем поле // Письма в ЖЭТФ, т. 58, вып. 5, 1993, с. 381-384.

56. Иванов Б.А., Стефанович В.А. О двумерных топологических солито-нах малого радиуса в магнитных солитонах // ЖЭТФ, 91 (1986), с. 638-648

57. Жмудский A.A., Иванов Б.А. О структуре и устойчивости двумерных динамических солитонов в ферромагнетиках // Письма в ЖЭТФ, т. 65, вып. 12, 1997, с. 899-903.

58. Рыбаков Ю.П., Фомин М.Б. Моделирование взаимодействия топологических солитонов // Вестник РУДН, С. Физика, №12,2004, с. 41-49.

59. Рыбаков Ю.П., Бенавенте Э.Р. Аксиально-симметричные конфигурации в калибровочной модели Скирма // Вестник РУДН, С. Физика, №9, вып. 1,2001, с. 17-19.

60. Рыбаков Ю.П. Космические киральные вихри // ФЭЧАЯ, т. 41, вып. 1, 1980, с. 181-196.

61. Кожевников И.Р., Рыбаков Ю.П., Фомин М.Б. Структура топологических солитонов в модели Скирма//ТМФ, т.75, №3,1988, с. 353-360.

62. Frishman Y., Lukierski J., Zakrzewski W.J. Quantum group a-models // arXiv:hep-th/9204086v 1 27 Apr 1992.

63. Kudryavtsev A., Piette В., Zakrjewsky W.J. Metastable Breather in the Baby Skyrmion Model // arXiv:hep-th/9611217vl, 1996, DTP-96/17.

64. Kudryavtsev A., Piette B.M.A.G., Zakrjewsky W.J. Skyrmions and domain walls in (2+1) dimensions // arXiv:hep-th/9709187vl 26 Sep 1997, DTP-97/25 February 1, 2008.

65. Piette B.M.A.G., Schroers B.J., Zakrjewsky W.J. Dynamics of baby Skyrmion //Nuclear Physics В 439 (1995) 205-235.

66. Piette В., Zakrzewski W.J. Localized Solutions in a 2 Dimensional Landau-Lifshitz Model // arXiv:hep-th/9611183vl 22 Nov 1996, DTP-96/47, February 1, 2008.

67. Belov N.A., Leznov A.N. Zakrzewski W.J. On the solutions of the anisotropic Heisenberg equation //J. Phys. A: Math. Gen. 27 (1994) 5607-5621.

68. Белова Т.И., Кудрявцев A.E. Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля // УФН, т. 167, №4, 1997, с. 377-406.о ,

69. Burzlaff J., Zakrzewski W.J. CP soliton scattering: simulations and mathematical underpinning //Nonlinearity 9 (1996) 1317-1324.

70. Копелиович В.Б., Штерн Б.Е. Экзотические скирмионы // Письма в ЖЭТФ, т. 45, вып. 4, 1987, с. 165-168.

71. Smyth N.F., Worthy A.L. Soliton evolution and radiation loss for the sine-Gordon equation // Phys. Rev. E60 (1999) 2330-2336.

72. Minzoni A.A., Smyth N.F., Worthy A.L. Pulse evolution for a two-dimensional Sine-Gordon equation // Phys. D 159 (2001) 101-123.

73. Окли Д., Капитанский JI., Спейт Дж.М. Геометрия и анализ в нелинейных сигма-моделях // Алгебра и анализ, т.18, №1, 2006, с. 3-33.

74. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. Пер. с англ. М.: Мир, 1985, 416 с.

75. Петрашень М.И., Трифонов Е.Д. Применение теории групп в квантовой механике. М.: Эдиториал УРСС, 2000 г., 280 с.

76. Цвелик А.М. Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния. Пер. с англ. М.: Физматлит, 2004, 320 с.

77. Эриксон Т., Вайзе В. Пионы и ядра. Пер. с англ. под ред. Шапиро И.С. М.: Наука, 1991, 508 с.

78. Вигман П.Б. Точное решение О(З) нелинейной а-модели в двух измерениях // Письма в ЖЭТФ, т. 41, вып. 2, 1985, с. 79-83.

79. Иванов Г.Г. Симметрии, законы сохранения и точные решения в нелинейной сигма-модели // ТМФ, т. 57, №1, 1983, с. 45-54.

80. Муминов Х.Х., Чистяков Д.Ю. Новый тип бионных возбуждений в модели классического антиферромагнетика Гейзенберга // Докл. АН Республики Таджикистан, 2004, т. ХЬУП, №9-10, с. 45-50.

81. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Пороги устойчивости новых одномерных бризерных решений нелинейной сигма-модели теории поля // Докл. АН Республики Таджикистан, 2010, т.53, №8, с. 606 611.

82. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Динамика взаимодействий новых одномерных бризерных решений О(З) векторной нелинейной сигмамодели и бризеров уравнения синус-Гордона // Докл. АН Республики Таджикистан, 2011, т.54, №1, с. 35 -41.

83. Калиткин Н.Н. Численные методы. Под ред. Самарского А.А. М.: Наука, 1978,512 с.

84. Розенфельд Б.А., Сергеева Н. Д. Стереографическая проекция. Серия «Популярные лекции по математике», вып. 53. М.: Наука, 1973, 48 с.

85. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1986, 760 с.

86. Бабенко К.И. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. — М.: Наука, 1979, 296 с.

87. Болтянский В.Г., Дынкин Е.Б., Постникова М.М. Расслоенные пространства и их приложения.-М.: Иностранная литература, 1958, 460 с.

88. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1972, 279 с.

89. Сарданашвили Г.А. Геометрия и классическая механика. Современные методы теории поля. Т.2. — М.: УРСС, 1998 г., 168 с.

90. Бартеньев О.В. Современный Фортран,—М.: Диалог-Мифи, 2000, 449 с.

91. Skyrme T.H.R., Perring J.K. A Model Unified Field Equation // Nucl. Phys. 1962. V. 31. P. 550.

92. Моффатт К. Вихревая динамика: наследие Гельмгольца и Кельвина. // Нелинейная динамика, 2006, т. 2, №4, с. 401-410.

93. Skyrme T.H.R. Nonlinear Theory of Strong Interactions // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1958. V. 247, pp. 260-278.

94. Skyrme T.H.R. Particle states of a quantized meson field // Proc. Roy. Soc. Lond. A262 (1961) 237-245.

95. Finkelstein D., Misner C.W. Some new conservation laws // Annals of Physics 6, (1959) 230-243.

96. ЮО.Хейне В. Теория групп в квантовой механике. Под ред. В.Я. Файнберга. М.: Иностранная литература, 1963, 524 с.

97. Zhang P.M., Lee X.G. Topological objects in the О(З) nonlinear sigma model // Modern Physics Letters A, Vol. 22, No. 31 (2007) 2379-2386.

98. Евтихиев H.H. О некоторых характерных свойствах топологических солитонов // ТМФ, т. 45, №1, 1980, с. 142-144.

99. Борисов А.Б., Зыков С.А., Микушина Н.А., Москвин А.С. Вихри и магнитные структуры типа «мишени» в двумерном ферромагнетике с анизотропным обменным взаимодействием // Физика твердого тела, 2002 г., т. 44, вып. 2., с. 312-320.

100. Елеонский В.М., Кирова Н.Н., Кулагин Н.Е. О магнитных солитонах распространяющихся вдоль оси анизотропии // Письма в ЖЭТФ, т. 29, вып. 10, 1979, с. 601-605.

101. Ю5.Ребби К. Солитоны // УФН, т. 130, вып. 2, 1980 г., с. 329-356. Юб.Райдер JI. Квантовая теория поля. Волгоград: Издательство

102. Платон», 1998 г., 512 с. 107.Шварц А.С. Квантовая теория поля и топология. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1989, 400 с.

103. ЮБ.Муминов Х.Х. О существовании и устойчивости двумерных топологических солитонов в модели изотропного классического антиферромагнетика Гейзенберга // Докл. АН Республики Таджикистан, 2002 г, т. XLV, №10, с. 21-27.

104. Белавин A.A., Поляков A.M. Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетика//ЖЭТФ, 1975, 22(10), с. 503-506.

105. Ю.МуминовХ.Х., Шокиров Ф.Ш. Динамика взаимодействий двумерных топологических солитонов в 0(3) нелинейной векторной сигма-модели//Докл. АН Республики Таджикистан, 2010, т.53,№9, с. 679-684.

106. ПЗ.Муминов Х.Х. Многомерные динамические топологические солитоны в нелинейной анизотропной сигма-модели // Докл. АН Республики Таджикистан, т. XLV, №10, 2002 г., с. 28-36.

107. Derrick G.H. Comments on Nonlinear Wave Equations as Models for Elementary Particles//J. Math. Phys. 5 (1964), 1252-1254.

108. Bogolubskaya A.A., Bogolubsky I.L. Stationary topological solitons in the two-dimensional anisotropic Heisenberg model with a Skyrme term // Phys.Lett. A136 (1989) 485.lló.Leese R.A. Q lumps and their interactions // Nucí. Phys. B366 (1991) 283-314.

109. Курик M.B., Лаврентович О.Д. Дефекты в жидких кристаллах: гомотопическая теория и экспериментальные исследования // УФН, том 154, вып. 3, 1988 г., с. 381-431.

110. Komineas S., Papanicolaou N. Vortex dynamics in 2D antiferromagnets // arXiv:cond-mat/9612043vl cond-mat.str-el. 4 Dec 1996.

111. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Взаимодействие и распад двумерных топологических солитонов О(З) векторной нелинейной сигма-модели // Докл. АН Республики Таджикистан, 2011, т.54, №2, с. 110-114.

112. Christiansen P.L. Oscillations of Eccentric Puisons // Physica Scripta. Vol. 55, 1997, 131-134.

113. Браун O.M., Кившарь Ю.С. Модель Френкеля-Конторовой: концепции, методы, приложения. — М.: Физматлит, 2008, 536 с.

114. Зельдович Я.Б., Кобзарев И.Ю., Окунь Л.Б. Космологические следствия спонтанного нарушения дискретной симметрии // ЖЭТФ 1974, т. 67, с. 3-31.

115. Воронов Н.А., Кобзарев И.Ю., Конюхова Н.Б. О возможности существования мезонов нового типа // Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 22, вып. 11, с. 590-594.

116. Christiansen P.L., Olsen О.Н. Ring-shaped quasi-soliton solutions to the two- and three-dimensional sine-Gordon équation // Phys. Scr. 20, 1979, 531-538.

117. Christiansen P.L., Olsen O.H. Return effect for rotationally symmetric solitary wave solutions to the sine-Gordon equation // Phys. Scr. A 68, 1978, 185-188.

118. Samuelsen M.R. Approximate rotationally symmetric solutions to the sine-Gordon equation // Phys. Lett. A 74, 1979, 21-22.

119. Christiansen P.L., Lomdahl P. Numerical study of 2 + 1 dimensional sine-Gordon solitons // Physica D 2, 1981, 482-494.

120. Geicke J. Cylindrical puisons in nonlinear relativistic wave equations // Physica Scripta A 29(5), 1984, 431-434.

121. МО.Шокиров Ф.Ш. Пакет компьютерных программ для нахождения энергии связи новых одномерных бризерных решений О(З) нелинейной сигма-модели непертурбативной квантовой теории поля. Свидетельство о регистрации интеллектуального продукта, 0267Т1

122. Шокиров Ф.Ш. Исследование теоретических основ квантовых вычислений в многоуровневых системах на базе техники когерентных состояний. Сертификат №5 об успешном прохождении предварительной экспертизы на базе ОАО Технопарк «Система-Саров». Москва, 2010 г.