Использование систем компьютерной алгебры при построении эффективных численных алгоритмов решения некоторых задач математической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Боголюбская, Алла Анатольевна

• Боголюбская, Алла Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Боголюбская, Алла Анатольевна

Оглавление

Введение

1 Построение явных С-устойчивых схем максимального нечётного порядка точности с применением системы REDUCE

1.1 Постановка задачи. Алгоритм построения схем порядка

q = 2k-l

1.2 Проверка точности и устойчивости построенных разностных схем. Особенности использования системы REDUCE

в данной задаче

1.3 Схемы максимального нечётного (3,5,7,9) порядка точности

1.3.1 Случай к = 2

1.3.2 Случай к = 3

1.3.3 Случай к = 4

1.3.4 Случай к = 5

1.4 Случай схемы максимального чётного порядка точности

2 Исследование устойчивости разностных краевых задач с

применением систем компьютерной алгебры

2.1 Необходимые сведения из GKS-теории

2.2 К исследованию спектра одной разностной краевой задачи

2.3 Возможность полного исследования устойчивости разностных краевых задач с применением СКА

2.3.1 Примеры полного исследования устойчивости

3 Математическое моделирование двумерных солитонов в

моделях магнетиков Гейзенберга (МГ)

3.1 Двумерные топологические солитоны в модели анизотропного МГ со стабилизирующими членами

3.2 Двумерные топологические солитоны в калибровочно-инвариантной модели легкоосного антиферромагнетика

Гейзенберга

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Использование систем компьютерной алгебры при построении эффективных численных алгоритмов решения некоторых задач математической физики»

Введение

Численные исследования и компьютерная алгебра в настоящее время одинаково успешно используются в цикле вычислительного эксперимента [1, 2]. Численные методы, развиваясь по мере развития теории и совершенствования ЭВМ, остаются важнейшим, а иногда и единственным средством решения сложных задач математической физики, например, нелинейных уравнений. В связи с этим возрастает роль теоретического обоснования корректности численных методов. Для этой цели, а также для построения численных методов с заранее заданными свойствами всё чаще используются системы компьютерной алгебры (СКА) [3]-[5].

Построение разностных аппроксимаций заданного качества — „один из главных вопросов теории численных методов," — отмечает в [1] академик А.А.Самарский. Построение разностных схем связано с громоздкими выкладками и поэтому является естественной областью для приложений систем компьютерной алгебры (СКА). Перечислим наиболее известных авторов ([б]-[16]): Вирт М.С., Ворожцов Е.В., Ганжа В.Г., Лиска Р., Мазурик С.И., Стейнберг С., Шапеев В.П., Шашков М.Ю., Щенков И.Б. (Отметим, что почти все эти авторы занимаются также исследованием устойчивости разностных схем с применением СКА). В приведённых работах для построения разностных схем используются различные методы - метод конечных элементов [7], метод разностных аппроксимаций [11], метод неопределённых коэффициентов [9] и др. Иногда авторы разрабатывают специальные методы и языки [6, 8], удобные для заданных классов дифференциальных уравнений. Программы, связанные с построением и исследованием устойчивости разностных схем, включаются в библиотечные пакеты универсальных СКА (см., например, [17]).

Построенные разностные аппроксимации используются, как правило,

для проведения дальнейших численных экспериментов, поэтому возникает необходимость представления их в формате языков численного программирования. Одним из важнейших требований к СКА при построении разностных схем (и вообще при построении эффективных численных алгоритмов) является хорошо организованный символьно-численный интерфейс [18], и, в частности, возможность генерации эффективных программ на языках численного программирования (а в идеале — и для современных параллельных суперкомпьютеров).

Одним из первых, кто в нашей стране применил СКА для построении разностных схем, был В.В.Русанов — еще в 1969 г. в [23] он использовал язык РЕФАЛ [24] для вычисления коэффициентов своей знаменитой явной схемы, широко используемой в газодинамических расчётах. Схема Русанова имеет третий порядок точности. С увеличением порядка точности необходимость использования СКА возрастает.

К схемам высокого порядка точности относятся так называемые схемы максимального нечётного порядка точности. Эти схемы были предложены в работе [26] Стрэнгом (для уравнения щ ~ их) и рассматривались Цинь Мэн-чжао в работе [27], где изучались конечноразностные методы решения задачи Коши для уравнения щ + и^ = 0, t = пт, х — иЬ. Накладывалось естественное ограничение на отношение шагов сетки (т/Н) < 1. Было показано, что [27] на схемах порядка точности 1пД-1 достигаются оптимальные в Ь2 оценки сходимости.

С.И.Сердюковой в работах [28]-[30] рассматривался подкласс С-устой-чивых схем максимального нечётного порядка точности (2к — 1). При начальных данных из С£ для схем порядка точности 1п/г-1 установлена оценка погрешности решения в С порядка точности 1п 1п/г-1). Кроме того, доказано, что число точек, на которые „размывается" изолированный разрыв, обратно пропорционально порядку схемы. Зона размывания разрыва имеет ширину порядка 1п /г-1.

Тем самым было доказано, что схемы максимального нечётного порядка точности 2к — 1, к = 0( 1п/г-1), обладают свойствами, близкими к оптимальным в С, и хорошо приспособлены для счёта разрывных решений, которые нередко возникают в практических расчётах.

Построение аналога схем Стрэнга для двумерного случая производит-

ся в диссертации. Эту задачу для схем высоких порядков точности невозможно осуществить без применения СКА. Отметим, что рассматриваемое нами простейшее гиперболическое уравнение щ = сих обычно применяется при исследовании численных методов, разрабатываемых, например, для решения задач газовой динамики. Система уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах

дю х, 2)

т

дх

/

т =

V

г

\1/

—г

\

-(7-1)/ +

(7 ~ 3> 2 р

- 7/

(7 — 1)г2\ г

2 р

Р

Р

+

7 — термодинамическая константа, р

(где г = ру, / = - (7_1} , 2 , плотность, V — скорость, р - давление) является квазилинейной гиперболической системой. Это означает, что в рассматриваемой области изменения матрица Тш имеет различные вещественные собственные значения. При фиксированных значениях переменных такая матрица приводится к диагональному виду, то есть, получается система

дщ дщ г дх'

Поэтому простейшее гиперболическое уравнение щ = сих является хорошей моделью для исследования явлений неустойчивости, которые наблюдаются в газодинамических расчётах. Таким исследованиям посвящены работы С.К.Годунова и В.С.Рябенького [32, 33], В.В.Русанова [23], А.А.Самарского [34, 39], Р.П.Федоренко [35], И.Н.Яненко [36], а также работы Х.-О.Крайса [54, 55], Дж.Олигера [59], Р.Рихтмайера и К.Морто-на [37], Г.Стрэнга [26], В.Томэ [38].

Анализ устойчивости РКЗ является ключевым вопросом теории численных методов. Для исследования устойчивости РКЗ применяются различные методы - метод энергетических неравенств [1, 39, 40]; метод разделения переменных [41, 44]; методы, основанные на принципе максимума [1, 41, 44] и др. Однако применение этих методов на практике

2

часто оказывалось сложным - во многом из-за необходимости проведения громоздких алгебраических преобразований. Поэтому при исследовании устойчивости часто приходилось „обращаться к эмпирике, к здравому смыслу, к интуиции" [45].

Появление и развитие СКА стимулировало появление работ, в которых устойчивость исследуется с помощью компьютера ( [46]-[53]) с применением, например, спектральных методов в [46, 47], метода дифференциальных приближений в [48] и других. Отметим, что в перечисленных работах по исследованию устойчивости речь идет в основном о задаче Коши. Математический аппарат исследования краевых задач, о которых пойдет речь далее, на порядок сложнее.

В диссертации рассматриваются линейные разностные краевые задачи (РКЗ), аппроксимирующие системы гиперболических [83] дифференциальных уравнений (ДУ). Гиперболические ДУ описывают широкий класс нестационарных процессов и часто встречаются в приложениях. Общая теория устойчивости для РКЗ этого класса изложена в работах [39]-[44], [54]-[58]. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости полубесконечных разностных линейных РКЗ.

Теоретической основой проведённых нами исследований является GKS -теория, предложенная шведскими математиками Б.Густаффсоном, Х.-О.Крайсом и А.Сандстрёмом и в работах [54, 55] и развитая С.И.Сер-дюковой в работах [56]-[58]. Основные сведения из GKS-теории представлены в разделе 2.1 диссертации. GKS-теория опирается на важнейшие результаты спектральной теории Годунова-Рябенького [42]: для устойчивости полу бесконечной РКЗ необходимо, чтобы была устойчива соответствующая задача Коши и чтобы спектр оператора перехода от слоя к слою лежал в единичном круге \г\ < 1. Если есть точки спектра вне единичного круга, наблюдается сильная неустойчивость экспоненциального типа. Если спектр расположен сторого внутри единичного круга \z\ < 1, задача устойчива. Случай точек спектра на единичной окружности исследован С.И.Сердюковой в работах [56]-[58]. В этом случае задача может быть как устойчивой, так и неустойчивой.

Метод исследования устойчивости РКЗ, основанный на GKS-теории, носит название NMA — "Normal Mode Analysis". Анализ устойчивости

в NMA сводится к задаче определения точек спектра оператора G (оператора перехода от слоя к слою) и, тем самым, к алгебраической задаче: выводу и решению системы полиномиальных уравнений. Ряд исследователей решает эту задачу численно; рассмотрим кратко некоторые работы.

В работе [59] Дж.Олигер исследует устойчивость РКЗ для схемы 4-го порядка точности по пространственной переменной и 2-го порядка точности по времени для уравнения щ = —сих. В качестве дополнительных граничных условий используется аппроксимация 3-го порядка точности по пространственной переменной. Система нелинейных уравнений решается методом редукции - сведением к одному полиномиальному уравнению (очень высокой степени) от одного неизвестного. Для этого производится последовательное исключение переменных и многократное вычисление результанта (методом Коллинза вычисления полиномиальных результантов от многих переменных [60], [61]). Корни полинома находятся затем стандартными численными методами. Методика требует больших машинных ресурсов.

В работе [62] Дж.Гари обобщил предложенную Олигером аппроксимацию введением скалярного параметра в дополнительные граничные условия, что позволило управлять устойчивостью.

Д.М.Слоун [63] определил область устойчивости рассматриваемой РКЗ. Система полиномиальных уравнений в данной работе решается численно (методом, описанным в [60]), для фиксированных значений параметра а = т/h - отношения шагов сетки. Аналогичная методика применена в работе [64].

Наиболее эффективной из существующих численных методик исследования устойчивости с использованием GKS — теории представляется методика М.Сунэ [65, 66]. Во-первых, этот алгоритм предназначен не только для одномерного, но и для двумерного по пространственным переменным гиперболического уравнения, во-вторых, он специализирован: определяются не все решения системы полиномиальных уравнений, а только те, которые лежат в кольце 1 < \z\ < 1 + где е = 1/3A", N— число переменных в аппроксимируемой системе ДУ. (Необходимость нахождения только таких решений доказывается в [66]). Методика реализована

в виде системы автоматического исследования устойчивости гиперболических РКЗ определённого класса — ШвТАВ [65].

В этих работах все вычисления проводятся, как правило, для фиксированных значений параметра а (а - отношение шагов сетки), а это не гарантирует, что в области \г\ > 1 будут найдены все точки спектра РКЗ. В случае численного исследования окончательный вывод об устойчивости данной РКЗ сделать невозможно, поэтому в особенности важным представляется аналитическое исследование.

Оказалось, однако, что проведение такого исследования аналитически до конца требует значительных усилий даже для простых модельных задач и аппроксимаций невысокого порядка [76, 82], так как только вывод основной системы уравнений СКБ-теории (не говоря о её решении) является достаточно трудоёмким и связан с громоздкими аналитическими выкладками, выполнить которые без применения СКА не представляется возможным. В настоящей диссертации предложена методика исследования устойчивости РКЗ с помощью СКА, включающая вывод системы полиномиальных уравнений, описывающей спектр данной задачи, и решение этой системы с помощью специального алгоритма.

Разработка этой методики началась с исследования явления неустойчивости, которое наблюдалось при численном моделировании [68]- [70] движения флюксонов в протяжённых структурах с микронеоднородно-стями [67]. Использовалась явная схема Русанова [71] третьего порядка точности, имеющая 5 точек в основании и требующая дополнительных граничных условий. В зависимости от способа аппроксимации дополнительных граничных условий рассматриваемая РКЗ оказывалась устойчивой или неустойчивой (при счёте наблюдалась сильная неустойчивость экспоненциального типа, распространяющаяся от границ). Хотелось бы такого рода явления неустойчивости исключить заранее.

Как обычно при исследовании устойчивости, использовалось модельное уравнение - как правило, если удаётся выяснить причины возникновения неустойчивости на подходящем модельном уравнении, то удаётся найти устойчивый алгоритм решения задачи. В диссертации проводится теоретическое исследование граничных условий двух типов (определяющих как устойчивость, так и неустойчивость). Выводится система

полиномиальных уравнений, описывающая спектр задачи. При решении этой системы мы столкнулись со следующими трудностями. Попытки применить уже обсуждавшуюся программу IBSTAB [65], а также метод базисов Грёбнера [72, 73] успеха не имели. Применение формул Кардано и Феррари [74], а также общих символьных алгоритмов, реализованных в системе REDUCE, приводило к громоздким выражениям с радикалами, не поддающимся преобразованиям. С.И.Сердюковой и Н.Е.Мазепой был разработан специальный алгоритм [75]-[77] для решения систем полиномиальных уравнений, описывающих спектры РКЗ. Сложная алгебраическая задача вычисления спектра была сведена к решению одного полиномиального уравнения. Этот алгоритм был положен в основу программы SPECTR [79] для вычисления спектров разностных краевых задач. С помощью этой программы была исследована устойчивость ряда известных модельных краевых задач [75, 77], в частности, устойчивость дополнительных граничных условий для разностных схем максимального нечётного порядка точности [80].

В дальнейшем „алгоритм сведения" был усовершенствован [81]. Усовершенствованный вариант алгоритма включён в методику полного исследования устойчивости линейных разностных гиперболических краевых задач, которая обсуждается в диссертации. По сравнению с предыдущей новая версия алгоритма более автоматизирована; все этапы исследования проводятся на компьютере с помощью систем REDUCE и MAPLE [22]. Расширен круг исследуемых задач вплоть до схем 6 порядка точности. Алгоритм может быть использован для решения более сложных задач - так, в работе [82] данный алгоритм используется С.И.Сердюковой и М.Сунэ для исследования устойчивости схемы Русанова и схемы Гари с начальными условиями, дополнительными граничными условиями и условиями стыковки на областях составной структуры; используются СКА REDUCE и MAPLE. В случае схемы Гари была получена система уравнений седьмого порядка, которая была сведена к полиному 900 степени. Этот полином был вычислен и факторизован с помощью системы MAPLE; полученные уравнения (от одной переменной), порядки которых не превосходили 100, были решены численно с помощью REDUCE.

Усовершенствованный алгоритм „работает" следующим образом: сначала исследуемая нелинейная система уравнений, описывающая спектр, алгебраическими методами сводится к двум полиномиальным уравнениям. После вычисления результанта [72] получаем одно полиномиальное уравнение, которое решается численно. (Отметим, что на вычисление полиномиального результанта опираются многие современные алгоритмы компьютерной алгебры для решения нелинейных систем уравнений [72, 86, 87], развиваемые наряду с алгоритмами, основанными на использовании базисов Грёбнера [5, 72]).

Таким образом, рассматриваемая методика позволяет с помощью компьютера исследовать устойчивость определённого класса РКЗ, таких, например, как упоминавшаяся задача [67] о движении флюксонов в системе с микронеоднородностями. Отметим, что эта задача описывается уравнением, являющимся модификацией знаменитого нелинейного уравнения синус-Гордон [89]:

является полностью интегрируемым и имеет точные аналитические решения, описывающие взаимодействие N солитонов (кинков). Однако на практике часто приходится иметь дело с нелинейными уравнениями, не являющимися полностью интегрируемыми. К таким уравнениям, как правило, относятся неодномерные (I) > 2) нелинейные уравнения в частных производных. Свойства частицеподобных решений (солитонов) таких уравнений за редким исключением не удаётся изучить аналитически. Основным средством решения таких уравнений служит численный эксперимент (см. [90]). В диссертации рассматриваются двумерные модели магнетиков Гейзенберга (МГ) и численно исследуются стационарные („частицеподобные" ) решения соответствующих нелинейных уравнений в частных производных, описывающие локализованное в двумерном пространстве распределение нормированного (единичного) вектора намагниченности. Интересно отметить, что в результате редукции рас-

Фы = Фхх - - х0))з'тф - афг.

(0.1)

Напомним, что уравнение синус-Гордон имеет вид

Щг — ихх + и — 0)

(0-2)

сматриваемой в разделе 3.2 модели МГ может быть получено уравнение синус-Гордон.

Компьютерный эксперимент является наиболее широко используемым подходом не только для поиска частицеподобных решений, а также для исследования их формирования, устойчивости и динамики взаимодействия. Для моделирования солитонов используются различные численные методы; можно выделить два основных подхода: метод аппроксимирующих функций и конечноразностный метод. В случае использования первого подхода точное решение u(x,t) аппроксимируется приближённым решением ü(x,t), определённым на конечномерном подпространстве:

п

u(x,t) И Ü(x,t) — Cj(t)ipi(х).

»=о

Функции cpi(x) образуют соответствующим образом выбранный базис. Обычно выбираются тригонометрические функции, что приводит к спектральному методу. Другой выбор базиса определяет метод конечных элементов.

Пожалуй, самым популярным методом при численном моделировании нелинейных уравнений остаётся конечноразностный метод. Используются как явные, так и неявные разностные схемы. В качестве примера рассмотрим уравнение синус-Гордон. По-видимому, первыми, кто численно исследовал это уравнение, были Дж.Л.Перринг и Т.Скирм [92]. Они использовали два подхода. Во-первых, простую схему с чередованием:

<+1 = -гС1 + а2«+1 + гС-j) + 2(1 - a2)unm - г sin<, (0.3)

где а = г/А. Численные тесты и линейный анализ устойчивости показали, что схема неустойчива при г = h, но было найдено, что выбор г = 0.95h устраняет неустойчивость. Второй подход связан с представлением этого уравнения в виде пары двух уравнений первого порядка, принимающих вид

Ux + Щ = и, Vx — vt = sin u, (0.4)

и введением новых переменных r¡,£ = t±x, таких, что (0.4) приводится к виду

1 1

uv = ñvi v^ = --smu (0.5)

(к так называемой характеристической форме). Характеристиками в этом случае являются прямые линии. Уравнения (0.5) можно решить стандартными методами для решения обыкновенных ДУ. С использованием обоих подходов было исследовано взаимодействие кинков. Были исследованы также связанные состояния типа пары кинк-антикинк (бри-зеры).

В работе [93] М.Дж.Абловиц, М.Д.Крускал и Дж.Ф.Лейдик показали, что схему (0.3) можно сделать устойчивой для т = к, если в последнем члене заменить и^ пространственным средним + гС-1)* ® этом

случае схема имеет вид

Эта схема более эффективна, чем предыдущая, при её использовании затраты машинного времени уменьшаются в два раза. Существуют, конечно, и другие интересные схемы, аппроксимирующие уравнение синус-Гордон.

При проведении компьютерных экспериментов на основе эволюционных уравнений целесообразно контролировать выполнение законов сохранения таких величин, как энергия, импульс и заряд. Важным является вопрос о способе выбора граничных условий. При численном исследовании от задачи с граничными условиями на бесконечности переходят к задаче на некотором конечном интервале. При этом границу стараются выбрать на большом расстоянии от области, где функция имеет характерные особенности. Иногда используют так называемое условие потока наружу: предполагают, что любая часть решения, достигающая границы, удовлетворяет некоторому линейному или нелинейному однонаправленному волновому уравнению, которое в каком-то смысле аппроксимирует исходное уравнение. Это позволяет избавиться от трудностей, вызываемых отражением от границ. Иногда для этих же целей вблизи границы вводится „поглощающий" слой.

Переходя к рассмотрению моделей магнетика Гейзенберга (МГ), изучаемых в диссертации, отметим, что эти модели являются примером так называемых нелинейных ДТ-компонентных сигма-моделей с N — 3. Уравнения Лагранжа-Эйлера, определяемые лагранжианами УУ-компонентных нелинейных сигма—моделей описывают (при заданных начальных и гра-

-гС1 + <+1 + - Д2 8т{-«+1 + <_!)}•

1

(0.6)

ничных условиях) эволюцию во времени пространственных распределений единичного iV-компонентного изовектора sasa = 1, i, а = 1,..., N, к = 1, , т.е. задают отображения (D + 1)—мерного пространства-времени на единичную сферу SN_1. Важно отметить, что для некоторых сочетаний D w N эти отображения характеризуются существованием особых целочисленных интегралов движения („топологических зарядов"), сохраняющихся независимо от конкретного вида уравнений движения. Локализованные решения с такими зарядами называются топологическими солитонами.

Приведём примеры неодномерных стационарных топологических со-литонов в соответствующих сигма-моделях. В ядерной физике и физике адронов это „скирмионы" в модели Скирма (см., например [91], рассматриваемые как барионы с барионным зарядом, определяемым величиной топологического заряда [102]. В квантовой теории поля — монополи т'Хофта-Полякова [105, 106] в соответствующих моделях. В модели двумерного изотропного магнетика Гейзенберга — это солитоны Белавина— Полякова [107]. Исследованиям стационарных и нестационарных топологических солитонов в различных моделях магнетиков гейзенберговского типа посвящена монография [98], в которой изложен единый подход к исследованиям магнитных солитонов на основе макроскопических уравнений динамики намагниченности (уравнений Ландау-Лифшица).

Модели МГ, будучи нелинейными сигма-моделями с N = 3, обладают нетривиальными топологическими свойствами при D = 2 и D — 3. В диссертации рассмотрены топологические солитоны с ненулевыми топологическими зарядами при D = 2.

В случае однополевых моделей, к числу которых относятся нелинейные сигма-модели (без включения дополнительных полей, например, векторных) существует серьезное препятствие для существования (устойчивых) D—мерных (D > 2) стационарных солитонов, известное как теорема Деррика-Хоббарта [103], которая доказывается в вариационном подходе при рассмотрении масштабных преобразований. Однако можно указать по крайней мере два способа обхода этого препятствия. Один из них был использован Скирмом [102] при разработке квазиклассической модели ба-рионов, в которой адрону с единичным барионным зарядом ставится в

соответствие стационарный солитон с единичным топологическим зарядом (степенью отображения Я,3 —» б"3). В моделях Скирма и ее обобщениях (для которых N = 4, И = 3) эффективный квазиклассический лагранжиан содержит стабилизирующие члены 4-го (или более высокого) порядка по пространственным производным единичного 4-компонентного изовектора 3{(хк). В диссертации этот механизм стабилизации и построения устойчивых солитонов изучается для сигма-модели с N — 3, И = 2, т.е. для моделей магнетиков Гейзенберга при наличии анизотропии типа „лёгкая ось" .

В диссертации рассмотрен также другой возможный механизм существования устойчивых стационарных солитонов в нелинейных £)-мерных сигма-моделях, связанный с включением взаимодействия дополнительных полей (например, векторных) со скалярным полем единичного изовектора. Предложена калибровочно-инвариантная модель анизотропного антиферромагнетика (АФМ) Гейзенберга, в качестве дополнительного поля рассматривается поле Максвелла.

Исследования двумерных (2.0) моделей магнетиков Гейзенберга являются актуальными для описания явлений в тонких магнитных плёнках [97]. Большое внимание, уделяемое в последнее время в теории магнетизма 2И моделям, объясняется появленим новых материалов (среди которых особое место занимают высокотемпературные сверхпроводники) с выраженной слоистой („квазидвумерной," ф2И) структурой [129]. Использование 2Б моделей для слоистых <52.0 материалов эквивалентно пренебрежению взаимодействием спинов, находящихся в разных слоях, по сравнению с взаимодействиями спинов, находящихся в выбранном слое.

Кратко опишем содержание представляемой диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы.

В первой главе с применением системы [19]- [21] строится аналог схем Стрэнга — явные схемы максимального нечётного (2к — 1)-го, (к = 2,3,4,5) порядка точности для уравнения щ = их+иу. Используется симметричный набор к(2к-\-1) точек. В разделе 1.1 изложен метод построения. В разделе 1.2 производится проверка точности и устойчивости построенных разностных схем в Ь2 (при а = т/к < |) и в С. Вычисляются раз-

ложения характеристических функций ф) в окрестности <р = ф = 0. Известно, что для линейных задач устойчивость в С эквивалентна ограниченности разностной функции Грина в метрике Ьх — что и проверяется с помощью численного эксперимента. Численный эксперимент показывает ограниченность функции Грина в метрике Ь\ при естественном ограничении на отношение шагов сетки а. = (т/К) <~.

Пригодность схем для счёта разрывных решений проверяется на известной модельной задаче со „столбиками" [31] . Численно решается задача Коши для уравнения щ = их + иу со следующими периодическими по х,у начальными данными:

и(х,у, 0) =

1 в круге (х - |)2 + (у - |)2 <

0 для остальных точек квадрата 0 < х,у < 1.

Для таких начальных данных при целых t решение рассматриваемой задачи должно совпадать с начальными условиями, что и проверяется посредством численного эксперимента с использованием построенных аппроксимаций. В этом разделе главы также обсуждаются особенности использования системы REDUCE в данной задаче. В разделе 1.3 приводятся результаты расчётов в формулах, рисунках и таблицах для различных к и а = (г/h), с комментариями.

Во второй главе диссертации обсуждается методика исследования устойчивости РКЗ с помощью СКА. В разделе 2.1 приводятся необходимые сведения из GKS- теории. В разделе 2.2 с помощью системы REDUCE исследуется явление неустойчивости, которое наблюдалось в окрестности границ при численном моделировании [69] движения флюк-сонов в системе с микронеоднородностями [67] по схеме Русанова. В качестве модельного выбрано волновое уравнение, у которого, как показал расчёт, наблюдается то же явление неустойчивости, что и у исходной задачи. Схема Русанова 3-го порядка точности требует задания дополнительных граничных условий. В качестве дополнительных граничных условий было опробовано несколько аппроксимаций 2 порядка точности — при счёте постоянно наблюдались биения экспоненциального типа у границ. При использовании схемы-треноги сильные осцилляции в окрестности границ исчезают. Теоретически нами исследуются оба типа граничных условий, с помощью системы REDUCE выводится си-

стема полиномиальных уравнений, описывающая спектр. В разделе 2.3 диссертации предлагается алгоритм полного (включая точки спектра на единичной окружности) исследования устойчивости линейных разностных гиперболических краевых задач. Система полиномиальных уравнений, описывающая спектр, сводится к решению одного уравнения. Методика применима к схемам вплоть до 6-го порядка точности. Исследована устойчивость ряда практически важных модельных задач. Все этапы исследования проводятся на компьютере с помощью систем REDUCE и MAPLE. Алгоритм „работает" следующим образом: сначала исследуемая нелинейная система уравнений, описывающая спектр, алгебраическими методами сводится к двум полиномиальным уравнениям. После вычисления результанта [72] получаем одно полиномиальное уравнение, которое решается численно. В случае точек спектра на единичной окружности выясняется характер особенностей резольвенты, что и позволяет провести полное исследование устойчивости. Приводятся примеры исследования точек спектра на единичной окружности.

В третьей главе диссертации выполняется исследование частицепо-добных решений в рамках трёхкомпонентных нелинейных сигма-моделей (классических моделей МГ), возникающих при использовании двух различных механизмов, обеспечивающих возможность существования неодномерных солитонов. В разделе 3.1 рассмотрен механизм, основанный на включении стабилизирующих членов (типа Скирма) в лагранжиан моделей анизотропных магнетиков Гейзенберга. Исследуется случай анизотропии типа „лёгкая ось" , при этом плотность гамильтониана модели имеет вид

н = (diSa)2 + sin2 е + Р (dtsadisaf ,

где i — 1,2, а = 1,2,3, 9 — угол между положительным направлением „лёгкой" оси и единичным вектором в(жг), р — безразмерный параметр модели, 0 < р < оо. Эту модель можно назвать „легкоосной моделью Гейзенберга-Скирма" . Локализованные решения в этой модели ищутся в диссертации с применением так называемой „ежовой" подстановки. Возникающее после применения этой подстановки двумерное нелинейное уравнение 2-го порядка для функции в (г) с граничными условиями 1-го рода решается с применением техники „стрельбы" . Показа-

но отсутствие нетопологических стационарных солитонов в этой модели. Численно найдены стационарные солитоны с топологическими зарядами Q = 1 и Q = 2. Проанализирована зависимость радиуса и энергии солитонов от параметра р. Обнаружено, что при всех р энергетически выгодно образование связанного состояния двух солитонов с единичным зарядом Q — 1. Обсуждается связь найденных солитонов с солитонами Белавина-Полякова при малых р (малых радиусах солитонов). В разделе 3.2 изучена новая возможность существования солитонных решений, возникающая при при включении („минимального" ) калибровочно-инвариант-ного взаимодействия трёхкомпонентного поля единичного изовектора с полем Максвелла. Получены полевые уравнения 3-компонентной /7(1)-калибровочной сигма-модели („АЗМ модели" ) со спонтанно-нарушенной ¿Г(2)-симметрией в (£> + 1)-мерном пространстве-времени. С помощью уже упомянутой „ежовой" подстановки система уравнений в частных производных сводится к системе двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка с граничными условиями второго рода на бесконечности для одного из них (граничные условия для другого уравнения — первого рода). Для численного решения этой системы были использованы как метод стрельбы, так и итерационный метод установления, использующий введение искусственной вязкости в нестационарный аналог исследуемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Численно найдены локализованные решения 2-мерной АЗМ модели с единичным топологическим зарядом [110]; эти топологические солитоны описывают (по крайней мере, для малых значений безразмерного параметра модели р, р < р0) устойчивые связанные состояния единичного трёхкомпонентного „легкоосного" поля Гейзенберга и поля Максвелла и являются солитонными аналогами струн Абрикосова-Нильсена-Ольсена [121, 122]. Обсуждаются возможные физические приложения 2-мерных топологических солитонов АЗМ модели.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [25], [76], [81], [110], [117], [125]-[128]. Краткое перечисление основных результатов содержится в Заключении.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Боголюбская, Алла Анатольевна

Заключение

1. Для случая двух пространственных переменных построен аналог известных явных схем максимального нечётного (3,5,7,9) порядка точности. Используется система REDUCE. На численном эксперименте проверяется устойчивость в С построенных разностных аппроксимаций: установлена ограниченность функции Грина G™ • в метрике Ь\ при естественном ограничении на отношение шагов сетки (т/h) < Результаты численных экспериментов показывают также, что построенные схемы хорошо приспособлены для счёта разрывных решений. Как и в случае одной пространственной переменной, схемы максимального чётного порядка точности такими хорошими свойствами не обладают.

2. Разработана и реализована на языках REDUCE и MAPLE методика полного исследования устойчивости линейных разностных гиперболических краевых задач. Система полиномиальных уравнений, описывающая спектр, сводится к решению одного уравнения. Методика применима к схемам вплоть до 6 порядка точности. Исследована устойчивость ряда практически важных модельных задач.

3. Исследовано явление неустойчивости, которое наблюдалось в окрестности границ при численном моделировании движения флюксонов в протяжённой системе с микронеоднородностями. Движение флюксонов описывается уравнением синус-Гордона с сингулярностями. Теоретически исследованы два типа граничных условий: одно из дополнительных граничных условий, приводящих к сильным осцилляциям, и схема-тренога, обеспечивающая устойчивость.

4. Аналитически показано, что в классической модели анизотропного магнетика Гейзенберга (при любом виде анизотропии) двумерные стационарные солитоны существовать не могут. Предложены и исследованы два различных обобщения этой модели, для которых существование двумерных стационарных солитонов оказывается возможным.

5. Выполнено численное моделирование двумерных стационарных солитонов в модели легкоосного магнетика Гейзенберга со стабилизирующими членами типа Скирма. Методом конечных разностей (с использованием техники „стрельбы" ) решается двумерное нелинейное уравнение Гейзенберга-Скирма 2 порядка с граничными условиями. Численно найдены солитоны с топологическими зарядами = 1,2 для различных значений характерного безразмерного параметра р. Показано отсутствие нетопологических (<5 = 0) солитонов. Установлено, что солитоны с топологическим зарядом ф = 1 притягиваются друг к другу, и энергетически выгодным является образование их связанного солитонного состояния с топологическим зарядом <3 = 2.

6. Численно исследована 1/(1) калибровочно-инвариантная модель легкоосного антиферромагнетика Гейзенберга (АЗМ модель). Найдена подстановка, сводящая задачу поиска стационарных двумерных солитонов в АЗМ модели к решению системы двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с граничными условиями в нуле и на бесконечности. Для решения этой системы разработан специальный метод установления, позволяющий наблюдать „эволюционный" процесс „формирования" стационарных локализованных решений.

7. Численно найдены двумерные стационарные солитонные решения АЗМ модели с топологическим зарядом (¡} = 1. Показано, что они существуют в области значений безразмерного параметра 0 < р < ро и 0.4. Обнаружено, что энергия двумерных солитонов в АЗМ-модели меньше энергии двумерных солитонов Белавина-Полякова в изотропном МГ, т.е. солитоны АЗМ модели при 0 < р < р0 ~ 0.4 представляют собой локализованное связанное состояние двух полей - АЗ-поля и поля Максвелла.

Автор глубоко и искренне благодарен своему научному руководителю доктору физико-математических наук С.И.Сердюковой за руководство работой и помощь на всех этапах работы над диссертацией. Автор благодарен профессорам Е.П.Жидкову и В.П.Гердту за постоянную поддержку и полезные обсуждения, а также В.А.Ростовцеву за конструктивную помощь и ценные консультации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Боголюбская, Алла Анатольевна, 1998 год

Список литературы

[1] Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М., Наука, 1971, стр. 13-21.

[2] Самарский A.A., Шашков М.Ю. Перспективы использования символьных преобразований в вычислительной математике. Тезисы докладов Всесоюзной конференции по системам для аналитических преобразований в механике, Горький, 1984, стр. 3-8.

[3] Гердт В.П., Тарасов О.В., Ширков Д.В. Аналитические вычисления на ЭВМ в приложении к физике и математике. УФН, 130, 1980, стр. 113-147.

[4] Абрамов С.А., Зима Е.В., Ростовцев В.А. Компьютерная алгебра. Программирование, 5, 1992, стр. 4-25.

[5] Васильев H.H., Гердт В.П., Еднерал В.Ф., Ширков Д.В. Компьютерная алгебра в научных и инженерных приложениях. Программирование, 6, 1996, стр. 34-47.

[6] Ефимов Г.Б. и др. Автоматизация программирования операторных разностных схем. Препринт ИПМ АН СССР, 20, Москва, 1982.

[7] Кульветис Г.П. Вибран: аналитические преобразования для проведения научно-технических расчётов на ЭВМ. Труды международного совещания „Аналитические вычисления на ЭВМ и их применение в теоретической физике" . ОИЯИ, Д11-83-511, Дубна, 1983, стр. 5263.

[8] Шашков М.Ю., Щенков И.Б. Использование символьных преобразований для построения разностных операторов. Препринт ИПМ АН СССР, 48, Москва, 1983.

[9] Ganzha V.G., Vorozhtsov E.V., Mazurik S.I., Shapeev V.P. Symbolic Manipulations on a Computer and Their Application to Generation and Investigation of Difference Schemes. In Proc. of EUROCAL '85. B.F. Caviness (ed.), Springer-Verlag, Berlin, 2, 1985, pp. 335-347.

[10] Ganzha V.G., Shaskov M.Yu. Local Approximation Study of Difference Operators by means of REDUCE System. Proc. of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, 1990. S. Watan-: abe and Morio Nagata (Eds.), ACM, Addison-Wesley, 1990, pp. 185-192.

[11] Liska R., Drska L. FIDE: A REDUCE Package for Automation of Finite Difference Method for Solving PDE. Proc. of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, 1990. S. Watanabe and Morio Nagata (Eds.), ACM, Addison-Wesley, 1990, pp. 169-176.

[12] Ganzha V.G., Solovjev A.V., Shashkov M.Yu. Algorithms for Operations with Difference Operators and Grid Functions in Symbolic Form. Proc. of the IV International Conference on Computer Algebra in Physical Research, JINR, Dubna, 1990. Shirkov D.V. et al (eds.), World Scientific, Singapore, 1990, pp. 175-181.

[13] Samarskii A.A., Makarov V.L., Grekov L.D., Krasnikov V.M. Computer Algebra Generation of Three-Point Difference Schemes with Arbitrary Order of Accuracy for Second Order Nonlinear Ordinary Differential Equations with Piece-Smooth Coefficients. Proc. of the IV International Conference on Computer Algebra in Physical Research, JINR, Dubna, 1990. Shirkov D.V. et al (eds.), World Scientific, Singapore, 1990, pp. 378-387.

[14] Liska R, Shashkov M.Yu., Algorithms for Difference Schemes Construction on Non-orthogonal Logically Rectangular Meshes, In: Proc. of the 1991 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ed. S.M. Watt, ACM Press,Maryland, 1991, pp. 419-426.

[15] Liska R., Wendroff B. Analysis and Computation with Stratified Fluid Models. Journal of Computational Physics, 137, 1997, pp. 212-244.

[16] Kocbach L., Liska R. Generation and Verification of Algorithms for Symbolic-Numeric Processing. Journal of Symbolic Computation, 25, 1998, pp. 367-382.

[17] Gerdt V.P., Bogoliubskaya A.A., Tarasov O.V. On Forming of Libraries for Computer Algebra Systems SCHOONSCHIP and REDUCE, In: Applied Packages. Analytical Transformations. Nauka Publishers, Moscow, 1988, pp. 83-90.

[18] Fitch J. REDUCE as a Numerical Tool. Proc. of the IV International Conference on Computer Algebra in Physical Research, JINR, Dubna,

1990. Shirkov D.V. et al (eds.), World Scientific, Singapore, 1990, pp. 89-98.

[19] Hearn A.C. REDUCE User's Manual. Version 3.4: Rand Publication.

1991. CP78 (Rev. 7/91).

[20] Боголюбская А.А., Жидкова И.Е., Ростовцев В.А. Система программирования REDUCE-2. Руководство для пользователей. Депонированная публикация ОИЯИ, Б1-11-83-512. Дубна, 1983.

[21] Stoutemyer D.R. REDUCE Interactive Lessons. REDUCE Newsletters, 3, 1978, pp. 9-13.

[22] Char B. et al. Maple V Learning Guide, Waterloo Maple Inc., Waterloo, Ont., 1995.

[23] Rusanov V.V. On Difference Schemes of Third Order Accuracy for Nonlinear Hyperbolic Systems. J. Сотр. Phys., 5, 1970, pp. 507-516.

[24] Базисный РЕФАЛ и его реализация на вычислительных машинах. ЦНИПИАСС, у/40, Москва, 1977.

[25] Боголюбская А.А., Сердюкова С.И. Построение явных С-устойчи-вых схем максимального нечётного порядка точности. ЖВМ и МФ, М, 1994, стр. 943-954.

[26] Strang G. Trigonometric Polynomials and Difference Method of Maximum Accuracy. J.Math, and Phys., 41, 1962, pp. 147-154.

[27] Цинь Мэн-чжао, О минимальном порядке погрешности интегрирования уравнения Ut 4- Ux = 0 методом конечных разностей. ЖВМ и МФ, 1, 1961, стр. 1117-1121.

[28] Сердюкова С.И. О достижимости минимальной погрешности интегрирования гиперболических уравнений методом конечных разностей в равномерной метрике. ДАН СССР, 255. 1980, стр. 1325-1328.

[29] Сердюкова С.И. Асимтотические свойства разностных схем максимального нечётного порядка точности. Матем.заметки, 32, 1982, стр. 517-528.

[30] Сердюкова С.И. Асимтотические оценки функции Грина и „разностной ступеньки" в случае липшиц-непрерывных коэффициентов. ЖВМ и МФ, 24, 1984, стр. 1016-1029.

[31] Shu Chi-Wang, Osher S. Efficient Implementation of Essentially Non-oscillatory Shock-capturing Schemes. J.Comput.Phys., 83, 1989, pp. 3278.

[32] Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. Физматгиз, 1962.

[33] Годунов С.К., Рябенький B.C. Канонические виды систем линейных обыкновенных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. ЖВМ и МФ, 3, 1963, стр. 211-222.

[34] Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М., Наука, 1980.

[35] Федоренко Р.П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений. ЖВМ и МФ, 6, 1962, стр. 1122-1128.

[36] Шокин Ю.Н., Яненко И.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск, Наука, 1985.

[37] Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М., Мир, 1972.

[38] Thomee V. Stability Theory for Partial Difference Operators. SIAM Review, 2, 1969.

[39] Тихонов A.H., Самарский А.А. Уравнения математической физики. M., Наука, 1977, стр. 736.

[40] Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М., Наука, 1973, стр. 415.

[41] Рябенький B.C., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. Гостехиздат, 1956.

[42] Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М., Наука, 1973.

[43] Бахвалов Н. С. Численные методы, М, Наука, 1973.

[44] Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. Физматгиз, 1961.

[45] Попов Ю.П., Самарский А.А. Вычислительный эксперимент. В сб.: „Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент" . М., Наука, 1988, стр. 3-15.

[46] Wirth М.С. Automatic Generation of Finite Difference Equation and Fourier Stability Analysis. Proc. of 1981 SYMSAC, pp. 73-78.

[47] Ворожцов E.B., Ганжа В.Г., Мазурик С.И., Шапеев В.П. Применение символьных преобразований для исследования на ЭВМ разностных схем для систем линейных уравнений с частными производными. Труды международного совещания „Аналитические вычисления на ЭВМ и их применение в теоретической физике" . ОИЯИ, Д11-85-791, Дубна, 1985, стр. 311-316.

[48] Ganzha V., Liska R. Application of the REDUCE Computer Algebra System to Stability Analysis of Difference Schemes. Proc. Computers and Mathematics '89, E. Kaltofen and S. M. Watt (Eds.), SpringerVerlag, New York, 1989, pp. 119-129.

[49] Serdjukova S.I. Application of Computer Algebra in Investigation of Difference Schemes Stability. Proc. of the IV International Conference on

Computer Algebra in Physical Research, JINR, Dubna, 1990. Shirkov D.V. et al (eds.), World Scientific, Singapore, 1990, pp. 362-371.

[50] Mazurik S. I., Vorozhtsov E. V. Symbolic-numeric Computations in the Stability Analysis of Difference Schemes. Proc. of the 1990 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation", eds. Shunro Watanabe and Morio Nagata, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1991, pp. 177-184.

[51] Ganzha V.G., Scobelev B. Yu., Vorozhtsov E.Y. Stability Analysis of Difference Schemes by the Catastrophe Theory Methods and by Means of Computer Algebra. Proc. of the 1991 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. Ed. Stephen M. Watt, ACM Press, Maryland, 1991, pp. 427-428.

[52] Steinberg S., Liska R. Stability Analysis and Quantifier Elimination. Proc. of the 1993 International IMACS Symposium on Symbolic Computation. G. Jacob and N. E. Oussous and S. Steinberg (Eds.), IMACS, Laboratoire d'Informatique Fondamentale de Lille, France, 1993, pp. 62-67.

[53] Hong H., Liska R., Steinberg S. Testing Stability by Quantifier Elimination. Journal of Symbolic Computation, 24? 1997, pp. 161-187.

[54] Kreiss H.-O. Stability Theory for Difference Approximations of Mixed Initial Boundary Value Problems. I. Math.Comput., 22, 1968, pp. 703714.

[55] Gustafsson В., Kreiss H.-O., Sandstrom A. Stability Theory of Difference Approximations for Mixed Initial Boundary Value Problems. II. Math.Сотр., 26, 1972, pp. 649-686.

[56] Сердюкова С.И. Асимптотические методы исследования устойчивости разностных краевых задач. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. Дубна, 1975.

[57] Сердюкова С.И. Об устойчивости в С разностных краевых задач. В сб.: Вычислительные процессы и системы. М., Наука, 1991, вып.8., стр. 292-327.

[58] Сердюкова С.И. Необходимые и достаточные условия устойчивости в С линейных разностных краевых задач общего вида. ДАН СССР, 319. 1991, стр. 1328-1332.

[59] Oliger J. Fourth Order Difference Methods for the Initial Boundary-value Problem for hiperbolic equations. Math, of Сотр., 28, 1974, pp. 15-25.

[60] Allgower E, Georg K. Simplicial and Continuation Methods for Approximating Fixed Points. SIAM Rev, 22, 1980, pp. 28-85.

[61] Garcia C.B., Li T.Y. On a Path Following Method for Systems of Equations. Report 1983, MRC, University of Wisconsin, Madison, 1979.

[62] Gary J. On Boundary Conditions for Hyperbolic Difference Schemes. J.Comput. Phys., 26, 1978, pp. 339-351.

[63] Sloan D.M. Boundary Conditions for a Fourth Order Hyperbolic Difference Scheme. Math, of Сотр., 41, 1983, pp. 1-11.

[64] Coughran W.M., Jr. On the Approximate Solution of Hyperbolic Initial-boundary Value Problems, Ph.D. thesis, Report No. STAN-CS-80-806, Department of Computer Science, Stanford University, Stanford, CA, 1980.

[65] Thune M. IBSTAB - a Software System for Automatic Stability Analysis of Difference Methods for Hyperbolic Initial-boundary Value Problem. Ph.D.Thesis,Uppsala. Uppsala Univ., Sweden, 1984, p. 108.

[66] Thune M. A Numerical Algorithm for Stability Analisys of Difference Methods for Hyperbolic Systems. SIAM J.Sci.Stat.Comput., П, 1990, p. 63.

[67] Гальперн Ю.С., Филиппов А.Т. Препринт ОИЯИ, Р17-83-632, Дубна, 1983.

[68] Бахвалов Н.С., Гальперн Ю.С., Казача Г.С. и др. Численное моделирование периодических режимов в одномерном джозефсоновском переходе с микронеоднородностями. Препринт ОИЯИ, Р17-86-537, Дубна, 1986.

[69] Казача Г.С., Сердюкова С.И., Филиппов А.Т. Численное моделирование движения флюксонов в системе с микронеоднородностями. Сообщение ОИЯИ, Р11-84-76, Дубна, 1984.

[70] Казача Г.С., Сердюкова С.И. Численное исследование поведения при больших t решений уравнения синус-Гордона с сингулярностью. ЖВМ и МФ, 3,1993, стр. 417-427.

[71] Rusanov V.V. Difference Schemes of Third-order Accuracy for "Across"-computation of Discontinuous Solutions. Fluid Dynam. Trans., 4, 1969, pp. 285-294.

[72] Geddes K.O., Czapor S.R., Labahn G. Algorithms for Computer Algebra. Kluwer Academic Publishers, 1992, pp. 389-426.

[73] Sandqvist H. Automatic Normal Mode Stability Analysis by Means of Symbolic Manipulations. Uppsala Univ., UPTEC-95169-E, Uppsala, 1995.

[74] Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М., 1971, стр. 431.

[75] Мазепа Н.Е., Сердюкова С.И. Некоторые примеры исследования устойчивости с применением системы аналитических вычислений REDUCE. Труды международного совещания „Аналитические вычисления на ЭВМ и их применение в теоретической физике" . Дубна, 17-20 сентября 1985г., стр. 307-310.

[76] Боголюбская А.А., Сердюкова С.И. К исследованию спектра одной разностной краевой задачи. Сообщение ОИЯИ, Р11-84-77, Дубна, 1984.

[77] Мазепа Н.Е. Вычисление спектров разностных краевых задач с применением CAB. Препринт ОИЯИ, Р11-89-382, Дубна, 1989.

[78] Сердюкова С.И. ДАН СССР, 208, 1973, стр. 52-55.

[79] Мазепа Н.Е. Описание программы SPECTR. Препринт ОИЯИ, Р11-89-383, Дубна, 1989.

[80] Mazepa N.E., Serdyukova S.I. Additional boundary conditions for difference schemes of maximum odd accuracy. SNAMM, 3, 1988, pp. 151-161.

[81] Боголюбская А.А., Сердюкова С.И. Возможность полного исследования устойчивости разностных краевых задач на PC с применением CAS REDUCE. Сообщение ОИЯИ, Р11-93-446, Дубна, 1993.

[82] Serdykova S.I., Thune М. Studying the Stability of Difference Problems on Substructured Domains. Preprint JINR, E5-95-381, Dubna, 1995.

[83] Сердюкова С.И. Необходимое и достаточное условие устойчивости в равномерной метрике систем разностных уравнений. ДАН СССР, 173. 1967, стр. 526-528.

[84] Сердюкова С.И. Схема Русанова. Исследование устойчивости в равномерной метрике. Асимптотика в окрестности изолированного разрыва. Сообщение ОИЯИ, Р5-10708, Дубна, 1977.

[85] Kato Т. Perturbation Theory for Linear Operators. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1966.

[86] Lazard D. Systems of Algebraic Equations. In Proc. EUROSAM'79, Lecture Notes in Сотр. Science, 72, ed. W.Ng. Springer-Verlag, 1979, pp. 88-94.

[87] Canny J.F., Kaltofen E. and Yagati L. Solving Systems of Non-Linear Polynomial Equations Faster. In Proc. ISSAC'89, ed. G.H.Gonnet, ACM Press, 1989, pp. 121-128.

[88] Eli Turkel. On the Practical Use of High-Order Methods for Hyperbolic Systems. J. of Comp.Phys., 35, 1980, pp. 319-340.

[89] Додд P., Эйлбек Дж., Гиббон Дж, Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М., Мир, 1988.

[90] Makhankov V.G. Computer Experiments in Soliton Theory. Сотр. Phys. Comm., 21, 1980, p. 1.

[91] 1) Маханьков В.Г., Рыбаков Ю.П., Санюк В.И. Модель Скирма и солитоны в физике адронов. ОИЯИ, Р4-89-568, Дубна, 1989.

2) Рыбаков Ю.П. Структура частиц в нелинейной теории поля. Учебное пособие. М., Издательство Университета дружбы народов, 1985.

[92] Perring J.K. and Skyrme T.H.R. A Model Unified Field Equation, Nucl. Phys., 31, 1962, pp. 550-555.

[93] Ablovitz M.J., Kruskal M.D. and Ladic J.F. Solitary Wave Collisions. SIAM J.Appl.Math., 36, 1979, pp. 428-437.

[94] Боголюбская A.A., Боголюбский И.Л. ОИЯИ, Р5-87-761, Дубна,

1987.

Bogolubskaya А.А., Bogolubsky I.L. JINR, E5-87-867, Dubna, 1987.

[95] Боголюбская А.А., Боголюбский И.Л. ОИЯИ, P5-88-311, Дубна,

1988.

[96] Боголюбская А.А., Боголюбский И.Л. ОИЯИ, Р5-88-873, Дубна, 1988.

[97] Иванов Б.А., Стефанович В.А. О двумерных топологических соли-тонах малого радиуса в магнетиках. ЖЭТФ, 1986, 91, 638.

[98] Косевич A.M., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. „Наукова думка" , Киев, 1983.

[99] Фаддеев Л.Д. В поисках многомерных солитонов. В сборнике материалов IX Международного совещания по нелокальным теориям поля, Алушта, 1976. ОИЯИ, Д2-9788, Дубна, стр. 207-223.

[100] Coleman S. Classical Lumps and Their Quantum Descendants, 1975 Erice Lectures, in A.Zichichi (ed.) "New Phenomena in Subnuclear Physics", Plenum Press, New York, 1977.

[101] Palais R. The Principle of Symmetric Criticality. Commun. Math. Phys. 69, 1979, p.19.

[102] Skyrme T.H.R. A Nonlinear Field Theory. Proc. R.Soc., A 260, 1961, p. 127.

[103] Derrick G.H. Comments on Nonlinear Wave Equations as Models for Elementary Particles. J.Math.Phys., 5, 1964, p. 1252.

[104] Воловик Г.Е., Минеев В.П. Частицеподобные солитоны в сверхтекучих фазах Не3. ЖЭТФ, 73, 1977, стр. 767-773.

[105] t'Hooft G. Magnetic Monopoles in Unified Gauge Theories. Nucl.Phys., B79, p. 276.

[106] Поляков A.M. Спектр частиц в квантовой теории поля. Письма в ЖЭТФ, 20, 1974, стр. 430.

[107] Белавин А.А., Поляков A.M. Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетика. Письма в ЖЭТФ, 22, 1975, стр. 503.

[108] Dzyaloshinskii I.E., Polyakov A.M., Wiegmann P.B. Neutral Fermions in Paramagnetic Insulators. Phys. Lett., A127, 1988, p. 112.

[109] Bogolubsky I.L. Three-dimensional Topological Solitons in the Lattice Model of a Magnet with Competing Interactions. Phys. Lett., A126, 1988, p. 511.

[110] Bogolubsky I.L. Bogolubskya A.A. 2D Topological Solitons in the Gauged Easy-axis Heisenberg Antiferromagnet Model. Phys. Lett. , В 395, 1997, pp. 269-274.

[111] a) Faddeev L.D. Pis'ma v Zh.E.T.F., 21, 1975, p. 141; b) Faddeev L.D., Lett. Math. Phys., 1, 1976, p. 289.

[112] Proceedings of the Conference on Extended systems in field theory, Phys. Rep., 23, 1976, p. 237.

[113] Friedberg R., Lee T.D. and Sirlin A. Phys.Rev., D13, 1976, p. 2739.

[114] Jackiw R. Rev. Mod. Phys., 49, 1977, p. 681.

[115] Раджараман P. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. „Мир" , Москва, 1985.

[116] Bogolubsky I.L. and Bogolubskaya A.A., JINR, E5-96-73, Dubna, 1996 (to be published in Annales de la Fondation Louis de Broglie).

[117] Bogolubsky I.L. and Bogolubskaya A.A., Soliton analogs of Abrikosov-Nielsen-Olesen vortices, in: Proc. of the 1st Workshop "Nonlinear Physics. Theory and Applications", Gallipoli (Lecce), 1995, Eds. E.Alfinito, M.Boiti, L.Martina and F.Pempinelli. World Scientific, Singapore, 1996.

[118] Schwartz A.S. Quantum Field Theory and Topology. Springer-Verlag, 1993.

[119] Бахвалов H.C., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Москва, „Наука" , 1987.

[120] Vilenkin A. and Shellard E.P.S. Cosmic Strings and Other Topological Defects. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

[121] Abrikosov A.A., Zh.E.T.F., 32, 1957, p.1442.

[122] Nielsen H.B. and Olesen P., Nucl. Phys., B61, 1973, p. 45.

[123] Higgs P. Phys. Lett., 12, 1964, p. 132.

[124] Schroers B.J. Bogomol'nyi Solitons in a Gauged 0(3) Sigma Model. Phys.Lett., B356, 1995, p. 291.

[125] Bogolubskaya A.A. and Bogolubsky I.L. Stationary Topological Solitons in the Two-dimensional Anisotropic Heisenberg Model with a Skyrme Term. Phys. Letters, A136, 1989, p. 485.

[126] Bogolubskaya A.A. and Bogolubsky I.L. On Stationary Topological Solitons in a Two-dimensional Anisotropic Heisenberg Model. Lett. Math. Phys., 19, 1990, p. 171.

[127] Bogolubskaya A.A. and Bogolubsky I.L. Computer Investigation of Stationary Topological Solitons in Two- and Three-dimensional Heisenbergtype Models. In: Proceedings of the International Conference on Numerical methods and Applications, Sofia, 1988. Publishing House of the Bulgarian Academy of Science, Sofia, 1989.

[128] Bogolubskaya A.A. and Bogolubsky I.L. Stationary Topological Solitons in Non-one-dimensional Sigma Models with Stabilizing Terms. In:

Proceedings of the 4-th International Workshop "Solitons and Applications", Dubna, 1989. World Scientific, Singapore, 1990.

[129] Plakida N.M. High-Temperatutre Superconductivity. Experiment and Theory. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1995.

Список иллюстраций

1.1 Одномерный шаблон для к = 4 .............. 17

1.2 Основание „пирамиды" двумерного шаблона для к =

4................................. 17

1.3 Решение периодической задачи со „столбиками " при г = 4, а = 0.4........................ 23

1.4 Симметричный набор точек для ц = 4..........27

1.5 Функция Грина для схемы 5-го порядка точности, а = 0.25, область С-устойчивости, п = 100,/— угол поворота............................. 30

1.6 Функция Грина для схемы 5-го порядка точности, а = 0.5, граница устойчивости, п = 100,/— угол поворота .............................. 31

1.7 Функция Грина для схемы 5-го порядка точности, а = 0.75, область неустойчивости, п = 100, /— угол поворота............................. 32

1.8 Решение периодической задачи со „столбиками" при

1 = 2 (<?— порядок схемы) .................. 33

2.1 Трёхуровневая схема Русанова для рассматриваемой задачи ........................... 38

3.1 Радиальные функции вг (г) солитонов с = I для различных р .......................... 69

3.2 Радиальные функции в2 (г) солитонов с = 2 для различных р.......................... 69

3.3 Зависимость /^(р) для солитонов с <3 = 1........ 70

3.4 Распределения плотности энергии и /Н(2){Г) при р = 1............................. 70

3.5 Профильные функции в(г) и а(г) солитонов с т = 1 для р =0.01, 0.03, 0.05 .................... 79

3.6 Профильные функции 0{г) и а(г) солитонов с т = 1 для р = 0.10 и 0.15.......................80

3.7 Распределение плотности энергии "Н(г) для двумерных солитонов при различных р............. 81

3.8 Распределение магнитного поля В(г) для солитонов

с т = 1 при различных р .................. 82

3.9 Зависимость энергии солитона Е от р.........83

Список таблиц

1.1 Значения Ь\ — норм функции Грина <т(п) для <? = 3 . . 22

1.2 Значения норм разностной функции Грина в и £2

при а = 0.4 = 4)....................... 28

3.1 Характерные значения величин Ст(р) т = 1,2 и кт для локализованных решений с <5 = 1,2 при различных р............................... 68