Дифференциалы прима на переменной компактной римановой поверхности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Тулина, Марина Ивановна

• Тулина, Марина Ивановна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Тулина, Марина Ивановна

Содержание

Вводенио

Глава 1. Дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности

§11 Предварительные с ведения

§12 Элементарные дифференциалы Прима

§13 Мультипликативиыс функции и единицы

§14 Базис фактор пространства Огр(^)/Ое35 §15 Векторные расслоения дифференциалов Прима над пространством Тейхмюллера 42 §1 С Дифференциалы Прима па гиперэллиптическои поверхности 48 §17 Дифференциалы Прима отрицательных порядков 50 §18 Специальные дивизоры дифференциалов Прима 53 Глава 2. Однозначные дифференциалы на переменной компактной римановой поверхности 62 §2 1 Однозначные элемешарпые диффереицпалы 63 §2 2 Пространства однозначных дифференциалов па переменно!I компактной римановой поверхности 73 §2 3 Однозначные дифференциалы отрицательных порядков 80 Глава 3. Точные вариационные формулы для группы моно-дромии уравнения третьего порядка на римановой поверхности

83

§3 1 Предварительные сведения

§3 2 Разложение вектор-решения в ряд при вариации в пространстве квадратичных дифференциалов

§3 3 Разложение в ряд Тейлора вектор-решения и элементов группы могюдромии

^3.4. Элементы группы монодромни при вариации по базе кубических

дифференциалов

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциалы прима на переменной компактной римановой поверхности»

Введение.

Теория мультипликативных функций и дифференциалов Прима для случаи специальных характеров на компактной римаповой поверхности нашла многочисленные приложения в теории функций, аналитической теории чисел и в уравнениях математической физики [1-9; 13:21;24-28:33:3 1|.

В работах [17;27] начато построение основ теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности для произвольных характеров.

Проведенные в работе исследования берут начало в основной работе Р. Ганнинга (1980 г.)[27], который возродил интерес к дифференциалам Прима для любых характеров и вместо пространства периодов предложил так называемое когомологическое расслоение Гаппинга для фиксированной поверхности и для любых характеров. В работе Чусшева В. В.117] предложено обобщить понятие когомологического расслоения Ганнинга над базой из пространства Тейхмюллера и группы характеров. В этой работе начато построение основ теории дифференциалов Прима для произвольных характеров, причем для переменной римановой поверхности.

В работах Н.М. Фар каш а и И. Кра [24] изложены элементы геометрической теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима для фиксированной поверхности и для любых характеров. Они изложили основной классический материал на 10 страницах своей книги (1992

г)-

На,та цель создать основы теории дифференциалов Прима для любых характеров как аналог теории абелевых дифференциалов. Отметим, что общая классическая теория абелевых дифференциалов строилась только

на фиксированной поверхности.

Построенные в работе основы теории дифференциалов Прима на переменной поверхности и с переменными характерами существенно отличаются от классической теории, причем используются новые; средства геометрической теории функций: пространства Тейхм юл.пера, группы характеров, векторные расслоения из дифференциалов Прима над пространством Тсйхмтоллера, универсальное многообразие Якоби, расслоения целых дивизоров с голоморфными сечениями над пространством Тейхмюллера и сложную технику работы с классами дивизоров на ри-мано вой поверхности.

Теория однозначных (абелевых) дифференциалов (р = 1) имеет ряд принципиальных отличий от теории дифференциалов с произвольными характерами (р 1). Кроме того, однозначные дифференциалы (особенно случаи порядков д = 1, д = 2) даже па фиксированной поверхности уже нашли многочисленные приложения в уравнениях математической физики, при алгебро-геометрическом интегрировании ряда нелинейных уравнений в работах С.П. Новикова [6; 9], И.М. Кричевера [5], Б.А. Дубровина [3]. И.А. Тайманова [13] и в теоретической физике (Р. Дик, С. Климек), а также в аналитической теории чисел в работах X. Фаркаша, И. Кра и теории пространств Тейхмюллера в работах Л.В. Альфорса, Л. Берса [1]. С.Л. Крушкаля [7] и К. Эрла [23].

Отметим существенные отличия наших результатов от имеющихся классических результатов, приведенных в книгах Дж. Спрингера [11]. Фаркаша-Кра и других книгах по классической геометрической теории функций на компактной римановой поверхности. Сначала заметим, что все объекты рассматриваются на переменной компактной римановой поверхности Для построения теории однозначных дифференциалов боль-

шую роль играют, так называемые, элементарные дифференциалы любого порядка, которые имеют минимальное количество полюсов: либо один полюс порядка > 2, либо два простых полюса, и голоморфно зависящие от модулей [д] компактных римановых поверхностей В нашей работе впервые дано полное конструктивное описание дивизоров элементарных как абелевых дифференциалов, так и дифференциалов Прима всех трех родов. Также рассмотрены элементарные дифференциалы любых целых порядков. Этот случай, как правило, отсутствует в учебниках по классической теории функций. Кроме того, в отличие от случая абелевых дифференциалов при д = 1 для случая д > 1 на переменной компактной римаповой поверхности рода д > 2 существует дифференциал порядка с.[ с единственным простым полюсом.

Метод дивизоров и применение многообразий Якоб и для переменной поверхности |17; 23] позволяют дать методы для развития теории как мультипликативных дифференциалов, так и однозначных дифференциалов.

Исследование группы моиодромии для решений линейных дифференциальных уравнений на компактной римаповой поверхности с помощью вариационных методов начато в работах Д.А. Хейхала (1976 г.). Он нашел первую вариацию для группы монодромии. В работах В.В. Чуешева получена точная вариационная формула для вектор-решения и элементов группы монодромии линейного дифференциального уравнения второго порядка на римаповой поверхности. Задача Пуанкаре о нахождении группы монодромии для заданного уравнения на компактной поверхности до сих пор не решена, за исключением очень небольшого числа уравнений (так, например, для гипергеометрического уравнения с тремя особыми точками на С). Так как явные решения найти невозможно

даже для уравнения второго порядка, то возникают вариационные задачи (Д.А. Хейхал [29-32]), которые показывают, как зависят образующие группы монодромии от малых вариаций в пространстве голоморфных дифференциалов.

Вариационные формулы нашли приложения в геометрической теории функций комплексного переменного на компактных римановых поверхностях и в теории пространств Тейхмюллера, в связи с упиформизацией компактных римановых поверхностей [1; 7; 8].

В нашей работе предлагается компактный способ вывода вариационных формул для вектор—решения и элементов группы монодромии с помощью векторпо-матричпой записи. Получены точные вариационные формулы при вариации в пространствах голоморфных квадратичных и кубических дифференциалов для вектор—решения и элементов группы монодромии па компактной римаповой поверхности рода д > 2 для линейного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка с любыми голоморфными коэффициентами. Эти теоремы продолжают исследования Д.А. Хсйхала [29: 31] и В.В. Чуешева |18] для уравнений порядка два на случай уравнений порядка три. Найдена связь этих вариационных формул с матричными дифференциалами Прима и с сечениями специальных голоморфных векторных расслоений па компактной римановой поверхности.

В первой главе впервые доказано существование и дано конструктивное построение элементарных дифференциалов для любых переменных характеров на переменной компактной римановой поверхности. Кроме того, дано полное конструктивное описание дивизоров элементарных дифференциалов всех трех родов на поверхности. Получены новые свойства пространств мероморфиых дифференциалов Прима на переменной

компактной рнмановой поверхности и для переменных характеров; найдены размерности и построены базисы основных типов векторных расслоений таких дифференциалов. В частности, найдена размерность и построен базис в первой голоморфной группе когомологий до Рама. Кроме того, построены явные базисы для таких фактор пространств на гиперэллиптической римановой поверхности.

Во второй главе построены основные типы элементарных абелевых дифференциалов любого целого порядка, голоморфно зависящие от модулей компактной римановой поверхности рода g > 2. С их помощью построены базисы локально голоморфных сечений всех основных типов векторных расслоений со слоями из абелевых q—дифференциалов над пространствами Тейхмюллера рода g > 2. Впервые дано полное описание дивизоров основных типов элементарных абелевых дифференциалов на переменной компактной римановой поверхности. Впервые дано описание абелевых дифференциалов отрицательных порядков.

В третьей главе изучается линейное обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка с голоморфными коэффициентами на компактной римановой поверхности рода g > 2. Доказана точная вариационная формула для вектор-решения при вариации по одному дифференциалу в пространстве голоморфных квадратичных абелевых дифференциалов. Найдены точные вариационные формулы как для вектор-решения, так и для элементов группы монодромии при вариации по полной базе пространства голоморфных кубических дифференциалов на компактной римановой поверхности. Эти вариационные члены являются матричными дифференциалами Прима по Р. Ганнингу, у которых характер совпадает с группой монодромии этого уравнения и сами матричные решения являются голоморфными сечениями векторного расслоения, которое яв-

лястсм тензорным произведением расслоения монодромии и канонического расслоения поверхности.

Глава 1.

Дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности.

§1.1. Предварительные сведения.

Пусть I7 будет фиксированная гладкая компактная ориентированная поверхность рода д > 2, с отмечанием {а^, т. е. набором об-

разующих в первой фундаментальной группе ^(.Р), а Го - фиксированная комплексно-аналитическая структура на К В дальнейшем ри-манову поверхность (Р; Ро) для краткости будем обозначать через ^о. По теореме униформизации существует конечно порожденная фуксова группа Г первого рода, инвариантно действующая на единичном круге (/ = {г е С : |г| < 1} такая, что V/Г конформно эквивалентна Ро, Г

изоморфна 7Г1 (Т7), и эта группа имеет представление:

9

¿=1

где Cj — [Ау, В-)\ = А]В:,А^1 В^1, ] = 1, .... д. и / - тождественное отображение плоскости С [1; 7].

Любая другая комплексно-аналитическая структура на Сможет быть отождествлена с некоторым дифференциалом Бельтрами д на Ро, т. е. выражением вида ¿г. которое инвариантно относительно выбо-

ра локально ['о параметра на Ро, где - комплекснозиачная функция на Ро и < 1 [1; 7]. Эту структуру на Р будем обозначать че-

рез Ясно, что ¡л = 0 соответствует Рц. Пусть М(Р) - множество всех комплексно-аналитических структур на ^ с топологией С°° сходимости на Dг//+(f?) - группа всех сохраняющих ориентацию гладких

диффеоморфизмов поверхности F на себя, Diff0(F) - нормальная подгруппа в Diff+(F), состоящая из всех диффеоморфизмов гомотопных тождественному диффеоморфизму id на F. Группа Di ff+(F) действует на M(F) по правилу ß ->• />, где / <е Diff+(F),ß е M(F). Тогда пространство Тейхмюллера Tff(F) = Tg(Fo) есть фактор-пространство M(F)/Diff0(F) [1; 7].

Так как естественное отображение U Fq = U/Г локальный диффеоморфизм, то любой дифференциал Бельтрами ß на Fq поднимается до Г—дифференциала Бельтрами ß (его обозначим тем же символом) на U, т. е. ß е Loo(U), |H|Loo(t/) = esssupz&u \ß{z)\ < 1, и

ß{T(z))T{z)/T{z) = zeu,Te г.

Если Г—дифференциал дна U продолжить на С\U, положив ß = 0, то существует единственный квазиконформный гомеоморфизм wß : С —> С с неподвижными точками +1,-1, г, которьш является решением уравнения Бельтрами w^ = ß(z)wz. Отображение Т —» Tß = wßT(ги^)'1 задает изоморфизм группы Г на квазифуксову группу Гм = wßT(wß)~l = (Af,..... : n?=iK. = -О- Два Г—дифференциала Бельтрами ß и v называются конформно эквивалентными, если существует конформное отображение h : Fß —» Fv гомотопное id на F. Класс [ß] конформно эквивалентных Г—дифференциалов соответствует точно одной точке И е Tg(F).

Классические результаты Альфорса JL, Берса J1 и других авторов утверждают, что: 1) Tg(F) является комплексно-аналитическим многообразием размерности Зд — 3 при д > 2; 2) Тg(F) имеет единственную комплексно-аналитическую структуру такую, что естественное отображение Ф : M(F) —>• M(F)/Diffo(F) = Тg(F) будет голоморфным и при этом Ф имеет только локальные голоморфные сечения; 3) элементы из

Гм голоморфно зависят от [/¿].

Два Г—дифференциала Бельтрами /I и и будут конформно эквивалентными, если и только если и^Т^и^)-1 = 'ш!УТ('ш'у)~1, Т ■ е Г. Естественно, что выбор образующих Ьк}дк=1 в тт^Р) эквивалентен выбору системы образующих {а^, Ь^}9к=1 в 7Г1(РМ), и {.А^, в Гм для любого

[д] из Т9.

Элемент 6 можно также задать как класс Е)] кон-

формно эквивалентных отмеченных компактных римановых поверхностей где Е есть упорядоченный набор гомотопических классов [<21]. [Ь\],..., [ад], [Ьд] ориентированных петель оц, Ь\, .... ад, Ьд. выходящих из фиксированной точки О е Г. и задающих каноническое рассечение на К При этом Е1) называется конс1юрмно эквивалентной Е2), если существует конформное отображение /г : —>• и образ упорядоченного набора петель из Е1 по к будет свободно гомотопен упорядоченному набору петель из Е2 на Р.

Отсюда получаем отождествления = ТЭ(Р) = Т5(Г),

положив [д] = Ь%}9к=1] = Гм. При этом имеем взаимно однознач-

ное соответствие между классами дифференциалов Бельтрами [д], классами конформно эквивалентных отмеченных римановых поверхностей [^ц] К, Щ£=1] и отмеченными квазифуксовыми группами Г^ [1; 7].

Универсальное многообразие Якоби рода д есть расслоенное пространство над чей слой над [д] £ Тэ есть многообразие Якоби для поверхности Т7^ [23; 24].

В работе Берса [1, с. 99] построены голоморфные формы (1М = ОЦмЦЖ-, -чСдЫ = Сд{ЫА№; удовлетворяющие условиям:

дТ ' ГА№

для всех Т Е Г/4, [д] Е Т9, £ 6 т= 1 ,...,д, где интеграл берет-

ся по любому пути в от £ до Для любого фиксированного

[д] £ Тд, эти формы являются поднятиями на голоморфных абе-

ловых дифференциалов (лМ)..., С5[м] на которые образуют канонический базис Берса на двойственный к каноническому гомотопическому базису на отмеченной компактной римановой поверхности Этот базис голоморфно зависит от модулей [д] отмеченной компактной римановой поверхности Кроме того, матрица Ь—периодов ^(м) = (^М)?/с=1 иа Рцч состоит из комплексных чисел.

гт)

*3кЫ = I^ ^Ы^^ш^ <Е и)»{и)..

Ясно, что эта матрица голоморфно зависит от [д] [24¡.

Для любых фиксированных [//] £ Т9 и £о Е определим класси-

ческое отображение Якоби : ги^(и) —> С9 по правилу:

= / = 1,......д.

По

Тогда (р индуцирует голоморфное вложение из ^ в причем инду-

цироваипое отображение из в Н\( J(F^l). Z) будет изоморфизм.

Далее, для любого натурального числа п > 1 существует расслоенное пространство ттп над Тд, у которого слой над [д] € Тд есть пространство всех целых дивизоров степени п па компактной римановой поверхности Голоморфные сечения этого расслоения определяют па каждой ^ целый дивизор степени п. который голоморфно зависит от [д]. Также существует голоморфное отображение <рп из этого расслоения на универсальное расслоение Якоби, п> 1, чьё ограничение па слои является продолжением классического отображения Якоби (р : ^ —> Известно, что для п — д отображение </? : [/¿] —> является аналитическим изоморфизмом, где ^[д] - д—кратное симметрическое произведение компактной римановой поверхности ^ и = )

имеет комплексную размерность, не превышающую д — 2 [24]. Установлено в |23], что при п > 2д — 2 существуют глобальные голоморфные сечения для 7ГП, проходящие через любую заданную точку в расслоении дивизоров. Локальные голоморфные сечения для 7Гп над окрестностью U([fio]) С можно получить (для любого п > 1 ) из локальных голоморфных сечений К. Эрла s для Ф : M(F) —>■ Тд над U([/j,q\) [23].

Характером р для F^ называется любой гомоморфизм р : (^(F^), •) —>■ (С", •). С" = С \ {0}. Характер единственно задается набором

Характер р для Fo называется нормированным, если \р(Т) \ — 1,Т G Г.

Определение 1.1.1. Мультипликативной функцией / па поверхности FM для характера р назовем мероморфную функцию / на w^(U) такую, что

f{Tz) = p{T)f{z), zew*{u), тег,;

Определение 1.1.2. га-дифференциалом Прима относительно фук-совой группы Г для р, или (р, га) — дифференциалом, называется дифференциал u(z)dzm такой, что

iü{Tz)(T'z)m = p{T)co{z), zeu, Т Е Г, р : Г ->• С*.

В частности, при га — 0, это мультипликативная функция относительно Г для р.

Если fo[/j] - мультипликативная функция па F^ для характера р без

нулей и полюсов, то ^ = d(\ogfo) - голоморфный абелсв дифференци-

df 9

ал на FM. Отсюда -f = £ cj(M> P)C¿M» гДе CiМ(д(М) ~ кано"

7 = 1

п и чески й базис голоморфных абелевых дифференциалов на переменной

поверхности Р//; и зналит

Рг 9

/о(М,Р) = /о(И,Ро)ехр ]

ЭД -7=1

где РоИ = /'М(Ро), РоМ е с3Ыр) е С, .7 = 1,...,.9, где с, зависят голоморфно от [/¿] и р [24; 27; 21]. При этом интегрирование ведется от фиксированной точки Ро[р] до текущей точки Р на переменной поверхности Рм, и й[/л] - сечение К. Эрла [23] над пространством Тейх-мюллера Тд.

Учитывая выбор канонического базиса {СА(А}9= 1-, Для канонического гомологического базиса а^, получим, что характер р для

/о и мест вид:

9

р{ак) = ехРс*(М>/>), = ехр(^с^([д],/))7г:7-А([д])), к = 1, где /с([д]) = /Ос[м]> 3) к = 1) ••■) 9- Будем называть такие характеры р

о;

несущественными, а /о (с таким характером) - единицей на Рм. Характеры. которые не являются несущественными, будем называть существенными па 7Г](РМ). Обозначим через Нот(ГМ,С*) группу всех характеров на с естественным умножением, а через Ья ~ подгруппу всех несущественных характеров на Г;1.

Лемма 1.1.1 [17, с.106]. Голоморфное главное Нот(Г, С*) — расслоение Е биголоморфно изоморфно тривианъному^расслоеиию Т5(Р)хЯот(Г, С*) над Т5(Р).

Определение 1.1.3. Дифференциал Прима ф класса

С1 на компактной римановой поверхности Р для характера р называется мультипликативно точным, если ф — с$(г) и /(Т\г) = р(Т)/(г), Т £ Г, 2 6 V, т. е. / - мультипликативная функция на Р класса

С2 для р. где Р = и/Г.

По аналогии с классической теорией абелсвых дифференциалов назовем мероморфпый дифференциал Прима ф = ф(г)(1хя первого, второго и третьего рода, если он либо не имеет полюсов, либо имеет полюса второго или более высокого порядка без вычетов, либо имеет полюс первого порядка соответственно [11; 24; 14].

Обозначим через Z1(T|1,p) для р Е Нот(ГМ,С*) множество всех отображений ф : Гд —> С таких, что

0(5Т) = 0(5) + р(5ЖТ), 5, ТЕ Г>

Каждый элемент ф Е Zl{T|Л)p) будет единственно определяться упорядоченным набором комплексных чисел ф(А 1), ..., ф(Ад), ф(В\),..., ф(Вд), удовлетворяющих уравнению

.7 = 1

9

которое получается из соотношения = / в Г^,, где а(Т) = 1 —

3=1

р(Т), Г Е Г„ = [А,, В,] = А1В1А~1В~1, А71 В3 Е Г,. Тогда р)

- комплексное векторное (2д — 1)—мерное пространство для р ф 1 и 2д—мерное пространство для р = 1. Пусть В1(Гм,р) - одномерное подпространство в Zl(T/^.p), порожденное элементом а. Тогда — Z1(Г|Л, р)/В1(Г1л, р) - комплексное векторное (2д — 2)—мерное пространство при р ф 1. Будем называть множество С = и Н1(Гм, р) когомологическим расслоением Ганнипга над Т5 х (Нот(Т. С*)\{1}) [27; 15].

Пусть ф - замкнутый дифференциал Прима на /о класса С°° для р. Проинтегрировав равенство из определения, от фиксированной точки 2(3; тг(¿о) = О, до 2 Е и. получим, что

./'(Тг) - ,/(Т20) = р(Т)(/(2) - /(го)), Ф = <*/(*), г Е С/,

где /(2) - интеграл Прима на круге II для дифференциала Прима ф. который определяется с точностью до аддитивного слагаемого. Отсюда

для Те Г верно равенство ДТг) = р(Т)/(г) + ф/,гп{Т), где ф^Т) = ,1'(Тго) — р(Т)/(го). Таким образом, каждому Т £ Г соответствует число Ф}.г0{Т), а значит, определено отображение 0/.го : Г —С. Это отображение называется отображением периодов для ф. Оно зависит от выбора интеграла Прима /(г) на и и базисной точки го- Если /1(2) = f(z) + с - другой интеграл Прима для того же дифференциала Прима ф, то ф1и20(Т) = Л(Тгь) - р(Т)Л(2о) = 0/!го(Т) + са{Т),Т £ Г. Легко проверить, что оба отображения и 0 удовлетворяют коцикличе-скому соотношению ф(5Т) = 0(5') + р(5)0(Т), 5, Т € Г. Это означает, что они принадлежат пространству ^(Г, р), и представляют один и тот же кла.сс периодов [0] из Я1 (Г. р) для дифференциала Прима ф на Р

127| ■

Для замкнутого дифференциала Прима ф можно определить так называемые классические периоды. Для Те Г соответствующий ему классический период ф;0{Т) = ф и верно равенство ф = = /(Тго) - ,/(г0) = ф^Т) - /(г0)<т(Т) [25; 21].

Классические периоды не зависят'от выбора интеграла Прима /(г) для дифференциала Прима 0 при фиксированной базисной точке го. Легко видеть однако, что ф2о{Т) зависит от выбора базисной точки го-

Следовательно, отображения вида Т —> ф/>2()(Т) (периоды по Ганнин-гу |27|) и вида Т —> ф = фга(Т) (классические периоды [21; 34]) определяют один и тот же класс периодов [ф] 6 Н1{Т.р) для дифференциала Прима ф на Р для р. Поэтому корректно определено С—линейное отображение р : ф —» [ф] из векторного пространства замкнутых дифференциалов Прима ф на Р для р в векторное пространство Н1(Г, р).

Обозначим через ^ДР^) пространство дифференциалов Прима второго рода па Р/4 для характера р [11].

Лемма 1.1.2. Если ш Е Пг.ДР^) имеет класс периодов [о;] = 0 в то и - мультипликативно, точный дифференциал на Рм для

Р-

Доказательство. Достаточно доказать это для фиксированных поверхности и характера. Будем рассматривать классические (полярные) периоды 0^0(71),... , си^0(7т)) которые получаются при обходе по петлям 71,..., 7т вокруг отдельных полюсов Р1;..., Рт для дифференциала'а; соответственно. Число этих полюсов конечно, в виду компактности Рм. Периоды ш2о (71),..., а;го(7т) все обращаются в нуль, так как эти периоды равны вычетам для ветвей нашего многозначного дифференциала второго рода.

Если класс периодов [о;] = 0, то отсюда классический'период сиго(Т) = са(Т), с ф 0 для любого Т, где ыго(Т) = ¡{Тго) — ./'(¿о) = с(1 — р{Т))} а / - некоторый интеграл Прима для дифференциала, ш. Тогда / = (./ — с) будет мультипликативной функцией для р и и = = (¿(/ — с). Поэтому (циклические) периоды и=0(а\), ...,и)го(Ьд) все равны нулю для.некоторого представителя и £ [оф Следовательно и является мультипликативно точным дифференциалом для р на Рц. Лемма доказана.

Дивизором на Рм назовем формальное произведение О — Р™1 • • • Р^. Р) £ Р^п, £ Z, ] = 1 ,...,к. Обозначим через гр(Р~1) и гр-\{0) пространства функций /, кратных дивизору Р>-1 для характера р. и пространства дифференциалов Прима, кратных дивизору В для характера р~1, соответственно на Р.

Теорема (Римана-Роха для характеров) [24]. Пусть Р - компактная римапова поверхность рода д > 1. Тогда для любого дивизора В на Р и любого характера р верно равенство:

Г-Д1Г1) = дедВ - д + 1 + гр-1(Р>).

Введем, по аналогии с абелевыми дифференциалами, пространство мероморфных д-дифференциалов ф = ф(г)дгч на, Р для характера р таких, что (ф) > Г), где д Е Z. Его .комплексная размерность есть число

'РА")'

Теорема (Рнмана-Роха для (р. д)-дифференциалов) [17]. Для любых д > О и, д Е Ъ верно равенство

гм(Д) = (д- 1)(2д - 1) - <1гдВ + =

(д - 1)(2д - 1) - ¿едИ + 7^)

при любом характере р. где / - любая мультипликативная функция для, р. / ф 0, а Z - канонический класс дивизоров абелевыл ■дифференциалов на компактной римановой поверхности Р рода д.

Докажем два. важных следствия из теоремы Римана-Роха. которые будут играть существенную роль в нашей работе.

Теорема 1.1.1. Для, любого существенного (несуи^ествепного) характера р на компактной рима,новой поверхности Рр рода, д > 2 существуют д — 1 различных точек Р\,..., Рд~\ (существуют д различных точек Р1.....Рд). локально голоморфно зависящих от [р] и р. таких, что не суш,ествует мультипликативных функций для р па Рр) чьи особенности только полюса порядка не выше 1 в этих точках, т. е.

Доказательство. Из теоремы Римана-Роха имеем 0 < rí0(D~1) = с1едВ — д + 1 + ър-\(И). Пусть И — Р\- ■ ■ Рп для попарно различных точек Р\. .... Рп, п > 1, тогда йедИ = п и > д — 1 — п для любого

целого дивизора В степени п на локально голоморфно зависящего от [р] и р. Содержательно это утверждение только при д — 1 > п > 1.

Для любой точки Рь локально голоморфно зависящей от [р], имеем д — 1 = > гР-1{Р\) > 9 ~ 2, а также гр-1{Р\) < д — 2. Таким

образом. 2р-\ (Рх) = д — 2. При д — 2 теорема доказана. Пусть д > 3. Тогда возьмем любой дифференциал ей € Цэ-^Рх) такой, что и; 0 на РМо и разложим его по базису. Так как характер существенный, то ¿15 можно представить в виде ш — С^х^р], р) + • • • + С9_хС/-1([м], р). Будем ечтагь все коэффициенты Сг постоянными для рь из малой окрестности и{р,$) в Т9. Тогда и) будет голоморфно зависеть от [р].

Выберем вторую точку Р2. У дифференциала ¿15 есть нули, их будет 2д — 2, т. е. конечное число. Возьмем любую точку Р2 (рассматриваем ее как локально постоянное голоморфное сечение) так, чтобы она не совпадала с этими нулями. Тогда дифференциалы и в Р2 не равны пулю на Рм. Таким образом, получим следующее неравенство д — 3 < гр-1{Р\Р2) < д — 3. За п = д — 1 шагов получим д — 1 таких точек, для которых уже выполняется условие ър-^{Р\ ■ ■ ■ Рд-\) = 0. Доказательство для несущественного характера получается аналогично, с учетом того. что в этом случае -лр-1 (1) — д и гД-^) > 1 для любого целого дивизора Р. Теорема доказана. _

Определение 1.1.4. Компактная риманова поверхность Р называется гиперэллиптической, если на ней существует целый дивизор Р степени degD = 2 и размерность г(Р-1) > 2.

Теорема (Абеля для характеров)[24]. Пусть Р) - дивизор и,а отмеченной переменной компактной римановой поверхности [Рд, {а^,.... а^, ¿1. .... Ь^}] рода д > 1 и р - характер на 7Гх(Рд). Тогда Р> будет дивизором м,ультиплика,тивной функции / па Рм для характера р (1едО = 0 и

= гЬ - ^ ^(л М))

7 = 1 7=1

о С9 модулю целочисленной решетки Р(РМ), пороо!сденной столбца,-

ми ..., г^^д], ..., 7г^)[/л] матрицы а^ — периодов и Ь11—периодов

канонического базиса £д[м]>..., Сд[/~<] для канонического гомологического базиса на Рр. где (р[р] - отображение Якоби из Рр в многообразие Яко-би.1(Р,).

Отметим, что, по теореме Берса [1, с.99], отображение ф зависит локально голоморфно от р и [р].

Теорема (о мультипликативных' пробелах Вейерштрасса) [16; 17]. Для любого существенного характера р и любой точки Р на компактной римановой поверхности Р рода д > 2 существует точно д — 1 ■чисел, (.мультипликативных пробелов Вейерштрасса) щ. удовлетворяющих неравенствам

О < п\ < ... < пд-1 < 2д,

которые определяются так. что для ка/лсдого г, г = 1, ...,д — 1. не существует мероморфной мультипликативной функции для р на Р. име-юш,ей в качестве единственной особенности полюс в Р точно порядка пг.

Определение 1.1.5. Точка Р называется мультипликативной точкой Вейерштрасса для несущественного (существенного) характера р на Р. если для Р существует мультипликативный непробел 7,1 < ] < д. (]. 1 < ] < д — 1), т. е. существует мультипликативная функция / для р на Р с единственным полюсом в Р точно порядка < д (7, ^ < д — 1).

Определение 1.1.6. Точка Р Е Р называется мультипликативной д—точкой Вейерштрасса (д > 1) для существенного характера р на Р. если строго положителен ее вес трд(Р). относительно пространства голоморфных дифференциалов Прима для р~1 на Р.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тулина, Марина Ивановна, 2013 год

Литература.

1. Альфорс Л.В.. Вере Л. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. М. : ИЛ, 1961.

2. Бейкер Г.Ф. Абелевы функции. Теорема Абеля и связанная с ней теория тэта-функций. М.: МЦНМО, 2008.

3. Дубровин Б.А. Тэта-функции и нелинейные уравнения. Успехи ма-тем. наук. 1981. Т.36. В. 2. С. 11 - 80.

4. Дубровин Б. А., Римановы поверхности и нелинейные уравнения, 4.1, МГУ, М., 1986.

•5. Кричевер И.М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений. Успехи матем. наук. 1977. Т. 32, Вып. 6. С. 180-208.

6. Кричевер И.М., Новиков С.П. Алгебра типа Вирасоро, тензор энергии-импульса и операторные разложения на римановых поверхностях. Функ-цион. анализ и его приложения. 1989. Т.23. В.1. С. 24 - 40.

7. Крушкаль С.Л. Квазиконформные отображения и римановы поверхности. Новосибирск: Наука, 1975.

8. Монахов В.Н., Верховод Д.Б., Семенко Е.В. Краевые задачи для квазианалитических функций на компактной римаиовой поверхности. Институт гидродинамики СО РАН СССР. Новосибирск, 1990.

9. Новиков С.П. Периодическая задача Кортвега - де Фриза. Функци-он. анализ и его приложения. 1974. Т. 8. В 3. С. 54 - 66.

10. Пушкарева Т.А. Вычеты и элементарные дифференциалы Прима на компактной римановой поверхности. Вестник НГУ, 2013, в.З , с. 1-25

11. Спрингер Дж. Введение в .теорию римановых поверхностей. М. : ИЛ, 1960.

12. Стинрод Н. Топология косых произведений. М.: ИЛ, 1953.

13. Тайманов И.А. Секущие абелевых многообразий, тэта функции и

солитонные уравнения. Успехи матем. наук. 1997. Т. 52. В\ 1. С. 150 -224.

14. Форстер О. Римановы поверхности. Москва: Мир, 1980.

15. Чуешов В.В. Когомологическое расслоение Ганнипга и группа То-релли. Сибирск. матем. журн. 1990. Т. 31. N 3. С. 198 -. 203.

16. Чуешев В.В. Мультипликативные точки Вейерштрасса и многообразия Якоби компактной римановой поверхности. Матем. заметки, 2003, т. 74, .N'5 4, с.629-636.

17. Чуешев В. В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности. КемГУ, Кемерово. 2003, 248 с.

18. Чуешев В.В. Точная вариационная формула для группы моно-дромии на компактной римановой поверхности. Математические труды Института математики им. С.Л. Соболева,. СО РАН, 2004, т. 7, N 2, С. 126-158.

19. Чуешев В. В. Геометрическая теория функций на компактной римановой поверхности. КемГУ, Кемерово. 2005, 401 с.

20. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.2. Москва: Наука, 1985.

21. Appell P., "Sur les integrales de fonctions a multiplicateurs et leur application an développement des fonctions abeliennes en series trigonometri-ques" , Acta Math.,13:3/4(1890), 1-174..

22. Arbarello E. Weierstrass points and moduli of curves. Compositio Math. 1974, v. 29, p.325-342.

23. Earle C.J. Families of Riemann surfaces and Jacobi varieties. Annals of Math. 1978, v.107, p. 255-286.

24. Farkas H.M., Kra I. Riemann surfaces. Grad. Text's Math. 1992. V.

71. New-York : Springer.

25. Fay J., "Analytic Torsion and Prym differential" , Proc. of the 1978 Stony Biook Conf., Princeton Univ. Press, Princeton, 1980, 107-122.

26. Granert H. Analytische Fasernngen ueber holomoiphvollstaendigen Raeumen. Math. Ann. 1958. V. 135. S. 266 - 273.

27. Gunning R.C. On the period classes of Prym differentials. J. Reine Angew. Math. 1980. V. 319. P. 153 - 171.

28. Gunning R.C. Lectures on vector bundles over Riemann surfaces. Princeton: Princeton Univ. Press., 1967.

29. Hejhal D.A. Monodromy groups for higher-order differentials equation. Bull. Amei. Math. Soc, 1975, v. 81, N 3, p. 590-592.

30. Hejhal D.A. Monodromy groups and linearly polymorphic functions. Acta Math. 1975, v. 135:1-2, p.1-55.

31. Hejhal D.A. The variational theory of linearly polymorphic functions. J. d'Analyse Math., 1976, v. 30, p. 215-264.

32. Hejhal D.A. Monodromy groups and Poincare series. Bull. Airier. Math. Soc . 1978, v. 84. N 3, p.339-376.

33. Peteisson H., "Ueber eine metrisierung der automorphen Formen im die Theorie der Poincareschen Reinen" , Math. Ann.. 117:4(1940), 453-457.

34. Prym F , Rost G. Theorie der Prymschen Funktionen erster Ordnung im Anschluss an die Schoepfungen Riemann's. Leipzig: Teubiier, 1911.

Список работ автора по теме диссертации.

35. Головина М.И Дивизоры дифференциалов Прима на римановой поверхности // Всстник КемГУ / Кемерово, 2011, т. 3/1. С.193-199.

36. Тулина М.И. Однозначные дифференциалы, и специальных дивизоры, для дифференциалов Прима // Сиб. матем. журн. 2013. Т. 54, № 4. С. 914-931.

37. Тулина М.И. Explicit variational formulas for third-order equations oil Riemann surfaces // Journal of Siberian Federal University, Mathematics, Physics, 2013, 6(3), C. 366-376.

37. Головина М.И. Пространства мероморфных дифференциалов Прима на компактной римаповой поверхности // Материалы X'LIII Студенческой научно-практической конференции / ГАГУ. Горно-Алтайск. 2008. С. 300-307.

38. Головина М.И. Дифференциалы с o6iu;u,mu характерам,и на римаповой поверхности // Сборник научных трудов кафедры математического анализа Г-АГУ, Горно-Алтайск. N 3, 2011. С. 12-21.

39. Головина М.И. Meromorphic Prym differentials on compact Riemann surface // Works of the 8th Congress of the ISAAK - 2011. -^Moscow, 2011, C. 15-22.

40. Головина М.И. Дифференциалы, Прима на переменной компактной римаповой, поверхности // VI Всесибирский конгресс женщин - математиков / Красноярск. 2010. С. 90-94.

41. Головина М.И. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римапо'вой поверхности // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу / Горно-Алтайск, 2010. С. 10-13.

42. Головина М.И. Дифференциалы Прима на переменной компактной поверхности // XLVIII Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс"/ Новосибирск, 2010. С. 24.

43. Головина М.И. Пространства дифференциалов Прима на переменной компактной римаповой, поверхности, // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу / ГАГУ/ Горно-Алтайск,.2011.

С. 21-24.

44. Головина М.И. Дифференциалы Прима и мультипликативные точки Вейер'штрасса па переменной римаповой поверхности /'/ Материалы ХЫХ международной научной студенческой конференции / Новосибирск, 2011. С. 94.

45. Головина М.И. Мультипликативные дифференциалы Прима на перемени,ой римаповой поверхности // Материалы десятой международной Казанской летней научной школы-конференции / Казань, 2011.

46. Головина М.И. Meromoiphic Prym differentials on a variable Riemann surface /,/ 8-й Международный конгресс ISAAK 2011 / Москва, 2011. С.

47. Головина М.И. Пространства мероморфных дифференциалов Прима на переменной компактной римаповой поверхности /'/ Международная школа-конференция по геометрии и анализу / Кемерово, КемГУ,

48. Головина М.И. Prym differentials on Riemann surface.// Материалы школы-конференции по геометрическому анализу /.ГАГУ, Горно-Алтайск, 2012. С. 11.

49. Головина. М.И., Чуешев В.В. Однозначные дифференциалы па, компактной рима,новой поверхности // Тезисы IV российско-армянского совещания по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам / Красноярск, 2012, С. 15-16.

С. 92-94.

49

2011.