Формы Дирихле и емкости, связанные с бесконечномерными вероятностными распределениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, доктор физико-математических наук Пугачев, Олег Всеволодович

• Пугачев, Олег Всеволодович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Пугачев, Олег Всеволодович

Общая характеристика работы

Краткое содержание диссертации

Глава 1. Формы Дирихле

1.1. Замыкаемость квадратичных форм

1.2. Продолжения соболевских функций

1.3. Решение проблемы Рёкнера

1.4. Сходимость Моско и ее приложения

1.5. Сходимость Моско диффузионных форм Дирихле

Глава 2. Соболевские емкости

2.1. Классы Соболева в локально выпуклых пространствах

2.2. Плотность соболевских емкостей в локально выпуклых пространствах

2.3. Пространство конфигураций

2.4. Мера Пуассона

2.5. Соболевские классы в пространстве Пуассона

2.6. Плотность соболевских емкостей в пространстве Пуассона

2.7. Свойства подпространства конфигураций без кратных точек

Глава 3. Преобразования мер

3.1. Локальные соболевские функции

3.2. Одномерный образ бесконечномерного распределения

3.3. Поверхностные меры в локально выпуклых пространствах

3.4. Поверхностные меры в пространстве конфигураций

3.5. Формула Остроградского-Гаусса в пространстве конфигураций

3.6. Квазиинвариантность меры Пуассона 175 Список литературы

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формы Дирихле и емкости, связанные с бесконечномерными вероятностными распределениями»

Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 2, 177-238.

Choquet G. Theory of capacities. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1955, v. 5, 131-295.

Фомин С.В. Дифференцируемые меры в линейных пространствах. Тезисы кратких научи, сооб-щ. Международного конгресса математиков: Секция 5, 78-79. Изд-во МГУ, М., 1966.

Malliavin P. Stochastic calculus of vaiiation and hypoelliptic operators. Proc. Intern. Symp. on Stoch. Diff. Eq. (Res. Inst. Math. Sci., Kyoto Univ., Kyoto, 1976), 195-263. Wiley, New York - Chichester -Brisbane, 1978.

Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин C.B. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. Тр. Моск. мат. об-ва, 1971, т. 24, 133-174.

Скороход А.В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. Наука, M., 1975. у

Далецкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Наука, М., 1983.

Богачев В.И., Смолянов О.Г. Аналитические свойства бесконечномерных распределений. Успехи мат. наук, 1990, т. 45, N 3, 3-83.

Uglanov A.V. Integration on infinite-dimensional surfaces and its applications. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 2000.

Вогачев В.И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. РХД, Москва-Ижевск, 2008.

11Bell D. The Malliavin calculus. Wiley and Sons, N.-Y., 1987.

Malliavin P. Stochastic analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1997.

Nualarfc D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. Springer-Verlag, Berlin, 2006. дифференцируемых мер и исчислением Маллявэна подробно исследованы в работах14'8'10 и книгах15'10. В данной диссертации существенно используются идеи и методы теории дифференцируемых мер и исчисления Маллявэна. Более того, часть основных результатов диссертации, относящихся к построению поверхностных мер для бесконечномерных вероятностных распределений, дает решения задач на стыке этих двух областей.

Первая общая конструкция поверхностной меры на бесконечномерном пространстве была предложена A.B. Скороходом6. A.B. Угланов существенно модифицировал эту конструкцию и построил общую теорию поверхностного интегрирования на бесконечномерных пространствах (см.16,9), а также получил важные приложения этой теории к решению бесконечномерных дифференциальных уравнений с частными производными. Однако метод A.B. "Угланова требует топологических ограничений на рассматриваемые поверхности (типа непрерывности некоторых производных). Для гауссовских мер эти ограничения удалось снять в работе17 с помощью исчисления Маллявэна. В.И. Вогачев18 предложил схему построения поверхностных мер для негауссовских гладких мер с использованием исчисления Маллявэна. Этот подход был развит автором, что позволило снять топологические ограничения и для общих дифференцируемых мер и построить поверхностные меры на множествах уровня соболевских функций. От этих функций не требуется даже непрерывность (таковы типичные функции, появляющиеся в теории случайных процессов и задаваемые с помощью стохастических интегралов). Построение и исследование поверхностных мер

Bogachev V.l. Differential properties of measures on infinite dimensional spaces and the Malliavin calculus. Acta Univ. Carolinae, Math, et Phys., 1989, v. 30, N 2, 9-30.

Богачев В.И. Гауссовские меры. Наука, M., 1997.

Угланов A.B. Поверхностные интегралы в банаховом пространстве. Мат. сб., 1979, т. 110, N 2, 189-217.

Airault H., Malliavin P. Intégration géométrique sur l'espaces de Wiener. Bull. Sei. Math. (2), 1988, V. 112, N 1, 3-52.

•^Bogachev V.l. Smooth measures, the Malliavin calculus and approximation in infinite dimensional spaces. Acta Univ. Carolinae, Math, ct Phys., 1990, v. 31, N 2, 9-23. в бесконечномерных пространствах, причем не только линейных, но и в пространствах конфигураций, входит в круг основных целей диссертации.

В описанной проблематике существенную роль играет изучение емкостей, порожденных классами Соболева относительно бесконечномерных вероятностных распределений. Их исследование важно и для многих других вопросов теории бесконечномерных вероятностных распределений и теории случайных процессов. В последние три десятилетия емкости, связанные с классами Соболева на бесконечномерных пространствах или с весовыми классами Соболева на конечномерных пространствах, исследуются весьма интенсивно19,20'10,12,15. В геометрической теории меры и стохастическом анализе часто возникает потребность в более тонкой характеристике малости множества, чем сама мера. Важным примером такой характеристики является емкость. Свойства соболевских емкостей на бесконечномерных пространствах рассматривались в ряде работ как для гауссовских, так и для некоторых негауссовских мер21'12,22,10, однако для общих дифференцируемых мер до сих пор имелись лишь отдельные результаты, а случай пространства конфигураций ранее вообще не исследовался.

Одной из наиболее принципиальных и просто формулируемых (но, как правило, трудных) проблем в связи с емкостями, порожденными классами Соболева по вероятностным мерам, является проблема их плотности, т.е. существования компактов со сколь угодно малыми емкостями дополнений. Эта проблема весьма актуальна и в стохастическом анализе, и в теории меры. В отличие от радоновских мер, общие емкости

-®Ма Z.M., Röckner M. An introduction to the theory of (non-symmetric) Dirichlet forms. Springer, Berlin, 1992.

Fukushima M., Oshima Y., Takeda M. Dirichlet forms and symmetric Markov processes. De Gruyter, Berlin - New York, 1994.

Fukushima M. Basic properties of Brownian motion and a capacity on the Wiener space, J. Math. Soc. Japan, 1984, v. 36, N 1, 161-176.

Kusuoka S. Dirichlet forms and diffusion processes on Banach spaces, J. Fac. Sei. Univ. Tokyo, Sec.lA, 1982, v. 29, N 1, 79-95. даже на очень простых пространствах (например, на прямой) отнюдь не всегда плотны, несмотря на то, что по известной теореме Шоке внутренне компактно регулярны. Это связано с неаддитивностью большинства емкостей. Во многих случаях плотность емкости ответственна за существование диффузии. Вопрос о плотности классических соболевских емкостей на Мп решен положительно, см., например23,24. В бесконечномерном случае появляется широкое разнообразие пространств, мер и определений соболевских классов. Данная проблема рассматривалась в работах25'15. Плотность емкостей С\$ важна при построении диффузионных процессов. Кроме того, плотность емкостей, порожденных классами является существенной деталью конструкции поверхностных мер на бесконечномерных пространствах и многообразиях, развитой в третьей главе диссертации. С вероятностной точки зрения, оценки емкости различных множеств важны для понимания поведения диффузионных процессов, например, возможности попадания в эти множества. Бесконечномерные пространства обладают заметной спецификой при изучении соболевских емкостей.

Один из важнейших объектов в этих исследованиях — формы Дирихле. Этот аналитический объект тесно связан с целым спектром вероятностных понятий и проблем, относящихся к сходимости случайных процессов. Замыкаемости и сходимости форм Дирихле и свойствам связанных с ними диффузионных процессов и классов Соболева посвящено множество исследований, из которых особенно важны

Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. Москва, „Наука", 1983.

24Мазья В.Г. Пространства С.Л.Соболева. Л: Изд-во ЛГУ, 1985.

Rockner М., Schmuland В. Tightness of general CilP capacities on Banach space, J. Funct. Anal., 1992, v. 108, N 1, 1-12. работы26'27'28'29,30'31. В частности, проблема замыкаемости квадратичных форм возникает в стохастическом анализе, в теории дифференциальных операторов и теории пространств Соболева32'19. Чтобы градиентная квадратичная форма Дирихле вида = J |v/|2^ могла быть ассоциирована с некоторым диффузионным процессом, необходима ее замыкаемость. В случае, когда вероятностная мера ß на M.d задана дифференцируемой (в соболевском смысле) плотностью д, существует диффузионный процесс удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению d£t = л/2 dwt + dt вШ i и имеющий стационарное распределение ¡i — gdx. Генератор L переходной полугруппы этой диффузии имеет вид Lf = Д/ + (-y,V/). Квадратичная форма этого оператора на области Cq°(W1) в L2(fi) есть форма Дирихле £(/). Оказывается, что форма Дирихле 8(f) может быть замыкаемой и для мер с недифференцируемыми плотностями. Таким способом строятся диффузии с сингулярными коэффициентами сноса. На многих пространствах типа фракталов такой способ построения является основным даже для наиболее простых диффузий, например, броуновского движения. Этому направлению принадлежит

Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993.

Жиков В.В. О весовых соболевских пространствах. Мат. сборник, 1998, т. 189, N 8, 27-58.

2^Mosco U. Composite media and Dirichlet forms, J. Punct. Anal., 1994, v. 123, 368-421. "^Кириллов А.И. Бесконечномерный анализ и квантовая теория как исчисления семимартингалов. Успехи мат. наук, 1994, т. 49, N 3, 43-92.

Kuwae К., Shioya Т. Convergence of spectral structures: a functional analytic theory and its applications to spectral geometry. Comm. Anal. Geom., 2003, v. 11, N 4, 599-673.

Kolesnikov A.V. Mosco convergence of Dirichlet forms in infinite dimensions with changing reference measures. J. Punct. Anal., 2006, v. 230, 382-418.

Albeverio S., Röckner M. Classical Dirichlet forms on topological vector spaces - the construction of the associated diffusion process, Probab. Theory Relat. Fields, 1989, v. 83, 405-434. один из основных результатов первой главы диссертации, который дает решение долго стоявшей проблемы существования такой замыкаемой градиентной формы Дирихле на плоскости, что частные формы не являются замыкаемыми.

Наконец, еще одно активно развивающееся современное направление в теории бесконечномерных вероятностных распределений, к которому относится ряд основных результатов данной диссертации, связано с изучением пространств конфигураций, т.е. пространств локально конечных наборов точек из данного фазового пространства, например, риманова многообразия. Пространства конфигураций возникают во многих теоретических и прикладных задачах. На них строятся меры, представляющие собой различные обобщения распределения Пуассона33. На пространствах конфигураций имеется естественная и очень интересная структура бесконечномерного многообразия. Этому направлению посвящено много исследований, см., например, работы34'35'36,37'38'39'40'41,42. В диссертации строятся соболевские классы любых порядков на пространстве конфигураций с мерой Пуассона; изучается проблема плотности порожденных ими емкостей. Кроме того,

Кингман Дж. Пуассоновские процессы. МЦНМО, М., 2007.

В ершик A.M., Гельфанд U.M., Граев М.И. Представления групп диффеоморфизмов, Успехи мат. наук, 1975, т. 30, N 6, 1-50.

Исмагнлов P.C. Унитарные представления группы диффеоморфизмов пространства Rn, п > 2, Мат. Сборник, 1975, т. 98, 55-71.

Смородина Н.В. Формула Остроградского-Гаусса для пространства конфигураций. Теория ве-роятн. и ее примен., 1990, т. 35, N 4, 725-736.

Давыдов Ю.А., Лифшиц М.А., Смородина Н.В. Локальные свойства распределений стохастических функционалов. Физматлит, М., 1995.

Privault N. Girsanov theorem for anticipative shifts on Poisson space. Probab. Theory Relat. Fields, 1996, v. 104, 61-76.

Albeverio S., Kondratiev Yu.G., Röckner M. Analysis and geometry on configuration spaces, J. Funct. Anal. 1998, v. 154, N 2, 444-500.

Tsilevich N., Vcrshik A., Yor M. An infinite-dimensional analogue of the Lebesgue measure and distinguished properties of the gamma process. J. Funct. Anal, 2001, v. 185, N 1. 274-296.

Albeverio S., Smorodina N.V. A distributional approach to multiple stochastic integrals and transformations of the Poisson measure. Acta Appl. Math., 2006, v. 94, 1-19.

Смородина Н.В. Кратные стохастические интегралы и „пепуассоповские" трансформации гамма-меры. Зап. научн. семин. ПОМИ РАН, 2005, т. 328, 191-220. оцениваются емкости различных порядков для множества конфигураций, имеющих кратные точки. Эти вопросы ранее не изучались.

Последняя группа результатов связана с преобразованиями мер на пространствах конфигураций. Квазиинвариантность гауссовских и некоторых других бесконечномерных распределений относительно нелинейных преобразований функциональных пространств изучалась многими авторами, начиная с классических работ Камерона и Мартина, Маруямы, Прохорова, Скорохода, Гирсанова. Обзор этих исследований и современное состояние вопроса можно найти в книгах15'43. В работах34,35 установлена квазиинвариантность меры Пуассона относительно преобразований конфигураций на многообразии М, порожденных диффеоморфизмами самого М. В работе38 получено обобщение теоремы Гирсанова на пуассоновские процессы, вероятностное пространство которых изоморфно пространству конфигураций на [0; +оо) с мерой Пуассона. В работах41'42 получены достаточные условия квазиинвариантности меры Пуассона при преобразованиях конфигураций на многообразии вида 5 х [0;+сю), сдвигающих точки вдоль второго сомножителя. В диссертации получены формулы преобразования мер на пространствах конфигураций на конечномерных многообразиях под действием отображений значительно более общего вида.

Цель работы. Исследование замыкаемости градиентных форм Дирихле и получение условий слабой сходимости конечномерных распределений сингулярных диффузионных процессов в терминах порожденных ими форм Дирихле. Доказательство плотности соболевских емкостей, связанных с бесконечномерными вероятностными распределениями, и построение поверхностных мер на множествах уровня соболевских функций относительно таких распределений. Исследование емкостей и поверхностных мер на пространствах конфигураций с пуассоновскими распределениями. Нахождение условий абсолютной непрерывности пуассонов-ских распределений относительно нелокальных преобразований.

Ustiinel A.S., Zakai М. Transformation of measure on Wiener space. Springer, Berlin, 2000.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Решена долго стоявшая проблема теории форм Дирихле: построена мера д на I2, для которой градиентная квадратичная форма замыкаема, но частные квадратичные формы не замыкаемы. При построении использован новый положительный результат, дающий достаточное условие замыкаемости форм Дирихле относительно сужений меры Лебега на множества.

2. Получены новые достаточные условия сходимости Моско конечномерных и бесконечномерных форм Дирихле. Это дает эффективно проверяемые условия слабой сходимости конечномерных распределений диффузионных процессов.

3. Доказана плотность емкостей, порожденных классами Соболева различных порядков в широком классе локально выпуклых пространств, а также в пространствах конфигураций.

4. Получены достаточные условия нулевой емкости множества конфигураций, имеющих кратные точки.

5. Результаты о соболевских емкостях применены для построения поверхностных мер на множествах уровня соболевских функций, порожденных бесконечномерными вероятностными распределениями, а также поверхностных мер на пространствах конфигураций.

6. Доказана квазиинвариантность мер Пуассона для широкого класса нелокальных преобразований пространств конфигураций.

Методы исследования. В работе применяются методы теории бесконечномерных вероятностных распределений, в частности, теория слабой сходимости мер, теория дифференцируемых мер, теория форм Дирихле, а также исчисление Маллявэна. Используются методы функционального анализа, в том числе, теория соболевских классов и емкостей. Кроме того, используется ряд оригинальных конструкций автора.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы в теории случайных процессов, теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений с частными производными на бесконечномерном пространстве, математической физике, геометрической теории меры. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в МГУ им. М.В. Ломоносова, МИ АН им. В.А. Стеклова, ПОМИ РАН им. В.А. Стеклова, С.-ПГУ, НГУ, ИМ СО РАН, МГТУ им. Н.Э. Баумана, ДВНЦ РАН.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международном семинаре «Бесконечномерный стохастический анализ», посвященном 95-летию со дня рождения

A.Н. Колмогорова (МГУ, 1998), на научно-исследовательском семинаре «Бесконечномерный анализ и стохастика» под руководством профессора

B.И. Богачева в МГУ (1998-2009"гг.), на семинаре «Бесконечномерный стохастический анализ» в университете г. Билефельда (2001-2006 гг.), в Уорикском университете (2002 г.), в Бристольском университете (2002 г.), на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2008 г.), на семинаре Отдела теории вероятностей и математической статистики Математического института РАН имени В.А. Стеклова (2008 г.), на семинаре «Теория дифференцируемых функций многих переменных и ее приложения» под руководством академика С.М. Никольского и члена-корреспопден-та РАН Л.Д. Кудрявцева в Математическом институте РАН имени В.А. Стеклова (2008 г.), на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Л.Соболева (Новосибирск, 2008 г.), во Владимирском Гуманитарном университете (2009 г.) и на международной конференции «Стохастический анализ и случайные динамические системы», посвященной 100-летию H.H. Боголюбова (Львов, 2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах автора, список которых приведен в конце.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 18 разделов, и списка литературы из 135 наименований. Общий объем диссертации составляет 202 страницы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Пугачев, Олег Всеволодович, 2009 год

1. Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин C.B. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. Труды Моск. Мат. Об-ва. 1971. Т. 24. С. 133-174.

2. Венткус В.Ю., Паулаускас В.И. О скорости сходимости в центральной предельной теореме для гауссовских смесей в бесконечномерных пространствах. Литов. матем. сб. 1983. Т. 23, N 1. С. 17-29.

3. Биллингслп П. Сходимость вероятностных мер. Наука, Москва, 1977.

4. Богачев В.И. Гауссовские меры. Наука, Москва, 1997.

5. Богачев В.И. Основы теории меры, 2-е изд. НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика", Т. 1, 2. Москва-Ижевск, 2006.

6. Богачев В.И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика", Т. 1, 2. Москва-Ижевск, 2008.

7. Богачев В.И., Смолянов О.Г. Аналитические свойства бесконечномерных распределений. Успехи мат. наук. 1990. Т. 45, N 3 (273). С. 3-84.

8. Вахания H.H., Тариеладзе В.И., Чобаняп С.А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. Наука, Москва, 1984.

9. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов, 2-е изд. Наука, Москва, 1996.

10. Вершик A.M., Гельфанд И.М., Граев М.И. Представления групп диффеоморфизмов. "Успехи мат. наук. 1975. Т. 30, N 6. С. 1-50.

11. Гирсанов И.В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры. Теория вероятн. и ее примен. 1960. Т. 5, N 3. С. 314-330.

12. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. Наука, Москва, 1983.

13. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г., Водопьянов С.К. Геометрические свойства функций с обобщенными первыми производными. Успехи мат. наук. 1979. Т. 34, N 1. С. 17-65.

14. Давыдов Ю.А., Лифшиц М.А., Смородина Н.В. Локальные свойства распределений стохастических функционалов. Москва, Физматлит, 1995.

15. Далецкий Ю.Л., Фомин C.B. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Наука, Москва, 1983.

16. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. Киев, Вища школа, 1990.

17. Ефимова Е.И., Угланов A.B. Формула Грина на гильбертовом пространстве. Матем. сб. 1982. Т. 119, N 2. С. 225-232.

18. Ефимова Е.И., Угланов A.B. Формулы векторного анализа на банаховом пространстве. Докл. АН СССР. 1983. Т. 271, N 6. С. 1302-1306.

19. Жиков В.В. Усреднение функционалов вариационного исчисления в теории упругости. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50, N 4. С. 675711.

20. Жиков В.В. Асимптотические задачи, связанные с уравнением теплопроводности в перфорированных областях. Матем. сб. 1990. Т. 181, N 10. С. 1283-1305.

21. Жиков В.В. О переходе к пределу в нелинейных вариационных задачах. Матем. сб. 1992. Т. 138, N 8. С. 47-84.

22. Жиков В.В. Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости. Матем. сб. 1996. Т. 187, N 8. С. 3-40.

23. Жиков В.В. О весовых соболевских пространствах. Матем. сб. 1998. Т. 189, N 8. С. 27-58.

24. Жиков В.В. К проблеме предельного перехода в дивергентных неравномерно эллиптических уравнениях. Функц. анализ и его прил. 2001. Т. 35, вып. 1. С. 23-29.

25. Жиков В.В. К технике предельного перехода в нелинейных эллиптических уравнениях. Докл. РАН. 2008. Т. 420, N 3. С. 300-305.

26. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. Наука, Москва, 1993.

27. Исмагилов P.C. Унитарные представления группы диффеоморфизмов пространства Ш1, п > 2. Матем. сб. 1975. Т. 98. С. 55-71.

28. Исмагилов P.C. Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов пространства-Жп. Функц. анализ и прил. 1975. Т. 9; N 2. С. 71-72.

29. Кингман Дж. Пуассоновские процессы. МЦНМО, Москва, 2007.

30. Кириллов А.И. Бесконечномерный анализ и квантовая теория как исчисления семимартингалов. Успехи мат. наук: 1994. Т. 49, N 3. С. 4392.

31. Мазья В.Г. Пространства С.Л.Соболева. Изд-во ЛГУ, Ленинград, 1985.

32. Неретин Ю.А. Диффузия дробного порядка и квазиинвариантное действие бесконечномерных групп. Труды Матем. института им. В.А. Стеклова. 1997. Т. 217.

33. Неретин Ю.А. О соответствии между пространством бозонов Фока и пространством L2 по мере Пуассона. Матем. сб. 1997. Т. 188, N 11. С. 19-50.

34. Неретин Ю.А. Категории симметрий и бесконечномерные группы. Едпюр1ал УРСС, Москва, 1998.

35. Паулаускас В.И., Рачкаускас А.Ю. Точность аппроксимации в центральной предельной теореме в банаховых пространствах. Мокслас, Вильнюс, 1987.

36. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и примен. 1956ю Т. 1, N 2. С. 177-238.

37. Скороход A.B. Нелинейные преобразования вероятностных мер в функциональных пространствах. Докл. АН СССР. 1966. Т. 168, N 6. С. 1269-1271.

38. Скороход A.B. Интегрирование в гильбертовом пространстве. Наука, Москва, 1975.

39. Смородина Н.В. Дифференциальное исчисление в пространстве конфигураций и устойчивые меры. I. Теория вероятн. и примен. 1988. Т. 33. С. 522-534.

40. Смородина Н.В. Формула Остроградского-Гаусса для пространства конфигураций. Теория вероятн. и примен. 1990. Т. 35, N 4. С. 725-736.

41. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. Мир, Москва, 1973.42.,Угланов A.B. Поверхностные меры в банаховом пространстве. Матем. сб. 1979. Т. 110, N 2. С. 189-217.

42. Угланов A.B. Поверхностные интегралы и дифференциальные уравнения в бесконечномерном пространстве. Докл. АН СССР. 1979. Т. 247, N 6. С. 1331-1335.

43. Угланов A.B. Формула Ньютона-Лейбница на банаховых пространствах и приближение функций бесконечномерного аргумента. Известия АН СССР, матем. 1987. Т. 51, N 1. С. 152-170.

44. Угланов A.B. О гладкости распределений функционалов от случайных процессов. Теория вероятн. и примен. 1988. Т. 33, N 3. С. 535-544.

45. Угланов A.B. Поверхностные интегралы в линейных топологических пространствах. Докл. РАН. 1995. Т. 344, N 4. С. 450-453.

46. Угланов A.B. Поверхностные интегралы в пространствах Фреше. Матем. сб. 1998. Т. 189, N 11. С. 139-157.

47. Ульянов В.В. К уточнению оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме. Теория вероятн. и примен. 1978. Т. 33, N 3. С. 684-687.

48. Ульянов В.В. Оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме в сепарабельном вещественном гильбертовом пространстве. Матем. заметки. 1981. Т. 29, N 1. С. 145-153.

49. Федерер Г. Геометрическая теория меры. Наука, Москва, 1987.

50. Фомин C.B. Дифференцируемые меры в линейных пространствах. Тезисы кратких научн. сообщ. Международного конгресса математиков: Секция 5. С. 78-79. Изд-во МГУ, Москва, 1966.

51. Фомин C.B. Обобщенные функции бесконечного числа переменных и их преобразования Фурье. Успехи матем. наук. 1968. Т. 23, N 2. С. 215216.

52. Фролов H.H. Теоремы вложения для пространств функций счетного числа переменных. Труды Института математики Воронежского ун-та. 1970. Т. 1. С. 205-218.

53. Фролов H.H. Теоремы вложения для пространств функций счетного числа переменных и Pix приложения к задаче Дирихле. Докл. АН СССР.1972. Т. 203, N 1. С. 39-42.

54. Фролов H.H. О неравенстве коэрцитивности для эллиптического оператора с бесконечным числом независимых переменных. Матем. сб.1973. Т. 90, N 3. С. 402-413.

55. Цирельсон B.C. Естественная модификация случайных процессов и ее применения к рядам из независимых функций и к гауссовским мерам. Зап. науч. сем. Лен. отд. Мат. ин-та. 1977. Т. 55. С. 35-63.

56. Яхлаков В.Ю. Поверхностные меры на поверхностях конечной коразмерности в банаховом пространстве. Мат. заметки. 1990. Т. 47, N 4. С. 147-156.

57. Airault H. Differential calculus on finite codimensional submanifolds of the Wiener space. J. Funct. Anal. 1991. V. 100. P. 291-316.

58. Airault H., Malliavin P. Intégration géométrique sur l'espace de Wiener. Bull. Sci. Math., 2e serie. 1988. V. 112. P. 3-52.

59. Albeverio S., Daletskii A., Lytvynov E. Laplace operators on differential forms over configuration spaces. J. Geom. Phys. 2001. V. 37. P. 15-46.

60. Albeverio S., Kondratiev Yu.G., Rôckner M. Analysis and geometry on configuration spaces. J. Funct. Anal. 1998. V. 154, N 2. P. 444-500.

61. Albeverio S., Kondratiev Yu.G., Rôckner M. Analysis and geometry on configuration spaces: the Gibbsian case. J. Funct. Anal. 1998. V. 157, N 1. P. 242-291.

62. Albeverio S., Kusuoka S., Rôckner M. On partial integration in infinite-dimensional space and application to Dirichlet forms. J. London Math. Soc. 1990. V. 42. P. 122-136.

63. Albeverio S., Rôckner M. Classical Dirichlet forms on topological vector spaces The construction of the associated diffusion process. Probab. Theory and Relat. Fields. 1989. V. 83. P. 405-434.

64. Albeverio S., Rôckner M. Classical Dirichlet forms on topological vector spaces. Closability and a Cameron-Martin formula. J. Funct. Anal. 1990. V. 88. P. 395-436.

65. Albeverio S., Rôckner M. Stochastic differential equations in infinite dimensions: Solutions via Dirichlet forms. Probab. Th. Rel. Fields. 1991. V. 89. P. 347-386.

66. Albeverio S., Smorodina N.V. A distributional approach to multiple stochastic integrals and transformations of the Poisson measure. Acta Appl. Math. 2006. V. 94. P. 1-19.

67. Aubin T. Some nonlinear problems in Riemannian geometry. Springer, Berlin. 1998.

68. Bell D. The Malliavin calculus. Wiley and Sons, N.-Y. 1987.

69. Bichteler K., Gravereaux J.B., Jacod J. Malliavin calculus for processes with jumps. Gordon and Breach science Publishers. 1987.

70. Bogachev V.I. Differential properties of measures on infinite dimensional spaces-and-the Malliavin calculus. Acta Univ. Carolinae, Math, et Phys.1989. V. 30, N 2: P. 9-30.

71. Bogachev V.I. Smooth measures, the Malliavin calculus and approximations in infinite dimensional space. Acta Univ. Carolinae, Math, et Phys.1990. V. 31, N 2. P. 9-23.

72. Bogachev V.I. Infinite dimensional integration by parts and related problems. Bonn Univ, SFB 256. 1992. Preprint N 235.

73. Bogachev V.I. Differentiate measures and the Malliavin calculus. J. Math. Sci. 1997. V. 87, N 5. P. 3577-3731.

74. Bogachev V.I., Rôckner M. Les capacités gaussiennes sont portées par des compacts metrisables. C. R. Acad. Sci., Serie 1. 1992. V. 315. P. 197-202.

75. Bogachev V.I., Rôckner M. Mehler formula and capacities for infinite dimensional Ornstein-Uhlenbeck processes with general linear drift. Osaka J. Math. 1995. V. 32, N 2. P. 237-274.

76. Camar-Eddine M., Seppecher P. Closure of the set of diffusion functionals with respect to the Mosco-convergence. Math. Models Methods Appl. Sci. 2002.'V. 12, N 8. P. 1153-1176.

77. Cameron R.H., Martin W.T. Transformation of Wiener integral under translation. Ann. Math. 1944. V. 45. P. 386-396.

78. Cattiaux P., Fradon M. Entropy, reversible diffusion processes and Markov uniqueness. J. Func. Anal. 1996. V. 138. P. 243-272.

79. Choquet G. Theory of capacities. Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1955. V. 5. P. 131-295.

80. Eberle A. Uniqueness and non-uniqueness of semigroups generated by singular diffusion operators. Springer, Lecture Notes in Math. 1999. V. 1718.

81. Feyel D., de La Pradelle A. Espaces de Sobolev gaussiens. Ann. Inst. Fourier. 1989. V. 39, N 4. P. 875-908.

82. Feyel D., de La Pradelle A. Capacités gaussiens. Ann. Inst. Fourier. 1991. V. 41, N 1. P. 49-76.

83. Fukushima M. Basic properties of Brownian motion and a capacity on the Wiener space. J. Math. Soc. Japan. 1984. V. 36, N 1. P. 161-176.

84. Fukushima M. A note on capacities in infinite dimensions. Lect. Notes Math. 1988. V. 1299. P. 80-85.

85. Fukushima M., Kaneko K. On (r:p)-capacities for general Markovian semigroups. Infinite dimensional anal, and stochast. processes (Bielefeld, 1983). P. 41-47. Boston. 1985.

86. Fukushima M., Oshima Y., Takeda M. Dirichlet forms and symmetric Markov processes. De Gruyter, Berlin New York. 1994.

87. Gaffney M.P. A special Stokes's theorem for complete Riemannian manifolds. Ann. of Math. 1954. V. 60, N 2. P. 140-145.

88. Hamza M. Détermination des formes de Dirichlet sur Mn. Thèse 3e cycle, Orsay. 1975.

89. Kolesnikov A.V. Convergence of Dirichlet forms with changing speed measures on №d. Forum. Math. 2005. V. 17. P. 225-259.

90. Kolesnikov A.V. Mosco convergence of Dirichlet forms in infinite dimensions with changing reference measures. J. Funct. Anal. 2006. V. 230. P. 382418.

91. Krée M. Propriété de trace en dimension infinie, d'espaces du type Sobolev. Bull. Soc. Matli. France. 1977. V. 105. P. 141-163.

92. Krée P. Calcul d'integrales et de dérivées en dimension infinie. J. Funct. Anal. 1979. V. 31. p. 150-186.

93. Kusuoka S. Dirichlet forms and diffusion processes on Banach spaces. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sec.lA. 1982. V. 29, N 1. P. 79-95.

94. Kuwae K., Shioya T. Convergence of spectral structures: a functional analytic theory and its applications to spectral geometry. Comm. Anal. Geom. 2003. V. 11, N 4. P. 599-673.

95. Kuwae K., Shioya T. Variational convergence over metric spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 2008. V. 360, N 1. P. 35-75.

96. Lascar B. Propriétés locales d'espaces de type Sobolev en dimension infinie. Comm. Partial Diff. Eq. 1976. V. 1, N 6. P. 561-584.

97. Lescot P. Une théoréme de désintégration en analyse quasi-sure. Sém. Probab. XXVII, Springer, Lecture Notes Math. 1993. V. 1557. P. 256-275.

98. Lyons T.J., Zhang T.S. Decompositions of Dirichlet processes and its applications. Ann. Probab. 1994. V. 22, N 1. P. 494-524.

99. Ma Z.M., Rôckner M. An introduction to the theory of (non-symmetric) Dirichlet forms. Springer, Berlin Heidelberg. 1992.

100. Ma Z.M., Rôckner M. Construction of diffusions on configuration spaces. Osaka J. Math. 2000. V. 37. P. 273-314.

101. Malliavin P., Malliavin M.P. Integration on loop groups. J. Funct. Anal. 1990. V. 93. P. 207-237.

102. Malliavin P. Stochastic Analysis. Springer, Berlin. 1998.

103. Mosco U. Composite media and Dirichlet forms. J. Funct. Anal. 1994. V. 123. P. 368-421.

104. Norin N.V. The extended stochastic integral in linear spaces with dif-ferentiable measures and related topics. World Sci. Publ., River Edge, New Jersey. 1996.

105. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. SpringerVerlag, Berlin. 2006.

106. Pitcher T.S. Likelihood ratios for diffusion processes with shifted mean value. Trans. Amer. Math. Soc. 1961. V. 101, N 1. P. 168-176.

107. Privault N. Girsanov theorem for anticipative shifts on Poisson space. Probab. Theory Relat. Fields. 1996. V. 104. P. 61-76.

108. Rôckner M. Stochastic analysis on configuration spaces: basic ideas and recent results. In: New directions in Dirichlet forms, Studies in advanced mathematics, Amer. Math. Soc. 1998. V. 8.

109. Rôckner M., Schied A. Rademacher's theorem on configuration spaces and applications. J. Funct. Anal. 1999. V. 169, N 2. P. 325-356.

110. Rôckner M., Schmuland B. Tightness of general capacities on Ba-nach space. J. Func. Anal. 1992. V. 108, N 1. P. 1-12.

111. Rôckner M., Schmuland B. A support property for infinite-dimensional interacting diffusion processes. C. R. Acad. Sci. Paris, Série I. 1998: V. 326. P. 359-364.

112. Rôckner M., Zhang T. S. Uniqueness of generalized Schrôdinger operators and applications. J. Func. Anal. 1992. V. 105. P. 187-231.

113. Rôckner M., Zhang T. S. Uniqueness of generalized Schrôdinger operators and applications II. J. Func. Anal. 1994. V. 119. P. 455-467.

114. Smorodina N.V. Multiple stochastic integrals and „nonpoissonian" transformations of the gamma measure. Jour. Math. Sci. 2006. V. 139, N 3.

115. Smorodina N.V. The invariant and quasi-invariant transformations of the stable Lévy processes. Acta Appl. Math. 2007. V. 97. p. 239-250.

116. Strichartz R.S. Analysis of the Laplacian on the complete Riemannian manifold. J. Funct. Anal. 1983. V. 52. p. 48-79:

117. Takeda M. (r,p)-capacity on the Wiener space and properties of Brow-nian motion. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. 1984. V. 68-. P: 149-162.

118. Tsilevich N., .Vershik A., Yor M. An infinite-dimensional analogue of the Lebesgue measure and distinguished properties of the gamma process. J. Funct. Anal. 2001. V. 185, N 1. P. 274-296.

119. Uglanov A.V. Integration on infinite-dimensional surfaces and its applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. 2000.

120. Ustiinel A.S., Zakai M. Transformation of measure on Wiener space. Springer, Berlin. 2000.

121. Wu L.M. Inégalité de Sobolev sur l'espace de Poisson. Sém. Probab. XXI, Springer, Lecture Notes Math. 1987. V. 1247. p. 114-137.Публикации автора по теме диссертации

122. Пугачев О.В. Формула Остроградского-Гаусса в бесконечномерном пространстве. Матем. сб. 1998. Т. 189, N 5. С. 115-128.

123. Pugachev O.V. Tightness of Sobolev capacities in infinite dimensional spaces. Inf. Dimen. Anal., Quantum Probab. and Relat. Top. 1999. V. 2, N 3. P. 427-440.

124. Пугачев O.B. О замыкаемостн классических форм Дирихле па плоскости. Докл. РАН. 2001. Т. 380, N 3. С. 315-318.

125. Пугачев О.В. Пространство простых конфигураций является польским. Матем. заметки. 2002. Т. 71, N 4. С. 581-589.

126. Pugachev O.V. On closability of classical Dirichlet forms. J. Funct. Anal. 2004. V. 207, N 2. P. 330-343.

127. Пугачев O.B. Соболевские емкости множества конфигураций с кратными точками в пространстве Пуассона. Матем. заметки. 2004. Т. 76, N 6. С. 874-882.

128. Пугачев О.В. Емкости и поверхностные меры в локально выпуклых пространствах. Теория вероятн. и примен. 2008. Т. 53, N 1. С. 178-189.