Дифференциально-алгебраические и геометрические основы центральной динамики на кривых второго порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Герасимова, Ольга Вячеславовна

• Герасимова, Ольга Вячеславовна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Герасимова, Ольга Вячеславовна

Оглавление

Введение

Глава 1. Аксиоматика и кривые второго порядка в декартовой плоскости

1.1 Основные определения и аксиомы

1.2 Лемма о моменте

1.3 Критерий несжимаемости

1.4 Функционал промеры

1.5 Аксиоматика инвариантной промеры

1.6 Кривые второго порядка, касательное расслоение

1.7 Свойства кривых второго порядка, директрисы и фокусы

Глава 2. Лемма о директрисе и фокусе

2.1 ±-фокусировка плоской волны

2.2 Гармонический осциллятор

2.3 Первые интегралы для полей Кулонова типа

2.4 Модифицированные поля Кулонова типа

2.5 Поля Птолемеева типа

2.6 Х-версии

2.6.1 Случай однополостного гиперболоида

2.6.2 Случай двуполостного гиперболоида

2.7 Универсальная квадратичная динамика в сигнатуре у,-^

Глава 3. Соотношения Капелли и их применение в дифференциальной алгебре

3.1 Простые и максимальные идеалы в счетномерных коммутативно-ассоциативных алгебрах над полями М и С

3.2 Коммутативные алгебры с одним дифференцированием

3.3 Техника гомоморфизмов Тейлора

3.4 Соотношения Капелли и теорема о ранге

3.5 Свойства определителя Капелли-Вронского

Глава 4. Выразимость центрально-квадратичной динамики на языке дифференциальных алгебр

4.1 Алгебра квадратичной динамики и её "проинтегралы"

4.2 Редуцированная алгебра квадратичной динамики

4.3 Алгебры центрально квадратичной-динамики, и их локализации по элементу аоь и кубичное расширение

Глава 5. О спектре интегрального оператора на компактной группе.

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциально-алгебраические и геометрические основы центральной динамики на кривых второго порядка»

Введение

Общая характеристика работы

Диссертация относится к алгебраическим аспектам теоретической физики. В ней рассмотрены следующие вопросы: дезарговость проективной плоскости; необходимые условия коммутативности координатного тела; первые интегралы центрального движения по кривым второго порядка в терминах дифференциальных алгебр; понятия квадратичной и центральной динамики. Обозначим результаты, полученные в этом направлении.

Наблюдение первое. Для того, чтобы абстрактная проективная плоскость была дезарговой и ее координатное тело было коммутативным необходимо и достаточно, чтобы в хотя бы одной аффинной карте этой плоскости выполнялась следующая

Теорема (см [26],[28]). Пусть точки С^х, 3 таковы, что ни-

какие три из них не лежат на одной прямой. Назовем 1\Л2,1з прямые, проходящие через точку Б и параллельные прямым соответственно. Возьмем произвольную прямую параллельную БС}2, но с ней не совпадающую, пусть она пересекает прямые /], ¿2 в точках Р\ и Тогда точка пересечения прямых, проходящих через точки Р\ и Р2 и параллельных БС^х и БС^з, соответственно, лежит на прямой к-

Этот доказанный мной результат позволяет не только ввести геометрически наглядно привычное со времен Декарта понятие числа, доказав

одним махом существование и коммутативность гомотетий с общим центром, но и указать естественный способ сравнения "ориентированных площадей "треугольников и строить теорию меры (в случае, когда координатное тело это поле действительных чисел) напрямую, не используя никакой евклидовой метрики.

Наблюдение второе.

Лемма о директрисе и фокусе (см. [30], [1]). Для любых действительных а, /3,5, к бесконечно дифференцируемые решения х{€), у(¿) (х(£) ■ у'({) — ж'(г) • у({) уравнения

47г 2 к

О", у") = 7-~~б-Т~ш " У)

{а ■ х + р ■ у + о)6

лежат на кривых второго порядка, у которых фокус расположен в точке (0,0), а директриса определяется уравнением а-х + (3-у-\-5 = 0.

Теорема. Для любых действительных а, /3,7,6, к, а, Ь, с бесконечно дифференцируемые решения х(Ь), у{Ь), г(£) (не лежащие на прямой) уравнения

О", у": г") = —- 4?Г к-——з -{х-а,у-Ъ,г-с) (а, Ь, с е К)

[а ■ х + р ■ у + 7-г + д)6

лежат на плоских кривых второго порядка, у которых фокус расположен в точке (а, Ь, с), а директриса является пересечением плоскости движения (содерэ1сащей (а, 6, с)) и плоскости а ■ х + ¡3 ■ у + ^ ■ г+ 5 = 0.

Эти два утверждения позволили поставить вопрос о существовании универсальной модели центрально-квадратичной динамики, объединяющей известные и на первый взгляд разнородные модели движения объектов по кривым второго порядка (в частности по прямым), при котором ускорение во все время движения направлено в одну и ту же точку (аффинного) пространства.

Наблюдение третье.

Теорема 1 (см. [22]). Пусть |С| — порядок конечной группы С и

нюм = Е 1>ч «9. ч = V1) -

' ' дес кев

элемент групповой алгебры K\G], где К = С — поле комплексных чисел. Тогда для любого представления р : G —)■ Eji&kV в произвольном пространстве У линейное преобразование р(Н[с,а]) диагонализируемо и его спектр имеет вид гдеп пробегает clirnкУ%, где У{ —неприводимые компоненты в пространстве V относительно действия группы G.

Найденное мной доказательство этого несложного факта позволило перенести его на произвольные компактные группы.

Теорема 2 (см. [23]). Пусть мера Хаара ¡1 на компактной группе G такова, что /i(G) = 1, а р : G —> EndxV — непрерывное представление G в банаховом пространстве У над полем комплексных чисел К и линейный оператор Gj определяется формулой

H[G,G] d~ Jf [p(g), P(h)]dfigdp,h.

G

Тогда для любого п-мерного подпространства V/, на котором действует неприводимо,

Я[с,с]Н = ({Р(д~'1)(У p(h~1)p(g)p(h)dph)dp!7) ■ и) =

с

= (I (У р(д 1)р(К 1)p(g)dflg)p(h)d|Лh) • ги = • ги (ги пробегает У/). Ъ с

На мой взгляд, наиболее фундаментальным здесь является случай регулярного представления компактной группы С — Би(2, С).

Важный пример. Пусть 311(2, К) — группа унитарных 2x2 матриц над комплексным полем К с детерминантом, равным единице, V — линейное пространство всех функций /: С К, для которых

II/II2 = < 11 представление р : С Ег^кУ группы

с:

б реализуется правыми сдвигами р{К) х /(д) = }(1ьд). Хорошо известно (см. [16], [17],[20]), что

(a) в V с точностью до эквивалентности функций реализуется гильбертово пространство относительно полуторалинейной формы

а

(b) для любого натурального п единственное с точностью до изоморфизма п-мерное представление группы С реализуется в У и имеет в V кратность, равную п,

(c) сумма всех конечномерных неприводимых подпространств из V плотна в V.

Из теоремы 2 заключаем, что в гильбертовом пространстве V имеется полный ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора С|. В частности, для любого натурального п кратность собственного значения ^ равна п2. (См. для сравнения в книге [18] спектр оператора Шредингера для атома водорода.)

Вот, вкратце, мои основные результаты, вокруг которых были проведены исследования в данной диссертации: "Дифференциально-алгебраические и геометрические основы (начала) центральной динамики на квадратичных кривых".

Цель работы. Получить наглядное описание декартовой проективной плоскости, то есть дезарговой плоскости, координатное тело которой коммутативно. Восстановить меру в своих правах, показав ее первичный относительно метрики характер. Описать в наибольшей общности (в терминах дифференциальных алгебр) движение по кривой второго порядка, квадратичную динамику. Предоставить описание центральности движения. Показать, что язык дифференциальных алгебр является более естественным методом описания физических законов движения.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и со-

стоят в следующем:

1. Получена аксиоматика дезарговой проективной плоскости, координатное тело которой коммутативно, в терминах роллинга.

2. Доказана теорема о касательном расслоении к кривой второго порядка, а так же указан способ построения касательного расслоения с помощью угольника и линейки.

3. Доказана лемма о директрисе и фокусе, а так же приведено объяснение как центрально-квадратичная динамика может быть сведена к ней при помощи кубичного расширения. Приведены примеры применения данной леммы к классическим задачам: о гармоническом осцилляторе, полях кулонова типа, полях Птолемея.

4. С помощью полученного комбинаторного результата доказывается теорема о проинтегралах дифференциальной алгебры центрально-квадратичной динамики.

5. Исследован вопрос о спектре некоторого оператора, в том числе получены следующие результаты:

Описан спектр для случая конечной группы.

Оператор обобщен на случай компактной группы и приведен его спектр.

Приведен пример, при котором полученный оператор является интегральным аналогом оператора Шредингера для атома водорода.

Методы исследования. В работе используются методы дифференциальной алгебры, тождества Капелли и определителей Вронского для дифференциальных алгебр, некоторые доказательства проведены при помощи аксиоматического, комбинаторного и геометрического методов.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в теории дифференциальных алгебр, теоретической физике и квантовой теории. В виду их простоты и наглядности методы этой работы можно использовать в работе со студентами и даже школьниками для знакомства их с некоторыми базовыми математическими понятиями, составляющими основу математической интуиции. Это - понятия поля, меры, декартовой плоскости, а также введенное нами с Юрием Питиримовичем Размысловым понятие роллинга.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на

• научно-исследовательском семинаре по алгебре, механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, профессор В.Н.Латышев, профессор А.В.Михалев, неоднократно 2010-2014 г.

• научно-исследовательском семинаре Дополнительные главы алгебры, профессор В.А.Артамонова, 2010.

• международный алгебраический симпозиум , посвященный 80-летию кафедры и 70-летию профессора А. В. Михалева., Москва, 15-18 ноября 2010.

• международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша, Москва, 28 мая - 3 июня 2008.

Публикации. По теме диссертации автором было опубликовано 8 статей, 3 из которых — в ведущих научных журналах из списка, рекомендованного ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 31 наименования. Общий объем диссертации составляет 85 страниц.

Краткое содержание диссертации Глава 1.

В первой главе вводится понятие роллинга, хорошо известное в случае действительного поля любому школьнику.

Определение. Будем называть тройкой, тройкой точек, упорядоченной тройкой элемент декартового произведения М/ х М; х М; и обозначать его (А, В, С).

Определение. Назовем шагом роллинга "передвижение"любой точки из тройки параллельно прямой, проходящей через две оставшиеся, причем порядок точек в тройке сохраняется, то есть тройка (А, В, С) может перейти в тройки (А', В, С), (А, ВС) либо (А, В: С'), где точки А', ВС" лежат на прямых, параллельных прямым ВС, АС, /Ш и проходящих через точки А, В, С, соотвественно.

Дается объяснение, что как совершить шаг роллинга точки в произвольную точку О,' для тройки (С-Р), надо сначала сроллировать точку Р в точку Р\ являющуюся точкой пересечения прямой, проходящей через Р и параллельной прямой С^Б, и прямой, проходящей через Б и параллельной ЦО?. При этом если прямая С^О,' параллельна прямой БР, то Р' совпадет с Р.

Вводится аксиоматика теории поля, основанной на понятии роллинга и выясняется какие из аксиом являются достаточными и необходимыми для построения теории.

(110) (Аксиома несжимаемости). Если точки А, В, С аффинной плоскости М/ не лежат на одной прямой и точка Б находится на одной прямой с В и С, но не совпадает с С, то тройку (А, В, £)) нельзя перекатить в тройку (А, В, С).

(Ш) (Аксиома слабой аддитивности). Если в аффинной плоскости М; тройки точек 5, А, А' и 5, В, В' лежат на разных прямых, а

прямые, проходящие через точки А, В и А':В' параллельны, то тройку (5, Л', В) можно перекатить в тройку (5, А, В').

(112) (Аксиома аддитивности). Если в аффинной плоскости М; каждая тройка точек (Л, В, С), (Л', В', С') не лежит на одной прямой, И е ВС, Л' € В'С и тройки (А, В, Б), (А, Б, С) можно перекатить в тройки (А', В', И'), (А\0',С'), соответственно, то (Л, В, С) роллиру-ется в (А', В', С').

Теорема 1. Пусть в абстрактной аффинной плоскости выполняется свойство (110). Тогда сама проективная плоскость дезаргова, ее координатное тело коммутативно и в ней выполняются аксиомы (К1) и (112).

Доказательство использует известные школьные методы и построения угольником и линейкой, не прибегая к помощи циркуля.

Теорема 2. Пусть точки С^ 1, (Зз, 3 таковы, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Назовем 1\,12,1 з прямые, проходящие через точку 5 и параллельные прямым ФгФз, соотвест-

венно. Возьмем произвольную прямую параллельную 3(^2, но с ней не совпадающую, пусть она пересекает прямые ^,¿2 в точках Р\ и Р2. Тогда точка пересечения прямых, проходящих через точки Р\ и Р2 и параллельных и БС^з, соответственно, лежит на прямой 13.

Определение. Проективная плоскость называется декартовой, если она дезаргова и ее координатное тело коммутативно.

Далее формулируем основной результат Главы 1.

Критерий несжимаемости. Для того, чтобы проективная плоскость была декартовой необходимо и достаточно, чтобы хотя бы в одно аффинной карте М/ выполнялось любое из следующих условий

(a) в М{ справедливо (КО);

(b) в М/ справедлива теорема 2.

После этого приводится доказательство результата, приведенного в статье ([26]), о касательном расслоении кривой второго порядка и приводится простейший метод построения касательных к кривым второго порядка.

Теорема 1. Пусть для какой-то прямой I аффинная карта М{ обладает свойствами (Ш)) и (Т11)- Тогда для любых пяти точек А, В, С, I), Е абстрактной проективной плоскости М, никакая тройка из которых не лежит на одной прямой, следующие прямые:

¿1 = прямая, определяемая точками АС П ЕВ, АВ П ЕС,

def

/2 = прямая, определяемая точками АС П ED, AD П ЕС,

def

¿з = прямая, определяемая точками AD П ЕВ, АВ П ED,

пересекаются в одной точке

S, а тройки (S, В, В'); (S, С, С'); {S, D, ГУ), где В' = АВ П SE, С = (1 f

АС П SE, ГУ = AD n SE, роллируются друг в друга в аффинной карте МАЕ.

Глава 2.

Во второй главе формулируется и доказывается основной результат работы, на котором основано описание центрально-квадратичной динамики.

Лемма о директрисе и фокусе. Для любых действительных а,/3, 5, к бесконечно дифференцируемые решения х(Ь), у(£) (х(£) ■ у'(1) — ж'(£) • у(1) 0) уравнения

{х", у") = —-41Г к ■ (х, у)

(а • х + р ■ у + О у

леоюат на кривых второго порядка, у которых фокус расположен в точке (0,0), а директриса определяется уравнением а-х + Р- у + 6 — 0.

А также приводится обобщение леммы с плоского случая до трехмерного.

Теорема. Для любых действительных а, /3,7,5, к, а, Ь, с бесконечно дифференцируемые решения x{t), y(t), z(t) (не лежащие на прямой) уравнения

4тг2 к

(х", у", z") = —-—---—з • (х — а,у — b, z — с) (а,Ь,с€ R)

(а ■ х + р ■ у + jz + о)6

лежат на плоских кривых второго порядка, у которых фокус расположен в точке (а,Ъ,с), а директриса является пересечением плоскости движения (содержащей (а, Ь,с)) и плоскости а-х + /3-y + j ■ z + S = 0.

Далее рассматриваются примеры центральных полей динамика, которых квадратична, и дается подробное описание движения в этих полях.

2.2. Гармонический осциллятор:

(x"(t),y"(t)) = -h-(x(t),y(t)), (he К).

2.3. Поля кулонова типа:

(*"(*), у"it)) = . (x(t), y(t)), (г2 = X2 + у2, ке К).

2.4 Модифицированные поля Кулонова типа. (х", у") = -^(х, у), г2 = тхдж2 + 2mh2xy + т2,2у2-

2.4. Поля птолемеева типа.

(x"{t)y(t)) = -2 ■ gg^g • W,v(t)), V е К).

Глава 3.

Третья глава является концептуальной. Развитые в ней алгебраические методы используются для обоснования основных результатов главы четыре и включают технику гомоморфизмов Тейлора и соотношений Ка-пелли. Особо здесь следует отметить следующие понятия и результаты.

Аналитический спектр. Для любого M £ Spec^-Tl обозначим фм ТГ-гомоморфизм К-алгебры А на фактор-алгебру A/M, которая изоморфна любо М, либо С . Тогда с точностью до автоморфизма комплекс-

ного сопряжения можно считать, что фм ~ это /('-гомоморфизмом К-алгебры А в поле С. Обозначим, 8ресА-Л такое подмножество в Эресд-Д составленное из тех ./^-простых идеалов М /Г-алгебры, для которых при гомоморфизме Тейлора фм '■ А —С[[£]] образ фм(А) состоит из рядов, сходящихся в некоторой окрестности нуля поля С. Оказывается, что К-гомоморфизмов фм А С (М Е ЭресКА) достаточно много.

Теорема. Пусть дифференциальная К-алгебра А имеет конечное число дифференциальных образующих относительно Кодифференцирования Б : А —>• А. Тогда для любого ненильпотентно-го элемента а К-алгебры А существует М Е вресКА такой, что Фм{а) т^ 0 в поле С.

Лемма о нильпотентном элементе. Обозначим Иг(а,1,..., ап) матрицу, у которой в г-ой строке ^'-го столбца (г = 0,1, 2...., = 1, 2,..., п) стоит элемент Ег х а^.

Лемма .Если самый верхний минор (ах,..., ап\ п-го порядка матрицы \У(а1,..., ап) является нильпотентпым элементом в К-алгебре А, то все остальные миноры п-го порядка матрицы V/(ах,... ,ап) ниль-потентные элементы К-алгебры А.

Лемма о проинтегралах. Рассмотрим дифференциальную К-алгебру Еп, заданную дифференциальными образующими Х\,

X п UJ

)

) I

одним определяющим дифференциальным соотношением |жх, 0. Обозначим т^ алгебраическое дополнение для элемента в квадратной матрице

(0)

ОС 2

т(1) Х1

X

>-1)

т(0) х2

т(«"1)

х2

X

(0)

X

(п-1)

т(0) ■Ьп

т("-1)

•Ьп

Положим гг(жх,-- - ,хп) с= т^1_1(г = имеют место следующие равенства

1, • • • , п). Тогда в алгебре Еп

(a) г\{х\, • ■ ■ ,хп) -х1+г2(х1, ■ ■ • ,хп)-х2^-----Нгп(жь • • • ,хп)-хп = О,

(b) Т{ ■ г^ - г[ ■ г^ = 0.

Элементы г\(х1, ■ ■ • , хп), • • • , гп(х1, ■ ■ ■ , хп) дифференциальной К-алгебры F7г мы называем проинтегралами, имея в виду, что в локализации Рп[г~у1} элементы г¡/г^ являются константами. Действительно, из свойства (Ь) следствия вытекает, что (г^/г^)' = 0 в Рп.

• Глава 4.

В четвертой главе формулируется и объясняется комбинаторный результат.

Теорема. Пусть К[х^г\ уЩ свободная дифференциальная алгебра относительно сигнатурного дифференцирования ' с дифференциальными образующими ж, у.

Пусть

/ X2 ху у2 X у Л

def 2хх' х'у + ху' 2 УУ' х' у' 0

2ха + 2х" х "у + 2х'у' + ху" 2у* + 2уу" х" у" 0

бх'х." + 2 гх'" х"'!, + 3г"у' + 3х'у" + ху'" 6 у'у" + 2уу"' х'" ?/" 0

Обозначим через - минор матрицы Н, получающийся вычеркива нием г-го столбца. Положим

(М с!еГ 1

911 = тп 1, д12 = д21 =

def ¿еГ 1

922 = т3, д 1,з = Узд = ~2т4,

¿е! 1

Рзз = -ш6, 9 = 32,3 = 2Ш5-Тогда

(а) дп • х2 + 2 • ди - х- у + д22 ■ у2 + 2 • ди ■ х + 2 • д32 • '</ + Ззз = 0;

/ Он 019 014 \

(Ь) det

311 912 313 321 322 323

V 331 332 Ззз У

-8 • 729 • сг\1

-8 ■ 729 (а/ ■ у" - х" ■ у'у О

(c) /• д' -/'• 9 делится на \х2, ху, у2, х, у, 1|;

(d)

(

ж2 ху У2 X У 1

2хх' л?у + ху' 3? У' 0

2ха + 2х" х"у + 2 х'у' + ху" 2 у'2 + 2 уу" х" У" 0

6з?х" + 2хз?" х"'у + Зж"г/ + 3 х'у" + ху'" бу'у" + 2 уу'" х'" У'" 0

6(.х")2 + 8а? з?" + 2ххМ х^у + 4ж"У + б.т"у" + Ах'у'" + ху('"> 6(у")2 + 8у'у"' + 2уу^ хМ 0

21)х"з?" + 10х'а;(м'> + 2м("> а:<">у + 4z("V + 10х"'у" + Шж'У" 4- 5х'у^ + хуW 1 20у"у"'+10у'у^ + 2уу^ х<"> 0

= -{Я12)2ь2{х,у).

С помощью этой комбинаторной теоремы доказывается основной результат о редуцированной алгебре квадратичной динамики которая задается двумя образующими х, у и дифференциальным соотношением Ь2(х,у) = 0.

Теорема 2. Рассмотрим в дифференциальной алгебре С2 следующую

симметрическую матрицу ( §11 §12 §13 \

#с;2 —

; где gij получаются из gij, при помощи есте-

§21 §22 §23 V §31 §32 §33 )

ственного гомоморфизма из К[х^г\уЩ в как фактор-алгебру по элементу Ь2(х, у). Тогда

М Н'о:, =

(b) / • д' — /' • д — 0 для произвольных элементов матрицы Ис2 /

(c) §11 ■ -X2 + 2 • gl2 • X ■ у + g22 • У2 + 2 • §13 • X + 2 • gз2 • у + §33 = 0; (й) detЯí72 = -8 • 729 • аЦ

Как было определено в статье Ю.П.Размыслова1 дифференциальная алгебра центрально-квадратичной динамики В2 порождается двумя образующими и ж, у и дифференциальными соотношениями типа Капелли

(a) о"02 — 0 - свойство центральности поля

(b) Ь2(х,у) = 0 - условие квадратичной динамики.

1Ю.П.Размыслов, Разъяснение, к "Rolling simplexes and their commensurability" (уравнения поля no Тихо Браге), Фундамент, и прикл. матем. 17:4 (2012), 193-215

Там же было доказано, что ее локализация по элементу 001 изоморфна локализации по элементу 001 дифференциальной алгебре Декарта-Уоттона заданной тремя дифференциальными образующими и,у, и) и следующими соотношениями

(a) и" = — ш • и, у" — —ги ■ V,

(b) 9 • ш'" • и;2 - 45 • и/' • и/ ■ т + 40 • (и/)3 + 9 • ш' • ш3 = 0.

Теорема 3. Рассмотрим алгебру С, получающуюся присоединением

к алгебре Декарта-Уоттона егце одного элемента в, (а также единичного элемента), связанного следующим соотношением и)$ = 1. Локализация по элементу й вкладывается в локализацию (^¿[с?"1], где дифференциальная алгебра задается образующими ж, у, с1,ё и определяющими соотношениями

(I3 . х" = -ж, $ ■ у" = -у, <Р ■ с1" = -{(1 - 6), где 5' = 0.

Из теоремы непосредственно следует, что в трехмерном аффинном пространстве с координатами х, у, с? любое гладкое решение ж(£), ?/(£), (¿(£) системы дифференциальных уравнений

х" = -^ж, у" = --^у, й" = -^з - где У = 0. (1)

должно лежать в плоскости, проходящей через точку (0, 0, где (], = _ £01(¿Ау , $ поичем (= 0 (= о

^ ' <?о\(х,у)' 0-01 (х,у)'4 ' к \<701(х,у) J '

Положим о; ¡3 таким образом, решения уравне-

ния (4.2) сводятся к решению системы уравнений

(ж, у)" = —--——з (ж, у), {а = 0, ¡3' = 0,6' = 0).

(аж + [Зу +

Смотри для сравнения лемму о директрисе и фокусе.

Глава 5.

В пятой главе приведено доказательство следующей теоремы.

Теорема 1 (см. [22]). Пусть |С| — порядок конечной группы С и

Що,а\ т^р Е £Ь> Л1 (Ь. = 9-1ЪГ*дЬ) -

' ' десиео

ттр (1£[

п[о,с\ -

элемент групповой алгебры К\0\, где К = С — поле комплексных чисел. Тогда для любого представления р : 6? —> Епс1кУ в произвольном пространстве V линейное преобразование р(Н[с:с}) диагонализируемо и его спектр имеет вид где п пробегает (ИткУ^, где Ц, —неприводимые компоненты в пространстве V относительно действия группы С. Теорема обобщается на случай произвольной компактной группы. Теорема 2 (см. [23]). Пусть мера Хаара р, на компактной группе О такова, что /¿(С) = 1, а р : С —ЕпдкУ — непрерывное представление (2 в банаховом пространстве V над полем комплексных чисел К и линейный оператор ^ определяется формулой

в

Тогда для любого п-мерного подпространства IV, на котором р(С) действует неприводимо,

Я[с,с]М = (/Р(9~1)(У р{^~1)р{9)р{ЩР'п)дрд) ■ и] =

в <7

= (J(J р{9~1)р{11~х)р(9)йрд)р(ь)(1рк) - и) = - и) (т пробегает ]/У). в с

Содержательный смысл доказанной теоремы поясняется на следующем примере.

Важный пример. Пусть 31/(2, К) — группа унитарных 2x2 матриц над комплексным полем К с детерминантом, равным едининице, V — линейное пространство всех функций / : С? —> К, для которых

Ц/112 = § < оо, и представление р : С —> Епс/кУ группы С

в

def

реализуется правыми сдвигами р(К) х /(д) = 1(Ьд). Из теоремы 2 заключаем, что в гильбертовом пространстве относительно полуторалипсйной формы (/(.<?), Ь(д)) й= / 1(д)Ь(д)с1рд V имеется

о

полный ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора С|. В частности, для любого натурального п кратность собственного значения Д? равна п2. (См. для сравнения в книге [18] спектр оператора Шредингера для атома водорода.)

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям доктору физико-математических наук профессору A.B. Михалёву и доктору физико-математических наук ведущему научному сотруднику Ю.П. Размыслову постановку задач и руководство диссертационной работой.

Автор выражает благодарность всем сотрудникам кафедры высшей алгебры за внимание к работе.

Глава 1

Аксиоматика и кривые второго порядка в декартовой проективной плоскости.

1.1 Основные определения.

Рассмотрим множество М и выберем в множестве всех подмножеств 2м подмножество Ь. элементами которого являются прямые, удовлетворяющее следующим аксиомам:

(РО) каждая прямая содержит не менее трех точек;

(Р1) через любые две точки X, У € М проходит ровно одна прямая

I е Ь;

(Р2) любые две прямые ¿1,12 £ Ь пересекаются ровно в одной точке. Выберем прямую I £ Ь, которую назовем бесконечно удаленной, тогда М\ = М\1 является аффинной картой с системой прямых = Ь \ {/}. Прямые £ аффинной плоскости М/ принято называть параллельными, если точка их пересечения лежит на бесконечно удаленной прямой I. Таким образом, множество М наделено структурой абстрактной проективной плоскости.

Определение. Будем называть тройкой, тройкой точек, упорядоченной тройкой элемент декартового произведения М/ х М/ х М/ и обозначать его (А, С).

Определение. Назовем шагом роллинга "передвижение"любой точки из тройки параллельно прямой, проходящей через две оставшиеся, причем порядок точек в тройке сохраняется, то есть тройка (А, В, С) может перейти в тройки (А', В, С), (Л, ВС) либо (Л, Б, С"), где точки А1, В', С' лежат на прямых, параллельных прямым ВС,АС,АВ и проходящих через точки Л, В, С, соотвественно.

Заметим, что для того, чтобы совершить шаг роллинга точки С} в произвольную точку для тройки надо сначала сроллировать точку Р в точку Р', являющуюся точкой пересечения прямой, проходящей через Р и параллельной прямой С^Б, и прямой, проходящей через 5 и параллельной (¿С^'. При этом если прямая фС/ параллельна прямой 5Р, то Р' совпадет с Р.

Докажем теорему, сформулированную в статье [1].

Предложение 1. Пусть точки А, В, С не лежат на одной прямой и являются тройкой. Тогда любую тройку (Л', В', С') за конечное число шагов можно перекатить (с сохранением на каждом шаге, в интуитивном понимании, "ориентированной площади АА'В'С' ") так, чтобы результат перекатывания точек А', В' совпал с А и В, соответственно, а точка С' оказалась на одной прямой с точками В и С.

(КО) (Аксиома несжимаемости). Если точки А, В, С аффинной плоскости М\ пе лежат па одной прямой и точка И находится па одной прямой с В и С, но не совпадает с С, то тройку (Л, В, £)) нельзя перекатить в тройку (Л, В, С).

(Ш) (Аксиома слабой аддитивности). Если в аффинной плоскости М1 тройки точек 3, Л, А' и 3, В, В' лежат на разных прямых, а прямые, проходящие через точки Л, В и А':В' параллельны, то тройку (5, Л', В) можно перекатить в тройку (5, Л, В').

(112) (Аксиома аддитивности). Если в аффинной плоскости М/ каждая тройка точек (Л, В, С), (Л', В\ С') не лежит на одной прямой, Б е ВС, В' е В'С' и тройки (Л, Б, I)), (Л, I), С) можно перекатить в тройки {А', В', Б'), {А', Б', С'), соответственно, то {А, В, С) роллиру-стся в (А', В', С').

Теорема 1. Пусть в абстрактной аффинной плоскости выполняется свойство (1Ш). Тогда сама проективная плоскость дезаргова, ее координатное тело коммутативно и в ней выполняются аксиомы (Ш) и (112).

Доказательство теоремы разобьем на три шага. (1) Для любых трех точек 5". Ль Л2 € М/, лежащих на одной прямой, существует единственное проективное преобразование 7 : М —> М, называемое гомотетией аффинной плоскости М\, которое оставляет на мсстс все точки прямой I и точку Б, а А\ переводит Л2. Для доказательства пункта (1), докажем лемму.

1.2 Лемма о моменте.

Лемма о моменте. Пусть даны точки (2ь Фз> ^ из М1 такие, что никакие три из них не леэюат на одной прямой. Возьмем точку Ро 6 М1 не лежащую на прямой БС^ 1. Определим Р{ как точку пересечения прямой, проходящей через 1 и параллельной (5г5'3 и прямой, проходящей через Б и параллельной 1 для г = 1,2,3 (где (^4 == (¿г). Тогда точки Ро. Р\, Р3 лежат на одной прямой параллельной прямой

БЯ1-

Доказательство. Тройки точек Ро), (Фъ^-РО; (<32, <5, Р\),

(¿¿2, £,^2), (<33,5, Р2), (<Зз,5;Р3), ((5ь Р3) последовательно рол-лируются друг в друга, а, значит, по аксиоме несжимаемости (ШЭ) тройка (фх, Р3) должна роллироваться в тройку (<31, 5, Р\), но это возможно тогда и только тогда, когда прямая Р1Р3 параллельна прямой .

Отмстим, что точку Ро можно выбрать на прямой 1, но тогда точки

Р1, Р2, Рз сольются в точку 5 и утверждение леммы станет тривиальным.

□

Следствие 1. Пусть дано шесть таких точек Фъ^^Фз; Я\,Я2:Яз ^ М\, что несовпадающие прямые С2\Я\, Я2Я2 и С^зЯз пересекаются в точке 5 Е М;. Причем прямая Я±Я2 параллельна (^1(^2 и прямая Я2Яз параллельна Тогда прямая параллельна 11\П\\.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Герасимова, Ольга Вячеславовна, 2014 год

Литература

[1] Размыслов Ю.П. Разъяснение к "Rolling simplexes and their commensurability" (уравнения поля по Тихо Браге) //Фундамент, и прикл. матем. 17:4 (2012), 193-215

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[9

Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений // Наука 1989

Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры // Наука 1979

Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений

Холл М. Теория групп. М.: Изд-во ИЛ, 1962.

Вейлъ Г. Классические группы. Их инварианты и представления. М.: ИЛ, 1947.

Kolchin E.R. Differential algebra and algebraic groups.: Academic Press, 1973.

Капланский И. Введение в дифференциальную алгебр. М.: ИЛ, 1959.

Размыслов Ю.П. О конечно порожденных простых алгебрах Ли, удовлетворяющих стандартному Лиеву тождеству степени 5 // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика, механика. 1, 3 (1990), 37—41

[10] Погудин Г.А. Первичные дифференциальные ниль-алгебры существуют // Вести. Моск. ун-та. Сер.1. Математика, механика. 1 (2014), 50-53

[11] Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968

[12] Ламбек И. Кольца и модули М.: Мир, 1971

[13] Михалёв A.B., Панкратьев Е.В. Компьютерная алгебра. Вычисления в дифференциально-разностной алгебре М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989

[14] Джекобсон П. Теория колец М.: Гос. изд-во ин. лит., 1947

[15] Херстейн Н. Некоммутативные кольца М.: Мир, 1972

[16] Наймарк М.А. Нормированные кольца. М.: Изд-во "Наука 1968.

[17] Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. М.: Изд-во "Наука 1976.

[18] Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. М.: Изд-во "Наука 1974.

[19] Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М.: Изд-во Наука, 1969.

[20] Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. — М.: Изд-во Наука, 1984.

[21] И.Р.Шафаревич Основные понятия алгебры. — М.: ВИНИТИ Итоги науки и техники, 1986.

Работы автора по теме диссертации:

[22] О. В. Герасимова. Спектр коммутаторного гамильтониана водоро-доподобен // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 6 (2008), 71-74.

[23] О. В. Герасимова. Спектр коммутаторного гамильтониана сродни энергетическим уровням атома водорода // УМН, 64:4(388) (2009), 177-178

[24] О. В. Герасимова, Ю. П. Розмыслов. Гамильтоновость полиномиальных ниль-распределений на афинной плоскости // Вести. Моск. унта. Сер. 1. Математика, механика. 1 (2010), 67-70 (Ю.П.Размыслову принадлежит теорема 1, автору теорема 2 и следствия).

[25] О. В. Герасимова Плотные конечно порождённые подгруппы и интегрирование в компактных группах // Фундамент, и прикл. матем., 18:4 (2013), 71-77

[26] О. В. Герасимова, Ю. П. Размыслов. Rolling simplexes and their commensurability (законы механики как проблема выбора между метрикой и мерой) // Фундамент, и прикл. матем., 16:3 (2010), 123126 (Ю.П.Размыслову принадлежит формулировка теоремы 1, автору формулировка теоремы 2 и доказательство теорем).

[27] O.V.Gerasimova, Yu.P.Razmyslov. Rolling simplexes and their commensurability (Laws of mechanics as a problem of choice between metrics and measure) // Journal of Mathematical Scienccs (New York), 177:6 (2011), 860-861 (translation) (Ю.П.Размыслову принадлежит формулировка теоремы 1, автору формулировка теоремы 2 и доказательство теорем).

[28] О. В. Герасимова. Rolling simplexes and their commensurability. I (аксиома и критерий несжимаемости и лемма о моменте) // Фундамент, и прикл. матем., 17:2 (2012), 87-95

[29] О. V.Gerasimova. Rolling simplexes and their commensurability. I. The axiom and criterion of incompressibility and the momentum lemma // Journal of Mathematical Sciences (New York), 186:4 (2012), 586-591 (translation)

[30] О. В. Герасимова. Rolling simplexes and their commensurability. II (лемма о директрисе и фокусе) // Фундамент, и прикл. матем., 19:1, (2014), 13-19

[31] О. В. Герасимова. Спектр коммутаторного гамильтониана водоро-доподобен, Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша. Тезисы докладов, с. 6768, 2008