Автоморфизмы полиномиальных алгебр, квантование и гипотеза Концевича тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Елишев Андрей Михайлович

• Елишев Андрей Михайлович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Елишев Андрей Михайлович

1.1.1 Проблема якобиана

1.1.2 Некоторые результаты, связанные с проблемой якобиана

1.1.3 ¡п^схемы и многообразия автоморфизмов

1.1.4 Гипотезы Диксмье и Концевича

1.1.5 Голономные Р-модули, лагранжевы подмногообразия

и работа Додда

1.1.6 Ручные автоморфизмы и гипотеза Концевича

1.1.7 Гомоморфизм ф, независимость от выбора бесконечно

большого простого числа, и 1пё-схемы

1.1.8 Аппроксимация и анализ особенностей кривых в АШ

1.1.9 О квантовании классических алгебр

1.1.10 Действия тора на алгебрах и теорема Бялиницкого-Бирулы

1.2 Цели и задачи работы

1.3 Научная новизна

1.4 Теоретическая и практическая значимость работы

1.5 Методология и методы исследования

1.6 Положения, выносимые на защиту

1.7 Степень достоверности и апробация результатов

1.8 Список публикаций автора диссертации

1.9 Структура диссертации

1.10 Благодарности

2 Геометрия и топология ¡п^схем автоморфизмов аффинных пространств и алгебр

2.1 Основные понятия и результаты

2.1.1 Начальные понятия

2.1.2 ¡п^схемы и гипотеза Концевича

2.1.3 Ручные и дикие автоморфизмы и проблема подъема

2.1.4 Автоморфизмы групп ручных автоморфизмов

2.1.5 Основные результаты

2.1.6 Недавнее развитие

2.1.7 Проблема якобиана в любой характеристике

2.2 Аппроксимация, анализ особенностей и проблема подъема группы автоморфизмов

2.2.1 Аппроксимация и анализ особенностей

2.2.2 Подъем группы автоморфизмов

2.3 Автоморфизмы алгебры многочленов и подход Боднарчука - Рипса

2.3.1 Сведение к случаю когда Ф тождественен на ЯЬп

2.3.2 Лемма Рипса

2.3.3 Порождающие подгруппы ручных автоморфизмов

2.3.4 Аи^ТАШ;) в общем случае

2.4 Метод Боднарчука - Рипса и автоморфизмы ТАШ;(К[х\,... , хп)) при п >

2.4.1 Автоморфизмы группы ручных автоморфизмов К[х\,... ,хп), п >

2.4.2 Группа Аи^ТАи^К(х,у,г)))

2.5 Некоторые нерешенные вопросы

3 Теория приближений ручными автоморфизмами и симплектоморфизмами

3.1 Введение и основные результаты

3.1.1 Предварительные замечания

3.1.2 Основные результаты

3.1.3 Ручные автоморфизмы

3.2 Аппроксимация полиномиальных автоморфизмов и теорема Аника

3.3 Аппроксимация ручными симплектоморфизмами

3.4 Связь с гипотезой Концевича

4 Плоские алгебраические кривые и голономные "-модули над полем положительной характеристики

4.1 Краткая аннотация

4.2 Голономные модули и работа Додда

4.3 Плоские кривые и дифференциальные операторы

4.4 Соответствие между голономными "-модулями и лагранжевыми подмногообразиями

4.5 Дифференциальные операторы и плоские алгебраические кривые над полем положительной характеристики

Литература

Глава 1 Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Автоморфизмы полиномиальных алгебр, квантование и гипотеза Концевича»

1.1 Актуальность темы и степень ее разработанности

Основными объектами исследования данной диссертации являются 1пё-схемы, точки которых есть автоморфизмы различных алгебр с полиномиальными тождествами - в первую очередь, алгебры многочленов К[х1,...,хп] от п переменных, свободной алгебры К(х^..., хп) от п образующих, некоторых ее факторалгебр (каковой является и сама алгебра многочленов К[х1,... ,хп]), а также алгебры многочленов, снабженной дополнительной пуассоновой структурой. Данная область исследований уходит своими корнями в широко известную гипотезу якобиана. Благодаря относительно недавним основополагающим работам А.Я. Белова и М.Л. Концевича [63,64] (и независимо Й. Цучимото [97,98]), а также в связи с более ранними исследованиями, существенное место в научной программе по гипотезе якобиана стали занимать вопросы, связанные с квантованием классических алгебр. В связи с этим обстоятельством, частью данной работы является исследование связей между объектами, определяемыми через посредство симплектической структуры, с голономными модулями над алгебрами дифференциальных операторов. Изучение геометрии и топологии 1пё-схем автоморфизмов, развитие теории приближения симплектоморфизмов ручными симплектоморфизмами, а также построение соответствия между плоскими алгебраическими кривыми и голономными модулями (над соответствующей алгеброй Вейля) составляют основу подхода к решению гипотезы А.Я. Белова и М.Л. Концевича об автоморфизмах алгебры Вейля, построенного автором данной диссертации совместно с А.Я. Беловым и Дж.-Т. Ю в статьях [60,61].

1.1.1 Проблема якобиана

Одной из наиболее известных нерешенных задач в теории многочленов от нескольких переменных является так называемая гипотеза (или проблема) якобиана, сформулированная в 1939 году О.-Г. Келлером [72]. Пусть К - основное поле, и пусть для фиксированного натурального числа п даны п многочленов

, хп , хп )

от п переменных х1,..., хп. Всякая такая система многочленов определяет однозначным образом эндоморфизм алгебры К[х1,..., хп]

^ : К[х1,... , хп] ^ К[х1,..., хп]

Г о (Г (х:),...,^ (хп)) = (/1(х1,...,хп),...,/п (х1,...,хп)),

т.е. эндоморфизм Г К-алгебры многочленов определяется своим действием на множестве образующих. Пусть 3(Г) обозначает Якобиан (определитель матрицы Якоби) отображения Г:

3 (г ) = ае;

-ад . . dfi ~

dxi dxn

dfn . . dfn

_ dxi dxn -

Гипотеза, или проблема, якобиана звучит следующим образом.

Гипотеза 1.1.1 (Проблема якобиана, JCn). Пусть характеристика основного поля K равна нулю. Тогда, если якобиан J(F) эндоморфизма F равен ненулевой постоянной (т.е. принадлежит множеству Kx), то F является автоморфизмом.

Элементарным упражнением [8] является проверка утверждения о том, что автоморфизмы алгебры многочленов всегда имеют ненулевой постоянный якобиан. Гипотеза 1.1.1 является таким образом частично обратным утверждением к данному свойству. Также нетрудно видеть, что если полиномиальный эндоморфизм F обратим, то обратный к нему также будет полиномиальным эндоморфизмом.

Гипотеза якобиана тривиальна при n = 1. С другой стороны, когда основное поле K имеет положительную характеристику, гипотеза якобиана, сформулированная в виде Гипотезы 1.1.1, неверна даже в случае n = 1. В самом деле, если char K = p и n = 1, можно взять <^(x) = x — xp; якобиан такого отображения равен единице, но оно необратимо.

Несмотря на кажущуюся простоту формулировки и контекста, проблема якобиана представляет собой один из наиболее трудных открытых вопросов современной алгебраической геометрии. Этот вопрос за время своего существования стал предметом многочисленных исследований и во многом способствовал развитию смежных областей алгебры, геометрии и математической физики, представляющих также самостоятельный интерес.

Литература, посвященная гипотезе якобиана, ее аналогам и смежным вопросам, обширна. Подробное обсуждение результатов, установленных в контексте проблемы якобиана, выходит за рамки данной работы; ниже мы приведем краткий обзор некоторых результатов, касающихся непосредственно гипотезы якобиана (т.е. для алгебры многочленов от коммутирующих переменных) заслуживающих внимание. Среди исследований вопросов, аналогичных проблеме якобиана в ассоциативной алгебре, стоит отметить работы Дикса [43] и Дикса и Левина [44] об аналоге проблемы якобиана для свободных ассоциативных алгебр (см. также статью А.А. Золотых и А.А. Михалева [1], в которой доказывается матричный критерий обратимости эндоморфизма свободной алгебры над коммутативным кольцом), доказательство У.У. Умирбаевым [99] аналога проблемы якобиана для свободной метабелевой алгебры, а также глубокие и крайне нетривиальные работы А.В. Ягжева [110,111] (см. также [27]).

1.1.2 Некоторые результаты, связанные с проблемой якобиана

В то время как общий случай гипотезы якобиана (или даже гипотеза якобиана на плоскости) остается, на момент написания данного текста, открытой проблемой, в течение ее существования были установлены различные результаты частного характера. Упомянем лишь некоторые из них.

С.-С. Вангом [107] была установлена справедливость гипотезы якобиана для случая эндоморфизмов, задаваемых многочленами степени 2. Также, Х. Бассом, Э. Х. Коннеллом и Д. Райтом [21] было показано, что общий случай гипотезы якобиана будет следовать из

справедливости частного случая гипотезы якобиана для так называемых эндоморфизмов однородно-кубического типа, то есть отображений вида

(х1, . . . , хп) ^ (х1 + #1,... , хп + #п)

где многочлены являются однородными степени 3.

Более того, Л.М. Дружковски [48] доказал, что предыдущую гипотезу можно ослабить, рассматривая в качестве только многочлены, являющиеся кубами линейных однородных многочленов.

В работах М. де Бондта и А. ван ден Эссена [37,38], а также в работе Дружковски [49], было показано, что проблему якобиана достаточно установить для эндоморфизмов однородно-кубического типа с симметрической матрицей Якоби.

Пусть, как и раньше, полиномиальный эндоморфизм Р задан набором образов генераторов алгебры многочленов:

Р О (Р (х1),...,^ (хп)) = №,...,

Тогда Р обратим тогда и только тогда, когда алгебры

К[х1,...,хп] и ВД,...,*п]

изоморфны друг другу. В исходной работе Келлера [72] был рассмотрен рациональный аналог данного критерия, т.е. случай изоморфизма полей функций

К(х1,...,хп) и ВД,...,^п)

и установлена следующая из существования изоморфизма обратимость. Л.А. Кэмпбеллом [39] было проведено обобщение исходного результата Келлера на случай, когда К(х1,..., хп) является расширением Галуа поля ..., Рп) (см. также работы М. Разара [89] и Д. Райта

[109], обобщающие упомянутый результат).

Помимо этого, некоторые усилия были направлены на проверку выполнения гипотезы якобиана для всех эндоморфизмов, задаваемых многочленами степени не выше некоторого фиксированного числа. Именно, Ц.-Ц. Мох [84, 85] провел подобную проверку для многочленов двух переменных степени не выше 100.

Несмотря на существование описанных выше результатов (а также некоторых других теорем похожей природы), общий случай гипотезы якобиана остается не только открытым, но и, по всей видимости, на данный момент неприступным вопросом. Более того, описанные выше частные случаи и разновидности таковы, что возможные пути перехода от них к общему случаю крайне неочевидны.

С другой стороны, науке известны ситуации, в которых отображения, по своим геометрическим свойствам близкие к полиномиальным эндоморфизмам, тем не менее не являются обратимыми. С.Ю. Оревков [5] указывает на следующую переформулировку проблемы якобиана, приводящую к подобной ситуации. Пусть I - бесконечно удаленная прямая в комплексной проективной плоскости СР2, и - ее трубчатая окрестность, /1, /2 - мероморфные функции на и, голоморфные на и\ и задающие локально взаимно однозначное отображение

Р : и\ ^ С2.

Гипотеза якобиана эквивалентна утверждению об инъективности отображений такого вида. С.Ю. Оревковым [5] было доказано существование следующего примера.

Теорема 1.1.2 (С.Ю. Оревков, [5]). Существует гладкая, некомпактная комплексно-аналитическая поверхность X, на ней гладкая кривая Ь, изоморфная проективной прямой, с индексом самопересечения +1, и две функции f1, ¡2, мероморфные на X и голоморфные на X\Ь, такие что задаваемое этими функциями отображение

Г : X\Ь ^ С2

локально взаимно однозначно, но не инъективно.

Как отмечается в [5], если и - трубчатая окрестность кривой Ь, то пары (и,1) (как выше) и (и, Ь) диффеоморфны, так что из примера С.Ю. Оревкова следует существование гладкого погружения в двумерное комплексное пространство внешности некоторого шара, геометрически похожего на полиномиальное отображение, являющегося, однако, необратимым. Также, если бы пары (и, I) и (и, Ь) были биголоморфными друг другу, то пример Оревкова доказывал бы существование контрпримера к гипотезе якобиана. Это соображение позволяет заключить, что подозрения в пользу отрицательности гипотезы якобиана в общем случае являются обоснованными, равно как обоснованным занятием является поиск возможных контрпримеров.

В своей классической работе 1983 года, Д. Аник [9] построил теорию приближения полиномиальных эндоморфизмов ручными автоморфизмами (одним из основных результатов данной работы является доказательства симплектического аналога основной теоремы Аника). В связи с теоремой Д. Аника о приближении, проблему якобиана можно свести к решению вопроса об обратимости пределов последовательностей ручных автоморфизмов. Более того, симплектический аналог теоремы Д. Аника дает естественную, хотя и требующую нетривиальных расширений, идею для решения проблемы подъема полиномиальных сим-плектоморфизмов до автоморфизмов алгебры Вейля с целью доказательство гипотезы Белова - Концевича (часто называемой гипотезой Концевича), введение в которую будет дано ниже.

Центральным вопросом в подходе к проблеме якобиана и к гипотезе Концевича, основанном на приближении последовательностями ручных автоморфизмов, является доказательство полиномиальности получившегося предела. В то время как в случае с подъемом симплектоморфизмов (гипотеза Концевича, [60]) доказательство корректности конструкции, судя по всему, удается провести (существенную роль в нем играет обратимость пределов последовательностей до подъема, чего заведомо нет в случае проблемы якобиана), в контексте гипотезы якобиана ясности в данном вопросе нет, а соображения, следующие из теоремы С.Ю. Оревкова [5], указывают на возможные существенные препятствия.

Изучение проблемы якобиана методами групп накрытий проводится в работах С.Ю. Оревкова [4,6] и А.Г. Витушкина [105,106].

Проблеме якобиана также посвящены чрезвычайно интересные исследования Вик. С. Куликова [2,78].

С проблемой якобиана тесно связан ряд других трудных задач из науки о полиномиальных автоморфизмах и аффинной алгебраической геометрии. Эти проблемы важны и в общем математическом контексте. Например, частный случай классической гипотезы Абьянкара-Сатайе [88,112], утверждает об изоморфизме всех вложений комплексной аффинной прямой в трехмерное пространство. Иными словами, о возможности формально алгебраического определения понятия узла.

1.1.3 Ind-схемы и многообразия автоморфизмов

Одной из существенных областей алгебраической геометрии, развитие которой было мотивировано гипотезой якобиана, является теория бесконечномерных алгебраических групп. Основополагающей для данного направления1 статьей послужила работа И.Р. Шафареви-ча [93]. В ней были определены понятия, позволяющие изучать вопросы о некоторых естественных бесконечномерных группах - например, о группе автоморфизмов алгебры многочленов от нескольких переменных - при помощи методов алгебраической геометрии. В частности, Шафаревич определяет бесконечномерные многообразия как индуктивные пределы направленных систем вида

{X/, i,j е I}

где X - алгебраические многообразия (более общо, алгебраические множества) над полем K, а морфизмы /j (определенные при i < j) - замкнутые вложения. Индуктивный предел системы топологических пространств несет естественную топологию, в связи с чем возникают вопросы связности и неприводимости, которые были также изучены в [93].

Следуя общепринятой терминологии, мы будем называть прямые пределы систем многообразий и замкнутых вложений Ind-многообразиями, а соответствующие им пределы систем схем и морфизмов схем - Ind- схемами.

Проблема якобиана имеет следующую элементарную связь с Ind-схемами. Поскольку алгебра многочленов K[xi,... , xn] может быть снабжена естественной Z-градуировкой по полной степени deg, которая определяется как гомоморфизм моноидов (соответственно, слов от xi,... , xn и неотрицательных целых) требованием deg x = 1, можно определить понятие степени эндоморфизма именно, если

= (<p(xi),...,<p(xra))

определен своим действием на генераторах алгебры, то степень deg ^ есть максимальное значение deg на многочленах ^(ж1),..., <^(xn). Это определяет возрастающую фильтрацию

End-NK[xi,...,x„], N > 0

на множестве End K[x1,...,xn] эндоморфизмов алгебры многочленов; точки End- K[xi,... ,xn] есть эндоморфизмы степени не выше N. Легко видеть, что алгебраические множества End- K[xi,... , xn] изоморфны аффинным пространствам соответствующего числа измерений; координатами точки ^ служат коэффициенты многочленов

<p(xi),... ,<p(xra)

, и для

End K[xi,..., xn]

эти координаты не связаны никакими соотношениями.

Фильтрация по степени также позволяет наделить множества автоморфизмов топологией Зарисского следующим образом (см. также [93]): если ^ - полиномиальный автоморфизм, то

хТо обстоятельство, что исследование Шафаревича было обусловлено в том числе изучением подходов к гипотезе якобиана, известно автору от своего научного руководителя А.Я. Белова, а также от С.Ю. Оревкова.

рассмотрим набор многочленов

(<р(х1), . . . , ^(х1), ^-1(х1), . . . , ^-1(хп))

- образов генераторов при действии данного автоморфизма и его обратного. Коэффициенты этих многочленов служат координатами (р как точки некоторого аффинного пространства. Определим подмножества

Аи^ К[хь... ,хп] = (р е Ли; К[хь... ,хп] : deg р, deg < N}

как множества таких автоморфизмов, что все коэффициенты многочленов в представлении выше при степенях выше N равны нулю.

Множества К[х1,... ,хп] являются алгебраическими; в самом деле, тождества, ко-

торые определяют точки Аи1;-М, получаются из тождества

о = та

и, легко видеть, задаются многочленами.

Теперь пусть 3-м обозначает подмножество в

End-N K[xi,...,xn]

, точками которого являются эндоморфизмы с якобианом, равным ненулевой постоянной. Тогда Гипотеза 1.1.1 может быть очевидным образом переформулирована в следующем виде

v^ е J-N ^ <р е Aut K[xi,..., xn], VN, при charK = 0.

1.1.4 Гипотезы Диксмье и Концевича

Ж. Диксмье [45] в своем исследовании алгебр Вейля обнаружил связь между проблемой якобиана и следующей гипотезой. Пусть Wn,K обозначает n-ую алгебру Вейля над полем K, определяемую как факторалгебра свободной алгебры

F2n = K(ab... ,an,bi,... ,Ьп) от 2n образующих по двустороннему идеалу Iw , порожденному многочленами

aiaj — ajai} bibj — bjbi, biaj — ajbi — Sij (1 < i, j < n) (Sij - символ Кронекера). Гипотеза Диксмье утверждает:

Гипотеза 1.1.3 (Гипотеза Диксмье, DCn). Пусть char K = 0. Тогда End Wn,K = Aut Wn,K.

Иначе говоря, всякий эндоморфизм алгебры Вейля над полем характеристики нуль является автоморфизмом.

Из гипотезы Диксмье для n переменных, DCn, следует гипотеза якобиана JCn для n переменных (см., например, [51]). Значительным продвижением последних лет в изучении Гипотезы 1.1.1 стало доказательство А.Я. Канелем-Беловым (Беловым) и М.Л. Концевичем [64] - и независимо от них Й. Цучимото [97] (также см. [98]) - следующей теоремы.

Теорема 1.1.4 (А.Я. Канель-Белов и М.Л. Концевич [64], Й. Цучимото [97]). Из JC2n следует DCn.

В частности, из Теоремы 1.1.4 следует стабильная эквивалентность гипотез якобиана и Диксмье - т.е. эквивалентность гипотез и где обозначает конъюнкцию со-

ответствующих гипотез для всех конечных п.

Теорема 1.1.4 положила начало направлению исследования проблемы якобиана, в основе которого лежит изучение поведения многообразий эндо- и автоморфизмов алгебр при деформационном квантовании (процедуре, связывающей в некотором смысле алгебру Вейля ЖпД с алгеброй многочленов от четного числа переменных с дополнительной пуассоновой структурой). Программной статьей данного направления служит статья А.Я. Канеля-Белова и М.Л. Концевича [63]; в ней было сформулировано несколько гипотез, касающихся многообразий автоморфизмов соответствующих алгебр. Основная гипотеза носит название гипотезы Концевича и звучит следующим образом.

Гипотеза 1.1.5 (Гипотеза Концевича, [63]). Пусть К = С - поле комплексных чисел. Группа автоморфизмов АШ Жп,С п-ой алгебры Вейля над С изоморфна группе автоморфизмов АШ Рп,С так называемой п-ой (коммутативной) алгебры Пуассона Рп,С:

АШ Жп с — АШ Рп,с

Алгебра Рп,с есть алгебра многочленов

С[х1, . . . ,хп,Р1 . . . ,Рп]

от 2п переменных, снабженная скобкой Пуассона - билинейной операцией { , }, являющейся скобкой Ли, удовлетворяющей правилу Лейбница и действующей на генераторах алгебры следующим образом:

{хг,х^-} = 0, {рг,р} = 0, {Рг,х^ } = ^ .

Эндоморфизмы алгебры Рп есть эндоморфизмы алгебры многочленов, сохраняющие скобку Пуассона (которую мы в тексте диссертации иногда называем пуассоновой структурой). Элементы группы АШ Рп,с носят название полиномиальных симплектоморфизмов; выбор названия обусловлен существованием (анти-)изоморфизма между группой АШ Рп,с и группой полиномиальных симплектоморфизмов аффинного пространства А2п.

Гипотеза Концевича верна при п = 1. Доказательство этого результата представляет собой непосредственное описание групп автоморфизмов АШ Р1,с и АШ Ж1,с, содержащееся в классических работах Г.В.Э. Юнга [54], В. Ван дер Калка [104], Ж. Диксмье [45] и Л.Г. Макар-Лиманова [82] (см. также [81]). Именно, рассмотрим следующие группы преобразований: группа С1 есть полупрямое произведение

ЯЬ(2, С) х С2

элементы которого носят название специальных аффинных преобразований, а группа С2 по определению состоит из следующих, «треугольных» замен:

(х,р) ^ (Ах + Р(р), А-1р), А е Сх, Р е С[*].

Группа автоморфизмов алгебры Р1,С тогда [54] изоморфна факторгруппе свободного произведения групп С1 и С2 по их пересечению. Ж. Диксмье [45] и, в дальнейшем, Л.Г. Макар-Лиманов [82] показал, что если в описании выше заменить коммутирующие пуассоновы генераторы их квантовыми (вейлевскими) аналогами, то получится описание группы автоморфизмов первой алгебры Вейля Ж1,С.

Замечание 1.1.6. Теоремы Юнга, Ван дер Калка, Диксмье и Макар-Лиманова означают также, что все автоморфизмы, соответственно, алгебры многочленов от двух переменных и первой алгебры Вейля W1 являются ручными (определение понятия ручного автоморфизма, играющего значительную роль в данном исследовании, см. далее). Также, Макар-Лимановым [81] и А. Чернякевич [40] было доказано, что все автоморфизмы свободной алгебры K(x,y) являются ручными.

Ввиду этих обстоятельств, случай двух переменных является исключительным. Тем не менее, проблема якобиана является трудной открытой задачей даже в этом случае.

Недавно А.Я. Канелем-Беловым, совместно с автором данной диссертации и Дж.-Т. Ю, было предложено доказательство общего случая гипотезы Концевича ( [60,61]). Также независимое доказательство (основанное на изучении свойств голономных D-модулей) было предложено К. Доддом [46]. Оба доказательства на момент написания диссертации находятся на стадии рецензирования.

В отличие от гипотезы якобиана, представляющей собой исключительно трудную задачу даже на плоскости, для рассмотрения гипотезы Концевича существуют несколько подходов. Прежде всего, в программной статье [63] было сформулировано несколько обобщений Гипотезы 1.1.5. В статьях [64] и [97], посвященных доказательству Теоремы 1.1.4, было проведено построение гомоморфизмов

ф : Aut Wn,c ^ Aut Pn,с

и

ф : End Wn,c ^ End Pn,c,

участвующих в построении, по контрпримеру к DCn, необратимого эндоморфизма с единичным якобианом. Непосредственным усилением Гипотезы 1.1.5 является утверждение, что именно гомоморфизм ф реализует изоморфизм гипотезы Концевича. Также - именно, в Главе 8 статьи [63] - был предложен способ решения проблемы подъема полиномиальных симплек-томорфизмов до автоморфизмов алгебры Вейля (т.е. построения гомоморфизма, обратного к ф). Гипотеза 5 статьи [63], наряду с Гипотезой 6, являющейся ослаблением Гипотезы 1.1.5, составляют содержание конструкции, предложенной в статье [63]. Для решения проблемы подъема симплектоморфизмов в смысле указанных гипотез необходимо изучение свойств D-модулей - т.е. (левых) модулей над алгеброй Вейля. На данном подходе основано доказательство гипотезы Концевича (в смысле цитированных выше гипотез), предложенное К. Доддом [46].

1.1.5 Голономные D-модули, лагранжевы подмногообразия и работа Додда

Имеет место следующая гипотеза общего характера ( [63], см. также [73]).

Гипотеза 1.1.7. Пусть X - неособое многообразие. Существует однозначное соответствие между (неприводимыми) голономными D(X) -модулями и лагранжевыми подмногообразиями T*X соответствующей размерности.

Концевич [73] вводит общее определение голономного D-модуля следующим образом. Пусть X - неособое аффинное алгебраическое многообразие размерности n над полем K. Рассмотрим K-алгебру D(X) дифференциальных операторов - алгебру операторов, действующих на кольце O(X) регулярных на X функций, порожденную функциями и K-

дифференцированиями:

/ ^ g/, / ^ £(/), g eO(X), £ е r(X,TX/ Spec к).

На алгебре определена естественная фильтрация

D(X) = Ufc>cD<fc (X)

по порядкам операторов, ассоциированная градуированная алгебра естественно изоморфна алгебре функций на кокасательном расслоении T*X. Пусть M - конечно порожденный модуль над D(X), а V - конечномерное подпространство элементов, порождающих M. Оно индуцирует фильтрацию

M<fc = D<fc(X)V С M, k > 0,

такую что ассоциированный градуированный модуль gr(M) конечно порожден над O(T*X). Известно (этот результат принадлежит О. Габберу, см. [73]), что его носитель

supp(gr(M)) С T*X

является коизотропным многообразием; в частности, размерность всякой его неприводимой компоненты не меньше n. Носитель не зависит от выбора подпространства V (и обозначается в исходной статье [73] через supp(M)).

Конечно порожденный модуль M называется голономным, если, по определению, размерность его носителя равна n.

Гипотеза 1.1.7 (которую также можно называть гипотезой Концевича) обобщает как Гипотезу 1.1.5, так и Гипотезы 5 и 6 статьи [63] в контексте проблемы подъема симплектомор-физмов. Именно, со всяким симплектоморфизмом естественно связано лагранжево подмногообразие (его график). С другой стороны, голономные D-модули соответствуют автоэкви-валентностям алгебры Вейля, из чего в принципе (с учетом Гипотезы 5 статьи [63]) можно получить соответствие с автоморфизмами.

В связи с этими обстоятельствами, естественно возникла необходимость изучения голо-номных D-модулей и проблемы подъема полиномиальных симплектоморфизмов в случае низкой размерности - а именно, при n = 1 , что соответствует известному случаю гипотезы Концевича. Решение существенных вопросов на этом направлении является предметом статьи [59] Канеля-Белова и автора диссертации; результатам этого исследования посвящена четвертая глава диссертации. Общий случай произвольной размерности исследован Конце-вичем в основной статье [73] (см. также [35]); существенные результаты по Гипотезе 1.1.7 были получены (согласно нашему пониманию) Доддом [46].

Именно, Доддом было предложено доказательство следующего результата.

Теорема 1.1.8 (К. Додд, [46]). Пусть X - гладкое многообразие над C, L С T*X - лагран-жево подмногообразие кокасательного пространства. Предположим, что:

1. Проекция п : L ^ X является доминантным отображением.

2. Группа первых сингулярных гомологии H^"5(L, Z) тривиальна.

3. Существует гладкая проективная компактификация L многообразия L с тривиальной группой (0, 2)-когомологий Ходжа.

Тогда существует единственный неприводимый голономный D(X) - модуль M с постоянным арифметическим носителем 2, равным L, с кратностью 1.

2Определение арифметического носителя см. в [73].

Эта теорема частично решает вопрос о достаточных условиях на соответствие голоном-ных модулей лагранжевым многообразиям, сформулированном в Гипотезе 1.1.7. Также Додд отмечает, что в случае когда X = Ап есть аффинное пространство, условие 2 Теоремы 1.1.8 может быть опущено, в связи с чем имеет место следствие:

Следствие 1.1.9 (К. Додд, [46]). Пусть Ь С Т*Ат - гладкое лагранжево подмногообразие, удовлетворяющее условиям 2 и 3 Теоремы 1.1.8. Тогда существует единственный неприводимый голономный Т>(Ат)-модуль М, арифметический носитель которого равен Ь, с кратностью 1.

Этот результат тесно связан с конструкцией, изученной автором в [59] и рассматриваемой в последней части данной работы.

Как отмечает Додд, Теорема 1.1.8 и Следствие 1.1.9 позволяют дать описание группы Пикара Р1е(Жп,е) алгебры Вейля. Напомним, что группа Пикара ассоциативной алгебры определяется как группа классов (по изоморфизму) обратимых бимодулей над данной алгеброй, с групповой операцией, дающейся тензорным произведением модулей.

Рассмотрим полиномиальные симплектоморфизмы многообразия Т*Ат. Нетрудно показать, что график всякого симплектоморфизма есть лагранжево подмногообразие Ь^ в Т*А2т, изоморфное А2т и, следовательно, удовлетворяющее когомологическим условиям Теоремы 1.1.8. Применяя Следствие 1.1.9, мы получим (однозначно определенный) V(K2m) ~ V(Km) 0 V(Km^-модуль МV, отвечающий Можно проверить [46], что обратному симплектоморфизму в такой конструкции соответствует обратный бимодуль.

Проведя данное рассуждение и пользуясь построениями из статей [63] и [97], Додд получает следующий результат.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Елишев Андрей Михайлович, 2019 год

Литература

[1] А. А. Золотых, А. А. Михалёв. Эндоморфизмы свободных ассоциативных алгебр над коммутативными кольцами и их якобианы. Фундамент. и прикл. матем., 1:1 (1995), 177-189.

[2] Вик. С. Куликов. Гипотеза о якобиане и нильпотентные отображения. Комплексный анализ в современной математике, Фазис, М., 2001, 167-179.

[3] А. А. Михалёв, А. В. Михалёв, А. А. Чеповский. Примитивные элементы свободных коммутативных и антикоммутативных неассоциативных алгебр. Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ., 10:4 (2010), 105-124.

[4] С. Ю. Оревков. Коммутант фундаментальной группы дополнения плоской алгебраической кривой. УМН, 45:1(271) (1990), 183-184.

[5] С. Ю. Оревков. Один пример в связи с гипотезой о якобиане. Математические заметки, 47:1 (1990), 127-136.

[6] С. Ю. Оревков. Фундаментальная группа дополнения плоской алгебраической кривой. Математический сборник, 137(178):2(10) (1988), 260-270.

[7] А.Ю. Перепечко. Автоморфизмы конечномерных алгебр и аффинных многообразий. Диссертация, 2013.

[8] Р. Хартсхорн. Алгебраическая геометрия. Москва «Мир», 1981.

[9] D. Anick. Limits of tame automorphisms of K[xi,..., ]. J. Algebra, 82, 459-468 (1983).

[10] V. A. Artamonov. Automorphisms and Derivations of Quantum Polynomials. In the book: Ignacio Bajo and Esperanza Sanmartin (eds.), Recent Advances in Lie Theory v. 25. Heldermann Verlag, 2002, 109-120.

[11] V. A. Artamonov. Generalized derivations of quantum plane. J. Math. Sci. - 2005. - 131, N 5. - 5904-5918.

[12] V. A. Artamonov. Nilpotency, projectivity and decomposability (in Russian). Sibirsk. Mat. Zh. 32 (1991), no. 6, 3 - 11, 203; translation in Siberian Math. J. 32 (1991), no. 6, 901 - 909 (1992).

[13] V. A. Artamonov. Projective metabelian groups and Lie algebras (in Russian). Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 42 (1978), no. 2, 226 - 236, 469.

[14] V. A. Artamonov. Projective modules over universal enveloping algebras (in Russian). Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 48 (1984), no. 6, 1123 - 1137.

15] V. A. Artamonov. Serre's quantum problem (in Russian). Uspekhi Mat. Nauk 53 (1998), no. 4(322), 3 - 76; English translation in Russian Math. Surveys 53 (1998), no. 4, 657 - 730.

16] V. A. Artamonov, A. V. Klimakov, A. A. Mikhalev, A. V. Mikhalev. Primitive and almost primitive elements of Schreier varieties, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 21 (2016), no. 2, pp. 3-35.

17] I. Arzhantsev, K. Kuyumzhiyan and M. Zaidenberg. Infinite transitivity, finite generation, and Demazure roots. arXiv:1803.10620.

18] T. Asanuma. Non-linaearazible k*-actions in affine space. Invent. Math. 138 (1999) 281-306. 19| E. Backelin. Endomorphisms of quantized Weyl algebras. arXiv:1007.2628.

20] H. Bass. A nontriangular action of Ga on A3. J. Pure Appl. Algebra 33 (1984), no. 1, 1-5.

21] H. Bass, E.H. Connell, D. Wright. The Jacobian conjecture: reduction of degree and formal expansion of the inverse. Amer. Math. Soc. Bull., New Series, 7 (2) (1982): 287-330, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15032-7, ISSN 1088-9485, MR 0663785.

22] V.V. Bavula. A question of Rentschler and the Dixmier problem. (English) Zbl. 0995.16019. Ann. Math. (2) 154, No.3, 683-702 (2001).

23] V.V. Bavula. Generalized Weyl algebras and diskew polynomial rings. arXiv: 1612.08941.

24] V.V. Bavula. The group of automorphisms of the Lie algebra of derivations of a polynomial algebra. J. Alg. Appl. 16 (2017), arXiv: 1304.3836.

25] V.V. Bavula. The groups of automorphisms of the Lie algebras of formally analytic vector fields with constant divergence. Comptes Rendus Mathematique, 352 (2). pp. 85-88, arXiv: 1311.2284.

26] A. Belov. Local finite basis property and local representability of varieties of associative rings. Izv. Rus. Acad. Sci. 74 (2010) 3-134. English transl.: Izvestiya: Mathematics, 74 (2010) 1-126.

27] A. Belov, L. Bokut, L. Rowen and J.-T. Yu. The Jacobian Conjecture, together with Specht and Burnside-type problems. In Automorphisms in Birational and Affine Geometry (pp. 249285). Springer (2014).

28] A. Belov and R. Lipyanski. Authomorphisms of Endomorphism group of free associative-commutative algebra over an arbitrary field. J. Algebra 333 (2010) 40-54.

29] A. Belov-Kanel and J.-T. Yu. On the lifting of the Nagata automorphism. Selecta Math. (N.S.) 17 (2011), 935-945.

30] A. Belov-Kanel and J.-T. Yu. Stable tameness of automorphisms of F(x, y, z) fixing z. Selecta Math. (N.S) 18 (2012), 799-802.

31] G. M. Bergman. Centralizers in free associative algebras. Trans. Amer. Math. Soc., 137:327344, 1969.

32] A. Berzins. The group of automorphisms of semigroup of endomorphisms of free commutative and free associative algebras. arXiv:math/0504015.

33] A. Bialynicki-Birula. Remarks on the action of an algebraic torus on . Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astro. Phys. 14 (1966), 177-181.

[34] A. Bialynicki-Birula. Remarks on the action of an algebraic torus on II. Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astr. Phys. 15 (1967), 123-125.

[35] T. Bitoun. The p-support of a holonomic D-module is Lagrangian, for p large enough. arXiv: 1012.4081.

[36] Yu. Bodnarchuk. Every regular automorphism of the affine Cremona group is inner. J. Pure Appl. Algebra 157 (2001), 115-119.

[37] M. de Bondt, A. van den Essen. A reduction of the Jacobian conjecture to the symmetric case. Proc. Amer. Math. Soc., 133 (8) (2005): 2201-2205, doi:10.1090/S0002-9939-05-07570-2, MR 2138860.

[38] M. de Bondt, A. van den Essen. The Jacobian conjecture for symmetric Druzkowski mappings. Ann. Polon. Math., 86 (1) (2005): 43-46, doi:10.4064/ap86-1-5, MR 2183036.

[39] L.A. Campbell. A condition for a polynomial map to be invertible. Math. Ann., 205 (3) (1973): 243-248, doi:10.1007/bf01349234.

[40] A. Czerniakiewicz. Automorphisms of a free associative algebra of rank 2,I, II. Trans. Amer. Math. Soc., 160 (1971), 393 - 401; 171 (1972); 309 - 315.

[41] J. Deserti. Sur le groupe des automorphismes polynomiaux du plan affine. J. Algebra 297

(2006) 584-599.

[42] J. Deserti. Sur les automorphismes du groupe de Cremona. Compos. Math., 142(6): 1459-1478, 2006.

[43] W. Dicks. Automorphisms of the free algebra of rank two. Group actions on rings (Brunswick, Maine, 1984), Contemp. Math., 43 (1985), 63-68.

[44] W. Dicks and J. Lewin. Jacobian conjecture for free associative algebras. Commun. Alg. 10, No. 12 (1982), 1285-1306.

[45] J. Dixmier. Sur les algebres de Weyl. Bull. Soc. Math. France, 96 (1968), 209-242.

[46] C. Dodd. The p-Cycle of Holonomic D-modules and Auto-Equivalences of the Weyl Algebra, arXiv: 1510.05734.

[47] V. Drensky and J.-T. Yu. The strong Anick conjecture is true. J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 9

(2007), 659-679.

[48] L.M. Druzkowski. An effective approach to Keller's Jacobian conjecture. Math. Ann., 264 (3) (1983): 303-313, doi:10.1007/bf01459126, MR 0714105.

[49] L.M. Druzkowski. The Jacobian conjecture: symmetric reduction and solution in the symmetric cubic linear case. Ann. Polon. Math., 87: 83-92 (2005), doi:10.4064/ap87-0-7, MR 2208537.

[50] A. Elishev, A. Kanel-Belov, F. Razavinia, J.-T. Yu and W. Zhang. Noncommutative Bialynicki-Birula Theorem, arXiv: 1808.04903.

[51] A. van den Essen. Polynomial automorphisms and the Jacobian conjecture. Progress in Mathematics, 190. Birkhauser Verlag, Basel, 2000.

52] T. Frayne, A.C. Morel and D. Scott. Reduced Direct Products. Fund. Math. No. 51 (1962), 195-228.

53] J.-P. Furter and H. Kraft. On the geometry of the automorphism groups of affine varieties, arXiv:1809.04175.

54] H. W. E. Jung. Uber ganze birationale Transformationen der Eben. J. Reine Angew. Math.,

184 (1942), 161-174.

55] T. Kambayashi. Pro-affine algebras, Ind-affine groups and the Jacobian problem. J. Algebra

185 (1996), no. 2, 481-501.

56] T. Kambayashi. Some basic results on pro-affine algebras and ind-affine schemes. Osaka J. Math. 40 (2003), no. 3, 621-638.

57] T. Kambayashi and P. Russell. On linearizing algebraic torus actions. J. Pure and Applied Algebra, 23 (1982), 243-250.

58] A. Kanel-Belov, A. Berzins, R. Lipyanski. Automorphisms of the semigroup of endomorphisms of free associative algebras. Int. Journ. of Algebra and Comp., Vol. 17,:5/6 (2007), 923-939, arXiv:math/0512273.

59] A. Kanel-Belov and A. Elishev. On Planar Algebraic Curves and Holonomic D-modules in Positive Characteristic. J. Algebra Appl. DOI: 10.1142/S0219498816501553, arXiv: 1412.6836.

60] A. Kanel-Belov, A. Elishev, J.-T. Yu. Augmented Polynomial Symplectomorphisms and Quantization arXiv:1812.02859.

61] A. Kanel-Belov, A. Elishev and J.-T. Yu. Independence of the B-KK Isomorphism of Infinite Prime, arXiv: 1512.06533.

62] A. Kanel-Belov, S. Grigoriev, A. Elishev, J.-T. Yu and W. Zhang. Lifting of Polynomial Symplectomorphisms and Deformation Quantization, arXiv:1707.06450, Comm. in Algebra, 46:9 (2018), 3926-3938.

63] A. Kanel-Belov and M. Kontsevich. Automorphisms of Weyl algebras. Lett. Math. Phys. 74 (2005), 181-199.

64] A. Kanel-Belov and M. Kontsevich. The Jacobian Conjecture is stably equivalent to the Dixmier Conjecture, arXiv: math/0512171v2, 2005.

65] A. Kanel-Belov and R. Lipyanski. Automorphisms of the endomorphism semigroup of a free commutative algebra. Journal of Algebra, 333:1 (2011), 40-54, arXiv: 0903.4839.

66] A. Kanel-Belov, S. Malev and L. Rowen. The images of multilinear polynomials evaluated on 3 x 3 matrices. Proc. Amer. Math. Soc. 144 (2016), 7-19 .

67] A. Kanel-Belov, S. Malev and L. Rowen. The images of non-commutative polynomials evaluated on 2 x 2 matrices. Proc. Amer. Math. Soc. 140 (2012), 465-478.

68] A. Kanel-Belov, F. Razavinia, W. Zhang. Centralizers in Free Associative Algebras and Generic Matrices, arXiv:1812.03307.

69] A. Kanel-Belov, L. H. Rowen and U. Vishne. Full exposition of Specht's problem. Serdica Math. J. 38 (2012) 313-370.

[70] A. Kanel-Belov, J.-T. Yu, A. Elishev. On the Augmentation Topology on Automorphism Groups of Affine Spaces and Algebras, arXiv:1207.2045, Int. J. Alg. Comp., https://doi.org/10.1142/S0218196718400040.

71] I.V. Karzhemanov, Combinatorics of affine birational maps, arXiv:1303.3038.

72] O.-H. Keller. Ganze Cremona-Transformationen. Monatshefte Math. Phys., 47 (1): 299-306, 1939.

73] M. Kontsevich. Holonomic D-modules and positive characteristic, arXiv: 1010.2908v1, 2010.

74] M. Koras and P. Russell. C*-actions on C3: The smooth locus of the quotient is not of hyperbolic type. Journal of Algebraic Geometry 8.4 (1999): 603-694.

75] S. Kovalenko, A. Perepechko, and M. Zaidenberg. On automorphism groups of affine surfaces, arXiv: 1511.09051.

76] H. Kraft and A. Regeta. Automorphisms of the Lie algebra of vector fields, Preprint, 2014.

77] H. Kraft and I. Stampfli. On automorphisms of the affine Cremona group. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 63 (2013), no. 3, 1137-1148.

78] Vik. S. Kulikov. Generalized and local Jacobian problems. Russian Acad. Sci. Izv. Math., 41:2 (1993), 351-365.

79] R. Levy, P. Loustaunau and J. Shapiro. The prime spectrum of an infinite product of copies of Z. Fundamenta Mathematicae Vol. 138, No. 3, 1991.

80] Y.-C. Li and J.-T. Yu. Degree estimate for subalgebras. J. Algebra 362 (2012), 92-98.

81] L. Makar-Limanov. Automorphisms of a free algebra with two generators. Funkts. An. Prilozh., Vol. 4, Issue 3 (1970), 107-108.

82] L. Makar-Limanov. On automorphisms of Weyl algebra. Bull. S. M. F., tome 112 (1984), 359-363.

83] L. Makar-Limanov and J.-T. Yu. Degree estimate for subalgebras generated by two elements, J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 10 (2008), 533-541.

84] T.-T. Moh. On the global Jacobian conjecture for polynomials of degree less than 100, preprint.

85] T.-T. Moh. On the Jacobian conjecture and the configurations of roots. J. reine angew. Math., 340 (340) (1983): 140-212, doi:10.1515/crll.1983.340.140, ISSN 0075-4102, MR 0691964.

86] B. I. Plotkin. Algebras with the same (algebraic) geometry. Proc. Steklov Inst. Math, Vol. 242, 2003, 165-196.

87] B. I. Plotkin. Varieties of algebras and algebraic varieties. Israel J. of Mathematics, 1996, Vol. 96, No. 2, 511-522.

88] V. L. Popov. Around the Abhyankar-Sathaye conjecture, arXiv:1409.6330.

89] M. Razar. Polynomial maps with constant Jacobian. Israel J. Math., 32 (2-3) (1979): 97-106. doi:10.1007/bf02764906. MR 0531253.

[90] A. Robinson, Non-standard Analysis. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 64 = Indag. Math. 23 (1961), 432-440.

[91] G. Schwarz. Exotic algebraic group actions. C. R. Acad. Sci. Paris., Ser. I 309 (1989), 89-94.

[92] I. R. Shafarevich. Basic Algebraic Geometry, Vol. 1, 1994.

[93] I. R. Shafarevich. On some infinite-dimensional groups II. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 45:1 (1981), 214-226; Math. USSR-Izv., 18:1 (1982), 185-194.

[94] I. P. Shestakov and U. U. Umirbaev. Degree estimate and two-generated subalgebras of rings of polynomials. J. Amer. Math. Soc. 17 (2004), 181-196.

[95] I. Shestakov and U. Umirbaev. The Nagata automorphism is wild. Proc. Nat. Acad. Sci. USA,

100 (2003), No. 22, 12561-12563.

[96] I. P. Shestakov and U. U. Umirbaev. The tame and the wild automorphisms of polynomial rings in three variables. J. Amer. Math. Soc. 17 (2004), 197-220.

[97] Y. Tsuchimoto. Endomorphisms of Weyl algebra and p-curvatures. Osaka Journal of Mathematics, vol. 42, no. 2 (2005).

[98] Y. Tsuchimoto. Preliminaries on Dixmier conjecture. Mem. Fac. Sci, Kochi Univ. Ser. A Math. 24 (2003), 43-59.

[99] U. U. Umirbaev. On the extension of automorphisms of polynomial rings. Sibirsk. Mat. Zh., 1995, Vol. 36, No. 4, 911-916.

[100] U. U. Umirbaev. The Anick automorphism of free associative algebras. J. angew. Math. (Crelles Journal) 605 (2007), 165-178.

[101] U. U. Umirbaev and J.-T. Yu. The strong Nagata conjecture. Proc. Natl. Acad. Sci. USA

101 (2004), 4352-4355.

[102] C. Urech, S. Zimmermann. Continuous automorphisms of Cremona groups. arXiv:1909.11050.

[103] M. Van den Bergh. On involutivity of p-support, arXiv: 1309.6677.

[104] W. Van der Kulk. On polynomial rings in two variables. Nieuw Arch. Wisk., 1 (1953), 33-41.

[105] A. G. Vitushkin. Evaluation of the Jacobian of a rational transformation of C2 and some applications. Math. Notes, 66:2 (1999), 245-249.

[106] A. G. Vitushkin. On the homology of a ramified covering over C2. Math. Notes, 64:6 (1998), 726-731.

[107] S.-S. Wang. A Jacobian criterion for separability., Journal of Algebra, 65 (2) (August 1980), 453-494, doi:10.1016/0021-8693(80)90233-1.

[108] A. Weinstein. Lectures on Symplectic Manifolds. Expository lectures, CBMS Regional Conf., University of North Carolina, 1976.

[109] D. Wright. On the Jacobian conjecture. Illinois J. Math., 25 (3) (1981), 423-440. MR 0620428.

[110] A.V. Yagzhev. Invertibility of endomorphisms of free associative algebras (in Russian). Mat. Zametki 49 (1991), No. 4, 142-147, 160; translation in Math. Notes 49 (1991), No. 3-4, 426-430.

[111] A.V. Yagzhev. On endomorphisms of free algebras (in Russian). Sibirsk. Mat. Zh. 21 (1980), No. 1, 181-192.

[112] M. Zaidenberg. On exotic algebraic structures on affine spaces. Lecture notes (book), 1996.

[113] W. Zhang. Alternative Proof of Bergman's Centralizer Theorem by Quantization. Bar-Ilan University, Master Thesis, 2017.

[114] A. B. Zheglov. On rings of commuting partial differential operators. St. Petersburg Math. J., 25:5 (2014), 775-814.

[115] A. B. Zheglov, H. Kurke. Geometric properties of commutative subalgebras of partial differential operators. Sb. Math., 206:5 (2015), 676-717.