Диффеоморфизмы и потоки на гладких многообразиях со свойствами отслеживания тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Тодоров, Дмитрий Игоревич

• Тодоров, Дмитрий Игоревич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Тодоров, Дмитрий Игоревич

Содержание

Введение

1 Липшицево обратное отслеживание для диффеоморфизмов

1.1 Обзор имеющихся результатов

1.2 Определения

1.3 Основные результаты

1.4 Методы

1.5 Доказательство

1.5.1 Обратное отслеживание в Ет

1.5.2 Обратное отслеживание на замкнутых многообразиях

2 Липшицево обратное отслеживание для потоков

2.1 Определения

2.2 Основной результат

2.3 Идея доказательства

2.4 Доказательство утверждения 2.5 для М = Ет

2.4.1 Построение метода

2.4.2 Проверка условий ¿-метода

2.4.3 Отслеживание точной траектории траекторией метода

2.5 Доказательство утверждения 2.5 для случая замкнутого многообразия

3 Гёльдерово обратное отслеживание

3.1 Определения

3.2 Основной результат

3.3 Доказательство

4 Липшицево предельное отслеживание

4.1 Обзор имеющихся результатов

4.1.1 Двустороннее отслеживание

4.1.2 отслеживание

4.2 Определения

4.3 Основной результат

4.4 ЬТЗЬтЭР^) влечёт структурную устойчивость

4.5 Структурная устойчивость влечёт ЬТ8Ьт8Р(7)

Заключение

Приложение. Связь разрешимости разностных уравнений и гиперболичности

5.1 Определения

5.2 Основные результаты

5.3 Аналог теоремы Майзеля

5.3.1 Технические леммы

5.3.2 Доказательство дискретного аналога теоремы Майзеля

5.4 Аналог теоремы Плисса

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Диффеоморфизмы и потоки на гладких многообразиях со свойствами отслеживания»

Введение

Основными объектами исследования в данной работе являются пространство диффеоморфизмов замкнутого гладкого многообразия и пространство гладких векторных полей на замкнутом гладком многообразии. Оба пространства наделяются С1 топологией.

Классической задачей является задача о характеризации множества диффеоморфизмов, топологически сопряжённых с их С1-малыми возмущениями. Такие диффеоморфзимы называются структурно устойчивыми (определение структурной устойчивости восходит к Андронову и Понт-рягину [1]).

Если гомеоморфизм к гладкого многообразия М сопрягает два диффеоморфизма /, д : М —> М, Ь о / = д о }г, то /г отображает траектории динамической системы, порождённой диффеоморфизмом / на траектории динамической системы, порождённой диффеоморфизмом д.

Этот подход используется в определении структурно устойчивого векторного поля. Гладкое векторное поле X на гладком многообразии М называется структурно устойчивым, если для любого С1-малого возмущения У поля X существует гомеоморфизм И : М —> М, отображающий траектории поля X на траектории поля У с сохранением направления движения по траекториям.

Вопросу об условиях, при которых диффеоморфизм / или векторное поле X являются структурно устойчивыми, посвящены многочисленные исследования (см. [2-13]).

В последнее десятилетие появились работы, в которых структурная устойчивость характеризуется в терминах свойства отслеживания приближённых траекторий (псевдотраекторий).

Так, было показано, что С1-внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих свойством отслеживания, совпадает со множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов (см. [14]). Аналогичный результат для векторных полей без точек покоя был доказан в [15].

Оказалось, что структурную устойчивость можно характеризовать, на-каладывая дополнительные условия на свойство отслеживания; так, по-

казано, что липшицево свойство отслеживания эквивалентно структурной устойчивости (см. [16,17]).

В предлагаемой диссертационной работе изучается связь между несколькими новыми свойствами отслеживания и структурной устойчивостью. Доказывается эквивалентность структурной устойчивости и лип-шицева обратного отслеживания для диффеоморфизмов (глава 1) и гладких векторных полей (глава 2), гёльдерова обратного отслеживания для диффеоморфизмов (глава 3), и одного из вариантов предельного свойства отслеживания (глава 4).

В качестве основного инструмента при изучении диффеоморфизмов используется теорема Мане о необходимом и достаточном условиях структурной устойчивости. Технически, применение теоремы Мане сводится к использованию дискретного аналога теоремы Плисса о связи между разрешимостью систем разностных уравнений и гиперболичностью последовательности коэффициентов. Доказательство теоремы, усиливающей этот дискретный аналог теоремы Плисса, приводится в приложении.

Основные результаты работы опубликованы в статьях [18-20].

Глава 1

Липшицево обратное отслеживание для диффеоморфизмов

Существует множество различных свойств отслеживания для диффеоморфизмов замкнутых многообразий. Наиболее простое - классическое отслеживание. Говорят, что диффеоморфизм замкнутого римано-ва многообразия обладает классическим свойством отслеживания, если каждая псевдотраектория с достаточно малым размером ошибок может быть аппроксимирована (отслежена) точной траекторией. В [14] показано, что (^-внутренность множества диффеоморфизмов замкнутого ри-манова многообразия с классическим свойством отслеживания совпадает со множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов. Классическое свойство отслеживание не даёт хорошоего контроля точности отслеживания в терминах размера ошибок псевдотраектории. Липшицево свойство отслеживания даёт линейный контроль.

Понятие обратного отслеживания для диффеоморфизмов было введено Пилюгиным и Корлессом в [21] и Клёденом и Омбахом в [22]. Известно, что структурно устойчивый диффеоморфизм обладает классическим и обратным свойствами отслеживания, и при этом эти свойства липшицевы (см. [23,24]).

Совсем недавно в [17] было показано, что из наличия свойства липши-цева отслеживания следует структурная устойчивость диффеоморфизма. В данной главе доказывается, что аналогичные утверждения верны также для липшицева свойства обратного отслеживания относительно двух классов методов. Основной результат главы включён в статью [18].

1.1 Обзор имеющихся результатов

Пусть / - диффеоморфизм класса С1 гладкого многообразия М с ри-мановой метрикой dist. Здесь и далее мы всегда будем иметь в виду многообразия гладкости С°°. Обозначим т = dim М. Пусть d > О

Определение 1.1. Будем называть (/-псевдотраекторией / последовательность {:r<k}keZ точек М, для которой выполнены неравенства

dist(xfc+i, f{xk)) <d, к е Z.

Мы будем рассматривать свойства обратного отслеживания псевдотраекторий, порождённых двумя классами методов.

Определение 1.2. Будем называть ¿-методом класса @,s семейство непрерывных отображений {Фк}кеъ-> Фк '• М —> М, для которого выполнены неравенства

dist(^fe(x), /(ж)) <d, х е М, к е Z.

Последовательность {.т^} кеЪ точек М называется траекторией d-метода {ф^} класса если

Xk+i = Фк(%к), к е Z.

Определение 1.3. Будем называть d-методом класса Qt семейство непрерывных отображений {фк}keZ, фк '■ М —»• М, для которого выполнено следующее:

Фа = И;

dist(/(^fc(a;)), фк+г{х)) < d, х е М, к е Z.

Последовательность {xk}keZ точек М называется траекторией d-метода {фк} класса 0/, если существует такая точка х е М, что

хк = фк(х), ке Z.

Замечание 1.1. Из определений немедленно следует, что любая траектория ¿-метода класса @s или Qt является ¿-псевдотраекторией /.

Определение 1.4. Будем говорить, что диффеоморфизм / обладает свойством обратного отслеживания относительно класса 0S (класса ©¡>) на траектории точки р е М, если для любого е > 0 существует такое ¿ > О, что для любого ¿-метода {фк} класса в,, (класса Qt) с найдется такая траектория {хк} метода {фк}, что выполнены неравенства

dist (a;*, fk(p)) < е, к е Z. 7

Определение 1.5. Будем говорить, что диффеоморфизм / обладает свойством обратного отслеживания относительно класса 6S (класса 0г), если он обладает свойством обратного отслеживания относительно этого класса на траектории любой точки р е М. Будем писать, соответственно, / е ISPя или / е ISPf.

Мы будем рассматривать либо случай компактного многообразия М без края, либо случай М = Шт. Рассмотрим множество Diff1(M) гладких диффеоморфизмов М на себя. Хорошо известно, что любое гладкое замкнутое многообразие вкладывается в Rn для некоторого натурального п. Тогда можно отождествить касательное пространство ТХМ и пространство Rm cz М" для любой точки х е М.

Пусть / е Diff1(M). Дифференциал Df(x) действует из одного т-мерного подпространства Шп в другое m-мерное подпространство Определим расстояние между диффеоморфизмами /2 е Diif1(M) следующим образом:

Pi(/i, /2) = М/1,/2) + SUP\Df{x) - Dg{x)|| ,

хеМ

где || • || - стандартная операторная норма и

Po(/i) /2) = max max (dist(/i(x), /2(ж)), dist(/i_1(x), •

хеМ

Очевидно, pi является метрикой на пространстве Difi'1 (Л/). Топологию, порождённую такой метрикой, называют С1-топологией.

Определение 1.1. Диффеоморфизм / называется структурно устойчивым, если существует такая окрестность U диффеоморфизма / в С1-топологии, что любой диффеоморфизм д е U топологически сопряжен с / (подробнее о структурно устойчивых диффеоморфизмах написано, например, в книге [25]).

Множество структурно устойчивых диффеоморфизмов будем обозначать через S.

Следующая теорема доказана в [24]: Теорема 1.1. ISPs с S и ISPf с= S.

Понятие персистентности (persistence) было определено Левовичем в [26].

Определение 1.2. Диффеоморфизм / называется персистентным, если для любого е > 0 существует такое <5 > 0, что для любого х е M и гомеоморфизма g : M —> M, удовлетворяющего pa(f, g) < S, существует такая точка у g M, что

dist(fk(x),gk(y))<e, к g Z.

Множество персистентных диффеоморфизмов будем обозначать через

V.

Для A a Diff1(M) будем обозначать внутренность множества А в С1 топологии через Intçi (Л). Следующий результат доказан в [27]:

Теорема 1.2. Int^i (V) = S.

Легко видеть, что обратное отслеживание для любого класса методов влечёт персистентность. Поэтому справедливо следующее следствие:

Следствие 1.2. IntCi (ISPe) = IntCi (ISP*) = S.

Упомянем также свойство, определённое Фрэнксом в [13]:

Определение 1.3. Диффеоморфизм / : M —»■ M класса гладкости С2 называется неавтономно устойчивым, если существует такая U - окрестность / в С1 топологии, что для любого натурального к из вложения gi,..., дь е U следует, что существует такой гомеоморфизм h : M —*■ M, что h'1 о fk о h = gi о ■ ■ ■ о дк.

Множество неавтономно устойчивых диффеоморфизмов / : M M будем обозначать через TDS.

В [13] доказана следующая теорема:

Теорема 1.3. TDS = S.

1.2 Определения

Определение 1.6. Будем говорить, что диффеоморфизм / обладает лип-шицевым свойством обратного отслеживания относительно класса 0,s (класса Qt) на траектории точки р g M, если существуют такие положительные константы do, L, что для любого (¿-метода {фь-} класса Os (класса Of) с d ^ do найдется такая траектория {хк} метода {фк}, что выполнены неравенства

dist (a*, fk{p)) < Ld, ке Z.

Определение 1.7. Будем говорить, что диффеоморфизм / обладает лип-шицевым свойством обратного отслеживания относительно класса 0,ч (класса 0<), если он обладает липшицевым свойством обратного отслеживания относительно этого класса на траектории каждой точки р е М. Будем писать, соответственно, / е ЫБР^ или / б ЫБР^.

Замечание 1.3. Отметим, что в данном выше определении липшицева свойства обратного отслеживания не предполагается, что константы ¿о, Ь одни и те же для разных точек ре М.

1.3 Основные результаты

Пусть М компактно и не имеет края. В работе [24] было показано, что структурно устойчивый диффеоморфизм обладает липшицевым свойством обратного отслеживания относительно классов методов 05 и 0£ (с одними и теми же константами г/о, Ь для всех точек р е М).

Мы обращаем теоремы статьи [24] и показываем, что выполнена следующая теорема:

Теорема 1.4. Если / е ЫЭР^ или / е ЫБР^ то f структурно устойчив.

1.4 Методы

Наши доказательства в случае диффеоморфизмов используют два известных результата, принадлежащих Р. Мане и В. А. Плиссу. Сформулируем их.

Пусть М компактно и не имеет края. Фиксируем точку р е М и рассмотрим два линейных подпространства ТРМ:

В+(р) = {г> £ ТРМ | \0/к(р)ь\ —► 0, к -> +оо} , В~(р) = {ьеТрМ | \В^{р)у\ —0, к —*■ —оо} .

Определение 1.8. Два линейных подпространства Уъ пространства Мт называются трансверсальными, если У\ + У2 = Мш.

Определение 1.9. Будем говорить, что для диффеоморфизма / в точке р выполнено аналитическое свойство трансверсальности, если В+(р) и В~(р) трансверсальны как подпространства ТрМ.

Теорема 1.5 (Мане, [28]). Диффеоморфизм / структурно устойчив тогда и только тогда, когда аналитическое свойство трансверсальности выполнено в каждой точке р е М.

Пусть / - либо = [кеЪ | к ^ 0}, либо Ъ~ = {к е Ъ | к < 0}. Пусть А = {Лк}ке1 - последовательность линейных изоморфизмов Мт —>• Мт, индексированных целыми числами из I.

Предположим, что существует такая константа N > 0, что все \\Ак\\, < N. Для двух индексов к,1 е I обозначим

{Ак-10 ■ ■ ■ о А1, I < к,

И, 1 = к, (1.4.1)

А^с-оА^ 1>к.

Мы используем следующее определение из [29]:

Определение 1.4. Будем говорить, что последовательность А гиперболична на I, если существуют такие константы К > 0, Л б (0,1) и проекции Рк,Як, к е I, что Б к = и к = С^кМ"1 и выполнено следующее:

Аквк = 5/с+ъ Ак11к — 11к+ь ^КА^М, ьеЯ, к ^ КХ1~к\у\, у е 1/1, к ^ 1-,

ИДИ, ¡<3*1 < к.

Везде здесь мы имеем в виду, что индексы принадлежат I. Положим

В+(Л) = {г; е Ет | |Фмг;| - 0, Л-+оо}, В'(А) = ЬеГ | *->-<»}.

Теорема 1.6 (Плисс). Следующие два утверждения эквивалентны:

1. для любой ограниченной последовательности {2к}ке% векторов Мт найдется такая ограниченная последовательность {ук)кеъ векторов что

Ук+1 = Акук + кеЖ\ (1.4.2)

2. последовательность А гиперболична на Ъ+ инаХ , и пространства В+(Л) и В~(Л) трансверсальны.

Замечание 1.4. Терема доказана в [30] для линейных систем ОДУ. Мы переносим доказательство следствия 1 => 2 на случай разностных уравнений в приложении.

Для установления структурной устойчивости мы показываем, что последовательность дифференциалов вдоль траектории для диффеоморфизма, обладающего соответствующим свойством обратного отслеживания, удовлетворяет условию 1 теоремы Плисса и потом применяем теорему Мане.

1.5 Доказательство

Перед основной теоремой докажем утверждение, относящееся к лип-шицеву свойству обратного отслеживания на траектории одной точки, ограничившись при этом случаем диффеоморфизма евклидова пространства. Это позволит проиллюстрировать методы, которые будут использованы в теореме 1.4, не отвлекаясь на некоторые технические подробности.

1.5.1 Обратное отслеживание в Мт

Пусть / - диффеоморфизм пространства М = Мт и пусть р е М. Обозначим рк = /к(р) и Ак = Б/(рк) для к ей. Сформулируем следующее условие (А):

нормы матриц Ак и Акх ограничены некоторой константой N, а последовательность функций

&к(х) = КРк + х) - рк+1 - Акх

обладает следующим свойством: по любому е > 0 можно указать такое 5 > 0, что

\ак(х)\ ^ е\х\, |ж| < 6, к е Z.

Теорема 1.7. Если выполнено условие (А) и диффеоморфизм / обладает липшицевым свойством обратного отслеживания относительно класса ©<, на траектории точки р, то в точке р выполнено аналитическое свойство трансверсальности.

Доказательство. Докажем, что при наших предположениях для последовательности матриц выполнено утверждение 1 теоремы Плисса. Тогда применение теоремы Плисса гарантирует выполнение утверждения 2. Легко видеть, что в нашем случае Ак = Б ¡(рк) будут выполнены следующие равенства: В+(р) = В+(А) и В~{р) = В~(А). Таким образом проверяется выполнение аналитического условия трансверсальности.

Фиксируем ограниченную последовательность векторов Мт;

пусть, для определенности, \гк\ < 1 для всех к е Ъ.

Выберем такое е > 0, чтобы выполнялось неравенство

е{2Ь +1)<1. (1.5.1)

Используя условие (А), найдем такое с? ^ гУ0/2, что

\ак(х)\ ^ ф|, \х\ ^ (2Ь + кеЪ.

Выберем такую непрерывную функцию /3(а), определенную при а ^ О, что /3(а) = 1 при а < 2Ьё, /3(а) = 0 при а ^ (2Ь + 1)с1 и 0 ^ /3(а) < 1. Определим непрерывные отображения фк : Мт —> Мт формулой

Фк{Рк + х) = рк+1 + Акх + р(\х\)(1гк + (1 - р(\х\))ак(х), к^Ъ.

Ясно, что /(Рк + х) и фк{рк+х) совпадают при |ж| ^ (2Ь+1)с1, поэтому величину

\fiPk + х) - фк{Рк + ж)| следует оценивать лишь при |х| ^ (2Ь + 1)(1. Но в этом случае

IКРк + фк(рк + ж)| < \йгк\ + \ак(х)\ ^(1 + е\х\ < 2й

(см. неравенство (1.5.1)). Следовательно, последовательность {фк} является 2(¿-методом класса 0,,. Из выбора с/ (напомним, что (1 < ¿о/2) и из нашего предположения следует, что существует траектория {хк} этого метода, для которой выполнены неравенства \хк — рк| 2Ьс1. Положим гик ~ хк — Рк- Так как \и)к\ < 2Ьй, верны равенства

Фк(хк) = Фк{Рк + УЗк) = Рк+1 + Акч)к + <1гк. Сравнивая их с равенствами

фк(Хк) = Хк+1 = Рк+1 + и)к+1,

мы видим, что

гик+1 = АкУОк + (1гк. 13

Ясно, что векторы ук = юк/с1 удовлетворяют равенствам

Ук+1 = МУк + гк.

и оценкам \ук\ ^ 2Ь.

□

1.5.2 Обратное отслеживание на замкнутых многообразиях

Докажем теперь теорему 1.4. Основная идея доказательства та же, что при доказательстве теоремы 1.7 - мы показываем, что если выполнено липшицево свойство обратного отслеживания, то в каждой точке выполнено аналитическое условие трансверсальности, после чего структурная устойчивость диффеоморфизма / следует из теоремы Мане.

Для случая липшицева обратного отслеживания относительно класса в.д основные конструкции в доказательстве выполнения аналитического условия трансверсальности те же, что в теореме 1.7 (с точностью до применения экспоненциального отображения для линеаризации задачи).

Фиксируем точку р е М, обозначим рк = .¡к(р) и Ак = Л/(рк) для к е Ъ. Пусть схрх : ТХМ —* М - стандартное экспоненциальное отображение. Рассмотрим отображения

= ехр-1^ о/ о ехр^ : ТРкМ - ГРк+1М.

Из стандартных свойств экспоненциального отображения следует, что Б схрх(0) = И; поэтому

= ДГ(Р*).

Выберем такое е > О, чтобы выполнялось неравенство

е(8Ь + 1) < 1. (1.5.2)

Так как М компактно, мы можем найти такое ¿6 (0, с?о/4), что, если н < (8Ь + то

- < ф|, кеЪ. (1.5.3)

Обозначим через Вг(х) шар в М радиуса г с центром в точке х и через В^(х) шар в ТХМ радиуса г с центром в 0.

Существует такое г > 0, что для любой точки х е М отображение ехрх - диффеоморфизм шара В^(х) на его образ и ехр"1 - диффеоморфизм шара Вг(х) на его образ. Кроме того, мы можем считать, что величина г позволяет написать следующие оценки на соотношения расстояний в многообразии и в касательном пространстве: если v, w е Bj(x), то

dist(expx(i;), expx(w)) ^ 2\v - w|; (1.5.4)

если у, z е Вг(х), то

lexp^y) - ехр-^г)! ^ 2dist(y, z). (1.5.5)

Уменьшим d так, чтобы

(8L + 1 )d < г.

Рассмотрим такую последовательность векторов zk е ТРкМ, что \zk\

1.

Теперь можно действовать так же, как в случае М = Rm, с той лишь разницей, что вместо сложения векторов в касательных пространствах нужно писать экспоненциальное отображение.

Выберем такую непрерывную функцию (3(a), определенную при а ^ О, что ¡3(a) = 1 при а ^ 8Ld, (3(a) = 0 при а ^ (8L + l)d и 0 < (3(a) < 1. Обозначим

фк(х) = /3 dexp"1 (х)|) (Акехр~* (ж) + dzk) + + (l-/3(|exP;fc1(a;)|))Ffc(a;)

ДЛЯ Ж G B[8L+1]d(pk).

Определим непрерывные отображения фк : М —»■ М формулой

фк(е*РРк (ж)) = exPW+1 (Фк(х)) , х Е B{8L+l]d(pk)] f(x), X $ B{8L+l)d(Pk)]

для к е Z.

Ясно, что f(x) и фк(х) совпадают при dist(х,рк) ^ (8L+ 1 )d, поэтому величину

dist (¡(х),фк(х))

следует оценивать лишь при 6\8%(х,рк) < (8Ь + 1 )с1. Но в этом случае

(¡{х),фк(х)) ^ 2(1^1 + ^ехр-1 (ж)|) < 2(б? + е(8Ь + 1 )<£) < М

(см. неравенства (1.5.3), (1.5.2) и (1.5.4)). Таким образом, последовательность {фк} является 4г1-методом класса 0.,. Из выбора с1 (напомним, что с? ^ 4/4) и из предположения теоремы следует, что существует траектория {хк} этого метода, для которой выполнены неравенства

Положим гик = ехр^1 (хк). В силу неравенства (1.5.5) выполнено, что \гик\ < 8Ьй, поэтому верны и равенства

фк(хк) = фк (ехр^ (<шк)) = ехр№+1 (Акшк + йгк).

Сравнивая их с равенствами

фк{хк) = хк+1 = ехрр(£+1 (у)к+1),

мы видим, что

тк+1 = Актк + йгк. Ясно, что векторы ук = гик/с1 удовлетворяют равенствам

ук+1 = АкУк + гк.

и оценкам \ук\ ^ 8Ь.

Доказательство того, что в каждой точке выполнено аналитическое условие трансверсальности для случая липшицева обратного отслеживания относительно класса 04 аналогично доказательству похожего утверждения для липшицева обратного отслеживания для потоков (утверждение 2.5).

Из импликации 1=>2 в теореме Плисса следует, что пространства В+{р) и В~(р) трансверсальны. Для окончания доказательства теоремы 1.4 осталось сослаться на произвольность точки р и на теорему Мане.

Глава 2

Липшицево обратное отслеживание для потоков

Для потоков обратное отслеживание впервые было определено в [31]. Мы уже отмечали, что липшицево отслеживание и липшицево обратное отслеживание эквивалентны структурной устойчивости дли диффеоморфизмов. В [32] авторы доказали, что структурная устойчивость для потоков влечёт обратное отслеживание. На самом деле, они доказали, что структурная устойчивость для потоков влечёт липшицево обратное отслеживание, хотя в своей статье они не употребляли этот термин.

В этой главе приведено доказательство того, что липшицево обратное отслеживание для потоков влечёт структурную устойчивость в случае, когда у потока нет точек покоя.

Основной результат главы опубликован в статье [20].

2.1 Определения

Пусть Ф — поток на гладком многообразии с римановой метрикой сИв^ Пусть с? > 0.

Определение 2.1. Будем говорить, что отображение ф : М —> М является ¿-псевдотраекторией для потока Ф, если для любого £ е М

с^ (ф(Ь + й), ф(в, ф(£))) <СI, вЕ [-1,1].

Определение 2.2. Будем говорить, что гладкое отображение Ф :1хМ-> М является ¿-методом для потока Ф, если для любого £ е М

dist{Ч^{t +8,х),Ф{8,Ъ(г,х))) <(1, ее [-1,1], (2.1.1)

и Ф(0, х) = х для любого х е М.

Замечание 2.1. Определение (¿-метода — это определение семейства d-псевдотраекторий, где зависимость псевдотраектории от "начальных данных" обладает свойством гладкости.

Обозначим через Rep множество всех возрастающих гомеоморфизмов а : К —> R, для которых а(0) = 0. Введём также следующее обозначение:

a(t) — a(s)

Rep (<5) = -{ а е Rep

<5, t ф s

Определение 2.3. Будем говорить, что поток Ф обладает свойством лип-шицева обратного отслеживания (Ф е LISP), если для любой точки р е М существуют такие константы L,do, что для каждого (¿-метода Ф при d ^ (¿о существуют такая точка р^ е М и такая репараметризация

а е Rep (Ld), что

dist^(£,p), V(a{t),pW)) < Ld, te R. (2.1.2)

Замечание 2.2. Отметим, что в данном выше определении липшицева свойства обратного отслеживания не предполагается, что константы (¿о, L одни и те же для разных точек р е М.

Замечание 2.3. Легко заметить, что, если 5 достаточно мало иае Rep (5), то от1 е Rep (2<5).

2.2 Основной результат

Пусть многообразие М компактно и не имеет края, а поток Ф порождён С1 векторным полем X на М. Фиксируем вложение многообразия М в Rn для достаточно большого п (оно существует по теореме Уитни) и будем рассматривать М как гладкое подмногообразие М".

Обозначим через БХ дифференциал отображения X : М —> Rn, соответствующего вектороному полю X при вложении многообразия М в К". Зададим расстояние между двумя гладкими векторными полями X, У на многообразии М следующим образом:

Р1{Х, ¥) = р0(Х, У) + тах ||ИХ{р) - £)У(р)||,

реМ

р0(Х,У)=тж\Х(р)-У(р)\.

реМ

Несложно проверить, что так определённая функция р\ - метрика на множестве гладких векторных полей на многообразии М.

Определение 2.1. Векторное поле X называется структурно устойчивым, если существует такая его окрестность U в пространстве X (с топологией, порождённой метрикой р\), что для любого векторного поля У е U существует гомеоморфизм М на себя, который отображает траектории потока, порождённого полем X в траектории потока, порождённого полем У, сохраняя их ориентацию.

Точка х называется точкой покоя для потока Ф, если Ф(£, х) = х для любого t е R. Пусть у потока Ф нет точек покоя.

Основным результатом этой главы является следующая теорема:

Теорема 2.1. Поток Ф структурно устойчив тогда и только тогда, когда Ф б LISP.

2.3 Идея доказательства

Мы воспользуемся аналогом метода, применённого в статье [16]. Для того, чтобы описать подход к доказательству, нам потребуется несколько определений из теории динамических систем.

Определение 2.2. Пусть х,у е М. Для s, Т > 0 будем называть (е,Т)~ цепью из ж в у такую последовательность пар {{хг, ¿г)}q^^-v 4X0 хо = х> %k-i = У, все ¿г ^ Т и сЦз1;(Ф(£г, хг), хг+{) < £ для любого 0 < г ^ к — 1.

Точка х назвается цепно-эквивалентной точке у, если для любых е, Т существуют (е, Т) цепи из х в у и из у в х. В таком случае будем писать х ~ у.

Множеством цепно-рекуррентных точек C1Z называется множество таких точек х е М, что х ~ х.

Обозначим через БФ отображение, которое сопоставляет паре (£, р) е М х М дифференциал отображения Ф(£, ■) в точке р.

Определение 2.3. Будем говорить, что множество Л является гиперболическим для потока Ф, если выполнены следующие условия

• Л компактно и инвариантно под действием потока: Ф(-, Л) с Л.

• существуют такие числа С > 0, До £ (0,1) и непрерывные семейства подпространств S(p), U(p) касательного пространства ТрМ для любой точки ре А, что

- семейства подпространств S, U инвариантны под действием производной потока БФ, то есть

£>Ф(*,р)Р(р) = Р(Ф(*,р)), t е М, р е Л, Р = S, и- для любой точки р е А выполнены равенства

S(p)®U(p)®(X(p))=TP(M)

(здесь (Х(р)) - линейная оболочка вектора Х(р) в касательном пространстве ТРМ);

- выполнены следующие оценки:

\ОФ(Ь,р)ь\ < С\* |и|, v е S(p), t ^ 0; |.ОФ(£,р)г>| ^ С\~ь |г>|, v е U(p), t < 0.

Определение 2.4. Неблуждающим множеством Q потока Ф называется множество таких точек р е М, что для любой окрестности V точки р и для любого числа Т существует такое t > Т, что

Ф (t,V)nV*0.

Замечание 2.4. Очевидно, что Г2 с: C1Z.

Определение 2.5. Говорят, что поток Ф удовлетворяет аксиоме А', если неблуждающее множество потока Ф является гиперболическим для потока Ф и замкнутые траектории плотны в нём.

Определение 2.6. Устойчивым и неустойчивым многообразиями траектории 7 потока Ф называются множества

Ws{i) = {хеМ | dist^(i,a;),7(t)) — 0, t-* +00}, Wu("f) = {хеМ I dist^(i,a;),7(*)) — 0, t -00}.

Если неблуждающее множество Q гиперболично и тректория 7 cr Q, то множества Wu(7) являются С1 погружёнными многообразиями

(см., например, [23]).

Определение 2.7. Говорят, что поток Ф удовлетворяет строгому условию трансверсальности, если для любых двух траекторий 71,72 с О множества Ws(71) и Wu(72) трансверсальны как С1 погружённые многообразия.

Гиперболические множества и их свойства очень активно изучались во второй половине ХХ-го века. Большое количество ссылок можно найти в любой книге по современной теории динамических систем. Например, в [33].

Фиксируем точку р е М. Обозначим / = Ф(1, •), рк = 1к(р), к е Ъ, и Ак = В/(рк), к е 2. Пусть Рк : ТРкМ —► ТРкМ — ортогональная проекция с ядром {Х(рк)) и Ук — ортогональное дополнение к Х(рк) в ТРкМ. Обозначим Вк = Рк+\Ак : Ук —> Ук+\. Рассмотрим уравнения

ук+1 = Вкук + Ьк+1, кеЪ. (2.3.1)

В [ 16] доказано следующее:

Теорема 2.2. Пусть векторное поле X таково, что существует такая константа что для каждой точки р и для каждой ограниченной последовательности {Ък)кех > члены которой лежат в соответствующих Ук, уравнения (2.3.1) имеют решение {ук}ке% с нормой, ограниченной Ь\ ||6||. Тогда

• Множество СЛ гиперболично;

• Выполнено строгое условие трансверсальности.

Как известно из гиперболичности цепно-рекуррентного множества следует выполнение аксиомы А' (см., например, [34]). Выполнение аксиомы А' и строгого условия трансверсальности, в свою очередь, влечёт структурную устойчивость. То есть часть "тогда" теоремы 2.1 будет доказана, если мы докажем, что выполнены условия предыдущей теоремы 2.2. Часть "только тогда" доказана в [32].

Сначала мы докажем разрешимость уравнений, отличных от (2.3.1):

Утверждение 2.5. Пусть поток Ф обладает липшицевым свойством обратного отслеживания. Тогда существует такая константа что для любой точки р е М, для любой неоднородности {гк}кЕ% , удовлетворяющей неравенствам \гк\ ^ 1 для всех к е Ъ, и для каждого натурального N существует такая последовательность вещественных чисел {8к}ке[-н,ы]> удовлетворяющая неравенствам < Ь\, к е [—N. ЛГ], что система уравнений

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тодоров, Дмитрий Игоревич, 2014 год

Литература

1. Андронов A., JT. Понтрягин. Грубые системы // Докл. АН СССР. 1937. Т. 14, № 5. С. 245-250.

2. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. Тр. МИАН СССР, 1967. Т. 90.

3. Palis J., Smale S. Structural stability theorems // Global Analysis (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIV, Berkeley, Calif., 1968). Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1970. C. 223-231.

4. Robbin J. W. A structural stability theorem // Ann. of Math. (2). 1971. T. 94. С. 447-493.

5. Robinson С. Structural stability of vector fields // Ann. of Math. (2). 1974. T. 99. C. 154-175.

6. Robinson C. Structural stability of C1 diffeomorphisms // J. Differential Equations. 1976. T. 22, № 1. C. 28-73.

7. Palis J. On the C1 fi-stability conjecture // Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 1988. № 66. C. 211-215.

8. Mané R. A proof of the C1 stability conjecture // Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 1988. № 66. C. 161-210.

9. Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. T. 73. C. 747-817.

10. Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. T. 73. C. 747-817.

11. Hayashi S. Connecting invariant manifolds and the solution of the Cl stability and ^-stability conjectures for flows // Ann. of Math. (2). 1997. T. 145, № 1. C. 81-137.

12. Wen L. A uniform C1 connecting lemma // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2002. T. 8, № 1. C. 257-265.

13. Franks J. Time dependent stable diffeomorphisms // Inventiones math. 1974. T. 24. C. 163-172.

14. Sakai K. Pseudo-orbit tracing property and strong transversality of diffeomorphisms on closed manifolds // Osaka J. Math. 1994. T. 31, № 2. C. 373-386.

15. Pilyugin S. Yu., Tikhomirov S. B. Vector fields with the oriented shadowing property // J. Differential Equations. 2010. T. 248, № 6. C. 1345-1375.

16. Palmer K. J., Pilyugin S. Yu., Tikhomirov S. B. Lipschitz shadowing and structural stability of flows // J. Differential Equations. 2012. T. 252, № 2. C. 1723-1747.

17. Pilyugin S. Yu, Tikhomirov S. Lipschitz shadowing implies structural stability//Nonlinearity. 2010. T. 23, № 10. C. 2509-2515.

18. Пилюгин С. Ю., Вольфсон Г. И., Тодоров Д. И. Динамические системы с липшицевыми обратными свойствами отслеживания // Вестник СПбГУ. 2011. Т. 3, № 1. С. 48-54.

19. Todorov D. Generalizations of analogs of theorems of Maizel and Pliss and their application in shadowing theory // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2013. T. 33, № 9. C. 4187-4205.

20. Todorov D. Lipschitz Inverse Shadowing For Nonsingular Flows // Dynamical Systems: An International Journal. 2014. T. 29. C. 40-55.

21. Corless R. M., Pilyugin S. Yu. Approximate and real trajectories for generic dynamical systems // J. Math. Anal. Appl. 1995. T. 189, № 2. C. 409-423.

22. Kloeden P. E., Ombach J. Hyperbolic homeomorphisms and bishadowing // Ann. Polon. Math. 1997. T. 65, № 2. C. 171-177.

23. Pilyugin S. Yu. Shadowing in dynamical systems // Lecture Notes in Mathematics . Berlin: Springer, 1999. T. 1706.

24. Pilyugin S. Yu. Inverse shadowing by continuous methods // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2002. T. 8, № 1. C. 29-38.

25. Пилюгин С. Ю. Пространства динамических систем. РХД, 2008.

26. Lewowicz J. Persistence in expansive systems // Ergodic Theory Dynam. Systems. 1983. T. 3, № 4. C. 567-578.

27. Sakai K. Diffeomorphisms with persistency // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. T. 124, № 7. C. 2249-2254.

28. Mane R. Characterizations of AS diffeomorphisms // Geometry and Topology / под ред. Jacob Palis, Manfredo do Carmo. Springer Berlin / Heidelberg, 1977. T. 597 из Lecture Notes in Mathematics. C. 389-394.

29. Pilyugin S. Yu. Generalizations of the notion of hyperbolicity // Journal of Difference Equations and Applications. 2006. T. 12, № 3-4. C. 271-282.

30. Плисс В. А. Ограниченные решения неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений // Проблемы асимпт. теории нелин. ко-леб. Киев, 1977. С. 168-173.

31. Lee К., Lee Z. Inverse shadowing for expansive flows // Bull. Korean Math. Soc. 2003. T. 40, № 4. C. 703-713.

32. Han Y., Lee K. Inverse shadowing for structurally stable flows // Dyn. Syst. 2004. T. 19, № 4. C. 371-388.

33. Katok A., Hasselblatt B. Introduction to the modern theory of dynamical systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1995. T. 54 из Encyclopedia of Mathematics and its Applications. C. xviii+802. With a supplementary chapter by Katok and Leonardo Mendoza.

34. Franke J. E., Selgrade J. F. Hyperbolicity and chain recurrence // J. Differential Equations. 1977. T. 26, № 1. C. 27-36.

35. Tikhomirov S. Holder Shadowing and Structural Stability. URL: http://arxiv.Org/pdf/l 106.4053vl.

36. Pilyugin S. Yu. Sets of dynamical systems with various limit shadowing properties // Journal of Dynamics and Differential Equations. 2007. T. 19, № 3. C. 747-775.

37. Fakhari A., Lee K., Tajbakhsh K. Diffeomorphisms with Z/'-shadowing property // Acta Math. Sin. (Engl. Ser.). 2011. T. 27, № 1. C. 19-28.

38. Perron О. Die Stabilitätsfrage bei Differentialgleichungen // Mathematische Zeitschrift. 1930. T. 32. C. 703-728.

39. Майзель А. Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений // Труды Урал, политех, инст. 1954. Т. 51 из Математика. С. 20-50.

40. Бичегкуев М. С. Об условиях обратимости разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах // Изв. РАН. Сер. ма-тем. 2011. Т. 75, № 4. С. 3-20.

41. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Москва, 1970.

42. Coppel W. A. Dichotomies in stability theory // Lecture Notes in Mathematics. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1978. Т. 629.