Динамические системы с различными свойствами отслеживания тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор наук Тихомиров Сергей Борисович

• Тихомиров Сергей Борисович
• доктор наук
• 2016

Оглавление диссертации доктор наук Тихомиров Сергей Борисович

Введение

Глава 1. Диффеоморфизмы

1.1. Неоднородное разностное уравнение

1.2. Липшицево свойство отслеживания

1.3. Гедьдерово свойство отслеживания

1.4. Линейное косое произведение

1.5. Периодическое свойство отслеживания

Глава 2. Липшицево свойство отслеживания для векторных полей

2.1. Липшицево свойство отслеживания

2.2. Периодическое свойство отслеживания

Глава 3. Векторные поля в С ^топологии

3.1. Ориентированное свойство отслеживания

3.2. Пример не структурно устойчивого векторного поля

3.3. ^-устойчивость

3.4. Пример векторного поля, обладающего ориентированным свойством отслеживания

Глава 4. Частично гиперболические системы

Глава 5. Действия групп

5.1. Конечно порожденные группы

5.2. Корректность определения

5.3. Нилыютентные группы

5.4. Линейные действия абелевых групп

5.5. Разрешимые группы

5.6. Свободные группы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамические системы с различными свойствами отслеживания»

Введение

Актуальность темы исследования. Настоящая диссертация посвящена исследованию связи между свойством отслеживания для действий, порожденных диффеоморфизмами, векторными полями и более сложными группами с такими формами гиперболичности, как структурная устойчивость, ^-устойчивость и частичная гиперболичность.

Задача об отслеживании псевдотраекторий в самом общем виде связана со следующим вопросом: при каких условиях для любой псевдотраектории динамической системы можно найти близкую к ней траекторию? Изучение данной задачи было начато Аносовым [1] и Боуэном [23]. Современное состояние теории отслеживания в значительной степени отражено в монографиях [81, 89] и обзоре [4].

Псевдотраектории возникают естественным образом при компьютерном моделировании траекторий диффеоморфизмов и векторных полей. Действительно, если диффеоморфизм / (векторное поле X) обладает свойством отслеживания, то приближенные траектории, полученные при компьютерном моделировании (а следовательно, являющиеся псевдотраекториями) соответствующей динамической системы, отражают поведение точных траекторий на неограниченном промежутке времени.

Кроме того, свойство отслеживания играет важную роль в теории динамических систем: ясно, что если диффеоморфизмы /1 и /2 (векторные поля Х1 и Х2) близки в ^-метрике, то точные траектории диффеоморфизма /2 (векторного поля Х2) будут псевдотраекториями диффеоморфизма /1 (векторного поля Х1), следовательно, свойство отслеживания является слабым аналогом структурной устойчивости [89]. Также ясно, что если диффеоморфизм / или векторное поле X обладает свойством отслеживания, то множество неблуждающих точек [3] и множество цепно-рекуррентных точек [88]

соответствующей динамической системы совпадают.

Хотя наиболее очевидной мотивацией для изучения свойства отслеживания является обоснование компьютерного моделирования, исходно оно было введено при изучении цепно-рекуррентных множеств и в теории структурной устойчивости.

Хорошо известно, что динамическая система обладает свойством отслеживания в окрестности гиперболического множества [1, 23]. Это утверждение часто называется леммой об отслеживании. Структурно устойчивые диффеоморфизмы (векторные поля) обладают свойством отслеживания на всем многообразии [72, 91, 104, 110].

Отметим, что для теории структурной устойчивости важен сам факт близости псевдотраектории и точной траектории. Для компьютерного моделирования важны количественные характеристики этой близости, а также необходимо рассматривать псевдотраектории конечной длины.

Несмотря на то, что нетрудно построить примеры негиперболических систем, обладающих свойством отслеживания (см., например, [94, 97]), в современной теории динамических систем сложилось неформальное мнение, что свойства отслеживания и гиперболичность почти равносильны. В то же время численное моделирование показывает хорошие результаты для гораздо большего класса систем.

Хаммел, Гребоджи и Иорк [43, 44] рассматривали вопрос о длине отслеживаемых псевдотраекторий. В данных работах при помощи компьютерного моделирования были изучено несколько конкретных псевдотраекторий логистического отображения и отображения Эно. На основании результатов численных экспериментов была выдвинута гипотеза об ожидаемой длине отслеживаемых псевдотраекторий.

На момент начала данного исследования был изучен вопрос о структуре внутренности множества диффеоморфизмов, обладающих свойством отеле-

живания, в C^топологии. Было показано [95, 109], что диффеоморфизмы, обладающие стандартным или орбитальным свойствами отслеживания вместе со всеми своими C^малыми возмущениями, являются структурно устойчивыми. Также следует упомянуть, что Абденур и Диац [12] предположили, что для C^типичного диффеоморфизма свойство отслеживания и структурная устойчивость эквивалентны; они доказали эту гипотезу для так называемых ручных (tame) диффеоморфизмов.

Без перехода к C^внутренностям полное описание множества диффеоморфизмов, обладающих свойством отслеживания в терминах гиперболичности и трансверсальности (структурной устойчивости), было получено лишь для вариационного отслеживания [94].

Важной задачей является описание множества периодических траекторий динамических систем, обладающих свойством отслеживания [56]. В связи с этим логично изучить свойство периодического отслеживания, в котором рассматривается отслеживание периодических псевдотраекторий периодическими траекториями. Хотя это свойство было введено ранее, до сих пор неизвестно, верно ли, что любой диффеоморфизм, обладающий свойством отслеживания, также обладает свойством периодического отслеживания [58].

В качестве поддержки парадигмы эквивалентности отслеживания и гиперболичности Бонатти, Диац и Туркат [21] построили контрпример частично гиперболических диффеоморфизмов, не обладающих свойством отслеживания. Хирш, Пью и Шуб [51] показали, что при некоторых дополнительных условиях (экспансивность по площадкам и совместная интегрируемость) центральное слоение частично-гиперболических диффеоморфизмов устойчиво. При этом на момент написания диссертации не было известно свойство отслеживания, которым бы обладали частично гиперболические диффеоморфизмы.

Основное отличие задачи об отслеживании для потоков от аналогичной

задачи для дискретных динамических систем, порождаемых диффеоморфизмами, состоит в необходимости репараметризации отслеживающих траекторий. Также дополнительная трудность возникает ввиду возможности приближения точки покоя точками, лежащими на замкнутых траекториях. Как и в случае диффеоморфизмов, векторные поля обладают свойством отслеживания в окрестности гиперболического множества [1] и структурно устойчивые векторные поля обладают свойством отслеживания на всем многообразии

Описанные выше различия существенно затрудняют изучение свойства отслеживания. Например, в контексте ^-внутренностей на момент написания диссертации было показано, что ^-внутренность множества векторных полей без точек покоя, обладающих свойством отслеживания, состоит лишь из структурно устойчивых векторных полей [62], что намного слабее, чем соответствующие результаты для диффеоморфизмов. При этом оставался открытым вопрос, является ли отсутствие точек покоя принципиально важным предположением или недостатком выбранной техники.

В определении отслеживания можно накладывать различные ограничения на репараметризации. При этом остается непонятным, оказывают ли эти различия существенное влияние на понятие свойства отслеживания [54].

Параллельно с классической теорией динамических систем (изучающей действия групп ^К) разрабатывалась качественная теория более сложных групп (см., например, книгу [31] и обзор [33]). Тем не менее свойство отслеживания для действий абелевых групп было введено лишь в 2003 году в статье автора диссертации [98].

С тех пор эта тема интенсивно развивается. Упомянем несколько недавних работ, в которых были получены связанные результаты для действий абелевых групп. Косцельнак показал, что для типичных Ж2-действий на интервалах выполнено периодическое отслеживание [57]. Опроча изучил топологиче-

ски аносовские действия групп Ж1, которые не являются гиперболическими ни в одном направлении, а также доказал аналог теоремы о спектральном разложении [76, 77]. Масцунска и Табор изучили свойство отслеживания для линейных действий групп И1 [66]. Кулсцуки и Квитнак изучили связь между свойством отслеживания и дистальностью (distality) для действий групп [60]. Бегун и Пилюгин доказали аналог теоремы Такенса для действий групп [2].

Цели и задачи диссертационной работы: Целью данного исследования было изучение количественных аспектов свойства отслеживания. В диссертации рассматриваются действия, порожденные диффеоморфизмами, векторными полями, а так же действия конечно порожденных групп.

Для достижения цели подробно рассматривались следующие задачи.

• Изучение количественных характеристик близости псевдотраекторий и траекторий у диффеоморфизмов и векторных полей.

• Изучение структуры С ^внутренности векторных полей, обладающих различными свойствами отслеживания.

•

ций отслеживающих траекторий.

феоморфизмов.

групп.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми и получены автором лично. Основные из них следующие:

Впервые систематически изучаются дипшицево и дипшицево периодическое свойства отслеживания. Показано, что дипшицево свойство отслеживания равносильно структурной устойчивости, а дипшицево периодическое свойство отслеживания равносильно ^-устойчивости. Данный результат позволяет полностью охарактеризовать множество диффеоморфизмов, обладающих липшицевым и липшицевым периодическим свойствами отслеживания.

В доказательстве разработана технология изучения свойства отслеживания при помощи неоднородного разностного уравнения. Эта технология на данный момент имеет множественные применения в теории отслеживания [4, 5, 78, 119, 120].

Рассматриваются псевдотраектории конечной длины с полиномиальной зависимостью между размером скачков псевдотраектории и точностью отслеживания точной траекторией. Введено понятие гельдерова отслеживания на конечных интервалах и приведена оценка сверху на длину отслеживаемых траекторий, которая в точности согласуется с выдвинутой ранее гипотезой Хаммел, Гребоджи, Иорка [43, 44]. В доказательстве впервые определяется понятие решений медленного роста для неоднородного разностного уравнения, и оно характеризуется в терминах экспоненциальной дихотомии.

Рассматриваются линейные косые произведения над отображением сдвига с ненулевой экспонентой Ляпунова в слое. Приводятся оценки на точность отслеживания типичной псевдотраектории конечной длины. Этот результат позволяет предположить, что многомерный аналог гипотезы Хаммеля-Иорка-Гребоджи [43, 44] о длине типичных отслеживаемых псевдотраекторий не верен. В доказательстве задача об отслеживании сводится к задаче о разорении игрока для случайных блужда-

ний.

Показано, что лиишицево и лиишицево периодическое свойства отслеживания для векторных полей эквивалентны структурной и ^-устойчивости соответственно. Несмотря на схожесть формулировки со случаем диффеоморфизмов, техника в этом случае существенно модифицирована. Это вызвано двумя факторами: различной природой свойства отслеживания в окрестности точек покоя и замкнутых траекторий и возможностью накапливания точек, лежащих на периодических траекториях, к точкам покоя.

Построен пример не структурно устойчивого векторного поля на 4-х

мерном многообразии S2 х б*2, обладающего свойством отслеживания С1

ет принципиальное отличие случая векторных полей от случая диффеоморфизмов и показывает новый механизм отслеживания для псевдотраекторий у не структурно устойчивых векторных полей. Этот пример также показывает, что предположение об отсутствии точек покоя в работе [62] является существенным.

Показано, что построенный пример является в некотором роде единственным. А именно, доказано:

— На многообразиях размерности не выше 3 векторные поля, обладающие ориентированным свойством отслеживания вместе со всеми

С1

выми.

— Векторные поля, обладающие ориентированным свойством отсле-

С1

не содержащие полулокалыюй конструкции специального вида

и

(B-системы), являются структурно устойчивыми.

— Векторные поля, обладающие ориентированным свойством отслеживания вместе со всеми своими C^малыми возмущениями, являются ^-устойчивыми.

Построен пример векторного поля, обладающих) ориентированным, но не обладающих) классическим свойством отслеживания [118]. Эти свойства отслеживания отличаются лишь ограничениями, накладываемыми на репараметризацию. Данный вопрос был поставлен Комуро в 1984 г. [54].

Введено понятие центрального отслеживания. Показано, что любой частично гиперболический диффеоморфизм обладает центральным свойством отслеживания, т.е. любая псевдотраектория может быть отслежена псевдотраекторией со скачками вдоль центрального слоения. Это утверждение можно трактовать как лемму об отслеживании для частично гиперболических систем. Отметим, что в теореме не предполагается липшицевость центрального слоения.

Введено свойство отслеживания для действий конечно порожденных групп. Продемонстрировано, что свойство отслеживания зависит не только от гиперболичности действий отдельных элементов, но и от структуры группы. А именно:

— Доказано, что для нилыютентных групп, если действие одного из элементов обладает свойством отслеживания и экспансивностью, то все действие обладает свойством отслеживания.

— Приведен пример действия разрешимой группы, где наличие свойства отслеживания зависит от количественных характеристик гиперболичности действий отдельных элементов.

— Доказано, что у свободной группы нет линейных действий, обладающих свойством отслеживания.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Представленные методы могут быть применены для исследования отслеживания и структурной устойчивости динамических систем, а также при компьютерном моделировании. Результаты работы могут быть использованы при чтении спецкурсов по динамическим системам и численным методам, а также в научно-исследовательской работе.

Положения, выносимые на защиту: Пусть M - гладкое n-мерное замкнутое многообразие класса Cс римановой метрикой dist.

Обозначим через TxM касательное пространство многообразия M в точке ж. Пусть |v|, v Е TxM, - норма вектора v, порожденная метрикой dist. Обозначим через В (r, ж) открытый ш ар в M радиуса r с центром в точке ж и через Вт(r, ж) открытый шар в TxM радиуса r с центром в начале координат. Если A - некоторое подмножество метрического пространства, то будем обозначать через В (r, A) объединение всех шаров радиуса r с центрами в точках множества A Через Cl A будем обозначать замыкание множества A.

В главе 1 изучается свойство отслеживания для диффеоморфизмов. Обозначим через Diff1 (M) пространство диффеоморфизмов M, снабженное C^топологией. Для множества P С Diff 1(M) обозначим через Int1(P) его C^внутренность. Рассмотрим диффеоморфизм f Е Diff 1(M). Обозначим через D f (ж) дифференциал f в точке ж.

Определение 1.1. Для интервала I = (а, b) при а Е Zu{-to}, b Е Zu{+to}

и d > 0 последовательность точек {yk}kEl называется d-псевдотраекторией, если выполнены следующие соотношения:

dist(yk+1,f (yk)) < d, k Е Z, k,k + 1 Е I.

Чаще всего мы будем рассматривать псевдотраектории, определенные на всей оси.

Определение 1.2. Будем говорить, что f обладает стандартным свойством отслеживания (StSh - standard shadowing property), если для любого £ > 0 найдется такое d > 0, что для любой d-псевдотраектории {yk}keZ найдется такая точная траектория {xk}kez5 что

dist(xk, yk) < е, k е Z. (1)

Мы будем говорить, что псевдотраектория {yk} е-отслеживается траекто-{xk}

f

отслеживания (LipSh - Lipschitz shadowing property), если найдутся такие do, L > 0, что для любых d < do и d-псевдотраектории {yk}keZ найдется такая точная траектория {xk}kez5 что при е = Ld выполнены неравенства (1).

В диссертации важную роль будут играть понятия структурной устойчивости, ^-устойчивости и диффеоморфизмов Аносова (см., например, [3, 53]). В [104, 110] доказана следующая теорема (см. также [88], Appendix А).

Теорема 1.1. Любой структурно устойчивый диффеоморфизм обладает липшицевым свойством, отслеживания.

Нетрудно понять, что если диффеоморфизм обладает липшицевым свойством отслеживания, то он обладает и стандартным свойством отслеживания. Если он обладает стандартным свойством отслеживания, то он обладает и орбитальным. При этом все три свойства отслеживания определяют разные понятия, т.е. никакие два из них не равносильны [89]. Имеют место включе-

SS С LipSh С StSh

где 88 обозначает множество структурно устойчивых диффеоморфизмов и Ыр8Ь, обозначает множества диффеоморфизмов, обладающих соответствующими свойствами отслеживания.

Отметим, что стандартное свойство отслеживания сохраняется под действием топологического сопряжения, а гиперболичность и трансверсальность не сохраняются. Поэтому невозможно описать множество диффеоморфизмов, обладающих стандартным свойством отслеживания, в терминах гиперболичности и трансверсальности и структурной устойчивости.

Ситуация принципиально меняется, если рассмотреть С ^внутренность множества, обладающего стандартным свойством отслеживания. Ниже мы приводим теорему, которая позволяет полностью описать структуру ^-внутренности множества диффеоморфизмов, обладающих стандартным свойством отслеживания.

При этом существуют примеры не структурно устойчивых диффеоморфизмов, обладающих стандартным свойством отслеживания [89, 94, 97]. Сакай в [109] доказал следующую теорему.

Теорема 1.2. С1-внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих стандартным, свойством, отслеживания, совпадает, с множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов.

С1

дартным свойством отслеживания, полностью описана.

В данной диссертации впервые рассматривается следующее понятие:

Определение 1.4. Будем говорить, что ] обладает гельдеровым свойством, отслеживания на конечных интервалах с показателями в Е (0,1) ш ^ 0 (РтНо18Ь(в, ш) - йп^е НоЫег 8Ьас1оуу^), если найдутся такие ё0,Ь,С > 0, что для любых ё < ё0 и ё-псевдотраектории {ук}ке[0,С1-ш] найдется такая

точная траектория {хк}ке[0,Сч-«>]5 что

^(хк, Ук) <Ые, к е [0,С^].

Нетрудно показать, что для 9 е (0,1) и и ^ 0 выполнены включения

88 с Ь1р8Ь с Но18Ь(9) = Р1пНо18Ь(9, с Р1пНо18Ь(9, и),

где Но18Ь, РтНо18Ь, обозначает множества диффеоморфизмов, обладающих соответствующими свойствами отслеживания.

В параграфе 1.1 мы вводим понятие неоднородного разностного уравнения, решений медленного роста и экспоненциальной дихотомии. Эти понятия будут играть решающую роль в доказательстве утверждений в главе 1 и будут существенно использоваться в доказательстве утверждений в главе 2. Также в этом параграфе мы сформулируем утверждения, связывающие неоднородное разностное уравнение со свойством отслеживания. В параграфе 1.2 мы докажем следующую теорему:

Теорема 1.3. Следующие утверждения эквивалентны,:

(1) / обладает липшицевым свойством отслеживания;

(2) / структурно устойчив.

Отметим интересное следствие Теоремы 1.3.

Определение 1.5. Напомним, что диффеоморфизм / обладает свойством разделения траекторий, если найдется такое число а > 0, что ее ли х,у е М

(Ш(/к(ж),/к(у)) ^ а, к е Ж,

ТО X = у.

Следствие 1.1. Следуюище утверждения, эквивалентны,:

f

ством отслеживания; f

Это следствие также доказано в параграфе 1.2. В параграфе 1.3 мы докажем следующую теорему.

Теорема 1.4. Диффеоморфизм f е C2, обладающий FinHolSh(e, щ) при

е> 1/2, в + щ> 1, (2)

является структурно устойчивым,.

Эта теорема дает верхнюю оценку на длину отслеживаемых псевдотраекторий.

Отметим, что ранее Хаммел, Гребоджи, Иорк на основании результатов численного моделирования предположили [43, 44], что

Гипотеза 1.1. Типичное диссипативное отображение f : R2 ^ R2 удовлетворяет FinHolSh(1/2,1/2).

Эта гипотеза позволяет предположить, что Теорема 1.4 не может быть улучшена.

Опишем связь этих результатов с другими задачами в теории динамических систем.

Теорема 1.4 имеет интересное следствие даже для случая бесконечных псевдотраекторий.

f

ством отслеживания с показателем в е (0,1) (HolSh(e) - Holder shadowing

do, L > 0 d < do

d-псевдотраектории {yk}keZ найдется такая точная траектория {xk}keZ, что неравенства (1) выполнены при е = Lde.

Следующая теорема является непосредственным следствием Теоремы 1.4.

Теорема 1.5. Диффеоморфизм / Е С2, обладающий Ho1Sh(в) при в > 1/2, является структурно устойчивым,.

Отметим также работу [56], где были получены некоторые следствия из гельдерова свойства отслеживания для одномерных отображений.

Следует также отметить связь Теоремы 1.5 с вопросом, предложенным Катком:

Вопрос 1.1. Верно ли, что любой диффеоморфизм, сопряженный с диффеоморфизмом Аносова посредством, гельдерова гомеоморфизма, сам, является, диффеоморфизмом Аносова ?

Недавно было показано, что в общем случае ответ на Вопрос 1.1 отрицательный [37]. В то же время имеет место следующий положительный результат [32, 37].

С2

посредством гельдерова, гомеоморфизма Н, сам является диффеоморфизмом Аносова, если произведение гельдеровых показателей Ни Н-1 больш е 1/2.

Нетрудно показать, что диффеоморфизмы, гельдерово сопряженные структурно устойчивым, обладают гельдеровым свойством отслеживания. Таким образом, следствием Теоремы 1.5 является следующее утверждение, обобщающее Теорему 1.6:

С2

Н

Н

Н-1 1/2

В пункте 1.3.3 с целью продемонстрировать, что Теоремы 1.4, 1.5 практически точные, мы приводим следующий пример:

Пример 1.1. Существует не структурно устойчивый C^-диффеоморфизм f : S1 ^ S\ обладающий свойствами HolSh(1/3) и FinHolSh(1/2,1/2).

Также нетрудно показать, что тождественное отображение обладает свойством FinHolSh(e, ш) при в + ш ^ 1.

В параграфе 1.4 мы рассматриваем более подробно свойство отслеживания в специальном случае.

Рассмотрим пространство Е = {0,1}Z, наделенное стандартной вероят-постной мерой v и следующей метрикой:

dist({wг}, {шг}) = 1/2k, где k = min{|i| : шг = шг}.

Для последовательности ш = {шг} £ Е обозначим через ¿(ш) 0-ой элемент последовательности: ¿(ш) = ш0. Определим "отображение сдвига" а : Е ^ Е следующим образом: (а(ш))г = шг+1.

Рассмотрим пространство Q = Е х R Наделим Q мерой прямого произведения ß = v х Leb и максимальной метрикой:

dist((^>, x), (ш, X)) = max(dist(ш, ш), dist(x, X)).

Зафиксируем Ло, Л1 £ R удовлетворяющие следующим соотношениям

0 <Ло < 1 <Л1, Л0Л1 = 1. (3)

Рассмотрим отображение f : Q ^ Q определенное следующим образом:

f (ш, x) = (а(ш)Аих).

Мы ожидаем, что аналогично работам [38, 39], подобное косое произведение может быть вложено в многообразие размерности 4 и выше. Это позволит

нам построить открытое множество диффеоморфизмов опровергающее многомерный аналог Гипотезы 1.1. Аналогично мы сможем построить множество диффеоморфизмов удовлетворяющих данной гипотезе. Мы оставляем детали конструкции за пределами данной работы.

Для д Е ^ ё > 0 N Е N обозначим через множество

ё-исевдотраекторий длины N начинающихся в д0 = д. Если предположить, что дк+1 выбирается случайным об разом в В (ё, ] (дк)) по отношениии к мере д, то ^дж наделяется структурой Марковского процесса. Эта конструкция наделяет ^дж вероятностной мерой Р. Аналогичная констукция для бесконечных псевдотраекторий была описана в [124].

Для £ > 0 обозначим через р(д, ё, N5 г) вероятность псевдотраектории из ^дж быть ^-отслеживаемой. Отменим, что это событие измеримо поскольку оно открыто.

В пункте 1.4.4 мы докажем следующее техническое утверждение.

Лемма 1.1. Пусть д = (ш,ж)7 д = (ш, 0). Для любых ё, £ > 0 N Е N

вы,полнено следукпцее:

р(д, ё, N г) = р(д, ё, N, г). Для ё, £ > 0 N Е N определим

р(ё, N, г) := р((ш, 0), ё, N г)с1V.

Отметим, что интеграл в правой части равенства существует поскольку для фиксированных ё, N г? значение р((ш, 0), ё, Ж, г) зависит только от конечно числа элементов последовательности ш. Число р(ё, ^ г) является вероятностью ё-исевдотраектории длины N быть г-отслеживаемой.

Основным результатом этого праграфа является следующая теорема.

Теорема 1.8. Для любых А0, А1 Е К, удовлетворяющих (3) найдутся такие £0 > 0 0 < с0 < то что для, любых г < г0? вы,полнено следующее:

1. Если с < со? то р(г/Жс, N г) = 0;

если с > со? то р(г/Жс, Ж, г) = 1.

Замечание 1.1. Позднее (Лемма 1.4.1) мы покажем, что для любых N £ N Ь > 0 £ъ £2 £ (0, го), выполнено равенство р^/Ь,^ = р(г2/Ь,Ж, г2) и утверждение Теоремы 1.8 в действительности не зависит от значения г.

Замечание 1.2. Исходя из Замечания 1.1 аналог Гипотезы 1.1 для отображения / позволяет предположить, что значение р(г/Ж, Ж, г) близко к 1. Значит, со > 1

пример таких параметров.

В последнее время возник интерес к структуре множества периодических траекторий у диффеоморфизмов, обладающих свойством отслеживания. В связи с этим в параграфе 1.5 мы рассматриваем следующее понятие:

Определение 1.7. Будем говорить, что / обладает периодическим свойством отслеживания, если для любого £ > 0 найдется такое й > 0, что для любой периодической й-псевдотраектории {укнайдется такая периодическая траектория {хк}к£^5 что

Обозначим через PerSh (periodic shadowing property) множество диффеоморфизмов обладающих периодическим свойством отслеживания.

f

ским свойством отслеживания, если найдутся такие L, do, что для любой периодической d-псевдотраектории {yk}kez с d ^ d0 найдется такая периодическая траектория {xk}keZ, что

dist(xk,yk) < е, k е Z.

(4)

dist(xk,yk) ^ Ld, k е Z.

(5)

Обозначим через LipPerSh множество диффеоморфизмов, обладающих дипшицевым периодическим свойством отслеживания.

Обозначим через множество ^-устойчивых диффеоморфизмов. В диссертации доказана следующая теорема.

Теорема 1.9. Intl(PerSh) = LipPer.Sh = ftS.

В главах 2, 3 изучаются свойства отслеживания для векторных полей. Мы будем рассматривать не только само множество векторных полей, обладающих тем или иным свойством отслеживания, но и его ^-внутренность, т.е. множество таких векторных полей, которые сами обладают свойством отслеживания и любое их малое (в C^метрике) возмущение также обладает свойством отслеживания.

Обозначим через F(M) пространство C^гладких векторных полей на многообразии M, снабженное ^-топологией. Для векторного поля X Е F(M) будем обозначать через ф(£, x) поток, порожденный X. Пусть

0(х,ф) = {ф(£,ж) : t Е R},

O+(x, ф) = {0(t, x) : t ^ 0}, O-(x, ф) = {0(t, x) : t < 0}.

Для множества P С F(M) будем обозначать через Int1 (P) его ^-внутренность. Для векторного поля X обозначим через Per(X) множе-

X

траектории p Е Per(X) будем обозначать через Ws(p) и Wu(p) ее устойчивое и неустойчивое многообразие соответственно.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Тихомиров Сергей Борисович, 2016 год

Список литературы

1. Аносов Д. В. Об одном классе инвариантных множеств гладких динамических систем // Труды 5-й Межд. конф. по нелин. колеб. Киев. 1970. Т. 2. С. 39 45.

2. Бегун Н. А., Пилюгин С. Ю. Аналоги теорем Такенса для обобщенных действий группы Zто.// Вестник Санкт-Петербургского Университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 43 (2010), по. 4, 198 203.

3. Пилюгин С. Ю. Введение в грубые системы дифференциальны уравнений. Л., 1988. 160 с.

4. Пилюгин. С. Ю. Теория отслеживания псевдотраекторий в динамических системах // Дифференциальные Уравнения и Процессы Управления. 47 (2011), 1929 1938.

5. Пилюгин С. К)., Вольфсон Г. 14., Тодоров Д. 14. Динамические системы с лип- шицевыми обратными свойствами отслеживания // Вестник Санкт-Петербургского Университета Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 44 (2011), по. 3, 208 213.

6. Пилюгин С. К)., Тихомиров С. В., Множества векторных полей с различными свойствами отслеживания псевдотраекторий // Доклады РАН. 2008. Т. 422. Н. 1. С. 30-31.

7. Пламеневская О. Б. Слабое отслеживание в двумерных диффеоморфизмах // Мат. Заметки, т. 65, 477-480 (1999).

8. Плисс В. А. Ограниченные решения неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений // Проблемы асимит. тео рии нелин. колеб., Киев, 1977, с. 168-173.

9. Рейзинь Л. Э. Локальная эквивалентность дифференциальных уравнений. Рига, 1971. 235 с.

10. Тихомиров С. В., Внутренности множеств векторных полей со свойствами

отслеживания, соответствующими некоторым классам репараметризаций // Вестник С.-Петерб. ун-та. 41, 360-366 (2008).

11. Тихомиров С., Свойство отслеживания для линейных косых произведений // Записки Научных Семинаров ПОМИ 432, 261-273 (2015).

12. Abdenur F., Diaz L. J. Pseudo-orbit shadowing in the C1 topology // Discrete Contin. Dyn. Syst., 7, 2003, 223-245.

13. Aoki N. The set of Axiom A diffeomorphisms with no cycles // Bol. Soc. Bras. Mat., 23 (1992), 21-65.

14. Aoki N. Topological dynamics. Topics in general topology, 625 740, North-Holland Math. Library, 41, North-Holland, Amsterdam, 1989.

15. Aoki N., Hiraide, K. Topological theory of dynamical systems. Recent advances. North-Holland Mathematical Library, 52. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1994.

16. Akin E. The general topology of dynamical systems. Graduate Studies in Mathematics, 1. American Mathematical Society, Providence, RI, 1993.

17. Barreira L., Vails C. Stable manifolds for nonautonomous equations without exponential dichotomy // J. Differential Equations 221 (2006), 58 90.

18. Barbot Т., Maquera C. Algebraic Anosov actions of nilpotent Lie groups // Topol. and its Applic. 2013, 160, 199 219.

19. Bechtell H. The theory of groups. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London, Don Mills, Ont.; 1971.

20. Bonatti Ch., Diaz L. J., Viana M. Dynamics beyond uniform hyperbolicity. A global geometric and probabilistic perspective, Springer, Berlin, 2004.

21. Bonatti Ch., Diaz L. J., Turcat G., There is no shadowing lemma for partially hyperbolic dynamics, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 330 (2000), 587-592.

22. Burns K., Wilkinson A. Dynamical Coherence and Center Bunching, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 22 (2008), 89-100.

23. Bowen R., Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov

Diffeomorphisms, Lecture Notes Math., vol. 470, Springer, Berlin, 1975.

24. Bridson M. R., Haefliger A. Metric spaces of non-positive curvature, Grundlehren der math. Wiss. 319, Springer-Verlag, Berlin; 1999.

25. Brin M., On dynamical coherence, Ergodic Theory Dynam. Systems, 23 (2003), 395-401.

26. Chicone C.; Latushkin Yu. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations. Mathematical Surveys and Monographs, 70. American Mathematical Society, Providence, RI, 1999

27. Coffman C. V., Schaeffer J. J. Dichotomies for linear difference equations // Math. Ann. 172 (1967) 139 166.

28. Coppel W. A. Dichotomies in stability theory. Lecture Notes in Mathematics, vol. 629, Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1978.

29. Ding H., Disturbance of the homoclinic trajectory and applications, Acta Sci. Nat. Univ. Pekin., no. 1 (1986), 53-63.

30. Feller W. An introduction to probability theory and its applications. Vol. II. John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney, 1971.

31. Feres R., Katok A. B. Ergodic theory and dynamics of G-spaces (with special emphasis on rigidity phenomena), Handbook of dynamical systems, 1A. pp. 665 763, Elsevier, Amsterdam; 2002.

32. Fisher T., PhD Thesis. PennState, 2006.

33. Fisher D. Local rigidity of group actions: past, present, future, Recent Progr. in Dynamics MSRI Publications, Vol. 54; 2007.

34. Gan S. Another proof for the C1 stability conjecture for flows // Sci. China Ser A. 1998. Vol. 41. P. 1076 1082.

35. Gan S., Li M., Tikhomirov S. Oriented shadowing property and ^-stability for vector fields // J. Dynam. Differential Equations, DOI: http://dx.doi.org/10.1007/sl0884-014-9399-5

36. Gan S., Wen L. Nonsingular star flows satisfy Axiom A and the no-cycle

condition // Invent, math. 2006. Vol. 164. P. 279-315.

37. Gogolev A. Diffeomorphisms Holder conjugate to Anosov diffeomorphisms // Ergodic Theory Dynam. Systems 30 (2010) 441-456.

38. Gorodetskii A. S., Ilyashenko Yu. S. Some properties of skew products over a horseshoe and a solenoid// Proc. Steklov Inst. Math. 231 (2000), 90-112.

39. Gorodetskii. A. S. Regularity of central leaves of partially hyperbolic sets and applications// Izv. Math. 70 (2006), 1093-1116

40. Gromov M. Groups of polynomial growth and expanding maps // Publications Mathematiques de I'lHES. 1981, 53, 53 78.

41. Guchenheimer J., A strange, strange attractor. The Hopf bifurcation theorems and its applications // Applied Mathematical Series, vol. 19, pp. 368-381, Springer 1976.

42. Gourmelon N. Adapted metric for diffeomorphisms with dominated splitting, Ergod. Theory Dyn. Syst. 27 (2007), 1839-1849.

43. Hammel S. M., Yorke J. A., Grebogi C. Do numerical orbits of chaotic dynamical processes represent true orbits // J. of Complexity 3 (1987), 136-145.

44. Hammel S. M., Yorke J. A., Grebogi C. Numerical orbits of chaotic processes represent true orbits // Bulletin of the American Mathematical Society 19 (1988), 465 469

45. Hayashi S., Diffeomorphisms in F:(M) satisfy Axiom A, // Ergodic Theory Dyn. Syst., 12 (1992), 233-253.

46. Hayashi S., Connecting invariant manifolds and the solution of the C^stability and ^-stability conjectures for flows // Ann. Math., 145 (1997) 81-137.

47. Heemels W.P.M.H., Camlibel M.K. Null Controllability of Discrete-time Linear Systems with Input and State Constraints // Proceedings of the 47th IEEE Conference on Decision and Control Cancun, Mexico, Dec. 9-11, 2008.

48. Hurder S. A survey of rigidity theory for Anosov actions, in "Differential topology, foliations, and group actions" (Rio de Janeiro, 1992), Contemp. Math., vol. 161, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, pp. 143 173.

49. Hiraide K. Expansive homeomorphisms with the pseudo-orbit tracing property on compact surfaces // J. Math. Soc. Japan 40 (1988), no. 1, 123 137.

50. Hiraide K. Expansive homeomorphisms with the pseudo-orbit tracing property of n-tori //J. Math. Soc. Japan 41 (1989), no. 3, 357—389.

51. Hirsch M.W., Pugh C.C., Shub M. Invariant Manifolds, Lecture Notes in Math., 583, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1977.

52. Nguyen T. H., Nguyen V. M.. Exponential dichotomy of difference equations and applications to evolution equations on the half-line. // Advances in difference equations, III. Comput. Math. Appl. 42 (2001), 301 311.

53. Katok A., Hasselblatt B. Introduction to the modern theory of dynamical systems. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 54. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

54. Komuro M. One-parameter flows with the pseudo orbit tracing property // Monat. Math. 98 (1984) 219-253.

55. de la Harpe P. Topics in geometric group theory. Chicago University press; 2000.

56. Koropecki A., Pujals E. Consequences of the Shadowing Property in low dimensions // Ergodic Theory and Dynamical Systems 34 (2014) 1273 - 1309.

57. Koscielniak P. Generic properties of Z2-actions on the interval // Topology Appl. 154 (2007), no. 14, 2672 2677.

58. Koscielniak P. On genericity of shadowing and periodic shadowing property // J. Math. Anal. Appl., 310, 2005, 188-196.

59. Kryzhevich S., Tikhomirov S. Partial hyperbolicity and central shadowing // Discrete Cont. Dyn. Syst. - A 33 (2013), 2901-2909

60. Kulczycki M., Kwietniak D. Shadowing vs. distality for actions of // Dyn. Syst. 27 (2012), no. 2, 205 211.

61. Kurosh A.G. The theory of groups. AMS; 2003.

62. Lee K., Sakai K. Structural stability of vector fields with shadowing // J. Differential Equations 232 (2007) 303-313.

63. Li C., Wen L., X* plus Axiom A does not imply no-cycle // J. Differ. Equations, 119 (1995), 395-400.

64. Li M., Gan S., Wen L., Robustly transitive singular sets via approach of an extended linear Poincare flow // Discrete Contin. Dyn. Syst., 13 (2005), 239-269.

65. Liao S. T. Obstruction sets (II), // Acta Sci. Nat. Univ. Pekin., no. 2 (1981), 1-36.

66. Maczynska Z., Tabor J. Shadowing with multidimensional time in Banach spaces // J. Math. Anal. Appl. 331 (2007), no. 2, 866 872.

67. Maizel A. D. On stability of solutions of systems of differential equations // Trudi Uralskogo Politekhnicheskogo Instituta, Mathematics 51 (1954), 20 50.

68. ManeR. Expansive diffeomorphisms, in: Dynamical Systems - Warwick 1974, Lecture Notes Math., vol. 468, Springer, Berlin, 1975, 162-174.

69. ManeR. Characterizations of AS diffeomorphisms, in: Geometry and Topology, Lecture Notes Math., vol. 597, Springer, Berlin, 1977, 389-394.

70. Marie R. An ergodic closing lemma // Ann. Math., 116 (1982), 503-540.

71. ManeR. A proof of the C1 stability conjecture. // Publ. Math. IHES. 1987. Vol. 66. P. 161-210.

72. Morimoto A. The method of pseudo-orbit tracing and stability of dynamical systems // Sem. Note 39, Tokyo Univ., 1979.

73. Moriyasu K., Sakai K., Sumi N., Vector fields with topological stability //

Trans. Amer. Math. Soc. 353 (2001) 3391-3408.

C1

213, (2005) 352-367.

75. Ombach J. Shadowing, expansiveness, and hyperbolic homeomorphisms // J. Austral. Math. Soc, Ser. A, 61, 1996, 57-72.

76. Oprocha P. Shadowing in multi-dimensional shift spaces // Colloq. Math. 110 (2008), no. 2, 451 460.

77. Oprocha P. Chain recurrence in multidimensional time discrete dynamical systems // Discrete Contin. Dyn. Syst. 20 (2008), no. 4, 1039 1056.

78. Osipov A. V. Inverse periodic shadowing properties // Differ. Uravn. Protsessy Upr. 2011, no. 3, 30 45.

79. Osipov A. V., Pilyugin S. Yu., Tikhomirov S. B., Periodic shadowing and ^-stability // Regul. Chaotic Dyn. 15 (2010), no. 2-3, 404-417.

80. Osipov A., Tikhomirov S., Shadowing in actions of finitely-generated groups // Dynamical Systems: An International Journal. 29 (2014), 337-351.

81. Palmer K., Shadowing in Dynamical Systems. Theory and Applications, Kluwer, Dordrecht, 2000.

82. Palmer K. J. Exponential dichotomies, the shadowing lemma and transversal homoclinic points. Dynamics reported, Vol. 1, 265-306, Dynam. Report. Ser. Dynam. Systems Appl., 1, Wiley, Chichester, 1988.

83. Palmer K. J. Exponential dichotomies and transversal homoclinic points // J. Differ. Equat., 55, 1984, 225-256.

84. Palmer K. J. Exponential dichotomies and Fredholm operators // Proc. Amer. Math. Soc., 104, 1988, 149-156.

85. Palmer K. J., Pilyugin S. Yu., Tikhomirov S. Lipschitz shadowing and structural stability of flows // Journal of Differential Equations 252 (2012) 1723-1747.

86. Pilyugin S. Yu., Introduction to Structurally Stable Systems of Differential Equations, Birkhauser-Verlag, Basel, 1992.

87. Pilyugin S. Yu. Introduction to Structurally Stable Systems of Differential

Equations, Birklmuser-Verlag, 1994.

88. Pilyugin S. Yu. The Space of Dynamical Systems with the C°-Topology. Lect. Notes Math. V. 1571. Springer-Verlag. Berlin/New-York. 1994.

89. Pilyugin S. Yu. Shadowing in Dynamical Systems, Lecture Notes in Math., vol. 1706, Springer, 1999.

90. Pilyugin S. Yu. Spaces of Dynamical Systems, Reg. Chaotic Dynamics, Moscow-Izhevsk, 2008.

91. Pilyugin S. Yu. Shadowing in structurally stable flows // J. Diff. Eqns., 140, no. 2 (1997) 238-265.

92. Pilyugin S. Yu. Generalizations of the notion of hyperbolicity // J. Difference Equat. Appl., 12, 2006, 271-282.

93. Pilyugin S. Yu. Sets of diffeomorphisms with various limit shadowing properties // J. Dynamics Differ. Equat., 19, 2007, 747-775.

94. Pilyugin S. Yu. Variational shadowing // Discr. Cont. Dyn. Syst., ser. B 14 (2010) 733-737.

95. Pilyugin S. Yu., Rodionova A. A., Sakai K. Orbital and weak shadowing properties // Discrete Cont. Dyn. Syst. 9 (2003) 287-308.

96. Pilyugin S. Yu., Sakai K., Tarakanov O. A. Transversality properties and C1

Dyn. Syst., 9, 2003, 287-308.

C°

Steklov Inst. Math. 256 (2007) pp. 290-305.

98. Pilyugin S. Yu., Tikhomirov S. Shadowing in actions of some abelian groups // Fund. Math. (2003) Vol. 179. pp. 83-96.

99. Pilyugin S. Yu., Tikhomirov S. B. Vector fields with the oriented shadowing property // Journal of Differential Equations 248 (2010) 1345-1375.

100. Pilyugin S. Yu., Tikhomirov S. Lipschitz Shadowing implies structural stability // Nonlinearity 23 (2010) 2509-2515.

101. Pugh C., Shub M. The ^-Stability theorem for flows. // Invent. Math. 1970. Vol. 11. P. 150-158.

102. Pugh C. C., Shub M., Wilkinson A. Holder foliations, revisited // Journal of Modern Dynamics, 6 (2012) 835 908.

103. Pugh C., Robinson C. The C^closing lemma, including Hamiltonians. // Ergod. Theory Dyn. Syst. 1983. Vol. 3. P. 261-313.

104. Robinson C. Stability theorems and hyperbolicity in dynamical systems // Rocky Mount. J. Math., 7, 1977, 425-437.

105. Robinson C. Structural stability of vector fields // Ann. Math., 99 (1974) 154-175.

106. Rodriguez-Hertz F., Rodriguez-Hertz M. A., Ures R. A survey of partially hyperbolic dynamics // Fields Institute Communications, Partially Hyperbolic Dynamics, Laminations and Teichmuller Flow, 51 (2007), 35-88.

107. Sacker R. J., Sell G. R. Existence of dichotomies and invariant splittings for linear differential systems II // J. Diff. Eqns., 22 (1976) 478-496.

108. Sacker R. J., Sell G. R. Existence of dichotomies and invariant splittings for linear differential systems III // J. Diff. Eqns., 22 (1976) 497-522.

109. Sakai K. Pseudo orbit tracing property and strong transversality of diffeomorphisms on closed manifolds // Osaka J. Math. 31 (1994) 373-386.

110. Sawada K. Extended /-orbits are approximated by orbits // Nagoya Math. J., 79, 1980, 33-45.

111. Shilnikov L. P., Shilnikov A. L., Taruve D. V., Chua L. O. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics, World scientific, Series A, vol. 5, 2001.

112. Segal D. Polycyclic groups. Cambr. Univ. Press, 1985.

113. Schauder J. Der Fixpunktsatz in Funktionalraumen // Stud. Math., 2 (1930), 171-180.

114. Slyusarchuk V. Exponential dichotomy of solutions of discrete systems. //

Ukrain. Mat. Zh. 35 (1983), 109 115.

115. Sontag E. D. An algebraic approach to bounded controllability of linear systems // Internat. J. Control, 39, no. 1 (1984) 181-188.

116. Thomas R. F. Stability properties of one-parameter flows // Proc. London Math. Soc., 54 (1982), 479-505.

117. Tikhomirov S. Holder Shadowing on Finite Intervals // Ergodic Theory and Dynamical Systems, available on CJ02014. doi:10.1017/etds.2014.7.

118. Tikhomirov S. An example of a vector field with the oriented shadowing property // arXiv:1403.7378

119. Todorov D.; Lipschitz inverse shadowing for non-singular flows // Dyn. Syst. 29 (2014), no. 1, 40 55.

120. Todorov D. Generalizations of analogs of theorems of Maizel and Pliss and their application in shadowing theory // Discrete Contin. Dyn. Syst. 33 (2013), no. 9, 4187 4205.

121. S. R. S. Varadhan. Large deviations and applications. CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, 46. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1984.

122. Walters P., On the pseudo-orbit tracing property and its relationship to stability, in: The Structure of Attractors in Dynamical Systems, Lecture Notes Math., vol. 668, Springer, Berlin, 1978, 231-244.

123. Wen L., Xia Z. C1 connecting lemmas // Trans. Amer. Math. Soc. 352 (2000), 5213-5230.

124. Yuan Guo-Cheng, Yorke James A. An open set of maps for which every point is absolutely nonshadowable // Proc. Amer. Math. Soc. 128 (2000), 909-918.