Множества диффеоморфизмов гладких многообразий, обладающих свойствами отслеживания тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Осипов, Алексей Валерианович

• Осипов, Алексей Валерианович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Осипов, Алексей Валерианович

1 Введение.

2 Неплотность орбитального свойства отслеживания относительно С1-топологии.

2.1 Схема доказательства основного результата.1

2.2 Динамические свойства, косых произведений.

2.3 Основная лемма.

2.4 Сведение доказательства, теоремы 1' к двум случаям, разбор случая (А1).

2.5 Начало разбора случая (А2) вспомогательные леммьт

2.6 Сведение; случая (А2) к лемме б.

2.7 Доказательство леммы б.

2.7.1 Пункт (6.с) основные обозначения.

2.7.2 Пункт (6.с) основные леммы.

2.7.3 Пункт (6.с) завершение доказательства,

2.7.4 Доказательство остальных пунктов леммьт

3 Периодические свойства отслеживания и устойчивость.

3.1 О? с 1лрРег811.

3.2 Гиг^РогвЬ) С

3.3 ЫрРогЭЬ СП5.

4 Слабые предельные свойства отслеживания диффеоморфизмов двумерных многообразий

4.1 Некоторые свойства диффеоморфизмов, обладающих слабыми предельными свойствами отслеживания

4.2 Структура пеблуждатотцего множества в случае выполнения ^ЪтБР

4.3 Формулировка и доказательство теоремы 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Множества диффеоморфизмов гладких многообразий, обладающих свойствами отслеживания»

Диссертация посвятцетта, изучению структуры некоторых множеств диффеоморфизмов гладких многообразий, связанных с так называемыми свойствами отслеживания псевдотраекторий. Наибольший интерес представляют вопросы о плотности (типичности) таких множеств и о характеризации этих множеств и их внутренностей в терминах теории структурной устойчивости.

В настоящее время теория свойств отслеживания является достаточно хорошо разработанным разделом теории динамических систем. Ее современное состояние достаточно полно отражено в монографиях |21, 181. Данная теория изучает условия, при которых вблизи любой приближенной траектории некоторой динамической системы находится некоторая истинная. Первые результаты в этом направлении были получены Д.В. Аттосовым |1| и Р. Боуэтюм |10|. В работе рассматриваются в основном дискретные динамические системы, т.е. каскады, порожденные диффеоморфизмами гладких замкнутых многообразий. Грубо говоря, наличие некоторого свойства отслеживания означает, что вблизи любой достаточно точной приближенной траектории находится некоторая истинная. Так как термины "вблизи" и "приближенная траектория" можно понимать по-разному, можно определить несколько свойств отслеживания. Целью данной работы является изучение множеств диффеоморфизмов, обладающих некоторыми свойствами отслеживания.

Основным объектом данной работы являются диффеоморфизмы гладких замкнутых многообразий. Однако для определения свойств отслеживания гладкость не нужна, поэтому различные; свойства отслеживания будут определяться для гомеоморфизмов метрических пространств.

Пусть / гомеоморфизм метрического пространства М с метрикой dist. Траекторией точки р гомеоморфизма / называется множество o(p,f) = {fk(p)\keZ}.

Аналогично вводятся понятия положительной и отрицательной полутраекторий гомеоморфизма /: o+(p,f) = {fk(p)\keZ,k>o},

O-(p,/) = {/Jfe(p)|fcGZ,A:<0}.

Далее; часто, не оговаривая этого дополнительно, будет использоваться обозначение;

Pk = fk(p) при А; 6 Z.

Как обычно, будем обозначать через id^f тождественное отображение пространства М. В некоторых случаях нижний индекс будет опускаться.

Определение 1. Будем называть последовательность £ = = {ж^} d -псевдотрае.кторивй гомеоморфизма /, если ciíst, f{xkj) < d при k £ Z.

Таким образом, d псевдотраектория является одной и:? возможных формализации** понятия приближенной -траектории.

Определение 2. Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется свойство РОТР (свойство отсле/лсивания псевдо-травкторий, -pseudo orbit tracing property), если для любого положительного б существует такое положительное d. что для любой с£-песвдотраектории £ = {xk} найдется такая точка q 6 М, что dist.(xk, fk(q)) < е при k е Z. (1.1)

Иттыми словами, свойство РОТР состоит в том, что всякая "достаточно точная" псевдотраектория "поточечно близка" к некоторой истинной траектории. В работе мы будем обозначать одним и тем же символом как некоторое свойство динамических систем, так и множество всех систем, обладающих этим свойством. Мы будем говорить, что точка q е-отслеживает псевдотраекторию если выполняются неравенства (1.1).

Б уд ел г обозначать через N(e,A) б-окрееттюеть множества А С М. В работе |24| вводятся определения орбитального свойства отслеживания (OSP, orbital shadowing property) и слабого свойства отслеживания (WSP, weak shadowing property).

Определение 3. Будем говорить, что для гомеоморфизма/ выполняется орбитальное свойство отслеживания, если для любого положительного е существует такое положительное d, что для любой d пеевдотраектории £ найдется такая точка q £ М, тгто

С С N (б, 0(q, /)) и 0(q, f) С N(e, £). (1.2)

Определение 4. Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется слабое, свойство отслвот?/,вa.iш,я, если для любого положительного б существует такое положительное d. что для любой d-псевдотраектории £ найдется такая точка q G М. что

Се N(e,0(qj)).

Свойство OSP является ослабленным аналогом свойства РОТР вместо того чтобы требовать близость "в каждый момент времени" точки псевдотраектории Xk и точки истинной траектории fk(q), требуется, чтобы были близки множества точек псевдотраектории £ = {£/.} и траектории 0(q,f). Слабое свойство отслеживания WSP является ослабленным вариантом свойства OSP требуется литтть, чтобы множество точек "достаточно точной" пеевдотра-ектории £ содержалось в малой окрестности некоторой истинной траектории 0(q,f). Мы будем говорить, что траектория точки q орбиталыто б-отележивает пеевдотра.екторито если выполняются неравенства (1.2).

При изучении пространств отображений (пространства гомеоморфизмов компактного метрического пространства с топологией и пространства диффеоморфизмов гладкого замкнутого многообразия с С1-топологией) одним из самых важных вопросов является вопрос типичности. В дайной работе под типичпым понимается свойство, выполняющееся для всех отображений из некоторого множества II категории по Бэру, а под плотным выполняющееся для всех отображений из некоторого плотного множества. В работе рассматривается пространство гомеоморфизмов Н(М) компактного метрического пространствам с С°-топологией, индуцируемой метрикой

Пусть М это гладкое замкнутое многообразие с риматтовой метрикой гИй^ Будем обозначать через Df(x) дифференциал диффеоморфизма. f многообразия М в точке х. Ка,к обычно, будем обозначать через ТХМ касательное пространство в точке х многообразия М. Будем обозначать через | • | норму в пространстве ТХМ, порожденную метрикой сНк(;. Для сокращения изложения. будем считать, что многообразие М вложено в евклидово пространство М^ достаточно большой размерности. В этом случае касательное пространство естественным образом отождествляется с: литтейпым подпространством пространства М*^. Будем обозначать через Б1АР1(М) пространство диффеоморфизмов гладкого замкнутого многообразия М с С1-топологией, индуцируемой метрикой шах ( ¡(/(р),5г(р)), тах - Вд(р)у \ ) . рем ^ ьетрм,\и\=1 )

Отметим, что пространства Н(М) и ОШ1(М) являются простап-ствами Бэра, поэтому если некоторое свойство отображений являстоя типичным относительно одной из этих топологий, то оно является и плотным относительно этой топологии.

С.Ю. Пилюгин и О.Б. Пламепевекая (см. [23]) доказали типичность свойства, отслеживания псевдотраекторий в пространстве Н(М). если пространство М является гладким замкнутым многообразием. Отметим что. из С°-типичтгоети свойства отслеживания псевдотраекторий следует С°-типичтюеть орбитального и слабого свойств отслеживания. Ч. Бопатти, Л.Дж. Диад и Дж. Турка,т |9| показали, что свойство отслеживания псевдотраекторий является неплотным относительно С(1-топологии в пространство Diif1(M), а, С. Кровизье |11| установил, что слабое свойство отслеживания С1-плоттто (см. также работу С.Ю. Пилюгина. К. Сакая и O.A. Тараканова |2-5|).

Во второй главе изучается орбитальное свойство отслеживания диффеоморфизмов гладких замкнутых многообразий и доказывается следующая теорема:

Теорема 1. Существует такая область W С Diff1(<Sr2 х S1), что любой диффеоморфизм f Е W к,с. обладает свойством. OSP.

В доказательстве теоремы 1 используется техника косых произведений. разработанная Ю.С. Ильяшеико и A.C. Городецким, Подробнее идея доказательства поясняется в начале главы 2.

Пусть / произвольный гомеоморфизм метрического пространства М с метрикой dist. Можно рассмотреть аналог свойства отслеживания псевдотраекторий для периодических траекторий и периодических псевдотраекторий. В работе |16| дается определение периодического свойства отслеживания.

Определение 4. Будем говорить, что для гомеоморфизма. / выполняется периодическое свойство отслеживания PerSh (periodic shadowing property), если для любого положительного е существует такое положительное d, что для любой периодической ¿¿-псевдотраектории £ найдется тякая периодическая точка д, что выполняется соотношение (1.1).

В определении свойства РОТР можно накладывать условия на зависимость числа е от d. Это приводит к следующему определению.

Определение 5. Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется свойство LipSP (Lipя chitz shadowing property, липши, up. в о свойство отслеживания), если существуют такие положительные числа L и do, что для любой d-п еевдотр аектории £ - {з^} с d < d0 найдется такая точка q Е М, что distfxft, fk(q)) < Ld при k <Е Z. (1.3)

Наряду с периодическим свойством отслеживания можно рассматривать и его Липшицев аналог.

Определение 6. Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется липшицеао периодическое свойство о т ел сок: и в а ? тя LipPcrSh, если существуют такие положительные числа L и d®, что для любой периодической ¿¿-псевдотраектории е в, < ¿о найдется такая периодическая точка д, что выполняется соотношение (1.3).

В третьей главе; изучаются периодическое и липтттидево периодическое свойства отслеживания диффеоморфизмов гладкого замкнутого многообразия М и их связь со структурной устойчивостью. При изучении свойств отслеживалия диффеоморфизмов гладких замкнутых многообразий одним из подходов является переход к С^-впутрситтоетям. Будем обозначать через 1п^(Р) внутренность некоторого подмножества Р множества диффеоморфизмов гладкого замкнутого многообразия М относительно С1-топологии. Как обычно, будем обозначать через ОБ множество £1-устойчивых диффеоморфизмов. В работе |28| К. С акай доказал, что С1 -внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих свойством отслеживания псевдотраекторий, совпадает с множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов. В третьей главе; мы доказываем, что С1 -В1тутрелтттен:тт, множества диффеоморфизмов, обладающих периодическим свойством отслеживания, совпадает с мттоже;етве)м П-устежчивьтх диффеоморфизмов. Существуют по структурно устойчивые диффеоморфизмы, обладающие; свойством отслеживания псевдотраокторий (см., например, |22|). Точно так же; существуют по ^-устойчивые; диффеоморфизмы, обладающие; перие)диче;ежим свойством отслеживания. С.Ю. Пилюгин и С.Б. Тихомиров в работе |26| доказали, что е:труктурпая уетешчивость и л и штт ип.ево свойство отслеживания эквивалентны. Также отметим, что С.Ю. Пилюгин доказал (см. |22|) эквивалентность структурной устойчивости и так называемого вариационного свойства, отслеживания. В третьей главе1, доказывается эквивалентность ^-устойчивости и липптицева периодического свойства отслеживания. Таким образом, основной результат третьей главы можно сформулировать так:

Теорема 2. Если M гладкое замкнутое, многообразие, то Int.1 (Per SP) = LipPerSP = ÇîS.

Пусть M метрическое пространство с метрикой dis t. / : M и M гомеоморфизм. Определим следующее свойство последовательности £ = {з:а;}а;>о' dist(xjfc+i, f(xk)) —у 0 при к —> +оо. (*)

Последовательность, обладающая свойством (*), является приближенной траекторией, которая становится "все точнее" тта бесконечности.

В работе |12[ введено следующее определение.

Определение 7. Будем говорить, что для гомеоморфизма, / выполняется cnoilcmeo LmSP (предельное, свойство отслеэ/сива-иия. limit shadowing propertyjs если для любой последовательности. для которой выполняется свойство (*). найдется такая точка, q G M, что dist(xjt, fk(q)) —> 0 при к —> +оо.

Наличие предельного свойства, отслеживания означает, что если приближенная траектория "становится все точнее" па бесконечности, то к пей "стремится" некоторая точная траектория. По аналогии с обычттым свойством отслеживания предельное свойство отслеживания можно ослабить, потребовав не "сходимости" приближенной траектории к точной, а совпадения множеств предельных точек. Обозначим через множество всех предельных точек последовательности £ = В работе1 |20| вводится следующее определение.

Определение 8. Будем говорить, что для гомеоморфизма, / выполняется орбитальное, предельное свойство отслеживания ОЬтЗР, если для любой последовательности £= {а^}, для которой выполняется свойство (*). найдется такая точка q €М, что Цд).

Нетрудно видеть, что

ЬтБР С ОЬтБР.

В работе |20| вводится следующее ослабление орбитального предельного свойства отслеживания.

Определение 9. Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется слабое предельное свойство отслеживал тя, ^УЬтвР. если для любой последовательности £ = {3^}. для которой выполняется свойство (*), найдется такая точка д еМ. что

О С ш(д). (1.4)

12

В работе |24| наряду со свойством определяется и еледутотцее свойство.

Определение 10. Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется второе слабое свойство omc.neoicueami.si если для любого положительного £ найдется такое положительное в,, что для любой б£-пеевдотраектории £ найдется такая точка д ЕМ, что

Нетрудно видеть, что свойство 2\¥ЭР является ослаблением свойства ОБР. По аналогии с обыттттт>1ми свойствами отслеживания, исходя из определения орбитального продельного свойства отслеживания, мы вводим отце одно слабое предельное свойство отслеживания.

Определение 11. Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется второе слабое предельное свойство отслеживания 2\У1лп8Р, если для любой последовательности £ = {а;^}. для которой выполняется свойство (*), найдется такая точка, q ЕМ, что ш(д) С и>(£). (1.5)

Можно ввести аналоги сформулированных пределытьтх свойств отслеживания, в которых к —> +оо заменено па. к —> — оо (в главе 4 приводятся эти определения).

В четвертой главе изучаются слабьте предельные свойства, отслеживания. В работе |24| доказало, что любой гомеоморфизм компактного метрического пространства М обладает свойством 2WSP. Мы доказываем аналог этого утверждения для свойства 2WLmSP в утверждении 2 доказывается, что любой гомеоморфизм / компактного метрического пространства М обладает свойством 2WLmSP.

При изучении динамических систем особый интерес вызывает структура пеблуждатощего множества. Как обычно, обозначим через П(/) множество всех ттеб луж да тотцих точек гомеоморфизма/. Хороню известно, что для гомеоморфизма /

П(/) D [J ш(р). р<=м

В четвертой главе приводится пример гомеоморфизма / для которого множества Г2(/) и UpeM^G9) 110 (:01^падатот. В утверждении 3 доказывается, что если для гомеоморфизма / выполняется свойство WLmSP, то = U "Мрем

С.Ю. Пилюгин в работе |20| доказал, что

Int1(OLmSP) = Int1(LmSP) = QS.

К. Сакай в работе |27| показал, что если dim М = 2, то Int1(WSP) С С £IS. Кроме того, К. Сакай отметил, что его результат тте обобщается тта случай многообразий большой размерности. Основным результатом четвертой главы является следующая теорема:

Теорема 3. Если М гладкое замкнутое мн.ояообра.зи,е. и dim M = 2, то

Iiifc1(WLmSP) = ÜS.

В четвертой гла.ве поясняется. tito теорема. 3 тю обобщается па елутта.й многообразий более высокой размерности.

Для "отрицательных" предельных свойств отслеживания выполняются аналогичные1, утверждения.

Основными результатами диссертации являются теоремы 1 3. Эти результаты опубликованы в работах автора |1 ö|. Работы |1|, |5| опубликованы в журналах, входящих в список ВАК.