Топологические свойства и конструкции, связанные с глобальной динамикой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Петров, Алексей Алексеевич

• Петров, Алексей Алексеевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Петров, Алексей Алексеевич

Оглавление

Введение

0 Основные определения и известные результаты

1 Отслеживание для систем с аксиомой А

1.1 Базовые понятия и определения

1.2 Условие С°-трансверсальности для систем с аксиомой А

1.3 Основной результат

1.4 Локальная конструкция

1.5 Доказательство основного результата

2 Функции Ляпунова, свойство отслеживания и топологическая устойчивость

2.1 Ляпуновские функции и отслеживание

2.2 Топологическая устойчивость

2.3 Отслеживание в окрестности негиперболической неподвижной точки

2.3.1 Одномерный случай

2.3.2 Случай размерности два: изолированная неподвижная точка

2.3.3 Случай размерности два: неизолированная неподвижная точка

3 Отслеживание в случае кубического касания и в окрестности сепаратрисы

3.1 Отслеживание в окрестности сепаратрисы

3.1.1 Предположения о системе

3.1.2 Основной результат

3.2 Отслеживание в случае кубического касания

3.2.1 Основные определения

3.2.2 Формулировка основного результата

3.2.3 Вспомогательные леммы

3.2.4 Доказательство основного результата

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологические свойства и конструкции, связанные с глобальной динамикой»

Введение

Данная диссертация посвящена изучению некоторых связей между свойством отслеживания приближенных траекторий гомеоморфизмов метрических пространств и диффеоморфизмов гладких многообразий и различными объектами, характеризующими динамику этих гомеоморфизмов и диффеоморфизмов (например, типами пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий, наличием специальных аналогов функций Ляпунова и пр.).

Отметим ряд результатов в этом направлении.

Известно, что для диффеоморфизма / замкнутого многообразия М следующие три утверждения эквивалентны (доказательства содержатся в [1], [2], [3], [4], [5]):

(1) / удовлетворяет аксиоме А и строгому условию трансверсальности;

(2) / структурно устойчив;

(3) / обладает липшицевым свойством отслеживания.

Часто диффеоморфизмы, удовлетворяющие одному из условий (1) или (2) (а, следовательно, и всем остальным), называют "системами с гиперболическим поведением". В данной работе мы также будем придерживаться этого названия. Кроме того, слово "система" будет для нас синонимом термина "гомеоморфизм метрического пространства" или "диффеоморфизм гладкого многообразия" (в зависимости от контекста).

В связи с эквивалентностью пунктов (1) и (3) представляется естественным исследовать условия наличия свойств отслеживания для систем, удовлетворяющих аксиоме А. Так, выполнение аксиомы А означает, что неблуждающее множество исследуемой системы достаточно "хороню устроено" с точки зрения глобальной качественной теории (оно гиперболично, и в нем плотны периодические точки). Изучая такие системы в теории отслеживания, естественно предположить, что условия наличия свойства отслеживания могут быть выражены в терминах, описывающих взаимное поведение устойчивых и неустойчивых многообразий неблуждающих траекторий. Например, если эти многообразия трансверсальны в стандартном дифференциально-топологическом смысле (т.е. если выполнено строгое условие трансверсальности), то, как уже было сказано, система структурно устойчива и обладает липшицевым свойством отслеживания. В случае, если фазовое пространство системы / (т.е. многообразие М) двумерно, то удается получить необходимое и достаточное условия наличия свойства отслеживания, накладывая условия на характер пересечения устойчивых и

неустойчивых многообразии (а именно, устойчивые и неустойчивые многообразия должны пересекаться С°-трансверсально) [6], [7].

В главе 1 мы показываем, что если размерность фазового пространства системы больше 2, то никакие разумные обобщения понятия трансверсальности не применимы для получения необходимых условий отслеживания. Результаты, изложенные в этой главе, содержатся в работе [8].

Отметим также работу Левовича [9]. В ней, в частности, доказывается, что гладкий диффеоморфизм замкнутого многообразия топологически устойчив, если для него существует так называемая невырожденная функция Ляпунова. Отметим, что топологическая устойчивость сильнее, чем свойство отслеживания (и эти свойства эквивалентны для экспансивных систем на замкнутых многообразиях, см. [5]).

В главе 2 мы исследуем связь между топологической устойчивостью, свойством отслеживания и наличием у системы аналогов функций Ляпунова. Мы приводим достаточное условие наличия свойства отслеживания у гомеоморфизма компактного метрического пространства (само условие формулируется в терминах геометрических объектов, порожденных двумя функциями Ляпунова), а также исследуем наличие свойства отслеживания у негиперболических систем с помощью полученных условий. Результаты, изложенные в главе 2, содержатся в работах [10], [11].

Как уже отмечалось, для диффеоморфизма / замкнутой поверхности М, удовлетворяющего аксиоме А, свойство отслеживания эквивалентно С°-трансвсрсалыюсти устойчивых и неустойчивых многообразий (данные результаты содержатся в [0] и [7]). В связи с этим представляют интерес следующие два вопроса: можно ли сформулировать необходимое и достаточное условие гельдерова свойства отслеживания (соответствующее определение приведено ниже) в терминах пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий? И возможен ли какой-нибудь аналог отслеживания при не С°-трансверсалыюм пересечении устойчивого и неустойчивого многообразий? В главе 3 мы исследуем эти два вопроса. Мы показываем, что для модельного примера в случае кубического касания устойчивого и неустойчивого многообразий система класса гладкости С1 обладает гельдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдера причем значение показателя Гельдера можно повысить до если система обладает классом гладкости С2, а также приводим пример системы класса гладкости С1 с кубическим касанием устойчивого и неустойчивого многообразий, не обладающей гельдеровым свойством отслеживания с показателем гельдера 7 € (|,1].

Мы также изучаем в модельном случае отслеживание в окрестности сепаратрисы, ведущей из седла в седло. Конечно, как следует из результатов [6], в этом случае система не обладает классическим свойством отслеживания. Тем не менее, можно ожидать отслежива-емость псевдотраекторий специального вида, например, в случае, если пошаговая ошибка псевдотраектории £ = {£„}, с118Ь(/(£п), £„+1), не превосходит с1йЫ(хп,1)а, где > 0, а I — сепаратриса. Мы показываем, что в трубчатой окрестности сепаратрисы псевдотраектории

такого вида могут быть отслежены точной траекторией тогда и только тогда, когда а > 1. Основной результат главы 3 содержится в работе [12].

Глава О

Основные определения и известные

результаты

Сформулируем определения и основные результаты, которые потребуются нам в данной работе.

Пусть (М, dist) — метрическое пространство, /: М —> М — гомеоморфизм или М — гладкое замкнутое риманово многообразие с римановой метрикой dist, a /: М —М - диффеоморфизм. В данном тексте словосочетание "динамическая система" и слова "гомеоморфизм" и "диффеоморфизм" (в зависимости от контекста) являются для нас тождественными. Под фазовым пространством системы мы будем подразумевать то метрическое пространство или многообразие, на котором эта система задана.

Траекторией гомеоморфизма / (и соответствующей ему динамической системы) будем, как обычно, называть последовательность {/г{р) | г £ Z}, где р € М. Положительной полутраекторией - последовательность {/1(р) | г € N U {0}, где р € М.

Пусть d > 0.

Определение 1. Будем говорить, что последовательность £ = 6 М \ г 6 Z} — d-псевдотраектория отображения f, если выполнены неравенства

Пусть е > 0.

Определение 2. Будем говорить, что точка р Е М (£,/)-отслеживает й-псевдотраекторию £ = если выполнены неравенства

dist(/(&),6+i) < d, iG Z.

(0.0.1)

dist(f (p),&) < e, ie Z.

(0.0.2)

В дальнейшем, при рассмотрении некоторой фиксированной системы /, мы будем просто говорить, что точка р е-отслеживает псевдотраекторию

Определение 3. Будем говорить, что система / обладает свойством отслеживания, если для любого е > 0 найдется такое число й > 0, что для любой в.-псевдотраектории £ = {£{} найдется точка р е М, е-отслеэюгшающая

Также нам будет удобно использовать следующие определения, являющиеся "конечными" аналогами определений 1 и 3.

Определение 4. Пусть й > 0. Конечную последовательность £ — € М | г = п,..., т,} (где п,т п < т), удовлетворяющую неравенствам

г = п,...,т- 1, (0.0.3)

мы будем называть конечной (1-псевдотраекторией.

Определение 5. Будем говорить, что система / обладает конечным свойством отслеживания, если для любого е > 0 найдется такое (1 > 0, что для любой конечной (I-псевдотраектории £ = € М | г = п,..., т}, найдется такая точка р € М, что выполнены неравенства

¿ЩГШп+д < е, г = 0,... ,т — п. (0.0.4)

Отметим, что в определении 5 (I зависит только от е, а не от значений т,п. Про точку р, удовлетворяющую соотношениям (0.0.4), мы также будем говорить, что она е-отслеживает конечную псевдотраекторию

Для компактных метрических пространств определение 5 эквивалентно определению 3. А именно, имеет место следующее утверждение (доказательство содержится в [5]).

Утверждение 1. Пусть М — компактное метрическое пространство, /: М —> М — гомеоморфизм. Тогда / обладает свойством отслеживания тогда и только тогда, когда } обладает конечным свойством отслеживания.

Поскольку далее в работе мы будем иметь дело только с компактными пространствами (гладкими компактными многообразиями, снабженными римановой метрикой, или компактными метрическими пространствами), то мы будем использовать понятия "псевдотраектория" и "свойство отслеживания" как для конечного случая, так и для обычного. Следующее определение является частным случаем определения 3.

Определение 6. Если существуют такие константы С,о! о > 0,7 Е (0,1), что для любой й-псевдотраектории £ отображения / с й € (0,о!о) найдется точка р & М, Сй1-отслеживающая псевдотраекторию то мы будель говорить, что отображение / обладает гельдеровым свойством отслеживания с показателел1 Гельдера равным 7. Если 7 = 1, то мы будем говорить, что отображение / обладает липшицевым свойством отслеживания.

Также, иногда бывает удобно рассматривать свойства отслеживания отображения / на некоторых подмножествах объемлющего метрического пространства М. Так, пусть К С М

— непустое подмножество.

Определение 7. Будем говорить, что отображение f обладает свойством отслеживания на множестве К, если для любого е > 0 найдется такое d > О, что любая d-псевдотраектория £ С К может быть е-отслежена точной.

Аналогично определяются липшицево и гельдерово свойства отслеживания на множестве

К.

Пусть теперь (М, g) — гладкое риманово многообразие, где g — метрический тензор, dist

— соответствующая риманова метрика, индуцированная д. Касательное расслоение многообразия М будем обозначать через ТМ, а касательное пространство в точке р € М через ТРМ.

Для v € ТРМ через ||и|| будем обозначать норму вектора v в метрике д, т.е.

IMI = V9(v,v)-

Пусть f:M—>M - диффеоморфизм класса гладкости Ck, к € N. Через

Df : ТМ^ТМ будем обозначать дифференциал отображения /, а через

Dpf: ТрМ ТтМ сужение дифференциала на пространство ТрМ.

Определение 8. Будем говорить, что множество К С М гиперболическое для f, если выполнены следующие условия

(1) А компактно и инвариантно под действием f, т.е. f(K) = К;

(2) найдутся такие константы X € (0,1), С > 0 и такие семейства линейных подпространств S(p),U(p) С ТрМ, р € К, что выполнены соотношения:

(a) S{p) е U{p) = ТРМ, р Е К;

(b) DpfT(p) = Т(/(р)) для ре К, Т = S,U ;

(c)

||£>р/»Н < CXn\\v\l v е 5(p),n € N, р € к-НА,Г>)|| < CA"|M|, veu(jp),n€N, рек.

Подпространство S(p) мы будем называть устойчивым подпространством в точке р, U(р) — неустойчивым.

На многообразии М для данного гиперболического множества К всегда можно выбрать такую риманову метрику (называемую ляпуновской метрикой), что константу С > 0 из определения 8 можно выбрать равной единице (см. [5]). В дальнейшем при рассмотрении фиксированного гиперболического множества К мы будем предполагать, что метрика g на многообразии М является ляпуновской.

Пусть К С М — гиперболическое множество диффеоморфизма /. В соответствии с разложением касательного пространства

ТРМ = 5(р) © U(p)

для р 6 К мы будем записывать каждый вектор v Е ТРМ в виде пары v = (s,u), где s Е S(p), и Е U(p), s + и = v. Через S(p, 5) будем обозначать для точки р £ К и числа 5 > О множество таких векторов v Е S(p), что |и| < 5. Аналогично определяется U(p,6). Для точки р Е М определим множества

Ws(p) = {хЕМ | dist(fn(x),fn(p)) 0,п оо},

Wu{p) = {хЕМ | dist{Гп(х),Гп(р)) 0,п оо}.

Они называются соответственно устойчивыми и неустойчивыми многообразиями точки р (отметим, что в общем случае эти множества многообразиями не являются). Для числа S > 0 и точки р Е М определим множества

W!(p) = {хеМ I dist(/n(®),/n(p)) < 5,п Е No},

И?(Р) = {хеМ\ dist (Гп(х),Гп(р)) < 5, пЕ No},

где N0 = NU {0}.

Вернемся теперь к рассмотрению множества К.

Пусть ехрр: ТРМ —> М — экспоненциальное отображение в точке р Е М. Для точки р Е К и отображения

gp: S(p,a) -> U(р,а)

положим

graph gv = {(v,<7p(v)) | v E S{p,a)}. Аналогично, для некоторого отображения

hp-. U(p,a) S(p,a)

положим

graph hp = {(hp(v),v) \ v e U(p,a)}.

Следующая теорема (называемая обычно теоремой об устойчивом многообразии, см. [5]) показывает, что в случае р € К для некоторого а > 0 множества W*(p) и W%(jp) являются гладкими дисками (причем константа а зависит от К), а множества Ws(p) и Wu(p) являются образами евклидовых пространств соответствующей размерности при гладком погружении.

Теорема 1. Найдется такое число а > 0, что для каждой точки р е К множества W^{p) и W£(p) являются дисками размера а, т.е. выполнено соотношение

wa(p) = ехрр(graph gp),

где отображение

9р ■ S(p,a) U{p,a)

С1-гладкое, константа Липшица Lip(gp) < 1, gp(0) = 0, Dgp(0) = 0, и аналогичные утверждения верны для W™ (р) :

w«(p) = expp (graph hp),

где hp: U(p,a) —>• S(p,a) принадлежит классу гладкости С1, Lip(/ip) < 1, hp(Q) = 0, Dhp(0) = 0.

Кроме того, выполнены соотношения

f(Wsa{p)) С W'(/(p)), r\w:ip)) с

ws(P) = и rn(w°(r(pm

пе No

wu(p) = U ГТС(Гп(р))).

neNu

Для того, чтобы сформулировать аксиому А, нам потребуется еще одно определение.

Определение 9. Пусть f: М —> М — гомеоморфизм многообразия М. Точка р € М называется неблуждающей для f, если для любого открытого множества U С М, р U найдется такое число п € N, что fn{U) П U ф 0. Множество всех неблуждающих точек мы будем называть пеблуждающим множеством и обозначать через fi(/).

Обозначим через Per(f) множество периодических точек диффеоморфизма /.

Определение 10. Диффеоморфизм f удовлетворяет аксиоме А, если его неблуждающее множество Г2(/) гиперболично и множество всех периодических точек дифф>еоморфизма / плотно в нем,

Clos (Рег(/)) = П(/).

Для систем с аксиомой А С. Смейлом было доказано следующее утверждение (часто называемое "теоремой о спектральном разложении", см. [13], [14]).

Теорема 2. Если диффеоморфизм / удовлетворяет аксиоме А, то его неблуждающее множество единственным образом представимо в виде

= и • • ■ и Пт) (0.0.5)

где Г^ - компактные непересекающиеся инвариантные множества, в каждом из которых есть плотная положительная полутраектория.

Множества в представлении (0.0.5) называются базисными. Для множества К С М и точки р € М положим

сИз^р,.^) = т£ (сН. чек

Определим для базисного множества Г^ множества

= {х € М | ¿Щ/к(х), ПО —» 0, А; —>• оо},

И^П) = {хеМ | -> 0, к оо}.

Данные множества являются аналогами устойчивых и неустойчивых многообразий отдельных траекторий.

Пусть - два различных базисных множества диффеоморфизма /, удовлетворяю-

щего аксиоме А. Будем писать Л, —» если

\Уи(Пг) П ф 0.

В дальнейшем нам потребуется следующее определение.

Определение 11. Пусть диффеоморфизм / удовлетворяет аксиоме А. Будем говорить, что у диффеоморфизма / есть 1 -цикл, если существует такое базисное множество Г2 что

Будем говорить, что у диффеоморфизма / есть к-цикл (к > 1), если существуют такие к

различных базисных множеств ..., что

-»■----► ^ ->

Наконец, будем говорить, что диффеоморфизм / удовлетворяет условию отсутствия циклов, если у него нет к-циклов с к > 1.

Сформулируем определение Г2-устойчивостого диффеоморфизма. Для этого нам понадобится ввести понятие Г2-сопряженности двух диффеомофризмов

Определение 12. Будем говорить, что диффеоморфизмы /,д: М —> М П-сопряжслш, если найдется такой гомеоморфизм Н: —У &(д), что для всех х € выполнено соотно-

шение

Ц/(х ))=д(к(х)).

Определение 13. Будем говорить, что диффеоморфизм М М многообразия М является П-устойчивъш, если существует такая окрестность ТУ диффеоморфизма в С1 -топологии, что любой диффеоморфизл1 д е \¥ П-сопряжен с /.

Определение 14. Пусть М,Ы — метрические пространства. Будем говорить, что гомеоморфизмы /: М М и д: N —> N топологически сопряжены, если ■найдется такой гомеоморфизм К\ М N, что для всех х <Е М выполнено соотношение

Н/(х)) = д(11(х)).

Определение 15. Будем говорить, что диффеоморфизм /: М М многообразия М является структурно устойчивым, если существует такая окрестность IV диффеоморфизма в С1-топологии, что любой диффеоморфизм д е IV топологически сопряжен с /.

Отметим, что выполнена следующая теорема (см. [13], [15]).

Теорема 3. Диффеоморфизм / Г2-устойчив тогда и только тогда, когда / удовлетворяет аксиол1е А и условию отсутствия циклов.

Рассмотрим диффеоморфизм /: М —> М, удовлетворяющий аксиоме А. Пусть q,p Е и предположим, что х € У/и{р)С\\\гз(ц). По теореме 1, поскольку П(/) гиперболично, найдутся такое число а > 0 и такие числа п,т е К, что /_"(х-) е И^(/~п(д)) и /т(ж) е И^(/т(р)). Будем говорить, что неустойчивое многообразие Иги{р) и устойчивое многообразие И^д) трансе ер сальны в точке х, если х - точка трансверсального пересечения многообразий Г(ВД<7)) 11 /-ш(^а(р))- Будем говорить, что неустойчивое многообразие И^"(р) и устойчивое многообразие трансверсаль7ш, если они трансверсальны во всех точках пересечения.

Определение 16. Пусть диффеоморфизм /, удовлетворяет аксиоме А. Буделс говорить, что / удовлетворяет строгому условию трансверсальности, если для любых точек рд € Г2(/) 'неустойчивое многообразие \Уи{р) и устойчивое многообразие трансверсальны.

Как уже отмечалось во введении, выполнена теорема.

Теорема 4. Пусть /: М —» М — диффеоморфизм гладкого замк}1утого рима'нова многообразия. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:

(1) / удовлетворяет аксиоме А и строгому условию трансверсальности;

(2) / структурно устойчив;

(3) / обладает липшицевым свойством отслеживания.

Доказательство содержится в работах [1-5]. Нам также потребуется следующее определение.

Определение 17. Будем говорить, что диффеоморфизм / является диффеоморфизмом Аносова, если все многообразие М является гиперболическим множеством.

Отметим, что диффеоморфизмы Аносова являются структурно устойчивыми (см. [16]).

Глава 1

Отслеживание для систем с аксиомой А

В данной главе исследуется связь между свойством отслеживания и типами пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий дискретных динамических систем размерности 3, удовлетворяющих аксиоме А.

Отправной точкой для данного исследования послужила работа [6], где рассматривается тот же вопрос для двумерных систем. В ней было введено свойство С0-трансверсальности пересечения двух кривых на плоскости (или, более общо, на двумерном многообразии) и основным результатом было утверждение, что для двумерных динамических систем, удовлетворяющих аксиоме А, свойство отслеживания эквивалентно С°-трансверсалыюсти пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий (см. также [7]).

Отметим также работу [10], в которой сформулировано общее определение С°-трансверсальности и доказано, что для случая кривых на двумерном многообразии оно совпадает с определением, предложенным в [6].

В данной главе мы показываем, что сформулированное нами определение С°-трансвер-сальности не является необходимым для свойства отслеживания: мы построим пример трехмерной системы с аксиомой А, обладающей свойством отслеживания, у которой пересекаются одномерное устойчивое и одномерное неустойчивое многообразия гиперболических неподвижных точек.

1.1 Базовые понятия и определения

В этом разделе мы напомним определение С°-трансверсальности двух непрерывных отображений топологических пространств в многообразие, предложенное в работе [10], и определим условие С°-трансверсалыюсти для диффеоморфизма гладкого многообразия, удовлетворяющего аксиоме А.

Пусть (М, (Иэ^ — гладкое замкнутое связное многообразие с римановой метрикой (1181, а А — топологическое пространство.

На пространстве всех непрерывных отображений из А в многообразие М (которое мы будем обозначать через С(А,М)), введем С°-равномерную метрику, заданную по правилу:

для /ь/2 е С(А, М)

I /1: /21 с° = йир^^/!^),/^))).

хЕА

Определение 18. Пусть 5 > О, А,В — топологические пространства, и а С А, IIв С В

— произвольные подмножества, и пусть даны два непрерывных отображения : А М, Ь-2 В —> М. Вуделг говорить, что пересечение /11 (/Уд) П /¿2(£/в) 5-существенно, если для любых непрерывных отображений

/¿1: А М, /Г2: В -> М,

таких что |/г.^,Лг^(с° < ^ |Л-2,^2|с0 < выполнено

Ь1(иА)Пк2(ив)ф0.

Определение 19. Пусть вновь А,В — топологические пространства, : А —> М, /12: В —» М — непрерывные отображения, и пусть точки а Е А, Ь Е В таковы, что (а) = Будем говорить, что в паре точек (а,Ь) отображения и /¿2 С0-трансверсальны, если для любых открытых множеств и {а) С А, 11(Ь) С 5, таких что а Е и [а), Ь Е и(Ь), найдется такое 6 > 0, что пересечение /^([/(а)) П (и(Ь)) 5-существенно.

Наконец, дадим определение С-трансверсальности двух отображений.

Определение 20. Пусть А,В — топологические пространства, а : А —> М, Д2: В —> М

— непрерывные отображения. Будем говорить, что и /г2 С0-трансверсальны, если для любых точек а Е А, Ь Е В, таких что (а) = /г2(&), отображения и /12 С°-трапсверсальны в паре точек (а,Ь).

Ясно, что данное нами определение С°-трансверсальности двух отображений не зависит от римановой метрики на многообразии М. В частном случае, когда А, В С. М, нам будет удобно ввести еще одно определение.

Определение 21. Пусть А, В С М, АГ\В ф 0. Мы будем говорить, что в точке р Е ЛП5 А пересекается с В С°-трансверсалыю, если отображения вложения г а '■ А —>■ М, 1а{х) = х, иг в'- В —> М, гв{х) = х, С°-трансверсальны в паре точек (р,р).

Отметим также, что из теоремы о трансверсальности (см. [17]) и возможности аппроксимации непрерывных отображений гладкими (также см. [17]) вытекает следующее утверждение.

Утверждение 2. Пусть А, В — гладкие связные многообразия, /: А —> М, д: В —» М

— непрерывные отображения. Если найдется такая пара точек (а,Ь), а Е А,Ь Е В, что отображения /ид С0-трансверсальны в (а,Ь), то dim(v4) + dim(.B) > dim(M).

1.2 Условие С0-трансверсальности для систем с аксиомой А.

В дальнейшем мы будем предпологать, что М — замкнутое связное гладкое риманово многообразие, /: М —> М — диффеоморфизм, удовлетворяющий аксиоме А. Через Г2(/) будем обозначать неблуждающее множество /.

По теореме 1 об устойчивом многообразии найдется такое а > 0, что через каждую точку р е П(/) проходят устойчивое W^{p) и неустойчивое W^{p) многообразия размера а, т.е.

Waip) = expp(graph др),

где ехрр — экспоненциальное отображение в точке р £ М, др: Ер(а) —> Ер(а) — С1-гладкое отображение, константа Липшица Lip(gp) < 1, <?р(0) = О, D^p(0) = 0, a graph др = {{v,gp(v)) | v £ ££(«)}, и аналогичные утверждения верны для W™{p)- В дальнейшем это число а фиксировано.

Кроме того,

ws(P)= и ГПШГ(РШ

пеШ{0} (1.2.1) w(p)= (J nw:(rn(p)))-

neNu{о}

Теперь мы сформулируем условие С°-трансверсальности для диффеоморфизма / замкнутого многообразия М, удовлетворяющего аксиоме А.

Пусть диффеоморфизм / удовлетворяет аксиоме A, p,q Е ii(/), и существует х € Ws(p) П Wu(q). Через п~(х) и п+(х) будем обозначать наименьшие натуральные числа, удовлетворяющие соотношениям

Гп-<-х\х) eW2(f-n-M(q)),

Отметим также, что

X е fn-(x)(WZ(rn-M(q))) n Гп+(х)( Wn+(B)(p))).

Определение 22. Будем говорить, что диффеоморфизм f удовлетворяет условию С°-трансверсальиости, если любая точка х G Ws(p) П Wu(q), где p,q £ яв-

ляется

С0 -трансверсальной точкой пересечения многообразий n~^(q))) и

Отметим, что в случае dimM = 2 наше определение системы с аксиомой А, удовлетворяющей условию С°-трансверсальности, совпадает с предложенным в [6].

1.3 Основной результат

Мы докажем следующее утверждение.

Теорема 5. Существует С1-гладкий диффеоморфизм f: М М гладкого 3-многообразия М, удовлетворяющий следующим условиям:

(1) / удовлетворяет аксиоме А;

(2) найдутся такие две неподвижные гиперболические точки Р\,Р2, что Wu(p\) П Ws(p2) ф 0, dim(Wu(Pl)) = dim(V7s(p2)) = 1;

(3) f обладает гелъдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдера

Приведенная ниже иллюстрация (рисунок 1) показывает общий вид пересечения одномерных многообразий: неустойчивое многообразие точки pi наматывается на устойчивое многообразие точки р2 подобно спирали, делая бесконечное число витков при приближении к точке пересечения.

Рисунок 1.1: Схематичное изображение пересечения неустойчивого и устойчивого

многообразий точек р\ и р2.

Отметим также, что наиболее интересным случаем поведения псевдотраектории является тот, в котором псевдотраектория близко подходит к точке пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий. В этом случае отследить ее удается именно из-за эффекта спиралевидного пересечения многообразий.

Доказательство мы разобьем на две части. Вначале мы построим локальный диффеоморфизм (т.е. зададим систему на открытом подмножестве в Ж3), затем докажем, что построенная система обладает сформулированным нами свойством отслеживания, и продемонстрируем, как можно вложить построенное нами отображение в диффеоморфизм трехмерного многообразия б"1 х £2, где под 5" мы имеем в виду сферу размерности i.

1.4 Локальная конструкция

Для точки р € М3 ее координаты будем записывать в виде:

Р = [Рх,Ру,Рг)-

Для пары чисел (а,Ь) е К2 положим

\(а,Ь)\ = (а2 + Ь2)К

для тройки чисел (а,Ь,с) 6 М3

\(а,Ь,с)\ = (а2 + Ъ2 + с2)1*.

Для точки р Е К3, и чисел а > 0, /3 > 0 положим

Т(р,а,Р) = {д € Е3 | \дх-рх\ < а,\(ду,дг) - (ру,рг)\ < ¡3}.

(1.4.1)

Ясно, что существует такая С°°-функция д\ \ [—1,9] —»■ [—3,8|], что:

- р^"1 существует и также принадлежит классу С°°;

- д1 (х) = Зх для х € [-1,1],

- дг(х) = х + 2 для х е [1 + ^,5],

- д1 (х) = 1(ж - 8) + 8 для х в [5 + Зи, 9],

- д\(х) — х > 0 для х е (0,8),

Такая функция д\ является строго монотонной на промежутке (0,8), имеет в точности две неподвижные точки х — 0 и х = 8, причем первая является гиперболической отталкивающей, вторая гиперболической притягивающей.

Пусть х- [ОД] —> [0,1] — строго монотонная гладкая функция, х(0) = 0, х(1) = х'(0) = Х'(1) = 0, и пусть ¡л: [—1,1] —>■ [ОД] — такая функция класса С°°, что

где

(1.4.2)

V I [-1+^1-4= 1

М 11-1,-1+5]= 0,

Далее мы построим отображение : I —> К2, где

I = (-1,9) хМхЁСЙ3.

Опишем неформально общий вид этого отображения. При каждом фиксированном х € (—1,9) отображение

(у,г) Ь.1{х,у,г)

является обратимым линейным изоморфизмом пространства К2, причем при х, близких к точке 0, оно является сжатием, а при х, близких к 8, растяжением. При фиксированных (у,г) 6 М2 и при значениях х, пробегающих (3,5), образ Ь,\{х,у,г) является спиралью с центром в точке (у,г).

Зададим отображение следующей формулой: Ы(ж,у,г) = {\у,\г) для х 6 [—1,1],

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Петров, Алексей Алексеевич, 2015 год

Список литературы

1. Mane R. A proof of the С1 stability conjecture // Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. — 1988. - № 66. - C. 161-210.

2. Pilyugin S. Yu., Tikhomirov S. Lipschitz shadowing implies structural stability // Nonlinearity. — 2010. - T. 23, № 10. - C. 2509-2515.

3. Robinson C. Structural stability of C1 diffeomorphisms //J. Differential Equations. — 1976.

- T. 22, № 1. - C. 28 73.

4. Palmer K., Pilyugin S. Yu., Tikhomirov S. Lipschitz shadowing and structural stability of flows // J. Differential Equations. — 2012. — T. 252, № 2. - C. 1723-1747.

5. Pilyugin S. Yu. Shadowing in dynamical systems. — Springer-Verlag, Berlin, 1999. — T. 1706 из Lecture Notes in Mathematics. — C. xviii+271.

6. Sakai K. Shadowing property and transversality condition // Dynamical systems and chaos, Vol. 1 (Hachioji, 1994). - World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1995. - C. 233-238.

7. Pilyugin S. Yu., Sakai K. C° transversality and shadowing properties // Tr. Mat. Inst. Steklova. - 2007. - T. 256, № Din. Sist. i Optim. — C. 305-319.

8. Петров А. Отслеживание в случае нетрансверсального пересечения // Алгебра и Анализ.

- 2015. - Т. 27, № 1. - С. 149-177.

9. Lewouiicz J. Lyapunov functions and topological stability //J. Differential Equations. — 1980.

- T. 38, № 2. - C. 192-209.

10. Petrov A. A., Pilyugin S. Yu. Multidimensional C° transversality // J. Math. Anal. Appl. — 2015. - T. 424, № 1. — C. 696-703.

11. Petrov A. A., Pilyugin S. Yu. Shadowing near nonhyperbolic fixed points 11 Discrete Contin. Dyn. Syst. - 2014. - T. 34, № 9. - C. 3761-3772.

12. Петров А. Отслеживание в окрестности сепаратрисы // электронный журнал "Дифференциальные Уравнения и Процессы Управления". — 2013. — № 3.

13. Smale S. Differentiable dynamical systems 11 Bull. Amer. Math. Soc. — 1967. — T. 73. — C. 747-817.

14. Pilyugin S. Yu. Spaces of dynamical systems. — De Gruyter, Berlin, 2012. — T. 3 из De Gruyter Studies in Mathematical Physics. — C. xvi+229.

15. Palis J. On the С1 Q-stability conjecture // Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. — 1988. — № 66. - С. 211-215.

16. Katok A., Hasselblatt B. Introduction to the modern theory of dynamical systems. — Cambridge University Press, Cambridge, 1995. — T. 54 из Encyclopedia of Mathematics and its Applications. — C. xviii+802. — With a supplementary chapter by Katok and Leonardo Mendoza.

17. Hirsch M. Differential topology. — Springer-Verlag, New York, 1994. — T. 33 из Graduate Texts in Mathematics. — C. x+222. — Corrected reprint of the 1976 original.

18. Kennedy J., Yorke J. Shadowing in higher dimensions // Differential equations, chaos and variational problems. — Birkhâuser, Basel, 2008. — T. 75 из Progr. Nonlinear Differential Equations Appl. — C. 241-246.

19. Petrov A. A., Pilyugin S. Yu. Lyapunov functions, shadowing and topological stability // Topol. Methods Nonlinear Anal. - 2014. T. 43, № 1. - C. 231-240.

20. Walters P. On the pseudo-orbit tracing property and its relationship to stability // The structure of attractors in dynamical systems (Proc. Conf., North Dakota State Univ., Fargo, N.D., 1977). — Springer, Berlin, 1978. — T. 668 из Lecture Notes in Math. — C. 231-244.

21. Hurley M. Combined structural and topological stability are equivalent to Axiom A and the strong transversality condition // Ergodic Theory Dynam. Systems. — 1984. — T. 4, № 1. — C. 81-88.

22. de Melo W. Moduli of stability of two-dimensional diffeomorphisms // Topology. — 1980. Vol. 19, no. 1. - Pp. 9-21.

23. Пламеневская О. Слабое отслеживание для двумерных диффеоморфизмов // Вестиик С.-Петерб. ун-та. Вып. 1. 1999. — С. 49-56.

24. Tikhomirov S. Holder shadowing on finite intervals // Ergodic Theory and Dynamical Systems. - 2015. - 3. - T. FirstView. — C. 1-17.