Действия групп на комплексных многообразиях и гипотеза о расширенной трубе будущего тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Чжоу Щань-Юй

• Чжоу Щань-Юй
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Чжоу Щань-Юй

Введение

Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

Глава I. Теория пространств Штейна

1.1. Голоморфно отделимые комплексные пространства

1.2. Голоморфно полные комплексные пространства

1.3. Голоморфно выпуклые комплексные пространства

1.4. Пространства Штейна: определение и примеры

1.5. Пространства Штейна: теоретико-функциональные аспекты

1.6. Пространства Штейна: геометрические и топологические аспекты

1.7. Области голоморфности в Сп

1.8. Некоторые классические задачи из теории пространств Штейна

Глава II. Многообразия Штейна с голоморфными группами преобразований

2.1. Действия групп на многообразиях

2.2. Общие сведения о группах и алгебрах Ли

2.3. Однородные и симметрические пространства

2.4. Теорема о срезе

Часть II. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ИДЕИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ

Глава III. Гипотеза о расширенной трубе будущего

3.1. Расширенная труба будущего

3.2. Гипотеза о расширенной трубе будущего и ее матричная формулировка

3.3. Ядро Бергмана и насыщенные области

3.4. Области Дайсона и теорема Баргмана-Холла-Уайтмана

3.5. Инвариантные области голоморфности и лемма Картана

3.6. Голоморная выпуклость 1-точечной расширенной трубы будущего

ТуреБег Ьу Дм^-ТеХ

3.7. Идея доказательства гипотезы о расширенной трубе будущего

3.8. Связь с моментным отображением

Глава IV. Дествия компактных групп на комплексных многообразиях

4.1. Инвариантные области на однородных комплексных пространствах вида Kc/Lc

4.2. Орбитальная связность, орбитальная выпуклость и оболочки голоморфности

4.3. Орбитальная выпуклость областей голоморфности, инвариантных относительно линейных действий торов

Часть III. ПОДРОБНЫЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОСНОВНЫХ

РЕЗУЛЬТАТОВ

Глава V. Доказательство гипотезы о расширенной трубе будущего

5.1. Некоторые подготовительные результаты

5.2. Некоторые свойства расширенной матричной полуплоскости

5.3. Доказательство основной теоремы

5.4. Следствия из гипотезы о расширенной трубе будущего

Глава VI. Доказательство теоремы об инвариантных областях в Kc/Lc

6.1. Предварительные сведения

6.2. Доказательство теоремы

6.3. Доказательство теоремы

Глава VII. Доказательства результатов об однолистных оболочках голоморфности

7.1. Предварительные сведения

7.2. Доказательство основного результата

7.3. Некоторые следствия

7.4. Области, инвариантные относительно действия окружности

Глава VIII. Доказательства результатов об областях голоморфности, инвариантных относительно действий торов

8.1. Предварительные сведения

8.2. Доказательство основных результатов

8.3. Некоторые следствия

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Действия групп на комплексных многообразиях и гипотеза о расширенной трубе будущего»

Многие известные проблемы пришли в математику из физики и их решение оказало стимулирующее воздействие как на математику, так и на физику. Гипотеза о расширенной трубе будущего может служить примером такой задачи. Эта гипотеза возникла естественным образом в аксиоматической квантовой теории поля почти 40 лет назад при изучении функций Уайтмана. Она изучалась многими известными физиками и математиками, включая Н.Н.Боголюбова и В.С.Владимирова в России и А.С.Уайтмана, Р.Йоста и Р.Ф.Стритера на западе. Несмотря на ее физическое происхождение, эта гипотеза относится, на самом деле, к теории функций нескольких комплексных переменных. Формулировка ее состоит в следующем: расширенная ТУ-точечная труба будущего есть область голоморфности.

Понятие "области голоморфности" является, как известно, одним из фундаментальных понятий многомерного комплексного анализа. Наше исследование показывает ее важность, не только с физической, но и с общематематической точки зрения. Мы рассматриваем ее эту гипотезу в контексте общей теории действий групп на многообразиях Штейна. В случае расширенной трубы будущего интересующая нас группа является связной компонентой единицы в группе Лоренца (это так называемая собственная группа Лоренца) и конечно, некомпактна. Действуя на комплексном пространстве Минковского С4, она оставляет инвариантной трубу будущего. Комплексификация собственной группы Лоренца (называемая комплексной собственной группой Лоренца) совпадает со связной компонентой единицы в комплексной ортогональной группе 0(4, С). Мы рассматриваем ее диагональное действие на ТУ-точечном комплексном пространстве Минковского, которое совпадает с С4ЛГ. Это пример многообразия Штейна с голоморфным действием комплексной группы Ли, которым мы занимаемся в этой работе. Для того, чтобы построить расширенную трубу будущего, нужно взять ЛГ-точечную трубу будущего, которая совпадает с прямым произведением N копий трубы будущего (заметим, что Л^-точечная труба будущего инвариантна относительно диагонального действия собственной группы Лоренца на С4ЛГ), и подействовать на нее всевозможными преобразованиями из комплексной собственной группы Лоренца. Полученная область и есть расширенная труба будущего, голоморфная выпуклость которой утверждается гипотезой.

Возвращаясь к общей теории многообразий Штейна, напомним, что такое многообразие является естественным обобщением областей голоморфности в Сп и составляет одно из наиболее фундаментальных понятий в современной теории функций нескольких комплексных переменных. Наряду с проективными алгебраическими многообразиями, они представляют собой наиболее характерные, "крайние" примеры комплексных многообразий. Наличие группы преобразований, действующей на заданном многообразии Штейна голоморфными преобразованиями, привносит в теорию штейновых многообразий дополнительную специфику. Оно является сильным ограничением на структуру рассматриваемых многообразий и позволяет полностью описать их для конкретных классов групп и действий. Имеется большое количество результатов в этом направлении, хотя они относятся в основном к компактным группам.

Имея в виду гипотезу о расширенной трубе будущего, я начал изучать подробно изучать эту тематику. Данная диссертация является результатом этой деятельности с акцентом на теорию функций нескольких комплексных переменных. Один из главных ее результатов — доказательство гипотезы о расширенной трубе будущего. Наша основная цель состоит в том, чтобы продемонстрировать, что эта гипотеза естественным образом вкладывается в теорию действий групп на многообразиях Штейна и может быть доказана применением общих методов, которые могут быть с успехом использованы и в других задачах. В добавление к главной теореме, мы доказываем несколько результатов о компактных действиях групп на многообразиях Штейна. Они указывают, в частности, на существование существенных различий между компактными и некомпактным действиями групп на комплексных многообразиях.

Диссертация состоит из восьми глав, объединенных в три части. В главах I и II мы приводим некоторые хорошо известные понятия и результаты из теории многообразий Штейна, формулируем несколько новых теорем и ряд нерешенных проблем в этой теории. Отдельно изучается случай многообразий Штейна с голоморфными группами преобразований (этому случаю посвящена целиком Гл.II). Главы I и II, объединенные в часть I, могут рассматриваться вместе как краткое изложение теории пространств Штейна. Эта часть является подготовительной по отношению к остальным главам диссертации, результатов.

Вторая часть, состоящая из глав III, IV, содержит формулировки основных результатов и идеи их доказательств. Глава III посвящена гипотезе о расширенной трубе будущего. Мы указываем основные этапы ее доказательства и выделяем главные технические трудности, возникающие при доказательстве. В главе IV приводятся результаты, относящиеся к действиям компактных групп на комплексных многообразиях. В первом ее параграфе (п.4.1) формулируется теорема об автоморфизмах инвариантных областей на однородных комплексных пространствах вида Kc/Lc, которая обобщает один из недавних результатов Джеатти-Фелса. Во втором параграфе (п.4.2) рассматривается связь между орбитальной связностью и орбитальной выпуклостью, с одной стороны, с голоморфной выпуклостью и оболочками голоморфности, с другой. Главный результат этого параграфа — теорема об однолистных оболочках голоморфности, которая обобщает одновременно несколько классических результатов и одну недавнюю теорему Тарабузи-Трапани. В третьем параграфе (п.4.3) собраны результаты об орбитальной выпуклости областей голоморфности в Сп, которые инвариантны относительно линейных представлений торов S1 х ••• х S1.

В третьей части диссертации, состоящей из четырех глав, собраны доказательства основных результатов. Глава V содержит детальное доказательство гипотезы о расширенной трубе будущего. Подробные доказательства основных результатов из главы IV собраны в главах VI-VIII.

Мне хотелось бы поблагодарить профессора B.C. Владимирова и профессора А.Г. Сергеева, которые настойчиво рекомендовали мне заняться гипотезой о расширенной трубе будущего и постоянно поддерживали во мне интерес к ней. До моего первого визита в Математический институт имени В.А.Стеклова в 1990 г. я знал очень мало об этой гипотезе. Во время моего длительного пребывания в Москве, профессор Владимиров предоставил мне несколько интересных работ на эту тему, а профессор Сергеев познакомил меня с теорией многообразий Штейна с голоморфными группами преобразований, это помогло мне проникнуть в суть проблемы. Без их пояснений и поддержки я бы никогда не обратился к этой гипотезе и не завершил ее доказательства. Я благодарен также Математическому институту имени Стеклова за гостеприимство во время моего пребывания в Москве.

ЧАСТЬ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Чжоу Щань-Юй, 1998 год

1. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Комплексный анализ-многие переменные 1, Т.7, ВИНИТИ, Москва, 1985.

2. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.Комплексный анализ-многие переменные 2, Т.8 ВИНИТИ, Москва, 1985.

3. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.Комплексный анализ-многие переменные 3, Т.9 ВИНИТИ, Москва, 1986.

4. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.Комплексный анализ-многие переменные 4, Т.10 ВИНИТИ, Москва, 1986.

5. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.Комплексный анализ-многие переменные 5, Т.54 ВИНИТИ, Москва, 1990.

6. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.Комплексный анализ-многие переменные 6, Т.69 ВИНИТИ, Москва, 1991, е<1з.Ьу \¥.Ваг1;11, Н^агавнпЬап.

7. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.Комплексный анализ-многие переменные 7, Т.74, ВИНИТИ, Москва, 1994.

8. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Алгебраическая геометрия 1, Т.23, ВИНИТИ, Москва, 1988.

9. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Алгебраическая геометрия 2, Т.35, Фундаментальные направления. ВИНИТИ, Москва,1989.

10. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Алгебраическая геометрия 3, Т.36, ВИНИТИ, Москва, 1989.

11. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Алгебраическая геометрия 4, Т.55, ВИНИТИ, Москва, 1989.

12. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Группы Ли и алгебры Ли 1, Т.20, ВИНИТИ, Москва, 1988.

13. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Группы Ли и алгебры Ли 2, Т.21, ВИНИТИ, Москва, 1988.

14. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Группы Ли и алгебры Ли 3, Т.41, ВИНИТИ, Москва,1990.

15. Y. Matsushima: Selected papers, Series in Pure Math.15, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1992.

16. D. McDuff, D. Salamon: Introduction to symplectic topology. Oxford Science Publications, 1995.

17. D. McDuff, D. Salamon: J-holomorphic curves and quantum cohomology, 1994.

18. J. Milnor: On spaces having the homotopy type of a CW-complex, Trans. Amer. Math. Soc., vol 90(1959), 272-280.

19. J. Milnor: Morse theory, Princeton University Press, Princeton, 1963.

20. J. Milnor, J. Stasheff: Charateristic classes. Princeton University Press, 1974.

21. N. Mok: Metric rigidity theorems on Hermitian locally symmetric manifolds. World Scientific Publishing Co., 1989

22. N. Mok: Rigiditity of holomorphic self-mappings and the automorphism groups of hyperbolic Stein spaces, Math.Ann., vol 266(1984), 433-447.

23. N.Mok, S.T.Yau: Completeness of the Kahler-Einstein metric on bounded domains and the characterization of domains of holomorphy by curvature conditions, Proc.Sympo.Pure Math. Vol.39(1983), Part 1, 41-59.

24. D. Montgomery, L. Zippin: Topological transformation groups. Wiley, 1955.

25. J. Morrow, K. Kodaira: Complex manifolds, Holt Reinehart & Winston, 1971.

26. R. Mosher, M. Tangora: Cohomology operations and applications in homotopy theory. Harper & Row, 1968.

27. D. Mumford, J. Fogarty, F. Kirwan: Geometric invariant theory, third enlarged edition, Springer-Verlag, 1994.

28. A. Nadel: Semisimplicity of the group of biholomorphisms of the universal covering of a compact complex manifold with ample canonical bundle, Ann.of Math. (2) 132(1990), no.l, 193-211.

29. R. Narasimhan: On the homology group of Stein spaces, Invent.Math., vol 2(1967), 377-385.

30. R. Narasimhan: Several complex variables, Univ.of Chicago, Chicago, 1971.

31. A. Neeman: The topology of quotient varieties, Ann.of Math. (2) 103(1985), 419-459.

32. L. Ness: A stratification of the null cone via the moment map, Amer. J. Math. 106(1984), no.6, 1281-1329.

33. J. Noguchi: Some topics in Nevanlina theory, hyperbolic manifolds and Diophantine geometry, in "Geometry and analysis on complex manifolds", World Scientific, 1994.

34. J. Noguchi, T. Ochiai: Geometric function theory in several complex variabless, AMS, Providence, Rhode Issland, 1990.

35. K. Oka: Collected papers, with comments by H. Cartan. Springer-Verlag, 1984.

36. T. Ohsawa: Complete Kahler manifolds and function theory, Sugaku 38(1986), no.l, 15-29.

37. R.M. Range: Holomorphic functions and integral representations in several complex variables. GTM 108, Springer-Verlag, 1986.

38. R. Remmert, K. Stein: Eigentlische holomorphe Abbildungen, Math.Z. vol 73(1960), 159-189.