Применение топологических методов к задачам продолжения аналитических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Немировский, Стефан Юрьевич

• Немировский, Стефан Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Немировский, Стефан Юрьевич

Введение

1 Области голоморфности и псевдовыпуклость

2 Инварианты Зайберга - Виттена и гипотеза Тома

3 Оболочки голоморфности вещественных поверхностей 34 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение топологических методов к задачам продолжения аналитических функций»

Одним из основных вопросов теории функций на комплексных многообразиях является нахождение геометрических и топологических условий, при выполнении которых на многообразии существуют или не существуют непостоянные голоморфные функции. Простейший пример доставляет условие компактности: по принципу максимума все голоморфные функции на компактном многообразии постоянны.

В начале 90-х годов А. Г. Витушкиным в связи с проблемой обращения полиномиальных отображений в С2 была сформулирована следующая задача.

Гипотеза (А) Если вложенная двумерная сфера в СР2 гомологична проективной прямой, то любая голоморфная в окрестности этой сферы функция постоянна.

В условиях этой гипотезы индекс пересечения вложенной сферы с проективными прямыми равен 1. Таким образом, рассматриваемая сфера пересекает бесконечность при любом выборе проективных координат. Иначе говоря, окрестность такой сферы нельзя поместить ни в какую аффинную часть СР2.

Если взять в качестве сферы саму проективную прямую то утверждение гипотезы становится очевидным. Действительно, голоморфная в окрестности Ь функция постоянна на Ь и на любой близкой прямой. Но все эти прямые пересекаются друг с другом, следовательно, эта функция постоянна на некотором открытом множестве, а значит, вообще постоянна.

На самом деле, это обоснование гипотезы Витушкина несколько обманчиво. Предложенное рассуждение проходит для любой (подвижной) комплексной кривой Ь С X с положительным индексом самопересечения на комплексной поверхности. Но в работе автора [7] были построены вещественные поверхности с большим количеством голоморфных функций в окрестности, являющиеся тем не менее деформациями таких комплексных кривых на рациональных поверхностях (см. п. 3.1 диссертации).

Первый важный шаг в направлении доказательства гипотезы (А) был сделан в 1994 г. Ивашковичем и Шевчишиным [19]. Предложенный ими подход опирался на теорию псевдоголоморфных кривых М. Громова. В упрощенным виде его можно описать следующим образом.

Предположим, что 5 С СР2 — симплектическая сфера, т. е. ограничение формы Фубини-Штуди а;р5|5 > 0. Это условие выполнено, например, для С1-малых вещественных шевелений проективной прямой. Рассмотрим окрестность II Э 5. Можно показать, что существует непрерывное семейство почти комплексных структур Ь 6 [0,1] на многообразии СР2 со следующими свойствами:

1) — это стандартная интегрируемая структура;

2) сфера 5 является Л-голоморфной кривой;

3) все структуры подчинены форме т. е. сь>лг$(£, > 0, \/£ ф 0;

4) {Jt ф «70} С С и для любого t > 0.

Идея состоит в построении непрерывного семейства /¿-голоморфных сфер St■ Ясно, что тогда ¿о — это просто проективная прямая. Кроме того, "вылезающие" из II части кривых St дадут семейство голоморфных (в обычном смысле в силу условия 4)) пленок, вдоль которого можно будет продолжать голоморфные функции. Тем самым, любая голоморфная функция на II аналитически продолжается в окрестность проективной прямой, откуда следует утверждение гипотезы Витушкина для симплек-тических сфер.

В построении нужного семейства основную роль играет условие 3), позволяющее применять теорему компактности Громова, и топологическое условие с^СР2) • [5] > 0, позволяющее продолжать семейство St при малых изменениях параметра I.

Метод Ивашковича и Шевчишина на самом деле позволяет доказать существование рациональной кривой в оболочке голоморфности (или мероморфности) любой симплектической сферы б' на кэлеровой поверхности X при условии, что значение первого класса Черна С\{Х) • [5] > 0.

В работе автора [7] было показано, что возникающее топологическое условие Ci(X) • [С] > 0 действительно необходимо для постоянства всех голоморфных функций в окрестностях вещественных деформаций комплексной кривой С на комплексной поверхности X. А именно, если это условие не выполняется, то существуют изотопные С вложенные вещественные поверхности, имеющие штейновы окрестности, что очевидным образом гарантирует существование непостоянных голоморфных функций (см. теорему 3.1 и следующее за ней обсуждение).

A.B. Домрин предложил рассмотреть частный случай гипотезы Ви-тушкина, когда вложенная сфера получается из проективной прямой шевелением в конечной части пространства С2. В таком виде гипотеза (А) следовала бы из обобщенного варианта классической леммы Хартогса.

Гипотеза (В) Пусть f : А —> С — непрерывная функция в замкнутом единичном круге А, не превосходящая по модулю единицы. Рассмотрим в С2 с координатами z,w множество

Df = {(zj(z)) | \z\ < 1} U {(z,w) | \z\ = 1, \w\ < 1}, то. е. объединение графика f и "боковых по z" стенок единичного би-диска.

Тогда любая голоморфная в окрестности Df функция голоморфно продолжается в окрестность всего бидиска.

Стандартная фигура Хартогса получается из множества если / = 0 (или, чуть более общим образом, если / € Ö(A)).

Е. М. Чирка в работе [9] доказал гипотезу (В) с помощью метода Ивашковича - Шевчишина. Оказалось, что построение нужного семейства псевдоголоморфных кривых сводится в этой ситуации к решению нелинейного <9-уравнения в С. Фактически, в этой работе Чиркой было доказано более общее утверждение об оболочках голоморфности графиков отображений / : СР1 —> У сферы Римана в некомпактные римановы поверхности.

Содержание диссертации составляет полученное автором в [8] полное доказательство гипотезы Витушкина (теорема 3.3), а также основанное на предложенном в [8] новом методе дальнейшее развитие результатов Чирки (теорема 3.5) и теоремы Ивашковича - Шевчишина об оболочках голоморфности вещественных поверхностей в СР1 х СР1 (теорема 3.4). Эти результаты изложены в третьей главе диссертации

Использованный автором в [8] подход основан на теории уравнений и инвариантов Зайберга - Виттена (см. главу 2). В частности, мы используем результаты этой теории, полученные Кронхаймером - Мрувкой [20] и Морганом - Сабо - Таубсом [25], доказавшими известную гипотезу Р. Тома. А именно, ими было установлено, что минимум рода вещественной поверхности, реализующей данный класс гомологий в комплексной алгебраической поверхности, достигается на неособых алгебраических кривых. Идея о существовании связи между этими результатами и гипотезой (А) принадлежит А. Г. Витушкину.

Указанные выше результаты диссертации получены одним и тем же методом. Проиллюстрируем его, отметив основные моменты доказательства гипотезы (А).

Рассмотрим вложенную ориентированную вещественную поверхность 5 С СР2 рода д и степени (1 > 0. Степенью мы называем индекс пересечения 5 с проективной прямой.

Предположим, что в окрестности v э 5 имеется непостоянная голоморфная функция. Рассмотрим оболочку голоморфности и Э 11 этой окрестности. Согласно результатам Р. Фуджиты и А. Такеучи (теорема 1.2) многообразие V является многообразием Штейна, и потому допускает собственное голоморфное вложение в С*

В окрестности поверхности 5 многообразие С/ С См можно по теореме Стаута - Лемперта (теорема 1.5) аппроксимировать алгебраическим многообразием. Таким образом получается вложение окрестности и Э 5 в аффинную часть проективной поверхности У.

Важное наблюдение состоит в том, что у нас имеется дополнительное топологическое условие на У. А именно, число Ь+(У) положительных квадратов в форме пересечения на Н2(У,И) строго больше 1. Действительно, два класса — класс [5] и класс [Н] пересечения с бесконечностью — ортогональны и имеют положительные индексы самопересечения.

В этой ситуации при доказательстве гипотезы Тома (см. [25]) было получено неравенство

52 + |с1(У)-[5]|

Подробнее об этом см. теорему 2.12 диссертации.

В нашем случае S2 = сР и ci(Y) • [S] = Ci(U) • [5] = 3d, и потому

9> ^(d2 + 3d + 2).

Таким образом, поверхность S не может быть сферой, что и доказывает гипотезу (А).

В действительности, мы получили оценку на род вложенной поверхности в СР2, в окрестности которой могут быть непостоянные голоморфные функции. Эта оценка является точной в том смысле, что если она выполнена, то существует С°-малое шевеление S с непостоянными голоморфными функциями в окрестности.

Центральным моментом нашего рассуждения является доказательство варианта гипотезы Тома, т. е. неравенства (*), для вложенных вещественных поверхностей в штейновых (или строго псевдовыпуклых) областях на комплексных поверхностях (теорема 3.2). Впервые утверждение такого типа получил, по-видимому, Элиашберг (см. обзор [1]). Однако в его работах использовалась совершенно другая техника и рассматривались только вещественные поверхности, содержащиеся в строго псевдовыпуклых границах.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В. К. Белошапке за постоянное внимание к работе и академику РАН А. Г. Витушкину за постановку задачи и многочисленные ценные советы. Автор также признателен к.ф.-м.н. A.B. Домрину, д.ф.-м.н. С.М. Ивашковичу, к.ф.-м.н. Н.Г. Кружилину, проф. А. Г. Сергееву, д.ф.-м.н. Е.М. Чирке и к.ф.-м.н. В. В. Шевчишину за полезные обсуждения затрагиваемых в диссертации тем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Немировский, Стефан Юрьевич, 1998 год

1. Беннекен Д. Симплектическая топология, голоморфная выпуклость и контактные структуры (по Я. Элиашбергу, Д. МакДафф и др.). — Труды семинара Н. Бурбаки за 1990 г., с.212-242. — М.: Мир, 1996

2. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. — М.: Мир, 1969

3. Грауэрт Г. Модификации и исключительные аналитические пространства. — Комплексные пространства, с.205-299. — М.: Мир, 1965

4. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1982

5. Мальгранж Б. Лекции по теории аналитических функций нескольких комплексных переменных. — М.: Наука, 1969

6. Немировский С.Ю. Строго псевдовыпуклые области и алгебраические многообразия. — Мат. Заметки, 1996, 60, с.414-422

7. Немировский С.Ю. Штейновы области на алгебраических многообразиях. — Мат. Заметки, 1996, 60, с.295-298

8. Немировский С.Ю. Голоморфные функции и вложенные вещественные поверхности. — Мат. Заметки, 1998, 63, с.599-606

9. Чирка Е.М. Обобщенная лемма Гартогса и нелинейное д-уравнение. — Комплексный анализ в современной математике, сб. поев. Б. В. Шабату, с.19-30. — М.: Фазис, 1998

10. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. Т. 1,2. — М.: Наука, 1986

11. Fabre В. Intersections of an algebraic curve with algebraic hypersurfaces. — Compt. Rend, de l'Ac. des Sciences, 1996, 322, p.371-376

12. Forstneric F. Complex tangents of real surfaces in complex surfaces. — Duke Math. J., 1992, 67, p.353-376

13. Fujita R. Domaines sans point critique intérieur sur l'espace projectif complexe. — J. Math. Soc. Japan, 1963, 15, p.443-473

14. Fujita R. Domaines sans point critique intérieur sur l'espace produit. — J. Math. Kyoto Univ., 1965, 4, p.493-514

15. Grauert H., Remmert R. Coherent analytic sheaves. — N.Y.: Springer, 1984

16. Harlamov V. M., Eliashberg Ya. On the number of complex points of a real surface in a complex surface. — Proceedings of the International Topological Conference held in Leningrad, 1982. Lecture Notes in Math. 1060, p.143-148. — Berlin: Springer, 1983