Синтез и моделирование дискретных автоколебательных и нелинейных резонансных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Зайцев, Олег Валерьевич

• Зайцев, Олег Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зайцев, Олег Валерьевич

Введение.

Глава 1. Метод импульсной инвариантности для дискретных нелинейных систем.

1.1 Синтез дискретных систем методом импульсной инвариатности.

1.2 Колебательный контур с нелинейной емкостью и дискретный осциллятор Дюффинга.

1.3 Дискретная модель осциллятора с бистабильными состояниями равновесия.

1.4 Дискретная автоколебательная система второго порядка.

1.5 Разновидности дискретных автогенераторов.

1.6 Выводы.

Глава 2. Асимптотические методы теории нелинейных колебаний для дискретных нелинейных систем.

2.1 Численная реализация метода ММА и дискретная фильтрация сигналов.

2.2 Моделирование полигармонических автоколебаний методом ММА.

2.3 Анализ переходных процессов в дискретном осцилляторе Ван дер Поля методом ММА.

2.4 Метод усреднения для дискретных систем.

2.5 Метод многих масштабов.

2.6 Эффект самосинхронизации дискретного автогенератора. Анализ методом усреднения.

2.7 Интегральные модели и дискретные автоколебательные системы.

2.8 Выводы.

Глава 3. Хаотические колебания в дискретных нелинейных системах.

3.1 Хаотизация колебаний в дискретном осцилляторе Ван дер Поля.

3.2 Статистические характеристики хаотических автоколебаний.

3.3 Фрактальная размерность аттракторов дискретного осциллятора Ван дер Поля.

3.4 Эффект квантования сигнала как источник шума в цифровой системе.

3.5 Статистическая модель дискретного автогенератора.

3.6 Статистическое моделирование автоколебаний в дискретном осцилляторе ВдП.

3.7 Шум квантования и хаотические колебания в дискретном ОМД.

3.8 Хаотические колебания в дискретном осцилляторе Дюффинга.

3.9 Выводы.

Глава 4. Применение дискретных автогенераторов.

4.1 Детектирование ЧМ-сигнала в системе фазовой автоподстройки частоты дискретного автогенератора.

4.2 Синхронное детектирование амплитудно-модулированных сигналов.

4.3 Генерация случайных сигналов.

4.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез и моделирование дискретных автоколебательных и нелинейных резонансных систем»

Актуальность работы

За годы, прошедшие после формулировки академиком А.А. Андроновым основных представлений об автоколебательных системах [1,2] как об особом классе нелинейных диссипативных систем, способных генерировать незатухающие колебания с параметрами, не зависящими от начальных условий и определяемыми лишь свойствами самой системы, автоколебательные модели нашли широкое распространение во многих отраслях науки и техники. Представления об автоколебаниях широко используются также в моделях химических реакций [3], биологических систем [4, 5], механических конструкций [6]. Тем не менее наиболее полная и детальная теория автоколебаний сформировалась в радиофизике, где автоколебания и автоколебательные системы являются одним из центральных объектов исследований.

В радиофизике автоколебательными системами является множество различных физических источников колебаний: от генераторов на электронных лампах [7] до микроволновых и оптических квантовых генераторов [8, 9].

Введено в рассмотрение и подробно исследовано множество типов аналоговых автоколебательных систем, различающихся по физическим принципам взаимодействия колебаний с источником энергии, видам нелинейностей, структурам резонаторов. Изучены основные физические явления и эффекты, сопутствующие автоколебаниям, определены способы их практического использования.

В значительно меньшей степени сказанное относится к дискретным автоколебательным и нелинейным колебательным системам, т.е. системам, функционирующим в дискретном времени (ДВ-системам). Традиционно теория дискретных динамических систем развивается, ориентируясь на решение задач цифровой обработки и фильтрации сигналов [10-12]. При этом в подавляющем большинстве случаев исследуются лишь линейные системы [13]. Ряд исследователей, в том числе А. Оппенгейм и Р. Шафер, предложили использовать нелинейные системы для фильтрации мультипликативных сигналов [14]. Однако предложенные ими гомоморфные системы относятся к классу нелинейных трансверсальных систем, т.е. динамическими системами не являются. Преобразования сигналов, осуществляемые гомоморфными системами, аналогичны безынерционным нелинейным преобразованиям в непрерывном времени [15].

Актуальность исследования нелинейных динамических систем существенно возросла в связи с успехами цифровой электроники и микропроцессорной техники, однако и значительную часть реально существующих в естественных условиях объектов окружающей среды целесообразно исследовать в рамках дискретных временных моделей. Например, известную экологическую систему «хищник-жертва» следует проанализировать и в рамках ДВ-модели, учитывая, что системе присущи характерные временные масштабы - времена воспроизводства взаимодействующих видов. Это только один пример из множества подобных.

По формальным признакам к дискретным нелинейным динамическим системам наиболее близки точечные отображения [16], в частности, отображения Пуанкаре. Последние строятся на основе решений дифференциальных уравнений движения динамической системы (в настоящее время, как правило, численных) и служат для качественного анализа особенностей поведения исходной динамической системы в непрерывном времени. Можно также постулировать вид точечного отображения и рассматривать его как модель для описания некоторой физической ситуации [17, 18].

Следует особо отметить, что имеющиеся к настоящему времени данные указывают на то, что нелинейная дискретная система может быть сравнительно легко переведена из динамического режима в режим хаотических колебаний или автоколебаний [17]. При этом характеристики хаоса определяются динамикой системы, а не внешними шумовыми источниками с независимо заданной статистикой. Подход на основе представлений о динамическом хаосе в настоящее время обоснованно считается весьма плодотворным при вероятностной интерпретации многих явлений окружающей среды.

Проблеме хаоса в динамических радиоэлектронных системах к настоящему времени посвящено значительное число монографий (см., например, [19-21]) и большое число журнальных публикаций. Среди последних по времени отметим статьи [22, 23], посвященные хаотическим колебаниям в системах связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дюффинга. Однако до сих пор рассматривались хаотические процессы лишь в аналоговых динамических системах, в основном численными методами. Хаос в дискретных автогенераторах в литературе не описан.

Таким образом, специфика нелинейных колебаний и автоколебаний в ДВ-системах требует детального и систематического исследования на основе разработанных в радиофизике методов теории нелинейных колебаний и методами численного эксперимента.

Цель работы

Целью диссертационной работы является проведение комплекса исследований по разработке моделей нелинейных дискретных колебательных и автоколебательных систем, анализу моделей и выявлению физических эффектов, имеющих перспективу практического применения в алгоритмах цифровой обработки сигналов и измерений параметров процессов в рамках физического эксперимента.

Методы исследования

Работа выполнена на основе методов теории колебаний, математического моделирования, теории дискретных сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработки сигналов. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических расчетов.

Научная новизна работы определяется

- разработкой метода синтеза дискретных нелинейных систем по аналоговым прототипам, основанного на использовании инвариантности импульсной характеристики линейной резонансной подсистемы;

- методикой и результатами численного эксперимента с синтезированными дискретными нелинейными колебательными и автоколебательными системами;

- обобщением асимптотических методов теории нелинейных колебаний на дискретные автоколебательные и нелинейные резонансные системы с учетом эффекта подмены частот гармоник колебаний в ДВ-системах;

- разработкой общего подхода к анализу систем в непрерывном и дискретном времени на основе выявленной аналогии между интегральными моделями НВ-систем и трансверсалыюй формой ДВ-систем;

- использованием интегральных моделей аналоговых прототипов для синтеза дискретных нелинейных систем;

- обнаруженными новыми странными аттракторами дискретных осцилляторов Ван дер Поля и Дюффинга;

- статистической моделью дискретного осциллятора Ван дер Поля и описанием на ее основе эффекта хаотизации автоколебаний;

- построением алгоритмов амплитудного и частотного детектирования на основе системы фазовой автоподстройки частоты дискретного автогенератора.

Положения, выносимые на защиту

1. Метод синтеза дискретных нелинейных колебательных и автоколебательных систем по аналоговым прототипам.

2. Дискретные автоколебательные и нелинейные резонансные системы второго порядка, сохраняющие основные свойства аналоговых прототипов.

3. Результаты численного эксперимента с синтезированными дискретными нелинейными системами, в том числе, обнаруженные режимы хаотических колебаний и автоколебаний и их странные аттракторы.

4. Приближенные аналитические методы анализа динамики дискретных автоколебательных систем, учитывающие эффект подмены частот в дискретных системах.

5. Статистическая модель дискретного осциллятора Ван дер Поля.

6. Динамические алгоритмы амплитудного и частотного детектирования на основе системы фазовой автоподстройки частоты ДВ-автогенератора.

Обоснованность и достоверность результатов работы

Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов подтверждаются:

- использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа и синтеза дискретных систем;

- количественной согласованностью результатов математического моделирования и натурного эксперимента;

- соответствием приведенных результатов математического моделирования их аналогам, полученным другими авторами;

- соответствием основных результатов численного моделирования общим физическим закономерностям.

Практическая ценность работы

1. Предложенный в диссертационной работе метод синтеза дискретных нелинейных систем может найти применение при проектировании устройств нелинейной цифровой обработки и фильтрации сигналов.

2. Разработанные компьютерные методы анализа нелинейных моделей применимы к анализу характеристик нелинейных аналоговых и дискретных фильтров.

3. Разработанные динамические алгоритмы амплитудного и частотного детектирования можно использовать для обработки данных в физическом эксперименте.

4. Синтезированные дискретные автоколебательные системы в хаотических режимах могут являться генераторами случайных последовательностей при решении задач математического моделирования.

5. Система математического моделирования прохождения сигналов в импульсных каналах обмена данными предназначена для оптимизации структуры канала и определения предельно допустимых отклонений его параметров, обеспечивающих безотказное функционирование информационного комплекса

База исследования

Работа была выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на

- I международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 10-16 сентября 2001 г.);

- Всероссийской научно-технической конференции «ИСТ-2001» (г. Нижний Новгород, 2001 г.);

- Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы радиоэлектроники» (г. Красноярск, 2001 г.);

- Всероссийской научно-технической конференции «ИСТ-2002» (г. Нижний Новгород, 2002 г.);

- II международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 7-13 сентября

2003 г.);

- Всероссийской научно-технической конференции «ИСТ-2004» (г. Нижний Новгород, 2004 г.);

- II Всероссийской научно-технической конференции «Современные методы и средства обработки пространственно-временных сигналов» (г. Пенза, 25-26 мая, 2004 г.);

- III международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Волгоград, 6-12 сентября

2004 г.);

- конференции «Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века» (г. Самара, 1-5 июля 2005 г.);

- конференции «Проблемы фундаментальной физики XXI века» (г. Самара, 21-27 ноября 2005 г.).

- V международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 11-17 сентября 2006 г.).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 24 работы, в том числе 10 статей (из них 8 статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций на соискание степени доктора наук) и 14 тезисов докладов и сообщений всероссийских и региональных научно-технических конференций.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Зайцев, Олег Валерьевич

4.4. Выводы

В четвертой главе получены следующие основные результаты.

1. Разработан динамический алгоритм частотного детектирования, основанный на уравнении движения дискретного автогенератора в кольце фазовой автоподстройки частоты. Приведен пример детектирования доплеровского смещения частоты в акустическом эксперименте. Продемонстрировано хорошее соответствие результатов детектирования по предложенному алгоритму результатам, полученным с помощью традиционных методов.

2. Разработан алгоритм синхронного детектирования амплитудно-модулированных сигналов с подавленной несущей.

3. Предложено использовать режимы хаотических автоколебаний в дискретном осцилляторе Ван дер Поля для генерации случайных процессов при решении задач статистического моделирования. Показано, что на основе огибающей хаотических автоколебаний можно получить случайный телеграфный сигнал с пуассоновской статистикой переключений.

Результаты четвертой главы отражены в публикациях [14 - 18].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

1. Предложен метод синтеза дискретных нелинейных колебательных и автоколебательных систем по аналоговым прототипам.

2. Синтезирован ряд дискретных автоколебательных и нелинейных резонансных систем второго порядка. Показано, что синтезированные системы обладают основными свойствами аналоговых прототипов и поэтому могут выполнять их функции в устройствах цифровой обработки сигналов.

3. Проведено обобщение асимптотических методов теории нелинейных колебаний на дискретные автоколебательные и нелинейные резонансные системы с учетом эффекта подмены частот гармоник колебаний в ДВ-системах.

4. Разработан общий подход к анализу систем в непрерывном и дискретном времени на основе выявленной аналогии между интегральными моделями НВ-систем и трансверсальной формой ДВ-систем. Интегральные модели аналоговых прототипов предложено использовать для синтеза дискретных нелинейных систем.

5. Показано, что в дискретных нелинейных системах второго порядка -осцилляторе Дюффинга и осцилляторе Ван дер Поля - наблюдаются хаотические колебания и автоколебания. Исследованы их спектрально-корреляционные и вероятностные характеристики.

6. Обнаружены новые странные аттракторы: аттракторы хаотических колебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля и дискретного осциллятора Дюффинга.

7. Разработана статистическая модель дискретного осциллятора Ван дер Поля, и на ее основе описан эффект хаотизации автоколебаний. Показано, что шум квантования может являться причиной возникновения хаотических колебаний и автоколебаний в бистабильных цифровых системах.

8. Предложены динамические алгоритмы частотного и синхронного амплитудного детектирования, основанные на уравнении движения дискретного автогенератора в кольце фазовой автоподстройки частоты. Приведены примеры детектирования доплеровского смещения частоты в акустическом эксперименте. Продемонстрировано хорошее соответствие результатов детектирования по предложенным алгоритмам результатам, полученным с помощью традиционных методов.

9. На основе сочетания методов теории систем с распределенными параметрами и теории дискретных систем разработана система моделирования импульсных процессов в разветвленных волновых цепях, в том числе в мультиплексных каналах обмена данными информационно-измерительных комплексов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зайцев, Олег Валерьевич, 2006 год

1. К введению и главе 1

2. Андронов А.А. Предельные циклы Пуанкаре и теория автоколебаний // Собр. трудов А.А. Андронова. М.: Изд. АН СССР, 1956.

3. Андронов А.А. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. -М.: Наука, 1981.-568 с.

4. Эбелинг Э. Образование структур при необратимых процессах. М.: Мир, 1976.-280 с.

5. Романовский Ю.М. Математическое моделирование в биофизике / Ю.М. Романовский, Н.В. Степанова, Д.С. Чернавский. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований , 2004. - 472 с.

6. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 368 с.

7. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

8. Евтянов С.И. Ламповые генераторы. М.: Связь, 1967. - 384 с.

9. Лэмб У. Теория оптических мазеров. // В кн. Квантовая оптика и квантовая радиофизика.-М.: Мир, 1966.-С. 281-376.

10. Мигулин В.В. Основы теории колебаний / В.В. Мигулин, В.И. Медведев, Е.Р. Мустель, В.Н. Парыгин. М.: Наука, 1978. - 392 с.

11. Куприянов М.С. Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования / М.С. Куприянов, Б.Д. Матюшкин. СПб.: Политехника, 1999. - 592 с.

12. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы: В 2-х частях. Ч. 1, Ч. 2. М.: Мир, 1988.-336 с, 360 с.

13. Оппенгейм А. Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгейм, Р. Шафер. -М.: Техносфера, 2006. 856 с.

14. БобровскиД. Введение в теорию динамических систем с дискретным временем. Москва-Ижевск: РХД, 2006. - 360 с.

15. Оппенгейм А. Нелинейная фильтрация сигналов, представленных в виде произведения и свертки / А. Оппенгейм, Т. Шафер, Т. Стокхем // ТИИЭР. 1968. - Т. 56. - №8. - С. 5-46.

16. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, -1988.-448 с.

17. НеймаркЮ.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. - 384 с.

18. Мун Ф. Хаотические колебания. -М.: Мир, 1990. -312 с.

19. Лихтенберг А. Регулярная и стохастическая динамика / А. Лихтенберг, М. Либерман. Череповец: Меркурий-ПРЕСС, 2000. - 528 с.

20. НеймаркЮ.И. Стохастические и хаотические колебания / Ю.И. Неймарк, П.С. Ланда. М.: Наука, 1987.

21. Дмитриев А.С. Стохастические колебания в радиофизике и электронике / А.С. Дмитриев, В.Я. Кислов. М.: Наука, 1989. -280 с.

22. АнищенкоВ.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.-312 с.

23. Кальянов Э.В. Автоколебательные системы с хаотической динамикой на основе уравнений Ван дер Поля-Дюффинга /Э.В. Кальянов, В.Я. Кислов // Радиотехника и электроника. 2006. - Т. 51. - № 1. - С. 65-73.

24. Кальянов Э.В. Управляемый хаос в системе генераторов Ван дер Поля при их емкостной связи // Радиотехника и электроника. 2006. — Т. 51.— №4. - С. 437-444.

25. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968.-432 с.

26. Капранов М.В. Теория колебаний в радиотехнике / М.В. Капранов,' В.Н. Кулешов, Г.М. Уткин. -М.: Наука, 1984. 320 с.

27. Вайнштейн Л.А. Разделение частот в теории колебаний и волн / Л.А. Вайнштейн, Д.Е. Вакман. М.: Наука, 1983. - 288 с.

28. Ландау Л.Д. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. М.: Наука, 1982. - 624 с.

29. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. М.: Высшая школа, 1983. -463 с.

30. Ярив А. Квантовая электроника. М. Сов. радио, 1980. - 488 с.

31. Неганов В.А. Электродинамика и распространение радиоволн / В.А. Неганов, О.В. Осипов, С.Б. Раевский, Г.П. Яровой. М.: Радио и связь, 2005.-648 с.

32. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. -М.: Гостехиздат, 1952.

33. Берестнев Д.П. Дискретные сигналы и системы / Д.П. Берестнев, В.В. Зайцев. Самара: Изд. СамГУ, 1996. - 96 с.

34. Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн / М.И. Рабинович, Д.И. Трубецков. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика, 2000. - 560 с.

35. Бруевич А.Н. Аппроксимации нелинейных характеристик и спектры при гармоническом воздействии / А.Н. Бруевич, С.И. Евтянов- М.: Сов. радио, 1965. 344 с.

36. Уткин Г.М. Автоколебательные системы и волновые усилители. -Сов. радио, 1978. -272 с.

37. Морозов А.Д. Резонансы, циклы и хаос в квазиконсервативных системах. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика, 2005.-424 с.

38. Миляев Н.А. К теории синхронизации автогенераторов с нелинейным задающим контуром // Радиотехника. 1968. - №4. - С. 7-13.

39. Демьянченко А.Г. Синхронизация генераторов гармонических колебаний. М.: Энергия, 1976. - 240 с.

40. Дмитриев В.Г. Лазеры с активно-нелинейными средами / В.Г. Дмитриев,

41. B.А. Зенкин, Н.Е. Корниенко, А.И. Рыжков, В.Л. Стрижевский // Квантовая электроника. 1978. - Т. 5. - №11. - С. 2416-2427.

42. Дмитриев В.Г. Прикладная нелинейная оптика / В.Г.Дмитриев, Л.В. Тарасов. М.: Радио и связь, 1982. - 352 с.

43. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969.-288 с.

44. Климонтович Ю.Л. Что такое стохастическая фильтрация и стохастический резонанс // УФН. 1999. - Т. 169. - Вып. 1. - С. 39-47.

45. Зайцев О.В. Динамика автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля / В.В. Зайцев, С.В. Давыденко С.В., О.В. Зайцев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2000. - Т. 3. - N 2.1. C. 64-67.

46. Зайцев О.В. Моделирование дискретного осциллятора Ван дер Поля / О.В. Зайцев, Г.П. Яровой // Всероссийская конференция «Современные проблемы радиоэлектроники». Тезисы докладов. Красноярск, 2001. -С. 127.

47. Зайцев О.В. Численное моделирование автогенераторов с распределенными обратными связями / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев,

48. A.В. Никулин // I Международая НТК «Физика и технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов, Т.1. Самара, 2001.-С. 123-124.

49. Зайцев О.В. Механизм стохастизации колебаний в динамических системах / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев // V Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов. -Самара, 2006.-С. 316-318.

50. Зайцев О.В., Стохастические колебания в бистабилыюм осцилляторе /

51. B.В. Зайцев, О.В. Зайцев, С.С. Телегин // V Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов. Самара, 2006. - С. 320-321.1. К главе 2

52. Боголюбов Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. М.: Наука, 1974. -504 с.

53. Найфе А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. - 536 с.

54. Капранов М.В. Теория колебаний в радиотехнике / М.В. Капранов, В.Н. Кулешов, Г.М. Уткин. М.: Наука, 1984. - 320 с.

55. Медведев С.Ю. Влияние БПФ на оценку спектра / С.Ю. Медведев, М.Ю. Перов, А.В. Якимов // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 2002. - Т. 45, №3.-С. 263-269.

56. Берестнев Д.П. Численный метод исследования стационарных режимов нелинейных систем / Д.П. Берестнев, В.В. Зайцев, Г.П. Яровой // Математическое моделирование волновых процессов в электродинамических системах СВЧ. Самара: Изд. СамГУ, 1992. - С. 54-59.

57. Манаев Е.И. Основы радиоэлектроники. М.: Радио и связь, 1985. -488 с.

58. Блехман Н.И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981. -288 с.

59. Пиковский А. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление /

60. A. Пиковский, М. Розенблюм, 10. Курте. М.: Техносфера, 2003. - 496 с.

61. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении. М.: Сов. радио, 1978.-600 с.

62. Holmes P.J. Bifurcations of the forced van der Pol oscillator / P.J. Holmes, D.A. Rand // Quart. Appl. Mat. 1978. - V. 35. - P. 495-509.

63. ВольтерраВ. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. - 304 с.

64. Крылов В. И. Вычислительные методы. Том 2 / В.И.Крылов,

65. B.В. Бобков, П.И. Монастырный М.: Наука, 1977. - 400 с.

66. Оппенгейм А. Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгейм, Р. Шафер. М.: Техносфера, 2006. - 856 с.

67. Зайцев О.В. Интегральная модель дискретно-распределенной автоколебательной системы / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, В.В. Никулин // Вестник СамГУ. 2006. - №3 (43). - С. 88-93.

68. Зайцев О.В. Модели дискретно-распределенных автогенераторов на основе интегральных уравнений Вольтерра / О.В. Зайцев, В.В. Никулин, В.В. Зайцев // Сборник научных трудов «Современные проблемы радиоэлектроники». М.: Радио и связь, 2006. - С. 18-20.

69. Зайцев О.В. Интегральные модели автоколебательных систем / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, В.В. Никулин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2006. - Т. 9, №1. - С. 53-57.

70. Зайцев О.В. Метод усреднения для дискретных автоколебательных систем / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, Г.П. Яровой //1 Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов, Т. 1.-Самара, 2001.-С. 115.

71. Зайцев О.В. Особенности анализа дискретных автогенераторов методом усреднения / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, А.В. Никулин // Сборник научных трудов "Современные проблемы радиоэлектроники 2002". -Красноярск, 2002. - С. 20-22.

72. Зайцев О.В. Эффект самосинхронизации в дискретном осцилляторе Ван дер Поля / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, А.В. Никулин, Г.П. Яровой // Всероссийская НТК "Информационные системы и технологии (ИСТ-2002)". Нижний Новгород, 2002. - С.6-7.

73. Зайцев О.В. Численная реализация метода медленно меняющихся амплитуд / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, Г.П. Яровой // Всероссийская НТК "Информационные системы и технологии (ИСТ-2004)". Тезисы докладов. Нижний Новгород, 2004. - С.6-7.

74. Зайцев О.В. Метод ММА в численных моделях автоколебательных систем / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, А.В. Никулин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2004. - Т. 7. - N2. - С. 5-12.

75. Зайцев О.В. Численная реализация метода ММА и цифровая фильтрация сигналов / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, А.В. Никулин, Г.П. Яровой // Вестник СамГУ. 2004. -N 2 (32). - С. 120-130.

76. Зайцев О.В. Моделирование полигармонических автоколебаний методом ММА / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, Г.П. Яровой // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2004. - Т. 7. - N 3. - С. 31-34.1. К главе 3

77. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение // Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова. М.: Мир, 1982. -С. 88-116.

78. Рабинович М.И. Стохастические автоколебания и турбулентность // УФН.- 1978.-Т. 125.-Вып. 1.-С. 123-168.

79. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.-312 с.

80. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. -М.: Мир, 1991.

81. Морозов А.Д. Резонансы, циклы и хаос в квазиконсервативных системах. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика, 2005. -424 с.

82. Инфельд Э. Нелинейные волны, солитоны и хаос / Э. Инфельд, Дж. Роуландс. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 480 с.

83. Чириков Б.В. Резонансные процессы в магнитных ловушках // Атомная энергия. 1959. -Т. 6. №6. - С. 630-638.

84. Заславский Г.М. Введение в налинейную физику / Г.М. Заславский, Р.З. Сагдеев. М.: Наука, 1988. - 368 с.

85. Henon М. A two-dimensional mapping with a strange attractor // Comm. Math. Phys. 1976. -V. 50. - P. 69-77.

86. Энон M. Двумерное отображение со странным аттрактором // Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая и О.П. Шильникова. М.: Мир, 1981. -С. 152-163.

87. Гукенхеймер Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 560 с.

88. Holmes P.J. The Dynamics of Repeated Impacts With a Sinusoidally Vibrating Table // J. Sound Vib. 1982. - V. 84. - P. 173-189.

89. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. -М.: Мир, 1990.-312 с.

90. Кузнецов С.П. О воздействии периодического внешнего возмущения на систему, демонстрирующую переход порядок-хаос через бифуркации удвоения периода // Письма в ЖЭТФ. 1984. - Т. 39. - Вып. 3. - С. 113116.

91. Анищенко B.C. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка / Нейман А.Б., Мосс Ф., Шиманский-Гайер Л. //УФН. 1999. - Т. 169.-Вып. 1.-С. 7-38.

92. Farmer J.D., The dimension of chaotic attractors / J.D. Farmer, E. Ott, J.A. Yorke // Physica. 1983. - V. 7D. - P. 158-180.

93. Grassberger P., Characterization of strange attractors / P. Grassberger, I. Procaccia //Phys. Rev.Lett. 1983. - V. 50. - P. 346-349.

94. Оппенгейм А.В. Цифровая обработка сигналов / А.В. Оппенгейм, Р.В. Шафер. М.: Техносфера, 2006. - 856 с.

95. WidrowB. Statistical Analysis of Amplitude-Quantized Sampled-Data Systems //AIEE Transactions. 1961.- V. 81.-N 1.-P.555-568.

96. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. -496 с.

97. Анищенко B.C. Бифуркации и индуцированная внешним шумом стохастичность в лазере с нелинейным поглощением / B.C. Анищенко, М.А. Сафонова, В.В. Тучин // Квантовая электроника. 1988. - Т. 15. -№9.-С. 1885-1894.

98. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968.-660 с.

99. Анищенко B.C. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / B.C. Анищенко, В.В. Астахов, Т.Е. Владиславова, А.Б. Нейман, Г.И. Стрелкова, Л. Шимански-Гайер. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 544 с.

100. UedaY. Randomly Transitional Phenomena in the System Governed by Dufing Equation // Journal Stat. Phys. 1979. - V. 20. - P. 181-196.

101. Зайцев О.В. Динамические и стохастические режимы автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, Г.П. Яровой // Всероссийская НТК «Информационные системы и технологии». Тезисы докладов. Нижний Новгород, 2001. - С. 18-19.

102. Зайцев О.В. Статистические оценки характеристик стохастических автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, Г.П. Яровой // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2001. - Т. 4. - N 1. - С. 18-21.

103. Зайцев О.В. Механизм стохастизации колебаний в динамических системах / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев // V Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов. -Самара, 2006.-С. 316-318.

104. Зайцев О.В. Стохастические колебания в бистабилыюм осцилляторе / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, С.С. Телегин // V Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов. Самара, 2006. - С. 320-321.1. К главе 4 и приложению

105. Пиковский А., Розенблюм М., Курте 10. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. 496 с.

106. Системы фазовой синхронизации // Под. ред. В.В. Шахгильдяна и JI.H. Белюстиной. М.: Радио и связь, 1982 -288 с.

107. Шахгильдян В.В. Фазовая автоподстройка частоты / В.В. Шахгильдян, А.А. Ляховкин. -М.: Сов. радио, 1966. 512 с.

108. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении. М.: Сов. радио, 1978.-600 с.

109. Тихонов В.И. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов / В.И. Тихонов, Н.К. Кульман. М.: Сов. радио, 1975. - 704 с.

110. Кияшко С.В. Автогенератор радиодиапазона со стохастическим поведением / С.В. Кияшко, А.С. Пиковский, М.И. Рабинович // Радиотехника и электроника, 1980. Т. 25. -№3. - С. 336-343.

111. Ермаков С.М. Статистическое моделирование / С.М. Ермаков, Г.А. Михайлов. М.: Наука, 1982. - 296 с.

112. Маланин В.В. Методы и практика анализа случайных процессов в динамических системах /В.В. Маланин, И.Е. Полосков. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. - 296 с.

113. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968.-660 с.

114. АхмановС.А. Введение в статистическую радиофизику и оптику / С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин. -М.: Наука, 1981.-640 с.

115. Марпл С.Л., мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990.-584 с.

116. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. М.: Сов. радио, 1978. -376 с.

117. Купер Дж. Вероятностные методы анализа сигналов и систем / Дж. Купер, К Макгиллем. М.: Мир, 1989. - 376 с.

118. Зайцев О.В. Частотный детектор на основе ФАП ДВ-автогенератора / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, Г.П. Яровой // III Международная НТК "Физика и технические приложения волновых процессов". Тезисы докладов. -Волгоград, 2004. С. 180-181.

119. Зайцев О.В. Детектор ЧМ-сигнала на основе кольца фазовой автоподстройки частоты дискретного автогенератора / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. -2005.-Т. 8.-N1.-C. 82-84.

120. Зайцев О.В. Амплитудный детектор на основе синхронизированного ДВ-автогенератора // НТК «Концепции фундаментальной физика XXI века». Тезисы докладов. Самара, 2005. - С. 61-62.

121. Зайцев О.В. Синхронный детектор дискретных AM сигналов // V Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов. Самара, 2006. - С. 411-412.