Оптимизационные методы решения вариационных неравенств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Кушнирук, Надежда Николаевна

• Кушнирук, Надежда Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кушнирук, Надежда Николаевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Задача о движении жидкости в трубе с трением на границе.

Существование и единственность решения.

Метод конечных элементов

1.1. Постановка задачи

1.2. Условие разрешимости

1.3. Вариационное неравенство и краевая задача

1.4. Аппроксимация задачи по методу конечных элементов

1.5. Метод итеративной проксимальной регуляризации

ГЛАВА 2. Методы двойственности

2.1. Классическая двойственность

2.2. Модифицированный функционал Лагранжа. Характеристические свойства

2.3. Метод Удзавы нахождения седловой точки

2.4. Итеративная проксимальная регуляризация модифицированного функционала

2.5. Аппроксимация по методу конечных элементов и реализация алгоритмов

ГЛАВА 3. Методы двойственности с классическим и модифицированным функционалами Лагранжа при решении коэрцитивной задачи

ЗАКЛЮЧНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизационные методы решения вариационных неравенств»

Актуальность темы

Математическая постановка задач механики сплошной среды сводится к краевой задаче для дифференциального уравнения в частных производных. Многие линейные задачи математической физики допускают естественную вариационную постановку, которая состоит в минимизации выпуклого функционала потенциальной энергии на некотором линейном множестве. Такая постановка позволяет ослабить ограничение на гладкость искомого решение, при этом естественным образом вводится понятие слабого (обобщенного) решения.

В последнее время наибольший интерес представляют нелинейные краевые задачи, соответствующие вариационные постановки которых состоят в минимизации некоторого выпуклого функционала на выпуклом замкнутом множестве. Тем самым, вариационные постановки являются задачами на условный (или безусловный, если допустимое множество представляет собой некоторое пространство функций) экстремум. Третья эквивалентная постановка такого рода задач представляет собой вариационное неравенство.

Теория вариационных неравенств возникла в шестидесятых годах прошлого столетия. Простейшая модельная задача, которая приводит к вариационным неравенствам, - это задача о кратчайшем пути, соединяющим две заданные точки на плоскости и обходящем некоторые препятствия ([43]). Источником же для создания теории вариационных неравенств послужила задача из теории упругости (задача Синьорини), впервые полностью изученная в работе Фикеры [93k где были заложены основы теории вариационных неравенств ([53]). Затем исследование вариационных неравенств продолжилось в работах Ж. Лионса, Г. Стампаккьи и их учеников; в этой связи следует упомянуть следующие работы [13,31, 32, 38, 95]. В настоящее время данная теория находится в стадии бурного развития и представляет интерес не только для исследователей-математиков и механиков, но и для экономистов, поскольку вариационные неравенства нашли свое применение при моделировании" и исследовании равновесных задач экономики и исследовании операций. Данное направление развивалось и развивается в работах следующих исследователей: Андерсена JT.-E. и ХлудневаА.М. [1], Аннина Б.Д. и Садовского В.М. [2], Аннина Б.Д. и Черепанова Г.П. [3], Антипина А.С. и Васильева Ф.П. [9], Бадриева И.Б. и Задворно-ваО.А. [10], Бердичевского B.JT. [14], Вихтенко Э.М. и НаммаР.В. [23-26], Коннова И.В. [47-50, 104], Лапина А.В. [51, 52], Мосолова П.П. и Мяснико-ваВ.П. [60], Рудого Е.М. и ХлудневаА.М. [72], Рязанцевой И.П. [73-75], Уральцевой Н.Н. [82], Уральцевой Н.Н. и Рожковской Т.Н. [83], Хлуднева A.M. [84], Чеботарева А.Ю. [85], Лапина А.В. и Игнатьевой М.А. [101], Лапина А.В., Лайтинена Е. и Пиеска Д. [105] и многих других.

Вернемся к вариационным постановкам нелинейных краевых задач. В этом виде формулируются такие задачи, как задача об упруго-пластическом кручении стержня [3, 53, 86, 108], контактные задачи теории упругости [30, 72, 78, 84, 89, 95, 109], задача о движении вязкопластичной жидкости Бингама [94, 117], задача Синьорини [13, 31, 32, 110], задача теории пластин [78], задача фильтрации [11, 43, 51, 86], задача о препятствии [13], задачи теории пластичности [78] и другие. Из работ, направленных на исследование вариационных постановок подобного рода задач можно также выделить работы Вторуши-наЕ.В. [27], Джангвеладзе Т.А. и Лобжанидзе Г.Б. [37], Клабуковой Л.С. [44, 45] и другие. Настоящая работа посвящения исследованию модельной задачи с трением, которая была сформулирована в работах [31] и [32].

Исследование вариационных постановок проводится с привлечением функциональных пространств С.Л. Соболева, с изложением основ которых можно ознакомиться в работах [46, 55, 58, 59, 80].

Для решения вариационных неравенств широко используется аппарат выпуклого анализа и математического программирования, развитый в работах Васильева Ф.П. [17, 19, 20], Гроссмана К. и КапланаА.А. [36], Нурминско-го Е.А. [63], Мину М. [57], Поляка Б.Т. [66], Пшеничного Б.Н. и Данилина Ю.М. [70], Рокафеллара Р. [71], Экланда И. и Темама Р. [86], и в других многочисленных источниках.

В данной работе для исследования поставленной задачи будет использован двойственный подход, основанный на замене задачи условной оптимизации задачей отыскания седловой точки функции Лагранжа. Конструкция, известная под названием функции Лагранжа, лежит в основе общепринятой схемы анализа экстремальных задач с ограничениями. Описание метода множителей Лагранжа можно найти во многих работах, указанных в предыдущем абзаце. Функция Лагранжа формируется по исходной задаче и зависит от двух групп переменных - прямых (переменных исходной задачи) и двойственных (переменных, отвечающих ограничениям). Главное свойство функции Лагранжа состоит в том, что решение практически любой задачи выпуклого программирования совпадает с вектором прямых переменных седловой точки функции Лагранжа. Однако классической схеме двойственности, то есть схеме, использующей классическую функцию Лагранжа, присущ ряд недостатков, затрудняющих ее применение для построения вычислительных методов ([35]).

От этих недостатков избавлены так называемые модифицированные функции Лагранжа, которые, в отличие от предшественницы, не являются линейными относительно двойственной переменной. Термин «модифицированная функция Лагранжа» впервые был введен в работе [87], а после работ [100] и [112] возник интерес к данным конструкциям. Далее в работах Антипина А.С. [4-6], Голикова А.А. и Евтушенко Ю.Г. [33], Ижуткина B.C. и Петропавловского М.В. [42], Поляка Б.Т. и Третьякова Н.В. [67], Попова Л.Д. [68], Третьякова Н.В. [81], Рокафеллара Р.Т. [113, 114, 116] метод исследовался применительно к конечномерным задачам линейного и выпуклого программирования. В последнее время популяризируется применение схем двойственности, как правило, с применением модифицированной функции Лагранжа, для решения вариационных неравенств, , когда для задачи условной минимизации функционала потенциальной энергии строится функция Лагранжа. Данный подход отражен в работах [2, 23, 28, 29,48, 60].

Одним из вспомогательных подходов, применяемых в данной работе для решения поставленной задачи, является итеративная проксимальная регуляризация минимизируемого функционала. Причина, которая вынуждает прибегнуть к данному методу в исследовании, состоит в том, что при конечно-элементной аппроксимации получается квадратичный функционал с вырожденной матрицей, и при его минимизации возникают проблемы со сходимостью численных алгоритмов. Вообще говоря, методы регуляризации могут быть использованы для задач минимизации, когда неточно заданы либо целевая функция, либо допустимое множество; данный подход достаточно хорошо развит в работах Антипина А.С. и Васильева Ф.П. [7-9, 18, 21]. В настоящее время существуют два вида регуляризации - регуляризация по Тихонову [17, 79] и уже упомянутая, итеративная проксимальная регуляризация. Остановимся более подробно на втором виде регуляризации в силу того, что он нашел отражение в данной работе.

В работах [106, 107] начала семидесятых годов прошлого века впервые был использован итерационный процесс, заменяющий задачу конечномерной оптимизации последовательностью задач минимизации исходной целевой функции с проксимальной регуляризирующей добавкой. Главное преимущество этого вида регуляризации, в отличие от регуляризации по Тихонову, состоит в том, что нет необходимости устремлять параметр регуляризации к нулю, достаточно взять его равным какой-либо положительной постоянной (например, единице, как сделано в данной работе). А в работах Антипина А.С. [4, 5] и Ро-кафеллара Р.Т. [114] был предложен и исследован метод, основанный на введении такой добавки в итерационный процесс отыскания седловых точек модифицированной функции Лагранжа. В настоящее время итеративная проксимальная регуляризация используется для решения широко ряда некорректных задач; например, применение можно встретить в работах Вепринцева С.И. [22], Вихтенко Э.М. и НаммаР.В. [22], By Г., Кима С., Намма Р.В. и Сачко-ва С.А. [28], Гречка Г.Ю. [34], Золотухина А .Я., Намма Р.В. и Пачиной А.В. [40, 41], Попова Л.Д. [69], Стукалова А.С. [76], Gugat М. [98], Hare W.L. [99], Nguyen Buong и Pham Van Loi [111], Рокафеллара Р.Т. [115] и других.

Исследование по численному анализу вариационных задач проводится с использованием метода конечных элементов. Метод конечных элементов впервые был предложен в сороковых годах двадцатого столетия в работах Куранта Р. [91], а затем в пятидесятых годах независимо открыт инженерами [88, 118], название метода было предложено Клафом Р.У. [90]. Систематическое изложение теоретических основ метода конечных элементов имеется в работах [39, 56]; в работе [77] ведется исследование вариационных неравенств с использованием схемы метода конечных элементов, в частности данная схема применена для исследования задачи с препятствиями, задачи об упругопласти-ческом кручении, задачи о минимальной поверхности, задачи о пластине. Большой вклад в данный вопрос вносит работа французских математиков [32], в которой подробно исследуется применение метода конечных элементов для аппроксимации непрерывных задач и исследуются методы решения получаемых их конечномерных аналогов.

Несмотря на ряд важных достижений в области решения вариационных неравенств, в настоящее время мало проводится исследований, относящихся к применению принципов двойственности для решения вариационных задач механики. В некоторых работах встречаются указанные подходы, однако, без строгих математических обоснований сходимости. Как будет показано в работе, в полукоэрцитивном случае применение схем двойственности с классическим функционалом Лагранжа оказывается, вообще говоря, неприемлемым, а при решении коэрцитивных задач данный подход уступает по вычислительной эффективности методу двойственности, использующем модифицированную функцию Лагранжа.

Цель работы

Обоснование и применение приближенных методов для исследования полукоэрцитивной и коэрцитивной постановок модельной задачи с трением с использованием методов математического программирования и выпуклого анализа, аппарата конечных элементов, вариационных принципов двойственности.

Задачи работы

Для исследования полукоэрцитивной модельной задачи с трением применить алгоритм с пошаговой итеративной проксимальной регуляризацией; схему двойственности, основанную на модифицированном функционале Лагранжа. Для исследования коэрцитивной модельной задачи с трением применить схемы двойственности, основанные на классическом и модифицированном функционале Лагранжа. Реализовать указанные методы с использованием конечно-элементной аппроксимации непрерывных задач. Сравнить полученные результаты.

Методы исследования

В работе использованы вариационные принципы механики сплошной среды [16, 38], методы функционального анализа [46], теория выпуклого анализа [71], теория вариационных неравенств [32, 38, 43], методы вычислительной математики [19, 58,'59, 70] и математического программирования [57], теория пространств С.Л. Соболева [46, 80], общая теория нелинейных краевых задач [38, 53].

Научная новизна

В работе исследуется модельная задача с трением, строятся и обосновываются новые схемы двойственности, основанные на модифицированных функционалах Лагранжа. Получены следующие новые результаты.

1) Для полукоэрцитивной модельной задачи с трением:

1.1) осуществлен переход от задачи безусловной минимизации не-дифференцируемого функционала к задаче условной минимизации дифференцируемого функционала, построены соответствующие эквивалентные постановки в виде вариационного неравенства и краевой задачи, обоснованы существование и единственность решения при выполнении условия разрешимости;

1.2) задача аппроксимирована с помощью метода конечных элементов; для решения задачи применен метод поточечной релаксации с проектированием;

1.3) построен и обоснован алгоритм с пошаговой проксимальной регуляризацией;

1.4) для задачи условной минимизации построена эквивалентная задача поиска седловой точки для классического функционала Лагранжа; показано, что множества седловых точек классического и модифицированного функционалов Лагранжа совпадают; отыскание седловой точки модифицированного функционала Лагранжа осуществлено с помощью алгоритма Удзавы;

1.5) приведены результаты численных экспериментов с различными параметрами задачи.

2) Для коэрцитивной модельной задачи с трением:

2.1) исследована схема двойственности с классическим и модифицированным функционалами Лагранжа;

2.2) проведено сравнение результатов численных расчетов для классического и модифицированного функционалов Лагранжа.

Достоверность полученных результатов обеспечена корректностью постановки рассматриваемой задачи и методов ее исследования, а также совпадением (в рамках некоторых допустимых погрешностей) результатов численных расчетов при решении задачи различными методами.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на XIV Байкальской международной школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения», г. Северобайкальск (2008 г.); на Всероссийской конференции «Успехи механики сплошных сред», г. Владивосток (2009 г.); на научных семинарах «Дифференциальные уравнения» (рук. д.ф.-м.н., проф. Зарубин А.Г.) факультета Математического моделирования и процессов управления Тихоокеанского государственного университета, г. Хабаровск (2009 г.); на научном семинаре Вычислительного центра ДВО РАН, г.Хабаровск (2010 г.); на научно-методических семинарах кафедры Математического анализа и моделирования факультета Математики и информатики Амурского государственного университета, г. Благовещенск (2007-2010 гг.); на региональных межвузовских научно-практических конференциях «Молодежь XXI века: шаг в будущее», г. Благовещенск (2007-2009 гг.); на внутривузовских конференциях Амурского государственного университета «Дни науки АмГУ», г. Благовещенск (20072009 гг.); на Всероссийской конференции «Современные проблемы философии и техники для будущего России», г. Благовещенск (2008 г.); на международной конференции «Математические методы в технике и технологиях», г. Саратов (2008 г.), г. Псков (2009 г.); на XXXIII Дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Е.В. Золотова, г. Владивосток (2008 г.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 11 работ (6 статей [120, 124-127, 130], 5 тезисов докладов [119, 121, 123, 128, 129]), имеется свидетельство о государственной регистрации программы [123]. Список работ приведен в конце раздела «Список использованных источников» и построен в хронологическом порядке.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разделенных на пункты (пп. 1.1.-1.5. в главе 1, пп. 2.1.-2.5. в главе 2, глава 3 на пункты не разделена), заключения и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 109 страниц машинописного текста, включает список использованных источников из 130 наименований. Нумерация формул, определений, теорем сквозная в пределах одной главы и состоит из двух чисел: первое число есть номер главы, второе число - порядковый номер формулы в главе. Нумерация рисунков и таблиц, которые представлены исключительно в приложениях, сквозная в пределах одного приложения и состоит из двух чисел: первое число есть номер

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Кушнирук, Надежда Николаевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена обоснованию и применению новых схем двойственности, основанных на модифицированных функционалах Ла-гранжа, для решения вариационных неравенств. Исследования были проведены с использованием методов выпуклого анализа и математического программирования, аппарата метода конечных элементов, вариационных принципов двойственности. Получены следующие новые результаты.

1) Для полукоэрцитивной модельной задачи с трением: построена эквивалентная задача поиска седловой точки для классического функционала Лагранжа; показано, что множества седловых точек классического и модифицированного функционалов Лагранжа совпадают; построен и обоснован метод нахождения седловой точки, основанный на модифицированном функционале Лагранжа и алгоритме итеративной проксимальной регуляризации.

2) Для коэрцитивной модельной задачи с трением: проведен сравнительный анализ методов двойственности с классическим и модифицированным функционалами Лагранжа.

О достоверности полученных результатов можно судить по совпадению (в рамках некоторых допустимых погрешностей) приближенных решений, полученных при решении задачи различными методами: методом поточечной релаксации с проектированием, построенным с использованием метода конечных элементов и с использованием алгоритма с пошаговой итеративной регуляризацией; схемы двойственности, использующей классический и модифицированный функционалы Лагранжа. Также численные решения проверялись на разностном аналоге соответствующей краевой задачи.

Главный вывод по диссертационной работе. Модифицированные функционалы Лагранжа оказываются эффективным инструментом при исследовании и решении как полукоэрцитивных, так и коэрцитивных вариационных неравенств механики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кушнирук, Надежда Николаевна, 2010 год

1. Андерсен, JI.-E. Трещина, выходящая за контактную границу. Метод фиктивных областей и инвариантные интегралы / JI.-E. Андерсен, A.M. Хлуднев // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. -Т. XI, №3.-С. 15-29.

2. Аннин, Б.Д. О численной реализации вариационного неравенства в задачах динамики упругопластических тел / Б.Д. Аннин, В.М. Садовский // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996. -Т. 36, № 9.

3. Аннин, Б.Д. Упруго-пластическая задача / Б.Д. Аннин, Г.П. Черепанов. -М.: Наука, 1983.-239 С.

4. Антипин, А.С. О методе выпуклого программирования, использующем симметрическую модификацию функции Лагранжа / А.С. Антипин // Экономика и математические методы. 1976. - Т. 12, № 6. - С. 11641173.

5. Антипин, А.С. Методы нелинейного программирования, основанные на прямой и двойственной модификации функции Лагранжа / А.С. Антипин. Москва, Препринт ВНИИ системных исследований. - 1979. - С. 1-73.

6. Антипин, А.С. Равновесное программирование: проксимальные методы / А.С. Антипин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1997. - Т. 37, № 11. - С. 1327-1339.

7. Антипин, А.С. Экстрапроксимальный метод решения равновесных и игровых задач / А.С. Антипин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. - Т. 45, № 11. - С. 1969-1990.

8. Антипин, А.С. Регуляризированный метод с прогнозом для решения вариационных неравенств с неточно заданным множеством / А.С. Антипин, Ф.П. Васильев // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. - Т. 44, № 5. - С. 796-804.

9. Бадриев, И.Б. Итерационные методы решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами / И.Б. Бадриев, О.А. Задворнов // Известия ВУЗов. Математика. 2003. - № 1. - С. 20-28.

10. Бадриев, И.Б. Исследование сходимости итерационных методов решения нелинейных задач теории фильтрации / И.Б. Бадриев, А.Д. Ляшко, О.В. Панкратова // Известия ВУЗов. Математика. 1998. - № 11. - С. 813.

11. Бадриев, И.Б. Смешанный метод конечных элементов для нелинейных стационарных задач теории фильтрации / И.Б. Бадриев, О.В. Панкратова // Исследования по прикладной математике. 1989. - Вып. 16. - С. 17-34.

12. Байокки, К. Вариационные и квазивариационные неравенства: Приложения к задачам со свободной границей / К. Байокки, А. Капело. М.: Наука, 1988.-448 С.

13. Бердичевский, В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды / В.Л. Бердичевский. М.: Наука, 1983. - 448 С.

14. Бертсекас, Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа / Д. Бертсекас. М.: Радио и связь, 1987. - 399 С.

15. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / К. Васидзу. М.: Мир, 1987. - 542 С.

16. Васильев, Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. М.: Изд-во Московского университета, 1974. - 374 С.

17. Васильев, Ф.П. Методы регуляризации для решения неустойчивых задач минимизации первого типа с неточно заданным множеством / Ф.П. Васильев // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. - Т. 41, № 2. - С. 217-224.

18. Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. -М.: Наука, 1980. 518 С.

19. Васильев, Ф.П. Методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. -М.: Наука, 1981.-400 С.

20. Васильев, Ф.П. Регуляризированный проксимальный метод для задач минимизации с неточными исходными данными / Ф.П. Васильев, О. Обрадович // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1993. - Т. 33, № 2. - С. 179-188.

21. Вепринцев, С.И. О методе итеративной регуляризации, использующем проксимальный оператор / С.И. Вепринцев // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1997. - Т. 37, № 1. - С. 7-10.

22. Вихтенко, Э.М. О методе решения полукоэрцитивных вариационных неравенств, основанном на методе итеративной проксимальной регуляризации / Э.М. Вихтенко, Р.В. Намм // Известия ВУЗов. Математика. 2004. -№ 1.-С. 31-35.

23. Вихтенко, Э.М. О скорости сходимости метода конечных элементов в полукоэрцитивной модельной задаче с трением / Э.М. Вихтенко, Р.В. Намм // Дифференциальные уравнения. 2009. - Т. 45, № Ю. - С. 1504-1508.

24. Вихтенко, Э.М. Схема двойственности для решения полукоэрцитивной задачи Синьорини с трением / Э.М. Вихтенко, Р.В. Намм // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. - Т. 47, № 12.-С. 2023-2036.

25. Вторушин, Е.В. Численное исследование модельной задачи для уравнения Пуассона с ограничениями типа неравенств в области с разрезом /

26. Е.В. Вторушин // Сибирский журнал индустриальной математики. 2005. -Т. VIII, № 1.'-С. 41-49.

27. By, Г. Метод итеративной проксимальной регуляризации для поиска седловой точки в полукоэрцитивной задаче Синьорини / Г. By, С. Ким, Р.В. Намм, С.А. Сачков // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. - Т. 46, № 11. - С. 2024-2031.

28. Галин, Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости / Л.А. Галин. М.: Наука, 1980. - 303 С.

29. Главачек, И. Решение вариационных неравенств в механике / И. Главачек, Я. Гаслингер, И. Нечас, Я. Ловишек. М.: Мир, 1986. - 270 С.

30. Гловински, Р. Численное исследование вариационных неравенств / Р. Гловински, Ж.-Л. Лионе, Р. Тремольер. М.: Мир, 1979. - 574 С.

31. Голиков, А.А. Модифицированная функция Лагранжа для задач линейного программирования / А.А. Голиков, Ю.Г. Евтушенко // Известия ВУЗов. Математика. 1997. - № 7. - С. 45-48.

32. Гречка, Г.Ю. Модифицированные процедуры итеративной ргох-регуляризации / Г.Ю. Гречка// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1997. - Т. 37, № 8. - С. 914-924.

33. Голыптейн, Е.Г. Модифицированные функции Лагранжа. Теория и методы оптимизации / Е.Г. Голыптейн, Н.В. Третьяков. М.: Наука, 1989. -400 С.

34. Гроссман, К. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации / К. Гроссман, А.А. Каплан. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1981. — 183 С.

35. Джангвеладзе, Т.А. О вариационной постановке одной нелокальной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения четвертогопорядка / Т.А. Джангвеладзе, Г.Б. Лобжанидзе // Дифференциальные уравнения. 2009. - Т. 45, № 3. - С. 325-333.

36. Дюво, Г. Неравенства в механике и физике / Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе. -М.: Мир, 1980.-383 С.

37. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. М.: Мир, 1986. - 318 С.

38. Золотухин, А.Я. О линейной скорости сходимости методов с итеративной проксимальной регуляризацией / А.Я. Золотухин, Р.В. Намм, А.В. Пачина // Известия ВУЗов. Математика. 2006. - № 12. - С. 44-54.

39. Золотухин, А.Я. Приближенное решение полукоэрцитивной задачи Синь-орини с неоднородным граничным условием / А.Я. Золотухин, Р.В. Намм, А.В. Пачина // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. - Т. 43, № 3. - С. 388-398.

40. Ижуткин, B.C. Методы приведенных направлений на основе модифицированной функции Лагранжа для задачи нелинейного программирования / B.C. Ижуткин, М.В. Петропавловский // Известия ВУЗов. Математика. -1995. -№ 12.-С. 33-42.

41. Киндерлерер, Д. Введение в вариационные неравенства и их приложения / Д. Киндерлерер, Г. Стампаккья. М.: Мир, 1983. - 256 С.

42. Клабукова, Л.С. Вариационная постановка задач о деформации сетчатой композиционной пластинки с сетками различного типа / Л.С. Клабукова // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. -Т. 47, №2.-С. 321-337.

43. Клабукова, Л.С. Вариационная постановка задач о поперченном изгибе сетчатой пластинки из композиционного материала / Л.С. Клабукова // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. -Т. 43, № 2. - С. 295-307.

44. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1976. - 543 С.

45. Коннов, И.В. Комбинированный метод для решения вариационных неравенств с монотонными операторами / И.В. Коннов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. - Т. 39, № 7. -С. 1091-1097.

46. Коннов, И.В. Метод множителей Лагранжа для вариационных неравенств / И.В. Коннов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. - Т. 41, № 9. - С. 1344-1357.

47. Коннов, И.В. Метод спуска для негладких вариационных неравенств / И.В. Коннов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. - Т. 46, № 7. - С. 1251-1257.

48. Коннов, И.В. О системах вариационных неравенств / И.В. Коннов // Известия ВУЗов. 1997. - № 12. - С. 79-88.

49. Лапин, А.В. Об исследовании некоторых нелинейных задач теории фильтрации / А.В. Лапин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. - Т. 19, № 3. - С. 689-700.

50. Лапин, А.В. Об аппроксимации нелинейных стационарных вариационных неравенств / А.В. Лапин // Исследования по прикладной математике. -1981.-Вып. 9.-С. 9-23.

51. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. - 587 С.

52. Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. -414 С.

53. Лионе, Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес. -М.: Мир, 1971.-371 С.

54. Марчук, Г.И. Введение в проекционно-сеточные методы / Г.И. Марчук, Ю.М. Агошков. -М.: Наука, 1981.-416 С.

55. Мину, М. Математическое программирование: теория и алгоритмы / М. Мину. М.: Наука, 1990. - 485 С.

56. Михайлов, В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных /

57. B.П. Михайлов. М.: Наука, 1983. - 424 С.

58. Михлин, С.Г. Линейные уравнения в частных производных /

59. C.Г. Михлин. М.: Высшая школа, 1977. - 431 С.

60. Мосолов, П.П. Механика жестко-пластических сред / П.П. Мосолов, В.П. Мясников. М.: Наука, 1981.-208 С.

61. Намм, Р.В. Решение квазивариационного неравенства Синьорини методом последовательных приближений / Р.В. Намм, С.А. Сачков // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2009. Т. 49, №5.-С. 805-814.

62. Намм, Р.В. О W2 -регулярности решений полукоэрцитивных вариационных неравенств /Р.В. Намм, А.Г. Подгаев // Дальневосточный математический журнал. 2002. -Т. 3, № 2. - С. 210-215.

63. Нурминский, Е.А. Численные методы выпуклой оптимизации / Е.А. Нурминский. М.: Наука, 1991. - 167 С.

64. Панагиотопулос, П. Неравенства в механике и их приложения / П. Панагиотопулос. М.: Мир, 1989. - 492 С.

65. Подгаев, А.Г. О теоремах единственности в задаче минимизации одного недифференцируемого функционала / А.Г. Подгаев // Дальневосточный математический журнал. 2000. - Т. 1, № 1. - С. 28-37.

66. Поляк, Б.Т. Введение в оптимизацию / Б.Т. Поляк. М.: Наука, 1983. -384 С.

67. Поляк, Б.Т. Об одном итерационном методе линейного программирования и его экономическая интерпретация / Б.Т. Поляк, Н.В. Третьяков // Экономика и математические методы. 1972. - Т. 8, № 5. - С. 740-751.

68. Попов, Л.Д. Квадратичная аппроксимация штрафных функций при решении задач линейного программирования большой размерности / Л.Д. Попов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. - Т. 47, № 2. - С. 206-221.

69. Попов, JI.Д. Применение модифицированного ргох-метода для оптимальной линейной коррекции несобственных задач выпуклого программирования / Л.Д. Попов // Труды института математики и механики УрО РАН. 1995. — № 3. - С. 261-266.

70. Пшеничный, Б.Н. Численные методы в экстремальных задачах / Б.Н. Пшеничный, Ю.М. Данилин. М.: Наука, 1975. - 319 С.

71. Рокафеллар, Р.Т. Выпуклый анализ / Р.Т. Рокафеллар. М.: Мир, 1973. -469 С.

72. Рудой, Е.М. Односторонний контакт пластины с тонким упругим препятствием / Е.М. Рудой, A.M. Хлуднев // Сибирский журнал индустриальной математики. 2009. - Т. XII, № 2. - С. 120-130.

73. Рязанцева, И.П. О разрешимости вариационных неравенств с неограниченными полумонотонными отображениями / И.П. Рязанцева // Известия ВУЗов. Математика. 1999. - № 7. - С. 49-53.

74. Стукалов, А.С. Экстрапроксимальный метод решения равновесных задач в гильбертовом пространстве / А.С. Стукалов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. - Т. 46, № 5. - С. 781-798.

75. Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. М.: Мир, 1980. -512 С.

76. Темам, Р. Математические задачи теории пластичности / Р. Темам. М.: Наука, 1991.-288 С.

77. Тихонов, А.Н. Численные методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. М.: Наука, 1990.-230 С.

78. Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. М.: Наука, 1980.-495 С.

79. Третьяков, Н.В. Метод штрафных оценок для задач выпуклого программирования / Н.В. Третьяков // Экономика и математические методы. — 1973. Т. 9, № 3. - С. 526-540.

80. Уральцева, Н.Н. О регулярности решений вариационных неравенств / Н.Н. Уральцева // Успехи математических наук. 1987. - Т. 42, № 6. — С. 151-174.

81. Уральцева, Н.Н. Теоремы регулярности для вариационных неравенств и односторонних задач / Н.Н. Уральцева, Т.Н. Рожковская // Дифференциальные уравнения с частными производными. Труды международной конференции. Новосибирск: Наука. - 1987. - С. 187-192.

82. Хлуднев, A.M. Оптимальное управление пластиной над препятствиями / A.M. Хлуднев // Сибирский математический журнал. 1990. - Т. 32, № 1. -С. 172-178.

83. Чеботарев, А.Ю. Субдифференциальные краевые задачи магнитной гидродинамики / А.Ю. Чеботарев // Дифференциальные уравнения. 2007. — Т. 43, № 12.-С. 1700-1709.

84. Экланд, И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы / И. Экланд, Р. Темам. М.: Мир, 1979. - 399 С.

85. Эрроу, К. Исследования по линейному и нелинейному программированию / К. Эрроу, Л. Гурвиц, X. Удзава. М.: Иностранная литература, 1962.-335 С.

86. Argyris, J.H. Energy theorems and structural analysis / J.H. Argyris. London: Butterworth Scientific Publications. — 1960.

87. Brezis, H. Problemes unilateraux / H. Brezis // J. de Math. Pures et Appliquees. 1971.9.-P. 1-168.

88. Clough, R.W. The finite-element method in plane stress analysis / R.W. Clough // Proceedings of the Second ASCE Conference on Electronic Computation. Pittsburg, Pennsylvania. - 1960.

89. Courant, R. Variational methods for the solution of problem of equilibrium and vibrations / R. Courant // Bull. Amer. Math. Soc. № 49. - 1943. - P. 1-23.

90. Dautov, R.Z. High accuraty post-processing technique for free boundaries in finite element approximations to the obstacle problems / R.Z. Dautov // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1998. — Т. 38, №5.-Р. 239-246.

91. Fichera, G. Problemi elastostatici con vincoli unilateral!: il problema di Signo-rini con ambigue condizioni al contorno / G. Fichera // Mem. Accad. Naz. Lin-cei.-Ser. 8, 7.- 1964.-P. 91-140.

92. Fortin, A. On the imposition of friction boundary conditions for numerical simulation of Bingham fluid flows / A. Fortin, D. Cote // Computer Methods in Applied Mechanics and Ingeneerins. North-Holland, 1991. - V. 88. - P. 97109.

93. Glavachek, I. Numerical solution of variational inequalities / Glavachek I., J. Haslinger, I. Necas, J. Lovishek. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1988.-322 P.

94. Glowinski, R. Numerical methods for nonlinear variational problems / R. Glowinski. New York: Springer, 1984. - 381 P.

95. Grisvand, P. Bundary volue problems in non-smooth domains / P. Grisvand. -Maryland: University of Maryland, Department of mathematics, MD 20724. -1980.

96. Gugat, M. Prox-regularization methods for generalized fractional programming / M. Gugat // Journal of optimization theory and applications. 1998. - V. 99, № 3. — P. 691-722.

97. Hare, W.L. A proximal method for identifying active manifolds / W.L. Hare // Computational optimization and applications. 2009. - V. 43, № 2. - P. 295306.

98. Hestenes, M.R. Multiplier and gradient methods / M.R. Hestenes // Journal of optimization theory and applications. 1969. - Vol. 4. - P. 303-320.

99. Ignatieva, M.A. Mixed hybrid finite element scheme for Stefan problem with prescribed convection / M.A. Ignatieva, A.V. Lapin // Lobachevskii J. Math. -2003.-V. 13.-P. 15-24.

100. Khludnev, A.M. Analysis of cracks in solids / A.M. Khludnev, V.A. Kovtunenko. Southamption-Boston: WIT Press. - 2000. - 408 P.

101. Khludnev, A.M. Modelling and control in solid mechanics / A.M. Khludnev, J. Sokolowski. Basel-Boston-Berlin: Birkhauser. - 1997. - 384 P.

102. Konnov, I.V. Combined relaxation methods for variational inequality problems over product sets / I.V. Konnov // Lobachevskii J. Math. 1999. - V. 2. - P. 39.

103. Laitinen, E. Large splitting iterative methods and parallel solution of variational inequalities / E. Laitinen, A.V. Lapin, J. Pieska // Lobachevskii J. Math. -2001.-V. 8.-P. 167-184.

104. Martinet, B. Determination apprachee d'un point fixe d'une application pseu-do-contractence / B. Martinet // C.r.Acad.Sci. 1972. - V. 274, № 2. - P. 163165.

105. Martinet, B. Regularization d'inequations variationelles par approximations successives / B. Martinet // RIRO. 1970. - V. 4, № 3. - P. 154-159.

106. Namm, R.V. About the method with regularization for solving the contact problem in elasticity / R.V. Namm // International series of numerical mathematics. Basel, 1992. - V. 106. - P. 223-228.

107. Namm, R.V. Sadie methods for ill-posed variational inequalities / R.V. Namm // Lecture notes in economics and mathematical systems. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1997. - V. 17. - P. 497-510.

108. Namm, R.V. Introduction to the theory and solution methods for variational inequalities / R.V. Namm, W. Gyungsoo. Changwon National University Press, 2002.- 117 P.

109. Nguyen, Buong. On parameter choice and convergence rates in regularization for a class of ill-posed variational inequalities / Buong Nguyen, Van Loi Pham // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. -Т. 44, № 10.-С. 1735-1744.

110. Powell, M.J.D. A method for nonlinear constraints in minimization problems / M.J.D. Powell // Optimization, Fletcher R., ed. London: Academic Press, 1969.-P. 283-298.

111. Rockafellar, R.T. A dual approach to solving nonlinear programming problems by unconstrained optimization / R.T. Rockafellar // Mathematical programming. 1973. - V. 5, № 3. - P. 354-373.

112. Rockafellar, R.T. Augmented Lagrangians and applications of the proximal point algoritm in convex programming / R.T. Rockafellar // Math, operations Res. 1979. - V. 1, № 2. - P. 97-116.

113. Rockafellar, R.T. Moreau's proximal mappings and convexity in Hamilton-Jacobi theory / R.T. Rockafellar // Nonsmooth Mechanics and Analysis. -2006-V. 12.-P. 3-12.

114. Rockafellar, R.T. The multiplier method of Hestenes and Powele applied to convex programming / R.T. Rockafellar // Journal of optimization theory and applications. 1973.-V. 12, №6. -P. 555-562.

115. Schmitt, H. On the regularized Bingham problem / H. Schmitt // Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1997.-V. 452.-P. 298-315.

116. Turner, M.J. Stiffness and deflection analysis of complex structures / M.J. Turner, R.W. Clough, H.C. Martin, L.J. Topp // J. Aero Sci. 1956. -№23.-P. 805-823.

117. Список работ, опубликованных по теме диссертации

118. Кушнирук, Н.Н. О решении полукоэрцитивной модельной задачи с трением / Н.Н. Кушнирук, Р.В. Намм // XXXIII Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. — Владивосток: Изд-во Дальнаука, 2008. С. 77-78.

119. Кушнирук, Н.Н. О решении полукоэрцитивной модельной задачи с трением / Н.Н. Кушнирук, Р.В. Намм // Вестник АмГУ. 2008. - Вып. 41. -С. 5-8.

120. Кушнирук, Н.Н. Об одном подходе к решению полукоэрцитивной модельной задачи с трением / Н.Н. Кушнирук, Р.В. Намм // Дальневосточный математический журнал. 2008. - Т. 8. - № 2. - С. 171-179.

121. Кушнирук, Н.Н. Метод Удзавы с модифицированной функцией Лагранжа для решения задачи о движении жидкости в бесконечной трубе с трениемна границе / Н.Н. Кушнирук // Информатика и системы управления. -2009. -№ 1(19).-С. 3-14.

122. Кушнирук, Н.Н. Характеристические свойства седловой точки модифицированного функционала Лагранжа в полукоэрцитивной модельной задаче с трением / Н.Н. Кушнирук // Вестник АмГУ. 2009. - Вып. 45. -С. 13-17.

123. Кушнирук, Н.Н. Метод Удзавы для решения полукоэрцитивной модельной задачи с трением / Н.Н. Кушнирук // Математические методы в технике и технологиях ММТТ-21: сб. трудов XXII Междунар. науч. конф. Т. 2. Сек. 2. - Псков: Изд-во ПГПУ, 2009. - С. 73-74.

124. Кушнирук, Н.Н. Метод множителей Лагранжа для решения полукоэрцитивной модельной задачи с трением / Н.Н. Кушнирук, Р.В. Намм // Сибирский журнал вычислительной математики. 2009. - Т. 12, № 4. -С. 409-420.