Численное моделирование соударения цилиндра с недеформируемой преградой методом разделения по физическим процессам на подвижных эйлеровых сетках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Серёжкин, Алексей Александрович

• Серёжкин, Алексей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Серёжкин, Алексей Александрович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Постановка задачи

1.1. Физическая постановка задачи

1.2. Система определяющих соотношений

1.3. Модель повреждаемой термоупругопластической среды

Глава 2. Численный метод

2.1. Метод разделения по физическим процессам

2.2. Постановка граничных условий

2.3. Реализация движения расчетных сеток

Глава 3. Результаты численного моделирования без учета разрушения

3.1. Сравнение с экспериментальными данными. Валидация

3.2. Верификация

3.3. Зависимость конечной формы стержня от начальных данных

3.4. Анализ длительности процесса соударения

3.5. Особенности взаимодействия ударника с преградой

Глава 4. Результаты численного моделирования с учетом

разрушения

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование соударения цилиндра с недеформируемой преградой методом разделения по физическим процессам на подвижных эйлеровых сетках»

Введение

Задача, рассматриваемая в данной работе, получившая название «Цилиндр Тейлора», является одной из классических задач механики ударного взаимодействия деформируемых твердых тел. Задача подразумевает исследование процесса деформирования цилиндрического стержня круглого поперечного сечения, движущегося с некоторой начальной скоростью вдоль оси симметрии, происходящего в результате ортогонального соударения с абсолютно твердой недеформируемой преградой.

Задача допускает целый ряд постановок. Сам процесс деформирования

может рассматриваться с помощью различных моделей. Так, в упругом

приближении задача рассматривалась в работах [23, 50, 62, 66, 94], в

упругопластическом - в [25, 66, 51, 52], упругопластическом с упрочнением -

в работах [25, 47, 92], в вязкоупругопластическом приближении - в [2, 63,

92]. При высоких скоростях соударения необходимо учитывать процесс

развития микроповреждений, приводящих к разрушению материала стержня.

Выбор моделей деформирования и разрушения в первую очередь

определяется начальной скоростью соударения. При малых скоростях, когда

стержень пластически не деформируется, можно использовать упругую

модель. При более высоких скоростях, когда в процессе соударения в

некоторой области стержня наблюдаются необратимые пластические

деформации, необходимо применять модель упругопластической среды,

например, модель пластического течения Прандтля-Рейса [25, 94] с

постоянным значением предела текучести, либо с упрочнением. Для

некоторых материалов (свинец, каучук, эпоксидная смола) при больших

скоростях взаимодействия необходим учет вязкостных свойств материала,

т.е. зависимость от скоростей деформаций. В таких случаях следует

3

использовать, например, модель вязкоупругопластической среды Соколовского-Пэжины [63]. Кроме того, взаимодействие с преградой может рассматриваться в упругом приближении, когда допускается возможность отрыва части ударяемого торца стержня от преграды в процессе взаимодействия и происходит полный отскок ударника от преграды. Либо абсолютно неупругим, то есть в процессе деформирования стержня вся поверхность ударяемого торца постоянно находится в контакте с преградой, и отскока ударника от преграды не происходит.

В данной работе задача Тейлора решается в следующей постановке. Материал представляется упругопластическим с постоянным значением предела текучести. Такая модель подходит для описания процессов деформирования металлов, таких как алюминий, медь, железо, сталь при нормальных температурах. Величины скорости соударения рассматриваются от низких (то есть от упругого взаимодействия) до значений, при которых наблюдаются существенные повреждения и разрушение материала. Для большинства металлов при скоростях соударения, не приводящих к макроразрушениям, отличия в численных результатах, полученных при использовании упругопластической модели Прандтля-Рейса и при использовании вязкоупругопластической модели Соколовского-Пэжины невелики. В данной работе используется модель Прандтля-Рейса. В процессе взаимодействия ударника с преградой возможно частичное нарушение контакта ударяемого торца стержня с преградой, последующее восстановление контакта, что учитывается при численном моделировании. Также учитывается влияние трения между преградой и стержнем. В работе исследуются процессы распространения волн и необратимого деформирования, выясняются особенности упругого взаимодействия с преградой. Кроме того, исследуется зависимость конечной формы стержня от

скорости соударения, начальной длины стержня, трения между ударником и преградой. Анализируется зависимость продолжительности контакта ударника с преградой от начальной скорости соударения. Наконец, исследованы основные закономерности процессов микро- и макроразрушения стержня.

Впервые задача, названная впоследствии «Цилиндр Тейлора», исследовалась в работах британского ученого сэра Джеффри Ингрэма Тэйлора (07.03.1886 - 27.06.1975). В частности, в его работе [101] предлагается теоретико-экспериментальное исследование задачи с целью определения предела текучести материала. Сами процессы деформирования, распространения упругих и пластических волн сжатия, растяжения и т. д. не рассматривались, поскольку задача пространственная, и картина распространения волн сложна и тяжело поддается аналитическому исследованию [51].

С развитием вычислительной техники, в 60-х - начале 70-х годов XX века, появляется возможность численного моделирования и, соответственно, более глубокого исследования процесса ударного взаимодействия тел [14]. В частности, интерес к задаче «Цилиндр Тейлора» вызван из-за её тесной связи с задачами динамической прочности, пробивания, проникания и т. д. В работах [106, 20] задача рассматривается для металлических стержней в упругопластической постановке с постоянным значением предела текучести [20], а также с использованием моделей упрочнения [106]. В статьях [9, 20, 106] приведено множество экспериментальных данных, проведено сравнение численных расчетов с экспериментами. Несмотря на ряд допущений (взаимодействие с преградой считалось неупругим) численные расчеты хорошо согласуются с экспериментальными данными. Кроме того, рассматривались задачи

соударения в более сложных постановках, например, с учетом пористости материала [40].

Об особенностях взаимодействия с преградой упоминается в работах [20, 12, 13], а именно, в данных статьях исследуется зависимость времени контакта с преградой от скорости соударения стержня. Опираясь на экспериментальные данные, показано, что данная зависимость носит ступенчатый характер, что объясняется взаимодействием упругих и пластических волн. Считается, что отскок стержня от преграды происходит при полном нарушении контакта между телами. Однако в процессе деформирования наблюдается и частичный отход поверхности ударяемого торца от преграды. Зависимость площади контакта с преградой, скорость точки отрыва также представляется интересной задачей, поскольку в районе ударяемого торца стержень значительно меняет форму. Происходит выгибание плоскости ударяемого торца в сторону боковой поверхности, также большая кольцевая деформация ведет к разрыву материала вдоль образующей боковой поверхности цилиндра (разрушение стержня так называемого «лепесткового» типа, характерного при пробивании тонких металлических мишеней [109]).

Задача Тейлора также вызывает интерес при рассмотрении ряда проблем машиностроения, поскольку стержневые системы часто используются в элементах конструкций машин [4-7]. Данные элементы могут подвергаться ударным нагрузкам различной интенсивности, в том числе и в направлении оси стержня. Встает вопрос о долговечности деталей, допустимых нагрузках, остаточных деформациях и т. п. В работах, посвященных данной тематике, стержень обычно рассматривается в одномерной постановке, в качестве модели деформирования выбирается модель идеальной пластичности. Постановка задачи в настоящей

диссертационной работе более общая и, возможно, излишне сложная для вопросов машиностроения, однако, некоторые результаты вполне могут найти применение и в инженерной практике.

И в настоящее время задача Тейлора в различных постановках все еще нередко встречается в литературе [81, 83, 103], однако ее роль несколько изменилась. Большое количество проведенных численных исследований и имеющихся экспериментальных данных, а также простота постановки позволяют использовать её в качестве тестовой задачи для оценки эффективности численных методов и новых вычислительных комплексов. Действительно, одним из направлений науки сейчас является численное моделирование тех или иных физических процессов. В мире для этого существует большое количество коммерческих кодов, программ, комплексов. Однако ни один из них не позволяет в полной мере охватить весь спектр задач механики. Поэтому во многих научных организациях создаются вычислительные коды для внутреннего использования и решения задач, связанных непосредственно с тематикой исследований организации. В частности, во Всероссийском научно-исследовательском институте автоматики им. Н.Л. Духова создается оригинальный комплекс прикладных программ под названием «ТИС». Тестирование комплекса проводилось на ряде одномерных гидродинамических [99] и упругопластических [100] задач, таких как «плоское соударение пластин» [24], задача динамического растяжения плоского образца, динамическое сжатие толстостенной оболочки [78, 85, 90]. Для этих задач было получено полное соответствие численных и аналитических результатов. А также тестирование проводилось на рассматриваемой в данной работе задаче «Цилиндр Тейлора». Результаты сравнения с экспериментальными данными и с численными расчетами, полученными на других вычислительных комплексах с использованием

альтернативных расчетных схем, приведены в диссертации. Все представленные результаты получены на комплексе «ТИС». В данном комплексе в качестве численной схемы используется схема расщепления по физическим процессам, подробное описание которой также приводится.

Возвращаясь к задаче и резюмируя вышесказанное, следует отметить, что задача рассмотрена с разных сторон многими авторами. Однако до сих пор остается и ряд неисследованных особенностей динамического деформирования и разрушения ударника.

Ниже сформированы основные цели проводимого в данной работе исследования. А именно:

1. Исследование характера деформирования стержня в зоне ударяемого торца, а также деформирования самой плоскости торца. Зависимость силы взаимодействия ударника и преграды и площади их контакта от времени при разных скоростях соударения.

2. Исследование продолжительности взаимодействия стержня и преграды. Определение критериев отскока.

3. Исследование влияния трения между стержнем и преградой на конечную форму стержня.

4. Исследование конечной формы стержня.

(Следует заметить, что форма боковой поверхности стержня после отскока от преграды имеет явно «ступенчатый» вид: наблюдается две и более области утолщения. Причем ступенчатость наблюдается как в экспериментах, так и в численных расчетах. Однако, причины данного явления ранее в литературе в полной мере не анализировались.).

Остановимся кратко на численных методах моделирования процессов высокоинтенсивного деформирования твердых тел.

Для моделирования таких процессов существует большое количество методов, обладающих своими преимуществами и недостатками [42, 45, 46, 65, 84, 105]. Например, в лагранжевых методах [67, 105] основная идея состоит в отслеживании изменения параметров среды в каждой материальной частице, что сильно упрощает постановку граничных условий и позволяет легко отслеживать форму тела в процессе соударения. А также легко следить за развитием микроповреждений, накоплением пластических деформаций и т. д. Но при больших деформациях происходит сильное искажение расчетной сетки, что может привести к потере точности расчетов и невозможности их дальнейшего продолжения. Для эйлерова подхода [44, 72, 75, 80, 81, 95], где изменение параметров рассматривается в неподвижной точке пространства, менее актуальны трудности, связанные с сильными деформациями. Но, например, отслеживание изменения границ тела является более сложной задачей, поскольку возникают ячейки, частично заполненные различными средами. Решение данной проблемы, к примеру, методом концентраций [53] приводит к размытию границы твердого тела, и, как следствие, происходит потеря точности.

Кроме того, часто используются методы конечных элементов [98, 108]. В основе этих методов лежит минимизация функционала вариационной задачи на выбранном классе функций (например, линейных функций) в рассматриваемой ячейке. Эти методы не так требовательны к искажениям сетки, саму сетку можно выбрать, в частности, более разреженной в областях, где не требуется высокой точности результатов. Но они являются более затратными в смысле расхода времени счета. На их основе создан ряд коммерческих вычислительных комплексов, например, АпэуБ, Ь8 БУМА [74].

Как альтернатива сеточным, в последнее время активно используются бессеточные методы, например SPH (Smooth Particle Hydrodynamics), или метод сглаженных частиц [91, 93], легший в основу вычислительного комплекса MASTER Professional [96]. Среди их преимуществ выделяются способность без потери скорости счета рассчитывать задачи с большими деформациями. А также простота применения современных средств параллельного программирования (MPI, CUDA). Но проблемы в постановке граничных условий и расчете точных потенциалов взаимодействия между частицами существенно усложняют работу с ними.

Часто для решения подобных задач механики твердого деформируемого тела используются гибридные схемы [14, 107]. К одной из таких схем можно отнести рассматриваемый в данной работе метод разделения по физическим процессам на подвижной эйлеровой сетке. Этот метод включает в себя некоторые преимущества как лагранжевого, так и эйлерового подходов. Его суть состоит в том, что решение на каждом временном шаге расщепляется на два этапа. На первом этапе решается система уравнений гидродинамики с фиксированными в каждой лагранжевой точке среды компонентами девиатора тензора напряжений, решение строится на подвижной эйлеровой сетке. На втором этапе производится коррекция полученного предварительного решения с учетом выбранной модели упругопластического деформирования, решение строится на уже неподвижной сетке. На втором же этапе производится расчет дополнительных параметров среды (поврежденность, пластические деформации и др.). Движение сетки производится путем отслеживания точного положения границы расчетного блока и последующего перестроения сетки (при совпадении границы блока и границы раздела двух сред есть

возможность точно отследить форму твердого тела в процессе соударения, положение контактного разрыва и т.п.).

Рассматриваемый метод вбирает в себя основные преимущества других методов. Граница расчетной области может смещаться в соответствии с границей твердого тела, внутренние границы можно рассматривать как лагранжевы. Отсюда следует точность описания границ и граничных условий, как в лагранжевых методах. При этом, поскольку сетка постоянно перестраивается от шага к шагу, она не так чувствительна к сильным искажениям. Единственным условием изменения сетки является сохранение ее топологии. В то же время сетку можно строить со сгущением в областях, где требуется повышенная точность решения. Либо более разреженной в областях, где большой точности не требуется. И при этом ячейки могут быть произвольной формы. По существу, данный метод применим и на неструктурированных сетках.

В работе рассматривается также решение задачи Тейлора с учетом микроразрушения. Для описания процессов образования и развития микропор и микротрещин используется связанная двухпараметрическая модель так называемого континуального (или рассеянного) разрушения [2628, 32-39, 79]. В качестве критерия начала макроразрушения с образованием новых свободных поверхностей в теле используется энтропийный критерий предельной удельной диссипации [32, 33]. Накопление диссипации вызывается как образованием и развитием микропор и микротрещин, так и пластических деформаций.

Расчеты проводились до момента разрушения, то есть, до момента достижения в ячейке предельного значения удельной диссипации. Таким образом, можно определить основные зоны и особенности разрушения.

На защиту выносятся:

- методика расчета двумерных динамических задач необратимого деформирования и разрушения сред;

- результаты численного решения задачи динамического деформирования цилиндра в процессе соударения с недеформируемой преградой;

Основные результаты работы представлены в следующих публикациях:

1. Киселев А.Б., Серёжкин А. А. Численное исследование особенностей процесса соударения упругопластического цилиндра с недеформируемой преградой // ПММ. - 2013. - Т. 77.

2. Меньшов И.С., Мищенко А.В., Серёжкин А.А. Численное моделирование упругопластических течений методом Годунова на подвижных эйлеровых сетках. // Математическое моделирование. -2013.-Т. 25.

3. Menshov /., Mischenko A., Serezhkin A. An eulerian Godunov-type scheme for calculation of the elastic-plastic flow equations with moving grids // Europ. Congress on Comput. Methods in Appl. Sc. and Eng. (ECCOMAS 2012). J. Eberhardsteiner et. al. (eds.). Vienna, Austria, September 10-14, 2012. CD format, 2012. Article 2164. 20 p.

4. Мищенко A.B., Серёжкин А.А., Меньшов КС., Киселев А.Б. Метод разделения по физическим процессам для моделирования деформирования и разрушения твердых тел. // Забабахинские научные чтения: сб. материалов XI Межд. конф. 16-20 апреля 2012. - Снежинск: Изд-во РФЯЦ-ВНИИТФ, 2012. - С. 306.

5. Киселев А.Б., Меньшов КС., Серёжкин А.А. Вычислительный комплекс «ТИС»: тестирование на задачах гидродинамики //

Ломоносовские чтения. Научная конф. Секция механики. Апрель 2012 года. Тезисы докладов. - М.: Изд -во Моск. ун-та, 2012. - С. 90-91.

А также докладывались на следующих конференциях:

1. Ломоносовские чтения МГУ. Москва, ноябрь, 2011.

2. Ломоносовские чтения МГУ. Москва, апрель 2012.

3. Ломоносовские чтения МГУ. Москва, апрель 2013.

4. XI Забабахинские научные чтения. Снежинск. 16-20 апреля 2012.

5. Advanced Problems in Mechanics. St. Petersburg. July 2-8, 2012.

6. European Congress on Computational Methods in Applying Science and Engineering (ECCOMAS 2012). September 10-14, 2012.

7. V-VII Научно-технические конференциии молодых ученых ВНИИ автоматики имени Н.Л. Духова (март 2011, март 2012, март 2013).

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Серёжкин, Алексей Александрович

Заключение

В данной работе подробным образом исследована задача о соударении цилиндрического стержня, движущегося с некоторой начальной скоростью параллельно оси симметрии, с недеформируемой преградой (задача "Цилиндр Тейлора"). Для численного исследования использовался метод разделения по физическим процессам, реализованный на подвижных эйлеровых расчетных сетках.

Проведено сравнение численных результатов с экспериментальными данными, а также с результатами, полученными другими авторами с использованием альтернативных численных методов. Исследована зависимость конечной формы стержня от силы трения между стержнем и преградой, скорости соударения, соотношения начальной длины и радиуса. Объясняется эффект образования вторичной области деформации стержня, установлен энергетический критерий отскока стержня. Исследуются особенности взаимодействия стержня с преградой. А также проведен анализ зарождения процесса разрушения и фрагментации стержня при высоких скоростях соударения.

В качестве результатов численного исследования можно сделать следующие выводы.

1. Метод разделения по физическим процессам позволяет с хорошей точностью получить решение системы уравнений механики деформируемого твердого тела. В частности, позволяет провести численное исследование задачи "цилиндр Тейлора".

2. При увеличении силы трения между стержнем и преградой утолщение стержня в районе ударяемого торца уменьшается. Уменьшается также и деформирование самой плоскости торца. При этом область высокой интенсивности пластических деформаций стержня смещается в сторону свободного торца.

3. Конечная форма боковой поверхности стержней, при пластическом деформировании имеет ступенчатый вид, характеризуемый возникновением «вторичной области деформации». Факт образования которой определяется соотношением длины и радиуса стержня и не зависит от скорости соударения.

4. Критерием отскока, или окончанием процесса пластического деформирования стержня, может служить достижение значением кинетической энергией первого локального экстремума.

5. Зависимость времени контакта с преградой от начальной скорости стержня имеет ступенчатый характер, определяемый взаимодействием упругих и пластических волн в продольном и радиальном направлениях.

6. В процессе деформирования возможен частичный отрыв поверхности ударяемого торца стержня от преграды. При увеличении скорости соударения увеличивается искажение плоскости ударяемого торца, при этом максимальная скорость точки отрыва падает.

7. При больших скоростях соударения разрушение стержня возникает двух видов: возникновение продольных трещин в районе боковой поверхности (образование "лепестков") и фрагментация в районе оси симметрии, вызываемая кумуляцией волн разгрузки, распространяющихся от свободной поверхности к оси.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Серёжкин, Алексей Александрович, 2013 год

Список литературы

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Физматлит, 1987.

2. Баренблат Г.И., Ишлинский А.Ю. Об ударе вязкопластического стержня о жесткую преграду // ПММ. 1962. Т. 26. Вып. 3. С. 497-502.

3. Баландин В.В., Брагов A.M., Подгорнова Т.Д., Садырин А.И. Анализ процесса деформирования стержня при соударении его с жесткой преградой // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Всес. Межвуз сб. Вып. 36: Алгоритмизация и автоматизация исследований. Горький: Изд-во ГГУ, 1987. С. 101-110.

4. Бирютин А. А., Манжосов В. К. Продольный удар ноднородного стержня о жесткую преграду. Ульяновск : УлГТУ, 2009. 164 с.

5. Битюрин А. А., Манжосов В.К. Модель продольного удара однородного и неоднородного стержней о жесткую преграду при неудерживающих связях // Вестник УлГТУ. - 2006. - № 1. - С. 20-23.

6. Битюрин А. А. Математическое моделирование продольного удара ступенчатого стержня по однородному стержню, взаимодействующему с жесткой преградой при неудерживающих связях // XVIII Международная интернет-конференция молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения (МИКМУС-2005). 27-29 декабря 2006 года. Избранные труды конференции. М., 2007. С. 172-176.

7. Битюрин А. А. Математическое моделирование продольного удара двухступенчатой стержневой системы о жесткую преграду при большей продольной жесткости поперечных сечений в направлении жесткой

преграды // Математические методы и модели в науке, технике, естествознании и экономике: Труды международной конференции по логике, информатике, науковедению (17-18 мая 2007 года). Т. 4. -Ульяновск, 2006. С. 39-41.

8. Богомолов А.И., Горелъский В.А., Зелепугин С.А., Хорее И.Е. Поведение тел вращения при динамическом контакте с жесткой стенкой // ПМТФ. 1986. № 1.С. 161-163.

9. Бойко В.М., Гулидов А.И., Папырин А.Н., Фомин В.М., Шитов Ю.А. Экспериментально-теоретическое исследование отскока коротких стержней от твердой преграды // ПМТФ. 1982. № 5. 129-133.

10. Быковцев Г.И., Лаврова Т.Б. Модель анизотропно упрочняющейся среды, имеющие различные законы упрочнения при растяжении и сжатии // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. № 2. С. 146-151.

11. Вейбулл В. Усталостные испытания и анализ их результатов. М.: Наука, 1964.

12. Веклич H.A. О распространении и взаимодействии упругопластических волн в стержне при ударе о преграду // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. № 4. С. 182-186.

13. Веклич H.A., Малышев Б.М. Продолжительность удара упругопластического стержня // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. № 2. С. 193197.

14. Глушко А.И. Численное исследование полей напряжений при соударении цилиндров // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. № 2. С. 104-112.

15. Годунов С. К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н. Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики/ Под ред. С.К. Годунова. М.: Наука, 1976. 400 с.

16. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Мат. сб. 1959. Т. 47, № 3. С. 271306.

17. Григорьев В.Г., Дунин С.З., Сурков В.В. Захлопывание сферической поры в вязкопластическом материале // Изв. АН СССР. МТТ. - 1981. - № 1.

18. Голубев В.К. О расширении пор в пластических металлах при отколах //ПМТФ.- 1983.-№6.

19. Григорьев И.С., Мейлихов КЗ. Физические величины. М.: Энергоатомиздат, 1991.

20. Гулидов А.К, Фомин В.М. Численное моделирование отскока осесимметричных стержней от твердой преграды // ПМТФ. 1980. № 3. С. 126-132.

21. Забабахинские научные чтения: сб. материалов XI Межд. конф. 16-20 апреля 2012. Снежинск: Изд-во РФЯЦ-ВНИИТФ, 2012. 406 с.

22. Иванов В.Д., Кондауров В.И, Петров И.Б., Холодов A.C. Расчет динамического деформирования и разрушения упругопластических тел сеточно-характеристическими методами // Математическое моделирование. 1990. №11. С. 10-28.

23. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.312 с.

24. Капель Г.И., Разоренов C.B., Уткин A.B., Фортов В.Е. Ударно-волновые явления в конденсированных средах. М. : Янус-К", 1996. 408 с.

25. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1974. 312 с.

26. Качанов Л.М. О времени разрушения в условиях ползучести // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № 8. С. 26-31

27. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 311 с.

28. Киселев А.Б. Математическое моделирование динамического деформирования и комбинированного разрушения термовязкоупругопластической среды // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Механ. 1998. № 6. С. 32-40.

29. Киселев А.Б. О граничных условиях для задач МДТТ с центральной и осевой симметриями // Вестн. Моск. ун-та Сер. 1. Матем. Механ. 1995. № 6. С. 106-08.

30. Киселев А.Б. Численное исследование в трехмерной постановке процесса соударения упругопластических тел с жесткой преградой // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 1985. № 4. С. 51-56.

31. Киселев А.Б. К расчету трехмерной задачи высокоскоростного соударения упругопластического стержня с жесткой преградой // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 1988. № 2. С. 30-36.

32. Киселев А. Б., Юмашев М. В. Деформирование и разрушение при ударном нагружении. Модель поврежденной термоупругопластической среды // ПМТФ. 1990. № 5. С. 116-123.

33. Киселев А.Б., Юмашев M.B. О критериях динамического разрушения термоупругопластической среды // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 1990. № 4. С. 38-44.

34. Киселев А.Б., Юмашев М.В. Математическая модель деформирования и разрушения твердого топлива при ударном нагружении // ПМТФ. 1992. № 6. С. 126-134.

35. Киселев А.Б., Юмашев М.В. О модели динамического деформирования и разрушения твердого топлива // Вопросы механики сплошных сред. М.: Изд-во МГУ, 1993. С. 47-55.

36. Киселев А.Б., Юмашев М.В. Численное исследование динамических процессов деформирования и микроразрушения повреждаемой термоупругопластической среды // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 1994. № 1. С. 69-77.

37. Киселев А.Б. Модель фрагментации при высокоскоростном соударении частиц космического мусора. // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2001. № 3. С. 50-55.

38 .Киселев А.Б. Простейшие математические модели разрушения космического аппарата при взрыве // ПМТФ. 1995. № 2. С. 159-165.

Ъ9.Киселев А.Б. Математическое моделирование фрагментации тонкостенных сферических оболочек под действием динамического внутреннего давления. // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1996. № 3. С. 52-60.

40. Киселев С.П., Фомин В.М., Шитов Ю.А. Численное моделирование отскока пористого цилиндра от жесткой преграды. // ГТМТФ. 1990. №3. С. 100-104.

41. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981. 304 с.

42. Колган В. П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных течений газовой динамики // Ученые записки ЦАГИ. 1972. Том 3.

43. Копышев В.П. О простейшем уравнении состояния твердых тел // ВАНТ. Сер. ТиПФ. 2002. Вып. 1-2. С. 30-35.

44. Коровин П.Н., Петров И.Б., Холодов A.C. Численное моделирование поведения упругих и упругопластических тел под воздействием мощных энергетических потоков // Математическое моделирование. 1989. №7 С.1-12.

45. Кукуджанов В.Н. Численное решение неодномерных задач распространения волн напряжений в твердых телах // Сообщения по прикладной математике. Вып. 6. М.: ВЦ АН СССР, 1976. 67 с.

46. Кукуджанов В. Н. Численное моделирование динамических процессов деформирования и разрушения упругопластических сред // Успехи механики. 1985. Т. 8, № 4. С. 21-65.

47. Кукуджанов В. Н. О соударении стержней конечной длины из жесткопластического материала с упрочнением // Известия РАН. МТТ. 1994. №4. С. 116-123.

48. Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001. 608 с.

49. Ландау Л.Д., Лифгииц Е.М. Теоретическая физика Т. 4. Гидродинамика. М.: Физматлит, 2001. 736с.

50. Ландау Л.Д., Лифгииц Е.М. Теоретическая физика Т. 7. Теория упругости. М.: Физматлит, 2003. 264с.

51. Ленский В. С. Об упругопластическом ударе стержня о жесткую стенку // ПММ. 1949. Т. 13. Вып. 2. С. 165-170.

52. Ленский B.C. Метод построения динамической зависимости между напряжениями и деформациями по распределению остаточных деформаций // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1951. № 5.

53.Меньшов КС. Использование единого уравнения состояния для описания течений неоднородных сред. Препринт Ин-та прикладной механики, 1982.

54. Никитин Л. В. Динамика упругих стержней с внешним сухим трением // Успехи механики. 1988. Т. 11. Вып. 4. С. 53-106.

55. Никитин Л. В. Распространение волн в упругом стержне при наличии сухого трения// Инженерный журнал. 1963. Т. З.Вып. 1. С. 154-157.

56. Никитин Л. В. Удар жестким телом по упругому стержню с внешним сухим трением // Изв. АН СССР. МТТ. 1967. № 2. С. 166-170.

57. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И., Рыбакина О.Г. Разрыхление и критерий разрушения в условиях ползучести // ДАН СССР. 1983. Т. 270, №4.

58. Максимов В.Ф., Киселев А.Б. К численному моделированию сложного взаимодействия оболочки вращения с заполнителем с учетом трения // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 1984. № 2. С. 85-89

59. Рузанов А. И. Численное моделирование откольной прочности с учетом микроповреждений // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 5.

60. Петров И.Б., Холодов A.C. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1984. Т. 24. №5. С. 722-739.

61. Петров И.Б., Челноков Ф.Б. Численное исследование волновых процессов и процессов разрушения в многослойных преградах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. № 10. С. 1562-1579.

62. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. М.: Физматлит, 2006. 272 с.

63. Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичности. М.: Мир, 1968. -176 с.

64. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках: Изд. 2-е, дополненное. М.: Унив. книга; Логос, 2009. 512 с.

65. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

66. Седов JJ.K Механика сплошной среды, т. I, II. М..Наука, 1970.

67. Уилкинс М.Л. Расчет упруго-пластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С. 212-263.

68.Чебан В.Г., Навал И.К., Сабодаш П.Ф., Чередниченко Р.А. Численные методы решения задач динамической теории упругости. Кишинев: Штиинца, 1976.

69. Anderson W.K., Thomas J.L., Van Leer В. Comparison of finite volume flux vector splittings for the Euler equation // AIAA Journal. V. 24. No. 9, 1986, p. 1453

70. Barton R .Т., Drikakis D., and Romenski E.I. An Eulerian finite-volume scheme for large elasto-plastic deformations in solids // Int. Journal for Numerical Methods in Engineering. 2010. Vol. 81. Pp. 453-484.

71. Coleman B.D., Gurtin H.E. Thermodynamics with internal state variables // J. Chem. Phys. 1967. V. 47. No. 2.

72. Collins J.P., Colella P., Glaz H.M. An implicit-explicit Eulerian Godunov scheme for compressible flow // J. of Сотр. Phys. 1995. V.l 16. P. 195.

73. Gavrilyuk S. L., Favrie N., Saurel R. Modelling wave dynamics of compressible elastic materials // J. Сотр. Phys. 2008. V. 227. P. 2941.

74. Hallquist J. O. LS-DYNA Theory Manual - 2009.

75. Harden A., Lax P.D., Van Leer B. On upstream differing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws // SIAM Review. V. 25. № 1. P. 35.

76. Harlow F.H. and Amsden A.A. Fluid Dynamics // LANL Report LA-4700, 1971.

77. Hill D.J., Pullin D., Ortiz M, Meiron D. An eulerian hybrid WENO cebtred-difference solver for elastic-plasic solids // J. Comput. Phys. 2010. V. 229. Issue 24. Pp. 9053-9072.

78. Howell B. P., Ball G. J. A Free-Lagrange Augmented Godunov Method for the Simulation of Elastic-Plastic Solids // Journal of Computational Physics. 2002. Vol. 175. Pp. 128-167.

79. Kiselev A.B. Mathematical modelling of dynamical deforming and combined microfracture of damageable thermoelastoviscoplastic medium // Studies in Applied Mechanics 45: Advanced Methods in Materials Processing Defects. Amsterdam: Elsevier, 1997. P. 43-50.

80. Loub ere R., Maire P.-H., Shashkov M., Breil J., Galera S. ReALE: A Reconnectionbased Arbitrary-Lagrangian-Eulerian Method // J. Comput. Phys. 2010. V. 229 (12). Pp. 4724-4761.

81. Loub 'ere R., Maire P.H., Shashkov M. ReALE: A Reconnection-based Arbitrary-Lagrangian-Eulerian Method in cylindrical geometry // Comput. Fluids. 2010.

82. Keyfitz B. L. and Kranzer H. C. A system of non-strictly hyperbolic conservation laws arising in elastic theory // Arch. Rat. Mech. Anal. 1980. V. 72. P. 220.

83. Maire P-H. A high-order cell-centered lagrangian scheme for two-dimensional compressible fluid flows on unstructured meshes // J. Comp. Phys. 2009. V. 228 (7). Pp. 2391-2425.

84. Marchuk G.I. Methods of numerical mathematics. New York: SpringerVerlag, 1975.

85. Menshov I., Mischenko A., Serezhkin A. An eulerian Godunov-type scheme for calculations of the elastic-plastic flow equations with moving grids // European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, Vienna, Austria, September 10-14, 2012.

86. Menshov I. and Nakamura Y Implementation of the Variational Riemann Problem Solution for Calculating Propagation of Sound Waves in Nonuniform Flow Fields // Journal of Computational Physics. 2002. V. 182. Pp. 118-148.

87. Menshov I., Nakamura Y. Implementation of the LU-SGS method for an arbitrary finite-volume discretization // Proc. of 9th Conference of CFD. Tokyo: 1995. P. 123.

88. Menghov I., Nakamura Y. Hybrid explicit-implicit, unconditionally spable scheme for unsteady compressible flows // AIAA Journal. 2004. V. 42. No. 3, P. 551.

89. Menshov I., Nakamura Y Instability of isolated compressible entropy-stratified vortices // Physics of Fluids 2005. V. 17, No. 1.

90. Menshov I., Mischenko A., Serezhkin A. An eulerian Godunov-type scheme for calculation of the elastic-plastic flow equations with moving grids // Europ. Congress on Comput. Methods in Appl. Sc. and Eng. (ECCOMAS 2012). J. Eberhardsteiner et. al. (eds.). Vienna, Austria, September 10-14, 2012. CD format, 2012. Article 2164. 20 p.

91 .Liu, G.R. and Liu, M.B. Smoothed Particle Hydrodynamics: a meshfree particle method. Singapore: World Scientific, 2003.

92. Meyers M.A. Dynamical Behavior of materials. N.Y.: Wiley, 1994.

93. Monaghan J.J. Smoothed particle hydrodynamics //Annu. Rev. Astron. Astrophys. 1992. V. 30. Pp. 543-574.

94. Prager W. Introduction to mechanics of continua. USA: Ginn and Co., 1961. = Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М: Изд-во иностр. лит., 1963. 312 с.

95. Predebon W.W., Anderson С.Е. (Jr.), Walker J. D. Inclusion of evolutionary damage measures in Eulerian wavecodes // Computational Mechanics. 1991. №7. P. 221-236.

96.Roudenko V., Chabourov M., Tchekhounov E. Virtual physics laboratory of the package MASTER. Proc. International Conference "Physics Teacher Education beyond 2000", Barcelona, 2000.

97. Rusanov V. V. Calculation of unsteady shock waves with obstacles, Jour, of Сотр. Math, and Math. Phys. 1961. V. 1. № 2. P. 267

98. Stein E., Rtiter M., Ohnimus S. Adaptive finite element analysis and modelling of solids and structures. Findings, problems and trends // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2004. V. 60. Pp. 103-138.

99. Того E.F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. Spinger-Verlag: Berlin Heidelberg, 1999.

100. Tang A. and Ting T. Wave curves for the Riemann problem of plane waves in elastic solids // Int. J. Eng. Sci. 1987. V. 25. P. 1343.

101. Taylor G.I. The use of flat-ended projectiles for determining dynamic yield stress. Part I // Proc. Royal Soc. (London). Ser. A194. 1948. Pp. 289299.

102. Trangenstein J. A. and Pember R.B. The Riemann problem for longitudinal motion in an elastic-plastic bar // SIAM J. Sei. Stat. Comput. 1991. V. 12 P. 180.

103. Udaykumar H.S., Tran L., Belk D.M., Vanden K.J. An Eulerian method for computation of multimaterial impact with ENO shock-capturing and sharp interfaces // Journal of Computational Physics. 2003. V. 186. Pp. 136-177.

104. Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme, II. Monotonicity and conservation combined in a second order scheme / J. of Comp. Phys. 1974. V. 14. P. 361.

105. Wilkins M.L. Modelling the behaving of materials // Structural impact and crushworthiness: Proc. Intern. Conf., L. and N.Y., 1984. V. 2. Pp. 243287.

106. Wilkins M.L., Guinan M. W. Impact of cylinders on a rigid boundary // J. Appl. Phys. 1973. V. 44. № 3. P. 1200-1216.

107. Yanenko NN. The method of fractional steps // Berlin: SpringerVerlag, 1971.

108. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The finite element method: its basis and fundamentals. Elsevier Butterworth-Heinemann, 2005.

109. Zukas J.A., Nicholas T., Swift H.F., Gresczuk L.B., Curran D.R. Impact Dynamics. Wiley, New York, 1982.