СПИНОРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ КИРАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ГРАФЕНА тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Искандар Мухаммад

• Искандар Мухаммад
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Искандар Мухаммад

СОДЕРЖАНИЕ

I. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Атом Углерода (его свойства)

1.2. Графен (история создания)

1.3. Физические Свойства графена

1.4. Структура Графеновых Кромок

II. КИРАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ГРАФЕНА

2.1. Спинорная Реализация Киральной Модели Графена

2.2. Нелинейная Спинорная Модель

2.3. Унитарный параметр порядка и гибридизация в графене

2.4. Волны на Поверхности Графена

(рябь)

2.5. C - нанотрубки

III. Взаимодействие Графена С Внешним Магнитным Полем, Параллельным Поверхности графена

3.1. Структура Унитарной Матрицы в Киральной Модели Графена

3.2. Плотность Лагранжиана L

3.3. Интеграл «Энергии»

3.4. Анализ решения в области 2 — оо, А « — В02

3.5. Анализ решения в области 2 — 0, А —

IV. Взаимодействие Графена С Внешним Магнитным Полем, Ортогональным Поверхности графена

4.1 Структура Унитарной Матрицы в Киральной Модели

4.2 Лагранжева плотность £

4.3 Анализ решения в области 2 — о

4.4 Анализ решения в Области Малых г и Произвольных г

ВЫВОДЫ

ЛИТЕРАТУРА

ГЛАВА I

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «СПИНОРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ КИРАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ГРАФЕНА»

ВВЕДЕНИЕ

1.1. Атом Углерода (его свойства)

Углерод является шестым элементом в таблице Менделеева. Он состоит из двух стабильных изотопов, 12C (98.9 % природного углерода) с ядерным спином 1=0 и ядерным магнитным

13 1

моментом цп = 0, и C (1.1% природного углерода) с I = - and цп =

0.7024 (цы - ядерный магнетон).

Как и большинство химических элементов, он происходит от нуклеосинтеза в звездах (обзор см. в Нобелевской лекции Фаулера (1984)). Фактически, он играет решающую роль в химической эволюции Вселенной.

Звезды в первом поколении воспроизводят энергию путем протонной реакции, которая приводит к синтезу одной а -частицы (4He) из четырех нуклонов. Дальнейшая реакция ядерного синтеза может привести к образованию либо изотопов 5He and 5Li (p + а collisions) или 8Be (а + а collisions); однако, все эти ядра нестабильны. Впервые это было открыто Ф. Хойлом. Химическая эволюция не останавливается только на гелии из-за счастливого совпадения: ядра углерода обладают энергетическим уровнем достаточно близким к энергии трех

альфа-частиц: процесс 3а^12^ будучи резонансным, имеет достаточно высокую вероятность. Это откроет путь к преодолению разрыва массы (отсутствие стабильных изотопов с массами 5 и 8) и обеспечит условия для нуклеосинтеза до наиболее стабильного ядра, более тяжелые элементы

синтезируются при взрывах суперновых звезд.

12

Реакция 3а^ C является главным источником энергии для красных гигантов. Углерод играет также важную роль в ядерной реакции в звездах главной последовательности (тяжелее, чем Солнце) через так называемый цикл CNO.

Атом углерода имеет 6 электронов, 2 из которых образуют замкнутую оболочку (оболочка гелия) и 4 заполняющихся 2s

и 2p состояния. Основное состояние имеет атомную

22

конфигурацию 2s 2p , с суммарным спином S=1, суммарным орбитальным моментом L=1 и полным угловым моментом J=0 (основное состояние мультиплета ^0). Первое возбужденное

3 1

состояние с 7 = 1, P1 мультиплет, имеет энергию 16.4 ^ ~ 2 МэВ (Радциг и Смирнов, 1985г. дают оценку силы спин-орбитального взаимодействия в атоме углерода). Самое низкое энергетическое состояние с конфигурацией 2s1 2p3 имеет энергию 33 735.2 от-1 ~ 4.2 эВ (Радциг и Смирнов, 1985 г.), так что это соответствует энергии возбуждения электронов с 2s состояния в 2р состояние. На первый взгляд, это может означать, что углерод должен быть всегда бивалентным, из-за того, что он содержит 2р электроны, в

то время как 2s электроны химически инертны. Однако этот вывод ошибочен. Как правило, углерод является четырехвалентным, из-за образования гибридизированных

а-« «_»

электронных состояний. В соответствии с концепцией "резонанса" разработанной Л. Полингом (Паулинг, 1960; Эйринг, Уолтер и Кимбалл, 1946).

Когда атом включается в молекулы или твердые тела, это означает, что общая энергия уменьшается из-за перекрытия электронно-волновой функции и в молекулярно-орбитальных образованиях (в молекулах) или энергетических зонах (в твердых телах) - для компактного образования химической связи в твердых телах. Энергетическое усиление может быть достаточным, чтобы обеспечить энергией, которая является необходимой для перехода 2s электронов в 2p в атоме углерода.

1.2. Графен (история создания)

Графен является аллотропом углерода. Его структура представляет плоский лист из sp2-связанных атомов углерода, которые плотно упакованы в гексагональной кристаллической решетке. Термин "графен" был придуман как комбинация гарфита с окончанием - ен (Ханс-Питером Бем), который описал однослойную углеродную фольгу в 1962 г. Графен легче представить как шестиугольную сетку из атомов углерода. Кристаллическая или чешуйчатая форма графита состоит из множества графеновых листов, сложенных вместе.

Длина углеродной связи в графене составляет около 0.142 нанометра. Листы графена складываются с межплоскостным расстоянием в 0.335 нанометра. Графен является основным структурным элементом для некоторых углеродных аллотропов, включая графит, уголь, углеродные нанотрубки и фуллерен. Его также можно рассматривать в качестве ароматической молекулы, в предельном случае семейства плоских полициклических ароматических углеводородов.

Рис 1. Графен представляет собой атомную решетку из сотовых ячеек, состоящую из атомов углерода.

Нобелевская премия была присуждена в 2010 Андрею Гейму и Константину Новоселову из университета Манчестера за новаторские эксперименты по исследованию двумерного материала графена.

Графен представляет собой монослой атомов углерода, плотно упакованных в двумерную гексагональную решетку, и является строительным блоком для графитовых материалов всех других размерностей.

1.3. Физические Свойства Графена.

Существует растущий интерес к исследованиям графена, по причине уникальных свойств, включая многочисленные фундаментальные и технологические исследования для развития и углубления понимания свойств материала, на которые сильно влияет характер краев графена. Графен был описан и выделен в 1962 Боем. В 1994 сообщалось, что он представляет собой один атомный слой углерода или один слой графита, который содержит множество слоев графена с межплоскостным расстоянием в 0.33 нанометра. С тех пор были изучены несколько методов производства графена, таких как метод вытягивания с помощью эксфолиации (известный также как

метод скотч-лент), который был продемонстрирован Геймом и Новоселовым. В 2004 году были изобретены несколько других методов, таких как эпитаксиальный рост карбида кремния после нагревания до высоких температур (> 1 1 0 00С), эпитаксиальный рост на металлических подложках, таких как рост меди, натрия, иридия, рутения и никеля из метлл-углеродных расплавов, из углеродных нанотрубок или восстановления оксида графита с последующим отслаиванием листов путем расширения.

Структура электронной зоны графена может быть описана как полупроводник с исчезающей поверхностью Ферми. Графен демонстрирует удивительно высокую подвижность электронов при комнатной температуре, экспериментально подтверждено

кзначение 15,000 ст /у с теоретически внутренним пределом в

200,000 ст7у5 п р и ко н ц е н тра ц и и н о си тел е й 1 0 1 2/сш2.

Элементарная ячейка графена состоит из шести атомов углерода с неразличимой л-7т* — зоной Ферми и вырожденными уровнями энергии с линейной дисперсией в К-точках в зоне Бриллюэна. Графен также имеет уникальные оптические свойства (поглощает ~2.3% белого цвета), теплофизические свойства (теплопроводность между (4.48±0.44)х1 03 и

(5.30±0.48)х 1 0 зИ7шЛ:,

а также механические свойства

(прочность разрыва в 200 раз больше, чем сталь, выдерживающей давление в 130 гПа). Ву и его коллеги также

продемонстрировали, что пленки из графена, полученные методом электрофоретического осаждения, демонстрируют высокую эффективность. Свойства полевой эмиссии могут быть обьяснены как результат исключительных структурных характеристик, таких как высокая плотность, равномерная толщина с многочисленными краями, перпендикулярными поверхностям пленки, хорошим контактом с поверхностью раздела и адгезия с подложкой.

Листы графена могут быть изготовлены в виде тонких пленок с морщинами или рябью, которые могут быть согнуты без существенного изменения в плоскости длины углеродной связи (~0.142 пт), что делает затраты энергии, необходимые для деформации, относительно небольшими. Плоский лист графена, как известно, нестабилен по отношению к прокрутке, то есть, скручиванию вверх, что является энергетически низким состоянием, и рябь графена на поверхности диоксида кремния не является внутренним эффектом. Теоретически, нанографины, листы графена, нанесенные на графитовые пленки, можно прокатывать в углеродные нанотрубки (УНТ), обертывая вокруг, чтобы не образовать замкнутую структуру без границ в целях устранения оборванных связей. Таким образом, форма кромки графена представляет большой интерес, так как известно, что хиральность и морфология краев определяют электронные свойства.

Аналогичным образом, графеновые нанорибоны представляют собой графеновые узкие полосы, в которых преобладают краевые эффекты. Применение соответствующих граничных условий к волновой функции электрона показывает, что в зависимости от ширины и структуры ребер (кресло против зигзага) существуют как полупроводниковые, так и металлические графеновые нанорибоны, подобные углеродным нанотрубкам с различной степенью киральности. Однако, в отличие от карбоновых нанотрубок, двумерная структура и богатая химия краев в дополнение к высокой электрической и тепловой проводимости, делают их привлекательной альтернативой меди для приложений при построении межкомпонентных интегральных схем. Учитывая ширину в 15 нанометров, графеновые нанорибоны демонстрируют энергетическую щель в 200 МэВ в соответствии с экспериментальным результатом Бургхарда.

В частности, в указанной обзорной статье основное внимание уделяется деталям, касающимся краев графена, охватывающих семь различных основных характеристик: структурный характер ребер, образование края через химическую функционализацию, восстановление края посредством химического травления, краевые дефекты, физические свойства краев (оптические, электрические и электронные свойства), характеристика краев и роль краев в нескольких прикладных устройствах.

1.4. Структура Графеновых Кромок

Характер краев графена определяется свойствами структуры интересующего материала. Таким образом, важно отметить различные графеновые материалы (графеновые листы и тромбоциты, ленты, окисленный графен, химический / термически восстановленный графен и окисленные графеновые ленты, распакованные первоначально из карбоновых нанотрубок) с точки зрения влияния их краевой конфигурации, а также различных теоретических предсказаний их устойчивости и экспериментальные наблюдения химической реактивности. Мы предлагаем детальный обзор наиболее важных аспектов структурных эффектов края.

Графен, с его - гибридизированными атомами углерода, упакованными в гексагональный слой, который имеет ребра, включающие две разные конфигурации: "кресло" или "зигзаг" (Рис. 2). Край также может состоять из комбинации обеих конфигураций.

Fig. 2. Схематическая иллюстрация (a) графитовой укладки типа ABAB и (b) двух ее краевых плоскостей (кресла и зигзагообразные края).

Каждый атом углерода зигзагообразной кромки имеет неспаренный электрон, который активен для соединения с другими реагентами. Атомы углерода креслообразного края также имеют неспаренный электрон, который активен для объединения с другими реагентами. Однако, атомы углерода креслообразной стороны являются более стабильными в отношении химической реакции, поскольку имеется тройная ковалентная связь между двумя открытыми краевыми атомами углерода каждого краевого гексагонального кольца (Рис. 3). Ребра зигзага обладают локализованным краевым состоянием, усиливающим локальную плотность состояния вблизи энергии Ферми, и эти состояния могут быть поляризованы Кулоновскими взаимодействиями.

Рис. 3. (Цвет онлайн) Графеновые структуры с (а) краями зигзага и (Ь)кресел

Наноразмерные графеновые пластинки представляют собой еще один новый класс графеновых материалов, состоящих из одного или нескольких слоев графена, толщиной с от 0.34 до 100 нанометров. Они имеют унаследованное от края несвязывающее п-состояние, которое может приводить к нетрадиционным наномагнитным свойствам, таким как состояния спинового стекла, магнитное переключение и зондирование спинового газа краевого состояния.

Разреженный графен внутри узкой полоски является результатом образования графеновых нанорибонов, которые также могут быть классифицированы как имеющие кресловую или зигзаговую структуру в соответствии с конфигурацией их границ (Рис. 3). Кресловая или зигзаговая геометрия обладает закрытыми краями, то есть полностью скоординированными связями. Когда края становятся дефектными, они называются "открытыми" (Рис. 4). Ленты с зигзагообразными краями (зигзаообразные графеновые наноленты, обладают

локальными электронами. Следовательно, ленточные графеновые кромки имеют значительно более высокую проводимость, чем ленточные графеновые листы.

Конфигурация края может также быть по-своему классифицирована, поскольку внутренний слой может развернуться или свернуться/завиться, в зависимости от способа получения, такого как отжиг при высокой температуре или облучение электронным лучом. Следовательно, внутренние края формируются во время процедуры экс-расплющивания. Они связывают невозмущенное случайное рифленое строение атома с ненасыщенными атомами углерода. Однородность строения атома зависит от методов, используемых при производстве графеновых листов. У краев развернутого графена всегда есть грубость порядка миллимикрона без предпочтительного направления несмотря на их выравнивание. Однако графеновые листы могут свернуться/завиться назад с произвольным направлением сворачивания, приводящим к вращательным дефектам укладки.

Рис.4. Изображение HRTEM частично открывает края для кресла (а^) и зигзагообразные края (е). (Ь) изолированное вытеснение шестиугольника от кабинетного края, где закрытый край частично сломан (а). (с) моделируемое изображение на основе модели, описанной в (е) открытая структура зигзагообразного края

Концентрация мест края на периферии графеновых областей высока по сравнению с основными местами. Зигзагообразные края состоят из ароматических секстетов, разбитых в большинстве колец. Энергетически эти зигзагообразные края

более стабильны, чем кабинетные края. Поэтому взаимное преобразование зигзагообразных краев к кабинетной конфигурации затруднено из-за их большей стабильности, которая требует, чтобы миграция атомов края была завершена, как подтверждено Girit, и др. данными с исправленными изображениями просвечивающего электронного микроскопа на Рис. 5.

Рис.5. (Окрашенная онлайн) реконфигурация Края. Преобразование кабинетного края (вершина) к зигзагообразному краю (основание). Этих двух атомов, отмеченных как синие точки в верхней структуре, не стало в более низком теле, где четыре новых атома углерода обозначены как красные алмазы. Кабинетный край с 7 шестиугольниками преобразован в зигзагообразный край с 9 шестиугольниками с 60о. Преобразование происходит из-за миграции атомов вдоль края. (Ь) Подобное поведение наблюдается в кинетическом моделировании Монте-Карло роста отверстия, где три зигзагообразных атома (красные алмазы, вершина) исчезают, и появляются два кабинетных атома (синие точки, основание). Обе структуры в (Ь) включены вертикально.

ГЛАВА II

КИРАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ГРАФЕНА

2.1 Спинорная Реализация Киральной Модели Графена

Состояние, для которого некоторое поле реализует минимум энергии, известно как циклическое или вакуумное состояние. В вакуумном состоянии поле не зависит от координат. Воспользуемся тождеством Фирца - Паули - Бриоски:

где

5 = фц, р = 1 фу51р ^ = флф ^ = ¿фу^Ч* здесь А - Матрицы Паули в изопространстве

= + р2 + V2 + а2 +А

2

(2.1)

]ц =

(2.2)

а 8 - спинорное поле представляется как

При этом используется потенциал Хиггса

^н = ^о О'2 - <*о )2 (2.3)

где Ко , оо - некоторые постоянные. В вакуумном состоянии потенциал Хиггса обращается в ноль. Поэтому асимптотически мы можем записать, что при

У2 - о<2 (2.4)

Важно то, что в силу тождества Фирца-Паули-Бриоски, в зависимости от вакуумного значения может быть реализовано многообразие 52 или 53 , чтобы соответствующая гомотопическая группа была нетривиальна. Во втором случае топологический заряд имеет вид степени отображения. Эта модель называется моделью Скирма для барионов, где скалярное поле в вакууме Ч"Ч = о постоянно. Тогда инвариант

а 2 + я2 = ту (2.5)

называется киральным инвариантом. Если V 2 = Оц, то многообразие есть 52 и если

ФАзЧ^ас = п о ст оя нная , = 7Г3 (52) , (2.6)

тогда , и это соответствует модели Фадеева для

лептонов.

2.2 Нелинейная Спинорная Модель

Чтобы убедиться в реализации состояний (2.5) и (2.6), рассмотрим лагранжеву плотность вида

где

£= + Х2 +

А = ЧУ^Ч*

(2.7)

(2.8а)

*п 2

¿2 = ЫО ^ 40* - С* ду Ч>)(Ч> дм V) ]

(2.8Ь)

¿з = ^[(Ч'АзЧ'Г-аоГ

(2.8с)

Тензор энергии-импульса определяется следующим образом:

Т? = п^ ч> + а^ - ^ х

(2.9)

где,

Ф _ д£

Пи, =

ч» 3(3^4»)

= д^ + 2 ^ ^ [V (д^Ч>) ^ - V (даЧ"Р)

(2.10а)

п*

ах

аса^чо

у^Ч* + 2д1оаР [ Ч>(ЧдаЧ>) - ^ ччччл]

(2.10b)

Отсюда легко получить плотность энергии, опираясь на теорему Эйлера об однородной функции (2.8):

о 1 = ФУУУу4 + (д ¿Ф УУУуд ¿40 (2.11)

о) 2 = 2 ( o02 — о2) (2.12)

Здесь о 1 - плотность энергии для X1 and о 2— плотность энергии для Х2. По теореме Нетер, энергию можно записать как,

Е = / r0°d3x (2.13)

При этом получается оценка энергии

Е > / d3 х о 1 + / d3 х о 2

= / d3 х фуУ/у д+ ( д ¿ф уУ/у д¿4) + / d3 х 2 ( o02 — o2 )

(2.14)

2 .3 . Унитарный параметр порядка и гибридизация в графене

С самого открытия моноатомных углеродных слоев, называемых графенами, этот материал вызвал огромный интерес

исследователей в связи с его экстраординарными свойствами в отношении магнетизма и высокой электропроводности. В основе этого исследования лежит следующее. Как известно, атом углерода обладает четырьмя валентными электронами в так называемых гибридизованных sp-состояниях, один из которых «свободен» в решетке графена, а все остальные образуют sp-связи с соседями.

Кажется естественным ввести скалярное а0 and a 3 -векторное поля, соответствующие s-орбитальному и p-орбитальному состояниям «свободного» электрона соответственно. Эти два поля могут быть объединены в унитарную матрицу U £5 U( 2 ) , рассматриваемую как параметр порядка рассматриваемой модели, если принять длинноволновое приближение, т.е.

где т0 - единичная 2 x 2 - матрица, а т - матрицы Паули с условием -

Удобно построить путем дифференцирования кирального поля (2.15) так называемый левый киральный ток

U = а0 т0 + i а т

(2.15)

al + а2 = 1

(2.16)

L = U+dnU

(2.17)

Индекс д , пробегает значения 0,1,2,3 и обозначает производные по времени х° = ct и по пространственным координатам x¿, i = 1 ,2 ,3 . Тогда простейшая плотность лагранжиана имеет вид

£ = —1 / 5р ( — 1 А2а2 (2.18)

и соответствует сигма-модельному подходу в теории поля с массовым членом. Здесь были введены постоянные параметры модели and . Сравнивая плотность лагранжиана (2.18) с теорией Ландау-Лифшица, относящейся к квазиклассическому длинноволновому приближению в магнитной модели Гейзенберга, можно интерпретировать параметр / в (2.18) как обменную энергию между атомами (на постоянную решетки).

Подставляя (2.15) в (2.17), (2.18) и учитывая условие (2.16), легко получаем следующую лагранжеву плотность:

X = 1 / ( д^а°д "а ° + д^а д "а ) — \ А2а2 (2.19)

Для случая малых a - возбуждений уравнения движения, порожденные формулой (2.19), принимают вид

А2\ □а - ( — 1 а = 0

и относятся к закону дисперсии

а2

о = /с °c , к2 = к 2 + —

который в высокочастотном приближении имеет линейную фотоноподобную форму.

Мы начинаем со статической одномерной конфигурации относящейся к идеальной графеновой плоскости, нормальной, к оси I. В этом случае параметр порядка имеет вид

U = ехр(и//т3 ), гр = ip(z) с Лагранжевой плотностью

£ = -± / ф I A2Sin2i/> (2.20)

Структура (2.20) дает уравнения движения

0 = 2фЧф" - sin2А22 ф'

= 2lip" - A2sin2ф

= /(ф'2)' — (sin 2i/;)A2

= I ф'2 — A2(sin2ip) = const Я

гр' = — sini/>

л/7

dtp я ~ = 5 Z

sin VI

ф я aint5I="V7az

гд | = е V/

т/ о (г) = 2аг^апе( * ) (2.21)

с характерной толщиной (параметр длины)

£ = V (2.22)

л

Решение (2.21) удовлетворяет естественным граничным условиям

// (—00) = 0 , // (+00) = 7Г ,

и соответствует энергии на единицу площади

(/ гр0'2 - Х2(Б\п2гр0) = 2 Ял/7

2.4 Волны на Поверхности Графена (рябь)

Рассмотрим теперь малые возмущения решения (2.21) в непосредственной близости от идеальной графеновой поверхности, т. е. для небольшого - z . С °( 0 ) = п / 2 , можно найти для возмущения and следующее

значение Лагранжевой плотности :

Теперь можно сделать вывод, что уравнения для статического возмущения суть

где А 1 = + Зу. В Декартовых координатах х , у на идеальной графеновой плоскости ъ = 0, легко находим возбуждения в периодическом виде

С = Со ехр (—/с2 г 2/ 2 ) с о 5 /х, а+ = А+ек Кх, К2 = /с2 — Я2// (2.24)

где к £>1 . . Экспоненциальный рост по Z решения (2.24) означает нестабильность идеального графена, что впервые упоминается Н. Д. Мерминым и Вагнером в 1966 г. в случае магнетиков. Существуют также кольца возбуждений аксиально-симметричной формы:

z2^ (z" 2д2<0 + А 1 f = 0 , (А — -Г 1)а + = 0 , (2.23)

f = <f0 ехр(—/с2 z2/2) J0(kp), а+= A+eim(Pe*zJm(Kp),

+

(2.25)

где /т функция Бесселя m-го порядка, m = 0,1, 2, ... и р, < -полярные координаты в плоскости графена. Таким образом, можно сделать вывод, что плоскость графена допускает изгиб. Гофрировки плоскости графена действительно наблюдаются [6,7,8]. В представлении (2.23) следует также подчеркнуть, что кривая дисперсии обнаруживает анизотропный характер и имеет две ветви. Первая касается поперечных а3 - возмущений и фотонного поведения. Вторая ветвь касается продольного а1(а2 - возмущения и"упомянутого выше массового поведения.

2.5. C - нанотрубки

Будем теперь искать статические аксиально - симметричные конфигурации вида

U = exp Ьфа, ф = ф(р), о = т± cos ф + т2 sin ф, ф = пер,

Конфигурации (2.26) описывают бесконечные с - нанотрубки со структурой «Ежа» в поперечном сечении. Подставляя (2.26) в (2.18), получаем

п = 1,2,..

(2.26)

(2.27)

Соответствующие уравнения движения для хирального угла ф (р ) принимают вид:

2 р (р ф')' = (п 2 + 5 т2 ф (2.28)

р

После замены переменной г| = I о g— находим в пределе

ъ

п » Р/^ решение уравнения (2.28) типа кинка:

ф(л) = 2 агс^ап[ехр(п770 — 7177)]

(2.29)

удовлетворяющее граничным условиям

7Г, где параметр Д = -^ехр^ 0 играет роль радиуса трубки. Подставляя (2.29) в (2.27), можно вычислить энергию с-нанотрубки на единицу длины:

Е = 2 7г/п 2 / ¿77 5 т2ф = 47г/п (2.30)

Стоит отметить, что целое число п в (2.30) является так называемым топологическим зарядом типа степени (количество закруток)

1 г

@ = — ^ 2 й ф йф 5 тф = п (2.31)

Согласно (2.30) и (2.31), энергия трубки на единицу длины пропорциональна топологическому заряду ^ = и.

ГЛАВА III

Взаимодействие Графена С Внешним Магнитным Полем, Параллельным Поверхности Графена

3.1. Структура унитарной матрицы в Киральной Модели Графена

Для реализации эффекта sp-гибридизации в киральной модели графена было предложено [2] использовать унитарную SU (2) матрицу

V = а0 т0 + i cl т =

а0 + i а3 iat + а2 10,-^ 0-2 С^о ^ С^з

рассматриваемую как параметр порядка [9]. Здесь то ,т это единичная матрица и матрицы Паули соответственно. Скалярное и векторное поле а о ,сГ, а 2 + сГ2 = 1 определяет гибридизацию, т. е. смесь s - и р - состояний свободных валентных электронов в плоскости одноатомного углерода. Для описания спиновых и квази-спиновых возбуждений в графене, соответствующих независимым возбуждениям двух треугольных под-решеток, мы используем два Дираковских спинора и

рассмотрим комбинированное спинорное поле

в качестве нового параметра порядка, где - первый

столбец

/а0+ ia3\ t = / a0- ia3\ * \i % — а 2/ ' * V — — «2/

ff* = ao + a2 + a2 + a| = c*o + a2

3.2. Плотность Лагранжиана £

Плотность лагранжиана модели £

PDß4* - j jß jßa2 + i <V FßV4 ä2 -

— P UßV

16 vr

(3.1)

включает проектор P = yvyv на положительные энергетические состояния, где = Ч* уц Ч , ц = 0, 1, 2, 3 , обозначает Дираковский ток, Ч* = Ч+у0. Модель содержит два постоянных параметра: обменную постоянную I решетки и некоторую характерную обратную длину л/Я . Взаимодействие с электромагнитным полем реализуется через расширение производной: = d^ — i е0 где е0 - константа связи и Ге = ( 1 — т3) / 2 является оператором заряда, который выбирается в соответствии с естественным граничным условием

на бесконечности: а0 = 1 . Однако, дополнительный член взаимодействия типа Паули также должен быть добавлен, чтобы учесть соответствующие магнитные моменты электронов. Здесь V = [Уд ,Уи ] /4 , F^ = a^A „ - з„Ад и До > 0 обозначает магнетон Бора на постоянную решетки в кубе.

Давайте теперь рассмотрим в качестве примера взаимодействие моно-атомного слоя углерода z = 0 со статическим однородным магнитным полем В0, ориентированным вдоль x-оси. Введем векторный потенциал Ay = A (z) , с напряженностью магнитного поля Вх = В(z) = и естественным граничным условием на бесконечности . Описанная модель допускает очевидную симметрию ■ <=> 0 2 , у0 - инвариантность ф = у0 ф, а также дискретные симметрии 0 i <=> 0 t*; а2> 3 = — а2>3 . Таким образом, можно ввести хиральный угол О (z) : а0 = с о sO, % = s i пО и реальный 2-спинор ф(г)= col (u,-u), где ■ t = ■ 2 = со / (ф, ф). В результате новая Лагранжева плотность принимает вид:

Первая часть

/_

2 м

= ie0A^re)P(d»4> - ie0A»4Te)]

= \ [faV+YoYVv - ie0A^+y0reyvJv)(d^ - ie0A^Ve)]

dß4,+YoYVJvd^ _ dß4>+Y0YVJvie0AV4>re - ie0Aß4>+Y0TeYv]vd^4> _

_ i ~ 2

elAßAL'4>+y0rlyvJv4>

где ,

= dß4>+y0YvJvd»4> = dß4>+yod»4>yvJv

= J J

= j2(a2 + a2) = j2(cos2e + sin2e) = 16\(p\4Q'2 где

и

= dß^+Y0YvJvie0A^re - ie0Aß4>+Y0reYvJvdß4>

= ie0Aß4>+Y0 (J) YvJvd^

= ie0 ¿yW+Ч (J) J - ie0d»Aß4>+4> (J) J

= (dßA»~ d»Aß) ie0(a2 + a2)j2 = В ie0j2 = 16\(p'\2\(p\2

и С * ) ,

= etA^+YoThlv1? = e¿A24>+yor¿YvJv4> = е2А2Ч>+Уо (°) yvJv4>

= e2A24>+4>(°1) )

= elA2j2al

= 16 elA2sin2в |<p |4

Тогда первая часть принимает вид

= ^(-16\(p\4 в'2 - 16\(p'\2\(p |2 - 16 e%A2sin2e |<p |4) = -8I\(p\4 (в12 + e¡A2sin26 +

вторая часть,

X2

)цУ

= — / i^d2

2

X2

-*2 -2 = -ya j

16

= - — X2\<p 14sin2e

= -8X2\(p 14sin26 и наконец, третья часть,

= i <V a2 = i W F»v a2

L

= i Íio^+Yo^1 4* F»v d2

L

= 4^ч+М! ц, ¿2

= 4[10А'(р+т1(р

четвертая часть, 1

—__/7

16 ^

= (Ё2 - В2) 8тг 4 у

87Г

^гу — В — Вх — —дгАу + дуАг

= —А'

дуАг = О Лу = Л

= А

ср —т±(р

В2 = А'2 Ё2 = О

В результате лагранжиан принимает вид:

\<р12

£ = —81\(р\ + е$А бш в + ) - 8\2\<р ^¿п2^

А'2

+ 4/10А'(р тг<р —

8п

\(р'\2

= —81\<р\4в'2 - 81\(р\4 е1А2Бт2в - 81\<р\4

\<Р г А'2

- 8А2|<р 14зт2в + А^А'ср+т^ -

8п

= -81\(р\4в'2 - 81\(р\4 е1А2Бт2в - 81\(р\2\(р'\2

А'2

- 8Л2|<р 14зт2в + А^А'ср+^ср -

8тс

Когда вводится новая переменная:

и = \(р\2 = 2и2 ,]2 = 16£/2 то допускается симметрия:

(р =4> —ф

Этот факт позволяет положить

= ~(р2 = и

и мы можем переписать лагранжеву плотность в виде:

£ = —Ни'2 - 8/£/2(0'2+ е02Л25т2Э) - 8Х2и251п2& + А^А'и -

8тт

(3.2)

3.3. Интеграл «Энергии»

Из (3.2) и граничного условия на бесконечности

7 2 (со) = 1, 0(оо) = О, Л'(°о) = -В0

можно вывести следующим интеграл «энергии»:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Искандар Мухаммад, 2017 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Yu.P. Rybakov. Spin excitations in chiral model of graphene//Solid State Phenomena. 2015. Vol. 233-234. Pp. 1619.

[2] Yu. P. Rybakov. On chiral model of graphene// Solid State Phenomena. 2012. Vol. 190. Pp 59 - 62.

[3] Yu. P. Rybakov. Spin Excitations in Chiral Model of Graphene//Moscow Intern. Symposium on Magnetism, 29 June- 3 July 2014. Book of Abstracts, P. 663. Moscow: Lomonosov MSU, 2014.

[4] Yu. P. Rybakov, M. Iskandar. Magnetic Excitations in Chiral Graphene Model//The third Intern. Scientific Symposium "The Modeling of Nonlinear processes and Systems" (MNPS-2015). Book of abstracts (Moscow, June 22-26, 2015).Pp.38-39. Materials III International Conference, Stankin, Moscow, 2016.

[5] Yu. P. Rybakov, M. Iskandar, A. B. Ahmad. Magnetic Excitations of Graphene in 8 - Spinor Realization of Chiral Model//Peoples' Friendship University of Russia. RUDN University. Ser. Mathematics. Information Sciences. Physics. 2017. Vol. 25.

[6] A. Fasolino, J.H. Los and M.I. Katnelson: Nature Materials// Vol.6 (2007), p. 858.

[7] W. Bao, F. Miao, Z.Chen et.al.: Nature Nanotechnology//Vol.4 (2009), p. 562.

[8] J. C. Meyer, A. K. Geim, M. I. Katsnelson, K. S. Novoselov, T. J. Booth and S. Roth: Nature// Vol. 446 (2007).

[9] Yu. A. Izyumov, M. I. Katnelson and Yu. N. Skryabin. Itinerant Electron Magnetism. - Moscow: Nauka, 1994.

[10] Geim. A. K.// Science, v. 324. 2009, P. 1530 -1534.

[11] Katsnelson. M. I., Novoselov. K. S. //Solid State Communication, v. 143. 2007, P. 3 -13.

[12] Шишкин. Г.Г., Агеев. И. М, Наноэлектроника: Элементы,

Приборы, Устройства. - М: Бином. Лаборатория знаний, 2011.

[13] Acik.M., Chabal.Y.J, Nature of Graphene Edges: A Review, Department of Materials Science and Engineering, The University of Texas at Dallas, Richardson, TX 75080

[14] A.M. Kosevich, B.A. Ivanov and A.S. Kovalev: Nonlinear Magnetization Waves. Dynamical and Topological Solitons (Naukova Dumka, Kiev, 1988).

[15] Yu. P. Rybakov and R. Ochoa Jimenez: Applied Nonlinear

Dynamics//Vol.9 (2001), p. 155.

[16] S.V. Tyablikov: Methods of Quantum Theory of Magnetism (Nauka, Moscow, 1975).

[17] Рыбаков Ю. П. Структура частиц в нелинейной теории поля: Учеб. Пособие. -М.: Изд-во УДН, 1985.

[18] Nicholas Manton. Topological Solitons. Lectrure notes for the XII Saalburg summer school. 2007

[19] Ю. С. Владимиров: Реляционная Теория Пространства-Времени и Взаимодействий.: Изд-во Московского Университета. 1996.

[20] T. H. R. Skyrme. A nonlinear field theory// Proc. R. Soc. Lond. A260.- 1961.

[21] Рыбаков Ю. П., Санюк В. И. Многомерные солитоны.-M.: Изд-во РУДН, 2001.

[22] Katsnelson M. I. Graphene Carbon in Two Dimensions.: Cambridge University Press, 2012.

[23] Aoki. H., Dresselhaus. M. S. Physics of Graphene.: Spinger, 2014

[24] Rho. M., Brown. G. E. The Multifaceted Skyrmion.: World Scientific, 2010.

[25] Rajaraman. R., Solitons and Instantons. An Introduction to Solitons and Instantons in Quantum Field Theory.: North Holland, Amsterdam: 1982.

[26] Картан. Э., Теория Спиноров.: Платон 1997.

[27] Маттис. Д., Теория Магнетизма.: Изд-во МИР Москва, 1967

[28] H. Whitney. Geometric Integration Theory. Princeton Univ. Press. Princeton, 1957.

[29] J. B. Ketterson and S. N. Song: Superconductivity, Cambridge University Press, 1999.

[30] L. D. Faddeev and A. J. Niemi. Partially dual variables in SU(2) Yang Mills theory.// Phys. Rev. Lett. 82.-1999.-Pp 1624- 1627