Электронные и транспортные свойства периодических и неупорядоченных барьерных структур на основе дираковских материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Азарова Екатерина Сергеевна

• Азарова Екатерина Сергеевна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Азарова Екатерина Сергеевна

Введение

Глава 1. Обзор литературы

1.1. Оптико-графеновая аналогия

1.2. Электронный транспорт в графеновых структурах

1.3. Сверхрешетки на основе графена

1.4. Эффект Гуса-Хенхен в структурах на основе графена

1.5. Эффект Ааронова-Бома в графеновых мезоскопических и нанокольцах

Глава 2. Сверхрешетка на основе графена с периодически модулированной ди-

раковской щелью

2.1. Дисперсионное уравнение для дираковской частицы в графеновой сверхрешетке

2.2. Электронная структура

2.3. Электронная структура вблизи дираковских точек

2.4. Краткие выводы по главе

Глава 3. Электронный транспорт в графеновых наноструктурах с пространственно модулированными щелью и потенциалом

3.1. Многобарьерные структуры на основе щелевого графена

3.2. Транспорт через многобарьерные структуры, сформированные полосками щелево-

го и бесщелевого графена

3.3. Кондактанс и дробовой шум

3.4. Слабый беспорядок в сверхрешетках на основе графена

3.5. Длина локализации в неупорядоченных графеновых структурах

3.5.1. Геометрически неупорядоченные структуры

3.5.2. Сверхрешетки с флуктуирующими энергетическими параметрами

3.6. Краткие выводы по главе

Глава 4. Спин- и долинно зависимый эффект Гуса-Хенхен в структурах на основе

силицена и щелевого графена

4.1. Модель и характерные параметры

4.2. Сдвиг Гуса-Хенхен электронного пучка при отражении от единичного интерфейса

4.3. Сдвиг Гуса-Хенхен при прохождении дираковских фермионов через однобарьерную

структуру

4.4. Краткие выводы по главе

Глава 5. Массивные дираковские фермионы в одномерных нанокольцах с неод-нородностями

5.1. Однородное дираковское нанокольцо

5.2. Дираковское кольцо с единичным дефектом

5.2.1. Энергетический спектр Ю графенового кольца

5.2.2. Персист,ент,ный ток в Ю графеновом кольце

5.2.3. Ю силиценовое кольцо

5.3. Влияние заполнения зоны

5.4. Дираковское квантовое кольцо с несколькими дефектами

5.5. Краткие выводы по главе

Заключение

Список работ автора по теме диссертационного исследования

Список литературы

Приложение А. Матрица переноса через многобарьерную структуру на основе щелевого графена

Приложение Б. Показатель Ляпунова для слабо неупорядоченных многобарьерных структур

Приложение В. Дисперсионное уравнение для расчета спектра графенового кольца с несколькими различными дефектами

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электронные и транспортные свойства периодических и неупорядоченных барьерных структур на основе дираковских материалов»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы диссертации

Как известно, к приборам современной микро- и наноэлектроники предъявляются такие требования, как низкое энергопотребление, быстродействие и миниатюризация. Поэтому элементную базу таких устройств должны составлять материалы с высокой подвижностью носителей заряда. В частности, графен, монослой атомов углерода, образующих гексагональную решетку [1-3], обладая определенными преимуществами, проявил себя в качестве кандидата на роль одного из основных материалов микроэлектроники в посткремниевую эпоху.

Графен — это первый истинно двумерный (2В) устойчивый материал, являющийся самым известным из семейства дираковских материалов. Он был получен в 2004 г. в группе А. К. Гейма с помощью метода микромеханического расслоения графита и с момента своего появления обнаружил совершенно уникальные свойства, чем вызвал бурный интерес научного сообщества. Некоторые из характеристик этого материала достигают рекордно высоких значений. Так, при комнатной температуре подвижность носителей в графене ^ ~ 2 • 105 см2 В-1 с-1 [4], а в подвешенном состоянии и при гелиевых температурах достигает значения 6 • 106 см2 В-1 с-1. Графен также имеет рекордно высокую теплопроводность к (от 2000 до 5300 Вт м-1 К-1) и способен выдерживать токи высокой плотности (в миллион раз выше, чем медь) [5]. Он сочетает в себе большую прочность, высокую способность к растяжению, оптическую прозрачность (поглощает лишь 2% света). Но, что еще более важно так это то, что все эти свойства принадлежат одному материалу. Так, например, сочетание проводимости, прозрачности и эластичности может найти применение в гибкой электронике, а прозрачность, непроницаемость и проводимость могут быть использованы при создании прозрачных защитных покрытий. Список таких комбинаций постоянно растет, и возможно какие-то из них приведут к совершенно новым применениям данного материала. Из множества потенциальных применений графена и графеновых структур можно также выделить разработку таких устройств, как транзисторы, почти прозрачные электроды и покрытия, гибкие дисплеи, газовые сенсоры и многое другое.

С другой стороны, интерес теоретиков к графену вызван тем, что низкоэнергетические возбуждения в нем описываются гамильтонианом дираковского типа, так что электроны и дырки оказываются взаимосвязанными. При этом в идеальном графене массовый член в дираков-

ском гамильтониане равен нулю и закон дисперсии квазичастиц становится линейным, а щель между электронной и дырочной зонами исчезает. Таким образом, квазичастицы в этом материале являются безмассовыми дираковскими фермионами (при этом роль скорости света c выполняет фермиевская скорость vf = c/300). Это позволяет наблюдать в графене ряд квантово-электродинамических эффектов, например, парадокс Клейна [6], или «дрожащее» движение (Zitterbewegung) [7,8]. В рамках одночастичной теории парадокс Клейна заключается в возможности прохождения релятивистского электрона через высокие потенциальные барьеры с вероятностью, близкой к единице. Высота барьеров при этом должна превышать 2mc2, для чего необходимы сильные электрические поля: E ~ 1016 В/см, что значительно превосходит возможности экспериментальной физики. В графене масса квазичастиц равна нулю, и это ограничение отсутствует. Так, было показано теоретически [9] и подтверждено экспериментально [10], что любой потенциальный барьер является абсолютно прозрачным при нормальном падении на него электронов.

Однако, несмотря на все выдающиеся свойства, использовать графен в микроэлектронике оказалось сложно. И связано это в первую очередь с тем, что для успешного функционирования электронных устройств, например, в транзисторных приложениях, необходима щель в спектре носителей тока, которая у изолированного графена отсутствует. Таким образом, чтобы контролировать транспорт зарядов, необходимо индуцировать запрещенную зону в дираковских точках. Для достижения этой цели было предложено несколько подходов. Один из них реализуется в лентах нанометровой ширины, вырезанных из листа графена, в которых возможное появление щели в спектре обусловлено эффектом размерного квантования. Спектр наноленты зависит от формы ее краев: кресельных (armchair), зигзагообразных (zigzag) или смешанного типа [11]. Расчеты электронных свойств графеновых лент, выполненные с помощью теории функционала плотности [12-14], а также результаты работ [15,16] позволяют утверждать, что ленты с кресельными и зигзагообразными границами должны проявлять только полупроводниковые свойства. В лентах с краями смешанного типа запрещенная зона более сложно зависит от ее ширины и формы краев. Другие способы создания щели базируются на нарушении симметрии, отвечающей за возникновение линейного закона дисперсии, а именно, подрешеточной симметрии в графене. Это реализуется, например, за счет взаимодействия графена с различного рода подложками или химической модификации. Энергетический спектр дираковских электронов в слое графена, эпитаксиально выращенном на подложке SiC был измерен S. Y. Zhou и др. [17], при этом наблюдалось открытие энергетической щели около 260 мэВ. Гидрогени-зированный (гидрированный) графен или графан [18-20] тоже является щелевым материалом с запрещенной зоной порядка нескольких эВ. Это 2D материал, в котором каждый атом углерода связан с тремя атомами углерода и одним атомом водорода. Также были предложены другие механизмы для открытия щели в широких листах графена: применение механического напряжения (деформаций) [21,22], адсорбции атомов и молекул на графеновый слой [23]. Как было

показано в работе [24], реализовать конфайнмент безмассовых дираковских частиц на листе графена можно с помощью неоднородного магнитного поля, а также комбинации однородного магнитного поля с электрическим [25,26].

Интерес научного сообщества вызывают и другие двумерные материалы, которые обладают богатыми спектральными свойствами, что открывает широкие возможности их применения: гексагональный нитрид бора h-BN [27], тонкие пленки дихалькогенидов переходных металлов [28], 2D топологические изоляторы, такие, как теллурид (Bi2Te3) и селенид (Bi2Se3) висмута [29,30] и др. Все эти материалы имеют объемную слоистую структуру со слабым Ван-дер-Ваальсовым взаимодействием между слоями и сильной ковалентной связью внутри каждого слоя. Кроме того, в последние годы активно изучаются и графеноподобные материалы в частности, силицен [31,32], германен [33,34], фосфорен (см., например, [35]) и 2D гексагональное олово — станен [36,37]. Близкий родственник графена, силицен, не встречается в природе в свободном состоянии, но наноленты из него были синтезированы на металлических поверхностях. Этот материал имеет слегка изогнутую (low-buckled) гексагональную структуру, так что атомы разных подрешеток находятся в разных плоскостях, перпендикулярно смещенных друг относительно друга. Достаточно сильное, в отличие от графена, спин-орбитальное взаимодействие приводит к открытию щели между валентной зоной и зоной проводимости. А изогнутость структуры, т. е. по сути квазидвумерность силицена, открывает возможность манипулирования шириной запрещенной зоны с помощью перпендикулярного электрического поля, приводящего к неэквивалентности подрешеток. Фосфорен, как и графен, может быть получен методом механического отшелушивания из черного фосфора. Кристаллическая структура фосфорена гексагональная, но не плоская, а «сморщенная» (puckered structure), т. е. отличается высокой степенью анизотропии, что приводит к анизотропии закона дисперсии. Этот материал характеризуется высокой подвижностью носителей при комнатной температуре (р ~ 286 см2 В-1 с-1), а величина энергетической щели в нем, согласно первопринципным расчетам, колеблется в диапазоне от ~1 до 2 эВ [38,39]. Одним из главных недостатков обсуждаемых графеноподобных материалов является их нестабильность.

Спектр квазичастиц в графене (и других 2D и квази2D гексагональных кристаллах) характеризуется еще одной особенностью — наличием двух неэквивалентных долин [2], т. е. двух минимумов зоны проводимости, что открывает возможность для развития т. н. валлейтроники (valleytronics, от англ. «valley» долина). Эта область графеновой электроники предполагает использование помимо внутренних степеней свободы носителей (заряда и спина) еще и долинной поляризации, также позволяющей записывать информацию в виде «нулей» и «единиц», представленными принадлежностью частиц K или K' долине, и, таким образом, открывает новые возможности для информационных процессов.

Из остальных представителей класса двумерных материалов, о которых говорилось выше, наиболее привлекательными и перспективными на сегодняшний день считаются слоистый

нитрид бора и дисульфид молибдена. Кристаллическая структура нитрида бора такая же, как у графена, но заполнена она двумя сортами атомов: бора и азота, что делает этот материал изолятором с шириной запрещенной зоны, составляющей 5,2—6 эВ. В отличие от нитрида бора монослой дисульфида молибдена является полупроводником с запрещенной зоной в 1,8 эВ. На его основе получен фототранзистор, и он используется в биохимических приложениях (более подробно эта тема освещена в обзоре [28]). В последнее время также интенсивно изучаются вертикальные гетероструктуры, состоящие из чередующихся слоев графена и гексагонального нитрида бора (или дихалькогенидов переходных металлов), которые рассматриваются, как одно из основных направлений развития тонкопленочной электроники [40].

Цель и основные задачи

Цель работы состоит в теоретическом исследовании электронных, транспортных и лока-лизационных свойств щелевого графена и других графеноподобных материалов (в частности, силицена) с дираковским спектром. В этой связи решаются следующие задачи:

1. Расчет энергетического спектра дираковских частиц в сверхрешетке на основе графена с периодически модулированной энергетической щелью в присутствии внешнего кусочно-постоянного электростатического потенциала;

2. Расчет транспортных характеристик (коэффициента прозрачности, кондактанса и фактора Фано) графеновых многобарьерных структур с кусочно-постоянными потенциалом и энергетической щелью. Вычисление обратной длины локализации для неупорядоченных мультибарьерных структур на основе щелевой модификации графена;

3. Расчет смещения Гуса-Хенхен электронных пучков в графеновых и силиценовых структурах; определение влияния на сдвиг Гуса-Хенхен щелевого параметра;

4. Исследование влияния неоднородностей (дефектов) на электронный спектр и персистент-ные токи в одномерных кольцах Ааронова-Бома из щелевых дираковских материалов.

Научная новизна диссертации

1. Впервые получен электронный спектр дираковских частиц в периодической структуре на основе графена с неоднородной щелью и кусочно-постоянным потенциалом. Обнаружено, что при превышении потенциалом порогового значения в спектре сверхрешетки появляются новые точки Дирака. Найдены координаты дираковских точек в ^-пространстве, получен закон дисперсии и групповая скорость носителей вблизи этих точек;

2. Рассчитаны транспортные характеристики (коэффициент прохождения, кондактанс и фактор Фано) графеновых многобарьерных структур с неоднородной щелью. Впервые получе-

но аналитическое выражение для обратной длины локализации в слабо неупорядоченных щелевых графеновых сверхрешетках, определены условия появления делокализационных резонансов, исследована их устойчивость в зависимости от типа беспорядка и его интенсивности;

3. Впервые рассчитан спин- и долинно зависимый сдвиг Гуса-Хенхен в щелевом графене и силицене при отражении электронных пучков от границы неоднородности, а также при прохождении через потенциальный, в т. ч. и ферромагнитный, барьер;

4. Впервые определен энергетический спектр и рассчитаны персистентные токи электронов проводимости в одномерных нанокольцах Ааронова-Бома из щелевых дираковских материалов; выявлено влияние дефектов на электронную структуру и токи.

Теоретическая и практическая значимость работы

Результаты выполненного исследования являются важными для понимания особенностей электронного транспорта через различные барьерные структуры на основе щелевых дираков-ских материалов, для оценки влияния на транспорт неупорядоченности, а также, в ряде случаев, — спиновой и долинной поляризаций носителей. Кроме того, полученные результаты могут быть полезными при анализе функционирования электронных приборов на основе графена и других дираковских материалов (транзисторы, сенсоры, спиновые и долинные сплиттеры. . . ).

Методология и методы исследования

При решении поставленных задач использовался теоретический анализ: решение уравнения дираковского типа для огибающей функции, формализм матрицы переноса, теория возмущений, метод стационарной фазы — а также численные методы.

Положения, выносимые на защиту

1. Электронный спектр сверхрешетки на основе графена с периодически модулированной энергетической щелью и кусочно-постоянным электростатическим потенциалом становится бесщелевым, начиная с определенного значения приложенного потенциала (являющегося порогом для образования дираковских точек);

2. В слабо неупорядоченной многобарьерной структуре на основе щелевой модификации гра-фена с флуктуациями межбарьерной области (или ширины барьера) существуют точные (устойчивые к возрастанию степени беспорядка) делокализационные резонансы Фабри-Перо; делокализационные резонансы, обусловленные флуктуациями высоты барьеров, являются приближенными. Для структур с однородной щелью и флуктуирующей высотой

барьеров резонансные условия могут быть выполнены при наклонном падении, в то время как в структурах с неоднородной щелью делокализация возможна только для нормально падающих частиц;

3. В структурах на основе щелевых дираковских материалов смещение Гуса-Хенхен электронного пучка происходит в условиях не только полного, но и частичного отражения от интерфейса;

4. Наличие неоднородности в графеновом (силиценовом) кольце Ааронова-Бома приводит к антикроссингу уровней, следствием чего является сглаженность зависимости персистент-ного тока от магнитного потока. Во внешнем поперечном электрическом поле персистент-ный ток неоднородного силиценового кольца не является гладкой функцией магнитного потока. В кольцах Ааронова-Бома из щелевого графена персистентные токи электронов проводимости определяются несколькими нижними уровнями зоны вблизи щели и практически не зависят от верхней части спектра, но при высокой степени заселенности зоны не чувствительны к наличию дефекта.

Степень достоверности полученных результатов

Достоверность полученных результатов диссертационного исследования и их обоснованность обеспечивается использованием проверенных методов теоретической физики; выбором внутренне непротиворечивых физических моделей, учитывающих основные свойства исследуемых систем; оптимальным подбором параметров, согласующихся с экспериментальными и расчетными данными, имеющимися в литературе; а также проведением численных расчетов с применением предельных переходов для получения уже известных результатов других авторов в рамках рассматриваемых моделей.

Публикации и апробация результатов работы

Результаты диссертационного исследования опубликованы в 38 работах, среди которых 5 статей [А1—А5] в зарубежных рецензируемых научных журналах, включенных в систему Web of Science, и 33 публикации [А6—А38] в сборниках трудов и тезисов конференций. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

• Международный симпозиум «Нанофизика и наноэлектроника», Н. Новгород (2014-2016, 2018);

• Международная конференция-школа «Материалы нано-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики: физические свойства и применение», Саранск (2014-2018);

• Международная школа-конференция «Проблемы физики твердого тела и высоких давлений. Идеи и методы физики конденсированного состояния», Сочи (2015);

• Уральская международная зимняя школа по физике полупроводников, Екатеринбург (2016);

• Winter school on Quantum condensed-matter physics, Черноголовка (2017);

• Конференция фонда «Династия», Москва (2014, 2015);

• Школа молодых ученых по физике наноструктурированных и кристаллических материалов, Н. Новгород (2014);

• Всероссийская молодежная конференция «Физика полупроводников и наноструктур, полупроводниковая опто- и наноэлектроника», С.-Петербург (2014, 2017);

• Научные чтения им. академика Н. В. Белова, Н. Новгород (2014);

• Всероссийская школа-конференция «Проблемы физики твердого тела и высоких давлений», Сочи (2016);

• Всероссийская молодежная конференция с международным участием «Актуальные проблемы микро- и наноэлектроники», Уфа (2016);

• Всероссийский молодежный научный форум «Наука будущего — наука молодых», Н. Новгород (2017);

• Российская конференция «Графен: молекула и 2Б-кристалл», Новосибирск (2019);

• Нижегородская сессия молодых ученых «Естественные и математические науки» (2015-2018).

Результаты работы использовались при выполнении работ по грантам:

• Грант РФФИ 16-32-00712-мол_а (проект «Электронные и транспортные свойства муль-тибарьерных структур на основе материалов с дираковскими особенностями спектра»; соискатель выступал в роли исполнителя);

• Индивидуальный грант «PhD Student (Аспирант или молодой ученый без степени)» Фонда развития теоретической физики и математики «БАЗИС» (проект «Эффект Гуса-Хенхен в структурах с материалами с дираковскими особенностями электронного спектра»);

• Грант Минобрнауки РФ (задание № 3.2637.2017/4.6) (проект «Наноструктурированные двумерные дираковские и классические материалы: электронные и спиновые структуры; энергетика; оптические свойства»; соискатель выступал в роли исполнителя);

• Грант РФФИ 18-32-00740-мол_а (проект «Магнитозависимые и спин-орбитальные эффекты в низкоразмерных структурах на основе графена и силицена»; соискатель выступал в роли руководителя).

Личный вклад автора

Автором лично, либо в соавторстве при его непосредственном участии, получены численные результаты и аналитические вычисления, представленные в данной работе. Автор диссертации принимал участие в обсуждении и анализе полученных результатов и подготовке работ к печати.

Структура и объем диссетрации

Диссертация состоит из введения, пяти глав (одной обзорной и четырех оригинальных), заключения, списка работ автора по теме диссертационного исследования, библиографического списка, содержащего 228 источников, и трех приложений. Общий объем диссертации составляет 131 страницу, включая 48 рисунков. Список работ автора состоит из 5 статей, опубликованных в рецензируемых научных журналах, и тезисов 33 докладов.

Глава 1. Обзор литературы

В данной главе представлен обзор теоретических и экспериментальных работ по теме диссертационного исследования. В частности, в п. 1.1 обсуждается оптико-графеновая аналогия, в п. 1.2. — электронный транспорт в графеновых структурах, в п. 1.3 — сверхрешетки на основе графена, в п. 1.4 — эффект Гуса-Хенхен в графеновых структурах, а п. 1.5 посвящен эффекту Ааронова-Бома в графеновых мезоскопических и нанокольцах.

1.1. Оптико-графеновая аналогия

Существует много общего между оптикой и электроникой [41,42]. Лучи в геометрической оптике аналогичны классическим траекториям электронов, тогда как электронные волны де Бройля могут интерферировать. Подтверждение тесной связи между оптикой и электроникой стало возможным благодаря баллистическим транспортным свойствам высокомобильного двумерного электронного газа (2ВЕС), в котором были реализованы электронные аналоги многих оптических явлений (фокусировка, коллимация, интерференция и т.д.).

Волновая функция баллистического нерелятивистского электрона с параболическим законом дисперсии и энергией Е, движущегося в потенциале V, удовлетворяет уравнению Шре-дингера

—т ^

+ (Е — V )Ф(г) = 0, (1.1)

п2

аналогичному уравнению Гельмгольца

АЕ + к2 Е = 0 (1.2)

для компонент электромагнитного поля Е(ЕЕ, Н) с частотой ш и волновым вектором к = распространяющегося в изотропной среде с диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью Поскольку Ф является скаляром, а Е — вектором, аналогию можно провести только между Ф и одной из компонент Е, и то только тогда, когда электромагнитная волна сохраняет свою поляризацию, а именно, является ТЕ- или ТМ-волной. В первом случае электрическое поле имеет одну компоненту, параллельную граничной плоскости (плоскость гу на

Рисунке 1.1): E = (0, 0,Ez(x,y)); во втором - магнитное. Уравнения (1.1) и (1.2) должны быть

Рисунок 1.1. Отражение и прохождение (преломление) квантовой (электромагнитной) волны на границе между двумя средами. фг, фг, ф1 — амплитуды падающей, отраженной и прошедшей (преломленной) волн соответственно.

дополнены граничными условиями на интерфейсе, разделяющем области с различными значениями параметров. Для квантовой волны - это непрерывность волновой функции и нормальной компоненты плотности тока

1 1 йФ2

ф1 = ф2

m\ dx m*2 dx

1.3)

а для электромагнитного поля - равенство тангенциальных составляющих Е и Н .В частности, для ТЕ-волны:

Ezl = ЕХ2, Ну1 = Ну2. (1.4)

При этом второе из равенств (1.4) с учетом уравнения Максвелла эквивалентно условию

1 Е 1 Е

¡i1 dx ¡i2 dx

Таким образом, для волны этой поляризации есть соответствие с квантовой задачей:

Ф(г) о Ez(r), m* о

Углы падения и преломления в1 и в2 связаны законом Снеллиуса

sin 91

1.5)

:1.б)

sin в2

ПО ni

:1.7)

где n - показатель преломления среды:

для электромагнитной волны;

n

\Jm*(E — V) — для квантовой волны;

Г1-8)

Е — энергия электрона, V — электростатический потенциал. Отсюда находим еще одно соотношение соответствия, дополняющее (1.6)

E-V

Теперь относительные амплитуды отраженной (г12) и прошедшей (¿12) волн можно представить в общем виде

Г12

Фт

Фг

. _ Фг ¿12 _ —

Z2 cos 91 — Z1 cos 62 Z2 cos 61 + Z1 cos 92 2Z2 cos 61

фг Z2 cos 91 + Z1 cos 62 При этом коэффициенты отражения (R) и прохождения (T) выражаются через r12, t12:

:i.io)

n.ii)

R _ |Г12|2

T

Z1 cos 62 Z2 cos 61

1112 |2

1 - R.

:i.i2)

Здесь

Zi

— импеданс TE-волны;

E-V;

:i.i3)

импеданс электронной волны.

Для электромагнитной волны TM-типа Zi = \Jsí/^í [41].

Итак, в баллистическом режиме рассеяние электронов на потенциальных барьерах можно понять в таких терминах как отражение, преломление и прохождение, характерных для распространения света. Пусть, например, в 2DEG создана резкая граница, отделяющая область, в которой потенциал отличен от нуля V(r) = V. Тогда при пересечении этой границы нерелятивистским электроном с фермиевской энергией E сохраняется продольная компонента его импульса, т. е.

\pi\ sinвг = \р2\sin02, (1.14)

где pi и p2 - импульсы электрона, а вг и в2 — углы, которые они образуют с нормалью к интерфейсу в областях вне и внутри потенциального барьера соответственно. Это уравнение есть не что иное, как закон Снеллиуса для электронов

sin 61

О

, — V)""

sin 62 V E)

:i.i5)

При этом концентрация электронов в областях i и 2 равна

N1

m*E

N2

m*(E — V)

nh2 nh2

так что закон преломления может быть представлен в виде

sin вг sin в2

:i.i6)

:i.i7)

m

Отсюда в частности следует, что при N2 > Ni угол в2 < 01, т. е. возникает коллимация электронов в направлении по нормали к интерфейсу. Справедливость формулы (1.17) была подтверждена в работах [43,44], в которых на основе гетероструктуры AlGaAs/GaAs были реализованы электронная призма и электронная линза. В таких геометрических электрон-оптических системах волновые свойства электронов несущественны. И единственное требование для их реализации состоит в том, чтобы характерный размер структуры был меньше длины свободного пробега.

Таким образом, хотя электроны и фотоны по своей сути отличаются друг от друга, оказывается возможным перенесение ряда полезных (с точки зрения их потенциальных приложений) концепций из оптики в электронику.

Всюду выше речь шла о нерелятивистских электронах с квадратичным законом дисперсии. Получение и интенсивное изучение графена, в котором квазичастицы подчиняются уравнению Дирака, вывело аналогию между баллистическими электронами и распространением света на новый уровень и стимулировало возникновение и развитие дираковской электронной волновой оптики. Длина свободного пробега электронов в графене может быть порядка микрона при комнатной температуре, а длина волны дираковских электронов может достигать 100 нм и более [45] в реальных системах. Кроме того, очень удобной для наноэлектронных приложений оказалась возможность управлять концентрацией и типом носителей с помощью электрического поля, создаваемого системой электродов. Такие явления электронной оптики как фокусировка [46,47], коллимация [48], брэгговское отражение [49] и эффект Гуса-Хенхен (ГХ) [50,51] могут быть использованы для контроля за распространением электронных волн в электронных гра-феновых устройствах. Так, было показано, что, применяя пару электродов, можно сформировать р-п-переход в графене (Рисунок 1.2), который, благодаря своим свойствам метаматериала,

source probe

gate 1 gate 2

Рисунок 1.2. Электронно-дырочный (p-n) переход в графене. Лист графена помещен над двумя электродами, к которым приложено напряжение различной полярности (заимствовано из [46]).

действует как фокусирующая линза для электронов [46]. В случае биполярного перехода отрицательная рефракция в графене вызовет прохождение электронов через р-п-интерфейс под отрицательным углом, что может быть использовано для фокусировки электронного пучка, инжектированного из точечного источника в фокальную точку на противоположной стороне перехода. Однако распространение электронных волн сильно отличается, если угол падения превышает критический угол. В этих условиях преломленная волна становится эванесцентной,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Азарова Екатерина Сергеевна, 2019 год

Список литературы

[1] Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene / K. S. Novoselov [et al] // Nature. — 2005. — Vol. 438. — P. 197—200.

[2] The electronic properties of graphene / A. H. Castro Neto [et al] // Review of Modern Physics. — 2009. — Vol. 81. — P. 109—162.

[3] Katsnelson, M. I. Graphene. Carbon in two dimensions / M. I. Katsnelson — New York: Cambridge University Press, 2012. — 351 PP.

[4] Micrometer-Scale Ballistic Transport in Encapsulated Graphene at Room Temperature /

A. S. Mayorov [et al] // Nano Letters. — 2011. — Vol. 11, № 6. — P. 2396—2399.

[5] Science and technology roadmap for graphene, related two-dimensional crystals, and hybrid systems / A. C. Ferrari [et al] // Nanoscale. — 2015. — Vol. 7. — P. 4598—4810.

[6] Klein, O. Die Reflexion von Elektronen an einem Potentialsprung nach der relativistischen Dynamik von Dirac / O. Klein // Zeitschrift fur Physik. — 1929. — Vol. 53. — P. 157—165.

[7] Wave packet dynamics in a monolayer graphene / G. M. Maksimova [et al] // Physical Review

B. — 2008. — Vol. 78. — P. 235321-1 — 235321-7.

[8] Rusin, T. M. Theory of electron Zitterbewegung in graphene probed by femtosecond laser pulses / T. M. Rusin, W. Zawadzki / Physical Review B. — 2009. — Vol. 80. P. 045416-1—045416-9.

[9] Chiral tunneling and the Klein paradox in graphene / M. I. Katsnelson [et al] // Nature Physics. — 2006. — Vol. 2. — P. 620—625.

[10] Young, A. F. Quantum interference and Klein tunnelling in graphene heterojunctions / A. F. Young, Ph. Kim // Nature Physics. — 2009. — Vol. 5. — P. 222—226.

[11] Geim, A. K. The rise of graphene / A. K. Geim, K. S. Novoselov // Nature Materials. — 2007. — Vol. 6. — P. 183—191.

[12] Energy gaps in graphene nanoribbons / Y.-W. Son [et al] // Physical Review Letters. — 2006. — Vol. 97. P. 216803-1 216803-4.

[13] Electronic structure and stability of semiconducting graphene nanoribbons / V. Barone [et al] // Nani Letters. - 2006. - Vol. 6, № 12. - P. 2748-2754.

[14] Quasiparticle energies and band gaps in graphene nanoribbons / L. Yang [et al] // Physical Review Letters. 2007. - Vol. 99. - P. 186801-1-186801-4.

[15] Energy gaps in zero-dimensional graphene nanoribbons / P. Shemella [et al] // Applied Physics Letters. - 2007. - Vol. 91. - P. 042101-1-042101-3.

[16] Nonlocal exchange interaction removes half-metallicity in graphene nanoribbons / E. Rudberg [et al] // Nano Letters. - 2007, - vol. 7, № 8. - P. 2211-2213.

[17] Substrate-induced bandgap opening in epitaxial graphene / S. Y. Zhou [et al] // Nature Materials. - 2007. - Vol. 6. - P. 770-775.

[18] Accurate electronic band gap of pure and functionalized graphane from GW calculations / S. Lebegue [et al] // Physical Review B. - 2009. - Vol. 79. - P. 245117-1-245117-5.

[19] Control of Graphene's Properties by Reversible Hydrogenation: Evidence for Graphane / D. C. Elias [et al] // Science. - 2009. - Vol. 323. - P. 610-613.

[20] Savchenko, A. Transforming Graphene / A. Savchenko // Science. - 2009. - Vol. 323. -P. 589-590.

[21] Band structure engineering of graphene by strain: First-principles calculations / G. Gui [et al] // Physical Review B. - 2008. - Vol. 78. - P. 075435-1-075435-6.

[22] Tight-binding approach to uniaxial strain in graphene / V. M. Pereira [et al] // Physical Review B. - 2009. - Vol. 80. - P. 045401-1-045401-8.

[23] Inducing energy gaps in monolayer and bilayer graphene: Local density approximation calculations / R. M. Ribeiro [et al] // Physical Review B. - 2008. - Vol. 78. - P. 075442-1075442-7.

[24] Magnetic confinement of massless Dirac fermions in graphene / A. De Martino [et al] // Physical Review Letters. - 2007. - Vol. 98. - P. 066802-1-066802-4.

[25] Magnetic field induced confinement-deconfinement transition in graphene quantum dots / G. Giavaras [et al] // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2009. - Vol. 21, № 10. -P. 102201-1-102201-6.

[26] Giavaras, G. Tunable quantum dots in monolayer graphene / G. Giavaras, F. Nori // Physical Review B. — 2012. - Vol. 85. - P. 165446-1-165446-9.

[27] Two dimensional hexagonal boron nitride (2D-hBN): synthesis, properties and applications / K. Zhang [et al] // Journal of Materials Chemistry C - 2017. - Vol. 5. - P. 11992-12022.

[28] Чернозатонский, Л. А. Квазидвумерные дихалькогениды переходных металлов: структура, синтез, свойства и применение / Л. А. Чернозатонский, А. А. Артюх // Успехи физических наук. - 2018. - Т. 188, № 1. - С. 3-30.

[29] Topological insulators in Bi2Se3, Bi2Te3 and Sb2Te3 with a single Dirac cone on the surface / H. Zhang [et al] // Nature Physics. - 2009. - Vol. 5. - P. 438-442.

[30] Two-dimensional transport-induced linear magneto-resistance in Topological insulator Bi2Se3 nanoribbons / H. Tang [et al] // ACS Publications. - 2011. - Vol. 5, № 9. - P. 7510-7516.

[31] Guzman-Verri, G. G. Electronic structure of silicon-based nanostructures /G.G. Guzman-Verri, L. C. Lew Yan Voon // Physical Review B. - 2007. - Vol. 76. - P. 075131-1-075131-10.

[32] Silicene: compelling experimental evidence for graphenelike two-dimensional silicon / P. Vogt [et al] // Physical Review Letters. - 2012. - Vol. 108. - P. 155501-1-155501-5.

[33] Germanene: a novel two-dimensional germanium allotrope akin to graphene and silicene / M. E. Davila [et al] // New Journal of Physics. - 2014. - Vol. 16. - P. 095002-1095002-10.

[34] Germanene: the germanium analogue of graphene / A. Acun [et al] // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2015. - Vol. 27, № 44. - P. 11.

[35] Ezawa, M. Topological origin of quasi-flat edge band in phosphorene / M. Ezawa // New Journal of Physics. - 2014. - Vol. 16. - P. 115004-1- 115004-13.

[36] Large-gap quantum spin Hall insulators in tin films / Y. Xu [et al] // Physical Review Letters. -2013. - Vol. 111. - P. 136804-1-136804-5.

[37] Stable two-dimensional dumbbell stanene: A quantum spin Hall insulator / P. Tang [et al] // Physical Review B. - 2014. - Vol. 90. - P. 121408-1-121408-6.

[38] Phosphorene: an unexplored 2D semiconductor with a high hole mobility / H. Liu [et al] // ACS Publications. - 2014. - Vol. 8, №4. - P. 4033-4041.

[39] Rudenko, A. N. Quasiparticle band structure and tight-binding model for single- and bilayer black phosphorus / A. N. Rudenko, M. I. Katsnelson // Physical Review B. - 2014. - Vol. 89. -P. 201408-1-201408-5.

[40] Антонова, И. В. Вертикальные гетероструктуры на основе графена и других монослойных материалов / И. В. Антонова // Физика и техника полупроводников. - 2016. - Т. 50. -С. 67 82.

[41] Dragoman, D. Other Quantum/Classical Analogies. In: Quantum-Classical Analogies. The Frontiers Collection / D. Dragoman, M. Dragoman // Berlin, Heidelberg: Springer, 2004. — P. 279—318.

[42] Datta, S. Electronic Transport in Mesoscopic Systems, Chapter 6 and 7 / S. Datta — New York: Cambridge University Press, 2005. — 266 PP.

[43] Electron focusing in two-dimensional systems by means of an electrostatic lens / J. Spector [et al] // Applied Physics Letters. — 1990. — Vol. 56. — P. 1290—1292.

[44] Electrostatic electron lens in the ballistic regime / U. Sivan [et al] // Physical Review B. — 1990. — Vol. 41. — P. 7937—7941.

[45] Ultrahigh electron mobility in suspended graphene / K. I. Bolotin [et al] // Solid State Communications. — 2008. — Vol. 146. — P. 351—355.

[46] The focusing of electron flow and a Veselago lens in graphene p-n junctions / V. Cheianov [et al] // Science. — 2007. — Vol. 315. — P. 1252—1255.

[47] Electron optics with p-n junctions in ballistic graphene / S. Chen [et al] // Science. — 2016. — Vol. 353. — P. 1522—1525.

[48] Electron beam supercollimation in graphene superlattices / C.-H. Park [et al] // Nano Letters. — 2008. — Vol. 8. — P. 2920—2924.

[49] Ghosh, S. Electron optics with magnetic vector potential barriers in graphene / S. Ghosh, M. Sharma // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2009. — Vol. 21, № 29. — P. 292204-1 — 292204-8.

[50] Quantum Goos-Hanchen effect in graphene / C. W. J. Beenakker [et al] // Physical Review Letters. — 2009. — Vol. 102. — P. 146804-1 — 146804-4.

[51] Giant Goos-Hanchen shift in graphene double-barrier structures/ Y. Song [et al] // Applied Physics Letters. — 2012. — Vol. 100. — P. 253116-1 — 253116-4.

[52] Goos, F. Ein neuer und fundamentaler Versuch zur Totalreflexion / F. Goos, H. Hänchen // Annalen der Physik. — 1947. — Vol. 436. — P. 333—346.

[53] Ballistic charge transport in graphene and light propagation in periodic dielectric structures with metamaterials: A comparative study / Y. P. Bliokh [et al] // Physical Review B. — 2013. — Vol. 87. — P. 245134-1 — 245134-14.

[54] Transport and localization in periodic and disordered graphene superlattices / Y. P. Bliokh [et al] // Physical Review B. — 2009. — Vol. 79. — P. 075123-1— 075123-11.

[55] Веселаго, В. Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и ß / В. Г. Веселаго // Успехи физических наук. - 1967. - Т. 92. - С. 517-526.

[56] Pendry, J. B. Negative Refraction Makes a Perfect Lens / J. B. Pendry / Physical Review Letters. - 2000. - Vol. 85. - P. 3966-3969.

[57] Wallace, P. R. The band theory of graphite / P. R. Wallace // Physical Review. - 1947. -Vol. 71. - P. 622-634.

[58] Conductance of p-n-p graphene structures with 'air-bridge' top gates / R. V. Gorbachov [et al] // Nano Letters. - 2008. - Vol. 8, № 7. - P. 1995-1999.

[59] Cheianov, V. V. Selective transmission of Dirac electrons and ballistic magnetoresistance of n-p junctions in graphene / V. V. Cheianov, V. I. Fal'ko // Physical Review B. - 2006. - Vol. 4. -P. 041403-1-041403-4.

[60] Ziegler, K. Minimal conductivity of graphene: Nonuniversal values from the Kubo formula / K. Ziegler // Physical Review B. - 2007. - Vol. 75. P. 233407-1- 233407-4.

[61] Electronic transport in two-dimensional graphene / S. Das Sarma [et al] // Review of Modern Physics. - 2011. - Vol. 83. - P. 407-470.

[62] Sub-poissonian shot noise in graphene / J. Tworzydlo [et al] // Physical Review Letters. -2006. - Vol. 96. - P. 246802-1-246802-4.

[63] Blanter, Ya. M. Shot noise in mesoscopic conductors / Ya. M. Blanter, M. Buttiker // Physics Reports. - 2000. Vol. 336. - P. 1-166.

[64] Beenakker, C. W. J. Suppression of shot noise in metallic diffusive conductors / C. W. J. Beenakker, M. Buttiker // Physical Review B. - 1992. - Vol. 46. - P. 1889-1892.

[65] Nagaev, K. E. On the shot noise in dirty metal contacts / K. E. Nagaev // Physics Letters A. -1992. - Vol. 169. -P. 103-107.

[66] Shot noise in graphene / L. DiCarlo [et al] // Physical Review Letters. - 2008. - Vol. 100. -P. 156801-1-156801-4.

[67] Shot noise in ballistic graphene / R. Danneau [et al] // Physical Review Letters. - 2008. -Vol. 100. - P. 196802-1-196802-4.

[68] Evanescent wave transport and shot noise in graphene: ballistic regime and effect of disorder / R. Danneau [et al] // Journal of Low Temperature Physics. - 2008. - Vol. 153. - P. 374-392.

[69] Schrödinger, E. Uber die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik / E. Schrädinger // Sitzunsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl. - 1930. - Vol. 24. -P. 418-428.

[70] Rusin, T. M. Transient Zitterbewegung of charge carriers in mono- and bilayer graphene, and carbon nanotubes / T. M. Rusin, W. Zawadzki / Physical Review B. - 2007. - Vol. 76. -P. 195439 1-195439-7.

[71] Shot noise probing of magnetic ordering in zigzag graphene nanoribbons / R. L. Dragomirova [et al] // Physical Review B. - 2009. - Vol. 79. -P. 241401-1- 241401-4.

[72] Scattering of a Dirac electron on a mass barrier / A. Matulis [et al] // Physical Review A. -2012. - Vol. 86. - P. 022101-1-022101-10.

[73] Gomes, J. V. Tunneling of Dirac electrons through spatial regions of finite mass / J. V. Gomes, N. M. R. Peres // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2008. - Vol. 20, № 32. -P. 325221 1-325221-12.

[74] Electric field effect in atomically thin carbon films / K. S. Novoselov [et al] // Science. - 2004. -Vol. 306. - P. 666-669.

[75] Katsnelson, M. I. Zitterbewegung, chirality, and minimal conductivity in graphene / M. I. Katsnelson // The European Physical Journal B. - 2006. - Vol. 51. - P. 157-160.

[76] Graphene-based resonant-tunneling structures / J. M. Pereira Jr. [et al] // Applied Physics Letters. - 2007. - Vol. 90. - P. 1321122-1-132122-3.

[77] Transport measurements across a tunable potential barrier in graphene / B. Huard [et al] // Physical Review Letters. - 2007. - Vol. 98. - P. 236803-1- 236803-4.

[78] Bai, C. Klein paradox and resonant tunneling in a graphene superlattice / C. Bai, X. Zhang // Physical Review B. - 2007. - Vol. 76. - P. 075430-1-075430-7.

[79] Scanning tunneling microscopy of graphene on Ru (0001) / S. Marchini [et al] // Physical Review B. - 2007. - Vol. 76. - P. 075429-1-075429-9.

[80] Superior thermal conductivity of single-layer graphene / A. A. Balandin [et al] // Nano Letters. -2008. - Vol. 8, № 3. - P. 902-907.

[81] Extremely high thermal conductivity of graphene: Prospects for thermal management applications in nanoelectronic circuits / S. Ghosh [et al] // Applied Physics Letters. - 2008. -Vol. 92. - P. 151911-1-151911-4.

[82] Hydrocarbon lithography on graphene membranes / J. C. Meyer [et al] // Applied Physics Letters. — 2008. - Vol. 92. - P. 123110-1-123110-3.

[83] Peres, N. M. R. Scattering in one-dimensional heterostructures described by the Dirac equation / N. M. R. Peres // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2009. - Vol. 21, № 9. -P. 095501-1-095501-8.

[84] Peres, N. M. R. The transport properties of graphene / N. M. R. Peres // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2009. - Vol. 21, № 32. - P. 323201-1- 323201-10.

[85] Chen, X. Design of electron wave filters in monolayer graphene by tunable transmission gap / X. Chen, J.-W. Tao // Applied Physics Letters. - 2009. - Vol. 94. - P. 262102-1-262102-3.

[86] Brey, L. Emerging Zero modes for graphene in a periodic potential / L. Brey, H. A. Fertig // Physical Review Letters. - 2009. - Vol. 103. - P. 046809-1- 046809-4.

[87] Landau levels and quantum Hall effect in graphene superlattices / C.-H. Park [et al] // Physical Review Letters. - 2009. - Vol. 103. - P. 046808-1-046808-4.

[88] Dirac spectrum in piecewise constant one-dimensional (1D) potentials / D. P. Arovas [et al] // New Journal of Physics. - 2010. - Vol. 12. - P. 123020-1- 123020-19.

[89] Muccioilo, E. R. Disorder and electronic transport in graphene / E. R. Mucciolo, C. H. Lewenkopf // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2010. - Vol. 22, № 27. -P. 273201 1-273201-12.

[90] Wang, L.-G. Electronic band gaps and transport properties in graphene superlattices with one-dimensional periodic potentials of square barriers / L.-G. Wang, S.-Y. Zhu // Physical Review

B. - 2010. - Vol. 81. - P. 205444-1- 20544-9.

[91] Dirac-Kronig-Penney model for strain-engineered graphene / S. Gattenlohner [et al] // Physical Review B. - 2010. - Vol. 82. - P. 155417-1-155417-10.

[92] Krstajic, P. M. Ballistic transport through graphene nanostructures of velocity and potential barriers / P. M. Krstajic, P. Vasilopoulos // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2011. -Vol. 23, № 13. - P. 153302-1-153302-8.

[93] Transport properties of graphene across strain-induced nonuniform velocity profiles / F. M. D. Pellegrino [et al] // Physical Review B. - 2011. - Vol. 84. - P. 195404-1-195404-11.

[94] Towards superlattices: Lateral bipolar multibarriers in graphene / M. Drienovsky [et al] // Physical Revie B. - 2014. - Vol. 89. - P. 115421-1-115421-7.

[95] Dell Anna, L. Multiple magnetic barriers in graphene / L. Dell Anna, A. De Martino // Physical Review B. - 2009. - Vol. 79. - P. 045420-1- 045420-9.

[96] New Generation of Massless Dirac Fermions in Graphene under External Periodic Potentials /

C.-H. Park [et al] // Physical Review Letters. - 2008. Vol. 101. - P. 126804-1-126804-4.

[97] Fertig, H. A. Nanophysics in graphene: neutrino physics in quantum rings and superlattices / H. A. Fertig, L. Brey // Philosophical Transactions of the Royal Society A. - 2010. - Vol. 368. -P. 5483-5497.

[98] Anderson, P. W. Absence of diffusion in certain random lattices / P. W. Anderson // Physical Review. - 1958. - Vol. 109. - P. 1492-1505.

[99] Delocalization of relativistic Dirac particles in disordered one-dimensional systems and its implementation with cold atoms / S.-L. Zhu [et al] // Physical Review Letters. - 2009. -Vol. 102. - P. 210403-1-210403-4.

[100] Conductance of a disordered graphene superlattice / N. Abedpour [et al] // Physical Review

B. - 2009. - Vol. 79. - P. 165412-1-165412-7.

[101] Localization behavior of Dirac particles in disordered graphene superlattices / Q. Zhao [et al] // Physical Review B. - 2012. - V. 85. - P. 104201-1- 104201-12.

[102] Effect of a gap opening on the conductance of graphene superlattices / M. Esmailpour [et al] // Solid State Communications. - 2010. - Vol. 150. - P. 655-659.

[103] Extra Dirac points in the energy spectrum for superlattices on single-layer graphene / M. Barbier [et al] // Physical Review B. - 2010. - Vol. 81. - P. 075438-1-075438-7.

[104] Anisotropic behaviours of massless Dirac fermions in graphene under periodic potentials /

C. H. Park [et al] // Nature Physics. - 2008. - Vol. 4. - P. 213-217.

[105] Dirac and Klein-Gordon particles in one-dimensional periodic potentials / M. Barbier [et al] // Physical Review B. - 2008. - Vol. 77. - P. 115446-1- 115446-9.

[106] Transport of the graphene electrons through a magnetic superlattice / Q.-S. Wu [et al] // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2008. - Vol. 20, № 48. - P. 485210-1-485210-4.

[107] Electronic superlattices in corrugated graphene / A. Isacsson [et al] // Physical Review B. -2008. - Vol. 77. - P. 035423-1-035423-6.

[108] Magnetic Kronig-Penney model for Dirac electrons in single-layer graphene / R. Ramezani Masir [et al] // New Journal of Physics. - 2009. - Vol. 11. - P. 095009-1-095009-21.

[109] Guinea, F. Band structure and gaps of triangular graphene superlattices / F. Guinea, T. Low // Philosophical Transactions of the Royal Society A. - 2010. - Vol. 368. - P. 5391-5402.

[110] Li, Y.-X. Transport in a magnetic field modulated graphene superlattice / Y.-X. Li // Journal of Physics: Condensed Matter. 2010. - Vol. 22, № 1. - P. 015302-1-015302-5.

[111] Graphene Dirac fermions in one-dimensional inhomogeneous field profiles: Transforming magnetic to electric field / L. Z. Tan [et al] // Physical Review B. — 2010. — Vol. 81. — P. 195426 1 — 195426-8.

[112] Zhao, P.-I. Electronic band gap and transport in Fibonacci quasi-periodic graphene superlattice / P. I. Zhao, X. Chen // Applied Physics Letters. — 2011. — Vol. 99. — P. 182108-1 — 182108-3.

[113] Wang, L.-G. Robust zero-averaged wave-number gap inside gapped graphene superlattices / L. G. Wang, X. Chen // Journal of Applied Physics. — 2011. — Vol. 109. — P. 033710-1 — 033710-8.

[114] Lee, J.-H. Energy gap of Kronig-Penney-type hydrogenated graphene superlattices / J.-H. Lee, J. C. Grossman // Physical Review B. — 2011. — Vol. 84. —. P. 113413-1 — 113413-4.

[115] Superlattice Dirac points and space-dependent Fermi velocity in a corrugated graphene monolayer / H. Yan [et al] // Physical Review B. — 2013. — Vol. 87. — P. 075405-1—075405-6.

[116] Superlattice Dirac points and space-dependent Fermi velocity in a corrugated graphene monolayer / H. Yan [et al] // Physical Review B. — 2013. — Vol. 87. — P. 075405-1—075405-6.

[117] Kronig—Penney model of scalar and vector potentials in graphene / M. Ramezani Masir [et al] // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2010. — Vol. 22, № 46. — P. 465302-1—465302-10.

[118] Dell'Anna, L. Magnetic superlattice and finite-energy Dirac points in graphene / L. Dell'Anna, A. De Martino // Physical Review B. — 2011. — Vol. 83. — P. 155449-1 — 155449-7.

[119] Magnetic Kronig—Penney-type graphene superlattices: finite energy Dirac points with anisotropic velocity renormalization / V. Qui Le [et al] // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2012. — Vol. 24, № 34. — P. 345502-1—345502-8.

[120] Lima, J. R. F. Electronic structure of a graphene superlattice with a modulated Fermi velocity / J. R. F. Lima // Physics Letters A. — 2015. Vol. 379. — P. 1372—1376.

[121] Ratnikov, P. V. Superlattice based on graphene on a strip substrate / P. V. Ratnikov // JETP Letters. — 2009. — Vol. 90, № 6. — P. 469—474.

[122] Chemical doping-induced gap opening and spin polarization in graphene / I. Zanella [et al] // Physical Review B. — 2008. — Vol. 77. —. P. 073404-1— 073404-4.

[123] Tunable Superlattice in Graphene to Control the Number of Dirac Points / S. Dubey [et al] // Nano Letters. — 2013. — Vol. 13, № 9. — P. 3990—3995.

[124] Moire superlattice effects in graphene/boron-nitride van der Waals heterostructures / J. R. Wallbank [et al] // Annalen der Physic. — 2015. — Vol. 527. — P. 359—376.

[125] Emergence of superlattice Dirac points in graphene on hexagonal boron nitride / M. Yankowitz [et al] // Nature Physics. — 2012. — Vol. 8. — P. 382—286.

[126] Graphene on hexagonal boron nitride / M. Yankowitz [et al] // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2014. — Vol. 26, № 30. — P. 303201-1—303201-21.

[127] Goos, F. Neumessung des strahlversetzungseffektes bei totalreflexion / F. Goos, H. Hanchen // Annalen der Physik. — 1949. — Vol. 440. — P. 251—252.

[128] Bliokh, K. Y. Goos-Hanchen and Imbert-Fedorov beam shifts: an overview / K. Y. Bliokh, A. Aiello // Journal of Optics. — 2013. — Vol. 15, № 1. — P. 014001-1—014001-16.

[129] Artmann, K. V. Berechnung der Seitenversetzung des total reflektierten strahles / K. V. Artmann // Annalen der Physik. — 1948. — Vol. 437. — P. 87—102.

[130] Renard, R. H. Total reflection: a new evaluation of the GoosHanchen shift / R. H. Renard // Journal of the Optical Society of America. — 1964. — Vol. 54. — P. 1190—1197.

[131] Yin, X Large positive and negative lateral optical beam displacements due to surface plasmon resonance / X. Yin, L. Hesselink // Applied Physics Letters. — 2004. — Vol. 85. — P. 372—374.

[132] Yin, X. Goos-Hanchen shift surface plasmon resonance sensor / X. Yin, L. Hesselink // Applied Physics Letters. — 2006. — Vol. 89. — P. 261108-1— 261108-3.

[133] Electrically tunable Goos-Hanchen shift of light beam reflected from a graphene-on-dielectric surface / L. Jiang [et al] // IEEE Photonics Journal. — 2013. — Vol. 5, № 3. — P. 6500108-1 — 6500108-8.

[134] Giant and tunable Goos-Hänchen shifts for attenuated total reflection structure containing graphene / M. Cheng [et al] // Journal of the Optical Society of America B. — 2014. — Vol. 31, № 10. — P. 2325—2329.

[135] Spatial and angular shifts of terahertz wave for the graphene metamaterial structure / M. Cheng [et al] // Journal of Physics D: Applied Physics. — 2015. — Vol. 48. — P. 285105-1—285105-7.

[136] Electrically tunable Goos-Hanchen effect with graphene in the terahertz regime / Y. Fan [et al] // Advanced Optical Materials. — 2016. Vol. 4. — P. 1824—1828.

[137] Tunable resonant Goos-Hänchen and Imbert—Fedorov shifts in total reflection of terahertz beams from graphene plasmonic metasurfaces / A. Farmani [et al] // Journal of the Optical Society of America B. — 2017. Vol. 34, № 6. — P. 1097—1106.

[138] Rana, F. Graphene terahertz plasmon oscillators / F. Rana // IEEE Transactions on Nanotechnology. — 2008. — Vol. 7, № 1. — P. 91—99.

[139] Plasmonics in graphene at infrared frequencies / M. Jablan [et al] // Physical Review B. -2009. - Vol. 80. - P. 245435-1- 245435-7.

[140] Graphene plasmonics for tunable terahertz metamaterials / L. Ju [et al] // Nature Nanotechnology. - 2011. - Vol. 6. - P. 630-634.

[141] Bao, Q. Graphene photonics, plasmonics, and broadband optoelectronic devices / Q. Bao, K. P. Loh // ACS Nano. - 2012. - Vol. 6, № 5. - P. 3677-3694.

[142] Graphene plasmonics / A. N. Grigorenko [et al] // Nature Photonics. - 2012. - Vol. 6. -P. 749-758.

[143] Tunable infrared plasmonic devices using graphene/insulator stacks / H. Yan [et al] // Nature Nanotechnology. - 2012. - Vol. 7. - P. 330-334.

[144] Excitation and active control of propagating surface plasmon polaritons in graphene / W. Gao [et al] // Nano Letters. - 2013. - Vol. 13. - P. 3698-3702.

[145] A primer on surface plasmon-polaritons in graphene / Y. V. Bludov [et al] // International Journal of Modern Physics B. - 2013. - Vol. 27, № 10. - P. 1341001-1-1341001-74.

[146] Ignatovich, V. K. Neutron reflection from condensed matter, the Goos-Hänchen effect and coherence / V. K. Ignatovich // Physics Letters A. - 2004. - Vol. 322. - P. 36-46.

[147] Chen, X. Lateral shift of the transmitted light beam through a left-handed slab / X. Chen, C. F. Li // Physical Review E. - 2004. - Vol. 69. - P. 066617-1- 066617-6.

[148] Observation of the Goos-Hanchen shift with neutrons / V. O. de Haan [et al] // Physical Review Letters. - 2010. - Vol. 104. - P. 010401-1-010401-4.

[149] Controllable Goos-Hanchen shifts and spin beam splitter for ballistic electrons in a parabolic quantum well under a uniform magnetic field / X. Chen [et al] // Physical Review B. - 2011. -Vol. 83. - P. 195409-1-195409-6.

[150] Goos-Hanchen effect of spin electron beams in a parallel double ^-barrier magnetic nanostructure / L. Yuan [et al] // The European Physical Journal. - 2012. - Vol. 85. -P. 8-1-8-5.

[151] Spin-electron beam splitters based on magnetic barrier nanostructures / M. W. Lu [et al] // Journal of Applied Physics. - 2012. - Vol. 112. -P. 014309-1-014309-5.

[152] Goos-Hanchen-like shift of three-level matter wave incident on Raman beams / Z. Duan [et al] // Optics Express. - 2014. - Vol. 22. - P. 17679-17690.

[153] Новый механизм усиления эффекта Гуса-Хенхен на границе раздела прозрачных сред / А. С. Савченко [и др.] // Письма в ЖЭТФ. - 2015. - Т. 102. - С. 380-387.

[154] Goos-Hänchen shifts in spin-orbit-coupled cold atoms / L. Zhou [et al] // Physical Review A. — 2015. - Vol. 91. - P. 031603-1-031603-6.

[155] Ghadiri, H. Gate-controlled valley transport and Goos-Hänchen effect in monolayer WS2 / H. Ghadiri, A. Saffarzadeh // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2017. - Vol. 29. -P. 115303-1-115303-9.

[156] Electronic analogy of the Goos-Hänchen effect: a review / X. Chen [et al] // Journal of Optics. -2013. - Vol. 15, № 3. - P. 033001-1-033001-12.

[157] Novel displacement in transmission through a two-dimensional semiconductor barrier / X. Chen [et al] // Physics Letters A. - 2006. - Vol. 354. - P. 161-165.

[158] Goos-Hanchen-like shifts for Dirac fermions in monolayer graphene barrier / X. Chen [et al] // The European Physical Journal B. - 2011. - Vol. 79. - P. 203-208.

[159] Goos-Hanchen like shifts in graphene double barriers/ A. Jellal [et al] // Physica E. - 2014. -Vol. 58. - P. 30-37.

[160] Giant negative and positive lateral shifts in graphene superlattices / X. Chen [et al] // The European Physical Journal B. - 2013. - Vol. 86. - p. 223-1- 223-7.

[161] Negative differential resistances in graphene double barrier resonant tunneling diodes / Y. Song [et al] // Applied Physics Letters. - 2013. - Vol. 102. - P. 093118-1-093118-5.

[162] Valley beam splitter based on strained graphene / F. Zhai [et al] // New Journal of Physics. -2011. - Vol. 13. - P. 083029-1-083029-13.

[163] Valley-dependent Brewster angles and Goos-Hänchen effect in strained graphene / Z. Wu [et al] // Physical Review Letters. - 2011. - Vol. 106. - P. 176802-1-176802-4.

[164] Zhang, Q. A spin beam splitter in graphene through the Goos-Hanchen shift / Q. Zhang, K. S. Chan // Applied Physics Letters. - 2014. - Vol. 105. - P. 212408-1-212408-4.

[165] Zhang, Q. A valley beam splitter of massive Dirac electrons / Q. Zhang, K. S. Chan // RSC Advances. - 2015. - Vol. 5. - P. 8371-1-8371-18.

[166] Chakraborty, T. Electron-electron interaction and the persistent current in a quantum ring / T. Chakraborty, P. Pietilainen // Physical Review B. - 1994. - Vol. 50. - P. 8460-8468.

[167] Chakraborty, T. Persistent currents in a quantum ring: Effects of impurities and interactions / T. Chakraborty, P. Pietilainen // Physical Review B. - 1995. - Vol. 52. - P. 1932-1935.

[168] One-dimensional ring in the presence of Rashba spin-orbit interaction: Derivation of the correct Hamiltonian / F. E. Meijer [et al] // Physical Review B. — 2002. — Vol. 66. — P. 033107-1 — 033107-3.

[169] Quantum rings for beginners: energy spectra and persistent currents / S. Viefersa [et al] // Physica E. — 2004. — Vol. 21. — P. 1—35.

[170] Frustaglia, D. Spin interference effects in ring conductors subject to Rashba coupling / D. Frustaglia, K. Richter // Physical Review B. — 2004. — Vol. 69. — P. 235310-1 — 235310-7.

[171] Spin-dependent magnetotransport through a ring due to spin-orbit interaction / B. Molnar [et al] // Physical Review B. — 2004. — Vol. 69. — P. 155335-1— 155335-11.

[172] Interference of heavy holes in an Aharonov-Bohm ring / D. Stepanchenko [et al] // Physical Review B. — 2009. — Vol. 79. — P. 235301-1 — 235301-11.

[173] Electronic properties of superlattices on quantum rings / D. R. da Costa [et al] // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2017. — Vol. 29, № 16. — P. 165501-1— 165501-15.

[174] Magnetization of mesoscopic Copper rings: evidence for persistent currents / L. P. Levy [et al] // Physical Review Letters. — 1990. — Vol. 64, № 17. — P. 2074—2077.

[175] Magnetic response of a single, isolated gold loop / V. Chandrasekar [et al] // Physical Review Letters. — 1991. — Vol. 67, № 25. — P. 3578—3581.

[176] Aharonov-Bohm effect and broken valley degeneracy in graphene rings / P. Recher [et al] // Physical Review B. — 2007. — Vol. 76. — P. 235404-1 — 235404-6.

[177] Observation of Aharonov-Bohm conductance oscillations in a graphene ring / S. Russo [et al] // Physical Review B. — 2008. — Vol. 77. — P. 085413-1— 085413-5.

[178] Interplay between valley polarization and electron-electron interaction in a graphene ring / D. S. L. Abergel [et al] // Physical Review B. — 2008. — Vol. 78. — P. 193405-1 — 193405-4.

[179] Inner and outer edge states in graphene rings: A numerical investigation / D. A. Bahamon [et al] // Physical Review B. — 2009. — Vol. 79. — P. 125414-1— 125414-7.

[180] Investigation of the Aharonov-Bohm effect in a gated graphene ring / M. Huefner [et al] // Physica Status Solidi B. — 2009. — Vol. 246. — P. 2756—2759.

[181] Odd-even width effect on persistent current in zigzag hexagonal graphene rings / M. M. Ma [et al] // Nanoscale. — 2009. — Vol. 1. — P. 387—390.

[182] Effective time-reversal symmetry breaking and energy spectra of graphene armchair rings / T. Luo [et al] // Physical Review B. — 2009. — Vol. 80. — P. 165310-1 — 165310-10.

[183] Simplified model for the energy levels of quantum rings in single layer and bilayer graphene / M. Zarenia [et al] // Physical Review B. — 2010. — Vol. 81. — P. 045431-1—045431-9; Physical Review B. — 2010. — Vol. 82. — P. 119906-1— 119906-4.

[184] Ma, M. M. Geometry dependence of persistent currents in diamond-like graphene rings / M. M. Ma, J. Ding // Solid State Communications. — 2010. — Vol. 150. — P. 1196—1199.

[185] The Aharonov-Bohm effect in a side-gated graphene ring / M. Huefner [et al] // New Journal of Physics. — 2010. — Vol. 12. — P. 043054-1—043054-10.

[186] Graphene rings in magnetic fields: Aharonov-Bohm effect and valley splitting / J. Wurm [et al] // Semiconductor Science and Technology. — 2010. — Vol. 25, № 3. — P. 034003-1 — 034003-7.

[187] Interplay of the Aharonov-Bohm effect and Klein tunneling in graphene / J. Schelter [et al] // Physical Review B. — 2010. — Vol. 81. — P. 195441-1— 195441-7.

[188] The Aharonov-Bohm effect in graphene rings / J. Schelter [et al] // Solid State Communications. — 2012. — Vol. 152. — P. 1411 — 1419.

[189] Quantum tunneling through graphene nanorings / Z. Wu [et al] // Nanotechnology. — 2010. — Vol. 21, № 18. — P. 185201-1 — 185201-5.

[190] Yan, C.-H. Size effects in Aharonov-Bohm graphene rings / C.-H. Yan, L.-F. Wei // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2010. — Vol. 22, № 29. — P. 295503-1 — 295503-5.

[191] Toward graphene-based quantum interference devices / L. Mun'arriz [et al] // Nanotechnology. — 2011. — Vol. 22, № 36. — P. 365201-1—365201-7.

[192] Aharonov-Bohm effect in an electron-hole graphene ring system / D. Smirnov [et al] // Applied Physics Letters. — 2012. — Vol. 100. — P. 203114-1 — 203114-3.

[193] Structured epitaxial graphene: growth and properties / Y. Hu [et al] // Journal of Physics D: Applied Physics. — 2012. — Vol. 45, № 15. — P. 154010-1 — 154010-12.

[194] Transmission of phase information between electrons and holes in graphene / A. Rahman [et al] // Physical Review B. — 2013. — Vol. 87. — P. 081401-1— 081401-4.

[195] The Aharonov-Anandan current induced by a time-dependent magnetic flux in graphene rings / S. Zhang [et al] // Europhysics Letters. — 2013. — Vol. 103, № 5. — P. 58005-1 — 58005-6.

[196] Persistent charge and spin currents in the long-wavelength regime for graphene rings / N. Bol'ivar [et al] // Physical Review B. - 2014. - Vol. 89. - P. 125413-1- 125413-10.

[197] Ghosh, S. Persistent current of relativistic electrons on a Dirac ring in presence of impurities / S. Ghosh, A. Saha // The European Physical Journal B. - 2014. - Vol. 87. - P. 167-1-167-7.

[198] Interferometry of Klein tunnelling electrons in graphene quantum rings / D. J. P. de Sousa [et al] // Journal of Applied Physics. - 2017. - Vol. 121. - P. 024302-1-024302-5.

[199] Fano resonances in hexagonal zigzag graphene rings under external magnetic flux / D. Faria [et al] // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2015. - Vol. 27, № 17. - P. 175301-1175301-6.

[200] Electronic confinement in graphene quantum rings due to substrate-induced mass radial kink / L. J. P. Xavier [et al] // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2016. - Vol. 8, № 50. -P. 505501-1-505501-8.

[201] Geometry and edge effects on the energy levels of graphene quantum rings: A comparison between tight-binding and simplified Dirac models / D. R. da Costa [et al] // Physical Review B. - 2014. - Vol. 89. - P. 075418-1-075418-12.

[202] Fermi velocity engineering in graphene by substrate modification / C. Hwang [et al] // Scientific Reports. - 2012. - Vol. 2. - P. 590-1-590-4.

[203] McKellar, B. H. J. Klein paradox and the Dirac-Kronig-Penney model / B. H. J. McKellar, G. J. Stephenson // Physical Review A. - 1987. - Vol. 36. - P. 2566-2569.

[204] Substrate-induced band gap in graphene on hexagonal boron nitride: Ab initio density functional calculations / G. Giovanetty [et al] // Physical Review B. - 2007. - Vol. 76. - P. 073103-1073103-4.

[205] Marcos, P. Wave propagation. From electrons to photonic cristals and left-handed materials / P. Marcos, C. M. Soukoulis - Princeton: Princeton University Press, 2008. - 352 PP.

[206] Klein backscattering and Fabry-Perot interference in graphene heterojunctions / A. V. Shytov [et al] // Physical Review Letters. - 2008. - Vol. 101. - P. 156804-1-156804-4.

[207] Fabry-Perot resonances in graphene microstructures: Influence of a magnetic field / M. Ramezani Masir [et al] // Physical Review B. - 2010. - Vol. 82. - P. 115417-1-115417-12.

[208] Band structure for a one-dimensional photonic crystal containing left-handed materials / L. Wu [et al] // Physical Review B. - 2003. - Vol. 67. - P. 235103-1- 235103-6.

[209] Sonin, E. B. Charge transport and shot noise in a ballistic graphene sheet / E. B. Sonin // Physical Review B. - 2008. - Vol. 77. - P. 233408-1-233408-4.

[210] Wiener, A. D. Signatures of evanescent mode transport in graphene / A. D. Wiener, M. Kindermann // Physical Review B. — 2011. — Vol. 84. — P. 245420-1 — 245420-7.

[211] One dimensional Kronig-Penney model with positional disorder: Theory versus experiment / G. A. Luna-Acosta [et al] // Physical Review B. — 2009. — Vol. 80. — P. 115112-1 — 115112-8.

[212] Light propagation and Anderson localization in disordered superlattices containing dispersive metamaterials: Effects of correlated disorder / D. Mogilevtsev [et al] // Physical Review B. — 2011. — Vol. 84. — P. 094204-1— 094204-7.

[213] Low-energy effective Hamiltonian involving spin-orbit coupling in silicene and two-dimensional germanium and tin / C.-C. Liu [et al] // Physical Review B. — 2011. — Vol. 84. — P. 1954301 — 195430-11.

[214] Quantum spin Hall effect in silicene and two-dimensional germanium / C.-C. Liu [et al] // Physical Review Letters. — 2011. — Vol. 107. — P. 076802-1—076802-4.

[215] Ezawa, M. Monolayer Topological Insulators: Silicene, Germanene, and Stanene / M. Ezawa // Journal of the Physical Society of Japan. — 2015. — Vol. 84, № 12. — P. 121003-1 — 121003-11.

[216] Spin transport in proximity-induced ferromagnetic graphene / H. Haugen [et al] // Physical Review B. — 2008. — Vol. 77. — P. 115406-1 — 115406-8.

[217] Phase coexistence of clusters and islands: europium on graphene / D. F. Förster [et al] // New Journal of Physics. — 2012. — Vol. 14, — P. 023022-1—023022-26.

[218] Proximity effects induced in graphene by magnetic insulators: first-principles calculations on spin filtering and exchange-splitting gaps / H. X. Yang [et al] // Physical Review Letters. — 2013. — Vol. 110. — P. 046603-1—046603-5.

[219] Yokoyama, T. Controllable valley and spin transport in ferromagnetic silicene junctions / T. Yokoyama // Physical Review B. —2013. — Vol. 87. — P. 241409-1 — 241409-4.

[220] Soodchomshom, B. Perfect spin-valley filter controlled by electric field in ferromagnetic silicene / B. Soodchomshom // Journal of Applied Physics. — 2014. — Vol. 115. — P. 023706-1—023706-6.

[221] Niu, Z. P. Valley and spin thermoelectric transport in ferromagnetic silicene junctions / Z. P. Niu, S. Dong // Applied Physics Letters. — 2014. — Vol. 104. — P. 202401-1 — 202401-5.

[222] Vargiamidis, V. Electric- and exchange-field controlled transport through silicene barriers: Conductance gap and near-perfect spin polarization / V. Vargiamidis, P. Vasilopoulos // Applied Physics Letters. — 2014. — Vol. 105. — P. 223105-1— 223105-5.

[223] Vargiamidis, V. Polarized spin and valley transport across ferromagnetic silicene junctions / V. Vargiamidis, P. Vasilopoulos // Journal of Applied Physics. — 2015. — Vol. 117. — P. 094305 1—094305-11.

[224] Spin- and valley-dependent transport through arrays of ferromagnetic silicene junctions / N. Missault [et al] // Physical Review B. — 2015. — Vol. 92. — P. 195423-1 — 195423-9.

[225] Dirac electrons in a Kronig-Penney potential: Dispersion relation and transmission periodic in the strength of the barriers / M. Barbier [et al] //Physical Review B. — 2009. — Vol. 80. — P. 205415-1 — 205415-5.

[226] Eigler, D. M. Positioning single atoms with a scanning tunnelling microscope / D. M. Eigler, E. K. Schweizer // Nature. — 1990. — Vol. 344. — P. 524—526.

[227] On the imaging of electron transport in semiconductor quantum structures by scanning-gate microscopy: successes and limitations / Sellier H. [et al] // Semiconductor Science and Technology. — 2011. — Vol. 26, № 6. — P. 064008-1— 064008-10.

[228] Electronic transport in locally gated graphene nanoconstrictions / B. Ozyilmaz [et al] // Applied Physics Letters. — Vol. 91. — P. 192107-1 — 192107-3.

Приложение А

Матрица переноса через многобарьерную структуру на основе

щелевого графена

Найдем выражение для диагонального матричного элемента матрицы переноса для периодической структуры (см. Рисунок 3.2), состоящей из полос щелевого (Д2 = А) и бесщелевого (Ai = 0) графена. Используя (3.8), определим матрицы F¿ и Fa в барьерной и ямной областях соответственно:

Fd =^(С08(в - 0) f sin в ^ (A1)

d cos 0 l iaS sin в cos(e + 0) ' '

/cos^ - в) if sin в \

\ iaS sin в cos(e + в) I

(cos(a — во) ia0 sin a \

ia0 sin a cos(a + в0) I

F = 1 / cos(a - 0o) iao sin a ^ (A2)

cos 0o \ iao sin a cos(a + 0o)

где a = kxa, в = Vi, kx = , Ь = У, ¡ = ao = sgn E,

a = sgn (E — V + A), 0o = arctg (ky/kx), 0 = arctg (ky/qx). При этом матрица переноса для структуры из N барьеров (3.7) определяется выражением

MN) = gsn-iLo, (A3)

где G = L-1 Fd и S = FaFd, или в явном виде (см. (3.3), (A1) и (A2)):

/ 011 9iA S = í sii isiÁ \921 922/ \iS21 S22 J '

G = ^---- Г11 S = I 11 "1, (A4)

V 2 cos во cos в ^921 922;

g11 = cos(e — в) exp(—iв0) + iaa0S sin в;

и

g12 = a0 cos(e + в) + i^ sin в exp(—iв0);

о

921 = cos(в — в) exp(iв0) — iaa0S sin в;

922 = i? sin в exp^) — a cos(в + в);

о

cos(a — в0) cos^ — в) — aa0S sin в sin a

s11 = -a-a-;

cos в cos в0

- sin в cos(a — в0) + a0 sin a cos^ + в) cos в cos в0

a0 sin a cos(в — в) + aS cos(a + в0) sin в cos в cos в0

— -f1 sin a sin в + cos(a + в0) cos(в + в)

(A5)

S12 S21 :

s22 =

(A6)

cos 9 cos 90

Если система включает достаточно большое число барьеров N ^ 1, то для вычисления M(N) (A3) удобно использовать представление, в котором матрица S диагональна. В результате процедуры

диагонализации S' = U 1SU с

U =(l Л , где с = iiSi-M, d = i(s11 - A-), (A7)

\c d I

,cdj s12 s12

получаем матрицу

S = |A+ 0 I, (A8)

с собственными значениями

A+ = ±J(s11 + s22) - (A9)

2 V 4

так что матрица M(N) принимает вид

-1 -

M(N) = (GU)S'n-1(U-1LO). (A10)

Используя формулы (A4), (A7)-(A10), получим, после алгебраических преобразований, выражение для диагонального матричного элемента матрицы переноса, определяющего вероятность прохождения T (3.9) через рассматриваемую структуру:

M (n ) = (921 + cg22)(d + аое-гв0 )AN-1 (921 + dg22 )(c + аое-гв° )AN-1 (A11)

22 2(d - c) cos 9 cos 90 2(d - c) cos 9 cos 90 ' ( )

В частности, для однобарьерной структуры

пп„ (Л + 1 /Л) 1

(A12)

M21) = cos в + i sin в

аа0(Л + 1/Л) tg 9 tg 9о--^"2—— cos 9 cos 9о

(2)

а при N = 2 (т. е. для двухбарьерной структуры) реальная и мнимая части М22 равны соответственно:

Re (M22))

(2) cos2(в - 9) cos(a - 90) + cos2(в + 9) cos(a + 90)

22 ' 2 cos2 9 cos 9о

аа0 (Л + 1) sin 2в sin a cos 9 + 2 sin2 в cos a cos 90

(A13)

2 cos2 9 cos 90

12

, (2)ч (Л2 + ) sin2 в sin a+sin 90 [cos2(в-9) cos(a-90) -cos2^+9) cos(a + 90)]

Im(M22 ) =-1---^-^-+

2 cos2 9 cos2 90

+ sin 90 [2 sin2 в sin a sin 90 - 2аа0(Л + 1) sin2 в sin a sin 9] - 2 sin a cos^ + 9) cos^ - 9) (A14)

2 cos2 9 cos2 90

аа0(Л + 1) sin в[cos^ - 9) cos(a - 90) + cos(в + 9) cos(a + 90)]

2 cos2 9 cos2 90

Приложение Б

Показатель Ляпунова для слабо неупорядоченных многобарьерных

структур

а) Рассмотрим сначала случай, когда флуктуации различных параметров, характеризующих структуру, являются независимыми. Введем е^ = вр^ = Sj — в — отклонение одного из флуктуирующих параметров от его среднего значения (3.25). Тогда в приближении слабого беспорядка матрица переноса через ]-ю ячейку Sj может быть разложена по еj (с точностью до членов второго порядка малости):

Sj = S + S'£j + S"e2J2

(Б1)

где S определяется параметрами невозмущенной структуры, а штрихи обозначают дифференцирование по флуктуирующему параметру. В диагональном представлении матрицы 51 (5 = и= diag [А+, А-]) разложение (Б1) имеет вид:

Sj

i А+ + S'll£j

V *S21 £j + ^

£ . + S'' -j

£j + S11 2

£. + S''

£j + s 21 2

S' £. + S''

°12b3 + s12 2 А- + S2.2£i + S22^2

)

(Б2)

где в? = (U-1S'U)ij, = (и-1S"U)ij, а матрица и, диагонализующая матрицу переноса S, определяется формулой (А7). В результате перемножения матриц Sj найдем, с той же степенью точности, диагональный элемент матрицы переноса через N-барьерную структуру

М1Г1 = (п 5=1 в

11

M-

(N)_ 11

:А+

N , 2\ N

!+а;^ iS'n£j+S?1 j £j £k А+-к-1 (s Sk-j-1S') j=1 ^ ' j<k

11

(Б3)

Для частиц с энергиями, принадлежащими разрешенной зоне спектра соответствующей СР, собственные значения матрицы S связаны с блоховской фазой п дисперсионным уравнением 2 cos п = Tr S, так что

А± = exp(±in), (Б4)

С учетом этого

-Lin

2N

м:

(N) 11

(1

:Re' А+j N pj+(S -1) N g 2+Re (f^ N g A+(j-k)£j£^ •

(Б5)

После усреднения выражения (Б5) остается вклад только от второго слагаемого, поскольку е) = 0 и {еjеk==j) = 0. Таким образом,

22

Ys =

so

Re

s?''

A

11

+

(5)

(Б6)

2

2

s

2

Используя выражения (3.27) для S и (A7) для матрицы U, нетрудно найти матричные элементы S11 и S11 В результате получим формулу (3.31) для обратной длины локализации.

б) Предположим теперь, что существует корреляция между флуктуирующими параметрами внутри элементарной ячейки. В качестве таких параметров рассмотрим ширину барьера d и межбарьерное расстояние a. При этом к соотношениям (3.26) следует добавить коррелятор

(papd >:

j = 0, {pdpj > = a2j, ja > = a2j, j, > = j. (Б7)

Соответственно, разложение трансфер-матрицы в приближении слабого беспорядка имеет вид

/а Id а2 II а 2 в2 п d 2 Had

Sj = S + aSap<a + fíSp p,j + — Saa{f>a) + — S^e (p) + apSae pa¡pj.

(Б8)

2 аа\г]/ 1 2

Здесь а = кха, [3 = qxd, а матрица Б (3.27) и производные по соответствующим переменным (Б' и Б'') определяются параметрами невозмущенной СР. Переходя, как и выше, в Б-представление, найдем диагональный элемент матрицы переноса через Ж-барьерную структуру

M-

(N) 11

( N

an !+fe [*S'apa

К + j=1

«2 в 2 Ра + eSe Pd + V ЗД)2 + V S"ee (Pd)2 + aeS'^e PaPd

.

(Б9)

(В этом выражении опущены слагаемые, пропорциональные произведению р3, которые обращаются в ноль при последующем усреднении). Переходя к 1пТN) = 1п \М$и выполняя разложение с точностью до квадратичных членов по р3 с последующим усреднением согласно (Б7), получим

1 J 2 2

Ya,d = ^ а Ua

+Re ^^ _ 2Re

(S'a )11 2 (S'¡3)11

+Re _ 2Re2 (S )11

A

+

A

+

+в U

A

+

A