Развитие вычислительных моделей динамики мишеней термоядерного синтеза тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Жуков, Виктор Тимофеевич

• Жуков, Виктор Тимофеевич
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Жуков, Виктор Тимофеевич

ВВЕДЕНИЕ

1 ФИЗИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛИ МИШЕНИ ИТИС

1.1 На пути к термоядерной энергетике.

1.2 Инерциальный тяжелоионный синтез

1.3 Основные уравнения трехтемпературной газодинамики

1.3.1 Законы сохранения.

1.3.2 Кинетика термоядерных реакций.

1.3.3 Дополнительные соотношения

1.3.4 Интегральная форма уравнений.

1.3.5 Уравнения состояния.

1.3.6 Начальные и граничные условия.

1.4 Основные элементы расчетной методики

1.4.1 Описание геометрии и топологии.

1.4.2 Общее описание дискретизации.

1.4.3 Теплопроводность

1.4.4 Учет релаксационных процессов.

1.4.5 Промежуточные итоги.

1.5 О расчете квазиизометрических сеток.

1.5.1 Введение.

1.5.2 Постановка задачи.

1.5.3 Общая схема алгоритма.

1.5.4 Расчет отображений, определяющих сетку.

1.5.5 Построение сетки в многообластном случае.

1.5.6 Замечания.

1.6 Выводы.

2 ЯВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

2.1 Введение.

2.2 Постановка задачи.

2.3 Конструкция и основные свойства схемы ЛИ.

2.3.1 Алгоритм схемы ЛИ.V.

2.3.2 Свойства схемы ЛИ

2.4 Схема ЛИ-М

2.5 Схема ЛИ-2 второго порядка точности.

2.6 Качественный анализ схем

2.6.1 Исследование множителей роста гармоник.

2.6.2 Исследование асимптотической устойчивости схем

2.6.3 Исследование монотонности схем.

2.6.4 Схема с "оптимальным"числом итераций.

2.7 Примеры расчетов.

2.8 Выводы.

3 ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПО ПРОСТРАНСТВУ

3.1 Принципы пространственной дискретизации.

3.2 Постановка задачи.

3.2.1 Модель

3.2.2 Сеточная структура.

3.3 Общая конструкция дискретизации

3.4 Интерполяционная схема.

3.4.1 Линейная схема (схема 1).

3.4.2 Нелинейная схема (схема 2).

3.4.3 Одномерный аналог.

3.4.4 Результаты численных экспериментов.

3.4.5 Обсуждение.

3.5 Аппроксимационная схема.

3.5.1 Конструкция схемы

3.5.2 Обсуждение схем

3.5.3 Результаты расчетов.

3.6 Выбор опорной линии.

3.7 Выводы.

4 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ МИШЕНИ В ПРИБЛИЖЕНИИ ОДНОТЕМПЕРАТУР

НОЙ ГАЗОДИНАМИКИ

4.1 Введение.

4.2 Математическая модель.

4.3 Сферическая система при неравномерном облучении

4.4 Система с профилированной внешней оболочкой.

4.5 О реализации методики на многопроцессорной системе

4.6 Выводы.

5 МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИБРИДНЫХ МИШЕНЕЙ ИТИС

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БЕЗУДАРНОГО СЖАТИЯ

5.1 Введение.

5.2 Определение критических параметров уранового пушера

5.3 Вынужденное деление урана в пушере.

5.4 Газодинамическое моделирование гибридных мишеней

5.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие вычислительных моделей динамики мишеней термоядерного синтеза»

Объект исследования и актуальность темы.

Диссертация посвящена развитию вычислительных моделей и алгоритмов для исследования высокотемпературных динамических процессов в мишенях термоядерного синтеза.

Исследования по управляемому термоядерному синтезу (УТС) в наше время определяют не только будущее энергетики, но и прогресс во многих областях науки и техники. Интерес к проблеме УТС объясняется несколькими причинами - исчерпанием в ближайшее столетие запасов органического топлива, безопасностью термоядерной энергетики, немаловажен и военный аспект.

Актуальным направлением в УТС является инерциальный тяжелоионный термоядерный синтез (ИТИС). Проблема ИТИС всесторонне рассмотрена в книге [116]. Авторский коллектив этой книги включает известных в нашей стране и за рубежом ученых, которые работают в различных областях физики плазмы, ядерной энергетики, теплофизики, вычислительной математики, термоядерного синтеза, радиационного материаловедения, экономики атомной энергетики. Достижения на этом направлении включают теоретические и экспериментальные аспекты разработки мишеней термоядерного синтеза, создание мощных и безопасных источников нагрева плазмы, концептуальную проработку ядерной энергетической установки на основе ИТИС [129], [16].

В настоящее время работы по инерциальному термоядерному синтезу на пучках тяжелых ионов проводятся в Европейском Союзе, Японии, США и России. Следует отметить большие возможности математического моделирования в проблеме инерциального (в том числе и лазерного) термоядерного синтеза. Например, в США при разработке ядерных вооружений используются суперкомпьютеры высокой производительности для комплексного моделирования и расчетов импульсных ядерных и термоядерных процессов в динамике работы ядерного оружия.

Математическое моделирование мишеней для инерциального синтеза соответствует сегодняшним знаниям, так как хорошо известны основные уравнения физических процессов и константы взаимодействий частиц с веществом.

В Институте прикладной математики (ИПМ) им. М.В. Келдыша РАН под руководством члена-корреспондента РАН A.B. Забродина сформировалось научное направление по математическому моделированию мишеней ИТИС в тесном сотрудничестве с Институтом теоретической и экспериментальной физики (ИТЭФ) им. А.И. Алиханова, где в течение многих лет ведутся работы по развитию концепции инерциального термоядерного синтеза на основе использования ускорителей тяжелых ионов.

В результате этого сотрудничества в ИПМ им. М.В. Келдыша создан и работает уникальный исследовательский компьютерный код НЗТ на основе комплексной физико-математической модели, в число компонент которой входит: а) нестационарная трехтемпературная газодинамическая модель с учетом переноса тепла ионами, электронами, фотонами и обменом энергией между ними; б) специальный режим вложения энергии пучками тяжелых ионов; в) кинетика термоядерных реакций в термоядерном дейтриево-тритиевом (DT) топливе; г) модели переноса нейтронов для учета нейтронно-ядерных реакций в случае гибридной мишени с урановой оболочкой.

Таким образом, работа актуальна в связи с потребностью исследования процессов термоядерного синтеза в приложении к проблемам науки и промышленности.

Цель работы.

В работе рассматриваются несколько основных направлений исследований, подчиненных главной цели: поиску методами математического моделирования путей безопасного получения ядерной энергии на основе тяжелоионного ускорителя и термоядерной мишени.

Научные цели диссертации включают создание методов решения нелинейных уравнений теплопереноса на подвижных криволинейных сетках, создание многофункционального компьютерного кода для многопроцессорных систем, проведение расчетных исследований мишеней ИТИС.

Методика исследований.

Базовым элементом в компьютерном коде НЗТ является алгоритм [32] (см. разделы, написанные A.B. Забродиным, Г.П. Прокоповым и С.К. Годуновым) решения начально-краевых задач для системы нестационарных уравнений газовой динамики в областях сложной формы с подвижными границами. В основе алгоритма лежит схема С.К. Годунова [26]. Главными принципами алгоритма являются консервативность, адаптируемость к особенностям течений с использованием криволинейных подвижных сеток, сохранение групповых свойств дифференциальной задачи.

Для расчетов тепловых процессов автором диссертации построена дискретизация, согласованная с газодинамическим этапом. Для решения на каждом шаге по времени системы трех дискретных уравнений теплопроводности (или одного уравнения в случае однотемпературной модели) используется явно-итерационная схема с чебышевскими параметрами. Эта схема обеспечивает высокую фактическую точность и эффективное функционирование на многопроцессорных системах. Она построена на основе схемы, предложенной в [78], [79] В.О. Локуциевским и О.В. Локуциевским.

Для аппроксимации по пространству записывается закон сохранения тепла для каждой сеточной ячейки и потоки тепла па сторонах ячеек находятся интерполяцией значений сеточной функции. Рассмотрены два способа интерполяции: лагранжева, когда аппроксимирующий многочлен строится из условия совпадения в узлах сеточного шаблона с искомой функцией, и интерполяция методом наименьших квадратов.

В качестве средств разработки параллельной программы использовался набор функций межпроцессорных обменов для обеспечения геометрического и функционального параллелизма.

Расчетные исследования гибридной мишени с учетом нейтронно-ядерных реакций в урановом слое основаны на предложенной B.C. Имшен-ником [65] модели односкоростного уравнения Пайерлса, которое позволяет в хорошем приближении учесть эффект вынужденного деления урана под действием термоядерных нейтронов, порожденных горением DT-топлива, определить критические параметры урановой оболочки (пушера) в газодинамической модели сжатия и горения, а также развитие цепной реакции деления урана при выполнении критических условий.

Научная новизна.

Диссертационная работа обеспечила решение крупной актуальной научной проблемы создания высокоэффективных средств математического моделирования безопасного процесса получения ядерной энергии на основе тяжелоионного ускорителя и термоядерной мишени. В диссертации развита вычислительная модель, алгоритмы и программы для исследования динамики мишеней термоядерного синтеза на многопроцессорных компьютерах, созданы средства математического моделирования мишеней.

Основными новыми элементами в диссертации являются следующие.

1. Разработаны, исследованы и реализованы в комплексе программ НЗТ новые методы дискретизации по пространству нелинейной системы уравнений трехтемпературной теплопроводности на подвижных криволинейных сетках. В классе явно-итерационных схем с чебышев-скими параметрами построены две новые схемы интегрирования по времени параболических уравнений. Для линейного случая доказаны теоремы о сходимости с указанием порядков точности, проведена практическая проверка построенных схем, показавшая их высокую фактическую точность. Проведено качественное объяснение этого факта на основе исследования эволюции основных мод решения и разностных функций источника для модельных задач. Новые методы обеспечивают выполнение законов сохранения и обладают свойством сохранять симметрию решений, что важно для моделирования мишеней ИТИС.

2. Исследован подход к построению блочно-структурных сеток на основе теории квазиизометрических отображений, построены алгоритмы минимизации вариационного функционала, оценена их работоспособность.

3. На основе предложенных методов развит программный комплекс НЗТ для расчета мишеней ИТИС, функционирующий на многопроцессорных системах. Параллельный код сочетает геометрический и функциональный параллелизм; получено подтверждение его эффективности.

4. Проведены расчетные исследования двух сферических мишеней в условиях развития гидродинамической неустойчивости. Подтверждена возможность профилирования внешней оболочки мишени для компенсации асимметрии облучения и достижения необходимых параметров сжатия. В расчетах изучен рост возмущений на границах раздела сред и получена оценка допустимых начальных возмущений.

5. Исследована динамика цилиндрической мишени при режимах безударного сжатия, в том числе и динамика гибридной мишени, имеющей источник нейтронного энерговыделения в урановой оболочке. В расчетах установлено, что в гибридной мишени: 1) существенно повышается КПД; 2) значительно повышается сжатие топлива, порождая процесс самоподдерживающегося горения в системе "урановая оболочка +термоядерное топливо"; 3) может быть достигнуто критическое состояние, в котором помимо реакций вынужденного деления урана возникает кратковременная цепная реакция.

Практическое значение. Разработанные методы и программы используются для моделирования мишеней ИТИС на основе современных данных и с учетом новейших достижений в этой области в рамках работ по получению ядерной энергии на основе тяжелоионного ускорителя и термоядерной мишени. Важное прикладное значение имеют установленные при расчетных исследованиях следующие факты.

1. При моделировании сферических термоядерных мишеней установлено, что динамика мишени ИТИС - существенно нелинейный процесс, сопровождаемый развитием неустойчивости Рэлея-Тейлора на границах тяжелой оболочки - пушера. Это обстоятельство повышает значение симметризации сжатия, так как малые угловые возмущения энерговложения могут приводить к значительным деформациям пушера. Теплопроводность выполняет роль симметризующего фактора, но не снимает проблему симметризации сжатия полностью. Известно, что сферическое сжатие вещества является благоприятным фактором для создания условий термоядерного горения. Однако, для систем ИТИС характерно несферическое облучение мишеней - в силу специфики конструкции ускорителей ионные пучки располагаются в одной (экваториальной) плоскости. Степень несферичности облучения мишени зависит от многих причин: количества и формы пучков ионов, распределения интенсивности энергии по сечению пучков, их пространственного расположения и т.д. Это существенно усложняет задачу симметризации сферического сжатия. Поэтому необходимо учитывать влияние на динамику мишени малых возмущений, которые неизбежно возникают по указанным причинам и могут возрастать до величин, существенно нарушающих сферичность сжатия. В расчетах установлено, что малые низкочастотные возмущения энерговложения генерируют на границах пушера возмущения с большими частотами. Это значит, что в задачах такого типа следует исходить при выборе сетки из соображений правильного описания эволюции не только предполагаемого возмущения, но и более высокочастотных возмущений, возбуждаемых в процессе сжатия БТ-топлива.

2. Установлено в расчетах, что специальное профилирование внешней оболочки мишени ограничивает деформацию пушера допустимыми значениями с достижением параметров сжатия, близких к термоядерным. Полученные при вышеупомянутом исследовании неустойчивости Рэлея-Тейлора практические доказательства правильности передачи методикой эволюции возмущений означают, что отсутствие критического роста возмущений обусловлено удачным профилированием внешней оболочки, а не погрешностью методики (например, выглаживанием возмущений аппроксимацион-ной вязкостью).

3. При моделировании цилиндрической мишени с урановым пушером установлен эффект усиления кумуляции энергии. Сжатие вещества инициирует загорание БТ-топлива, а горение порождает мощный поток первичных нейтронов. Под их воздействием начинается ядерное энерговыделение в урановой оболочке. В зависимости от геометрии мишени и параметров энерговложения цепная ядерная реакция может не начаться, т.е. нейтронные процессы могут быть подкритичны, либо в урановом пушере может возникнуть самоподдерживающаяся цепная реакция. В каждом из этих двух случаев энерговыделение в уране вызывает дополнительное сжатие, разогрев и выгорание БТ-топлива. Происходит практически мгновенное взаимоусиление нейтронно-ядерных и термоядерных процессов.

Обоснованность и достоверность результатов основаны на применении хорошо зарекомендовавших себя вычислительных методов и известной концепции [32] адаптивного газодинамического моделирования сверхбыстрых процессов. Точность разработанных методов проверялась на решении задач-тестов с известными решениями, а также сравнением с другими методиками и средствами внутреннего контроля (в частности, измельчением расчетных сеток). Достоверность принципиальных физических результатов контролировалась обсуждениями с учеными-физиками, решения подвергались тщательному качественному анализу. Многовариантные расчеты различных модельных конструкций мишеней ИТИС подтверждают работоспособность данной численной модели и ее возможность служить инструментом исследования сложных газодинамических и тепловых процессов в термоядерных мишенях.

Автор защищает следующие положения:

1. Общие принципы включения расчета теплопроводных процессов в газодинамическую модель.

2. Методы построения явно-итерационных схем численного интегрирования по времени параболических уравнений. Обоснование новых схем первого и второго порядка точности на основе многочленов Чебышева.

3. Метод пространственной аппроксимации нестационарного уравнения теплопроводности на криволинейных подвижных сетках.

4. Исследование и построение алгоритмов генерации блочно-структурных сеток на основе теории квазиизометрических отображений.

5. Параллельную программную реализацию комплекса НЗТ.

6. Результаты численного моделирование сферических и цилиндрических мишеней ИТИС, включая гибридную мишень, имеющую дополнительный источник нейтронного энерговыделения.

Личный вклад автора.В процессе работы автор участвовал наряду с другими исполнителями и представителями заинтересованных организаций в решении многих вопросов методического характера. Благодаря такому сотрудничеству, под руководством A.B. Забродина был создан комплекс программ НЗТ. Из вышеперечисленных положений, выносимых на защиту, пункты 1, 2 выполнены автором. Пункты 3 и 5 выполнены автором и О.Б. Феодоритовой с равным творческим вкладом. Пункт 4 выполнен автором в сотрудничестве с С.К. Годуновым и О.Б. Феодоритовой. Пункт 6 выполнен автором в сотрудничестве с B.C. Имшенником и О.Б. Феодоритовой. В диссертацию не вошли результаты моделирования цилиндрических мишеней [37], [38], полученные Н.М. Гиззаткуловым [39] при научном консультировании автора диссертации.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на различных конференциях и семинарах, в том числе на: VII Всесоюзной школе-семинаре "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики", 1989 г., Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики" памяти К.И. Бабенко, 1998 г., 2000 г.; Всероссийской конференции "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления", ВЦ РАН, 2004 г.; Всероссийской конференции "Математика в приложениях", приуроченной к 80-летию академика С. К. Годунова, Новосибирск, 2009 г.; XVI

Internat. Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, Arcachon, 1998 г.; Международной конференции по физике высоких плотностей энергии (ФВПЭ)(Забабахинские научные чтения), Снежинск, 2005 г.; совместных конференциях ВНИИЭФ, ВНИИТФ, ИПМ; семинарах им. К.И.Бабенко в ИПМ РАН.

Реализация и внедрение результатов работы. Работа выполнялась в рамках научных планов ИПМ им. М.В. Келдыша, поддерживалась грантами Российского фонда фундаментальных исследований. Результаты использовались для развития и обоснования концепции ИТИС, которая разрабатывалась по инициативе академика В.И. Субботина в Научном Совете РАН по физико-техническому анализу энергетических систем.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 32 работы, включая 13 статей в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования научных результатов докторских диссертаций, 2 статьи в рецензируемых журналах, 8 препринтов ИПМ им. М.В. Келдыша, 9 публикаций в сборниках тезисов докладов на всероссийских и зарубежных конференциях, в научно-технических отчетах. Основное содержание диссертации отражено в публикациях [1-25].

Список основных публикаций автора по теме диссертации

Статьи в рецензируемых оюурналах, рекомендованных ВАК.

1. Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Разностные схемы решения нестационарного двумерного уравнения теплопроводности на криволинейных сетках и их реализация на параллельной вычислительной системе// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов,

1992, вып. 3, с. 66-71.

2. Жуков В. Т. Явно-итерационные схемы для параболических уравнений// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1993, вып. 4, с. 40-46.

3. Жуков В. Т., Забродин A.B., Феодоритова О.Б. Метод решения двумерных уравнений динамики теплопроводного газа в областях сложной формы// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1993, т. 33, № 8, с. 1246-1256.

4. Гусев A.B., Жуков В. Т., Забродин A.B., Лацис А. О., Луцкий А.Е., Пет-рущенков И.Л., Поздняков Л. А., Феодоритова О.Б. Решение задач газовой динамики и аэродинамики на параллельных ЭВМ // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1993, вып.2, с.44-54.

5. Жуков В. Т., Забродин A.B., Феодоритова О.Б. Особенности численного моделирования мишени инерциального термоядерного синтеза в приближении теплопроводной газовой динамики //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994, т. 34, № 12, с. 1852-1866.

6. Жуков В. Т., Забродин A.B., Имшенник B.C., Феодоритова О.Б.Численное исследование процесса сжатия несферической мишени тяжелоионного термоядерного синтеза в приближении двумерной теплопроводной газодинамики// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1994, вып. 1, с. 8—18.

7. Shvedov A.S., Zhukov V.T. Explicit iterative difference schemes for parabolic equations// Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1998, v. 13, № 2, p. 133148. [In English]

8. Godunov S.K., Feodoritova O.B., Zhukov V.T. Algorithm for construction of quasi-isometric grids in curvilinear quadrangular regions. In: XVI Internat. Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, Lecture Notes in Phys., Springer, Berlin, 1998, v. 515, p. 49-54.

9. Алексеев H.H., Баско M.M., Забродина E.A., Имшенник B.C., Кошкарев Д.Г., Чуразов М.Д., Шарков В.Ю., Долголева Г.В., Забродин А.В., Жуков В. Т., Орлов Ю.Н., Субботин В.И. Разработка энергетической установки, сочетающей синтез и деление на основе микромишеней прямого действия и мощного тяжелоионного драйвера// Атомная энергия, 2004, т. 97, вып. 3, с. 200-209.

10. Godunov S.K., Feodoritova О.В., Zhukov V.T. On one Class of Quasi-isometric Grids. (Chapter 2), In: O.V. Ushakova (Ed.), Advances in Grid Generation. - New York: Nova Science Publishers, 2005, p. 53-68.

11. Годунов C.K.j Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Метод расчета инвариантных подпространств для симметричных гиперболических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2006, т. 46, № 6, с. 1041-1053.

12. Бабий Д.П., Годунов С.К., Жуков В. Т., Феодоритова О.В. О разностных аппроксимациях переопределенных гиперболических уравнений классической математической физики // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2007, т. 47, № 3, с. 445-459.

13. Godunov S.К. , Feodoritova О.В., Zhukov V. Т. Computation of Eigenspaces of Hyperbolic Systems. In: Computational Fluid Dynamics 2006, H. Deconinck, E. Dick (Eds.). - Springer, 2009, p. 143-148.

Статьи в рецензируемых изданиях.

14. Годунов С.К., Жуков В.Т., Феодоритова О.Б. Об одном классе квазиизометрических сеток. Труды Всерос.конфер. "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления". - М.: ВЦ РАН, 2004, с. 5-16.

15. Imshennik V.S., Zhukov V.T. Contribution of neutron reactions in hybrid targets of inertial heavy ion fusion (HIF). American Institute of Physics Conference Proceedings: 2006, v. 849, p. 221-236, (Zababakhin scientific talks

- 2005: Internat. Conf. on High Energy Density Physics). In English.

Некоторые другие публикации автора по теме диссертации.

16. Жуков В. Т. Численные эксперименты по решению уравнения теплопроводности методом локальных итераций. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1984, препринт № 97, с. 22.

17. Жуков В. Т. Разностные схемы локальных итераций для параболических уравнений. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1986, препринт № 183, 20 с.

18. Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Интерполяционные схемы для численного решения уравнения теплопроводности. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1988, препринт № 80, 32 с.

19. Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Разностные схемы для уравнения теплопроводности на основе локальных среднеквадратичных приближений.

- М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1989, препринт № 97, с. 20.

20. Жуков В. Т., Забродин A.B., Феодоритова О.Б. Схема решения нестационарных двумерных уравнений газовой динамики с теплопроводностью на подвижных криволинейных сетках. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1991, препринт № 18, 28 с.

21. Жуков В.Т., Забродин A.B., Имшенник B.C., Феодоритова О.Б. Численное моделирование мишени тяжелоионного синтеза в приближении теплопроводной газодинамики. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1993, препринт № 41, 32 с.

22. Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Многосеточный метод решения эллиптических уравнений с использованием чебышевских итераций. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1996, препринт № 16, 20 с.

23. Алалыкин Г.Б., Жуков В.Т., Забродин A.B., Забродина Е.А., Новожилова Г.Н., Плинер Л.А., Прокопов Г.П., Феодоритова О.Б. Методика численного моделирования двумерных нестационарных течений теплопроводного газа в трехтемпературном приближении в областях сложной формы с подвижными границами (НЗТ). - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, отчет НИР 8-1-04, 2004, 244 с.

24. Годунов С.К., Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Алгоритм спектрального анализа для симметрических гиперболических систем. - М.:ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2005, препринт № 91, 32 с.

25. Жуков В.Т., Имшенник B.C. Модели гибридных мишеней ИТИС с использованием безударного сжатия// Сб. научных трудов. Высокопроизводительные вычисления в задачах механики и физики. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2009, с. 95-109.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка цитируемой литературы. Диссертация содержит 265 страницы, в общей сложности 50 рисунков и 13 таблиц. Список цитируемой литературы содержит 133 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Жуков, Виктор Тимофеевич

5.5. Выводы

Приближенный метод описания нейтронно-ядерных реакций в урановой оболочке дает возможность проводить газодинамические расчеты для гибридных мишеней ИТИС. Для гибридных мишеней особенно важным является использование режима безударного сжатия [45]. Этот режим предназначен для достижения столь высоких плотностей вещества в пуше

Ж "Цп®: 4 А „ Об" + а о * и *

Сш 0Х> йд

Е *[ 61 А 81<П&0Е%„. „ С6" +

6! о ■н.

Сг1ш <М Ф 01 (й

2*0 Сс*

Ж. ±/ <3' Аз5ТТ»е<эз» Я ' эТТ ъ

-н. ойё аЬ

ОН аЬ Р

•®с5 1

М цЬ

-и Со5*

Сс1 йЬ

Рис.5.2. На двух верхних кадрах даны г — £ диаграммы внешнего, внутреннего и критического радиусов уранового пушера. Внизу в рамке г — Ь диаграммы для гибридной мишени (сплошная линия) и мишени золотым пушером (пунктир).

А ^/Вт" <а' УВОзЯ^/Е^ ? 01 АТ „06" Аэ^шие^ „ Об"

Рис.5.3. Средняя по радиусу пушера концентрация термоядерных нейтронов (вверху) и локальные энерговыделения внутри оболочек урана и топлива (внизу) ре (а также в топливе), что вклад нейтронно-ядерных реакций сравним с вкладом термоядерных реакций в общее энерговыделение мишеней. Полное энерговложение, а также его характерные мощности (в максимуме) сохраняются теми же, что были обоснованы для энергетических мишеней ИТИС с точки зрения физики тяжелоионных драйверов.

Полученные результаты подтверждают, что использование гибридных мишеней ИТИС: 1) существенно повышает энергетический выход установки; 2) способствует эффективности термоядерного горения; 3) значительно повышает сжатие топлива, порождая процесс самоподдерживающегося горения в системе пушер+топливо; 4) приближает достижение критического состояния пушера, в котором помимо реакций вынужденного деления урана возникает цепная реакция деления.

Критические условия в пушере не были достигнуты в рассматриваемых (неоптимизированных) мишенях ИТИС, но были весьма близкими. Заметим, что вклад цепной реакции деления может быть увеличен с использованием иного делящегося вещества пушера, а также по пути оптимизации сочетания термоядерных и нейтронно-ядерных реакций в гибридных мишенях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе представлена математическая модель и вычислительная технология для моделирования процесса безопасного получения ядерной энергии в концепции ИТИС - на основе ускорителя тяжелых ионов и дейтриево-тритиевых мишеней различных конструкций, включая традиционные и гибридные, с урановой оболочкой. Подводя итоги, можно в качестве основных результатов указать следующие.

1. Для моделирования мишеней ИТИС развиты и реализованы принципы расчета теплопроводных процессов, протекающих в фотонно-электронно-ионной среде.

2. Разработаны и исследованы новые методы дискретизации уравнений нелинейной теплопроводности на криволинейных сетках. В классе явно-итерационных схем с чебышевскими параметрами построены две новые схемы интегрирования по времени; для линейного случая доказана их сходимость. Проведена практическая проверка схем на многочисленных задачах-тестах. Дано объяснение причин высокой фактической точности схем на основе исследования эволюции основных мод решения и разностных функций источника для модельных задач. Новые методы обеспечивают выполнение законов сохранения и обладают свойством сохранять симметрию решений, что важно для моделирования мишеней ИТИС.

3. На основе построенных методов развит комплекс программ НЗТ, функционирующий на многопроцессорных системах, получено подтверждение его высокой параллельной эффективности. Разработан параллельный алгоритм, сочетающий геометрический и функциональный параллелизм. Экспериментально показана работоспособность численной модели и ее возможность служить инструментом исследования сложных тепло-газодинамических процессов в мишенях ИТИС.

4. Исследован подход к построению блочно-структурных сеток на основе теории квазиизометрических отображений, построены алгоритмы минимизации вариационного функционала, оценена их работоспособность и эффективность.

5. Проведено численное моделирование сферических мишеней в условиях развития гидродинамической неустойчивости. Подтверждена возможность профилирования внешней оболочки для компенсации асимметрии облучения и достижения необходимых параметров сжатия. Изучен рост рэлей-тейлоровских возмущений на границах раздела сред и получена оценка допустимых начальных возмущений.

6. Исследована динамика цилиндрической мишени ИТИС при режимах безударного сжатия, в том числе и динамика гибридной мишени, имеющей источник нейтронного энерговыделения в урановой оболочке. В расчетах установлено, что в гибридной мишени: 1) существенно повышается КПД; 2) значительно повышается сжатие топлива, порождая процесс самоподдерживающегося горения в системе "урановая оболочка -{-термоядерное топливо"; 3) может быть достигнуто критическое состояние, в котором помимо реакций вынужденного деления урана возникает цепная реакция.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждена сравнением с другими расчетными методиками (ИТЭФ, ВНИИЭФ) и средствами внутреннего контроля - доказательством теорем о сходимости схем, исследованием свойств построенных методов, расчетами с измельчением сеток. Достоверность принципиальных физических результатов контролировалась обсуждениями с учеными-физиками, решения подвергались тщательному качественному анализу. Многовариантные расчеты различных модельных конструкций мишеней ИТИС подтверждают работоспособность данной численной модели и ее возможность служить инструментом исследования сложных газодинамических и тепловых процессов в термоядерных мишенях.

Таким образом, сделан крупный вклад в развитие концепции энергетической установки на основе тяжелоионного синтеза и созданы основы для математическое моделирование безопасного процесса получения ядерной энергии в рамках этой концепции: развита вычислительная модель, построены алгоритмы и программы для исследования динамики термоядерных мишеней на многопроцессорных компьютерах. Результаты, представленные в диссертации, являются новыми, обоснованными, исследования выполнены на высоком научном уровне, имеют научную и практическую ценность.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Жуков, Виктор Тимофеевич, 2010 год

1. Азаренок В.Н. Об одном вариационном методе построения пространственных сеток. Сообщения по вычислительной математике. М.: Вы-числ. Центр им. A.A. Дородницына РАН, 2006, 51 с.

2. Аксёнов А.Г., Васко М.М., Забродина Е.А., Кошкарёв Д.Г., Чуразов М.Д., Шарков В.Ю. Волна термоядерного горения в мишени релятивистского драйвера// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 2008, вып. 2, с. 60-65.

3. Антонова Р.Н., Прокопов Г.П. Сравнение нескольких вариантов построения разностных сеток посредством интерполяционных формул// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1994, вып. 1, с. 78-84.

4. Антонова Р.Н., Прокопов Г.П. Расчет гладких сложно-составных сеток прямой минимизацией вариационных функционалов// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1997, вып. 2, с. 17-23.

5. Антонова Р.Н., Прокопов Г.П. Расчет квазиортогональных сеток минимизацией вариационных функционалов. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1998, препринт № 31, 32 с.

6. Артемьев А.Ю., Делов В.И., Дмитриева Л.В. Методика расчета трехмерных нестационарных задач газовой динамики в переменных Лагранжа// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1989, вып. 1. с. 30-39.

7. Ахиезер А.И., Померанчук И.Я. Некоторые вопросы теории ядра. -М. Л.: ГИТТЛ, 1950, 417 с.

8. Бабенко К.И. Основы численного анализа. Москва-Ижевск: НИЦ РХД, 2002, 848 с.

9. Бабий Д.П., Годунов С.К., Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. О разностных аппроксимациях переопределенных гиперболических уравнений классической математической физики// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., т. 47, № 3, 2007, с. 445-459.

10. Баско М.М. GITTAM программа для численного моделирования одномерных мишеней ТИС. Система уравнений. - М.: ИТЭФ, 1987, препринт № 87, 20 с.

11. Баско М.М., Имшенник B.C., Кошкарев Д.Г., Чуразов И.Д., Шерст-нев К. Б. Управляемый тяжелоионный синтез и дейтериевые мишени// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1989, вып. 3, с. 84-97.

12. Баско М.М., Гуськов С.Ю., Недосеев C.J1., Чуразов МД. Мишени ИТС. В сб. Ядерный синтез с инерционным удержанием. Под. ред. Б.Ю. Шаркова. М.: Физматлит, 2005, разд. 3.3, с. 53-56.

13. Баско М.М., Медин С.А., Орлов Ю.Н., Суслин В.М. Сквозной расчет термоядерного горения и разлета плазмы в реакторе ИТС на тяжелых ионах. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2010, препринт № 18, с. 36.

14. Бахрах С.М., Жарова Г.В., Спиридонов В.Ф. Консервативная схема счета осесимметричных течений (явно-неявный алгоритм)// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Методики и программы численного решения задач матем. физики, 1982, вып. 3, с. 15-21.

15. Белякова Г. В., Грынь В. И. , Чарахчьян А. А. Применение составных разностных схем для расчета нестационарных течений с узкими тепловыми слоями// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2007, т. 47, №3, с. 481-489.

16. Гавурин М.К. Применение полиномов наилучшего приближения к улучшению сходимости итеративных процессов// Успехи матем. наук, 1950, 5:3(37), с. 156-160.

17. Гаджиев А.Д., Писарев . В.И. Неявный конечно-разностный метод "Ромб" для численного решения уравнений газовой динамики с теплопроводностью//Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1979, т. 19, № 5, с. 1288-1303.

18. Гаджиев А.Д., Писарев В.Н., Рыкованова В.В., Шестаков A.A. Методика и программа ТОМ I для решения двумерного уравнения теплопроводности// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Методики и программы численного решения задач матем. физики, 1985, вып. 1.

19. Гаджиев А.Д., Писарев В.Н., Шестаков Л.А. Метод расчета двумерных задач теплопроводности на неортогональных сетках// Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1982, т. 22, № 2, с. 339-347.

20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966, 576 с.

21. Гельфанд И.М., Локуциевский О. В. О разностных схемах для решения уравнения теплопроводности. В кн.: Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. М.: Физматгиз, 1962, с. 275-282.

22. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений газодинамики // Матем. сборник, 1959, т. 47(89), № 3, с. 271-306.

23. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979, 392 с.

24. Годунов С.К., Гордиенко В.М., Чумаков Г.А. Квазиизометрическая параметризация криволинейного четырехугольника и метрика постоянной кривизны// Siberian Advances in Mathematics, 1995, т. 5, Na 2, с. 120.

25. Годунов С.К., Жуков В.Т., Феодоритова О.Б. Об одном классе квазиизометрических сеток. Труды Всерос.конфер. "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления ВЦ РАН, 2004, с. 5-16.

26. Годунов С.К., Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Алгоритм спектрального анализа для симметрических гиперболических систем. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2005, препринт № 91, 32 с.

27. Годунов С.К., Жуков В.Т., Феодоритова О.Б. Метод расчета инвариантных подпространств для симметричных гиперболических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2006, т.46, № 6, с.1041-1053.

28. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976, 400 с.

29. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1967, т.7, № 5, с. 1031-1059.

30. Годунов С.К., Прокопов Г.П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1972, т. 12, № 2, с. 429-440.

31. Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. -М.: Физматгиз, 1962, 340 с.

32. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (Введение в теорию)- М.: Наука, 1973, 400 с.

33. Гиззаткулов Н.М. Модифированная численная схема комплекса НЗТ.- М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2003, препринт № 63, 19 с.

34. Гиззаткулов Н.М. Разностная схема для двумерных нестационарных уравнений газовой динамики в трехтемпературном приближении// Математическое моделирование, 2004, т. 16, JV2 10, с. 107-119.

35. Гиззаткулов Н.М. Численное моделирование двумерной нестационарной газовой динамики в трехтемпературном приближении с учетом нейтронного и термоядерного горения// Дисс. на соиск. ученой степени канд. физ.-мат. наук. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2005.

36. Головизнин В.М., Коршунов В.К., Самарский А.А., Чуданов В.В. Метод факторизованных тепловых смещений для решения двумерных задач теплопроводности на нерегулярных расчетных сетках. М.: ИП-Матем. АН СССР, 1985, препринт № 58.

37. Гуськов С.Ю., Демченко H.H., Розанов В.Б., Степанов Р.В., Змит-ренко Н.В., Карузо А., Странгио К. Симметричное сжатие мишеней "лазерный парник" малым числом лазерных пучков// Квантовая электроника, 2003, т. 33, № 2, с. 95-104.

38. Грынь В.И., Фролова A.A., Чарахчьян A.A. Сеточный генератор барьерного типа и его применение для* расчета течений с подвижными границами// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003, т. 43, № 6, с. 902908.

39. Долголева Г. В., Методика расчета движения двухтемпературного излучающего газа (СНД спектральная неравновесная диффузия)// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Методики и программы численного решения задач матем. физики, 1983, № 2(13), с. 29—33.

40. Долголева Г.В., Забродин A.B. Кумуляция энергии в слоистых системах и реализация безударного сжатия. М.: Физматлит, 2004, с.72.

41. Жуков В. Т. Численные эксперименты по решению уравнения теплопроводности методом локальных итераций. М.: ИПМатем. АН СССР, 1984, препринт № 97, с.22.

42. Жуков В. Т. Разностные схемы локальных итераций для параболических уравнений. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1986, препринт № 183, 20 с.

43. Жуков В.Т. Явно-итерационные схемы для параболических уравнений// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1993, № 4, с. 40-46.

44. Жуков В. Т., Забродин A.B., Феодоритова О.Б. Схема решения нестационарных двумерных уравнений газовой динамики с теплопроводностью на подвижных криволинейных сетках. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1991, препринт № 18, 28 с.

45. Жуков В.Т., Забродин A.B., Феодоритова О.Б. Метод решения двумерных уравнений динамики теплопроводного газа в областях сложной формы// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1993, т. 33, Я2 8, с.1246-1256.

46. Жуков В.Т., Забродин A.B., Феодоритова О.Б. Особенности численного моделирования мишени итерационного термоядерного синтеза в приближении теплопроводной газовой динамики //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994, т. 34, № 12, с. 1852-1866.

47. Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Интерполяционные схемы для численного решения уравнения теплопроводности. М.: ИПМатем. АН СССР, 1988, препринт № 80, 28 с.

48. Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Разностные схемы для уравнения теплопроводности на основе локальных среднеквадратичных приближений. М.: ИПМатем. АН СССР, 1989, препринт № 97, 20 с.

49. Жуков В. Т., Забродин А. В., Имшенник В. С., Феодоритова О. В. Численное моделирование мишени тяжелоионного синтеза в приближении теплопроводной газодинамики. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1993, препринт № 41.

50. Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Многосеточный метод решения эллиптических уравнений с использованием чебышевских итераций. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1996, препринт № 16.

51. Жуков В.Т., Имшенник B.C. Модели гибридных мишеней ИТИС с использованием безударного сжатия. Высокопроизводительные вычисления в задачах механики и физики. Сб. научных трудов. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2009, с. 95-109.

52. Змитренко Н.В.,Прончева Н.Г.,Розанов В.Б., Яхин P.A. Модель перемешивания оболочек термоядерной лазерной мишени при сферическом сжатии// Квант, электроника, 2007, 37 (8), с. 784—791.

53. Иваненко С.А. Построение невырожденных сеток.// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1988, т. 28, № 10, с. 1498-1506.

54. Иваненко С.А., Чарахчъян A.A. Криволинейные сетки из выпуклых четырехугольников// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1988, т. 28, № 4, с. 503-514.

55. Имшенник В. С. Аналитический метод определения параметров цепной реакции деления для цилиндрического уранового стержня и оценки энерговыделения гибридных мишеней ИТИС// Ядерная физика, 2006, т. 69, № 10, с. 1690-1700

56. Исследование гидродинамической устойчивости с помощью ЭВМ. Сб. научных трудов под ред. К. И. Бабенко. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1981, 163 с.

57. Калиткин H.H. Численные методы. М.:Наука, 1978, 512 с.

58. Калиткин H.H., Риту с И. В. Комплексная схема решения параболических уравнений. М.: ИПМатем. АН СССР, 1981, препринт № 32.

59. Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Попов Ю.П. Об одном алгоритме решения уравнения теплопроводности на неортогональных сетках// Дифференц.уравнения, 1985, т. XXI, № 7, с. 1273-1276.

60. Кошкарев Д.Г., Чуразов М.Д., Баско М.М. и др. Мощный тяжелоионный драйвер для зажигания термоядерной ДТ мишени. М.: ИТЭФ, 2001, препринт 4-01.

61. Кошкарев Д.Г., Шарков Б.Ю. Ядерное деление с инерционным удержанием// Письма в ЖЭТФ, 2002, т.75, вып. 7, с. 371-373.

62. Кошкарев Д.Г. Тяжелоионный драйвер мегаватного уровня мощности. М.: ИТЭФ, 2006, препринт 03-06.

63. Красноборов H.A. Алгоритм программы численного решения двумерных задач газовой динамики с теплопроводностью. М.: ИТЭФ, 1986, препринт № 117, 28 с.

64. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: ГИФМЛ, 1958, 678 с.

65. Лебедев В. И. Как решать явными методами жесткие системы дифференциальных уравнений. В кн.: Вычислительные процессы и системы. Под. ред. Г. И. Марчука. М.: Наука, 1991, вып. 8, с. 237-291.

66. Лебедев В.И., Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом методе //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1971, т. 11, № 2, с. 425-438.

67. И.Г. Лебо, В.Ф. Тишкин. Исследование гидродинамической неустойчивости в задачах лазерного термоядерного синтеза методами математического моделирования. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

68. Локуциевский В.О., Локуциевский О.В. Применение чебышевских параметров для численного решения некоторых эволюционных задач. -М.: ИПМ им.М.В. Келдыша АН СССР, 1984, препринт № 99, с.32.

69. Локуциевский В. О., Локуциевский О.В. О численном решении краевых задач для уравнений параболического типа// Докл. АН СССР, 1986, т. 291, № 3, с. 540-544.

70. Локуциевский О.В., Гавриков М.В. Начала численного анализа. М.: ТОО "Янус", 1995, 581 с.

71. Люстерник Л.А. О разностных аппроксимациях оператора Лапласа// Успехи матем. наук, 1954, т. IX, вып. 2(60), с. 3-66.

72. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949, 688 с.

73. Отрощенко И.В., Федоренко Р.П. Релаксационный метод решения разностного бигармонического уравнения//Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1983, т. 23, № 4.

74. Писарев В.Н. О параметрическом семействе схем "Ромб|,для нелинейного уравнения теплопроводности// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Методики и программы численного решения задач матем. физики, 1986, вып. 3.

75. Прокопов Г.П. О расчете разностных сеток, близких к ортогональным, в областях с криволинейными границами. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1974, препринт № 17.

76. Прокопов Г.П. Методология вариационного подхода к построению квазиортогональных сеток// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1998, вып. 1, с. 37-46.

77. Прокопов Г.П. Задача о распаде разрыва в трехтемпературной газовой динамике. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2004, препринт № 66, 28 с.

78. Прокопов Г.П. Аппроксимация уравнений состояния в трехтемпературной модели нестационарных течений теплопроводного газа. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2000, препринт № 32, 20 с.

79. Прокопов Г.П. Универсальные вариационные функционалы для построения двумерных сеток. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2001, препринт № 1, 36 с.

80. Прокопов Г.П. Вариационные методы расчета двумерных сеток прирешении нестационарных задач. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 2003, препринт № 4, 32 с.

81. Прокопов Г.П. Реализация вариационного подхода к расчету двумерных сеток в нестационарных задачах. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2005, препринт № 116, 36 с.

82. Прокопов Г. П. Выбор параметров при вариационном подходе к расчету регулярных сеток. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2006, препринт № 14, 32 с.

83. Самарский A.A., Тихонов А.Н. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках//Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1962, т. 2, № 5, с. 812-832.

84. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.:Наука, 1977, 656 с.

85. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978, 592 с.

86. Саулъев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток //Под ред. JI. А. Люстерника. М.: Физматгиз, 1960, 324 с.

87. Сидоров А.Ф., Шабашова Т.Н. Об одном методе расчета оптимальных разностных сеток для многомерных областей// Числ. методы механики сплошной среды, 1981, т. 12, № 5, с. 106-124.

88. Соловьев A.B., Шашков М.Ю. Разностная схема метода «частиц Дирихле» в цилиндрических координатах, сохраняющая плоскую, цилиндрическую и сферическую симметрию газодинамических течений. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1987, препринт № 188.

89. Тишкин В. Ф., Никишин В.В., Попов И.В., Фаворский А.П. Разностные схемы трехмерной газовой динамики для задачи о развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова// Матем. моделирование, 1995, т. 7, № 5, с. 15-25.

90. Тишкин В.Ф., Тюрина H.H., Фаворский А.П. Разностные схемы расчета гидродинамических течений в цилиндрических координатах. — М.: ИПМ АН СССР, 1978, препринт № 23.

91. Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Аппроксимация потоковых схем для уравнения теплопроводности на нерегулярных криволинейных сетках. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1981, препринт № 93.

92. Трощиев В.Е. О классах сеток, допускающих консервативные аппроксимации двумерного оператора переноса треугольным разностным оператором/ / Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1976, т. 16, № 3, с. 793-797.

93. Трощиев В.Е., Шагалиев P.M. Класс интерполяционно-инвариантных схем для численного решения уравнения теплопроводности// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Методики и программы численного решения задач матем. физики, 1983, вып. 3 (14), с. 73-76.

94. Трощиев В.Е., Шагалиев P.M. Консервативные узловые схемы методов конечных разностей и конечных элементов для двумерного уравнения теплопроводности // Сб. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: 1984, т. 15, № 4.

95. Трощиев В.Е., Шагалиев P.M. Проблема совмещения конечноразностных и конечно-элементных схем в задачах газовой динамики с теплопроводностью// Матем. моделирование, 2000, т. 12, № 2, с. 3-11.

96. Федоренко Р.П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений //Успехи матем. наук, 1973, т. XXVIII, вып. 2(170), с. 121-182.

97. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: МФТИ, 1994, 528 с.

98. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. -М.: Мир, 1999, 685 с.

99. Чебышев П.Л. Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближенным представлением функций. Сочинения, т. 1. СПб: 1899.

100. Чжао-Дин Ю. Некоторые разностные схемы решения первой краевой задачи для линейных дифференциальных уравнений с частными производными// Дисс. на соиск. ученой степени канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1958.

101. Чуразов М.Д., Аксенов А.Г., Забродина Е.А Зажигание термоядерных мишеней пучком тяжелых ионов// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 2001, вып. 1, с. 113.

102. Шведов А. С. Инвариантные разностные схемы для уравнений газовой динамики// ДАН, 1987, т. 292, № 1, с. 46-50.

103. Шведов А. С. Разностная схема для уравнений газовой динамики, сохраняющая групповые свойства решений// Матем. заметки, 1990, т. 4, вып. 4, с. 140-151.

104. Шведов А.С. Тривиальность одной разностной схемы с переменными шагами по времени для уравнения теплопроводности// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1997, т. 37, № 1, с. 69—73.

105. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978, 462 с.

106. Ядерный синтез с инерционным удержанием. Современное состояние и перспективы для энергетики. Ред. Б.Ю. Шарков. М.: Физматлит,2005, 264 с.

107. Basko М.М., Imshennik V.S., Churazov M.D. Overwiew of directly driven H3F targets// Particle Accelerators, 1992, v. 37-38, p. 505-512

108. Flanders D., Shortley G. Numerical determination of fundamental modes // J. Appl. Phys., 21(1950), № 12, p. 1326-1332.

109. Godunov S.K., Feodoritova O.B., Zhukov V.T. On one Class of Quasi-isometric Grids. In: O.V. Ushakova (Ed.), Advances in Grid Generation,(Chapter 2). New York: Nova Science Publishers, 2005.

110. Godunov S.K., Feodoritova O.B., Zhukov V.T. Computation of Eigenspaces of Hyperbolic Systems. In: Computational Fluid Dynamics2006, H. Deconinck, E. Dick (Eds.). Springer, 2009, p.143-148.

111. Houwen P.J. van der. Explicit Runge Kutta formulas with increased stability boundaries// Numer. Math., v. 20, № 2, 1972, p. 149-164.

112. Medin S.A., Churazov M.D., Koshkarev D.G. et al Evaluation of a power plant concept for fast ignition heavy ion fusion// Laser and Particle Beams, 2002, v. 20, p. 419-423.

113. Medin S.A., Churazov M.D., Koshkarev D.G., et al. Reactor Chamber and Balance-of-Plant Characteristics for Fast-Ignition Heavy-Ion Fusion Power Plant// Fusion Science and Technology, 2003, v. 43, № 3, p. 437-446.

114. Medin S.A., Basko M.M., Koshkarev D.G., Orlov Yu.N., Parshikov A.N., Sharkov B.Yu., Suslin V.M. Power Plant Design and Accelerator Technology for Heavy Ion Inertial Fusion Energy // Nuclear Fusion, 2005, v. 45, p. 291-297.

115. Richardson L.F. The approximate solution by finite differences of physical problems involving differential equations with an application to the stresses in a masonry dam // Roy. Soc. Philos. Trans., 210A (1910), p. 307-357.

116. Schur F. Ueber den Zusammenhang den Räume Konstanten

117. Riemannschen kriimmungsmasses mit den projectiven Raiimen // Math.Ann., 1848, № 27 (German).

118. Sharkov B. Yu. Overview of Russian heavy-ion inertial fusion energy program. In: Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. -Elsevier, 2007, v. 577, № 1-2, p. 14-20.

119. Shvedov A.S., Zhukov V.T. Explicit iterative difference schemes for parabolic equations// Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1998, v. 13, № 2, p. 133-148. In English.

120. Verwer J.G. A class of stabilized three-step Runge Kutta methods for the numerical integration of parabolic equations// J. Comp. Appl. Math., 1977, v. 3, p. 155-166.

121. Verwer J. G. An implementation of a class of stabilized explicit methods for the time integration of parabolic equations// ACM Trans. Math. Software, 1980, v. 6, p.188-205.

122. Verwer J.G., Sommeijer B.P., Hundsdorfer W. RKC time-stepping for advection-diffusion-reaction problems// J. of Computational Physics, 2004, v. 201, № 1, p. 61-79.