Численное моделирование динамики роста фибринового сгустка в потоке плазмы крови на основе модели системы свертывания типа "реакция-диффузия-конвекция" тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Куриленко, Ирина Александровна

• Куриленко, Ирина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Куриленко, Ирина Александровна

Введение.

Глава 1. Современное состояние проблемы. Обзор публикаций.

1.1 Процесс свертывания крови.

1.2 Основные результаты экспериментального исследования пространственной динамики роста сгустка.

1.3 Модели пространственной динамики свертывания крови.

1.4 Исследование влияния потока на рост тромба методами математического моделирования

1.5 Спиральные волны в моделях активных сред.

1.6 Численные методы решения задач реакция-диффузия-конвекция.

Глава 2. Двумерные стационарные структуры в математической модели системы свертывания крови, учитывающей переключение активности тромбина.

2.1 Математическая модель системы свертывания крови с учетом переключения активности тромбина.

2.1.1 Основные положения и свойства модели.

2.1.2 Уравнение производства фибрина.

2.2 Динамические режимы модели системы свертывания в двумерном случае. Двумерные стационарные структуры.

Глава 3. Численные методы решения задачи «реакция-диффузия-конвекция». Спиральные волны и устойчивость численных решений к сдвиговому потоку.

3.1 Построение разностной схемы на основе метода переменных направлений с весовыми множителями для конвективных слагаемых.

3.1.1 Метод переменных направлений.

3.1.2 Метод расщепления с весовыми множителями для конвективных слагаемых.

3.2 Спиральные волны и их устойчивость к возмущению сдвиговым потоком.

3.3 Устойчивость апериодических режимов к возмущению сдвиговым потоком.

Глава 4. Моделирование роста фибринового сгустка в потоке вязкой несжимаемой жидкости.

4.1 Физическая постановка задачи.

4.2 Системы уравнений. Краевые условия.

4.3 Численные методы решения стационарных уравнений Навье-Стокса.

4.4 Результаты расчетов в приближении проницаемого сгустка.

4.5 Рост непроницаемого для жидкости сгустка в потоке Куэтта.

4.5.1 Результаты расчетов при определении границы сгустка по критической концентрации тромбина.

4.5.2 Рост сгустка в потоке при учете кинетики производства фибрина.

Глава 5. Моделирование роста фибринового сгустка в плоской проточной камере.

5.1 Физическая постановка задачи.

5.2 Осреднение трехмерных стационарных уравнений Навье-Стокса по одному измерению.

5.3 Результаты расчетов в приближении проницаемого сгустка.

5.4 Результаты расчетов роста непроницаемого сгустка.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование динамики роста фибринового сгустка в потоке плазмы крови на основе модели системы свертывания типа "реакция-диффузия-конвекция"»

Актуальность исследования.

Нарушения системы гемостаза — неконтролируемые кровоточивость или тромбообразование — сопровождают большинство тяжелых патологических состояний организма и несут серьезную угрозу жизни и здоровью. Поэтому изучение механизмов инициации и развития коагуляционного процесса является одной из важнейших задач современной биофизики и медицины.

При повреждении сосуда в организме активируется каскад ферментативных реакций системы свертывания, и образуется тромб, который закрывает место повреждения и останавливает кровопотерю. Основу тромба составляет полимерная сеть волокон белка фибрина, который образуется под действием ключевого участника каскада — тромбина. Автокаталитический характер производства тромбина и пороговые свойства системы свертывания позволяют рассматривать ее как активную среду с автоволновыми свойствами [9].

В экспериментах in vitro установлено, что в тонком слое плазмы здоровых доноров в отсутствие потока рост фибринового сгустка идет непрерывно с постоянной скоростью [75]. Это соответствует режиму распространения возбуждения в активной среде в виде бегущего с постоянной скоростью импульса.

В отличие от эксперимента, в организме в норме тромбы имеют конечный размер и локализованы в месте повреждения сосуда. Одним из факторов, останавливающих автоволновой импульс, и как следствие пространственный рост тромба, может быть течение крови. Математическое моделирование пространственно-временной динамики свертывания крови в потоке позволит прояснить влияние течения плазмы на остановку автоволнового процесса распространения тромбина, динамику других факторов свертывания, пространственный рост и форму фибринового сгустка.

Цель работы.

Целью работы является исследование влияния потока плазмы крови на пространственное распределение метаболитов свертывания и динамику формирования фибринового сгустка методами численного моделирования; исследование устойчивости к сдвиговому потоку некоторых динамических режимов, наблюдающихся в математической модели системы свертывания крови.

Основные задачи исследования:

- сравнение свойств двухволновой модели системы свертывания и модели с учетом переключения активности тромбина;

- исследование устойчивости к сдвиговому потоку некоторых автоволновых режимов распространения возбуждения в математической модели системы свертывания крови;

- разработка на основе метода переменных направлений разностной схемы, обладающей меньшей диссипацией, для решения систем дифференциальных уравнений в частных производных типа «реакция-диффузия-конвекция»;

- программная реализация модели роста фибринового сгустка в потоке плазмы крови в плоской проточной камере и исследование влияния скорости и профиля потока плазмы на характер роста сгустка, его форму, распределение факторов свертывания в потоке.

Научная и практическая ценность работы.

- Результаты вычислительных экспериментов могут быть использованы для предсказания экспериментальных результатов на качественном уровне.

- Показано, что предположение об автоволновом распространении тромбина при свертывании не отрицает остановку роста тромба при наличии потока крови.

- Сделан вывод о том, что для количественного совпадения результатов эксперимента и математического моделирования необходимо использование детальной модели системы свертывания крови, а также аккуратная модель полимеризации фибрина.

- Показано, что при развитии в потоке спиральных волн концентраций метаболитов возможно формирование сложных динамических и неподвижных структур.

Научная новизна.

- Построено семейство устойчивых двухслойных разностных схем для решения систем уравнений типа «реакция-диффузия-конвекция».

- Спиральные волны в математических моделях системы свертывания не описаны в литературе, хотя наблюдались ранее, в частности в модели с учетом переключения активности тромбина. Рассмотрена динамика спиральных волн, характерных для данной модели, в сдвиговом потоке.

- На основе серийных расчетов по математической модели показано, что течение крови может являться одним из факторов остановки автоволнового движения тромбина, и как следствие ограничивать размер тромба и локализовать его в месте повреждения сосуда.

- На основе расчетов показано, что течение крови также может способствовать образованию протяженных фибриновых тромбов и нитей, опасного медицинского осложнения многих патологических процессов в организме.

Содержание и структура диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав основного

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Куриленко, Ирина Александровна

Основные результаты работы.

1. На основании сравнительного анализа математических моделей свертывания крови показано качественное сходство различных пространственно-временных режимов тромбообразования. При совпадении основных динамических режимов математическая модель с переключением активности допускает решения с остановкой автоволны на конечном расстоянии от места инициализации.

2. Проведена оптимизация семейства разностных схем для решения уравнений «реакция-диффузия-конвекция».

3. В результате расчетов по выбранным схемам показано, что наличие сдвигового потока может изменять динамику роста тромба. В частности, может теряться устойчивость решений, что в свою очередь приводит к сложным пространственно-временным колебаниям концентраций метаболитов.

4. Полученная в численных экспериментах зависимость формы и скорости роста сгустка в направлении, перпендикулярном оси сосуда, от скорости потока качественно согласуется с экспериментальными результатами.

5. Продемонстрировано качественное совпадение результатов по моделированию роста фибринового сгустка в бесконечном плоском канале и в проточной камере в форме прямоугольного параллелепипеда.

6. Показано, что при моделировании пространственного роста фибриновых сгустков в потоке более важную роль играет аккуратный учет полимеризации, чем детальное описание свойств течения.

Список цитируемых источников

1. Крутикова М. П., Куриленко И. А., Лобанов А. И., Старожилова Т. К. Двумерные стационарные структуры в математической модели свертывания крови с учетом гипотезы о переключении активности тромбина // Математическое моделирование -2004.-т. 16, № 12.-С. 85-95.

2. Куриленко И. А. Исследование двумерных структур в математической модели свертывания крови. // Десятая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование». Тезисы, выпуск 10. / Пущино, 20-25 января 2003-Москва-Ижевск, 2003.-С 213.

3. Куриленко И. А. Моделирование роста тромба в плоском канале. // Двенадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование». Тезисы, выпуск 12. /Пущино, 17-22января2005-Москва-Ижевск, 2005.-С. 196.

4. Куриленко И. А. Разностные схемы переменных направлений для уравнений типа «реакция-диффузия-конвекция» и их приложение к моделированию динамики роста тромба // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Управление и прикладная математика: Труды XLУП научной конференции. / Моск. физ.-техн. ин-т.-М.-Долгопрудный, 2004.-С. 76.

5. Куриленко И. А. Моделирование роста фибринового сгустка в потоке плазмы крови в экспериментальной камере // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов—Т. IV.-Н.Новгород, 2006—С. 153.

6. Куриленко И. А. Численное моделирование роста сгустка в потоке плазмы в плоской проточной камере // Моделирование нелинейных процессов и систем. Сборник тезисов Международной научной конференции. / Моск. гос. технол. ун-т СТАНКИН.-М., 2008.-С. 144.

7. Куриленко И. А., Лобанов А. И., Украинец А. В. Численное исследование устойчивости некоторых автоволновых решений в математической модели свертывания крови // Биофизика-2008.-Т.53, вып.6 — С. 954-967.

8. Атауллаханов Ф.И, Воробьев А.И, Бутылин А.А, Синауридзе Е.И, Ованесов М.В. Почему дефициты факторов внутреннего пути приводят к гемофилии // Проблемы гематологии, 2003/1: 7-13.

9. Атауллаханов Ф.И., ГурияГ.Т., Сафрошкина А.Ю. Пространственные аспекты динамики свертывания крови. Феноменологическая модель. //Биофизика, 1994, т. 39.

10. Атауллаханов Ф.И., Зарницына В.И., Кондратович А.Ю., Лобанова Е.С., Сарбаш В.И., Особый класс автоволн — автоволны с остановкой — определяет пространственную динамику свертывания крови // Успехи физических наук, 172, 671 (2002).

11. Атауллаханов Ф.И., Лобанова Е.С., Морозова О.Л., Шнолъ Э.Э. и др., Сложные режимы распространения возбуждения и самоорганизация в модели свертывания крови // Успехи физических наук, 177, 87 (2007).

12. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Структуры и хаос в нелинейных средах. М.: Физматлит, 2007 — 488с.

13. Балуда В.П., Балуда М.В., ДеяновИ.И., Тлепшуков И.К. Физиология системы гемостаза. — М.: 1995. — 244 с.

14. Барынин Ю.А., Старков И.А., Ханин М.А., Математические модели в физиологии гемостаза, Известия АН. Серия биологическая, 1999, номер1, стр. 59-66.

15. Белинцев Б.Н., Дибров Б.Ф., ЛифшицМ.А., Волькенштейн М Я Нелинейная устойчивость в распределенной триггерной системе. Биологический барьер // Биофизика, 1978, том 23, вып. 5, с. 864-869.

16. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. М., 1987.

17. Гузеватых А.П., Лобанов А.К, Гурия Г.Т. Математическое моделирование активации внутрисосудистого тромбообразования вследствие развития стеноза. // Математическое моделирование, 2000, том 12, № 4, с. 39-60.

18. Гурия Г. Т.,, Лобанов А.И., Старожилова Т.К. Формирование аксиально-симметричных структур в возбудимых средах с активным восстановлением // Биофизика, 1998, том 43, вып. 3, с. 526-534.

19. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. Пер. с англ. — М.: Мир, 2001. — 430 с, ил.

20. Доброчеев О.В., Кулешов А.А., Савенкова Н.П., Филиппова С.В. Двумерная модель рассеяния тяжелых газов на орографически неоднородной поверхности Земли // Матем. моделирование, 1996, 8:5, 91-105.

21. Дружинин А.В. Взаимодействие клеточного и плазменного звеньев гемостаза: пространственный аспект. Дипломная работа. Москва, 2001.

22. Евдокимов А.В. Применение разностных схем расчета гиперболических уравнений к решению некоторых задач конвективно-диффузионного переноса. // Моделирование процессов управления и обработки информации. Сборник научных трудов, М., 1999, с.23-33.

23. Журов А.И. Обтекание пористого цилиндра сдвиговым потоком // Теоретические основы химической технологии, 1995, № 2, с. 213-216.

24. Зарницина В.И. Исследование механизмов остановки роста тромба. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук, 1997.

25. Зубаиров ДМ. Биохимия свертывания крови, М., Медицина, 1978.

26. Кобельков В.П. О численных методах решения уравнений Навье-Стокса. // Методы разделения области в задачах математической физики. — М., 1991. — 204 с.

27. Крымская О.А. Исследование влияния везикул, выделяемых из тромбоцитов при активации, на динамику роста фибринового сгустка. Дипломная работа. Москва, 2003.

28. Куршенко И.А. Разработка программы для исследования влияния потока на рост сгустка при свертывании крови. / Выпускная квалификационная работа на степень бакалавра. М.: МФТИ, 2003.

29. Кутепов A.M., Полянин А.Д., Запрянов З.Д., Вязмии А.В., Казенин Д.А. Химическая гидродинамика: справочное пособие. — М.: БюроКвантум, 1996.

30. Лобанов А.И., Старожилова Т.К., Гурия Г.Т. Численное исследование структурообразования при свертывании крови // Математическое моделирование, 1997, том 9, № 8, с. 83-95.

31. Лобанов А.И., Старожилова Т.К., Зарницына В.И., Атауллаханов Ф.И. Сравнение двух математических моделей для описания пространственной динамики свертывания крови. // Математическое моделирование, 2002, т. 15, № 1

32. Лобанов А.И., Старожилова Т.К., Черняев А.П. Резонансные явления в системах типа «реакция-диффузия». // Математическое моделирование, 1999, т.11, №7, с.75-82.

33. Лобанова Е.С. Сложные режимы распространения возбуждения и самоорганизации в модели свертывания крови. Дис. канд. физ.-мат. наук, М.: 2003.

34. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990.

35. Магомедов М.-КМ., Холодов А. С. Сеточно—характеристические численные методы. — М.: Наука, 1988.

36. Николаев АВ, Синауридзе ЕИ. Вестник Московского университета. Серия 3.

Физика. Астрономия, 2008

37. Ованесов М.В., Влияние факторов внутреннего пути свертывания крови на пространственную динамику роста сгустка. Дис. канд. физ.-мат. наук , М.: 2002.

38. Пантелеев М.А., Математическое моделирование свертывания крови в гомогенных и реакционно-диффузных in vitro системах. Дис. канд. физ.-мат. наук, М.: 2006.

39. Пантелеев М.А., Зарницина В.И., Морозова О.Л., Лобанов А.И., Ованесов М.В., Коротина Н.Г., Лобанова Е.С., Атауллаханов Ф.И. Математическое моделирование пространственно-временной динамики свертывания крови. Труды Международной конференции «Параллельные вычисления и задачи управления», (6)-54, 2001.г.

40. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. Изд.2е, испр. М. Эдиториал УРСС, 2003. — 248 с.

41. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. Минск, 1998 — 442 с.

42. Самарский А. А., Николаев КС. Методы решения численных уравнений—М., 1989.

43. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику.—М.: издательство МФТИ, 1994.

44. Физиология человека. Том 2. / Под ред. Р. Шмидта, ГТевса. —М.: Мир, 1996. — 313 с.

45. Фихтенгопъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, М., 2006.

46. Чуличков АЛ., Николаев А.В., Лобанов А.И., Гурия Г.Т. Пороговая активация свертывания крови и рост тромба в условиях кровотока. // Математическое моделирование, 2000, том 12, № 3, с. 75-96.

47. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск.: Наука, 1967.

48. Anand М, Rajagopal К, Rajagopal K.R. A model incorporating some of the mechanical and biochemical factors underlying clot formation and dissolution in fl owing blood. J Theor Med 2004; 6: 183-218.

49. Anand M, Rajagopal K, Rajagopal K.R. A model for the formation and lysis of blood clots. Pathophysiol Haemost Thromb 2005; 34:109-120.

50. Astrov Yu.A., Muller I., Ammelt E. Purwins H.-G. Zigzag destabilized spirals and targets, // Phys. Rev. Lett. 80, 1998, 5341-5344.

51. Ataullakhanov F.I., Guriya G.T., Sarbash V.I., Volkova R.I. Spatio-temporal dynamics of clotting and pattern formation in human blood, Biochim.Biophys.Acta. 1425 (1998) 453^68.

52. Ataullakhanov F.I., Krasotkina Yu.V., Sarbash V.I., Volkova R.I., Sinauridse E.I. and

A.Yu. Kondratovich, Spatial-Temporal Dynamics of Blood Coagulation and Pattern Formation. An Experiment Study. // International Journal of Bifurcation and Chaos, Volume 12, Number 9, September 2002 ,1969.

53. Ataullakhanov F.I., Zamitsina V.I., Pokhilko A.V., Lobanov A.I., Morozova O.L. Spatio-Temporal Dynamics of Blood Coagulation and Pattern Formation. A Theoretical Approach. // International Journal of Bifurcation and Chaos, Volume 12, Number 9, 2002 , 1985

54. Basmadjian D., Sefton M. V, Baldwin S.A. Coagulation on biomaterials in flowing blood: some theoretical considerations: Review. //Biomaterials, 1997, vol. 18, pp. 1511-1522.

55. Bar M., Hildebrand M. et al. Chemical turbulence and standing waves in a surface reaction model: The influence of global coupling and wave instabilities. // Chaos, Vol.4, No.3, pp.499-508.

56. Biktashev V.N. Brindley J. Holden A. V. Tsyganov M.A. Pursuit-evasion predator-prey waves in two spatial dimensions // Chaos, Vol. 14, No. 4, 2004

57. Blomback B. Fibrinogen and fibrin - proteins with complex roles in hemostasis and thrombosis. //Thrombosis Research 83 (1) (1996) pp. 1-75.

58. Blomback B. Fibrinogen structure, activation, polymerization and fibrin gel structure. Thromb Res, 1994. vol. 75. № 3. pp. 327-8.

59. Butenas S., Mann K.G., Blood coagulation. // Biochemistry (Moscow). 2002; 67: 3-12.

60. Cawthern K.M., van't Veer C., et al. Blood coagulation in hemophilia A and hemophilia C.//Blood. 1998;91:4581-4592

61. Davie E.W., RatnoffO.D. Waterfall sequence for intrinsic blood clotting. // Science, 1964, vol. 145, No 3638, pp. 1310-1312.

62. Ermakova E.A., Panteleev M.A., Shnol E.E. Blood coagulation and propagation of autowaves in fl ow. Pathophysiol Haemost Thromb 2005; 34:135-142.

63. Fogelson A.L., Contimiuum models of platelet aggregation: formulation and mechanical properties, SIAM JAM 52, 1089.

64. Fogelson A.L., Tania N. Coagulation under flow: the influence of flow-mediated transport on the initiation and inhibition of coagulation. Pathophysiol Haemost Thromb 2005;34:91 - 108.

65. Folie B.J., Mclntire L.V. Mathematical analysis of mural thrombogenesis. // Biophysical Journal, vol. 56, dec. 1989- pp.1121-1141.

66. Hassouna Houria, Quinn Christopher. Proteolysis of Protein С in pooled normal plasma and purified protein С by activated protein С (APC), // Biophysical Chemistry, 95, 2002, pp. 109-124.

67. Higgins DL, Lewis SD, Shafer J A. Steady state kinetic parameters for the thrombin-catalyzed conversion of human fibrinogen to fibrin. // J.Biol.Chem. 1983; 258:9276-9282.

68. Hubbell J.A., Mclntire L. V. Platelet active concentration profiles near growing thrombi. // Biophysical Journal, vol. 50, nov. 1986 — pp.937-945

69. Khanin M. A., Semenov V. V. A mathematical model of the kinetics of blood coagulation. // J. Theor. Biol., 1989, vol. 136, pp. 127-134.

70. Kuharsky A.L., Fogelson A.L. Surface-Mediated Control of Blood Coagulation :The Role of Binding Site Densities and Platelet Deposition, Biophysical Journal, vol.80, 2001, 1050-1074.

71. Lobanov A.I., Starozhilova Т.К. Effect of convective flow on formation of two-dimensional structures in the model of blood coagulation. // Phystech Journal, 1997, vol.3, №2, p.p. 96-105.

72. Lobanova E.S. Shnol E.E, Ataullakhanov F.I. Complex dynamics of the formation of spatially localized standing structures in the vicinity of saddle-node bifurcations of waves in the reaction-diffusion model of blood clotting. // Physical review E 70, 032903 (2004)

73. Mann KG. Biochemistry and physiology of blood coagulation. // Thromb. Haemost. 1999. 82: 165-174.

74. Markus M., Kloss G., Kusch I. Disordered waves in a homogeneous, motionless excitable medium. //Nature 371, 1994, 402-404.

75. Ovanesov M.V., Krasotkina J.V., Ul'yanova L.I., Abushinova K.V., Plynshch O.P., Domogatskii S.P., Vorob'ev A.I., Ataullakhanov F.I. Hemophilia A and В are associated with abnormal spatial dynamics of clot growth. Biochim Biophys Acta.; 1572 (2002) pp 45-57.

76. Ovanesov M.V., Lopatina E.G., Saenko E.L., Ananyeva N.M., Ul'yanova L.I., Plyushch O.P., Butilin A.A., Ataullakhanov F.I. Effect of factor VIII on tissue factor-initiated spatial clot growth // Thromb Haemost. 2003, 89(2):235-42.

77. Panfilov A.V., Keldermann R.H., Nash M.P. Drift and breakup of spiral waves in reaction-diffusion-mechanics systems. //PNAS, 2007, vol. 104, no. 19, 7922-7926

78. Panteleev M.A., Ovanesov M. V., Kireev D.A. et al. Spatial Propagation and Localization of Blood Coagulation Are Regulated by Intrinsic and Protein С Pathways, Respectively // Biophysical Journal, Vol. 90 2006, 1489-1500.

79. Perez-Munuzuri V., Aliev R., Vasiev В., Perez-Villar V. KrinskyV.I. Super-spiral structures in an excitable medium //Nature 353, 1991, 740-742.

80. Seong-min Hwang, Tae Yun Kim, Kyoung J. Lee. Complex-periodic spiral waves in confluent cardiac cell cultures induced by localized inhomogeneities. // PNAS-2005.-vol. 102, no. 29-pp. 10363-10368.

81. Sung-Jae Woo, Jin Нее Hong, Tae Yun Kim, Byung Wook Bae and Kyoung J Lee. Spiral wave drift and complex-oscillatory spiral waves caused by heterogeneities in two-dimensional in vitro cardiac tissues. // New Journal of Physics, 10 (2008) 015005

82. Vanag V.K., Epstein I.R. Inwardly Rotating Spiral Waves in a Reaction-Diffusion System // Science 294, (2001), 835-837.

83. Vanag V.K., Epstein I.R. Segmented spiral waves in a reaction-diffusion system. // Science (2001) Vol. 294. no. 5543, pp. 835 - 837.

84. Zarnitsina V.I., Ataullakhanov F.I., Lobanov A.I., Morozova O.L. Dynamics of spatially nonuniform patterning in the model of blood coagulation, Chaos,11 (1) (2001) 157-70.

85. Zarnitsina V.I., Pokhilko A. V., and Ataullakhanov F.I. A mathematical model for the spatio-temporal dynamics of intrinsic pathway of blood coalugation - I. The model desciption, Trombosis Research, 84 (5) (1996) 225-236.

86. Zarnitsina V.I., Pokhilko A. V., and Ataullakhanov F.I. A mathematical model for the spatio-temporal dynamics of intrinsic pathway of blood coalugation - II.Results, Trombosis Research, 84 (4) (1996) 333-344.

87. Weisel J.W. Fibrin assembly: lateral aggregation and the role of two pairs fibrinopeptides. Biophys.J. (1986) Vol. 50, pp. 1079-1093.

Заключение

Сравнительный анализ математических моделей свертывания крови показал, что при совпадении основных динамических режимов математическая модель с переключением активности допускает решения с остановкой автоволны на конечном расстоянии от места инициализации.

Численное исследование показало, что в случае нескольких пространственных измерений даже простейшие математические модели пространственной динамики свертывания крови демонстрируют весьма сложное поведение. В системе возможна сложная периодическая и апериодическая динамика, привести к которой может, в том числе, наличие сдвигового течения.

При моделировании роста непроницаемого сгустка в потоке жидкости получены следующие результаты.

Без учета кинетики производства фибрина:

- В случае маленьких скоростей потока поток влияет на форму сгустка и скорость его роста в разных направлениях. Рост сгустка идет непрерывным образом, как в случае без потока.

- При больших скоростях течения наблюдается полная остановка роста сгустка, что объясняется вымыванием тромбина из области, прилежащей к границе тромба. Этот результат соответствует нормальному тромбообразованию в организме и показывает принципиальную возможность остановки роста сгустка потоком.

- Внутри сформировавшегося сгустка возможно возникновение различных незатухающих динамических процессов, характер которых определяется начальными условиями, характеристиками течения и расчетными параметрами.

При включении в математическую модель простейшей кинетики производства, диффузии и переноса потоком фибрина наблюдается качественно другая форма сгустка:

- формируется протяженный тромб, нижняя часть которого образована ничтожно малыми концентрациями тромбина, приносимыми потоком от верхней части сгустка.

- по-видимому, не следует ожидать в этом случае остановки автоволны тромбина и образования сгустка конечного размера, так как импульс тромбина целиком находится в области без потока.

- В результате сложного взаимодействия растущего сгустка с потоком распределение фибрина в сгустке может быть неравномерным, вплоть до образования протяженных тромбов и фибриновых нитей, что соответствует серьезной патологии системы свертывания.

- Зависимость формы и скорости роста сгустка в направлении, перпендикулярном оси сосуда, от скорости потока качественно согласуется с экспериментальными результатами.

По-видимому, в организме реализуется некий средний сценарий: фильтрационное течение вымывает тромбин и другие активные факторы свертывания из той части сгустка, в которой волокна фибрина нестабильны, либо волокнистая сеть не обладает достаточной плотностью.

Для количественного совпадения результатов численного и экспериментального исследования необходимо аккуратно учитывать кинетику образования, диффузию и перенос потоком фибрина, а также использовать адекватную модель фазового перехода при полимеризации фибрина.