Численное моделирование динамики безымпульсного турбулентного следа в устойчиво стратифицированной среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Воропаева, Ольга Фалалеевна

• Воропаева, Ольга Фалалеевна
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Воропаева, Ольга Фалалеевна

Введение

1 Эволюция зоны турбулентного смешения в устойчиво стратифицированной среде

1.1 Постановка задачи.

1.1.1 Основные уравнения

1.1.2 Модели турбулентного движения.

1.1.3 Граничные и начальные условия.

1.1.4 Обезразмеривание.

1.2 Метод решения.

1.3 Тестирование.

1.3.1 Локальное возмущение поля плотпости в пикпоклипе

1.3.2 Однородная жидкость.G

1.3.3 Пассивная стратификация.

1.4 Результаты расчетов

1.4.1 Сравнительный анализ Моделей 1-7.

1.4.2 Особенности развития турбулентных пятеп в пикно-клине . . .'■.

1.4.3 Упрощенные модели течения в пикноклине.

2 Распространение пассивной примеси от мгновенного локализованного источника в зоне турбулентного смешения

2.1 Постановка задачи.

2.2 Однородная и линейно стратифицированная жидкости

2.3 Нелинейная стратификация

3 Турбулентный след в однородной и пассивно стратифицированной среде

3.1 Постановка задачи.

3.2 Расчеты ближнего следа.

3.3 Автомодельное вырождение дальнего безымпульсного турбулентного следа в однородной жидкости.

3.4 Безымпульсный турбулентный след в пассивно стратифицированной среде.

4 Турбулентный след в линейно стратифицированной среде

4.1 Постановка задачи.:.

4.2 Алгоритм решения задачи.

4.3 Тестирование численного алгоритма.'.

4.4 Результаты расчетов с применением Моделей 1-4.

4.5 Упрощенные модели течения.

4.6 Внутренние волны, генерируемые турбулентным следом в линейно стратифицированной среде.

4.7 Модели с усовершенствованными аппроксимациями тройных корреляций.

5 Динамика безымпульсного турбулентного следа в пикно-клине

5.1 Постановка задачи.

5.2 Результаты расчетов

5.3 Упрощенные модели.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование динамики безымпульсного турбулентного следа в устойчиво стратифицированной среде»

Свободные турбулентные течения играют существенную роль при обтекании тел, в задачах экологии, океанологии и геофизики; они являются классическим объектом исследования теоретической, вычислительной и прикладной гидродинамики. Интересным примером пространственного свободного турбулентного течения, имеющим весьма важные практические приложения, является турбулентный след за телом вращения в устойчиво ст р ат и с}) и ци р о в а и 11 о й с р ед е.

Течение в турбулентном следе за телом, движущимся в устойчиво стратифицированной жидкости, обладает целым рядом особенностей, отличающих его от смутного течения в однородной среде. При сравнительно слабой устойчивой стратификации турбулентный след вначале разминается почти так же, как и в однородной жидкости, и расширяется симметрично. Однако вертикальной турбулентной диффузии препятствуют архимедовы силы, поэтому па больших расстояниях от тела след приобретает сплющенную форму и, наконец, совсем перестает расти в вертикальном направлении. Из-за турбулентного перемешивания плотность жидкости в пределах следа распределена более равномерно, чем вне его. Архимедовы силы стремятся восстановить прежнее иевозмущеиное состояние устойчиI вой стратификации, возвращая частицы жидкости па горизонты их равновесного состояния. В результате, в плоскости, ортогональной оси движения тела, возникают конвективные течения, приводящие к активному образованию внутренних волн в окружающей жидкости [15] (рис. 0.1).

Предметом исследования в настоящей работе являются турбулентные следы за телами вращения, движущимися горизонтально равномерно в бесконечном потоке. Рассматривается случай следов с нулевым избыточным импульсом. Главной особенностью таких турбулентных следов в случае однородной жидкости является их более быстрое вырождение в сравнении с турбулентными следами за буксируемыми телами [38, 107]. В работах Сениицкого [89] и Пухначева [84] аналитически показапо, что при ламинарном режиме обтекания в следах за самодвижущимися телами возмущения продольной компоненты скорости убывают значительно быстрее, чем в следах за буксируемыми телами. Аналогичные данные получены в численных расчетах [29] для случая турбулентных следов в устойчиво стратифицированной среде.

Рис. 0.1. Схема течения в следе в стратифицированной среде.

Результаты лабораторных экспериментов по изучению поведения характеристик безымпульспых турбулентных следов за телами вращения в однородной среде описаны в целом ряде работ, из которых паиболее подробными представляются работы Naudascher [172], Алексенко и Костомахи [2], Higuchi & Kubota [155], Sirviente & Patel [181], а также обзорные монографии Шеца [107] и Pequet [173] (в них можно найти ссылки на другие работы). В ходе лабораторных экспериментов были выполнены измерения ряда основных характеристик следов за осесимметричными телами на оси следа и в его поперечном сечении для расстояний вниз по потоку, достигающих 20D [181]-150D [172] (D - диаметр тела). При этом уже на небольших расстояниях от тела наблюдаются признаки автомодельпо-сти течения. Отмечается более быстрое убывание скорости осредиенного движения в сравнении с турбулентными флуктуациями, т.е. на достаточном удалении от тела в безымпульсных турбулентных следах реализуется практически бессдвиговый режим течения [172, 2]. Одной из наиболее цитируемых работ по изучению вырождения безымпульсиого турбулентного следа является работа Naudascher (1965г.), которая послужила отправной точкой для значительного числа экспериментальных, численных и теоретических исследований (см., в частности, работы Finson [145], Сабельни-кова [85], Городцова [41], Hassid [153], Коловандина [61], Новикова [79]). Весьма существенный прогресс в исследованиях последнего времени связан с появлением целой серии экспериментальных данных, полученных Алексенко и Костомахой [2, 3, 69] для безымпульспых следов в однородной жидкости, в том числе с учетом близкого к изотропному турбулизо-ванного фона. Помимо упомянутых выше характеристик здесь измерялись также нормальные напряжения Рейпольдса и скорость диссипации, что открыло возможности для тщательного воспроизведения результатов этих опытов в численных экспериментах (см., например, работы Черных и др. [121, 100, 7G, 119, 50, 49, 117]).

Практически одновременно с изучением следов в однородной жидкости проводились лабораторные эксперименты, связанные с анализом поведения характеристик безымпульспых турбулентных следов в стратифицированной среде. Одной из первых работ, в которых в условиях лабораторного эксперимента было установлено, что турбулентный след за самодвижущимся телом в линейно стратифицированной среде существенно отличается от следа в однородной жидкости, является, по-видимому, работа Schooley & Stewart [180]. В ней были продемонстрированы основные особенности развития турбулентного следа в стратифицированной среде -коллапс и генерация следом внутренних волн, представлены некоторые теоретические оценки параметров генерируемых при движении тела внутренних волн.

В дальнейшем вопросу изучения явления коллапса следа был посвящен целый ряд экспериментальных исследований (см., например, обзор в [170]). В работе Merrit [170], кроме результатов оригинальных лабораторных измерений размеров турбулентного следа в'линейно стратифицированной среде и расстояния от тела, на котором начинается коллапс следа, содержится также подробный анализ этих данных. В результате было показано, что характерными параметрами течения являются отношение времени после образования следа к периоду Вяйсяля-Брента Т, определяемому стратификацией среды ps(z), а именно - градиентом плотности, а также число Фруда, равное отношению произведения скорости течения Uoo на период Вяйсяля-Брента к начальному размеру следа Dq:

Наиболее детальные лабораторные исследования характеристик турбулентности в следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде, выполнены, насколько это известно автору, Lin & Рао [166] (некоторые результаты экспериментов этих авторов, касающиеся следов в однородной и линейно стратифицированной средах, в том числе данные о вырождении дефекта продольной компоненты осредненной скорости, приведены в [154, 113]). В [166] представлены наиболее подробные количественные данные о поведении линейных размеров следа и интенсивно-стей турбулентных флуктуаций полей плотности и скорости в безымпульс-иом турбулентном следе для достаточно широкого диапазона чисел Фруда, включая трудно моделируемые в лабораторных условиях большие значения этого параметра. Результаты измерений иллюстрируют анизотропный характер вырождения интенсивностей пульсациоипых составляющих горизонтальной и вертикальной компонент скорости па больших расстояниях от тела и содержат практически полный набор начальных данных для численного моделирования течения.

Лабораторные опыты показывают, что в тех случаях, когда распределение плотности невозмущеппой жидкости по глубине является существенно нелинейным, картина течения может сильно отличаться от наблюдаемой в линейно стратифицированной среде. Наиболее характерные изменения были продемонстрированы Gilreath & Brandt [150] на примере пикпоклина, представляющего собой непрерывный аналог двуслойной жидкости. Основное внимание в этой работе уделялось исследованию внутренних волн, возникающих при движении тела внутри высокоградиентной прослойки пикпоклина. В ходе экспериментов варьировалось соотношение толщины прослойки с изменяющейся плотностью и диаметра тела. Представлены данные о качественной картине течения, отмечена тенденция к формированию в высокоградиентных прослойках (в случае, когда толщина этой прослойки меньше диаметра тела) близких к стационарным внутренних волн конечной амплитуды; выполнены теоретические оценки наблюдаемых внутренних волн.

Главным объектом исследования экспериментальных работ Сысоевой и Чашечкина [96], Чашечкина [115], Hopfinger et al. [156, 137, 138], Fernando et al.[165], Шишкиной [182], Spedding et al. [185, 186], Bonnier & Eiff [112] явились особенности волновой картины течения. В [96, 115, 182, 156, 137, 138, 165, 185, 186, 112] рассматривалось течение, возникающее при движении буксируемой сферы в линейно стратифицированной жидкости. В этих работах большое внимание уделяется проблеме визуализации в лабораторном эксперименте, а также выявлению и исследованию стадий эволюции следа, анализу данных о поведении размеров следа. Сысоева и Чашечкин

96], Chashechkin [115], Шишкина [182], Hopfinger et al.[156, 137, 138] изучали различные режимы течения в большом диапазоне чисел Рейиольдса и Фруда как в ближнем следе, так и в дальнем. Lin, Boyer, Fernando [165] основное внимание уделили исследованию особенностей поведения размеров следа в зависимости от значений числа Фруда. Spedding et al. [185, 186] рассматривали характеристики следа за буксируемой сферой при больших временах жизни следа. Детальный анализ экспериментальных данных о вырождении турбулентных следов за буксируемыми и самодвижущимися телами в линейно стратифицированных жидкостях и теоретические оценки параметров внутренних волн выполнены в работах Чашечкипа [115], Voisin [192]. В последней из них представлен обзор ряда экспериментальных и теоретических работ по данной теме.

Весьма значительная часть исследований безымпульспых турбулентных следов в стратифицированной жидкости выполнена в рамках упрощенных представлений. В лабораторных условиях в бассейне с неподвижной стратифицированной жидкостью с помощью разного рода турбу-лизаторов создавалась плоская область турбулентных возмущений, время жизни которой предполагалось равным времени пребывания в следе. Рассматриваемая плоская задача представляет также интерес в связи с изучением динамики локальных турбулентных образований - пятен турбулентности, играющих важную роль в формировании тонкослоистой микроструктуры в океане [74, 75, 97, 102].

Авторами ранних экспериментальных работ, в которых изучался двумерный нестационарный аналог трехмерного турбулентного следа за дви-* жущимся телом в линейнб стратифицированной среде, были Van de Watering [189], Schooley [178] (ссылки па другие ранние работы имеются, па-пример, в [170]). Трохан и Чашечкии [98] провели исследование фазовой картины течения. В экспериментах Као & Рао [159] рассматривалось течение, генерируемое турбулизованной областью в жидкости с нелинейной стратификацией. Изучались особенности волновой картины течения, в частности, были получены данные о генерации при коллапсе следа в пик-ноклине уединенных внутренних волн значительной амплитуды.

Экспериментальному исследованию развития области турбулизован-ной жидкости в тонкослоистой среде посвящена также работа Попова [83]. t*

Основное внимание уделялось изменению формы турбулентного пятна в зависимости от его расположения относительно прослоек жидкости с большими градиентами плотности. Показано преимущественное растекание пятна в горизонтальном направлении в виде узких языков вдоль высокоградиентных прослоек, а именно - вдоль расположенных внутри прослоек ^д горизонтальных плоскостей, соответствующих равновесному положению частиц перемешанной жидкости.

В лабораторных экспериментах Fernando et al. [14G, 147, 142] исследуется эволюция пространственных пятен турбулентности в стратифицированных средах. Рассматривается как линейное распределение плотам ности невозмущенной жидкости по глубине [147, 142], так и случай двух-•т/ слойной жидкости [146]. Полученные данные о геометрии пятен и генерируемых внутренних волнах согласуются с имеющимися представлениями о течении в случае плоских турбулентных образований [72].

Качественные представления о рассматриваемом течении дают также многочисленные исследования ламинарных перемешанных областей в стратифицированных средах. Наиболее полные обзоры работ этого на-4х правления выполнены Степапяицем, Стуровой, Теодоровичем [93], Мадеричем, Никишовым, Стеценко [72], Ведепьковым, Смирновым, Борисовым [16], Зудиным [56]. Из экспериментальных работ в первую очередь необходимо упомянуть лабораторные опыты Wu [197], посвященные изучению коллапса однородного по плотности пятна в линейно стратифицированной среде. Maxworthy [168] изучал внутренние волны, формирующиеся при развитии перемешанных областей в пикноклиие, включая стационарные волновые образования. В опытах Мадерича, Кулика [71], Maderich et al. [167] исследовалось растекание интрузий в слоистой среде, при этом основмое внимание уделялось установлению характера зависимости течения в пикноклине от соотношения размера интрузии и толщины слоя раздела (слоя с максимальными градиентами плотности). В частности, было продемонстрировано формирование уединенных внутренних в "узком" слое раздела, когда размер интрузии значительно превосходит толщину слоя раздела.

Данные, полученные в ходе лабораторных экспериментов (дополнительные ссылки можно найти в цитируемой литературе), имеют важное значение для понимания процессов, происходящих при эволюции турбулентных следов. Следует отметить, однако, что количественное, а зачастую и качественное воспроизведение результатов этих исследований является затруднительным для численного моделирования из-за недостатка исходных данных об условиях проведения экспериментов (во многих экспериментах турбулизующее устройство оставалось в зоне смешения во все время их проведения). В большинстве из них также отсутствуют более или менее полные количественные данные о поведении основных характеристик течения (в особенности это относится к измерениям характеристик турбулентности), открывающие возможности для подробных сопоставлений с результатами расчетов. Это обстоятельство, по-видимому, служит подтверждением того факта, что экспериментальное исследование данного класса течений (так же как и его численное моделирование) представляет собой весьма нетривиальную задачу.

Для численного моделирования турбулентных следов в стратифицированной среде, как правило, требуется решить систему дифференциальных уравнений, описывающих трансформацию характеристик течения. Основным инструментом при проведении теоретических и численных исследований турбулентных следов за телами с движителями, как и многих других турбулентных течений, были и остаются до настоящего времени математические модели, базирующиеся на полуэмпирических моделях турбулентного движения. Подробное описание моделей, в том числе с изложеиием физических аспектов и принципов их построения, содержится в работах Mellor & Yamada [171], Launder [163], Rodi [176, 177], Онуфриева [82], Курбацкого [64], а также в коллективных монографиях [104, 73].

Иерархия полуэмпирических моделей турбулентности применительно к задачам расчета спутных турбулентных течений коротко может быть представлена следующим образом. Поскольку, как установлено, в частности, в лабораторных экспериментах [2], рассматриваемое спутное течение в случае однородной жидкости имеет практически бессдвиговый характер, в качестве наиболее простой модели турбулентности может быть рассмотрена так называемая е-модель. Она включает в себя дифференциальное уравнение переноса энергии турбулентности е. При этом для моделирования процесса диссипации энергии турбулентности в тепло е (слагаемое в правой части упомянутого уравнения) требуется дополнительная информация. В простейших случаях речь идет о классическом колмогоровском соотношении е ~ где масштаб турбулентности L определяется из геометрических соображений либо из решения дифференциального уравнения, основанного на полуэмпирических представлениях [67]. Опыт расчетов разных авторов показывает, что определение масштаба может представлять собой самостоятельную довольно сложную задачу (например, при наличии фоновых возмущений), альтернативой решения которой является привлечение дифференциального уравнения для скорости диссипации ((е ~ е:)-модель).

Использование моделей, аналогичных представленным выше, подразумевает строгую изотропию нормальных напряжений Рейнольдса па всех t ' * участках следа, что практически может быть принято лишь в простейших случаях следов в однородной жидкости. В расчетах турбулентных спутных течений с учетом стратификации среды это является весьма сильным упрощением. Стремление описать более тонкие процессы, как, например, анизотропное вырождение турбулентности в дальнем следе, приводит к использованию дифференциальных уравнений переноса компонент тензора рейнольдсовых напряжений. Точная форма записи этих уравнений включает диффузионные слагаемые, содержащие неизвестные моменты третьего порядка, а также обменные и диссипативные слагаемые, для определения которых требуются дополнительные соображения и полуэмпирические гипотезы. Неудачное замыкание (за счет грубого описания или пренебрежения ролью существенных для описываемого течения механизмов) может не только не улучшить решение, но и внести дополнительные погрешности. При аппроксимации диффузионных слагаемых выходом из положения можно было бы считать привлечение дифференциальных уравнений также и для третьих моментов. Однако для рассматриваемых пространственных течений задача в такой постановке может оказаться чрезвычайно усложненной. К тому же вопрос о замыкании уравнений для третьих моментов вновь остается открытым. Как приме]) удачной попытки замыкания уравнений для третьих моментов (в задачах атмосферного пограничного слоя) следует упомянуть работы Илюшина и Курбацкого [158, 59, 157]. В ряде работ [114, 158] уточнение аппроксимаций третьих моментов проводилось одновременно с соответствующим усовершенствованием уравнения для скорости диссипации. Что касается трудностей при полуэмпирическом моделировании обменных и диссипативпых слагаемых в уравнениях для моментов второго порядка, то, в частности, в работах Launder at al.[140], Speziale [187] предлагаются модели с усовершенствованными аппроксимациями этих членов. Преимущества новых моделей продемонстрированы на примере расчетов классических тестовых задач.

В целом ряде случаев весьма успешным оказывается привлечение вместо дифференциальных уравнений переноса моментов второго или третьего порядка их алгебраических усечений. В частности, для спутных турбулентных течений в однородной и стратифицированных средах применяются модифицированные (е ~ е)-модели турбулентности, которые включают в себя алгебраические локально-равновесные или неравновесные представления компонент тензора рейнольдсовых напряжений [164, 67, 175, 177,

149, 154]. Усовершенствованные алгебраические аппроксимации моментов третьего порядка предложены в работах Илюшина и Курбацкого [158, 157]. Достаточно хорошее качество этих моделей было продемонстрировано на примере решения ряда задач атмосферного пограничного слоя, в которых общепринятые аппроксимации оказывались непригодными.

Иерархия моделей для определения одноточечных корреляционных моментов с пульсациями поля плотности, которые появляются при рассмотрении стратифицированных спутных течений, подобна изложенной выше. Наиболее простой и часто используемой является градиентная модель для компонент вектора турбулентных потоков. В частности, такая модель может быть получена как результат усечения соответствующих дифференциальных уравнений [149]. При этом удается наиболее простым явным образом учесть влияние силы тяжести. Применение дифференциальных уравнений переноса компонент вектора турбулентных потоков и дисперсии флуктуаций плотности приводит к тем же трудностям, что и при моделировании напряжений Рейнольдса.

Кроме описанной выше проблемы замыкания, весьма важным обстоятельством при использовании полуэмпирических моделей является определение эмпирических постоянных и(или) функций, количество которых увеличивается по мере усложнения моделей. Хотя универсальных значений для них практически не существует, авторы большинства работ в этом вопросе руководствуются теми соображениями, что полученные значения не должны противоречить опыту предыдущих исследований, имеющимся данным экспериментальных и теоретических исследований классических » задач. Наборы в достаточной мере общепринятых значений эмпирических констант приведены, например, в обзорной статье Роди [73].

Многообразие существующих моделей турбулентности порождает проблему выбора оптимальной. Применительно к рассматриваемым в данной работе турбулентным течениям, требующим решения пространственных задач, выбор модели, как правило, предопределяется двумя обстоятельствами: целью исследования, а именно - количеством и качеством информации, которую необходимо получить в результате расчетов, и возможностями компьютеров.

В качестве наиболее простого теста для оценки применимости полуэмпирических моделей турбулентности к описанию динамики безымпульсных турбулентных следов в неоднородной по плотности среде может быть использована задача об эволюции следа в пассивно стратифицированной среде, когда полагается g = 0, р ф const (g - ускорение силы тяжести). В этом приближении гидродинамические характеристики собственно турбулентного следа развиваются как в однородной жидкости. На начальной стадии развития турбулентного следа в устойчиво стратифицированной среде ("активная" стратификация) воздействие силы тяжести также считается пренебрежимо малым. Разумеется, безымпульсные турбулентные следы в однородной жидкости представляют интерес и как самостоятельная задача. Ниже будет представлен краткий обзор теоретических и численных исследований этого течения.

При численном моделировании безымпульсных турбулентных следов за телами вращения в однородной жидкости основное внимание уделялось воспроизведению имеющихся экспериментальных данных. В работах Левеллена, Теске, Дональдсона [68] и Коловандина, Лучко [62] было получено согласие с опытными данными из работы Naudascher [172]. В ряде работ задача о динамике турбулентного следа в однородной жидкости рассматривалась как тестовая при расчетах спутных течений в линейно стратифицированной среде (см., например, работы Даниленко, Костина, г

Толстых [47], Даниленко [46], Белоцерковского и др. [7], Hassid [153, 154], Мошкина, Федоровой, Черных [76]). При этом в [46, 47, 7] проводилось сопоставление с данными [172], в [76, 154] - с данными Lin & Рао, в [153] - с опытными данными многих авторов, в том числе с данными Lin & Рао. В цикле работ Федоровой, Черных [100], воспроизводятся экспериментальные данные Алексенко, Костомахи [2, 3] о вырождении следов за сферой (см. также [121, 76]) по ряду основных характеристик течения, а также выполнено сопоставление с результатами автомодельного анализа Hassid [153]. Наибольшие успехи этого направления исследований связаны с серией лабораторных экспериментов Алексенко и Костомахи [2, 69], по результатам которых в работах Деменкова, Черных [117, 49, 119], Демен-кова, Костомахи и Черных [51] было выполнено систематическое исследование турбулентных следов за сферой, включая закрученные безымпульсные следы. Работа Франка [ЮЗ] посвящена изучению влияния однородной внешней турбулентности на динамику турбулентного пятна.

Наряду с численным исследованием характеристик турбулентности в "ближней" (х < 20-r 150D) области следа, в которой проводились лабораторные измерения, в работах Ilassid [153], Лесновой [69], Левеллена, Теске, Дональдсона [68], Лыткина, Черных [70], Черных и др. [119, 120, 50, 117], Деменкова [49] рассматривалось асимптотическое поведение дефекта продольной компоненты скорости, энергии турбулентности и размера следа. Наиболее подробные данные о законах изменения характерных масштабов и осевых характеристик дальнего безымпульсного следа, в том чисЛе касательного напряжения, содержатся, по-видимому, в работе Колован-дина и Лучко [62], причем основное внимание в этой работе уделялось возможности описания перехода от состояния развитой турбулентности к турбулентному течению с малыми значениями турбулентного числа Рей-пол ьдса.

Для описания течения в цитированных работах привлекались различные модели турбулентного движения. В работе [70] использовалась простейшая е-модель. В [153, 69] согласование с экспериментами достигалось путем существенного варьирования эмпирических постоянных в (е ~ е)-модели турбулентного движения. В работах [121, 100, 119, 120, 50, 117, 49] отдавалось предпочтспие более универсальным модифицированным (е ~ £)-моделям с неравновесными алгебраическими аппроксимациями напряжений Рейнольдса [174]. Исследование с применением модели с дифференциальными уравнениями для этих величин проведено в [68]. В основе модели лежит использование масштабов иульсационного движения, для определения которых привлекаются полуэмпирические соображения. Модель работы [62] помимо уравнений для энергии турбулентности и диссипации включает в себя уравнения для касательного и вертикального нормального напряжений, а также полуэмпирические функции, призванные описать зависимость течения от турбулентного числа Рейнольдса. В [50, 49, 117] хорошее соответствие опытам [2] получено при использовании упрощенной (по аналогии с [174]) модели работы [62].

Теоретический анализ автомодельного вырождения осесимметрич-ных безымпульсных турбулентных следов в однородной жидкости выполнялся в целом ряде работ [10, 39, 145, 85, 41, 153, 61, 79]. Обзор ранних работ этого направления содержится в монографии Гипевского [145]. Первые теоретические исследования турбулентных следов с нулевым избыточным импульсом, выполненные Биркгофом и Сарантонелло [10] и Гиневским, Ухановой, Почкиной [39], основывались на использовании уравнения переноса дефекта продольной составляющей средней скорости. Результаты этих исследований продемонстрировали более быстрое затухание средней скорости в безымпульсных турбулентных следах (следах гидродинамических движителей) в сравнении с обычными следами за буксируемыми телами. В более поздних работах Finson [145], Сабельникова [85], Hassid [153], Коловандина [61], опирающихся на экспериментальные данные из работы [172], в качестве исходных моделей течения использовались как е-модель [85], (е ~ е)-модели [153], так и модели с дифференциальными уравнениями для напряжений Рейнольдса [145]. Были получены асимптотические законы расширения следа и вырождения энергии турбулентности, скорости диссипации и напряжений Рейнольдса. В частности, была подтверждена экспериментальная информация [172] о том, что возмущения продольной компоненты осреднегшой скорости затухают пропорционально среднему квадрату пульсационной составляющей скорости.

Возвращаясь к рассмотрению безымпульсных следов в пассивно стратифицированной среде, отметим следующее. Интерес к задаче в такой постановке связан с тем, что она имеет автомодельное решение, дающее представление о турбулентном перемешивании в следе за самодвижущимся телом в стратифицированной среде. В работах Васильева, Кузнецова, Лыткина, Черных [190, 15, 191, 70], в частности, исследовался вопрос о турбулентном перемешивании жидкости в плоской локальной турбулизо-ванной области в случае линейного пассивного распределения плотности невозмущенной жидкости по вертикальной координате. Для аппроксимации компонент вектора турбулентных потоков привлекались простейшие градиентные гипотезы, в результате чего осредненное уравнение неразрывности (переноса плотности) приводилось к диффузионному виду. В рассмотренной постановке при линейном распределении плотности пе-возмущенной жидкости данное уравнение имеет автомодельное решение, описывающее трансформацию профиля плотности под влиянием точечного источника турбулентности. Конкретный вид автомодельного решения определялся из численного решения задачи. Было показано, что турбулентная диффузия приводит к неполному перемешиванию жидкости: в турбулизованной области среда остается неоднородной со стратификацией, отличной от стратификации окружающей среды. Этот факт имеет значение, в частности, для оценки параметров генерируемых турбулентным следом внутренних воли в стратифицированной среде. Данные о степени перемешивания, близкие к-представленным в [190, 15, 191, 70], были получены также в численных расчетах Мошкиным, Черных [76] для следов за t буксируемыми телами.

В литературных источниках имеются ссылки на весьма незначительное число работ, посвященных численному моделированию безымпульсных турбулентных следов в стратифицированой среде. Согласно публикациям, как за рубежом, так и в нашей стране исследования в этом направлении ведутся с конца 60-х - начала 70-х годов. В Сибирском отделении АН СССР широкомасштабные работы по изучению турбулентных следов были начаты в конце GO-x годов под руководством академика О.Ф. Васильева.

Начальная диффузионная (до коллапса) стадия развития следа в линейно стратифицированной среде изучена теоретически Онуфриевым [81] с использованием разработанной алгебраической модели рейнольдсовых напряжений и потоков. Выполнены оценки формы турбулентного следа, согласующиеся с результатами экспериментов [180].

Численное моделирование турбулентного следа за самодвижущимся телом и генерируемых при коллапсе следа внутренних bojiii в линейно стратифицированной среде проведено Levellen, Teske, Donaldson [164]. Была разработана численная модель с дифференциальными уравнениями для моментов второго порядка, дополненная рядом масштабов пульсаци-онного движения. Эта модель послужила основой для модели, включающей локально-равновесные усечения дифференциальных уравнений переноса всех моментов второго порядка. Согласно [67], последняя применялась для численного моделирования в случае линейной стратификации. Масштаб турбулентности определялся с использованием характерных линейных размеров области турбулентного течения. В [164, 67] представлены данные, иллюстрирующие собственно турбулентный след и генерируемые внутренние волны. Сопоставление расчетных данных с экспериментальными данными Lin & Рао [166] показало удовлетворительное согласие в поведении размеров следа для значений времени t <Т.

Работа Hassid [154] содержит достаточно подробное численное исследо-t вание следов за самодвижущимся и буксируемым телами в линейно стратифицированной среде, проведенное па основе модифицированной модели локально-равновесного приближения с привлечением уравнений переноса энергии турбулентности и скорости ее диссипации. В [154] алгебраические соотношения вида (1.11) использовались для получения анизотропных выражений для коэффициентов турбулентной вязкости, при этом вопрос о применимости (1.11) для анализа поведения нормальных напряжений остался открытым. Было выполнено сопоставление с экспериментальными данными Lin & Рао по изменению с расстоянием от тела характерных размеров следа, а также дефекта продольной компоненты осреднен-ной скорости и энергии турбулентности на оси следа. Согласие с данными для буксируемого тела весьма хорошее. В случае самодвижущегося тела выявились трудности с описанием дефекта скорости - влияние стратификации оказалось более выраженным, чем в эксперименте (см. также обзор Schetz [107]); можно отметить' и более медленное, чем в эксперименте, вырождение энергии турбулентности. Имеющиеся погрешности, возможно, связаны с неудачным выбором метода расчета. Это в определенной мере подтверждают численные эксперименты, выполненные Мошкииым и

Черных [76]. В их расчетах использовалась локально-равновесная модель, аналогичная разработанной в [154], и метод расщепления по физическим процессам. Полученные данные в случае безымпульспого следа оказались достаточно близкими к экспериментальным данным по всем характеристикам, анализировавшимся в [154].

В ряде работ задача об эволюции безымнульсного турбулентного следа в однородной и линейно стратифицированной среде рассматривалась как один из весьма показательных примеров для демонстрации работоспособности разработанных авторами методов и подходов. Так, в монографии О.М. Белоцерковского [7] описаны результаты решения задачи статистическим методом частиц в ячейках, проведенного Белоцерковским, Ерофеевым, Ян и цк им, Славяновым. В модели применяется релаксационное кинетическое уравнение для одноточечной функции распределения, аналогичного уравнению Больцмана. Метод решения основывается па использовании "жидких" частиц в ячейках и расщеплении эволюции модели на основные физические процессы: конвективный перенос, диссипацию турбулентной энергии и перераспределение энергии по степеням свободы [7]. Модель демонстрирует достаточно хорошее согласие с экспериментальными данными Naudascher [172] и Lin & Рао [154]. В последнем случае речь идет о сопоставлении значений интенсивности пульсаций продольной составляющей скорости на оси следа в линейно стратифицированной среде.

Как пример применения неявного варианта метода расщепления по физическим процессам к расчету стратифицированных течений, турбулентный след за самодвижущимся телом в линейно стратифицированной среде рассмотрен Даниленко, Костиным, Толстых [47]. Замыкание трехмерной параболизованной системы осредненных уравнений Рейпольдса проводилось с использованием полной модели второго порядка, аналогичной [54]. Получено удовлетворительное согласие рассчитанных значений энергии турбулентности на оси следа с экспериментальными данными [172] -в случае однородной жидкости, а также осевых значений дефекта продольной компоненты осредненной скорости и энергии турбулентности - с данными Lin & Рао для следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде [154].

В работе Даниленко [46] разработана модифицированная (е ~ е)-модель турбулентности с поправкой на анизотропию течения в стратифицированной среде. С целыо уточнения турбулентной диффузии в вертикальном направлении в эту модель включены, кроме дифференциальных уравнений для энергии турбулентности и скорости диссипации, уравнения переноса вертикальной компоненты вектора турбулентных потоков и дисперсии флуктуаций плотности. Проведена серия численных экспериментов, в которых варьировались параметр, регулирующий степень анизотропии нормальных напряжений Рейнольдса, и начальная степень перемешивания жидкости в следе в линейно стратифицированной среде. Выполнено сопоставление с данными Lin & Рао и расчетами Hassid [154] по поведению размеров следа.

Численному моделированию турбулентных следов за телами в стратифицированных жидкостях посвящена также работа Глушко, Гумилевско-го, Полежаева [40]. Предлагаемая модель турбулентного следа основы

Бается на уравнениях Рейнольдса в приближении пограничного слоя, замкнутых с помощью (е ~ £)-модели турбулентности с привлечением для коэффициентов турбулентной вязкости и диффузии формул, аналогичных предложенным в [154]. Авторы [40] провели оценку роли начальной закрутки при эволюции безымпульсного турбулентного следа в линейно стратифицированной среде.

Простая аналитическая квазиодномерная модель эволюции области турбулентных возмущений в следе за самодвижущимся телом в линейно стратифицированной среде построена Скурипым [91]. Получено удовлетворительное согласие с измерениями Lin & Pao [16G] в части описания размеров следа.

Численная упрощенная модель турбулентного следа в стратифицированной среде, основанная на использовании алгебраической модели турбулентности второго порядка и метода интегральных соотношений, разработана Джаугаштиным и Шалабаевой [52]. Рассмотрены варианты развития следов в средах с устойчивой и неустойчивой стратификацией. Представлены данные о поведении размеров следа, демонстрирующие коллапс турбулентного следа за буксируемым телом в устойчиво стратифицированной среде.

В целом ряде работ [190, 15, 191, 70, 127] турбулентные следы изучались с применением схематизированной плоской модели. Рассматривалась плоская нестационарная задача об эволюции локальной области турбулентных возмущений в линейно стратифицированной жидкости. Работы Васильева, Кузнецова, Лыткина, Черных [190, 15] являются, по-видимому, первыми работами этого направления. В начальный момент времени в круге малого радиуса задавались энергия турбулентности и распределение плотности, соответствующее полному перемешиванию. Ис-V' пользовалась простейшая е-модель (в качестве масштабов турбулентности фигурировали поперечные размеры турбулизованной области); коэффициенты турбулентной вязкости и диффузии полагались одинаковыми и независящими от действия силы тяжести. При выборе эмпирических постоянных моделей авторы исходили из сопоставления результатов расчетов с экспериментальными данными Naudascher [172] о вырождении безымпульсного турбулентного следа в однородной среде при условии пренебрежения ролыо дефекта продольной компоненты скорости в дальнем следе. Были получены данные, иллюстрирующие развитие области турбулентных возмущений, продемонстрирован ее коллапс, подробно проиллюстрирована динамика генерируемых внутренних волн. Показано, что течение характеризуется генерацией конвективных вихрей, соответствующих внутренним волнам. Согласно расчетам, влияние начальных данных для осредпепно.й плотности является несущественным, поскольку уже при значениях времени, составляющих около 0.2Т, наблюдается распределение плотности, близкое к автомодельному. Эти данные были подтверждены расчетами тех же авторов [191] па основе модели с дифференциальными уравнениями переноса нормальных напряжений. Характерный масштаб турбулентности определялся с привлечением интеграла от распределения энергии турбулентности.

Лыткиным и Черных [70] с использованием модифицированной модели работы [191] (использовалось более полное описание обменных процессов) был проведен численный анализ течения в линейно стратифицированной среде, на основе которого был сделан вывод о существовании подобия параметров зоны турбулентного смешения и внутренних волн по плотностиому числу Фруда при больших значениях этого параметра. Были представлены некоторые данные, свидетельствующие о слабом влияI нии используемой модели турбулентности па характеристики внутренних воли. Было получено качественное, а по фазовой картине внутренних волн - и количественное согласие результатов расчетов с лабораторными измерениями Трохана, Чашечкипа [98].

По результатам анализа поведения суммарных энергий турбулентности и внутренних волн, генерируемых при эволюции зоны турбулентного смешения, в работах Лыткина, Черных [70] и Черных, Лыткииа, Стуровой [127] был сделан вывод о независимом развитии при больших значениях времени в линейно стратифицированной среде внутренних волн и турбулентности (о расщеплении течения на волновой и диффузионный процессы). При этом расчет внутренних волн при t/T > 1 может быть выполнен с применением уравнений Эйлера в приближении Обербека-Буссинеска (при соответствующем задании перемешивания и размера области возмущений). Обсуждаются возможные подходы к моделированию внутренних волн, генерируемых турбулизованной областью, на основе линеаризованных моделей. С использованием результатов расчетов задачи в полной постановке в [127] Стуровой построена простая аналитическая модель волновой картины для больших значений времени вырождения. Результаты расчетов по полной и аналитической моделям оказались весьма близкими. Позже аналогичные исследования были проведены Voisin [192].

Серия численных экспериментов, демонстрирующих применимость диффузионной модели к расчету характеристик турбулентности в линейно стратифицированной среде для больших значений времени, проведена Черных [105]. В расчетах использовалась модель работы [70] с уравнениями для нормальных напряжений. Исследовался вопрос о постановке граничных условий для волновых характеристик течения па внешних границах расчетной области. Использовались "открытые" краевые условия и условия невозмущенного потока. Было продемонстрировано, что влияние типа граничных условий оказывается малосущественным для расчетов характеристик турбулентности, i

Численный анализ применимости моделей, представляющих собой модификацию модели второго порядка работы [191], к описанию эволюции турбулентных образований в линейно стратифицированной среде, выполнен Черных [106]. Продемонстрированы разумность подхода, предполагающего бессдвиговость течения, а также несостоятельность простейшей е-модели при больших значениях времени. Представлены данные, иллюстрирующие слабую зависимость картины внутренних воли от используемых в данной работе моделей турбулентности - формирование внутренних волн происходит при небольших значениях времени (t/T < 1), где работают даже простейшие модели.

Результаты численного анализа эволюции локальных областей турбу-лизованной жидкости, выполненного в [190, 15, 191, 70, 127], имеют важное методологическое значение для численного моделирования спутпых турбулентных течений в стратифицированной среде. Кроме того, исследование динамики турбулизоваипых областей представляет интерес в связи с весь-\> ма важной ролыо подобных объектов в формировании топкой микроструктуры гидродинамических полей океана [75, 80, 97, 55, 102]. Предложенные авторами [190, 15, 191, 70, 127] постановки задач, а также разработанные ими подходы к численному моделированию безымиульспых турбулентных следов явились отправными для исследований данной диссертационной ра-^ боты.

Внутренние волны, генерируемые турбулентным следом в стратифицированной среде, изучались также с применением схематизированной плоской модели, в которой след заменялся локализованной областью возмущений гидродинамических полей (на общность этих двух постановок указывалось, в частности, в [65, 152, 127]). Турбулентность при этом не учитывалась. Использование такого рода упрощения (помимо данных об особенностях развития ламинарных локальных образовапиий, часто наблюдаемых в условиях океана и моделируемых в лабораторных опытах) дает ценную информацию о качественном характере процессов в турбулентных следах и пятнах, моделирование которых в полной постановке связано с весьма существенными трудностями. Численному и аналитическому исследованию этой модельной задачи посвящено достаточно боль-^ шое число работ; ссылки на них можно найти, в частности, в упоминавшихся выше обзорах [93, 72, 16, 56]. При численном моделировании используются как полные уравнения Навье-Стокса, так и уравнения Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссипеска и линейная теория.

В целом ряде работ (см., например, [195, 198, 179, 160, 8, 9, 45, 5, 48, 13, 144, 109]) рассматривалась локальная однородная (полностью перемешанная) область. Работа Wessel [195], по-видимому, является первой. Полученная в его расчетах волновая картина течения и поведение горизонтального размера пятна при больших значениях времени согласуются с экспериментальными данными Wu [197] об эволюции однородного пятна в линейно стратифицированной среде. Изучению данного течения, с том числе сравнению с опытными данными Wu, были посвящены также работы Young & Hirt [198], Schooley & Hughes [179] и Koh [160]. В целом ряде работ отечественных авторов данная задача рассматривалась как тестовая, демонстрирующая возможности разработанных методов и алгоритмов: в работах Белоцерковского, Гущина [8, 9, 45] исследуются внутренние волны, проведено сопоставление с лабораторными измерениями [197]; хорошее соответствие результатов расчетов экспериментальным данным Wu получено в работах Бабакова [5], Даниленко и Толстых [48]. В расчетах Бунэ, Грязнова, Полежаева [13] одновременно учитывалась стратификация по температуре и солености, рассматривалось также течение, генерируемое пятном со стратификацией, отличной от стратификации окружающей среды. Нартов и Черных [77] для изучения поведения размеров и границы перемешанной области привлекали уравнение трансформации недиффун-дирующей нераспадающейся пассивной примеси; для нахождения границы зоны смешения использовался метод дифференциального анализатора.

Следует заметить, что интерес к изучению эволюции полностью перемешанных пятен и формирующейся картины внутренних воли связан не только с наличием достаточно подробных экспериментов, стимулирующих численные и теоретические исследования, но также и с ранними представлениями о полном перемешивании жидкости при коллапсе турбу-лизованных локальных образований. Однако, экспериментальные исследования [1G9, 170] и численные расчеты [7, 15] показали, что турбулентное перемешивание не является столь сильным - степень перемешивания оценивается интервалом знамений от 0.05 до 0.25 (знамение 1 соответствует полному перемешиванию). Данный факт имеет весьма важное значение для последующих приложений к оценкам течеиия в турбулентных следах, поскольку, амплитуда внутренних волн в случае полного перемешивания значительно превышает значения, получаемые для частично перемешанных областей. Кроме того, как показано, в частности, в работе Dugan, Warn-Varnas, Piacsek [144] (см. также [109]), имеются существенные различия в закономерностях развития самих областей: при полном перемешивании горизонтальный размер растет неограниченно, а область стремится деформироваться в бесконечно топкую с плотностью, равной плотности однородного пятна; при неполном перемешивании поведение горизонтального размера имеет колебательный характер, а вертикальный размер конечен.

В работах Васильева, Кузнецова, Лыткина., Черных [190, 15] задача о динамике ламинарного частично и полностью перемешанного пятна рассматривалась как частный случай при изучении локальных турбули-зованных областей в линейно стратифицированной среде. В этих работах впервые был численно исследован механизм генерации и распространения внутренних волн, сопровождающих коллапс перемешанной области. Суть его состоит в зарождении, последующем дроблении конвективных вихрей противоположной направленности и оттеснении ранее возникших вихрей к горизонтальной оси, что приводит к перемещению вдоль нее гребней и впадин внутренних волн.

Дальнейшее развитие эти исследования получили в работах Зудина, Черных [56, 57, 58] с применением разработанного авторами эйлерово-ла-гранжева подхода. Проведены систематические расчеты эволюции частично перемешанных областей в средах с линейной и нелинейной плотностной стратификацией. Исследованы особенности развития волновой картины течения в зависимости от стратификации, показаны пределы применимости линеаризованных постановок, влияние вязкости.

Численному изучению растекания интрузий в слое раздела посвящена работа Авдеевой, Мадерича, Коновалова, Кулика [1]. Исследованы особенности картины внутренних волн и форма интрузии. Продемонстрировано формирование уединенных внутренних волн - солитопов Беиджамина-Она - и интенсивное растекание интрузий в виде языков вдоль горизонтальных слоев с большими градиентами плотиости. Эти данные находятся в согласии с результатами лабораторных экспериментов [168, 159, 83, 71], а также расчетами Зудина, Черных [57].

Особое место в исследовании внутренних воли, генерируемых локальными возмущениями поля плотности, как в случае линейной, экспоненциальной, так и нелинейной стратификаций отводится теоретическим работам, выполненным в рамках линейной теории внутренних волн. Разработанные в рамках линейной теории упрощенные подходы позволили решить целый ряд задач, связанных с изучением данного течения и представляющихся для исследования в более общих постановках весьма трудноразрешимыми. Достаточно подробный обзор работ этого направления можно найти в [93, 72]. На основе получаемых в результате линеаризации точных решений в работах Schooley, Hughes [179], Koh [160], Никишова и Стеценко [78], Стуровой [94], Городцова и Теодоровича [42], Стуровой и Сухарева [95] были получены асимптотические представления внутренних волн для больших удалений от области смешения.

В работе Смирнова, Веденькова, Галковского [92] исследованы закономерности возникновения нелинейных внутренних волн, индуцируемых I коллапсом ламинарной области смешения, в условиях реального океана.

Анализируя работы ряда последних лет, нельзя не отметить, что интерес к теме турбулентных следов вновь возрастает как за рубежом [193, 17, 151, 143], так и в нашей стране [14, 6, 60, 90]. Васильевым, Деменковым, Костомахой и Черных [14] выполнены исследования закрученного турбулентного следа за самодвижущимся телом в однородной жидкости, включающие численную модель второго порядка, подробные сопоставления результатов лабораторных и численных экспериментов, а также численный анализ автомодельности турбулентного движения в дальнем следе. На основе данных, демонстрирующих существенно более быстрое убывание окружной компоненты скорости в сравнении с осевым дефектом продольной компоненты скорости, делается заключение о том, что с некоторого удаления от тела закруткой можно пренебречь.

Исследованию асимптотического поведения характеристик импульсных и безымпульсных следов в однородной жидкости (в ламинарном режиме) посвящена работа Смирнова и Воропаева [183].

В работах Воропаева, Смирнова, Филиппова, Бойера [17], Voropaev, McEachern, Fernando, Воуег [193] рассмотрены следы за телами с усложненными режимами движения: в [17] изучаются следы за "точечным" источником импульса, движущимся в толще воды и действующим в различных направлениях по отношению к направлению движения; в [193] исследуются крупные вихревые структуры, образующиеся при маневрировании самодвижущегося тела в стратифицированной среде. Определены условия формирования вихревых структур в следах, получены данные об основных характеристиках вихрей.

В последнее время существенно возрос интерес к исследованию турбулентных следов в стратифицированной среде на сверхбольших (t < 1000Т) временах жизни следа [6, 60, 90, 151, 143]. В этих работах рассматриваются только следы за буксируемыми телами. В частности, экспериментальные исследования турбулентных следов за буксируемыми телами в жидкости t с нелинейной стратификацией выполнены коллективом авторов ИПФ РАН [6, 60, 90]. Казаков, Троицкая, Шабалина [60] проводили измерения при буксировке эллипсоида вращения на разных горизонтах термоклина, варьировалась также скорость движения тела. Баландина, Пап ко, Сергеев, Судариков, Троицкая [6] изучали особенности течения при буксировке тел различной формы в пикноклине на горизонте, где имеется скачок градиеита плотности. Представлены данные о поведении во времени максимума продольной компоненты средней скорости, а в [6] - и полуширины следа в зависимости от условий проведения опытов. Продемонстрирована, в частности, весьма существенная зависимость характеристик средней скорости от формы тела в пикноклипе на больших расстояниях от тела вниз по потоку. Следует отметить, что впервые влияние формы тела на характеристики осесимметричпых турбулентных следов было детально исследовано Букреевым, Васильевым, Лыткипым [11] для следов в однородной жидкости, причем анализировались измеренные автомодельные профили дефицита продольной составляющей средней скорости, а также интенсив-постей трех пульсациоппых компонент скорости и касательного напряжения. Численный анализ памяти формы тела в однородной жидкости по результатам опытов [11] выполнен Федоровой, Черных [101].

Квазилинейная модель дальнего турбулентного следа за буксируемым телом в стратифицированной среде предложена Сергеевым, Троицкой [90]. В рамках данной модели удается достаточно точно описать экспериментальные данные Spedding [184] о вырождении продольной компоненты осреднеииой скорости при 2?rt/T < 200.

Первые попытки численного исследования турбулентных следов в рамках прямого численного моделирования уравнений Навье-Стокса (Gourlay, Arendt, Fritts, Werne [151]) и LES-метода (Dommermuth, Rottman, Innis, Novikov [143]) для сверхбольших расстояний от тела вполне можно назвать впечатляющими. Однако в них были рассмотрены только следы за буксируемыми телами в стратифицированной среде при малых числах Фруда. Расчетные данные достаточно хорошо согласуются с данными, полученными в лабораторных экспериментах Spedding [184].

Настоящий обзор ие претендует на исчерпывающую полноту. В упоминаемых работах можно найти дополнительные ссылки.

Анализируя имеющуюся литературу, можно отметить следующее.

1. Безымпульсные турбулентные следы в однородной жидкости изучены численно весьма подробно. Выполнялись как сопоставления с известными данными экспериментальных исследований, так и автомодельный анализ дальних следов. Вместе с тем, при воспроизведении экспериментальных данных исследователи сталкиваются с трудностями в описании дефекта продольной компоненты скорости и напряжений Рейнольдса. Представленный в известных работах численный анализ автомодельности вырождения дальних осесимметричных безымпульсных следов в пассивно стратифицированной среде является недостаточно полным: отсутствуют данные об особенностях и законах изменения вторых одноточечных корреляционных моментов, включающих турбулентные пульсации поля плотности.

2. Характеристики безымпульспых турбулентных следов в линейно стратифицированной жидкости численно изучены достаточно подробно лишь в приближении схематизированной плоской модели - в предположении пренебрежимой малости дефекта продольной компоненты скорости. Однако, использовавшиеся при этом модели турбулентности были несовершенными, в особенности недостаточно точно аппроксимировались компоненты вектора турбулентных потоков. В результате этих исследований пе было получено удовлетворительного описания процесса анизотропного вырождения характеристик турбулентности при больших значениях времени; не рассматривались варианты нелинейного распределения плотности невозмущенной жидкости. Не исследовался вопрос об особенностях распространения пассивной примеси от мгновенного локализованного источника в зоне турбулентного смешения.

3. В известных автору численных исследованиях безымпульсных турбулентных следов в линейно стратифицированной среде экспериментальные данные Lin &; Рао [166] воспроизводятся лишь в части описания линейных размеров, осевых значений энергии турбулентности (или одного из нормальных напряжений Рейнольдса) и дефекта продольной составляющей осредненной скорости. За рамками исследований остаются вопросы анизотропного вырождения турбулентности в дальнем следе.

4. Численные расчеты течения в случае нелинейной стратификации проводились лишь в модельных приближениях вязкой и идеальной жидкости, без учета турбулентности. В литературе отсутствуют данные о лабораторных измерениях характеристик турбулентности в следе при нелинейном распределении плотности певозмущенной жидкости. Количественное воспроизведение имеющихся лабораторных экспериментов по изучению волновой картины' таких течений затруднено недостатком информации об условиях проведения этих измерений.

5. Математические модели, применяемые к расчетам турбулентных течений, возникающих при эволюции локальных образований в однородной и стратифицированной средах, в том числе дальних безымпульсных турбулентных следов, недостаточно полны. Вопрос о применимости более совершенных моделей остается открытым. Трудности, возникающие при численном моделировании турбулентных следов в однородной и стратифицированных средах, во многом связаны с практическим отсутствием систематической информации о свойствах аппроксимаций и моделей, основанной на анализе иерархии моделей турбулентности применительно к рассматриваемому классу течений.

Цель работы:

- разработка усовершенствованных численных моделей динамики локализованных турбулентных образований в устойчиво стратифицированной среде;

- изучение процесса распространения пассивной примеси от мгновенного локализованного источника в зоне турбулентного смешения в однородной и устойчиво стратифицированных средах;

- разработка опирающихся па современные полуэмпирические модели турбулентности численных моделей безымпульспых турбулентных следов в устойчиво стратифицированной среде и изучение па их основе закономерностей вырождения турбулентности, генерации и распространения внутренних волн.

Научная новизна. Новыми в диссертации являются следующие основные результаты:

1. Разработаны численные модели динамики плоской локальной зоны турбулентных возмущений в устойчиво стратифицированной среде, основанные на использовании метода расщепления по пространственным переменным и неравномерных подвижных сеток. Исследована применимость иерархии полуэмпирических моделей турбулентности второго порядка к расчетам этого класса задач; показана эффективность алгебраических аппроксимаций моментов второго порядка. Выполнено численное моделирование динамики зоны турбулентного смешения в среде с нелинейной стратификацией; показано расщепление течения на волновой и диффузионный процессы при больших значениях времени; предложены упрощенные модели течения.

2. Построена численная модель и выполнено исследование процесса распространения пассивной примеси от произвольно расположенного мгновенного локализованного источника в зоне турбулентного смешения в однородной и устойчиво стратифицированных средах. Показана существенная зависимость распределения осредненной концентрации от начальных данных для этой величины и стратификации.

3. Выполнено численное моделирование динамики безымпульсного турбулентного следа за телом вращения в однородной и пассивно стратифицированной средах на основе иерархии современных полуэмпирических моделей турбулентности второго порядка, в том числе с нелинейными аппроксимациями членов с пульсациями давления в уравнениях переноса моментов второго порядка. Проведен численный анализ автомодельного вырождения характеристик дальнего следа в однородной и пассивно стратифицированной среде, включая вторые корреляционные моменты с турбулентными пульсациями поля скорости и плотности.

4. Выполнено численное моделирование динамики безымпульсного турбулентного следа и генерируемых им внутренних волн в устойчиво стратифицированных средах, основанное на иерархии полуэмпирических моделей турбулентности. Исследована применимость к расчетам дальнего безымпульспого турбулентного следа в линейно стратифицированной среде полуэмпирических моделей турбулентности с усовершенствованными представлениями тройных корреляций поля скорости, а также модифицированным уравнением переноса скорости диссипации. Осуществлено детальное сопоставление с экспериментальными данными Lin & Рао.

5. Дано основанное па численном моделировании описание особенностей развития характеристик турбулентности и генерируемых следом внутренних волн в пикиоклине.

6. Построены упрощенные модели дальнего турбулентного следа и генерируемых следом внутренних волн в устойчиво стратифицированной среде. Продемонстрировано расщепление течения на больших расстояниях от тела на волновой и диффузионный процессы. Численно обоснована справедливость схематизированной плоской модели безымпульсного турбулентного следа.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается привлечением иерархии моделей турбулентного движения; детальным тестированием, контролем сходимости решений па последовательности сеток, сопоставлением численных данных с известными результатами лабог раторных экспериментов, теоретических и численных исследований других авторов.

Практическая значимость работы. Разработаны эффективные численные модели свободных спутных турбулентных течений в однородной и устойчиво стратифицированных средах, представляющие интерес в связи с решением актуальных задач анизотропного вырождения турбулентности в стратифицированных средах, генерации и распространения внутренних воли при эволюции локальных турбулентных образований, распространения пассивных примесей. Результаты настоящей работы могут быть использованы при численном моделировании свободных турбулентных течений в однородных и устойчиво стратифицированной средах, для оценки применимости альтернативных математических моделей, их численных реализаций и асимптотических представлений решений задач, для анализа результатов известных лабораторных экспериментов и планирования новых.

На защиту выносятся:

- численные модели эволюции плоских локализованных пятен турбулентности в среде с линейным и нелинейным распределением плотности, выполненного с использованием иерархии моделей турбулентности;

- результаты численного исследования распространения пассивной примеси от произвольно расположенного мгновенного локализованного источника в зоне турбулентного смешения в непрерывно стратифицированной среде, свидетельствующие о существенной зависимости распределения осред-пенной концентрации пассивной примеси от начальных данных и стратификации;

- численные модели ближних и дальних безымпульсных турбулентных следов в однородной и пассивно стратифицированной средах, основанные на примеиеиии современных полуэмпирических моделей турбулентности второго порядка с нелинейными аппроксимациями слагаемых с пульсациями давления в уравнениях переноса вторых одноточечных корреляционных моментов;

- численные модели безымпульсного турбулентного следа и генерируемых им внутренних волн в линейно стратифицированной среде с привлечением иерархии полуэмпирических моделей турбулентности второго порядка, а также моделей с усовершенствованными представлениями третьих моментов с пульсациями скорости и модифицированного уравнения переноса скорости диссипации;

- численная модель динамики безымпульсного турбулентного следа в пик-ноклине, базирующаяся на использовании неравновесных алгебраических аппроксимаций компонент тензора рейнольдсовых напряжений, и результаты проведенных расчетов; упрощенные модели дальнего следа.

Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные ее разделы докладывались на следующих международных й всероссийских конференциях и семинарах: Всесоюзная школа-семинар "Методы гидрофизических исследований" (Светлогорск, 1989г.), Всесоюзная конференция "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики" (Новосибирск, 1990г.), I, II, IV и V советско-японские и российско-японские симпозиумы но вычислительной аэрогидродинамике (Хабаровск, 1988г.; Цукуба, 1990г.; Киото, 1994г.; Новосибирск, 1996г.), III Совещание рабочей группы "Лабораторное моделирование динамических процессов в океане" (Москва, 1993г.), IV международный симпозиум по стратифицированным течениям (Франция, 1994г1), Международная конференция по методам аэрофизических исследований ICMAR-94 (Новосибирск, 1994г.), First Asian CDF Conference (Гонконг, 1995г.), 3-я международная конференция по математическим и численным аспектам распространения волн (Франция, 1995г.), международная конференция АМСА-95, посвященная 70-летию Г.И. Марчука (Новосибирск, 1995г.), Third ECCOMAS Сотр. Fluid Dynamics Conference (France, 1996г.), Международный симпозиум "Гидрологические и экологические процессы в водоемах и их водосборных бассейнах", посвященный 70-летию О.Ф. Васильева (Новосибирск, 1996г.), международная конференция "Математические модели и численные методы механики сплошной среды" (Новосибирск, 1996г.), Второй Сибирский конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике" (Новосибирск, 1996г.), Fourth International Conference on Computational Physics (Сингапур, 1997г.), International Conference on Computational Mathematics (Таиланд, 1997г.), Первая международная конференция по вычислительной гидродинамике (Киото, 2000г.), 16th IMACS World Congress (Losanna, 2000г.), VIII Европейская конференция по турбулентности (Barselona, 2000г.), Международная школа-семинар по численным методам механики вязкой жидкости в рамках научных мероприятий "Вычислительные техиологии-98,2000" (Новосибирск, 1998г., 2000г.), Международная конференция "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященная 80-летию Н.Н. Яненко (Новосибирск, 2001г.), Международная конференция "Потоки и структуры в жидкостях" (Москва, 2001г.), Annual Scientific Conference GAMM 2002 (Augsburg, 2002), Международная конференция "Колмогоров и современная математика" (Москва, 2003г.), Всероссийская конференция "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", приуроченная к 85-летию JI.B. Овсянникова (Новосибирск, 2004г.), а также на семииарах Института теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН (рук. чл.-корр. РАН С.В. Алексеенко), Института вычислительных технологий СО РАН (рук. академик Ю.И. Шокин, проф. В.М. Ковеня), Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (рук. проф. В.П. Ильин), Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (рук. член-корр. РАН В.В. Пухначев; проф. А.Ф. Воеводин), "Математика в приложениях" Института математики им. C.JI. Соболева СО РАН (рук. академик С.К. Годунов).

Публикации. Результаты автора, вошедшие в диссертацию, опубликованы в 37 научных работах. Основные результаты диссертации опубликованы в журналах ДАН [24, 29, 31], Известия Академии Наук. МЖГ [32], ПМТФ [35, 36], Математическое моделирование [25, 28, 37], RJNAMM [125, 132, 134, 194], Computers & Fluids [133], Вычислительные технологии [30, 18, 19, 20, 21, 23, 22], Теплофизика и аэромеханика [26]; в сборниках научных трудов и трудах конференций [27, 33, 34, 116, 118, 120, 123, 124, 126, 128, 129, 130, 131, 135, 136].

Личный вклад. В работах [33, 34, 123, 135] Г.Г. Черных принадлежат постановки задач. В работах [23], [27]—[29], [35]—[37], [118], [120], [128]-[133], [136] постановки задач численного моделирования безымпульспых турбулентных следов в стратифицированных средах выполнены совместно О.Ф. Воропаевой и Г.Г. Черных. Результаты других соавторов этих работ представляют собой самостоятельные исследования, не вошедшие в диссертацию: Н.П. Мошкину принадлежат результаты численного моделирования турбулентных следов с применением метода расщепления но физическим процессам (основные результаты его исследований относятся к турбулентным следам за буксируемыми телами в линейно стратифицированной среде); А.Г. Деменкову и Н.Н. Федоровой - результаты численного исследования турбулентных следов в однородной жидкости; А.Н. Зудину, как и в [123, 135] - результаты расчетов ламинарных областей перемешанной жидкости в устойчиво стратифицированной среде с применением эйлерово-лагранжева подхода. В работах с Ю.Д. Чашечкиным и Г.Г. Черных [30]—[32], [116], а также с Б.Б. Илюшиным и Г.Г. Черных [24]-[26], [124]— [126] постановки задач выполнялись соавторами совместно; Б.Б. Илюшину принадлежит разработка усовершенствованных математических моделей моментов третьего порядка. Вклад автора в вышеупомянутых работах состоял в участии в постановке задач и осуществлении численного моделирования динамики локальных турбулентных образований и безымпульсных турбулентных следов в устойчиво стратифицированной среде (построение численных алгоритмов, их программная реализация, проведение расчетов и анализ результатов).

Структура и объем диссертации. Текст диссертации включает в себя введение, пять глав, заключение и список литературы из 198 наименований. Объем диссертации составляют 255 страниц, в том числе 18 таблиц и 89 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Воропаева, Ольга Фалалеевна

Основные результаты настоящей работы состоят в следующем.

1). Выполнено численное моделирование эволюции зоны турбулентного смешения в устойчиво стратифицированной среде, основанное на иерархии полуэмпирических моделей турбулентности. Исследована динамика зоны турбулентного смешения в случае нелинейного распределения плотности певозмущенной жидкости по глубине. Показано расщепление течения в нелинейно стратифицированной среде на волновой и диффузионный процессы при больших значениях времени; построены упрощенные модели течения.

2). Выполнено численное моделирование процесса распространения пассивной примеси от произвольно расположенного мгновенного локализованного источника в зоне турбулентного смешения в однородной и устойчиво стратифицированной средах. Показано, что течение характеризуется смещением положения максимума осреднеппой концентрации примеси к центру турбулизованной области, однако это смещение происходит чрезвычайно медленно в сравнении с вырождением турбулентности. В случае нелинейной стратификации существенную роль играют не только начальное расположение источника примеси, но и конвективное течение, вызывающее интенсивный перенос примеси в горизонтальном направлении вдоль прослоек с максимальными градиентами плотности невозмущеппой жидкости.

3). Выполнен численный анализ динамики ближнего безымпульспого турбулентного следа за сферой в однородной покоящейся и турбулизованной средах с применением современных полуэмпирических моделей турбулентности второго порядка. Построены численные модели, позволяющие описать тонкую структуру турбулентности в ближнем следе.

4). Выполнено численное моделирование дальнего безымпульсного турбулентного следа за телом вращения в однородной и пассивно стратифицированной средах. Проведен численный анализ автомодельного вырождения характеристик течения, включая вторые корреляционные моменты с турбулентными пульсациями поля плотности. Показана слабая зависимость степени перемешивания жидкости в безымпульсном турбулентном следе в пассивно стратифицированной среде от используемой модели турбулентности.

5). Выполнено численное моделирование динамики безымпульсного турбулентного следа и генерируемых им внутренних воли в линейно стратифицированной среде, основанное на иерархии полуэмпирических моделей турбулентности. Представлены численные модели, позволяющие детально описать процесс анизотропного вырождения турбулентности вдаль-нем следе. Построены упрощенные математические модели дальнего турбулентного следа и генерируемых им внутренних волн в линейно стратифицированной среде.

6). Разработана численная модель динамики безымпульсного турбулентного следа и генерируемых внутренних волн в пикноклине. Построены упрощенные математические модели дальнего безымпульсного следа и генерируемых внутренних волн в пикноклине.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Воропаева, Ольга Фалалеевна, 2004 год

1. Алексенко Н.В., Костомаха В.А. Экспериментальное исследование осесимметричного безымпульсного турбулентного струйного течения // ПМТФ. 1987. - т. - С. 65-69.

2. Алексенко Н.В., Костомаха В.А. Экспериментальное исследование динамики безымпульсного турбулентного следа в турбулизованном внешнем потоке // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-пие. Ин-т гидродинамики. 1988. - Вып. 81. - С. 1424.

3. Андре Ж.К., Моор Де, Лакарер П. и др. Усеченная аппроксимация и моделирование неоднородной турбулентности // Турбулентные сдвиговые течения I. М.: Машиностроение. - 1982. - С. 322-334.t

4. Бабаков А.В. Применение метода потоков к одной задаче динамики вязкой стратифицированной жидкости // ЖВМиМФ. 1983. - Т. 23. - т. - С. 804-807.

5. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. Москва: Наука. 1984. 520с.

6. Белоцерковский С.О. Моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости на основе уравнений Навье-Стокса. Автореферат дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР. 1982. 16с.

7. Белоцерковский С.О., Гущин В.А. Моделирование некоторых течений вязкой жидкости. М.: ВЦ АН СССР. 1982. 66с.

8. Биркгоф Г., Сараптонелло Э. Струи, следы и каверны. М.: Мир. 1964.

9. Букреев В.И., Васильев О.Ф., Лыткип Ю.М. О влиянии формы тела на характеристики автомодельного осесимметричного следа // ДАН.- 1972. Т. 207. - №4. - с. 804-807.

10. Букреев В.И., Деменков А.Г., Костомаха В.А., Черных Г.Г. Распространение тепла от линейного источника в плоском турбулентном следе // ПМТФ. 1996. - Т. 37. - №. 5. - С. 710-719.

11. Бунэ А.В., Грязнов В.Л., Полежаев В.И. Некоторые математические модели конвекции и внутренних волн в стратифицированной жидкости // Современные вопросы механики сплошной среды. М.: МФТИ.- 1985. С. 41-46.

12. Васильев О.Ф., Деменков А.Г., Костомаха В.А., Черных Г.Г. Численное моделирование закрученного турбулентного следа за самодвижущимся телом // ДАН. 2001. - Т. 376. - №. 2. - С. 195-199.

13. Васильев О.Ф., Кузнецов Б.Г., Лыткип Ю.М., Черных Г.Г. Развитие области турбулизованной жидкости в стратифицированной среде // Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. - №3. - С. 45-52.

14. Всденьков В.Е., Смирнов Г.В., Борисов Т.И. Динамика поверхностных и внутренних корабельных волн. Владивосток: Дальиаука. 1999. 223с.

15. Воропаев С.И., Смирнов С.А. Филиппов И.А., Бойер Д.Л. Стратифицированные следы за "точечным" источником импульса // Изв. АН. ФАО. 2002. - Т. 38. - №3. - С. 402-410.

16. Воропаева О.Ф. Численное моделирование безымпульспых турбулентных следов за сферой // Вычислительные технологии. 2001. - Т. 6.- №4. Ч. 2. - С. 188-194.'

17. Воропаева О.Ф. Численное исследование безымпульсных турбулентных следов за сферой па основе полуэмпирических моделей турбулентности второго порядка // Вычислительные технологии. 2002. -Т. 7.-№2.-С. 11-23.

18. Воропаева О.Ф. Численное моделирование дальнего безымпульсного осесимметричного турбулентного следа // Вычислительные технологии. 2003. - Т. 8. - №2. - С. 36-52.

19. Воропаева О.Ф. Дальний безымпульспый турбулентный след в пассивно стратифицированной среде // Вычислительные технологии. 2003.- Т. 8. №3. - С. 32-46.

20. Воропаева О.Ф. Численные модели динамики безымпульспого турбулентного следа в устойчиво стратифицированной среде // Вычислительные'технологии. 2004. - Т. 9. - №4. - С. 15-41.

21. Воропаева О.Ф., Зудин А.Н., Мошкин Н.П., Черных Г.Г. Внутренние волны, генерируемые турбулентными следами в устойчиво стратифицированной среде // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8, спец. выпуск, С. 36-48.

22. Воропаева О.Ф., Илюшин Б.Б., Черных Г.Г. Численное моделирование дальнего безымпульсного турбулентного следа в линейно стратифицированной среде // ДАН. 2002. - Т. 386. - №6. - С. 756-760.

23. Воропаева О.Ф., Илюшин Б.Б., Черных Г.Г. Анизотропное вырождение турбулентности в дальнем безымпульспом следе в линейно стратифицированной среде // Математическое моделирование. 2003. - Т. 15.- С. 101-110.

24. Воропаева О.Ф., Мошкин Н.П., Черных Г.Г. Численные модели безим-пульсных турбулентных следов в стратифицированной среде // Вычислительные технологии. Новосибирск, ИВТ СО РАН. - 1994. - Т. 3. - вып 9. - С. 18-30.

25. Воропаева О.Ф., Мошкин Н.П., Черных Г.Г. Внутренние волны, генерируемые турбулентными следами за буксируемым и самодвижущимся телами в линейно стратифицированной среде // Математическое моделирование. 2000. - Т. 12. - №10. - С. 77-94.

26. Воропаева О.Ф., Мошкин Н.П., Черных Г.Г. Внутренние волны, генерируемые турбулентными следами в устойчиво стратифицированной среде // ДАН. 2003. - Т. 392. - №2. - С. 190-194.

27. Воропаева О.Ф., Чашечкин Ю.Д., Черных Г.Г. Диффузия пассивной примеси от локализованного источника в зоне турбулентного смешения в стратифицированной среде// Вычислительные технологии. -1996. Т. 1. -№1. - С. 38-47.

28. Воропаева О.Ф., Чашечкпи Ю.Д., Черных Г.Г. Диффузия пассивной примеси от мгновенного локализованного источника в зоне турбулентного смешения // ДАН. 1997. - Т. 356. - №6. - С. 759-7G2.

29. Воропаева О.Ф., Чашечкин Ю.Д., Черных Г.Г. Диффузия пассивной примеси от локализованного источника в зоне турбулентного смешения // Изв. РАН. МЖГ. 1997. - Ш. - С. 69-77.

30. Воропаева О.Ф., Черных Г.Г. Эволюция зоны турбулентного смешения в жидкости с нелинейной стратификацией // Моделирование в механике: сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-пие. ВЦ, ИТПМ. 1989. - Т. 3(20). - №5. -С. 3-29.

31. Воропаева О.Ф., Черных Г.Г. О численном моделировании динамики областей турбулизованной жидкости в стратифицированной среде // Вычислительные Технологии, Новосибирск, ИВТ СО РАН. 1992. - Т. 1. - Выи. 1. - С. 93-104.

32. Воропаева О.Ф., Черных Г.Г. Численная модель динамики безымпульсного турбулентного следа в пикноклине // ПМТФ. 1997. - Т. 38. - №3. - С. 69-86.

33. Воропаева О.Ф., Черных Г.Г. Распространение пассивной примеси от мгновенного локализованного источника в зоне турбулентного смешения в пикноклине // ПМТФ. 1998. - Т. 39. - №4. - С. 76-83.

34. Воропаева О.Ф., Черных Г.Г. Внутренние волны, генерируемые безымпульсным турбулентным следом в линейно стратифицированной среде // Математическое моделирование. 1998. - Т. 10. - №6. - С. 75-89.

35. Гиневский А.С. Теория турбулентных струй и следов. Москва: Машиностроение. 1969, 400с.

36. Гиневский А.С., ПочкйнаК.А., Уханова Л.Н. Закономерности распространения турбулентного струйного течения с нулевым избыточным импульсом // Изв. АН СССР МЖГ. 1966. - №6. - С. 164-166.

37. Глушко Г.С., Гумилевский А.Г., Полежаев В.И. Эволюция турбулентных следов за шарообразными телами в устойчиво стратифицированных средах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1994. - №1. - С. 13-22.

38. Городцов В.А. Автомодельность и слабые замыкающие соотношения для симметричной свободной турбулентности // Изв. АН СССР. МЖГ.- 1979. №1. - С. 43-50.

39. Гуляев А.Н., Козлов В.Е., Секупдов А.Н. К созданию универсальной однопараметрической модели для турбулентной вязкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1993. - т. - С. 69-81.

40. Гумилевский А.Г. Автомодельность и законы вырождения в следах с компенсацией по импульсу и моменту количества движения // Изв. АН СССР. МЖГ. 1993. - №5. - С. 35-41.

41. Гущин В.А. Метод расщепления для задач динамики неоднородной жидкости // ЖВМиМФ. 1981. - Т. 21. - №4. - С. 1003-1017.

42. Даниленко А.Ю. Численное моделирование некоторых океанологических задач. М., 1988. 40 с. (Препринт ВЦ АН СССР).I

43. Даниленко А.Ю., Костин В.И., Толстых А.И. О неявном алгоритме расчета течеиий однородной и неоднородной жидкости // М., 1985. 40 с. (Препринт ВЦ АН СССР).

44. Даниленко А.Ю., Толстых А.И. Неявный метод расчета нестационарных движений вязкой жидкости // Труды IX Всесоюз. школы-семинара. Новосибирск. - 1983. - С. 110-114.

45. Деменков А.Г. Численное моделирование турбулентных следов в однородной жидкости: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1997. 123с.

46. Деменков А.Г., Черных Г.Г. О численном моделировании струйных течений вязкой несжимаемой жидкости // Вычислительные технологии.- 1995. Т.4. - №12. - С. 119-131.

47. Деменков А.Г., Костомаха В.А., Черных Г.Г. Динамика турбулентного следа за самодвижущимся телом // Вычислительные технологии. -2001. Т. 6. - №4. - Ч. 2. - С. 258-2G4.

48. Джаугаштин К.Е., Шалабаева B.C. Пространственный след в стратифицированной несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. -1996. №4. - С. 71-77.

49. Дмитренко Ю.М., Ковалев И.И, Лучко Н.Н., Черепанов П.Я. Исследование плоского турбулентного следа с нулевым избыточным импульсом // ИФЖ. 1987. - Т. 52. - №5. - С. 743-751.

50. Доиальдсон. Расчет течений в атмосфере и изолированном вихре // РТК. 1978. - Т. 10. - №1. - С. 4-12.

51. Зацепин А.Г., Федоров К.Н. Об условиях формирования тонкой структуры в океане путем коллапса перемешанных пятен // ДАН. 1980.- Т. 252. т. - С. 989-992.

52. Зудин А.Н. Численное моделирование динамики локального возмущения поля плотности в стратифицироваиной среде. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Новосибирск. 2001. 115с.

53. Зудин А.Н., Черных Г.Г. Примеры расчета нестационарных стратифицированных течений с применением эйлерово-лагранжевой системы координат. Новосибирск. 1985. 50 с. (Препринт ИТПМ СО АН СССР).

54. Зудин А.Н., Черных Г.Г. Внутренние волны, генерируемые локальным возмущением поля плотности в жидкости с нелинейной стратификацией // Моделирование в механике. 1988. - Т. 2. - №4. - Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, ИТПМ СО АН СССР. - С. 49-74.

55. Илюшин Б. В., Курбацкий А. Ф. Новые модели для вычисления моментов третьего порядка в пограничном планетарном слое // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1998. - Т. 34. - №6. - С. 772-781.

56. GO. Казаков В.И., Троицкая Ю.И., Шабалина Э.Н. Экспериментальное исследование следов за телами, буксируемыми в стратифицированной жидкости. Тезисы докл. междунар. конф. "Потоки и структуры в жидкостях", 23-26 июня 2003г., Санкт-Петербург, с. 202-204.

57. Коловандии Б.А. Моделирование теплопереноса при неоднородной турбулентности. Минск: Наука и техника. 1980. 183 с.

58. Коловандии Б.А., Лучко Н.Н. Численное моделирование турбулентного поля скорости осесимметричиого безымпульспого следа //В сб.: Тепломассообмен-6. Минск: ИТМО АН БССР. 1980. - Т. 1. - 4.2. -С. 126-135.

59. Корнеев А.И. Гипотезы подобия в теории турбулентных спутных струй // Турбулентные течения. М., 1977. С. 97-101.

60. Курбацкий А.Ф. Моделирование нелокального переноса турбулентного импульса и тепла. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-иие. 1988. 240 с.I

61. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир. 1981. 600 с.

62. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука. 1986. 736 с.

63. Левеллен В. Метод инвариантного моделирования // Турбулентность: принципы и применения. М.: Мир. 1980. С. 262-310.

64. Левеллен, Теске, Дональдсон. Применение полуэмпирических уравнений пульсационного движения к расчету осесимметричиых следов // РТК. 1974. - Т. 12. - №5. - С. 53-66.

65. Леснова Н.В. Взаимодействие изотропных турбулентных потоков в отсутствие сдвига средней скорости // Дисс. канд. физ.-мат. паук. Новосибирск, 1988, 152с.

66. Мадерич B.C., Кулик А.И. Лабораторный эксперимент по растеканию интрузий в слоистой среде // Изв. АН СССР. ФАО. 1992. - Т. 28. -С.1197-1203.

67. Мадерич B.C., Никишов В.И., Стеценко А.Г. Динамика внутреннего перемешивания в стратифицированной среде. Киев: Наукова думка. 1988. 239 с.

68. Методы расчета турбулентных течений. М.: Мир. 1984. с. 463.

69. Монин А.С, Озмидов Р.В. Океанская турбулентность. Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат. 1981. 320 с.

70. Монин А.С, Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Санкт

71. Петербург: Гидрометеоиздат. 1992 . 4.1.

72. Мошкин Н.П., Федорова Н.Н., Черных Г.Г. О численном моделировании турбулентных следов // Вычислительные технологии: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т вычислительных технологий. 1992. Т. 1, т. С. 70-92.

73. Нартов В.П., Черных Г.Г. О численном моделировании течения, возникающего при коллапсе зоны смешения в стратифицированной среде. Новосибирск. 1982. 23 с. (Препринт ИТПМ СО АН СССР).

74. Никишов В.И., Стеценко А.Г. Образование внутренних воли, порождаемых схлопыванием однородного "пятна" в стратифицированной жидкости // Гидромеханика. 1975. - №52. - С. 62-65.

75. Новиков Б.Г. Интерференционная модель развития следов за телами с движителем // Изв. АН СССР МЖГ. 2001. - №4. - С. 63-71.

76. Озмидов Р.В. Диффузия примесей в океане. JL: Гидрометеоиздат. 1986. 280с.

77. Онуфриев А.Т. Турбулентный след в стратифицированной среде // ПМТФ. 1970. - №5. - С. 68-72.

78. Онуфриев А.Т. Описание турбулентного переноса. Неравновесные модели. Учеб. пособие. М.: МФТИ. 1995. 172 с.

79. Попов В.А. Развитие области частично перемешанной жидкости в тонкослоистой среде // Изв. АН СССР ФАО. 1986. - Т. 22. - №4. - С. 389-394.

80. Пухначев В.В. Асимптотика поля скоростей на больших расстояниях от самодвижущегося тела // ПМТФ. 1989. - №2. - С. 52-60.

81. Сабельников В.А. О некоторых особенностях турбулентных течений с нулевым' избыточным импульсом // Ученые записки ЦАГИ. 1975. -Т. 6. - №4. - С. 71-74.

82. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука. 1971. 552с.

83. Самарский А.А., Соболь И.М. Примеры расчета температурных волн // ЖВМиМФ. 1963. - Т. 3. - т. - С. 702-719.

84. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука. 1967.

85. Сенницкий В.Л. Пример обтекания самодвижущегося тела осесимме-тричным потоком жидкости // ПМТФ. 1984. - №4. - С. 31-3C.

86. Скурим Л.И. Квазиодномерная модель эволюции в стратифицированной среде турбулентной области следа за телом // Изв. АН СССР. ФАО. 1986. - Т. 22. - №4. - С. 373-379.

87. Смирнов Г.В., Веденьков В.Е., Галковский А.Н. О формировании тонкой структуры поля плотности при коллапсе зоны смешения в реально стратифицированной жидкости // Океанология. 1997. - Т. 37. - №3. - С. 338-344.

88. Степаияпц Ю.А., Стурова И.В., Теодорович Э.В. Линейная теория генерации поверхностных и внутренних волн. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. Механика жидкости и газа. 1987. Т. 21. С. 93-179.

89. Стурова И.В. Внутренние волны, генерируемые локальными возмущениями в линейно-стратифицированной жидкости конечной глубины // ПМТФ. 1978. - №3. - С. 61-69.

90. Стурова И.В., Сухарев В.А. Генерация внутренних воли локальными возмущениями в жидкости с заданным изменением плотности по глубине // Изв. АН СССР. ФАО. 1978. - Т 17. - №6. - С. 625-631.

91. Сысоева Е.Я., Чашечкип Ю.Д. Вихревая структура следа за сферой в стратифицированной жидкости // ПМТФ. 1986. - №2. - С. 40-46.

92. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях // М.: Наука. 1977. 431 с.

93. Федоров К.Н. Топкая термохалиипая структура вод океана. Л.: Ги-дрометеоиздат. 1976. 184 с.

94. Федорова Н.Н., Черных Г.Г. О численном моделировании безымпульспого турбулентного следа за сферой // Моделирование в механике: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Вычислительный центр. Ин-т теор. и прикл. механики. 1992. - Т. 6(23). - №1. - С. 129-140.

95. Федорова Н.Н., Черных Г.Г. О численном моделировании осесимме-тричных турбулентных следов // Моделирование в механике: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Вычислительный центр. Ип-т теор. и прикл. механики. 1992. - Т. 6(23). - №3. - С. 141-159.

96. Филлипс. Динамика верхнего слоя океана. Л.: Гидрометеоиздат. 1980. 318 с.

97. Франк A.M. Эволюция турбулентного пятна в однородно турбулизованной среде // Численные методы механики сплошной среды. 1982. Т. 13. - №4. - С. 163-169.

98. Турбулентность: принципы и применения. М.: Мир. 1980. - С. 207261.

99. Шец Дж. Турбулентное течение. Процессы вдува и перемешивания. М.: Мир, 1984. 247с.

100. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-пие. 1967. 195с.

101. Bell Т.Н., Dugan J.P. Model for mixed region collapse in stratified fluid // J. Engn. Math. 1974. - V. 8. - №3. - P. 241-248.

102. Benjamin T.B. Internal waves of permanent form in fluids of great depth // J. Fluid Mech. 1967. - V. 29. - №3. - P. 559-592.

103. Bonneton P., Chomaz J. M., Hopfinger E. J. Internal waves produced by the turbulent wake of a sphere moving horizontally in a stratified fluid // J. Fluid Mech. 1993. - V. 254. - P. 23-40.

104. Bonnier M., Eiff O. Experimental investigation of the collapse of a turbulent wake in a stable stratified fluid // Phys. Fluids. 2002. - V. 14. -№2. - p. 791-801.

105. Browand F. K., Guyomar D., Yoon S.-C. The behavior of a turbulent front in a stratified fluid: experiments with an oscillating grid // J. Geoph. Res. 1987. - V. 92. No. C5. - P.5329-5341.

106. Canuto V.M., Minotti F., Ronchi C., Ypma R.M., Zeman O. Second-Order Closure PBL Model with New Third-Order Moments: Comparison with LES Data // J. Atmos. Sci. 1994. - Vol.51. - No. 12. - P. 1605-1618.

107. Chernykh G.G., Demenkov A.G. Numerical models of jet flows of a viscous incompressible fluid // RJNAMM. 1997. - V. 12. - No. 2. - P. 111-125.

108. Chernykh G.G., Demenkov A.G., Fedorova N.N., Moshkin N.P., Voropayeva O.F. Numerical inodels of turbulent wakes. Proc. First Asian CFDi

109. Conference Hong Kpng, January 16-19, 1995.

110. Chernykh G.G., Demenkov A.G., Fedorova N.N. Numerical models of a plane and axisymmetric turbulent wakes in homogeneous fluid // Proceed, of ICMAR 94. Novosibirsk: Inst, of Theoret. and App. Mech. - 1994. -Pt. 2. - P. 76-81.

111. Chernykh G.G., Fedorova N.N., Kostomakha V.A., Lcsnova N.V. Experimental and numerical simulation of turbulent axisymmetric momentum-less wake behind sphere // Proceed, of ICMAR. 92, Aug. 31- Sept.4, 1992,

112. Novosibirsk. Novosibirsk: Inst, of Theoret. and App. Mecli. - 1992. -Pt.l. - P. 30-33.

113. Chcrnykh G.G., Fcdorova N.N., Moshkin N.P. Numerical simulation of turbulent wakes // Russ. J. Theor. and Appl. Mech. 1992. - V. 2. - P. 295-304.

114. Chcrnykh G.G, Filippova O.F., Zudin A.N. Evolution of local density perturburation in stratified medium:results of numerical experiments. Proc. Soviet Union-Japan Symp. on Computational Fluid Dynamics, Khabarovsk. 1988. - C. 16-19.

115. Chernykh G.G., Ilyushin B.B, Voropayeva O.F. Momentumless turbulent wake dynamics in a linearly stratified medium. The results of numerical experiments // Russ. J. Nurner. Anal. Math. Modelling. 2002. - V. 17. -No. 2. - P. 125 - 134.

116. Chernykh G.G., Moshkin N.P., Voropayeva O.F. Numerical models of momentumless turbulent wakes in stratified media. Proc. Intern. Conf. on the Methods of Aeroph. Res., Aug. 22-26, 1994, Novosibirsk. Novosibirsk. - 1994. - Pt. 1. - P. 52-57.

117. Chernykh G.G., Moshkin N.P., Voropayeva O.F. Internal waves generated by turbulent wakes behind towed and self-propelled bodies in linearly stratified media // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2004. - V. 19.-No.'1.-P. 1-16.

118. Chernykh G.G., Voropayeva O.F. Numerical modeling of momentumless turbulent wake dynamics in a linearly stratified medium // Computers and Fluids. 1999. - V. 28. - No. 3. - P. 281-306.

119. Chernykh G.G., Voropayeva O.F. Internal waves generated by a iriomen-tumless turbulent wake in linearly stratified media // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1999. - V. 14. - No. 4. - P. 311-326.

120. Chomaz J. M., Bonneton P., Butet A., Hopfinger E. J. Vertical diffusion of the far wake of a sphere moving in a stratified fluid // Phys. Fluids. A5.- 1993. P. 2799-2806.

121. Chomaz J. M., Bonneton P., Butet A., Perrier M., Hopfinger E. J. Froude number dependence of the flow separation line on a sphere towed in a stratified fluid // Phys. Fluids A4. 1992. - V. 2. - P. 254-258.

122. Chomaz J. M. , Bonneton P., Hopfinger E. J. The structure of the near wake of a, sphere moving horizontally in a stratified fluid // J. Fluid Mech.- 1993. V. 254. - P. 1-21.

123. Daly B.J., Harlow F.H. Transport equations of turbulence j j Л. Pliys. Fluids. 1970. - V. 13. - P. 2G34-2649.

124. De Silva I.P.D., Fernando H.J.S. Experiments on collapsing turbulent regions in stratified fluids // J. Fluid Mech. 1998. - V. 358. - P. 29-60.

125. Dugan J.P., Warn-Varnas A.C., Piacsek S.A. Numerical results for laminar mixed region collapse in density stratified fluid // Computers and Fluids. 1976. - V. 4. - №2. - P. 109-121.

126. Finson M.L. Similarity behaviour of inomentumless turbulent, wakes // J. Fluid Mech. 1975. - V. 71. - Pt. 3. - P. 465-479.

127. Flor J.B., Fernando H.J.S., van Heijst G.J.F. The evolution of an isolated turbulent region in two-layer fluid // Phys. Fluids. 1994. - V. 6. - №1. -P. 287-296.

128. Fonseka S.V., Fernando H.J.S., van Heijst G.J.F. Evolution of an isolated turbulent region in a stratified fluid // J. Geophys. Res. 1998. - V. 103. - №C11. - P. 24,857-24,868.

129. Gibson M.M., Launder B.E. On the calculation of the horizontal, turbulent, free shear flows under gravitational influence // J. Heat Transfer.i

130. Trans. ASME. 1976. No. 98C. P. 81-87.

131. Gibson M.M., Launder B.E. Ground effects on pressure fluctuations in the atmospheric boundary layer // J. Fluid Mech. 1978. - V. 86. - P. 491-511.

132. Gilreath H.E., Brandt A. Experiments on the generation of internal waves in a stratified fluid // AIAA P. 1983. - V. 1704. - 12 p.

133. Gourlay M.J., Arendt S.C., Fritts D.C., Werne J. Numerical modelling of initially turbulent wakes with net momentum // Phys. Fluids. 2001. -V. 13. - No 8. - P. 2361-2372.

134. Hartman R.J., Lewis H.W. Wake collapse in a stratified fluid: linear treatment // J. Fluid Mech. 1972. - V. 51. - No 3. - P. 613-618.

135. Hassid S. Similarity and decay laws of rnornenturriless wakes // Phys. Fluids. 1980. - Vol. 23. - No. 2. - P. 404-405.

136. Hassid S. Collapse of turbulent wakes in stable stratified media // J. Hydronautics. 1980. - V. 14. - P. 25-32.

137. Higuchi H., Kubota T. Axysymmetric wakes behind a slender body including zero-momentum configurations // Phys. Fluids. 1990. - V. 2. -No. 9. - P. 1615-1623.

138. Hopfinger E. J., Flor J. В., Chomaz J. M., Bonneton P. Internal waves generated by a moving sphere and its wake in stratified fluid // Exps Fluids. 1991. - V. 11. - P. 255-261.

139. Ilyushin B.B. Higher-moment diffusion in stable stratification. In: Closure strategies for turbulent and transition flows (Eds. B.E. Launder, N.D. Sandham)/ Cambridge. - University Press. - 2002. - P. 424-448.

140. Ilyushin B.B:, Kurbatskii A.F. Modeling of turbulent transport in PBL with third-order moments // Proceeds. Int. Symp. Turbulent Shear Flows, 11. France, 1997, Grenoble Inst, of Mech. P. 20-19 - 20-24.

141. Kao T.W., Pao H.P. Wake collapse in the thermocline and internal solitary waves // J. Fluid. Mech. 1980. - V. 97. - No 1. - P. 115-127.

142. Koh R.C.A. Transient motion induced by local disturbances in a linearly density-stratified fluid // J. Hydraulic Res. 1971. - V. 9. - No 3. - P. 159-175.

143. Launder В.Е. On the effect of a gravitational field on the turbulent transport of heat and momentum // J. Fluid Mech. 1975. - V. 67. - P. 569-581.

144. Launder B.E. Heat and mass transport. Turbulence. Chapter 6. Topics in Applied Physics (Ed. by P. Bradshow). V. 12. Springer Verlag. 1976.

145. Launder B.E. Second-moment closure: present and future? Review // Int. J. Heat and Fluid Flow. 1989. - V. 10. - No. 4. - P. 282-300.

146. Levellen W.S., Teske M.E., Donaldson C.D. Examples of variable density flows computed by second-order closure description of turbulence // AIAA J. 1976. - V. 14. - P. 382-387.

147. Lin Q., Boyer D. L., Fernando J. S. Turbulent wakes of linearly stratified flow past a sphere // Phys. Fluids A. 1992. - V. 4. - P. 1687-1696.

148. Lin Л.Т., Pao Y.H. Wakes in stratified fluids // Annu. Rev. Fluid Mech.- 1979. V. 11. - P. 317-336.

149. Maderich V.S., van Heijst G.J.E., Brandt A. Laboratory experiments on intrusive flows and internal waves in a pycnocline // J. Fluid Mech. 2001.- V. 432. P. 285-322.

150. Maxworthy T. On the formation of nonlinear internal waves from the gravitational collapse of mixed region in two and three dimensions // J. Fluid Mech. 1980. - V. 96. - No. 1. - P. 47-64.

151. McEwan A.D. Internal mixing in stratified fluids // J. Fluid Mech. 1983.- V. 128.-- P. 59-80.

152. Merrit C.E. Wake growth in stratified flow // AIAA J. 1974. - V. 12. -No. 7. - P. 940-949.

153. Mellor J.L., Yainada T. A hierarchy of turbulence models for planetary boundary layers // J. Atmos. Sci. 1974. - V. 31. - No. 7. - P. 1791-1806.

154. Naudascher Е. Flow in the wake of self-propelled bodies and related sources of turbulence // J. Fluid Mech. 19G5. - V. 22 - No. 4. - P. 625-656.

155. Pequet, J. Turbulent flows. Models and physics. Berlin: Springer, 1999, 761p.

156. Rodi W. The prediction of free turbulent boundary layers by use of two-equation model of turbulence. Ph. D. Thesis: University of London. 1972. 310 p.

157. Rodi W. A new algebraic relation for calculating the Reynolds stresses // ZAMM. 1976. - V. 56. - P. 219-221.

158. Rodi W. Turbulence models and their application in hydraulics. University of Karlsruhe, Karlsruhe, 1980. 104 p.

159. Rodi W. Examples of calculation methods for flow and mixing in stratified fluids // J. Geophys. Res. 1987. - V. 92. - No. C5. - P. 5305-5328.

160. Schooley A.H. Wake collapse in a stratified fluid // Science. 1967. - V. 157. - P. 421.

161. Schooley A.H., Hughes B.A. An experimental and theoretical study of internal waves generated by the collapse of two-dimensional mixed region in a density gradient // J. Fluid Mech. 1972. - V. 51. - P. 159-175.

162. Schooley A.H., Stewart R.W. Experiments with a self-propelled body submerged in a fluid with vertical density gradient // J. Fluid Mech. 1963. - V. 15. - No. 1. - P. 83-96.

163. Sirvicnte A.I., Patel V.C. Wake of a self- propelled body, Part 1: Momentumless wake // AIAA J.- 2000.- V. 38. No. 4.- P.613-619.

164. Smirnov S.A., Voropaev S.I. On asirnptotic theory of momentum/zero-momentum wakes // Phys. Letters A. 2003. - A 307. - P. 148-153.

165. Spedding G.R. The evolution of initially-turbulent bluff-body wakes at high internal Froude number // J. Fluid Mech. 1997. - V. 337. - P. 283-301.

166. Spedding G. R., Browand F. K., Fincham A. M. Turbulence, similarity scaling and vortex geometry in the wake of a towed sphere in a stable stratified fluid // J. Fluid. Mech. 1996. - V. 314. - P. 53-103.

167. Speziale C.G. Analytical methods for the development of Reynolds-stress closure in turbulence // Ann. Rev. Fluid Mech. 1991. - V. 23. - P. 107157.

168. Terez D.E., Knio O.M. Numerical simulation of large-amplitude internalsolitary waves // J. Fluid Mech. 1998. - V. 362. - P. 53-82. i

169. Van de Watering W.P.M. The growth of a turbulent wake in a density-stratified fluid. Rept. 231-12. 1966. Hydronautics. Inc. Laurel, Md.

170. Vasiliev O.F., Kuznetsov B.G., Lytkin Y.M., Chernykh G.G. Development of the turbulized fluid region in stratified medium. Intern. Symp. on Stratified Flows. Novosibirsk. 1972. - Paper 4. - 14 p.

171. Vasiliev O.F., Kuznetsov B.G., Lytkin Y.M., Chernykh G.G. Development of the turbulent mixed region in a stratified medium // Int. Seminar "Turbulent buoyant convection" Aug. 30-Sept. 4, Dubrovnic, Yugoslavia.- 1976. P. 123—136.

172. Voisin B. Rayonnement des ondes internes de gravite. Application atix corps en mouvement. Ph. D. thesis, Universite Pierre et Marie Curie, 1991.

173. Voropaev S.I., McEachern G.B., Fernando H.J.S., Boyer D.L. Large vortex structures behind a maneuvering body in stratified fluids // Phys. Pluids.- 1999. V. 11. - m. - P. 1682-1684.

174. Voropayeva O.F. Far momentumless turbulent wake in passively stratified medium// Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2004. - V. 19. - No. 1. - P. 83-102.

175. Wessel W.R. Numerical study of the collapse of a perturbation in an infinite density stratified fluid // Phys. Fluids. 1969. - V. 12. - No. 12.- Pt. II. P. 170-176.

176. Witte A.B. Holographic interferometry of a submarine wake in stratified flow // J. Hydronautics. 1972. - V. 6. - P. 114-115.

177. Wu J. Mixed region collapse with internal waves generation in a density stratified medium // J. Fluid Mech. 1969. - V. 35. - No. 3. - P. 531-544.

178. Young J.A., Hirt C.W. Numerical calculation of the internal wave motions // J. Fluid Mech. 1972. - V. 52. - No. 56. - Pt. II. - P. 256-276.