Численное моделирование динамики локального возмущения поля плотности в стратифицированной среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Зудин, Андрей Николаевич

• Зудин, Андрей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зудин, Андрей Николаевич

Введение

1 Постановка задачи. Алгоритмы расчета

1.1 Постановка задачи

1.2 Эйлерово-лагранжев подход к расчету двумерных нестационарных течений

1.3 Тестирование конечно-разностных алгоритмов.

2 Внутренние волны, генерируемые локальным возмущением поля плотности* в жидкости с нелинейным распределением плотности по глубине

2.1 Локальное возмущение поля плотности в пикноклине

2.2 Влияние вязкости на динамику локального возмущения поля плотности в пикноклине

2.3 Произвольная устойчивая стратификация.

3 Динамика локального возмущения поля плотности в присутствии фоновых возмущений стратифицированной среды

3.1 Наличие «волнового фона».

3.2 Локальное возмущение поля плотности в сдвиговом потоке линейно стратифицированной среды.

4 Линейные и нелинейные численные модели динамики локального возмущения поля плотности в стратифицированной среде

4.1 Линейная численная модель внутренних волн.

4.2 Линеаризованные уравнения для задачи о динамике локального возмущения поля плотности в сдвиговом потоке

4.3 Полные уравнения Эйлера.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование динамики локального возмущения поля плотности в стратифицированной среде»

В связи с изучением ряда геофизических явлений и решением практических задач представляет интерес исследование динамики локализованных областей перемешанной жидкости в устойчиво стратифицированной среде [1, 2, 3, 4, 5, 54]. В целом ряде экспериментальных и теоретических работ рассматривалась плоская нестационарная задача о течении, возникающем в результате деформации области жидкости постоянной плотности (либо стратифицированной жидкости, но со стратификацией, отличной от стратификации невозмущённой среды), окружённой слабостра-тифицированной жидкостью. Предполагается, что изменение плотности жидкости в области А (рис. 0.1) вызвано перемешиванием жидкости в этой области.

Стратифицированные течения характеризуются распределением плотности невозмущённой жидкости ps = ps(y)', Ро — р6(0); g — ускорение силы тяжести. Стратификация среды предполагается устойчивой, т.е. (1/po)dps/dy < 0. Временным масштабом рассматриваемых течений является хорошо известный период Вяйсаля-Брента [2] Т = 2ттf у/ад, а = -(1 /p0)dps/dy при у = 0.

Экспериментально задача была детально рассмотрена By [б]. Основная цель её исследования заключалась в изучении принципов моделирования и получении эмпирических зависимостей, описывающих явление. В опытах By в линейно-стратифицированной массе жидкости создавался цилиндр однородной по плотности нетурбулизованной жидкости с плотностью ро> равной плотности окружающей среды на уровне оси цилиндра. Изучался коллапс этого цилиндрического «пятна» (области жидкости постоянной плотности) и характер возникающих при коллапсе внутренних волн. Опыты выполнялись в лотке длиной 225 см, шириной 22,5 см и высотой 120 см. Цилиндрическое «пятно» однородной жидкости с поперечным сечением в виде полукруга формировалось у одной из торцевых стенок лотка и имело радиус поперечного сечения 15 см. Стратификация среды создавалась путём послойного заполнения лотка раствором соли различной концентрации. Каждый второй слой подкрашивался краской, что позволяло исследовать характер внутренних волн, генерируемых коллапсом зоны смешения. На основе проведённых экспериментов By установила, что процесс развития области смешения может быть разбит на три стадии — начальную, основную и заключительную. На первой и второй стадиях коллапса единственным определяющим параметром является t/T, где t - время в сек., а Т - введённый выше период Вяйсяля-Брента. На третьей стадии существенно проявляется влияние вязкости. Первая и вторая стадии коллапса разделены по характеру изменения скорости роста размера однородного «пятна» по горизонтали: на первой стадии (t < 0, 48Т) эта скорость почти постоянна, на второй стадии скорость горизонтального расширения уменьшается. Автором предложены эмпирические степенные законы, описывающие горизонтальное расширение зоны смешения на первых двух стадиях: где Lx - горизонтальный размер «пятна», равный L0 в начальный момент времени.

Численный анализ коллапса однородного «пятна», основанный на интегрировании уравнений Навье-Стокса, выполнил Вессел [7]. Уравнения Навье-Стокса решались с применением метода конечных разностей на ЭВМ. По расчётам Вессела полученный горизонтальный размер «пятна» изменяется .во времени по зависимостям:

Результаты работы [7] и, в частности, картина возникающих при коллапсе внутренних волн, оказались в удоволетворительном соответствии с экспериментальными данными By [б].

В работе Падманабхана, Эймса, Кеннеди и Тин-Кан-Хунга [8] численно и аналитически исследовано течение внутри области перемешанной жидкости и деформация её границы. Процесс исследования разделялся на 3 фазы. В начальной стадии жидкость в области смешения предполагается невязкой, а движение — безвихревым. В дальнейшем вязкость учитывается. Конечная стадия процесса анализируется с помощью длинноволнового приближения. Получена асимптотика изменения горизонтального размера области смешения на заключительной стадии коллапса (Lx ~ t1//6). Отметим, что в этой работе не изучается течение в области, внешней к зоне смешения, и, следовательно, его воздействие на зону смешения (при этом задача сводится к интегрированию уравнений Навье-Стокса, описывающих движение однородной жидкости, что существенно упрощает процесс численного интегрирования). На всём протяжении процесса коллапса области однородной жидкости давление на границе зоны смешения полагалось равным гидростатическому.

Следующей работой, в которой проводилось численное исследование коллапса зоны смешения в линейно-стратифицированной жидкости, является работа Янга и Хёрта [9]. При решении задачи авторы исходят из полных уравнений Навье-Стокса, приближение Буссинеска не используется, однако в расчётах, результаты Которых приведены в работе, градиент плотности брался малым и поэтому влияние нелинейности (относительно плотности) никак не проявилось. Результаты расчётов, выполненных Ян-гом и Хёртом, хорошо согласуются с экспериментальными данными By [6]. При этом рассчитанный горизонтальный размер области смешения близок к экспериментальному вплоть до t/T <1,6. Приведена серия рисунков, выполненных на графопостроителе ЭВМ, иллюстрирующая коллапс «пятна», зарождение и распространение внутренних волн (аналогичная картина была получена и в [7]). Представлено также соответствующее системе внутренних волн конвективное течение (отметим в связи с этим несколько ранее вышедшую работу [10], в которой проведено более детальное исследование конвективного течения). Недостатком этой работы (как и работы [7]) является ряд эффектов, вызванных немонотонностью разностного аналога уравнения неразрывности. Аппроксимация конвективных членов уравнения неразрывности с помощью центральных разностей привела к существенному искажению картины внутренних волн вблизи границы области жидкости с постоянной плотностью и окружающей среды. Отметим, что именно на границе «пятна» с окружающей жидкостью плотность жидкости терпит разрыв. Вдали от области смешения немонотонность конечно-разностного аналога уравнения неразрывности не сказывается и поэтому, в частности, фазовая картина внутренних волн, полученная в [9], удоволетворительно совпадает с экспериментальными данными By [6].

В работах О.Ф. Васильева, Б.Г. Кузнецова, Ю.М. Лыткина, Г.Г. Черных [10, 11] построена математическая модель эволюции локализованной области турбулизованной жидкости в линейно-стратифицированной среде. В частности, рассмотрена задача о динамике области смешения в отсутствие турбулентных возмущений. При этом задача свелась к численному интегрированию уравнений Эйлера в приближении Буссинеска с линеаризованными уравнениями импульсов. Впервые показано, что сопровождающие коллапс области перемешанной жидкости генерация и распространение внутренних волн характеризуется зарождением конвективных вихрей, их дроблением с образованием конвективных вихрей противоположной направленности. При этом ранее возникшие конвективные вихри оттесняются к горизонтальной оси координат, что приводит к перемещению гребней и впадин внутренних волн в горизонтальном направлении.

В работе Б.Г. Кузнецова, Г.Г. Черных [12] рассмотрена задача о динамике однородного пятна в идеальной линейно-стратифицированной жидкости. Приближение Буссинеска не применялось. Продемонстрирована «несимметрия» картины внутренних волн.

Численное моделирование процесса генерации внутренних волн с использованием уравнений Навье-Стокса, записанных в приближении Буссинеска, осуществлено в работе Орланского и Росса [13]. Отмечается удо-волетворительное соответствие рассчитанной волновой картины результатам расчётов Янга и Херта [9] и экспериментальным данным By [6]. Рассмотренная задача использовалась авторами в качестве теста для проверки работоспособности алгоритма расчёта уравнений Навье-Стокса.

Внутренние волны, генерируемые при коллапсе области полностью перемешанной жидкости в вязкой линейно стратифицированной среде, изучены Ю.М. Лыткиным, Г.Г. Черных [14] на основе численного интегрирования уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска. Анализ изменения дефицита плотности на вертикальной оси (х = 0) позволил сделать вывод о существовании отклонений линий равной плотности от положения равновесия, сопоставимых с* отклонениями при х > 0. Отсюда следует, что полученные в [31, 33] асимптотические решения линеаризованной задачи для больших значений г = \Jх'1 + у1 является неверным, по крайней мере в окрестности х = 0, поскольку, согласно этому решению pi ДЫ (Rx t\ . fy t\ h -7Г' m sin ap0R r2 \r2 TJ \r T J и при x = 0 значения р\ равны нулю. Здесь J2 — функция Бесселя первого рода второго порядка. Выполнен анализ фазовой картины внутренних волн. Показано, что для оценки фазовой картины внутренних волн могут быть применены соотношения работы [30].

В работе Дугана, Варн-Варнаса и Пиачека [15] наряду с коллапсом областей полностью перемешанной жидкости численно исследовалась задача о коллапсе пятен неполностью перемешанной жидкости. Выполнено детальное исследование формы пятна и показано, что при полном перемешивании горизонтальный размер растёт неограниченно, при неполном — колебательным образом выходит на некоторое стационарное значение, зависящее от степени перемешивания. В простейшем случае неполного перемешивания жидкости в области смешения в [15] плотность жидкости в начальный момент времени по аналогии с работой [31] задавалась следующим образом pQ(l-ay), г = л/х2 + у2 > L0, Р — \ р0(1 - щу), г < L0. Величина S; = (а — а,-)/а характеризует степень перемешивания; в случае полного перемешивания Si = 1, при неполном — 0 < 5,- < 1. Подобное поведение вертикального размера области перемешанной жидкости согласуется с теоретическими исследованиями [15, 38] и имеет простое физическое объяснение: в случае коллапса однородного пятна в стратифицированной жидкости область смешения стремится деформироваться в бесконечно тонкую область жидкости с плотностью р = pq. При Si < 1 имеется континуум уровней плотности, вдоль которых «вытягивается» область смешения; вертикальный размер области смешения при этом остаётся конечным, а площадь области смешения при пренебрежении эффектами молекулярной диффузии постоянна. Поэтому и горизонтальный размер области смешения в случае неполного перемешивания остаётся ограниченным с ростом времени. Рассмотренная в [31] задача сформулирована в [4, стр. 522] в качестве упражнения. Там же отмечено, что задача о динамике локального возмущения поля плотности представляет интерес в связи с изучением внутренних волн, генерируемых турбулентными следами за телами, движущимися в стратифицированной жидкости (см. также

75]).

В работах С.О. Белоцерковского [16], В.А. Гущина [17], С.О. Белоцер-ковского и В.А. Гущина [18] развит метод расщепления по физическим процессам применительно к расчёту вязких стратифицированных течений, ранее использовавшийся для расчёта течений однородной жидкости [19]. Большое внимание в работах [16]—[18] уделено исследованию формы пятна. Показано, в частности, что первоначальная форма перемешанного пятна не оказывает существенного влияния на эволюцию его линейных размеров. Полученная волновая картина находится в хорошем соответствии с результатами расчётов других авторов и данными лабораторных экспериментов By [6]. Представленные в [17, 18] расчётные данные относительно изменения во времени горизонтального размера области смешения также хорошо согласуются с экспериментальными данными By [6].

В работе В.П. Нартова, Г.Г. Черных [20] осуществлён подробный анализ динамики границы зоны смешения (см. также [21, стр.116]. С этой целью привлекалось уравнение трансформации недиффундирующей нераспадающейся пассивной примеси. Авторами [20] разработана конечно-разностная реализация метода дифференциального анализатора [21], позволяющая проводить обработку распределений концентрации, полученных с применением алгоритмов сквозного счёта, и выделять границу области перемешанной жидкости. Расчитанный горизонтальный размер зоны смешения оказался в хорошем соответствии с экспериментальными данными By [6].

Для численного интегрирования уравнений Навье-Стокса, описывающих движение неоднородной несжимаемой жидкости, А.В. Бабаковым [23] разработан алгоритм расчёта, основанный на разностной аппроксимации законов сохранения (метод потоков). В качестве примера решалась задача о коллапсе однородного прямоугольного пятна в линейно-стратифицированной жидкости. Данные об изменении горизонтальных размеров пятна оказались в хорошем соответствии с результатами расчётов других авторов и экспериментальными данными By [б].

В работе А.Ю. Даниленко, А.И. Толстых [24] на основе предложенной авторами неявной модификации метода расщепления по физическим процессам и пространственным переменным также выполнено численное моделирование течения, генерируемого областью полностью перемешанной вязкой жидкости в линейно-стратифицированной по плотности среде. Данные об изменении горизонтального размера области находятся в хорошем соответствии с экспериментальными данными By [6].

А.В. Бунэ, B.JT. Грязновым, В.И. Полежаевым [25] в качестве примера применения разработанного авторами алгоритма и комплекса программ численного решения задач свободной конвекции рассмотрена задача о коллапсе области однородной по плотности жидкости, окружённой устойчиво стратифицированной средой. Учитывалась как стратификация как по температуре, так и по солености. Получены данные, иллюстрирующие сплющивание зоны смешения по вертикали и генерацию внутренних волн. Выполнен расчёт в условиях, когда пятно первоначально имело распределение температуры, отличное от температуры окружающей среды. При этом характеристики генерируемых при коллапсе внутренних волн и эволюция пятна существенно изменяются даже в том случае, когда плавучесть нагретого пятна компенсируется избыточной соленостью и пятно остаётся на исходном уровне. В частности, при достаточно больших размерах пятна происходит, как и в лабораторных экспериментах [26], расщепление основного интрузионного клина на отдельные прослойки. Образование отдельных прослоек связано с горизонтальным движением жидкости от зоны коллапса и изменением её плотности при охлаждении.

В работе A.M. Кудина, В.А. Кронрода, Т.О. Абрамян, Д.А. Вомпе [27] осуществлено лабораторное и численное моделирование явления взаимодействия близко расположенных перемешанных пятен в стратифицированной среде.

Аналитическое исследование коллапса однородного пятна, основанное на линеаризованных уравнениях гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости, выполнил Мей [28]. Начальный этап развития пятна, когда время t мало в сравнении с временным масштабом, характеризуемым периодом Вяйсяля-Брента, Мей исследовал с помощью нестационарных одномерных уравнений (исследования на этом этапе проводились в достаточно тонкой по вертикали области). Для этого этапа внутренние волны пренебрежимо малы по амплитуде. При изучении явления при больших t основное внимание фокусировалось на внутренних волнах. Область смешения- в начальный момент времени предполагалась эллиптической с горизонтальной и вертикальной полуосями о;0 и /3q соответственно. Граница зоны смешения в работе Мея описывается уравнением горизонтальная и вертикальная полуоси эллипса соответственно. При исследовании внутренних волн также получены приближённые соотношения для их описания. На обоих этапах исследования давление вне «пятна» полагалось равным гидростатическому. Отметим, что эллиптическая х2/а2 + у2/(32 = 1 , где

1/2 форма «пятна» (близкая к эллиптической форме «пятна» была получена также в [8]) не соответствует экспериментальным данным By [6] и результатам расчётов [7, 9], основанным на решении полной системы уравнений Навье-Стокса. Авторы работ [7, 28] не учитывают влияния области, внешней к зоне смешения, на картину течения в «пятне» и динамику его границы, что, естественно, приводит к искажению формы границы зоны смешения.

Исследование внутренних волн, генерируемых коллапсом однородной жидкости в стратифицированнной среде, выполнено в работах ТТТултт и Хьюза [29] и Коха [30]. Изучение волн проводится на основе линеаризованных уравнений гидродинамики идеальной несжимаемой стратифицированной по плотности жидкости. Проведено исследование фазовой картины внутренних волн, соответствующих точечному источнику возмущений [30]. Получено асимптотическое представление волновой картины для больших удалений от источника возмущений.

Внутренние волны, возникающие в результате деформации области неоднородной жидкости со стратификацией, отличной от стратификации окружающей жидкости, исследовали Хартман и Льис [31]. В частном случае из решения, найденного в [31], можно определить характеристики внутренних волн и в случае «пятна» полностью перемешанной жидкости.

Дальнейшее развитие линейная теория генерируемых коллапсом внутренних волн в линейно-стратифицированной среде получила в работах В.И.Никишова и А.Г. Стеценко [32], И.В. Стуровой [33, 34, 67], В.А. Го-родцова иЭ.В. Теодоровича [35],В.А. Городцова [36].

Характеризуя работы [28]—[36], отметим следующее. В результате линеаризации уравнений гидродинамики авторы указанных работ получают настолько простые математические модели исследуемого явления, что становится возможным получение точного решения в интегральной форме. На основе интегрального представления решения удаётся получить асимптотику течения на больших расстояниях от области смешения и, в частности, фазовую картину внутренних волн. Однако деформация области смешения (за исключением малых значений времени) в данной поставке не может быть исследована, что вызвано линеаризацией уравнения неразрывности.

В работе Е.В. Егорова, А.С. Тибилова, В.А. Яковлева [37] рассматривается вопрос о влиянии компактных плотностных неоднородностей в пикноклине на устойчивость распространяющихся внутренних волн. В линейной постановке исследуется сдвиговая устойчивость волновых течений. С этой целью проводится интегрирование выраженного в квадратурах решения задачи рассеяния внутренних волн на неоднородностях плотности, причём используются различные модели структуры последних. Получено, что в результате рассеяния фоновых волн на компактных неоднородностях локальные значения чисел Ричардсона Ri волновых течений могут уменьшаться на один — три порядка. В большинстве случаев наибольшее снижение локальных значений Ri имеет место в области, непосредственно прилегающей к пятну неоднородности, на расстоянии от последнего не более толщины пикноклина.

В ряде работ [38]—[40] делается попытка получить асимптотические зависимости геометрических характеристик областей перемешанной жидкости в стратифицированной среде. Статьи [8, 28] уже обсуждались, поэтому остановимся на других работах.

Беллом и Дуганом [38] получено асимптотическое решение, позволяющее определить горизонтальный размер области перемешанной жидкости на начальной стадии коллапса:

Lx00 = Lq [1 + N2t2/4 - 0(TV4T4)] , где N = 27г/Т — частота Вяйсяля-Брента. При получении асимптотического решения используется энергетический метод; при этом предполагается, что на начальной стадии коллапса суммарная энергия пятна сохраняется и первоначально круглая область смешения деформируется в эллипс с горизонтальной полуосью Lx(t); приведённая выше асимптотика Lx{t) хорошо согласуется с решением задачи Коши при Nt < 2. При анализе коллапса областей частично перемешанной жидкости авторы делают выводы об осцилляционном характере поведения Lx(t) (при величине Si < 1/2). Сделанные выводы нашли подтверждение в работе [15], где осуществлялось численное моделирование течения на основе полных уравнений Навье-Стокса.

Асимптотическая зависимость от времени горизонтального размера области жидкости с постоянной плотностью в линейно-стратифицированной среде для значений времени Nt < 40 получена Као [39]. Отмечается хорошее соответствие с результатами расчётов [15].

Зависимость от времени горизонтального размера однородного «пят-на»на заключительной, вязкой, стадии получена Г.И, Баренблаттом [40]. Так же, как ив [8], горизонтальный размер на этой стадии изменяется по закону Lx(t) ~ Г.И. Баренблаттом [40] рассмотрена также заключительная стадия эволюции области жидкости прмежуточной плотности вдоль границы слоёв двухслойной жидкости. При этом получена зависимость Lx{t) ~

Экспериментальная проверка асимптотических зависимостей работы [40] осуществлена Т.О. Абрамян [41]. Оценки времени коллапсирования и характерных геометрических размеров пятен неполностью перемешанной жидкости выполнены А.Г. Зацепиным, К.Н. Фёдоровым [42].

Анализируя работы [38, 39, 40, 42] следует отметить, что они являются в определённом смысле противоположностью работ [29]—[36], в которых получено асимптотическое представление характеристик внутренних волн на больших расстояниях от источника возмущений. В [38]—[40] характеристики волн не изучались.

В цитированных выше работах по изучению коллапса плоских областей перемешанной жидкости речь шла о течениях в линейно-стратифицированной среде. Интерес исследователей привлекают также подобные течения в жидкости с нелинейной стратификацией.

Максворси [43] экспериментально рассмотрел генерацию нелинейных внутренних волн в пикноклине при коллапсе плоских и осесимметричных областей частично перемешанной жидкости. Исследовалось также взаимодействие двух областей смешения в пикноклине. Наблюдались режимы, когда локальное возмущение поля плотности в пикноклине возбуждало стационарные волновые образования — солитоны и эти солитоны взаимодействовали между собой.

В.А. Поповым [44] экспериментально исследована динамика развития цилиндрического пятна частично перемешанной жидкости в тонкослоистой стратифицированной среде. Показано, что на промежуточной стадии коллапса растекание области смешения в горизонтальном направлении осуществляется преимущественно в виде узких, длинных языков вдоль прослоек с максимальными вертикальными градиентами плотности. Величина горизонтальной компоненты скорости распространения определяется степенью выраженности тонкой структуры и по своему значению выше скорости растекания пятен в линейно-стратифицированной жидкости. Область перемешанной жидкости создавалась вертушкой, в связи с чем жидкость в этой области турбулизовалась. Однако при больших значениях времени вырождения (как это было показано в [74]) влиянием турбулентности можно пренебречь.

Дальнейшее развитие экспериментальных исследований течения, генерируемого локальным возмущением поля плотности в пикноклине осуществлено в работах И.Ю Авдеевой, О.М. Коновалова, А.И. Кулика, B.C. Мадерича [45], B.C. Мадерича, А.И. Кулика [46]. Ими рассмотрены особенности растекания областей перемешанной жидкости в стратифицированной среде с распределением плотности, являющимся непрерывным аналогом распределения плотности двухслойной устойчиво-стратифицированной среды. Оказалось, что течение существенно зависит от отношения радиуса области перемешанной жидкости к толщине слоя раздела (в слое раздела плотность жидкости изменяется; вне этого слоя плотность жидкости выходит на постоянные значения р\ < р^). Получено, что если это соотношение значительно больше единицы, течение приобретает вид вихревых пар в левой и правой полуплоскостях. При уменьшении этого отношения до значений порядка единицы получается многовихревая картина в каждом квадранте плоскости течения (см. также значительно ранее вышедшие работы [47, 48], [81]—[84] в которых эти явления изучались численно).

Теоретическое исследование течения, генерируемого локальным возмущением поля плотности в стратифицированной среде с нелинейным распределением плотности по глубине выполнено в рамках линейной модели И.В. Стуровой [49], В.И. Никшповым [50], И.В Стуровой, В.А. Сухаревым [51]. Наиболее общей является работа [51], где рассмотрено произвольное устойчивое распределение плотности невозмущённой жидкости.

Численное моделирование течения, вызванного коллапсом области жидкости с постоянной плотностью в пикноклине осуществлено в работах И.Ю. Авдеевой [52] и [45]. Расчётные данные работы [52], касающиеся изменения горизонтального размера зоны смешения в зависимости от времени согласуются с экспериментальными данными [45].

В работе О.Ф. Воропаевой, Г.Г. Черных [74] построена численная модель динамики зоны турбулентного смешения в жидкости с нелинейной устойчивой стратификацией. Для описания течения привлекается полуэмпирическая модель турбулентности второго порядка. Разработан конеч-норазностный алгоритм с применением подвижных сеток. В качестве примера решена задача о динамике локального возмущения поля плотности в пикноклине (турбулентные возмущения при этом полагались равными нулю). Результаты расчётов достаточно хорошо согласуются с результатами работ, выполненных с участием автора настоящей работы [81].

В настоящее время течение, генерируемое при коллапсе зоны смешения, по-прежнему привлекает внимание исследователей. Так в работе Боннетона, Эгермана, Туаля [22] исследуется механизм возникновения внутренних волн в устойчиво стратифицированной среде (см. также работы [10, 11], где этот механизм был изучен значительно раньше). Для визуализации области смешения использовалась пассивная примесь (см. также [20]). Получены результаты расчётов для областей неполностью перемешанной жидкости, характеризующие динамику зоны смешени, генерацию и распространение внутренних волн.

В серии работ Г.В. Смирнова, В.Е. Веденькова, А.Н. Галковского [76]-[78] исследованы условия генерации нелинейных внутренних волн при коллапсе локального возмущения поля плотности в стратифицированной жидкости, в т.ч. в условиях реального океана. Даны оценки проявления внутренних волн на поверхности океана.

В работе Д.Е Терез, О.М. Книо [79] выполнено численное моделирование распространения уединённых волн в пикноклине на примере коллапса области полностью перемешанной жидкости. Методом лагранжевых частиц изучена структура волны. Показано, что для волн малой амплитуды область полностью перемешанной жидкости принимает эллиптическую форму в левой и правой полуплоскостях. Осуществлены сопоставления результатов расчётов с известными экспериментальными данными и аналитическими зависимостями.

Приведенный обзор не предендует на полноту. В вышеупомянутых работах можно найти более подробную библиографию.

Анализ цитированной литературы позволил выявить (на момент начала исследований) ряд малоизученных вопросов в области численного моделирования течения, генерируемого локальным возмущением поля плотности в стратифицированной среде. Прежде всего это численный анализ течения в жидкости с нелинейным распределением плотности по глубине, в частности, в пикноклине. Практически неизученным был вопрос о применимости линейных моделей внутренних волн. Недостаточно изученным являлся вопрос о динамике локального возмущения поля плотности в условиях фоновых течений. Анализ имеющихся конечно-разностных аппроксимаций уравнений Эйлера (Навье-Стокса) позволил сделать вывод об отсутствии эффективного алгоритма расчёта течения в «слоистой» среде, при наличии высокоградиентных прослоек.

Рассмотрению этих вопросов посвящена настоящая диссертация.

Текст диссертации включает введение, четыре главы, заключение и список литературы. Во введении дается обзор литературы по теме диссертации.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Зудин, Андрей Николаевич

Основные результаты, полученные в работе, сводятся к следующему.

1. Разработан алгоритм расчёта нестационарных стратифицированных течений, основанный на применении эйлерово-лагранжевой системы координат. Осуществлено его детальное тестирование.

2. Выполнено численное моделирование течения, генерируемого локальным возмущением поля плотности в устойчиво стратифицированной среде. Рассмотрена задача о динамике области смешения в пикноклине. Показано, что при определённом соотношении входных данных локальное возмущение поля плотности генерирует стационарные волны — солито-ны. Осуществлено сопоставление численного решения с известным асимптотическим соотношением Бенджамина, связывающим амплитуду волны и скорость её перемещения вдоль оси абсцисс. Выполнены численные эксперименты по оценке влияния вязкости жидкости на течение, генерируемое локальным возмущением поля плотности в пикноклине. Предложена аналитическая зависимость, связывающая амплитуду волны и скорость её распространения в узком пикноклине.

3. Выполнено численное моделирование течения, генерируемого локальным возмущением поля плотности в стратифицированной жидкости при наличии фоновых течений. Рассмотрены варианты линейного сдвигового течения и волнового фона. Показано, что фоновое течение может приводить к существенному искажению основного течения.

4. Построены линейная и нелинейная, с применением полных уравнений Эйлера, численные модели динамики локального возмущения поля плотности в стратифицированной среде. Для ряда распределений плотности невозмущённой жидкости выполнены параметрические расчёты по оценке применимости численных моделей. Построенные численные модели позволяют дать оценку применимости математических моделей в условиях произвольной устойчивой стратификации.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зудин, Андрей Николаевич, 2001 год

1. Федоров К.Н. Тонкая термохалинная структура структура вод океана. - JL: Гидрометеоиздат, 1976, - 184 с.

2. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкости. М.: Мир, 1977, -431 с.

3. Зацепин А.Г., Федоров К.Н. Об условиях формирования тонкой структуры в океане путём коллапса перемешанных пятен // Докл. АН СССР, 1980. Т. 252. - № 4. - с. 989-992.

4. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981, - 600 с.

5. Монин А.С., Озмидов Р.В. Океанская турбулентность. Л.: Гидро-метеоиздат, 1981, - 320 с.

6. Wu J. Mixed region collapse with internal waves generation in a density stratified medium // J.Fluid Mech. 1969. - vol. 35. - No. 3. - pp. 531544.

7. Wessel W.R. Numerical study of the collapse of a perturbation in an infinite density stratified fluid // Phys. Fluids. 1969. - vol. 12. - No. 12. - Pt. II. - pp. 170-176.

8. Padmanabhan H., Ames W.F.; Kennedy J.F., Hung Tin-Kan. A numerical investigation of wake deformation in density stratified fluids // J.Engn.Math. 1970. - vol. 4. - No. 3. - pp. 229-241.

9. Young J.A., Hirt C.W. Numerical calculation of the internal wave motions // J.Fluid Mech. 1972. - vol. 56. - Pt. 2. - pp. 265-276.

10. Васильев О.Ф., Кузнецов Б.Г., Лыткин Ю.М., Черных Г.Г. Развитие области турбулизованной жидкости в стратифицированной среде // Известия АН СССР. Серия МЖГ. 1974. - № 3. - с. 45-52.

11. Кузнецов Б.Г., Черных Г.Г. Численное исследование поведения однородного «пятна» в идеальной стратифицированной по плотности жидкости // ПМТФ. 1973. № 3. - с. 120-126.

12. Orlanski I., Ross В.В. Numerical simulation of the generation and breaking of internal gravity waves // J.Geophys.Res. 1973. - vol. 78. - No. 36. - pp. 8806-8826.

13. Лыткин Ю.М., Черных Г.Г. О внутренних волнах, индуцируемых коллапсом зоны смешения в стратифицированной жидкости // Математические вопросы механики (Динамика сплошной среды). Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР. - 1975, вып. 22, с. 116-132.

14. Dugan J.P., Warn-Varnas А.С., Piacsek S. A. Numerical results for laminar mixed region collapse in density stratified fluid // Computers and Fluids. 1976. - vol. 4. - No. 2. - pp. 109-121.

15. Белоцерковский С. О. Моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости на основе уравнений Навье-Стокса: Автореферат дисс. на соиск.стеи.канд.физ.-мат.наук. М.: ВЦ АН СССР, 1982. - 16 с.

16. Гущин В.А. Метод расщепления для задач динамики неоднородной .жидкости // ЖВМиМФ. 1981. - Т. 21. - № 4. - с. 1003-1017.

17. Белоцерковский С.О., Гущин В. А. Моделирование некоторых течений вязкой жидкости. М.: ВЦ АН СССР, - 1982. - 66 с.

18. Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Щенников В.В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой жидкости // ЖВМиМФ. 1975. - Т. 15. - № 1. - с. 197-207.

19. Нартов В.П., Черных Г.Г. О численном моделировании течения, возникающего при коллапсе зоны смешения в .стратифицированной среде. Новосибирск, 1982. - 23 с. - (Препринт/АН СССР, СО, ЙТиПМ; 15).

20. Vorozhtsov Е. У., Yanenko N.N. Methods for the localization of singularities in numerical solutions of gas dynamics problems. Springer-Verlag, 1990, - 406 p.

21. Bonneton P., Egermann P., Thual O. Mixed region collapse in a stratified fluid. Euromech Conference "Internal waves, turbulence and mixing in stratified flows". Book of abstracts. Lyon: Ecole Normale Superieure de Lyon, 1995, 2 p.

22. Бунэ А.В., Грязное В.Л. Полежаев В.И. Некоторые математические модели конвекции и внутренних волн в стратифицированной жидкости // Современные вопросы механики сплошной среды. М., МФТИ,- 1985. с. 41-46.

23. Воропаев С.И., Зацепин А.Г., Павлов A.M., Федоров К.П. Лабораторное воспроизведение структурообразующих процессов в стратифицированной жидкости // Исследование изменчивости физических процессов в океане. М.: ИО АН СССР, - 1978. - с. 112-121.

24. Мег С. С. Collapse of a homogeneous fluid mass in a stratified fluid// 'Proceed, of the 12-th International Congress of Applied Mech., Stanford Univ., 1968. - pp. 321-330.

25. Schooley A.H., Hughes B.A. An experimental and theoretical study of internal generated by the collapse of two-dimensional mixed region in a density gradient // J.Fluid Mech. 1972. - vol. 51. - pp. 159-175.

26. Koh R.C.A. Transient motion induced by local disturbances in a linearly density-stratified fluid j j J.Hydraulic Res. 1971. - vol. 9. - No. 3. -pp. 159-175.

27. Стурова Ж.В. Внутренние волны, генерируемые локальными возмущениями в линейно-стратифицированной жидкости конечной глубины // Журнал прикл.мех. и техн.физ. 1978. - М° 3. - с. 61-69.

28. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн / Л.В. Овсянников, Н.И. Макаренко, В.И. Налимов, В.Ю. Ляпидевский,

29. П.И. Плотников, И.В. Стурова, В.И. Букреев, В.А. Владимиров. Под ред. JI.B. Овсянникова, В.Н. Монахова. Новосибирск: Наука, 1985.- 318с.

30. Городцов В.А. Порождение и динамика малых возмущений в стратифицированных жидкостях / Автореферат дисс. на соиск.уч.степ. д-ра физ.-мат. наук. М., ИПМех РАН, 1996. - 29 с.

31. Егоров Е.В., Тибилов А. С., Яковлев В.А. Рассеяние внутренних волн в пикноклине с локальными нарушениями стратификации // Известия АН СССР. Серия ФАО. 1990. - Т. 26. - № 4. - с. 403-411.

32. Bell Т.Н., Dugan J.P. Model for mixed region collapse in a stratified fluid // J.Engn. Math. 1974. - vol. 8. - No. 3. - p. 241-248.

33. Rao T. W. Principal stage of wake collapse in a stratified fluid: Two-dimensional theory // Phys. Fluids. 1976. - vol. 19. - No. 8. - pp. 10711074.

34. Бареиблатт Г.И. Динамика турбулентных пятен и интрузии в устойчиво-стратифицированной жидкости // Известия АН СССР. Серия ФАО. — 1978. Т. 14. - № 2. - с. 195-205.

35. Зацепин А.Г., Федоров К.Е. К вопросу о формировании тонкой структуры вод океана путём коллапса перемешанных пятен. Там же, с. 132133.

36. Max-worthy Т. On the formation of nonlinear internal waves from tlie gravitational collapse of mixed region in two and three dimensions j j J.Fluid Mech. 1980. - vol. 96. - No. 1. - pp. 47-64.

37. Попов В.А. Развитие области частично перемешанной жидкости в тонкослоистой стратифицированной среде // Известия АН СССР. Серия ФАО. 1986. - Т. 22. 4. - С. 389-394.

38. Зудин А.Н., Черных Г.Г. Примеры расчёта нестационарных стратифицированных течений с применением эйлерово-лагранжевой системы координат. Новосибирск, 1985. - 50 с. - (Препринт/ АН СССР. Сиб.отд-е. Ин-т теорет. и прикл.механики; 9-85).

39. Стурова Ж.Б. Внутренние волны, генерируемые локальными возмущениями в двухслойной стратифицированной жидкости // Известия АН СССР. Серия ФАО. 1978. - Т. 14. - № 11. - с. 1222-1228.

40. Еикишов В.И. Об образовании внутренних волн при коллапсе однородного «пятна» в стратифицированной жидкости // Гидромеханика- Киев, 1980. № 42. - с. 11-15.

41. Стурова И.В., Сухарев В.А. Генерация внутренних волн локальными возмущениями в жидкости с заданным изменением плотности по глубине // Известия АН СССР. Серия ФАО. 1978. - Т. 17. - № 6. -с. 625-631.

42. Авдеева И.Ю. Особенности взаимодействия двух интрузий в слое раздела // Поверхностные и внутренние волны в океане и прибрежной зоне шельфа. Часть I. Гидродинамика волновых процессов. Тез.докл. IV республ.конф. по прикл.гидромех. Киев, 1987. - с. 3.

43. Као Т. W., Рао И.P. Wake collapse in the thermocline and internal solitary waves // J.Fluid Mech. 1980. - vol. 97. - No. 1. - pp. 115-127.

44. Филлипс О. Динамика верхнего слоя океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1980, - 318с.

45. Монин А. С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности. Ч. 1. М.: Наука, 1965, - 639 с.

46. Гранберг И.Г. Численное моделирование задачи обтекания гор воздушным потоком // Известия АН СССР. Серия ФАО. 1979. - Т. 15.- № 12. с. 1235-1243.

47. Зуйков Ю.П., Кузнецов Б.Г. Расчёт некоторых неустановившихся кавитационных течений / / Численные методы механики сплошной среды. Т. 2. - № 3. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1971. -с. 38-46.

48. Яненко Е.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск.: Наука, 1967, - 195 с.

49. Овсянников JI.B. Общие уравнения и уравнения и примеры // Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей. -Новосибирск.: Наука, 1967, с. 5-75.

50. Ковеня В.М., Черный С. Г, Яненко Н.Н. Упрощённые уравнения для описания течений вязкого газа // Доклады АН СССР. 1979. Т. 245.- № 6. с. 1322-1324.

51. Hartman R.J. The development of a partially mixed region in a stratified shear flow // J.Fluid Mech. 1975. - vol. 71. - Pt. 2. - pp. 407-415.

52. Benjamin T.B. Internal waves of permanent form in fluids of great depth // J.Fluid Mech. 1967. - vol. 29. - Pt. 3. - pp. 559-592.

53. Han T.J., Meng J.C.S., Innis G.F. An open boundary condition for incompressible stratified flows // J.Сотр. Phys. 1983. - vol. 49. - pp. 276297.

54. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971, - 552 с.

55. Маллик Д.Д. Несколько замечаний об уравнениях гидромеханики и их точных решениях // Вестник ЛГУ. Сер. математика, механика, астрономия. Л., ЛГУ - 1967. - вып. 1.-е. 98-105.

56. Гранберг И.Г., Дикий Л.А. Стационирование в нелинейной задаче обтекания гор воздушным потоком // Известия АН СССР. Серия ФАО.- 1972. Т. 8. - № 3. - с. 264-269.

57. Стурова И.В. Линейная теория генерации поверхностных и внутренних волн локальными возмущениями / Автореферат дисс. на со-иск.уч.степ. д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, ИТФ СО РАН, 1984. -34 с.

58. Степанлнц Ю.А., Стурова И.В., Теодорович Э.В. Линейная теория генерации поверхностных и внутренних волн // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. Механика жидкости и газа. 1987. - Т. 21. -с. 93-179.

59. Мадерич B.C., Никишов В.Ж., Стеценко А.Г. Динамика внутреннего перемешивания в стратифицированной среде. Киев: Наукова Думка, 1988. - 239 с.

60. Зудин А.И., Черных Г.Г. Об одном алгоритме расчёта нестационарных стратифицированных течений // Численные методы механики сплошной среды. Т. 13. - N°. 5. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, ИТПМ СО АН СССР, 1982. - с. 32-47.

61. Зудин А.Е., Черных Г.Г. Внутренние волны, генерируемые локальным возмущением поля плотности в жидкости с нелинейной стратификацией // Моделирование в механике. Т. 2. - № 4. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, ИТПМ СО АН СССР, 1988. - с. 49-74.

62. Гаврилов И.В. Уединённые внутренние волны в двухслойной жидкости // Журнал прикл.мех. и техн.физ. 1986. - № 5. - с. 49-54.

63. Chernykh G.G., Lytkin Yu.M., Sturova I.V. Numerical simulation of internal waves induced by the collapse of turbulent mixed region in stratified medium // Proc.Int.Symp. Refined Modelling Flows, Sept. 7-10, 1982.- Paris pp. 671-679.

64. Смирнов Г.В., Веденъков В.Е., Галковский А.Н. Об условиях генера-• ции нелинейных внутренних волн при коллапсе перемешанного пятна в стратифицированной жидкости // Океанология. 1997. - Т. 37. -№ 3. - с. 338-344.

65. Смирнов Г.В., Веденъков В.Е., Галковский А.Н. О формировании тонкой структуры поля плотности при коллапсе зоны смешения в реально стратифицированной жидкости // Океанология. 1997. - Т. 37. - № 4. - с. 497-501.

66. Смирнов Г.В., Веденъков В.Е., Галковский А.В. Об оценке поверхностных проявлений уединённых внутренних волн, генерируемых при коллапсе перемешанного пятна в реально стратифицированной жидкости // Океанология. 1998. - Т. 38. - № 6. - с. 822-829.

67. Terez D.E., Knio О.М. Numerical simulation of large-amplitude internal solitary waves // J.Fluid Mech. 1998. - vol. 362. - pp. 53-82.

68. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. - М.: Наука, 1973. -536 с.

69. Зудин А.Н., Черных Г.Г. О численном моделировании некоторых нестационарных стратифицированных течений // Труды школысеминара социалистических стран «Вычислительная аэрогидромеханика», Самарканд, 25-31 октября, 1985, с. 199-201.

70. Зудин А.Н., Филиппова О.Ф., Черных Г.Г. Динамика области турбу-лизованной жидкости в стратифицированной среде // Тезисы докл.1. школы-семинара социалистических стран «Вычислительная механика и автоматизация проектирования», Ташкент, 1988, с. 74.

71. Воропаева О.Ф., Зудин A.H., Черных Г.Г. Численное моделирование коллапса зоны смешения с применением линеаризованных уравнений Эйлера // Методы гидрофизических исследований: Тезисы докладов

72. Зудин А.И., Черных Г. Г. О влиянии вязкости на динамику локального возмущения поля плотности в пикноклине // Моделирование в механике. Т. 4. - № 3. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, ИТПМ СО АН СССР, 1990. - с. 71-78.